Luận văn thạc sĩ về phân tích phổ của hệ động lực tô pô

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC
——————–o0o——————–

NGUYEN HỒNG VIfiT

VE PHN TCH PHO
CUA Hfi đNG LUC Tễ-Pễ

LUắN VN THAC S TỐN HOC

Hà N®i - 2019


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC
——————–o0o——————–

NGUYEN HỒNG VIfiT

VE PHN TCH PHO
CUA Hfi đNG LUC Tễ-Pễ

LUắN VN THAC S TỐN HOC
Chun ngành: Tốn giai tích
Mã so: 8460102

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS LÊ HUY TIEN

Mnc lnc
Lài cam ơn

1

Ma đau

1

1 Kien thÉc chuan b%

3

1.1 Tính giãn đong phôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 Tính bóng cna đong phơi . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3 Đong phôi Anosov tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2 Phân tớch pho cua hắ đng lEc tụpụ

23

2.1 Tắp quay lui xích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.2 T¾p őn đ%nh và khơng őn đ%nh . . . . . . . . . . . . . . .29
2.3 Phân tích phő cna h¾ đ®ng lnc tơ-pơ . . . . . . . . . . .35
Ket lu¾n

44

Tài li¾u tham khao

45

i


LèI CAM ƠN
Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n tai Trưịng Đai HQc khoa HQc tn nhiên
- Đai

HQc

Quoc gia Hà n®i và hồn thành dưói sn hưóng dan cna TS.

Lê Huy Tien. Em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac chân thành và
tói thay giáo hưóng dan khoa

HQc

cna mình, ngưịi đã đ¾t van đe

nghiên cúu, dành nhieu tâm huyet, thịi gian hưóng dan và t¾n tình
giai đáp nhung thac mac cna em trong suot q trình làm lu¾n văn.
Em cũng xin trân
khoa

HQ c

TRQNG

cam ơn Ban Giám hi¾u Trưịng Đai

tn nhiờn, Ban Chn nhiắm Khoa Toỏn-C-Tin

HQ c,

HQ c

Bđ

mụn Toỏn giai tích, cùng các giang viên đã tham gia giang day, đã
tao

MQI

đieu ki¾n tot nhat đe em

HQ c

t¾p và nghiên cúu. Đong thịi,

em cũng xin gui lịi cam ơn tói t¾p the lóp cao hQc Tốn

HQ c

(khóa

2016-2018), cam ơn gia đình ban bè đã đ®ng viên và giúp đõ em rat
nhieu trong quỏ trỡnh

HQ c

tắp.
H Nđi, ngy 15 thỏng 11 nm 2019.
HQc viên
Nguyen Hồng Vi¾t

1


Ma au
L%ch su lý thuyet hắ đng lnc bat au đưoc biet đen boi IssacNewton, ngưịi mà đã mơ ta cỏc quy luắt chuyen đng v phỏt hiắn ra
lnc hap dan. Trong lý thuyet cna Newton, các chuyen đ®ng trong mđt
hắ đng lnc oc mụ ta boi cỏc hắ phng trình vi phân. Sau đó,
cuoi the ky 19, Poincaré đã phát trien lý thuyet đ%nh tính phương trình
vi phân. Poincaré nghiên cúu tính chat nghi¾m thay vì tìm đưoc cơng
thúc giai tích cna nghi¾m.
Nhieu năm sau đó, các nhà khoa HQc đã phát trien các lý
thuyet nghiên cúu đ%nh tính hắ đng lnc trong c so lý thuyet tụpụ.
Trong ú, viắc nghiờn cỳu ong phụi gión v búng l mđt chn đe lón
trong nhung năm qua. Tính chat bóng xuat phát tù vi¾c giai so phương
trình vi phân. Tính chat bóng có nghĩa là ton tai m®t quy đao gan m®t
gia quy đao cho trưóc. Tính bóng đưoc nghiên cúu đau tiên boi Anosov,
Bowen, Sinai, các tác gia này đã cho rang nó liên quan đen bài tốn őn đ
%nh ton cuc cna hắ đng lnc. Cỏc tỏc gia ny đeu tiep c¾n tính bóng
bang các phương pháp hình

HQc.

