Luận văn thạc sĩ ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình hệ phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHÀI

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán
sơ cấp Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

TS. Phạm Văn Quốc

Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ sở
5
1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến................................................ 5
1.2 Đạo hàm................................................................................... 5
1.2.1 Định nghĩa.....................................................................5
1.2.2 Tính chất.......................................................................6
1.2.3 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm..............................6
1.3 Định lí Rolle.............................................................................. 7
1.4 Định lí Lagrange....................................................................... 7
1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai...................................................... 7
1.5.1 Định nghĩa.....................................................................7
1.5.2 Định lí...........................................................................8
1.5.3 Biểu diễn hàm lồi và lõm...............................................8
1.5.4 Định lí Karamata...........................................................8
1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số....................9
1.6.1 Định nghĩa.....................................................................9
1.6.2 Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên
một đoạn [a;b] bằng đạo hàm.....................................10
2 Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ
phương trình
11
2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K.........................11
2.2 Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)..........16

2.3 Hệ phương trình..................................................................... 25

3


2.4 Áp dụng định lí Rolle............................................................. 38
2.5 Bài tập.................................................................................... 41
3 Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức44
3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số....................................... 44
3.2 Áp dụng định lí Lagrange và định lí Karamata......................58
3.3 Bài tập.................................................................................... 64
Kết luận

66

Tài liệu tham khảo

67

4


Mở đầu
Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn, xun
suốt chương trình phổ thơng. Nhiều bài tập nếu giải bằng phương
pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên nếu biết sử dụng
phương pháp hàm số thì các bài tập đó sẽ được giải quyết dễ dàng
hơn
Hơn nữa một số năm gần đây trong các đề thi đại học cao đẳng; thi

học sinh giỏi thường xun gặp các bài tốn về phương trình, hệ
phương trình, bất đẳng thức vận dụng phương pháp hàm số. Chính vì
vậy việc trang bị cho học sinh kỹ năng ứng dụng hàm số để giải
phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức là rất cần thiết, giúp các
em tự tin hơn trong các kỳ thi, nên tôi đã chọn đề tài "Ứng dụng
đạo hàm trong chứng minh
bất đẳng thức và giải phương trình, hệ phương trình " với
mục
đích
- Trang bị cho học sinh về phương pháp giải phương trình, hệ phương
trình , chứng minh bất đẳng thức bằng ứng dụng hàm số.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó,
học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
Do quá trình nghiên cứu, biên tập còn nhiều hạn chế nên nội dung
cũng như cách trình bày trong luận văn chắc chắn cịn nhiều thiếu xót,
rất mong các thầy cơ và bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận
văn được hồn thiện.
Nội dung chính của khóa luận bao gồm:
⋄ Chương 1: Kiến thức cơ sở
⋄ Chương 2: Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ
phương trình
⋄ Chương 3: Ứng dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người đã trực tiếp hướng dẫn
và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ

giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại
Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học
tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 20 tháng 3 năm 2015.
Học viên
Nguyễn Thị Nhài


Chương 1

Kiến thức cơ sở
1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến
⊂ K R(K là
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên
khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
Hàm
y
đồng
biến
(tăng)
trên
vớivới
mọi
cặp
xx11,, số
xxsố
K

xx11 <
xxbiến
fbiến
(x
<
(x
).
2 thuộc
2 thì
Hàm
đồng
biến
hoặc
KK22được
gọi
chung
Hàm
số
y=
= f(x)
f(x)
nghịch
(giảm)
K nếu
mọilà hàm
cặp
K mà
mà
(x11))trên

> fftrên
(x
).nếu
2 thuộc
2 thì f
số
đơn điệu trên K.
(Trích SGK 12 – Nhà XBGD - 2007)
1.2 Đạo hàm
1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
xo ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim f (x) − f
(xo) x −
o
xo
x→x

thì giới hạn đó được gọi
là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
điểm xo và kí hiệu là f ′ (xo ) (hoặc y ′ (xo )), tức là
f ′ (xo

) = lim
x→x
o

f (x) − f
(xo) x −
xo .

Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và
xo ∈ (a; b).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim f (x) − f
(xo) x −
xo

x→x+
o


thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại
điểm
+
xo và kí hiệu là f′(x
o ).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

li f (x) − f
(xo) x −
m
x→x
xo
−
o
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại

điểm
xo và kí hiệu là f ′ (x−o ).
Định nghĩa 1.4. Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên
khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng
đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a;b] nếu
nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (a;b) và có đạo
hàm bên phải tại a, có đạo hàm bên trái tại b.
1.2.2

Tính chất

Định lí 1.1. Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm
tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có
(u ± v)′ = u′ ± v′.
(u.v)′ = u′v + uv′.
u
u v − uv
), = ′
′ (v = v(x) ̸= 0).
v
v
Định lí 1.2. Nếu hàm số u = g(x) có đạo
hàm tại x là u′x và
′
hàm số y = f (u) có đạo hàm
tại u là y u thì hàm hợp y = f
(g(x)) có đạo hàm tại x là y′x = y′u.u′x.
1.2.3

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí 1.3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f ′ (x) > 0 ′với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến
trên K. Nếu f (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x)
nghịch biến trên K.
Định lí 1.4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu f ′(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
Nếu f ′(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f ′ (x) = 0 chỉ tại một số
hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.


1.3 Định lí Rolle
Định lí 1.5. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và
có đạo hàm tại mọi x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) = f(b) thì
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f’(c)=0.
Hệ quả
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
trên khoảng (a;b). Khi đó, nếu phương trình f’(x) = 0 có khơng
q n-1 nghiệm phân biệt trên khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = 0 có khơng q n nghiệm phân biệt trên khoảng đó.
1.4 Định lí Lagrange
Định lí 1.6. Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và
có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm
c ∈ (a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a).
1.5 Hàm lồi, lõm khả vi bậc hai
1.5.1

Định nghĩa

Ta ký hiệu I(a; b) ⊂
R là một tập hợp có một trong bốn dạng tập hợp
sau: (a; b), [a; b), (a; b] và [a; b].
xta
b)
vàb)với
mọi
cặp
số
dương
α,2)βđược
cóαf
tổng
β=
1, x
2 ∈ I(a,
đều
có Định
nghĩa
1.5.
số
(x)
gọi
trên
tập
I(a,
nếu
với

mọiHàm
f (αx
≤
(x1) αlà
++lồi
βf
(x21,
).
1 +f βx
(1.1)
Nếu dấu đẳng thức trong (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói
hàm
số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên I(a; b).
Hàm số f (x) được gọi là lõm trên tập I(a; b) nếu với∈mọi x1, x2
I(a, b)
và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều có
f (αx1 + βx2) ≥ αf (x1) + βf (x2).
(1.2)
dấuhàm
đẳng
(1.2)
ra sự
khi(chặt)
và chỉtrên
khi I(a;
x1 =b).
x2
thìNếu
ta nói
sốthức

f (x) trong
là hàm
lõmxảy
thực


1.5.2

Định lí

Định lí 1.7.
Nếu f(x) là hàm số khả vi trên I(a;b) thì f(x) là hàm lồi trên
I(a;b) khi và chỉ khi f’(x) là hàm đơn điệu tăng trên I(a;b).
Định lí 1.8. Nếu f (x) khả vi bậc hai trên I(a; b) thì f (x) lồi
(lõm) trên
I(a, b) khi và chỉ khi f ′′(x) ≥ 0(f′′(x) ≤ 0) trên I(a, b).
1.5.3

Biểu diễn hàm lồi và lõm

Nếu f (x) lồi khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp x0, x ∈ I(a; b), ta
đều
có
f (x) ≥ f (x0) + f′(x0)(x − x0).
(1.3)
Dễ nhận thấy rằng (1.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x. Vậy ta có thể
viết dưới dạng f (x) min
(1.3)
=
[f (u) + f′(u)(x − u)] .

u∈I(a;b)

∈
Nếu f (x) lõm khả vi trên I(a; b) thì với mọi cặp
x0, x
ta đều
có

I(a; b),

f (x) ≤ f (x0) + f′(x0)(x − x0)
(1.4)
Dễ
nhận
thấy
rằng
(1.4)
xảy
ra
đẳng
thức
khi
x
=
x.
Vậy
ta
có thể
0
viết dưới dạng f (x) =

(1.4)
max
[f (u) + f′(u)(x − u)] .
u∈I(a;b)

1.5.4

Định lí Karamata

Định
1.9.
(Bất
Karamata).
Cholíhai
dãy
số đẳng
{xk, ykthức
∈ I(a;
b), k = 1, 2, ..., n} , thỏa mãn các điều
kiện
x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn, y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn và


x1 ≥ y1
...

