Luận văn thạc sĩ về nguyên lý địa phương toàn cục cho dạng toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM THỊ HƯƠNG

VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO
CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

PHẠM THỊ HƯƠNG

VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO
CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT
SỐ Mã số:
60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐÀO PHƯƠNG BẮC

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Đào
Phương Bắc. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và
chân thành nhất tới Thầy. Người đã cho tôi biết muốn làm khoa học
thì phải học, phải đọc như thế nào. Được làm việc dưới sự hướng dẫn
của Thầy, tôi thấy mình trưởng thành hơn rất nhiều. Thầy cũng là
Người đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra và
giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cơ trong khoa
Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc
Gia Hà Nội về những kiến thức, những điều tốt đẹp mà tơi đã nhận
được trong suốt q trình học tập tại Khoa. Tơi cũng xin gửi lời cảm
ơn đến Phịng Sau Đại học của nhà trường đã tạo điều kiện cho tơi
hồn thành các thủ tục trong học tập và bảo vệ luận văn này.
Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân
và bạn bè. Những người luôn bên cạnh động viên ủng hộ tôi cả về vật
chất và tinh thần trong cuộc sống và học tập.
Mặc dù bản thân tơi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này
vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, ngày 28 tháng 05 năm 2017

Phạm Thị Hương

1

Mục lục
1 Nguyên lý Hasse - Minkowski cho các dạng tồn phương 5
1.1 Trường p-adic.................................................................5
1.2 Kí hiệu Hilbert................................................................11
1.3 Dạng tồn phương trên Qp và trên Q.............................14
1.3.1 Dạng toàn phương...............................................14
1.3.2 Dạng toàn phương trên Qp............................................ 16
1.3.3 Dạng toàn phương trên Q.....................................17
2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ
các dạng tồn phương
20
2.1 Phản ví dụ của Lind và Reichardt..................................20
2.2 Phản ví dụ của Birch và Swinnerton-Dyer......................22
2.3 Họ các phản ví dụ của W. Aitken và F. Lemmermeyer....23
2.3.1 Cách tham số hóa đường conic............................24
2.3.2 Nghiệm modulo một số nguyên tố lẻ...................26
2.3.3 Nghiệm modulo lũy thừa một số nguyên tố.........27
2.4 Mật độ các phản ví dụ của nguyên lý Hasse..................32
2.5 Lời giải một số bài tập liên quan....................................35


Danh mục các kí hiệu
1. P: tập hợp các số nguyên tố.
2. Fq: trường hữu hạn có q phần tử.
3. Q: trường các số hữu tỉ.
4. Z: vành các số nguyên.
5. Z/m: vành các số nguyên modulo m.
6. Zp: vành p-adic.
7. Qp: trường p-adic.
8. .

9. .

x

Σ: kí hiệu Legendre của x, trong đó p là một số ngun tố.

p
L/K

Σ: kí hiệu Artin.

p

10. OK : vành nguyên của trường số K.
11. Gal(L/K): nhóm Galois của mở rộng K ⊂ L.

2


Lời mở đầu
Cho một hệ phương trình đa thức thuần nhất với hệ số trong Q.
Câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu hệ phương trình này có nghiệm hữu tỷ
(các tọa độ đều thuộc
Q) hoặc nghiệm nguyên (các tọa độ đều ngun) hay khơng? Tiếp
đến khi đã có nghiệm thì liệu tập nghiệm ”nhiều” đến mức độ nào?
Một kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này là nguyên lý địa
phương-tồn cục, hay ngun lý Hasse- Minkowski (đơi khi chỉ gọi
đơn giản là nguyên lý Hasse). Nguyên lý khẳng định một dạng tồn
phương với hệ số hữu tỷ có nghiệm khơng tầm thường trên Q khi và
chỉ khi nó có nghiệm khơng tầm thường trên mọi trường p-adic Qp

cũng như trên R. Câu hỏi tiếp theo được đặt ra là liệu ngun lý
Hasse cịn đúng khơng nếu ta thay một dạng toàn phương bởi một hệ
các dạng toàn phương, hoặc thay vì xét dạng tồn phương, ta xét các
dạng có bậc cao hơn. Ta biết câu hỏi này sẽ có câu trả lời phủ định
theo các phản ví dụ của E. Selmer (xem [10], đối với dạng bậc ba 3x3
+ 4y3 + 5z3 = 0), hoặc hệ hai dạng tồn phương (Lind-Reichardt, tìm
ra độc lập và gần như đồng thời, xem [6], [9]). Sau đó cịn có nhiều
phản ví dụ khác về hệ các dạng tồn phương có thể tìm thấy trong
[5], [13], [8], v.v...
Mục đích của luận văn là tìm hiểu chứng minh của nguyên lý
Hasse và những phản ví dụ liên quan, đặc biệt là lớp các phản ví dụ
của W. Aitken, F. Lemmermeyer (xem [2]).
Chương 1 tác giả trình bày trình bày sơ lược về số p-adic, sơ lược
chứng minh nguyên lý Hasse cho các dạng tồn phương. Vì sự phức
tạp của chứng minh, tác giả cần thừa nhận khẳng định quan trọng về
ký hiệu Hilbert (xem Định lý 1.2.5), sau đó trình bày cơng việc này
trong phần chứng minh Định lý 1.3.11.
Chương 2 tác giả điểm qua một số phản ví dụ của nguyên lý
Hasse-Minkowski khi ta xét hệ các dạng tồn phương thay vì chỉ xét
một dạng toàn phương. Mở đầu chương này tác giả trình bày phản ví
dụ cổ điển của Lind và Reichardt, sau đó là phản ví dụ của
Swinnerton-Dyer (xem mục 2.2). Phần chính của chương này dành
cho việc trình bày họ các phản ví dụ cho bởi W. Aitken, F.
Lemmermeyer (xem [2]) là mở rộng trực tiếp của phản ví dụ LindReichardt. Cụ thể phản ví dụ được cho như sau.
Định lý 1. Ta xét hệ phương trình diophantine có dạng