Trong lu¾n văn này, chúng tơi se trình bày van đe “Ve phõn tớch

pho cia hắ đng lUc tụ-pụ . Trong ú, chúng tơi se trình bày chi tiet
ve đong phơi khơng gión v búng cú phõn tớch ph. Nđi dung luắn văn
đưoc chia làm 2 chương. Trong đó,
• Chương 1: Kien thúc chuan b%. Trong chương này, chúng tơi se trình
bày các kien thúc đong phơi giãn cna m®t khơng gian mêtric tơpơ
và các tính chat liên quan, tính bóng cna đong phôi và đong phôi
Anosov tôpô.


ã Chng 2: Phõn tớch ph cua hắ đng lnc tơpơ. Các n®i dung quan
và chúng minh chi tiet ve phân tích phő theo Smale và
Bowen se đưoc trình bày.
TRQNG

Tài li¾u chính đưoc tham khao khao trong khi hồn thành lu¾n văn này
là [2]. Ngồi ra, chúng tơi cũng tham khao các tài li¾u [1], [7].

2


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
Chương này se trình bày m®t so kien thỳc c ban ve hắ đng
lnc, ỏnh xa liên tuc và các tính chat cna h¾ Anosov và ánh xa Anosov
tơpơ. Bên canh đó, chúng tơi cũng trình bày m®t so van đe ve đong
phơi giãn và tính chat gia quy đao. Các tài li¾u chính đưoc tham khao
cho kien thúc o chương này là [2].

1.1

Tính giãn đong phơi

Trong muc này, chúng tơi se trình bày đ%nh nghĩa, tính chat cna
m®t đong phơi giãn. Tù đó dan đen tính chat cna ánh xa giãn dương,
ánh xa c-giãn trên m®t khơng gian mêtric compact. Trong phan này, ta
ln gia thiet khụng gian pha cna mđt hắ đng lnc l m®t đa tap kha
vi.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Tồn ánh liên tnc f : M → N cua m®t khơng
gian mêtric đưac GQI là m®t đong phơi neu nó là m®t đơn ánh và ánh xa
ngưac
f −1 : N → M cũng liên tnc.
Khơng gian mêtric M đưoc GQI là m®t đa tap tơpơ n-chieu neu ton
tai t¾p con mo Ui ⊂ M và đong phôi αi bien tương úng 1-1 moi tắp Ui
thnh mđt tắp con mo cna khụng gian Rn, sao cho {Ui} phn M .
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian mêtric vái mêtric d. Đong phôi


f : X → X đưac
cho

GQI

là đong phôi giãn neu ton tai hang so e > 0 sao


vái x ƒ= y, x, y ∈ X
ta có

d(fn(x), fn(y)) > e,

vái n là so nguyên. Hang so e á đây đưac GQI là hang so giãn cua f .
Hơn nua, tính chat này phn thu®c vào cách CHQN mêtric đoi vái X
khi X là compact.
Ta đưa ra khái ni¾m đ phn thuđc nhay cam vo ieu kiắn ban
au. ieu ki¾n này yeu hơn đieu ki¾n giãn, túc là vói moi x ∈ X,
ton tai δ > 0 và lân c¾n U cna x mà ton tai y ∈ U và n ∈ Z sao
cho d(fn(x), fn (y)) > δ. Tù khái ni¾m này ra suy ra X khơng có
điem cơ l¾p.
X → ra
X tính
có tính
truyen úng tơpơ neu ton tai x0 ∈
X saoĐong
Tiep phôi
theo,fta: đưa
nchat truyen úng tôpô cna m®t đong
phơi. cho quy đao Of (x0 ) = {f (x0) : n ∈ Z} trù m¾t trong X. Vói
khái niắm
ny, ta cú mđt so ket qua sau õy.
%nh lý 1.1.3. Cho f : X → X là đong phôi cua khơng gian mêtric
compact. Khi đó,
(a) Đong phơi f có tính chat truyen úng tơpơ khi và chs khi vái các t¾p má
khác rőng U, V , ton tai so nguyên n ∈ Z sao cho f n (U ) ∩ V ƒ=
∅.
(b)Neu gia thiet thêm X là t¾p vơ han, đong phơi f có tính chat truyen
úng tơpơ và Per(f ) = {x ∈ X : fn(x) = x, n > 0} trự mắt
trong X thỡ f phn thuđc nhay cam vào đieu ki¾n ban đau.
Chú ý rang, vói f : X → X là đong phôi cna không gian mêtric
compact như o trên và ký hi¾u cl(E) là bao úng cna tắp con E no
ú. Khi ú, mđt phn mo huu han α cna X là phan tu sinh (phan tu sinh