(1.5)


xxy11 +

+ x2+≥
+
1

·+
x·2 y·+
· · x·n−1
+ x≥n y=
y1 y+
y2 ·+· ··′′+
··
1 +
2 +
+n−1ynxx12+
Khi đó, ứng
 với mọi hàm lồi thực sự f (x), (f (x) > 0) trên
I(a, b), ta đều có
y2


f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + · · · + f (yn).
(1.6)
Ta cũng có phát biểu tương tự đối với hàm lõm bằng cách đổi
chiều dấu
bất đẳng thức.
Chứng minh
Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi


[n

f (x1)+f (x2)+ +f (xn) = min ∑
i=
··
f (t1)
t1,...,tn∈I(a,b)
·
1

∑i

f (xi − t1)f′(ti)] .

n
=1

+
Khơng mất tính tổng qt, ta giả thiết bộ số

(1.7)

t1, ..., tn ∈ I(a, b)
cũng là một bộ số giảm, tức là
t1 ≥ t2 ≥ ... ≥ tn.
Khi đó, để chứng minh (1.7), ta chỉ cần chứng minh
rằng
x1f′(t1)+x2f′(t2)+...+xnf′(tn) ≥ y1f′(t1)+y2f′(t2)+...+ynf′(tn). (1.8)
Sử dụng biến đổi Abel
x1f′(t1) + x2f′(t2) + ... + xnf′(tn)
= S1[f′(t1) − f′(t2)]+S2[f′(t2) − f′(t3)]+...
+Sn−1[f′(tn−1) − f′(tn)]+Snf′(tn)

(1.9)

với Sk(x) := x1 + x2 + ... + xk.
Vì rằng f ′′(x) > 0 nên f ′ (x k ) ≤ f′(xk−1).
Mặt khác, do Sk(x) ≥ Sk(y)(k = 1, 2, ..., n 1) và Sn(x) = Sn(y), ta thu
được ngay (1.8).
(Bất đẳng thức định lí và áp dụng
– GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu - 2006)
1.6 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1.6.1

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập
⊂ D R.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên
tập D
f (x) M với mọi x thuộc D và tồn tại xo D sao cho f
≤ nếu
(xo) =
M. Kí hiệu M = max f (x).
[a;b]

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D
nếu


f (x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại xo
= m. Kí hiệu m = min f (x).

[a;b]

D sao cho f (xo)


1.6.2

Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a;b] bằng đạo hàm

Bước 1.
Tìmf’(x)
cáckhơng
điểm xxác
..., xn trên khoảng (a;b), tại đó
1, x2,định.
f’(x)=0
hoặc
Bước 2. Tính f(a),f (x1), f (x2), ..., f (xn), f (b).
Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta
có
M = max f (x); m = min f (x).
[a;b]

[a;b]


Chương 2

Ứng dụng đạo hàm trong giải

phương trình và hệ phương
trình
2.1 Phương trình có dạng f(x) = c, với x thuộc K
+ Nhẩm được một nghiệm x = x0
+ Chỉ ra được f(x) đơn điệu trên K
+ Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = x0.
Bài tập 2.1. Giải phương trình
√
√
x+1=5−2 x+4
Lời giải

(2.1)

Điều kiện x ≥ −1√
√
x + 1 + x√+ 4 = 5
Phương trình ⇔ √
Xét hàm số f(x) 2
x + 4 liên tục trên [−1; + ∞)
x+1+
=
1
2
1
f’(x) = √
+√
> 0 ∀x ∈ (−1; +∞)
x+4
2 x+1

suy ra f(x) đồng biến trên [1; +
∞).
Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Nhận xét:
Kinh nghiệm khi nhẩm nghiệm ta thường nhẩm các nghiệm
trong tập xác định và làm cho các căn thức có thể khai căn
được hoặc triệt tiêu.
Bài này có thể làm theo phương pháp bình phương hai vế ,
nhưng sẽ dài hơn. Ta cũng có thể làm bằng phương pháp nhân
liên hợp.
Bài tập 2.2. Giải phương trình
√
√
√
3
2
2x + 3x + 6x + 16 = 2 3 + 4 − x
Lời giải