u2 − qw2
=



dz 2
2



uw

=v ,

(1)


trong đó
(1) q ∈ P sao cho q ≡ 1(8),
(2) d ƒ= 0, khơng có ước chính phương
và q ‡ d, (3) d ∈ F∗q 2 \ F∗q 4 ,
(4) q ∈
F4

p

với mọi p là ước nguyên tố lẻ của d.

Khi đó hệ phương trình nói trên vi phạm ngun lý Hasse, nghĩa là
hệ có nghiệm trong Qp với mọi p ∈ P, hệ có nghiệm thực nhưng hệ
khơng có nghiệm hữu tỉ. (Lưu ý khi nói đến nghiệm ta chỉ xét các
nghiệm không tầm thường).
Bổ đề 2.3.11 cho thấy điều

kiện d ∈/

F4∗ đưa ra để đảm bảo hệ phương trình
q

khơng có nghiệm trên Q. Ngồi ra để chỉ ra hệ có nghiệm trên mọi
trường p-adic Qp, đầu tiên ta cần khẳng định hệ có nghiệm theo mọi
modulo p, hay nói cách khác hệ có nghiệm trên trường hữu hạn Fp.
Điều này được trình bày ở Mục 2.3.2 cho các số nguyên tố lẻ. Tiếp
đến ta cần chứng minh tồn tại nghiệm mạnh cho modulo mọi lũy
thừa của p (xem Mục 2.3.3). Các điều kiện còn lại trong Định lý được
đưa ra để đảm bảo sự tồn tại các nghiệm mạnh. Nhận xét rằng họ
các phản ví dụ của Aitken-Lemmermeyer nhiều vô hạn theo nhận xét
sau.
Với d = 2, mỗi số nguyên tố q ≡ 1 (mod 8) thỏa mãn: 2 là bình
phương nhưng khơng là lũy thừa bậc 4 modulo q (ví dụ q = 17). Bằng
việc sử dụng Định lý mật độ Chebotarev cùng một số tính tốn cho kí
hiệu Artin, ta biết tập
1
số ngun tố đó là vơ hạn và có mật
trong tập các số ngun tố. Nói
8 độ
riêng
trong [2] Aitken và F. Lemmermeyer đã cung cấp một họ vơ hạn các
phản ví dụ kiểu Lind-Reichardt. Chi tiết cho nhận xét được tác giả
trình bày ở mục 2.4
Phần cuối của chương này tác giả trình bày lời giải một số bài tập
đưa ra trong [2] và làm rõ một số lưu ý trong bài báo [2].
Hà Nội, ngày tháng năm 2017
Sinh viên

Phạm Thị Hương


Chương 1

Nguyên lý Hasse Minkowski cho các dạng
toàn phương
1.1

Trường p-adic

Trong mục này tác giả điểm qua một số chi tiết trong việc xây dựng các
số
p-adic.
Với mọi n ≥ 1, đặt An = Z/pnZ là vành các lớp số nguyên modulo pn,
trong đó p là một số nguyên tố cho trước. Xét đồng cấu
φn : An → An−1, x + pnZ ›→ x + pn−1Z.
Nhận thấy đây là một toàn ánh và hạt nhân của nó là pn−1An. Khi đó
dãy các đồng cấu
. . . → An → An−1 → . . . → A2 → A1
lập thành một hệ xạ ảnh với tập chỉ số là Z≥1.
Định nghĩa 1.1.1. Vành các số nguyên p-adic Zp là giới hạn xạ ảnh của hệ
{(An, φn)} được cho như trên
Zp = lim Z/pn.
←−