yeu)
T
đoi vói f neu vói

MQI

dãy kép {An } cna α: giao vô han

∞

n=−∞

f −n (cl(An ))
tai nhieu nhat m®t điem.
Neu α, β là các phn mo cna X thì hop cna chúng là α ∨ β đưoc
xác đ%nh boi
α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β}.


Ta nói rang β là m%n hơn α neu MQI phan tu cna β đeu là t¾p con
cna phan tu no ú thuđc v khi ú ta ký hiắu là α ≤ β. Rõ ràng α ≤
α∨β
và β ≤ α ∨ β. Hơn nua, neu f : X → X là tồn ánh liên tuc thì
f −1(α) =
{f −1 (A) : A ∈ α} là m®t phn mo cna X. Ta cũng có the thay rang neu
f −1(α ∨ β) = f −1(α) ∨ f −1(β) và f −1 (α) ≤ f −1(β) neu α ≤ β.
Đ%nh lý 1.1.4. Cho f : X → X là đong phôi cua khơng gian mêtric
compact. Khi đó, các khang đ%nh sau là tương đương.
(1) f là giãn,
(2) f có m®t phan tu sinh,

(3) f có m®t phan tu sinh yeu.
Chúng minh. Rõ ràng (2) ⇒ (3) là hien nhiên.
Trưóc khi đi vào chúng minh phan tiep theo, ta nhac lai rang vói
X là m®t khơng gian mêtric compact và α là m®t phn mo huu han
cna X. Neu vói bat kỳ t¾p con A ⊂ B ∈ α luôn thoa mãn diam (A)
< δ thì δ đưoc gQI là so Lebesgue cna α.
Ta se chúng minh (3) ⇒ (2). Th¾t v¾y, cho β = {B1, B2, . . . ,
B2} là
các phan tu sinh yeu cna f và δ > 0 là so Lebesgue cna . Ký hiắu
l mđt
phn mo huu han chúa các t¾p Ai vói đưịng kính diam (cl(Ai)) ≤ δ. Neu
{Ain } là m®t dãy đơi trong α thì vói MQI n, ton tai jn sao cho cl(Ajn ) ⊂
Bj
nên
∞

∞

n=[−∞

f −n cl(Aj n) n=\ f −n (Bj n).
−∞
⊂
Do đó, α là phan tu sinh.
(1) ⇒ (2): Cho δ > 0 là hang so giãn cna f và α là m®t phn
huu han chúa các hình cau mo bán kính δ/2. Gia thiet rang x, y
T
∈
n
n

n


∞
n=−∞

f − (cl(An )), vói An ∈ α. Khi đó, d(f (x), f (y)) ≤ δ

vói MQI
n nên theo gia thiet suy ra x = y.
(3) ⇒ (1): Gia su α là phan tu sinh yeu và δ > 0 là so Lebesgue
cna α. Khi đó, neu f (fn(x), fn (y)) < δ vói MQI so ngun n thì An
∈ α,


∞
n ∈ Z sao cho f n (x), f n (y) ∈ An và x, T
y ∈
f −n (An ), mà
n=−∞
giao vơ han này tai nhieu nhat m®t điem. Suy ra f là
giãn.

V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh.
Đ%nh lý 1.1.5. Cho f : X → X là đong phôi cua không gian mêtric
compact và k là so nguyên khác 0. Khi đó, f là đong phơi giãn khi và
chs khi f k là giãn.
Chúng minh. Ta chú ý tù khang đ%nh neu α là phan tu sinh đoi vói f
thì
|k|−1

i.