(2.2)


Điều kiện −2 ≤ x ≤ 4
Khi đó phương trình (1)
√
⇔

√ 3
2x + 3x2 + 6x

+√ 16 −

√
4−x
Xét
hà
m
số
f(x)
=
[2;4]
.

√
=23
2x3
+
3x2

4−

x
liên
tục
trên
đoạ
n

+
6x

+
16
−

f’(x) =√
6x + 6

3(x2 + x +
1)

2x3 + 3x2 +
+

√
>
2 4−x

0 ∀x ∈ (−2; 4)
Suy
f(x)f(1)
đồng
iến
trên
[-2;4].
Mặt ra
khác
=b
2√3
Vậy phương trình có
nghiệm duy nhất x = 1.

Nhận xét:
Biểu
thức
trong
căn
cồng
kềnh,
nếu sử dụng
các
phương
pháp khác sẽ
phức
tạp
trong
việc
biến đổi, bằng
cách loại trừ
ta sẽ nghĩ đến
phương pháp
hàm số.
Bài tập 2.3. Giải
phương trình


√
√
x+ x−5+
√
√
x+7+ x+

16 = 14
(2.3)
Lời giải
Điều kiện x ≥ 5
Nhận
thấynghiệ
x =m9 c ủa
là
một
√
√
phương
trình
√
√x x . x +
Xét
16
hàm
+ liên tục
số f(x) 5 7
=
+ trên [5;
x+
+ 1 +∞)
1 1
1

f’(x) = √ + √
2+x√−
√ x

+ 2
5
2>x0+∀x
7 ∈ (5;x
+
16
+∞).
Suy ra hàm số f(x)
đồng biến trên [5;
+∞).
Do đó phương trình
(2.3) ⇔ f (x) = 14 có
nghiệm duy nhất x =
− 9.
Bài tập 2.4. Giải
phương trình
√

5
x
3

−

√

3

2
x

−
1
+
x
=

1

+


Vậy phương trình
(2.4) có nghiệm duy
nhất x =1.

4
(2.4)
Lời
gi 1
ải √3

5
Đi
ều
kiệ
nx
≥
Nhận thấy x = 1 là một
nghiệm của phương trình
(2.4)

Xét
hàm
số
f(x)
=
√ − 2x − 1 +√x liên
tục trên [ 3 ;
15 +∞)
5
1
1
5+
√
x

3

2

√

3

+
; +∞)
+1>0
∀x ∈ (√3

f’(
x)

=
√
3

2

−

3

(2x 1)2
5
(
)
do đó−f(x) đồng biến
1
trên 1
3

√3 ;
+∞5
.


Bài tập 2.5. Giải phương trình
√
√
√(x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 = 4 − √(x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2
(2.5)
Lời giải

1
Điều kiện x ≥
Khi đó phương2trình (2.5)
√
√
√
√
⇔ x + 2( 2x − 1 − 3) = x + 6( 2x − 1 − 3) = 4
√
√
√
⇔ ( 2x − 1 − 3)( x + 2 + x + 6) = 4
4
√
=
√
⇔ ( 2x − 1 − 3)
x + 2 √x + 6)
(
√
√+
√
⇔ 2x − 1 − 3 = x + 6 − x + 2
√
√
√
⇔ x + 6 − x + 2 − 2x − 1 = −3
√
√
√

1
Xét hàm số f(x) = x + 6 − x + 2 − 2x − 1 liên tục trên [ ; +∞)
2
f’(x) = √
− √
−√
<0 ∀ x ∈ ( ; +∞)
[
1
1
1
2 x+6 2 x+2
1 2x − 1
)

2
1

Suy ra f(x) nghịch biến trên

; +∞ .
2
Mặt khác f(7) = - 3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.
Bài tập 2.6. Giải phương trình
√
3x − 5 − 4x = 3 − x3
7

(2.6)

Lời giải
5
Điều
kiệntrình
:x≤
Phương
tương
4 đương
√
3x7 + x3 − 5 − 4x = 3
7

3

Xét hàm số f(x) = 3x + x − √5 − 4x liên tục trên (−∞;

5
4

(2.6.1)
]


2
f’(x) = 21x + 2x + √
6

2

> 0 ∀x ∈ (−∞;

5 −(4x

suy ra f(x) đồng biến trên −∞;

5

]

4
5

4

]

.