Nhận xét 1.1.2. Một phần tử thuộc Zp = lim(Z/pn, φn) là một dãy hình thức
← −
n

x = (. . . , xn , . . . , x1 ) trong đó xn ∈ Z/p và φ n (xn ) = xn−1 với n ≥ 2. Các phép
toán cộng và nhân trên Zp được thực hiện trên từng tọa độ
x + y = (. . . , xn + yn, . . . , x1 + y1),
xy = (. . . , xnyn, . . . , x1y1).
Mệnh đề 1.1.3. (a)Một phần tử của Zp (tương ứng trong Z/pn) là
khả nghịch khi và chỉ khi nó khơng chia hết cho p.
(b)Nếu kí hiệu Z∗p là nhóm các phần tử khả nghịch của Zp thì mọi phần tử
khác
0 của Zp đều có thể viết dưới dạng pn u với u ∈ Z∗p và n ≥ 0.
Chứng minh. (a) Theo giả thiết Zp = lim(Z/pn, φn), mỗi phần tử x ∈ Zp
khi và
chỉ khi nó có
dạng

←−
x = (. . . , xn, . . . , x2,
x1),

trong đó xn ∈ Z/pn và xn ≡ xm (mod pm) nếu m ≤ n. Giả sử x ∈ Zp và
không chia hết cho p. Thế thì x1, x2, . . . , khơng chia hết cho p.
0 (mod p) sao cho:
Nếu x1 ƒ≡ 0 (mod p), thì tồn tại duy
nhất y1 =ƒ
x1y1 ≡ 1 trong
Z/p.
Ta chỉ ra tồn tại y2 ∈ Z/p2 sao cho:
x1y1 ≡ 1 (mod p2) và y2 ≡ y1 (mod p).
Thật
vậy,







x2 ≡ x1

(mod p),

p ‡ x1 ,

kéo theo p ‡ x2, suy ra (x2, p) = 1. Vậy tồn tại y2 ∈ Z/p2 sao cho x2y2 ≡ 1
(mod p2).
Mặt khác,
x2 ≡ x1 (mod p)
⇒ x2 = x1 + pa
⇒ (x1 + pa)y2 ≡ 1 (mod p2)
⇒ x1y1 ≡ 1 (mod p)


⇒ y2 ≡ y1 (mod p).


Lặp lại thủ tục này ta có
xnyn = 1( trong Z/pn) và yn ≡ ym (mod pm).
(b) Với x ∈ Zp, x ƒ= 0, tồn tại n lớn nhất sao cho xn ≡ 0 trong Z/pn. Ta có
x = pnu với u = p−n(. . . , xn+2, xn+1, 0, 0, . . . , 0), suy ra u ‡ p hay u ∈ (Zp)∗.
Với x là một phần tử khác không của Zp, x = (. . . , xn, . . . , x2, x1)
và ta xét n là số lớn nhất sao cho xn = 0. Thế thì x = pn u với u ∈ Z∗p .

Khi đó số nguyên n được gọi là định giá p-adic của x và kí hiệu là
vp(x). Đặt vp(0) = ∞ và ta có
vp(xy) = vp(x) + vp(y), vp(x + y) ≥ inf(vp(x), vp(y)).
Trên Zp ta trang bị một tôpô tự nhiên sau: Từng không gian (Z/pn) gồm

pn điểm ta xét tơpơ rời rạc. Khi đó Zp là tập con đóng của khơng
gian
n
tích n≥1(Z/p ) và được trang bị tơpơ cảm sinh từ tơpơ tích.
Mệnh đề 1.1.4. (xem [11, Prop. 3, trang 12]) Tơpơ trên Zp có thể
định nghĩa bởi khoảng cách như sau
d(x, y) = e−vp(x−y).
Không gian Zp là một khơng gian mêtric đầy đủ và Z trù mật trong
nó. Ở đây phép nhúng từ Z vào Zp được cho bởi:
a ∈ Z ›→ ([a]pn := a + pnZ)
∈ Z p.
n≥
1

Định nghĩa 1.1.5. Trường số p-adic, kí hiệu Qp, là trường các thương của
vành
Zp.
Cho phương trình
F (x1, . . . , xm) = 0,

(1.1)

trong đó F ∈ Z[x1, . . . , xm] là một đa thức thuần nhất với hệ số trong
Z có bậc d dương. Một bộ gồm m tọa độ (a1, . . . , am) được gọi là
nghiệm khơng tầm thường của phương trình (1.1) nếu nó thỏa mãn

phương trình đó và có ít nhất một ai khác không. Một phần tử (bộ)
gồm m tọa độ (a1, . . . , am) ∈ Zm được gọi là nguyên thủy nếu ước
chung lớn nhất của a1, . . . , am bằng 1. Tương tự, bộ (a1, . . . , am) ∈ Zm
được gọi là một nghiệm nguyên thủy modulo N của F nếu bộ đó là
nguyên thủy và thỏa mãn phương trình F (a1, . . . , am) ≡ 0 (mod N ).
Nếu F = 0 (mod N ) có nghiệm (a1, . . . , am) với ai khả nghịch
(modulo N ). Gọi a−i 1 là phần tử nghịch đảo của ai trong Z/N hay
ai a−i 1 = 1 (mod N ), khi đó


nhân các tọa độ của (a1 , . . . , am ) với a−i

1

(modulo N ) ta được (a1 a−i 1 , . . . ,

ai−1 a−i 1 , 1, ai+1 a−i 1
cũng là một nghiệm của phương trình (do phương trình
thuần nhất) và UCLN(a1 ai−1 , . . . , ai−1 a−i 1 , 1, ai+1 a−i
1

, . . . , a m a −i 1 ) = 1

nên (a1 a−i 1 , . . . , ai−1 a−i
của
F = 0 (mod N ).