=0

f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α),
cũng là phan tu sinh đoi vói fk. Ngưoc lai neu α là phan tu sinh đoi vói
fk thì α cũng là phan tu sinh đoi vói f . Tù đó, ta có đieu phai chúng
minh.
Đ%nh lý 1.1.6.
(a) Neu f : X → X là đong phơi giãn và Y là t¾p con đóng cua X vái
f (Y ) = Y , khi đó f|Y : Y → Y là đong phôi giãn,
(b)

Neu

fi : Xi → Xi, i = 1, 2, là ánh xa giãn thì đong phơi

f1 × f2 :
X1 × X2 → X1 × X2 đưac đ%nh nghĩa như sau
(f1 × f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)),
(x1, x2) ∈ X1 × X2
là đong phơi giãn. Hơn nua, MQI tích trnc tiep huu han cua các đong
phôi giãn là giãn,
(c) Neu X compact và f : X → X là đong phơi giãn thì h◦f ◦h−1 : Y

→Y
là đong phơi giãn, trong đó, h : X → Y là m®t đong phơi.


Trong phan tiep theo cna muc này, chúng tôi se trình bày khái

ni¾m ve đong phơi giãn dương và c-giãn cùng m®t so tính chat.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho X là không gian mêtric. Đong phôi f : X →
X là giãn dương neu ton tai hang so e > 0 sao cho neu x ƒ= y thì


d(f n (x), f n (y)) > e vái so nguyên n không âm (hang so e á
đây đưac GQI là hang so giãn cua f ).
M¾nh đe 1.1.8. Gia su X là compact và k là so nguyên dương. Khi đó,
f là giãn dương khi và chs khi fk cũng là giãn dương.
Chúng minh. Gia su f : X → X là giãn dương và e > 0 là hang
so giãn. Vì f liên tuc đeu nên ton tai δ > 0 sao cho vói 1 ≤ i ≤
k: d(x, y) < δ thì d(fi(x), fi (y)) < e. Tù đây suy ra δ là hang
so giãn cna f k .
Chieu ngưoc lai cna m¾nh đe chúng minh hồn toàn tương tn.
Đ%nh lý 1.1.9.
(a) Neu f : X → X là ánh xa giãn dương và Y là t¾p con đóng cua X vái
f (Y ) = Y thì f|Y : Y → Y là ánh xa giãn dương,
(b)Neu
tnc fi : Xi → Xi, i = 1, 2, là ánh xa giãn dương thì tồn ánh liên
f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 đưac đ%nh nghĩa như sau
(f1 × f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)),
(x1, x2) ∈ X1 × X2
là ánh xa giãn dương. Hơn nua, MQI tích trnc tiep huu han cua
các
ánh xa giãn dương là giãn dương,
(c)

Neu

X compact và f : X → X là ánh xa giãn dương thì h ◦

f ◦ h−1 :
Y → Y là ánh xa giãn dương, trong đó, h : X → Y là m®t đong phơi.
Ví dn 1.1. Ta xét ánh xa giãn dương nhưng không mo sau đây. Xét t¾p
con X trong m¾t phang đưoc xác đ%nh như sau
3
1
3.
X = {z : |z = 1|} ∪ .z .: .z −. . = Σ ∪ .z. : .z +
2
2
2. 2
1
Xét X =
vói mêtric
đ® dài cung. Khi đó, ánh xa f đưoc mô ta như
Σ.
 . 2 2.z − 3 Σ

Σ
2
2
z+3
f (z)
=
z6
Re(z)
− 3 ≥ 1,

neu

neu Re(z) ≤ −1,

2


2

z

3

 z 6 2
− +
1

2

1

Re(z)
neu ≤ ≤
Re(z)
≤≤
1
neu − 1,
2

3 2

neu − 1 ≤ Re(z) ≤ −21 .