Nhận thấy x =1 là một nghiệm của phương trình (2.6.1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.
Bài tập 2.7.
Giải phương trình
2(x − 2)

(

√3

4x − 4 +

√

2x − 2) = 3x − 1

(2.7)

Lời giải
Điều kiện x ≥ 1
√
√
3
Từ điều kiện suy ra vế phải >0 nên vế trái >0, mà 4x
−
2x − 2 > 0.
4+
Do đó x > 2.
Phương trình (1) tương đương
√3
√
3x − 1
4x −4 + 2x 2 =
2(x − 2)

(2.7.1)

Ta thấy (2.7.1) có ng√hiệm x=3. √
Xét hàm số f (x) = 3 4x − 41 + 2x − 2 liên tục trên (2, +∞)
4

1
f ′ (x) = √
3 3 (4x −
+√
> 0 ∀x ∈ (2, +∞)
2
2x − 2
4)
suy ra f(x) đồng biến trên (2, +∞).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.
Bài tập 2.8. Giải phương trình:
5
√
3 3 − 2x 2x − − 2x = 6
+√
1
Lời
1
giải
2
≤
Điều
3
kiện
2
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (2.8)

√
5

1 3
Xét hàm số f (x) = 3 3 − 2x + √
− 2x liên tục trên ( ; ]
2 2
2x − 1
(
)

(2.8)


f ′ (x)
=

3−3
−
√2x

− √(2x −

1

3
3
5 1)
− 2 < 0 ∀x ∈ ;
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1 3 duy nhất x = 1.
Hàm số f(x) nghịch biến trên ( 2; 2].

Bài tập 2.9. Giải phương trình
√
√
√
3 x + 1 + x + 6 + x − 2 = 10

(2.9)

Lời giải
Điều kiện x ∈ [2; +∞)
Nhận thấy x = 3 là m ột nghiệm của phươn g trình (2.9)
√
√6 +
Xét hàm số: f (x) = √
3
x+1+ x+
x − 2 liên tục trên
[2; +∞)
1
1
Đạo hàm :f′(x)
√
√3
+ √
> 0, ∀x > 2
=
2 x−
+
2 x+1 2 x+

∞
6
2
Do đó hàm số f (x) đồng biến trên [2; + ).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 2.10. Giải phương trình :
√
√
√
x+6+ x−2− 4−x=3

(2.10)

Lời giải
Điều kiện x ∈ [2 ; 4]
Nhận thấy x =3 là m ộtnghiệm của phươ ng trình (2.10)
√
√
√
Xét hàm số: f(x)
x+6
x − 2 4 − x liên tục trên [2 ; 4]
=
+
− 1
1
1
f’(x)= √
+ √
+ √

> 0 ∀x ∈ (2; 4)
2 x+6 2 x−2 2 4−x
suy ra f(x) là hàm số đồng biến trên [2 ; 4].
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 2.11. Giải phương trình sau:
(
)
(
)
8log2 x2 − x + 5 = 3 x2 − x + 5

(2.11)

Lời giải
Nhận xét: Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống
như hai câu trên mà ta phải biến đổi để tìm được hàm số mà
ta muốn xét.
3
2 2
(2.11) log−(x
x + 5)
− x + 5 > e > 0 ∀x ∈ R )
( do x2
⇔
x2 − x + 5
8
=
Đặt t = x2 − x + 5 với t > e, thì phương trình trên trở thành:

log2t
Xét hàm số: f (t) =

3

log2t
t

t

với t > e

=
8

( 2.11.1)


ln
Ta tcó f ′(t) =

1−
< 0 ∀t > e
t2 ln 2