1

, 1, ai+1 a−i 1 , . . . , am a−i 1 ) là một nghiệm nguyên thủy

Mệnh đề 1.1.6. (xem [2, Prop. 4, trang 624]) Cho fi ∈ Z[X1, . . . ,
Xm], i = 1, n là các đa thức thuần nhất với hệ số trong Z. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương:
(1) Hệ có nghiệm nguyên thủy modulo pk với mọi k.
(2) Hệ có nghiệm khơng tầm thường trong Zp.
(3) Hệ có nghiệm khơng tầm thường trong Qp.
Chứng minh. Khẳng định (2) và (3) tương đương do hệ phương trình
là thuần nhất nên tính chất nghiệm khơng thay đổi khi ta nhân vào
nó một số khác khơng.
(2) ⇒ (1): Giả sử (2) thỏa mãn hay phương trình có nghiệm
khơng tầm thường (x1, . . . , xm) trong Zp. Gọi pk là lũy thừa lớn nhất
của p chia hết xi với mọi i = 1, . . . , m. Ta chia xi cho pk với mọi i = 1, .
. . , m, suy ra ta có thể giả sử tồn tại ít nhất một tọa độ khả nghịch
trong Zp. Ta viết xi = (ai1, ai2, . . .). Khi đó, với mỗi k, bộ (a1k, . . . , amk) là
một nghiệm modulo pk. Do xi khả nghịch trong Zp, nên aik khả nghịch
trong Z/pk (trong đó aik ∈ Z là một phần tử khả
nghịch modulo pk). Suy ra (a1ka−1, . . . , amka−1) là nghiệm nguyên thủy modulo
ik

p k.

ik

(1) ⇒ (2): Giả sử (1) thỏa mãn. Ta cần xây dựng ck = (ck1, . . . , ckm) ∈ Zm
sao cho
(i) ck là nghiệm nguyên thủy modulo pk,
(ii) ck+1 ≡ ck (mod pk),
Để chỉ ra điều này ta xét điều kiện (iii) dưới đây
(iii)Với mọi λ ≥ k thì tồn tại nghiệm nguyên thủy modulo pλ đồng dư

với ck
modulo pk (điều kiện mở rộng vô hạn).


Chúng ta sẽ chứng minh tồn tại họ ck =
(ck1 , ..., ckm
(iii) bằng quy nạp theo k.

) ∈ Zm thỏa mãn điều kiện


Đầu tiên ta chứng minh tồn tại c1 thỏa mãn điều kiện (iii). Giả sử
phản chứng mỗi nghiệm nguyên thủy modulo p đều không mở rộng
được ra vô hạn. Khi lấy sai khác modulo p chỉ có hữu hạn nghiệm
nguyên thủy modulo p. Ứng mỗi nghiệm nguyên thủy modulo p này,
tồn tại λc > 0 để không tồn tại nghiệm nguyên thủy cJ modulo pλc sao
cho cJ ≡ c (mod p). Khi đó ∀λ ≥ λc, cũng khơng tồn tại nghiệm nguyên
thủy cJ (mod pλ ) sao cho cJ ≡ c (mod p). Vì chỉ có hữu hạn nghiệm sai
khác modulo p nên tồn tại λ lớn hơn mọi λc . Theo giả thiết tồn tại một
nghiệm nguyên thủy c ≡ c (mod pλ ) nên nghiệm c này cũng là nghiệm
nguyên thủy modulo p nên mâu thuẫn. (Rõ ràng c ≡ c (mod p)). Do đó
tồn tại c1 thỏa mãn điều kiện (iii).
Giả sử tồn tại c1, . . . , cu thỏa mãn ba điều kiện i) với mọi k ≤ u, ii)
với mọi k < u, iii) với mọi k ≤ u. Chọn cu+1 là nghiệm nguyên thủy
modulo pu+1 sao cho cu+1 ≡ cu (mod pu) và điều kiện iii)thỏa mãn với k =
u + 1. Ngược lại, nếu không tồn tại cu+1 thỏa mãn điều kiện iii) thì lặp
lại lập luận ở bước k = 1 suy ra cu cũng sẽ không thỏa mãn điều kiện
(iii). Theo nguyên lý quy nạp chúng ta xây dựng được một dãy c1, c2, .
. . thỏa mãn ba điều kiện i), ii) và iii). Do đó (2) thỏa mãn.
Ta chuyển sang những khẳng định liên quan đến Bổ đề Hensel.

Bổ đề 1.1.7. (xem [11, trang 14]) Cho f ∈ Zp [X] và f J là đạo hàm hình thức
của
f . Đặt x ∈ Zp , n, k ∈ Z sao cho 0 ≤ 2k < n, f (x) ≡ 0 (mod pn ), vp (f J (x)) = k.
Khi đó, tồn tại y ∈ Zp sao cho
f (y) ≡ 0 (mod pn+1 ),

vp (f J (y) = k,

y ≡ x (mod pn−k ).