1
−2

0

2

−1
Nói m®t cách khác, ánh xa f xác đ%nh bang cách: giãn moi đưịng
trịn nho thành đưịng trịn lón, căng moi nua trên và nua dưói cna nua
đau tiên cna đưịng trịn lón thành thành đưịng trịn nho thú nhat, cịn
nua trên và nua dưói cna nua đưịng trịn lón cịn lai thành đưịng trịn
nho cịn lai. Ta có the kiem tra đưoc rang f là ánh xa giãn dương
nhưng khơng mo.

XZ

Ta ký hi¾u X Z = {(xi) : xi ∈ X, i ∈ Z} và X f là t¾p con đóng
cna

X f = {(xi) : xi ∈ X : f (xi) = xi+1, i ∈ Z},
trong đó, f là tồn ánh liên tuc. Nói cách khác, Xf là t¾p các quy đao
cna f .
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Đong phôi f : X → X là c-giãn neu ton tai
hang so e > 0 (hang so giãn) sao cho vái (xi), (yi) ∈ X f neu d(xi,
yi) ≤ e thì

(xi) = (yi), vái i ∈ Z.
Giong như đong phôi giãn, ta cũng có tính chat sau đoi vói đong
phơi c-giãn.
Đ%nh lý 1.1.11. Cho k là so nguyên dương. Khi đó, f : X → X là
đong phôi c-giãn khi và chs khi fk cũng là đong phôi c-giãn.
Chúng minh. Ta nhac lai rang f là ánh xa liên tuc đeu. Ký hi¾u e >
0


là hang so giãn cna f . Khi đó, vói d(x, y) < δ thì d(fi(x), fi (y))
< e vói


δ > 0 và 1 ≤ i ≤ k. Suy ra δ là hang so giãn đoi vói fk. Th¾t v¾y, vói
(xi), (yi) ∈ X f , gia su rang d(xki, yki) < δ vói i ∈ Z. Khi đó, ta có,
d(xi, yi) < e,

i ∈ Z.

Tù tính giãn, ta suy ra xi = yi vói i ∈ Z. Tù đây suy ra xki = yki vói
i ∈ Z. V¾y δ là hang so giãn cna
f k . Chieu ngưoc lai chúng minh
tương tn.
Trưóc khi trình bày đ%nh lý tiep theo, ta đ%nh nghĩa ánh xa
d%ch chuyen như sau. Đong phôi σ : X Z → X Z đưoc GQI là ánh xa d%ch
chuyen, xác đ%nh boi
σ((xi)) = (yi), yi = xi+1, i ∈ Z.
Đ%nh lý 1.1.12. Cho X là m®t khơng gian mêtric compact. Khi đó, đong
phơi f : X → X là c-giãn khi và chs khi σ : X f → X f là đong phôi giãn.
Chúng minh. Neu (xi) ƒ= (yi), khi đó tù tính giãn suy ra ton tai k ∈

Z sao cho d(xk, yk) > e. Khi đó,
d˜(σ k ((xi )), σ k ((yi ))) ≥ d(xk , yk ) > e,
trong đó d˜((x
i ),i (y )) =

Σ d(xi , yi )

. Do đó, σ là ánh xa giãn.
i=−
e
i|
Ngưoc lai, cho e > 0 là hang so giãn cna σ và d(xi,
,i ∈Z
yi ) <
4
vói (xi), (yi) ∈ X f . Khi đó, ta có
∞

2|

d˜(σn((xi)), σn((yi))) ≤ e
vói n ∈ Z nên tù tính giãn cna σ suy ra (xi) = (yi).
Suy ra giãn cna ánh xa f : X → X.

e
4

là hang so

Giong như đong phơi giãn dương, ta cũng có tính chat tương tn

đoi vói đong phơi c-giãn.
Đ%nh lý 1.1.13.


(a) Neu f : X → X là ánh xa c-giãn và Y là t¾p con đóng cua X
vái
f (Y ) = Y thì f|Y : Y → Y là ánh xa c-giãn,
(b)Neu fi : Xi → Xi, i = 1, 2, là ánh xa c-giãn thì tồn ánh liên tnc
f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 đưac đ%nh nghĩa như sau
(f1 × f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)),
(x1, x2) ∈ X1 × X2
là ánh xa c-giãn. Hơn nua, MQI tích trnc tiep huu han cua các
đong
phơi c-giãn là c-giãn,
(c) Neu X compact và f : X → X là ánh xa c-giãn thì h◦f ◦h−1 : Y

→Y
là ánh xa c-giãn, trong đó, h : X → Y là m®t đong phơi.
Chúng minh các tính chat này tương tn như ánh xa giãn dương.