Chứng minh. Đặt y = x + pn−kz, với z ∈ Zp. Áp dụng công thức khai
triển Taylor ta có:
f (y) = f (x) + pn−k zf J (x) + p2n−2k a với a ∈ Zp nào đó .
Theo giả thiết f (x) = pn b và f J (x) = pk c, b ∈ Zp và c ∈ Z∗p , ta có tồn tại
z sao cho b + zc ≡ 0 (mod p). Thật vậy c ∈ Z∗p nên tồn tại c−1 là
nghịch đảo của c, chọn z = (mp − b)c−1 . Do đó với y = x + pn−k z được
chọn như trên ta có
f (y) = pn b + pn−k zcpk + p2n−2k a ≡ 0 (mod
pn+1 ), f J (y) = f J (x) + pn−k zf ”(x)
= pk c + pn−k zf ”(x) ≡ pk c (mod pn−k )( do n − k > k vì n > 2k).
Thế thì vp (f J (y)) = k.


Định lý 1.1.8. (xem [11, Thm. 1, trang 14]) Cho f ∈ Zp[X1, X2, . .
. , Xm], x = (x1, . . . , xm) ∈ (Zp)m, n, k ∈ Z và j là một số nguyên sao
cho 0 ≤ j ≤ m. Giả sử rằng 0 < 2k < n và
f (x) ≡ 0 (mod pn) và ∂f
) = k.
vp
(∂Xj

Khi đó tồn tại một nghiệm của f trong (Zp)m sao cho f (y) = 0 trong (Zp)m
và
y ≡ x (mod pn−k).
Chứng minh. Đầu tiên ta xét trường hợp m = 1:
Áp dụng Bổ đề trên cho: x = x(0) ∈ Zp , f (x(0)) ≡ 0 (mod pn ), vp (f
(0)
(x ) = k, rút ra tồn tại x(1) ∈ Zp sao cho f (x(1)) ≡ 0 (mod pn+1 ),
vp (f J (x(1) ) = k,
x(1) ≡ x(0)

(mod pn−k).

Lặp lại lập luận này ta xây dựng được một dãy x(0), x(1), . . . , x(q), . . . sao cho
x(q+1) ≡ x(q)

(mod pn+q−k), f (x(q)) ≡ 0 (mod pn+q).

Từ đó suy ra (x(i)) là dãy Cauchy. Do Zp là đầy đủ (theo Mệnh đề
1.1.4) nên tồn tại y = lim x(n), ta có f (y) = 0, y ∈ Zp, y ≡ x (mod
←−
pn−k).
m > 1: Chúng ta sẽ đưa về trường hợp m = 1. Đặt f ∈ Zp[Xj] là
˜
đa thức một
biến đặt được bằng cách lấy Xj = xi với i ƒ= j. Áp
dụng trong
˜ trường hợp m = 1 cho f suy ra tồn tại yj ≡ xj (mod
n−k
p ) sao cho f (yj) = 0. Đặt yi = xi với i ƒ= j suy ra y = (yi) là
˜ f và y ≡ x (mod pn−k).

nghiệm của
Cho g là một đa thức nhiều biến có hệ số trên trường k, một nghiệm x
của
g được gọi là đơn nếu ít nhất một đạo hàm riêng ∂g/∂Xj khác không tại x.
Hệ quả 1.1.9. (xem [11, Cor. 1, trang 15]) Mọi nghiệm đơn thu gọn
modulo p
của đa thức f đều nâng được lên thành một nghiệm của f với
hệ số trong Zp. Chứng minh. Được suy ra trực tiếp từ Định lý
trên với n = 1, k = 0.
Hệ quả 1.1.10. ( xem [11, Cor. 2, trang 15]) Giả sử p ƒ= 2. Cho f
Σ(X) = aijXiXj với aij = aji là một dạng toàn phương có hệ số trong Zp
với biệt thức det(aij) khả nghịch. Cho a ∈ Zp. Khi đó mọi nghiệm


nguyên thủy của phương trình f (x) ≡ a (mod p) đều có thể nâng
thành một nghiệm đúng của phương
trình f (x) = a.
Chứng minh. Vì f (X) =
aijXiXj nên

Σ


 a.11.



. . . a1n
. . . . . . .

∂f
=2
∂Xi





an1 . . . ann.





Σ
j

∂f

aijXj, hay


X1
 ∂X 
1

= .
.