1.2

Tính bóng cua đong phơi

Muc này se trình bày tính chat gia quy đao và m®t so tính
chat quan TRQNG liên quan. M®t dãy điem {xi : a < i < b} cna
không gian
mêtric X đưoc

GQI

là m®t δ-gia quy đao cna f neu d(f (xi ), xi+1 ) <

δ vói
iGQi∈là(a, b − 1). Vói ε > 0 cho trưóc, m®t δ-gia quy đao {xi } đưoc
ε-bóng cna x ∈ X neu d(f i (x), xi ) < ε vói MQI i ∈ (a, b).
e đây, các giá tr% a, b đưoc lay sao cho −∞ ≤ a < b ≤ +∞ neu
f là song ánh và 0 ≤ a < b ≤ +∞ neu f khơng là song ánh. Ta
nói rang f có tính bóng (POPT 1 ) neu vói MQI ε > 0, ton tai δ > 0
sao cho MQI δ-gia quy đao cna f có the là ε-bóng theo điem nào đó
thu®c X. Trong khơng gian mêtric compact, tính chat này đ®c l¾p vói
mêtric tương thích đưoc su dung


Ta chú ý rang, trong trưòng hop X là compact, đong phơi f : X
→ X có tính chat gia quy đao neu vói MQI ε > 0, ton tai δ > 0 sao
cho vói MQI δ-gia quy đao (m®t phía) {xi : i ≥ 0} cna f có the l
-búng theo mđt iem no ú thuđc X. Thắt vắy, cho {xi , i ∈ Z} là
gia δ-quy đao cna f .
Vói moi n ≥ 0 xác đ%nh m®t δ-gia quy đao {zn : i ≥ 0} boi zn = xi−n
vói
i

1

pseudo orbit tracing property

i

MQI

b
i ≥ 0 và cho z n là điem bóng đoi vói {z
: i ≥ 0}. Khi đó, ta có
i

the
kiem tra điem tu cna {f n (z n )} là điem bóng cna {xi : i ∈ Z}.
Nói chung, Id khơng có tính bóng. Trù khi X khá xau (như t¾p
Cantor) thì Id mói có tính bóng.

Đ%nh lý 1.2.1. Cho X là khơng gian mêtric compact và ký hi¾u id là
ánh xa đong nhat cua X. Khi đó, id : X → X có tính bóng khi và chs khi
X hồn tồn khơng liên thơng.
tai
m®t
phn mominh.
huu han
, Uhồn
1 , . . . , Un } cna X sao cho Ui ∩ Uj =
∅ vói
i Chúng
Gia {U
su 0X
tồn khơng liên thơng. Khi đó, vói ε
> 0, ton khác k và diam (Ui ) < ε vói MQI i. Bang cách cHQN 0 < δ
< min{d(Ui , Uj ) :
i ƒ= j} và co đ%nh m®t gia δ-quy đao {xi : k ∈ Z} cna id, khi đó ton
tai Ui sao cho {xk} ⊂ Ui. Do đó, ta có the tìm đưoc mđt iem -búng

trong Ui cna {xk}. Nh vắy, id : X → X có tính bóng.
Đe chúng minh chieu ngưoc lai, ta gia thiet rang dim(X) ƒ= 0. Khi
đó, ton tai mđt tắp con úng, liờn thụng F sao cho diam (F ) > 0. Vì F
compact
diam F ) = d(x0 , y0 ) = ε0 vói x0 , y0 nào đó trong
F . Lay εnên
1 = ε0 /3. Vì F liên thơng nên vói MQI δ > 0, ta có the
xây dnng m®t δ-gia quy đao tù x0 đen y0 trong F mà khơng là ε1bóng trong X. Đieu này dan đen mâu thuan nên X hồn tồn khơng
liên thông.
Đ%nh lý 1.2.2. Cho f : X → X là đong phôi cua không gian mêtric
compact và k > 0 là so ngun. Khi đó, f có tính bóng khi và chs khi fk
cũng có tính bóng.
(1)Cho ε > 0. Khi đó, ton tai ε > ε1 > 0 sao cho moi ε1-gia quy
đao huu Chúng minh. Trưóc khi đi vào chúng minh, ta đưa ra 3 chú ý
nhưhan
sau:{xi : 0 ≤ i ≤ k} thoa mãn
d(fi(x
và d(x, y) < ε1

ε , 0 ≤ i ≤ k,
), x ) <
0

i

2

suy ra
ε
max{d(f i (x), f i (y)) : 0 ≤ i ≤ k} ≤ .

2


(2)Cho
ε1 như
Khi đó,
ton
tai điem
δ1 > nào
0 sao
quy đao
cnatrong
f k là (1).
ε1-bóng
theo
m®t
đó.cho vói moi δ1-gia
(3)Cho ε1 và δ1 như trong (1) và (2). Khi đó, ton tai δ > 0 sao cho
moi
δ-gia quy đao huu han {zi : 0 ≤ i ≤ k} là δ1-bóng theo z0 ∈ X.
Vói các tính chat này, ta se chúng minh moi δ-gia quy đao {yi : i ≥ 0}
cna f là ε-bóng theo m®t điem nào đó. Ta ký hi¾u như sau
xi = yki, i ≥ 0.
Vói i co đ%nh thì {yki+j : 0 ≤ j ≤ k} là m®t δ-gia quy đao huu han

đoi vói
f . Tù (3), ta suy ra
d(fj(yki), yki+j) < δ1, 0 ≤ j ≤ k.
k
Neu

k thì
tađao
có d(f
yki+k
= suy
d(fkra
(xiton
), xtai
i+1) nên {xi} là
m®tki jδ1=
- gia
quy
cna(yfkik .),Tù
(2)) ta
y ∈ X sao cho
d(f (y), xi) <
ki
ε
1 vói i ≥ 0. Do đó, d(f (y), yki) < ε1 vói i ≥ 0. M¾t khác, vì
{y
: 0 ≤ j ≤ k} là ε -gia quy đao nên theo (1) ta có
1

ki+j

ε

d(fj(yki ),
y

ki+

)<

2

, 0 ≤ j ≤ k,

j

và tù d(fki(y), yki) < ε1 nên ta cũng có
ε
)) < , 0 ≤ j ≤ k.
2
ki+j
d(f (y),
Do đó, ta có

fj(yki
d(fki+j(y), yki+j)n < ε, 0 ≤ j ≤ k.
Vì
i là bat kỳ nên ta suy ra d(f (y), yn) < ε vói n ≥ 0 nên y là εbóng


cna gia quy đao {yi}.
đong
có tính
thìkhơng
f −1 cũng
tính compact.

bóng.
%nh phơi
lý 1.2.3.
Chobóng
X là
giancó
mêtric
Neu f : X → XĐ là
Chúng minh. Vói moi ε > 0, ta ký hi¾u δ > 0 sao cho moi δ-gia quy
đao
{xi } là ε-bóng theo m®t điem y ∈ X. Neu ta cHQN δ J > 0 sao
cho vói


d(x, y) < δ J thì ta có d(f (x), f (y)) < δ. Đ¾t g = f −1 thì ta
thay rang
J
J
d(g(f
gia quy(x)), g(f (y))) = d(x, y) < δ . Đieu này có nghĩa là moi δ đao {yi } cna g = f −1 là ε-bóng theo m®t điem nào đó.
Vói i ∈ Z, tù d(g(yi ), yi+1 ) < δ J nên ta có
d(yi, f (yi+1)) < δ, ∀i ∈ Z.
Bang cách cho xi = y−i vói i ∈ Z thì {xi} là δ-gia quy đao cna f và do
đó
i
vói
∈ Z.
(y),
) ε vói