(1.2)



 Xn







∂f 

∂Xn

Do det(aij) ƒ≡ 0 (mod p), suy ra phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất. Mặt
khác nếu
≡ 0 (mod p) với mọi i = 1, . . . , m thì phương trình trên chỉ
∂f
∂xi
có nghiệm tầm thường (X1, . . . , X≡
m) 0 (mod p) (mâu thuẫn với giả thiết
∂f
x = (x1, . . . , xm) là nguyên thủy). Do đó tồn tại ít
ƒ≡ 0 (mod p) hay
nhất
∂x
nghiệm đó khơng phải là nghiệm đơn. Theo Hệ quả trên suy ira điều
phải chứng minh.
Hệ quả 1.1.11. Giả sử p = 2,Σf = aijXiXj với aij = aji là dạng tồn

phương có hệ số trong Z2 và a ∈ Z2. Giả sử thêm x là nghiệm
nguyên thủy của f (x) ≡ a (mod 8). Khi đó có thể nâng x thành
nghiệm đúng miễn là các đạo hàm riêng
∂f
∂X tại x không bị triệt tiêu modulo 4.. Điều kiện cuối cùng này được thỏa
mãn
nếu det(aij) là khả nghịch.
j

Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lý trên với n = 3, k = 1.

1.2

Kí hiệu Hilbert

Trong mục này chúng ta kí hiệu k hoặc là trường số thực R hoặc trường
số
p-adic Qp.
Định nghĩa 1.2.1. Cho a, b ∈ k∗ . Ta đặt
(a, b) = 1 nếu z2 − ax2 − by2 = 0 có một nghiệm (x, y, z) ƒ= 0
trong k3. (a, b) = −1 trong các trường hợp khác.
Số (a, b) = ±1 được gọi là kí hiệu Hilbert của cặp (a, b) trên k.


Định lý 1.2.2. (xem [11, Thm. 1.20]) Đối với các trường thực và padic, ký hiệu Hilbert được cho như sau:
(a)

Nếu k = R, ta có



 (a,



b) = 1 nếu a > 0 hoặc b > 0,

(a, b) = −1 nếu a < 0 và b < 0.


Nếu k = Qp , a = pα u, b = pβ v; u, v ∈ Z∗p , thì

(b)

β

α

(a, b) = (−1)αβε(p) . u Σ .. v Σ

nếu p ƒ= 2,

(a, b) =

nếu p = 2,

p
p
ε(u)ε(v)+αw(v)+βw(u)
(−1)

u
trong đó . u Σ là kí hiệu Legendre . Σ với u là ảnh của u modulo p,
ε(u) =
u−
1

p

u2 − 1

p

Chứng minh. (a): Với k = R,
khẳng định trên là tầm thường. Thật
vậy, giả sử a > 0, khi đó z2 − ax2 − by2 = 0 có nghiệm khơng tầm
√
thường ( a, 1, 0) ∈ R3. Tương tự với b > 0 phương trình có nghiệm
√
khơng tầm thường ( b, 0, 1) ∈ R3.
Suy ra (a, b) = 1 nếu a > 0 hoặc b > 0.
Với a < 0, b < 0, suy ra z2 − ax2 − by2 = 0 khi và chỉ khi x = y = z =
0, suy ra (a, b) = −1.
(b): Với k = Qp, ta cần bổ đề sau.

Bổ đề 1.2.3. (xem [11, Lemma, trang 21]) Cho v ∈ Z∗p , khi đó phương
trình
z2∗− px2 − vy2 = 0 có nghiệm khơng tầm thường (z, x, y) ∈ Q3 sao cho z, y ∈
Z
p

p

và x ∈ Zp.
Chứng minh. Do phương trình z2 − ax2 − by2 = 0 thuần nhất nên nếu
phương trình có nghiệm khơng tầm thường trong Qp thì có nghiệm
ngun thủy (z, x, y) ∈ Zp × Zp × Zp. Giả sử z ≡ 0 (mod p), hoặc y ≡ 0
(mod p). Do z2 −px 2 −vy 2 = 0 kéo theo z 2 − vy 2 ≡ 0 (mod p); v ∈ Z∗p
nên z 2 ≡ 0 (mod p), y 2 ≡ 0 (mod p); do p là nguyên tố nên z ≡ 0
(mod p), y ≡ 0 (mod p), suy ra px2 ≡ 0 (mod p2) hay x ≡ 0 (mod p).
Do đó (z, x, y) khơng là nghiệm ngun thủy, mâu thuẫn.
Quay lại chứng minh của phần (b) của Định lý 1.2.2. Ở đây tác giả
giới hạn chỉ chứng minh cho trường hợp p lẻ, trường hợp p = 2 tác giả
dẫn về tài liệu [11, trang 22].
Trường hợp p ƒ= 2: Do ký hiệu Hilbert (·, ·) : k∗/(k∗)2 × k∗/(k∗)2 →
{±1} là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên F2
(xem [11, Prop. 2, trang 19]), nên ta chỉ cần xét ba trường hợp sau.
1) α = 0, β = 0: phương trình trở thành
z2 − ux2 − vy2 = 0.

(1.3)


Ta sử sụng kết quả sau


Bổ đề 1.2.4. (Trường hợp riêng của Định lý Chavalley-Warning,
xem [11, Corol- lary, trang 6])Mọi phương trình thuần nhất bậc hai
có nhiều hơn hai biến trên trường hữu hạn đều có nghiệm khơng
tầm thường.