∈ Z.
= là
f−1d(f
cũng
có
−i
tínhiton
taiDo
y ∈đó,
X d(g
thoa
mãnyid(f
xii) <
ε,Túc
i ∈ là
Z. gTúc
(y),
x−i) < ε bóng.
Đ%nh lý 1.2.4. Cho X và Y là các không gian mêtric và X × Y là không
gian tôpô mêtric vái mêtric
d((x, y), (xJ , y J )) = max{d1 (x, xJ ), d2(y, y J )},
trong đó, d1 và d2 lan lưat là các mêtric trên X và Y . Gia su f : X → X
và g : Y → Y là các ánh xa liên như
tnc và ánh xa f × g đưac xác đ%nh
sau
(f × g)(x, y) = (f (x), g(y)), (x, y) ∈ X × Y.
Khi đó, f × g có tính bóng khi và chs khi ca f và g có tính bóng.
Chúng minh. Gia su f × g có tính bóng. Khi đó, vói MQI ε > 0, GQi
{xi }
và {yi} lan lưot là các δ-gia quy đao cna f và g tương úng. Tù đây suy

ra
{(xi, yi)} là δ-gia quy đao cna f × g. Như vắy, ton tai (x, y) X ì
Y vúi
d((f ì g)i(x, y), (xi, yi)) < ε,
i
i
vói
i ≥
0.có
Khi
đó, dlà
1(f (x), xi) < ε và d(g (y), yi)) < ε vói i ≥ 0.
Đieu
này
nghĩa
f và g cũng có tính bóng.

Chieu ngưoc lai chúng minh tương tn.
compact
X lý
và 1.2.5.
h : X Gia
→ Ysulàfm®t
phơi.
Khi đó,
g=
◦ f ◦gian
h−1
có Đ%nh
: Xđong

→ X
là đong
phơi
cuah khơng
mêtric tính bóng khi và chs khi f cũng có tính chat này.


Chúng minh. Vói

MQI

ε > 0, ton tai ε1 > 0 sao cho d(x, y)

d
(h(x), h(y)) < ε vói dJ là mêtric trên không gian Y . Gia su f có
tính
bóng,
ton boi
tai m®t
δ1 >
0 nào
sao đó.
cho Vói
moiδ δ1>
-gia 0quy
i}
cna
f khi
là εđó-bóng

điem
là sođao
sao{x
cho
dJ (x, y) <1 δ thì d(h−1(x), h−1(y)) < δ1 . Đieu này có nghĩa là moi
δ-gia quy đao {yi } cna g là ε-bóng theo m®t điem nào đó.
Bang cách cho xi = h−1 (yi ) vói i ≥ 0. Tù gia thiet dJ (g(yi ), yi+1) < δ
vói
i ≥ 0, ta suy ra
d(f (xi), xi+1) = d(h−1 ◦ g(yi), h−1(yi+1)) < δ1, i
≥ 0.
Do đó, {xi} là δ1-gia quy đao cna f nên d(fi(y), xi) < ε1 vói i ≥
0 và y
nào đó thu®c X. Suy ra
dJ (h ◦ f i (y), h(xi )) = dJ (g i ◦ h(y), yi ) < ε,

i ≥ 0.

Ta có đ%nh lý sau đây.
Đ%nh lý 1.2.6. Gia su X là không gian mêtric compact. Đong phôi f :
vái
X Z Xváicód(x
i , xi+1 ) < δ, i ∈ Z, ton tai (yi ) ∈ X f
sao (x
choi ) X∈ →
tính
bóng khi và chs khi vái MQI ε > 0, δ
> 0 sao cho d(yi , xi ) < ε vái i ∈ Z.
Tù Đ%nh lý 1.2.6, ta có the đưa ra đ%nh nghĩa δ-gia quy đao và
điem ε-bóng cna m®t đong phơi như sau. Neu (xi) ∈ X Z có tính chat

d(f (xi ), xi+1 ) < δ, i ∈ Z thì (xi ) đưoc

GQi

là δ-gia quy đao cna f

. Neu
(y
i ) ∈ X f thoa mãn d(yi , xi ) < ε, i ∈ Z thì (yi ) đưoc
bóng
cna (xi).

GQI

là điem ε-