Áp dụng Bổ đề 1.2.4 suy ra phương trình (1.3) có nghiệm khơng
tầm thường modulo p. Mặt khác dạng toàn phương
2
− vy

 
1 0 0
z
2
2

z − ux
= z( )x y  0 −u 0 
 
 x


0 0
y
−v
có biệt thức disc(z 2 − ux2 − vy 2 ) = uv ∈ Z∗p . Do đó mọi nghiệm của z 2 −
ux2 − vy2 = 0 (mod p) đều nâng được thành một nghiệm thực sự trên
trường p−adic, hay (u, v) = 1.
2) α = 1, β = 0.
. v
Chúng ta sẽ kiểm tra (pu, v)Σ=
. Do (u, v) = 1 nên (pu, v) = (p, v),
p
suy ra ta chỉ cần kiểm tra (p, v) = ( v ). Nếu v ∈ (Q∗p )2 thì (p, v) = 1
p

với mọi p, suy ra (p, v) = ( vp). Nếu v ƒ∈ Q∗,2, suy ra ( v ) = −1. Theo
p
p
Bổ đề 1.2.3 suy ra
z2 − px2 − vy2 = 0 khơng có nghiệm khơng tầm thường trong Qp vì
ngược lại thì z 2 − vy 2 ∈ Z∗p , z, y ∈ Z∗p mà z 2 − vy 2 = px2 ƒ∈ Z∗p , mâu
thuẫn).
3) α = 1, β = 1.
u
v
Ta phải kiểm tra (pu, pv) = (−1)(p−1)/2
. pΣ. Σ. Ta có (a, b) = (a, −ab) =
p
(a, (1 − a)b) với mọi a, b. Do đó (pu, pv) = (pu, −p2uv) = (pu, −uv). Áp dụng
trường hợp trên ta có (pu, −uv) = . −uv Σ = . −1 Σ. u Σ. v Σ. Mặt khác . −1 Σ =

(−1)

p

p

p

p

p

(p−1)/2 .

Khẳng định sau đây là tổng hợp của nhiều kết quả trong số học
như Định lý Trung Hoa về giá trị thặng dư, Định lý xấp xỉ yếu và Định
lý Dirichlet về tính vơ hạn của số nguyên tố trong cấp số cộng. Khẳng
định này cũng là một chi tiết quan trọng cần đến trong chứng minh
Nguyên lý Hasse-Minskowski.
Định lý 1.2.5. (xem [11, Thm. 4, trang 24]) Cho (ai)i∈I là họ hữu
hạn các phần tử trong Q∗ và đặt (εi,v)i∈I,v∈V là họ các số nhận giá
trị ±1. Để tồn tại x ∈ Q∗ sao cho (ai, x)v = εi,v với mọi i ∈ I và với
mọi v ∈ V , điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa
mãn:


i) Hầu hết mọi phần tử εi,v đều bằng 1 (tức là trừ một số hữu hạn εi,v = −1).

ii) Với mọi i ∈ I ta có
v∈V εi,v = 1.
iii) Với mọi v ∈ V tồn tại xv ∈ Q∗v sao cho (ai , xv ) = εi,v với mọi i ∈ I.


1.3

Dạng toàn phương trên Qp và trên Q

1.3.1 Dạng toàn phương
Định nghĩa 1.3.1. Cho V là một môđun trên vành giao hoán A. Một ánh xạ
Q : V → A được gọi là dạng toàn phương trên V nếu:
1) Q(ax) = a2Q(x) với a ∈ A và x ∈ V .
2) Ánh xạ (x, y) ›→ Q(x + y) − Q(x) − Q(y) là một dạng song
tuyến tính. Cặp (V, Q) được gọi là một mơđun tồn phương.
Trong mục này chỉ giới hạn với vành A là một trường k có đặc số khác 2.

Ta
đặt:

x.y = 1 {Q(x + y) − Q(x) − Q(y)}, với x, y ∈ V.
2

Định nghĩa 1.3.2. (Ma trận của dạng toàn phương) Cho (ei)1≤i≤n là
một cơ sở tùy ý của V . Ta định nghĩa ma trận của dạng toàn
phương Q đối với cơ sở (ei)1≤i≤n là ma trận A = (aij) trong đó aij = ei.ej.
Nhận xét thấy ma trận A là đối xứng.
Nếu chúng ta thay đổi cơ sở (e1 , . . . , en ) thành (eJ1 , . . . , eJn ), và
ma trận AJ của Q đối với cơ sở mới là X T .A.X trong đó X T là ma trận
chuyển của ma trận X. Nói riêng
det(AJ ) = det(A). det(X)2 ,
điều này chỉ ra rằng det(A) được xác định sai khác nhân với một phần tử
của
k ∗2 , nó được gọi là biệt thức của Q và kí hiệu là disc(Q).
Hai phần tử x, y ∈ V được gọi là trực giao với nhau nếu x.y = 0. Tập
các phần tử trực giao của một tập con H của V kí hiệu là H0 là một
khơng gian véctơ con của V . Nếu V1 và V2 là hai không gian véctơ con
của V , chúng được gọi là trực giao nếu V1 ⊂ V 0, tức là nếu x ∈ V1, y ∈
2
V2 suy ra x.y = 0.
0
Phần bù trực giao V của V là chính nó được gọi là căn (hoặc là
hạt nhân) của V và được hiệu rad(V ). Đối chiều của nó được gọi là
hạng của Q. Nếu V 0 = 0 thì chúng ta nói rằng dạng Q khơng suy
biến.
Định lý của Witt. Cho (V, G) và (V J , GJ ) là hai mơđun tồn phương
khơng suy biến; đặt U là không gian véctơ con của V , và

s:U →VJ


là một đơn cấu bảo toàn các dạng Q và QJ từ U vào V J . Câu hỏi đặt
ra là có thể mở rộng đơn cấu s lên tồn bộ không gian U hay không.
Chúng ta bắt đầu với trường hợp U không suy biến:
Bổ đề 1.3.3. Nếu U là khơng suy biến, chúng ta có thể mở rộng s
thành đơn cấu s1 : U1 → V trong đó U1 chứa U như là một siêu
phẳng.
Tổng quát hơn chúng ta có Định lý của Witt sau đây.
Định lý 1.3.4. (xem [11, Thm. 3, trang 31]) Nếu (V, G) và (V J , GJ )
đẳng cấu với nhau và không suy biến thì mọi đơn cấu
s : U −→ V J
của một khơng gian véctơ con U của V có thể mở rộng thành đẳng cấu giữa
VJ
và V.
Σ

Σ

Đặt f (X) = i=n aiiX2i + 2 i1
trên
k; ta đặt điều kiện aij = aji nếu i > j và do đó ma trận A = (aij) là đối
xứng. Cặp (kn, f ) là một mơđun tồn phương, tương ứng với f (hoặc
với ma trận A).
Định nghĩa 1.3.5. Hai dạng toàn phương f và f J được gọi là tương
đương nếu các mơđun tồn phương tương ứng của nó là đẳng cấu
với nhau. Kí hiệu f ∼ f J .
Cho f (X1, X2, . . . , Xn) và g(X1, . . . , Xm) là hai dạng tồn phương; ta kí

hiệu
f + g là dạng toàn phương
f (X1, . . . , Xn) + g(Xn+1, . . . , Xn+m),
với n + m biến. Tương tự chúng ta định nghĩa f − g chính là f + (−g).
Định nghĩa 1.3.6. Một dạng f (X1, X2) với hai biến được gọi là
hyperbolic nếu ta có
f ∼ X1X2 ∼ X21 − X22.
Chúng ta gọi dạng f (X1, . . . , Xn) biểu diễn một phần tử a của k nếu tồn
tại
x ∈ kn, x ƒ= 0, sao cho f (x) = a.


Mệnh đề 1.3.7. (xem [11, Prop. 3, trang 33]) Nếu f biểu
diễn 0 và khơng suy biến, ta có f ∼ f2 + g trong đó f2 là một
dạng hyperbolic. Hơn nữa, f biểu diễn mọi phần tử của k.


Hệ quả 1.3.8. (xem [11, Cor. 2, trang 33]) Cho g và h là hai dạng
khơng suy biến có hạng ≥ 1, đặt f = g − h. Khi đó các tính chất sau
tương đương:
a) f biểu diễn 0.
b) Tồn tại a ∈ k∗ được biểu diễn bởi g và h.
c) Tồn tại a ∈ k∗ sao cho g − aZ 2 và h − aZ 2 biểu diễn 0.

1.3.2

Dạng toàn phương trên Qp

Cho p là số nguyên tố, k là trường p-adic Qp. Cho (V, Q) là một
mơđun tồn phương hạng n và d(Q) = disc(Q) là biệt thức của nó. Khi

e = (e1, e2, . . . , en) là một cơ sở trực giao của V , ta đặt ai = ei.ei, và rút ra
d(Q) = a1 . . . an (trong k∗ /k ∗2 )
Đặt ε(e) = iNếu f là một dạng toàn phương với n biến và nếu
f ∼ a1X2 + · · · + anX2
1

n

thì hai phần tử
d(f ) = a1 . . . an = d (trong k ∗ /k ∗2 ) ,
ε(f ) =



(ai, aj) = ε (thuộc1)

i
±
là những bất biến trong lớp tương đương của f .
Cho f là dạng tồn phương có hạng n, đặt d = d(f ), ε = ε(f ) là
hai bất biến của nó.
Định lý 1.3.9. (xem [11, Theorem 6, trang 36]) Để dạng f biểu
diễn 0 điều kiện cần và đủ là một trong các trường hợp sau xảy ra:
i) n = 2 và d = −1 trong k∗ /k ∗2 ,
ii) n = 3 và (−1, −d) = ε,
iii) n = 4 và d ƒ= 1 hoặc d = 1 và ε = (−1, −1).
iv) n ≥ 5.
(Nói riêng, với mọi dạng ít nhất 5 biến trên Qp đều biểu diễn 0.)

∗
∗2
Hệ quả 1.3.10. (xem [11, Corollary, trang 37]) Cho a ∈
p Q p /Q .
Để f biểu diễn a thì điều kiện cần và đủ là một trong các điều kiện
sau xảy ra: