Luận văn thạc sĩ về phổ của toán tử tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

ĐŐ VĂN HƯNG

VE PHO CUA TỐN TU TUYEN TÍNH

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - 2014


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

ĐŐ VĂN HƯNG

VE PHO CUA TỐN TU TUYEN TÍNH

Chun ngành: Lý thuyet xác suat và thong kê toán
HQC Mã

so: 60.46.15

LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa
HQC: PGS.

TS Phan Viet
Thư

Mnc lnc
Lài cam ơn.............................................................................3
Lài nói đau............................................................................4
Chương 1. Các khái ni¼m cơ sa cua giai tích hàm..................................9
1.1. Các khơng gian vectơ và HQ tôpô..............................................................9
1.1.1. Các đ%nh nghĩa cơ ban...................................................................................9
1.1.2. Các không gian con và các khơng gian thương.....................................12
1.1.3. Các tính chat cơ ban cna khơng gian Hillbert....................................14

1.2. Tốn tu tuyen tính và các phiem hàm..................................................20
1.2.1. Đ%nh lý Hahn - Banach............................................................................21
1.2.2. Tính đoi ngau.................................................................................... 22

1.3. Các đ%nh lý cơ ban......................................................................................27
1.3.1. Đ%nh lý ánh xa mo.......................................................................................27
1.3.2. Nguyên lý b% ch¾n đeu................................................................................29
1.3.3. Đ%nh lý mien giá tr% đóng...........................................................................31

............................................................
1.4. Tơpơ yeu và tơpơ yeu∗
32
1.4.1. Tơpơ yeu....................................................................................................32
∗...........................................................................................................................

1.4.2. Tơpơ yeu

35

Chương 2. M®t so dang đ%nh lý pho cho m®t so láp
tốn tE quan TRQNG .....................................................................39
2.1. Tốn tu Hilbert - Schmidt.....................................................................39
2.2. Toán tu compact....................................................................................41
2.3. Đ%nh lý phő cna toán tu compact tn liên hop........................................44

1


2.4. Phő cna m®t tốn tu compact tőng qt..............................................48
2.5. Giói thi¾u ve đ%nh lý phő tőng quát.......................................................52
2.5.1. Phő và giai thúc trong m®t đai so Banach.............................................52
2.5.2. Đ%nh lý ve phő cna tốn tu tn liên hop b% ch¾n trong khơng gian Hilbert
56

Chương 3. Đ® đo pho ngau nhiên tong quát.........................................60
3.1. Giúi thiắu.....................................................................................................60
3.2. đ o ph ngau nhiờn..............................................................................61
3.3. Toỏn tu chieu ngau nhiên......................................................................65
3.4. Đ® đo phő ngau nhiên tőng quát..........................................................70
Chương 4. Khái ni¼m vet cua tốn tE và khơng gian Lp
cho láp tốn tE compact.....................................................75
4.1. Đ%nh nghĩa vet.........................................................................................76
4.2. Lóp tốn tu vet và lóp tốn tu Hilbert-Schmidt..................................77
4.3. M®t dang cu the cna lóp tốn tu Hilbert - Schmidt............................82
4.4. Khơng gian Lp cna lóp tốn tu compact...............................................86
Ket lu¼n......................................................................................87
Tài li¼u tham khao...................................................................88

2

LèI CAM ƠN
Đe hồn thành lu¾n văn này, tác gia to lịng biet ơn chân thành và sâu
sac cna mình tói Thay: PGS.TS. Phan Viet Thư, ngưịi đã t¾n tình hưóng dan
và đóng góp nhieu ý kien quý báu. Tác gia cũng xin chân thành cam ơn
t¾p the các Thay cơ giáo, các nhà khoa HQc cna trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn
Nhiên – ĐHQG Hà N®i đã giúp đõ tao đieu ki¾n cho tác gia hồn thành cuon
lu¾n văn này.
Trong q trình viet lu¾n văn, m¾c dù dưói sn chi đao ân can chu đáo cna
các Thay cô giáo và ban thân cũng het súc co gang, song ban lu¾n văn này
khơng tránh khoi nhung han che thieu sót. Vì v¾y, tác gia rat mong đưoc sn
góp ý, giúp đõ cna các Thay cô, các ban đe ban lu¾n văn này đưoc hồn chinh
hơn. Tác gia xin chân thành cam ơn!
Hà N®i, ngày 19 tháng 08 năm 2014
HQ c viên
Đő Văn Hưng


LèI NĨI ĐAU
Muc đích cna lý thuyet phő là phân lóp các tốn tu tuyen tính giua
các khơng gian Banach mà ta han che xét trên không gian Hilbert do chỳng l
mđt ai diắn ắc biắt cna cỏc khụng gian Banach. Chúng có liên h¾ gan gũi vói
hình HQc Euclide.
Ta có the nghĩ đen nhieu cách khác nhau đe phân loai các tốn tu tuyen
tính. Đai so tuyen tính (huu han chieu) goi ý rang hai tốn tu tuyen tính
T1, T2 : H1 → H2 liên h¾ boi cơng thúc
T 2 ◦ U1 = U2 ◦ T 1 ,
(1)
vói

tốn
Ui cùng
: Hi m®t
→ Hilóp.
thì Trong
T1, T2trưịng
có chung
nhieuhan
tính
chat
như các
nhau.
Tatucókha
thengh%ch
coi chúng
hop huu
chieu,
Ui tương úng vói đői cơ so trong Hi, chúng khơng làm thay đői ban chat bên
trong cna các toán tu. Cách giai thích này nói chung khơng cịn đúng trong
trưịng hop vơ han chieu boi o đó khơng có khái ni¾m tot ve cơ so, nhưng cách đ
%nh nghĩa trên van có ý nghĩa đáng quan tâm và ta có the thu mơ ta tat ca các
tốn tu tù H1 vào H2 boi các quan h¾ như trên. Đe làm đơn gian ý tưong,
ta
cHQN
1 = H2 = H và coi hai toán tu T1 , T2 : H → H o cùng m®t lóp
neuseton
tai H
m®t
tốn tu kha ngh%ch U : H → H sao cho
T2 ◦ U = U ◦ T1 túc là T2 = UT 1 U −1 .

(2)
Trong đai so tuyen tính, bài tốn phân lóp đưoc giai thành cơng boi lý thuyet
đen
“dang
chính
tac”.gian
Choriêng,
các tốn
tu tuyen
Cntoi
→ thieu
Cn vói
n ≥ 1. Khi
giá tr%
riêng,
khơng
đa thúc
đ¾c tính
trưngtùvà
(minimal)
dan
H có so chieu vơ han, ta khụng cú mđt %nh lý tng quỏt. Nhng xuat hiắn
kha năng là nhieu toán tu rat quan TRQNG mà ta su dung có tính chat mà trong
trưịng hop so chieu huu han có sn mơ ta th¾m chí đơn gian hn. Chỳng thuđc
mđt trong cỏc lúp ắc biắt cỏc toỏn tu trên khơng gian Hilbert như: tốn tu lay
Unita.
Đoi
các
∗ lóp này, neu dim H = n thì ln có m®t cơ so trnc chuan
liên hop

T vói
→ T
, tốn tu chuan, toán tu tn liên hop, toán tu dương, toán tu
(e1, ..., en) cna các vectơ riêng cna T vói giá tr% riêng λ1, ..., λn và trong
cơ so
này ta có the viet
T(

Σ
i

Σ

αi ei ) = i

αi λi ei .

(3)

(Tương úng vói bieu dien ma tr¾n đưịng chéo). Trong trưịng hop vơ han chieu,
nói chung ta khơng the viet như the m®t cách rõ ràng. Tuy nhiên có m®t cách


giai thích cna bieu dien này là cho nó tn theo sn tőng quát. Xét ánh xa tuyen
tính
U : H → Cn
ei −→ (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
vói 1 o v% trí thú i. Ánh xa này
là m®t song ánh đang cn, do đ%nh nghĩa cna
m®t cơ so trnc chuan, neu Cn là m®t tích trong tiêu chuan và ta đ%nh nghĩa

T1 : Cn → Cn
αi −→ (αiλi).
Thì (3) tro thành
T1 ◦ U = U ◦ T.

(4)

Rõ ràng là khi ta giai nghĩa đieu đó theo cách (nó cho ta m®t cách nhìn hơi
khác bài tốn phân lóp): Vói MQI khơng gian Hilbert huu han chieu H và
tốn
tu chuan T ta nh¾n đưoc
khơng gian và tốn tu “mau” (C , T1) sao cho (H, T )
n
tương
đương
vói
(C
,
T
1). (Thnc ra là unitary tương đương do U là đang cn).
Đ%nh lý phő mà chúng tơi
trình bày trong lu¾n văn này là sn tőng qt hóa cna
n

các
tu “dang
“mau” chính
hồn tac”
tồn này.
đơn Đieu

gian: ny
chỳng
loai cụng
L 2 (X,à)
khụng
gian
loai toỏn
a ve
rat l
thnh
vỡ cỏcvúi
khụng
gian
v
n
cú đ o (X,µ) nào đó. (Trưịng hop C tương úng vói X = {1, 2, ..., n}
vói đ® đo đem). Và tốn tu “mau” là toán tu nhân (phép nhân): Tg : f −→ gf
vói m®t
hàm g : X → C thích hop. Tốn tu nhân cho ta m®t “mau” cho MQI toỏn
tu
(chuan)
khụng
Hilbert.
su L(X,à)
gianchắn
cú đthỡ
otahuu

han (tỳctrờn
l à(X)

+).
Gia suGia
g
(X,à)llmđt
mđtkhụng
hm b%
cú
mđt ỏnh xa tuyen tính liên tuc:

do

∫

Mg : L2(X,µ) → L2(X,µ)
f −→ gf
· ǁfǁ ,
2

|g(x)f (x)| dµ(x)

2

≤ ǁgǁ∞
X

nên Mg đưoc đ%nh nghĩa tot và liên tuc vói chuan ǁMgǁ ≤ ǁgǁ∞. Chú ý
thêm rang

∫
< Mg (f1 ), f2 >
=

g(x)f1 (x)f2 (x)dµ(x)

X

=< f1 , Mg (f2 ) >
vói
MQI f1 , f2 ∈ L2 (X, µ). Do đó tốn tu liên hop cna Mg đưoc cho boi Mg =
Mg , dan đen Mg là tn liên hop khi và chi khi g là tn liên hop (hau khap nơi).
Vói g1, g2 ∈ L∞(X,µ), ta có
Mg1 (Mg2 (f )) = g1 (g2 (f )) = g2 (g1 (f )) = Mg2 (Mg1 (f )).
∞
đó MQI
g vói g ∈ L (X, µ) giao hốn. Suy ra chúng
đeuDo
là hop
g(x)tốn
= xtulà M
đ¾c
bi¾t quan TRQNG. Bő đe sau cho biet ta không the
xây dnng chuan tac. Neu X ⊂ C l mđt tắp o oc oi vúi đ o Lebesgue
à thì trưịng nhieu hơn tốn tu nhân b% ch¾n so vúi su dung hm b% chắn.
e.oGia
su X
(X,à)
mđt khụng
gian

cúxađ
huu vo
han Lv
2 gia su g l
mđtBo
hm
ac
C.lNeu
g
ỏnh
L 2o
(X,à)
(X,à) khụng

nhat thiet liờn tnc, thỡ g L (X,à).
Tro lai cõu hoi đng cơ thúc đay đen đ%nh lý phő, tai sao ta muon phân lóp
các tốn tu trên khơng gian Hilbert ? Đ®ng cơ căn ban đen tù nguon chung
giong như cna giai tích hàm: Trong úng dung ta thưịng can (ho¾c muon) giai
các phương trình tuyen tính T (v) = w giua các khơng gian Banach, đ¾c bi¾t
là các khơng gian Hilbert. Vì muc đích này có m®t sn phân lóp cu the (dang
ta
có Tvói
1 (v) = w ⇔ T 2 (v1) = w1 vói v1 = U1(v), w1 = U2 (w). Như v¾y neu ta
hi¾n)
mơ hình mau đơn gian se rat có ích. Neu ta có quan h¾ như (1) thì
hieu tốn tu “mau” T2 và các ánh xa kha ngh%ch U1, U2, ta có the chuyen lịi
giai cna các phương trình tuyen tính liên quan đen T1 thành lịi giai tương úng
liên quan tói T2. Tương tn đoi vói (2) hay (4).
2
ta nh¾n

nhântrnc
T2 tiep
= M
giaiBây
cna giị
phương
trìnhthay
M (flà) vói
= hmau
thoatốn
mãntuđưoc
(ítg trờn
nhat Ll (X,à),
ve mắtlũi
g


hình thúc) là f =

g

. Đieu này tương úng m®t cách trnc giác đen chéo hóa h¾
h
hàm
g có the
nghi¾m
và và
ty tat
so h/g
thehoikhụng

L2 (X,
à).
cỏc phng
trỡnhcú tuyen
tớnh,
nhiờncúũi
nhieuthuđc
sn thắn
TRQNG
hn vỡ
Trũng hop ắc biắt, tuy cịn là hình thúc, chú ý rang làm the nào bien đői
quan
đenFourier
tốn tucùng
Laplace
g bang
sang
cna
Fourier”.
vói (6)∆f
goi=ý manh
me cách
chúng“chuyen
ta hãy thu
giaithe
cácgiói
phương
trình liên Thnc te đây là ý tưong rat hi¾u qua, nhưng tat nhiên địi hoi
nhieu sn th¾n
TRQNG

hơn vì các tốn tu liên quan không liên tuc.

Hieu đưoc ý nghĩa và kha năng úng dung to lón cna lý thuyet phő tốn tu,
tác gia đã cHQN đe tài lu¾n văn cna mình là “ Ve phő cna tốn tu tuyen tính”.
Đe tiep tuc tìm hieu sâu ve van đe này:
Lu¾n văn đưoc chia làm bon chương:
Chương 1. Các khái ni¼m cơ sa cua giai tích hàm và tốn tE tuyen
tính
Chương này giói thi¾u các khái ni¾m cơ ban ve khơng gian Banach,
khơng gian Hilbert và ve khái ni¾m tốn tu tuyen tính trên các khơng gian này
cùng các tính chat cơ ban nhat cna chúng.
Chương 2. M®t so dang đ%nh lý pho cho m®t so láp tốn tE
quan TRQNG
Chương này giói thi¾u các đ%nh lý ve phő cho tốn tu tn liên hop, cho toán
tu compact tőng quát, đ%nh lý phő tőng quát, phő và giai thúc trong m®t đai so
Banach và cuoi cùng là đ%nh lý phő cna toán tu tn liờn hop b% chắn
trong khụng gian Hilbert.
Chng 3. đ đo pho ngau nhiên tong qt
Chương này giói thi¾u ve đ® đo phő ngau nhiên, đ® đo phő ngau nhiên tng
quỏt; %nh lý hđi tu b% chắn cho đ o phő ngau nhiên và đ® đo phő ngau nhiên
tőng quát; Đ%nh lý ve bő sung cna m®t đ® đo phő ngau nhiên tőng qt.
Chương 4. Khái ni¼m vet cua tốn tE và khơng gian Lp cho láp tốn
tE compact
Chương này giói thi¾u khái ni¾m vet cna tốn tu và cách su dung chúng vói
vai trị tích phân cna các hàm tốn tu đe xây dnng các khơng gian Lp cho đai
f
so
là B
hangian

B1 (H)
chuan
2 tr (H) là
1 =
lóptốn
tốntu,
tu ký
vethi¾u
có vai
trị(H),
như chang
là khơng
cácvói
hàm
kha ǁT
tích.ǁB
(H) là lóp
tốn


tu Hilbert-Schmidt có dang như trong L2 là m®t khơng gian Hilbert ...
Hà N®i, ngày 19 tháng 08 năm 2014
HQ c viên
Đő Văn Hưng


Chương 1

Các khái ni¾m cơ sa cua
giai tích hàm

1.1.
1.1.1.

Các khơng gian vectơ và HQ tơpơ
Các đ%nh nghĩa cơ ban

(1) M®t chuan xác đ%nh m®t tơpơ Hausdorff trên m®t khơng gian vectơ mà
các phép toán đai so là liên tuc, ket qua là đưoc m®t khơng gian tuyen tính
chuan. Neu nó là đay đn thì đưoc GQI là khơng gian Banach.
(2) Tích trong (tích vơ hưóng) và nua tích trong: Trong tắp so thnc mđt tớch
trong l mđt dang song tuyen tính xác đ%nh dương tù X × X → R. Trong t¾p
so phúc, nó là dang nua song tuyen tính: X × X → C xác đ%nh dương, đoi xúng
Hermitian. M®t (nua) tích trong sinh ra m®t (nua) chuan. Do vắy mđt khụng
gian tớch trong (khụng gian Unita) l mđt trũng hop ắc biắt cna khụng gian
tuyen tớnh chuan. Mđt khơng gian tích trong đay đn (khơng gian Unita đay n)
l mđt khụng gian Hillbert, mđt trũng hop ắc biắt cna không gian Banach.
Sn phân cnc đơn v% bieu dien chuan cna m®t khơng gian có tích trong theo
tích trong. Đoi vói m®t khơng gian tích trong thnc, đó là:
1
(x, y) =
(||x + y||2 − ||x − y||2).
4


Đoi vói khơng gian
1 phúc, đó là:2
(x, y) =
(||x + y|| + i||x + iy||2 − ||x − y||2 −
i||x −
iy||ta2).

Trong các khơng gian tích trong,
chúng
cũng có quy tac hình bình hành:
4
2

2

2

||x + y|| + ||x − y|| = 2(||x|| + ||y|| ).
Đieu này đưa ra m®t tiêu chuan đe m®t khơng gian đ%nh chuan là m®t khơng
gian tích trong. Bat kỳ m®t chuan nào sinh ra tù m®t tích trong đeu thoa mãn
quy tac hình bình hành và, ngưoc lai, neu m®t chuan thoa mãn quy tac hình
bình hành chúng ta có the chi ra rang (đieu này khơng de) sn phân cnc đơn v%
xác đ%nh m®t tích trong, cái mà sinh ra chuan đó.
(3) M®t khơng gian vectơ tơpơ là m®t khơng gian vectơ đưoc trang b% m®t
tơpơ Hausdorff sao cho các phép toán đai so là liên tuc. Chú ý rang chúng ta
có the mo r®ng khái ni¾m dãy Cauchy cũng như khái ni¾m đay đn trong m®t
TVS: m®t dãy xn trong m®t TVS là Cauchy neu vói MQI lân c¾n U cna 0 đeu
ton tai N sao cho xm − xn ∈ U vói MQI m, n ≥ N .
M®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan là m®t TVS, nhưng có m®t phép tốn
khác, tőng qt hơn liên quan đen chuan, nó trang b% khơng gian vectơ vói m®t
tơpơ. Cho X là m®t khơng gian vectơ và gia su rang m®t HQ {|| · ||
}α∈A cna
các
nua đó
chuan
X cho
trưóc

là đu theo
nghĩa ∩α {||x||α = 0} =
0. Khi
tơpơ trên
sinh boi
các t¾p
{||x||
α < r}, α ∈ A, r > 0 bien X
thành m®t TVS. M®t dãy (hay lưói) xn h®i
tu đen x neu và chi neu ||xn −
x||α → 0 vói MQI α. Chú ý rang, |||xn ||α − ||x||α | → 0, chi ra rang moi
nua chuan là liên tuc.
Neu so lưong các nua chuan là huu han, chúng ta có the bő sung chúng đe
α

thu đưoc m®t chuan sinh ra cùng m®t tơpơ. Neu so lưong các nua chuan là đem
đưoc, chúng ta có the xác đ%nh mđt metric

n
d(x, y) =



2n

||x

1 + ||x y||n
boi vắy tơpơ là metric hóa đưoc.
y||n

Các ví du: (1) Trên Rn ho¾c Cn chúng ta có the đưa vào chuan lp, 1 ≤ p ≤
∞,
ho¾c lp chuan có TRQNG so vói TRQNG so dương nào đó. Tat ca các chuan này là
tương đương (thnc v¾y, trong khơng gian huu han chieu thì MQI chuan là tương


đương), và sinh ra cùng m®t tơpơ Banach. Chi vói p = 2 thì nó là khơng gian
Hillbert.
(2) Neu
là chúng
m®t tắp
cna%nh
Rn (hay,
tng
quỏt
hn,gom
mđtcỏc
khụng
gian
Hausdorff
batk)
ta cú con
the xỏc
khụng
gian
C ()
hm liờn
b

thỡ

gianú C()
gom gian
cỏc Banach.
hm liờn
tucl compact
trờn .
tuc vúb%chi
chắnlvúi khụng
chuan sup.
l mđt khụng
Neu X
n
(3) en,n gian hơn, xét khoang đơn v%, và xác đ%nh C ([0, 1]) và
C ([0, 1]),
n
∈
N,
α
∈ là
(0,khơng
1]. Ca
haicác
đeuhàm
là các
khơng gian
Banach
vóiCcác
0,α
tn nhiên.
C0,1

gian
Lipschitz.
C([0,
1]) ⊂
⊂chuan
C0,β
1
⊂ C ([0, 1]) neu 0 < α ≤ β ≤ 1.
(4) Vói 1 ≤ p < ∞ và Ω l mđt khụng gian con úng hoắc mo cna Rn
(hay,
p
tng
quỏt
hn,ngoi
mđt mđt
khụng
gian
huuvhan),
()
l bang nhau
tắp
cú o
đo-0),
vúi pchỳng
= tathỡcúúkhụng
l cỏcgian
lúp L
tng
gom cỏc lóp tương đương cna các hàm đo đưoc kha tích bắc p (sn tng ng
cú đ o khụng). Vúi 1 < p < ∞, bat đang thúc tam giác là khơng hien nhiên,

đương cna các hàm b% ch¾n cot yeu (b% chắn sau khi ieu chinh trờn mđt tắp
chuan 0, đó là m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan, và đ%nh lý Reisz-Fischer
đó là bat đang thúc Minkowski.p Do chúng ta
lay thương các hàm vói Lp - nua
Neu meas(Ω) < ∞, thì L (Ω) ⊂ Lq(Ω) neu 1 2 ≤ q ≤ p ≤
∞. khang đ%nh rang nó là m®t khơng gian Banach. L là m®t khơng gian
Hillbert.
(5) Khơng gian các dãy lp, 1 ≤ p ≤ ∞ là m®t ví du cna (4) trong trưịng
hop khơng gian đo là N vói đ® đo đem. Moi m®t khơng gian trong so đó là m®t
khơng
gian các
Banach,
là m®t
Hillbert.
lq neu
p ≤cna
q
≤ ∞ gom
hàml2 tien
ve khơng
0 làgian
m®t
khơnglp ⊂
gian
con1 ≤
đóng
l∞. (chú ý rang bat đang thúc là đao ngưoc so vói ví du trên). Khơng gian
con c0
(6) Neu l mđt tắp mo trong Rn (hay là m®t khơng gian Hausdorff bat
kỳ),

chúng
ta có
các chuan
f −→
|f (x)|
đưoch®i
đánh
chi so
boi x
∈ the
Ω. trang
Đieu b%
nàycho
làmC(Ω)
cho C(Ω)
là m®t
TVS,
vói tơpơ
tu
điem. Khơng gian này khơng đay đn (h®i tu điem cna các hm liờn tuc cú the
khụng liờn tuc).
(7) fNeu
l mđt
tắp mo trong Rn chúng ta có the trang b% cho C(Ω) các
chuan
−→Ω||f||
L∞ (K) đưoc đánh chi so bang các t¾p con compact cna , do
vắy xỏc %nh tụpụ cna sn hđi tu đeu trên các t¾p con compact. Chúng ta có the

có đưoc cùng tơpơ như trên bang cách su dung lưong đem đưoc các t¾p compact

Kn = {x ∈ Ω : |x| ≤ n, dist(x, ∂Ω) ≥ 1/n}.
Tôpô này là đay đn.
(8) Trong
neukhơng
Ω là m®t
lay chinh
các hàm
tr
% phúc,
chúngvítadu
cótrên,
the xét
gian mien
H(Ω)trong
gom C,
cỏctahm
hỡnhnhắn
(giaigiỏ
tớch).
Theo %nh lý Weierstrass, nú l mđt khụng gian con úng, v vỡ vắy nú l
mđt TVS ay n.
(9) Neu f, g ∈ L1(I), I = (0, 1) và
∫ 1
∫ 1
f (x)φ(x)dx−
0

0

g(x)φJ (x)dx,

=

vói
0 otat
ganca0các
và hàm
1), khi
f làtrong
kha viI yeu
và fφJ =
Do
đó vói
khađóvichúng
vơ hantaφnói
có rang
giá chúa
(vì v¾y
là g.
đong
nhat
chúng ta có the xác đ%nh không gian Sobolev Wp1 (I) = {f ∈ Lp (I) : f J ∈
Lp (I)},
1/p
vói chuan
1
.∫
Σ

∫
||f||W

1
1

(I)

p

|f (x)|

0

|f J (x)|p dx

.

0

= p
dx +
Đây là m®t khơng gian lón hơn C 1 (I), nhưng van ket hop ch¾t che vói tớnh
kha
vi nú
bắc
mđt
cnachỳng
f . Trũng
hop

p kha
= 2viltrong
trũng
hop
ắccna
biắt
huukhụng
ớch,
boi vỡ
cho
phộp
ta xu lý
tớnh
ngu
canh
mđt
gian
Hillbert. Cỏc khơng gian Sobolev có the đưoc mo r®ng đe đo b¾c kha vi bat kỳ
(th¾m chí là phân đoan), và có the đưoc xác đ%nh trên các mien bat kỳ cna Rn.
1.1.2.

Các không gian con và các không gian thương

Neu X là m®t khơng gian vectơ và S là m®t khơng gian con cna nó, chúng
ta có the xác đ%nh khơng gian vectơ X/S gom các lóp. Neu X là đ%nh chuan,
chúng ta có the xác đ%nh
||u||X/S = inf ||x||X, hay tương đương vói ||x||X/S = inf ||x −
s||X.
x∈u

s∈S

Đây là m®t nua chuan, và nó se là m®t chuan neu và chi neu S là đóng.


Đ%nh lý 1.1. Neu X là m®t khơng gian Banach và S là m®t khơng gian con
đóng cua X thì S là m®t khơng gian Banach và X/S cũng là m®t khơng gian
Banach.


Chúng minh tóm tat. Gia su rang xn là m®t dãy các phan tu cna X sao cho các
lóp xn là Cauchy. Chúng ta có the lay m®t dãy con sao cho
||xn − xn+1||X/S ≤ 2−n−1,

n = 1, 2, ...

Đ¾t s1 = 0, xác đ%nh s2 ∈ S sao cho
1
||x1 − (x2 + s2)||X ≤

2

,

1

xác đ%nh s3 ∈ S sao
cho
||(x2 + s2) − (x3 +
s3)||X ≤

Khi đó {xn + sn} là dãy Cauchy trên X.
Đieu ngưoc lai cũng đúng.

, ...
4
Q.

Đ%nh lý 1.2. Neu X là m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan và S là m®t
khơng gian con đóng cua X sao cho S là m®t khơng gian Banach và X/S là
m®t khơng gian Banach, khi đó X là m®t không gian Banach.
Các không gian con huu han chieu luôn đóng (chúng là đay đn). Tőng qt
hơn:
và
V lý
là 1.3.
m®t Neu
khơng
gian
huu
thìm®t
S khơng
+ V gian
là Banach
đóng. Đ
%nh
S là
m®tcon
khơng
gianhan
con chieu,

đóng cua
Chúng
minh tóm
tat.deTrưịng
hop V là
gianS1+- chieu
và V tőng
∩ Strnc
= 0,
ta
có the chúng
minh
dàng. Chúng
ta khơng
thay rang
V l mđt
tiep
v do vắy chỳng ta chi can chỳng minh rang các phép chieu S + V → S và S
+ V → V là liên tuc (vì khi đó m®t dãy Cauchy trong S + V se dan đen m®t
dãy Cauchy π : X → X/S han che túi mđt ỏnh xa 1-1 trờn V vỡ vắy l m®t
đang cau cna V trên tùng khơng gian con đóng ú, v vỡ vắy cú mđt dóy con
hđi tu). Phộp chieu lên anh V cna nó. Cho µ : V → V là liên tuc ngưoc. Do
π(S + V ) ⊂ V , chúng ta có the thành l¾p phép hop thành µ...π|S+V : S +
V → V và nó là liên tuc. Nhưng nó chi là phép chieu lên V . Phộp chieu lờn S
l idà..., vỡ vắy nú cũng
liên tuc.

Q

Chú ý 1.4. Tőng cna các không gian con đóng cna m®t khơng gian Banach

khơng nhat thiet là đóng. Xét m®t phan ví du (trong m®t khơng gian Hillbert


tách
cho S1 là m®t khơng gian vectơ gom tat ca các dãy so thnc
(xn )∞đưoc),
n=1 vói xn = 0 neu n le, và S2 gom các dãy thoa mãn x2n = nx2n−1, n =
1, 2, ... Rõ ràng X1 = l2 ∩ S1 và X2 = l2 ∩ S2 là các khơng gian con đóng
cna l2, khơng gian các dãy bình phương kha tích (chúng đưoc xác đ%nh như
là giao cna các
khơng gian trong cna các hàm tuyen tính liên tuc). Hien nhiên là MQI dãy đeu
có the đưoc viet m®t cách duy nhat dưói dang tőng cna các phan tu thu®c S1
và S2 :
(x1, x2, ...) = (0, x2 −x 1 , 0, x4 − 2x3, 0, x6 − 3x5, ...)+(x1 , x1,
x3, 2x3, x5, 3x5, ...).
Neu
vơ han
phan
tu bang
thì X
chỳng
tany
cú hai
hangmđt
trờn. dóy
Do vắy
tat nhng
ca cỏc cú
dóyhuu
nhhan

vắy
thuđc
vo X0 +
, ieu
chi so
ra
rang X1 + X2 trù m¾t trong l2. Bây giị xét dãy (1, 0,1 1/2,2 0, 1/3, ...) ∈
l2. Đó chi là sn phân tích như là các phan tu cna S1 và S2
(1, 0, 1/2, 0, 1/3, 0, ...) = (0, −1, 0, −1, 0, −1, ...) + (1, 1, 1/2,
1, 1/3, 1, ...)

v do vắy nú khụng thuđc vào X1 + X2. Do v¾y X1 + X2 khơng đóng trong l2.
1.1.3.

Các tính chat cơ ban cua khơng gian Hillbert

M®t tính chat cot yeu cna khơng gian Hillbert là khoang cỏch tự mđt iem
en mđt tắp loi úng l luôn xác đ%nh.
Đ%nh lý 1.5. Đ%nh lý ve phép chieu
Gia su X là m®t khơng gian Hillbert, K là m®t t¾p con loi đóng, và x ∈ X.
Khi đó ton tai duy nhat m®t x ∈ K sao cho
y∈

||x − x|| = Kinf ||x − y||.
Chúng minh. Khơng mat tính tőng quát, ta có the gia su rang x = 0, và vì v¾y
chúng ta phai chi ra rang có duy nhat m®t phan tu thu®c K có chuan bé nhat.
Cho
= inf
y∈K ||y|| và cHQN xn ∈ K sao cho ||xn || → d. Khi đó quy tac
hình d

bình
hành
dan đen
2

2

..
.. = 2||xn||
2
.. xn − xm .. 1

2

2

2
||xm||
≤
..
||x
||
n
2− ..
2
2
.. xn + xm .. 1
1

2

||xm||
−
2d ,
1


o đây chúng ta đã su dung tính loi đe suy ra rang (xn + xm)/2 ∈ K. Do v¾y
xn
là mđt dóy Cauchy v vỡ vắy cú mđt giúi han x, giói han này phai thu®c K do
K đóng. Do chuan là liên tuc, ||x|| = limn ||xn|| = d.
˜
Đe chúng minh tính duy nhat, chú ý rang neu ||x|| = ||x|| = d thì
và tù quy tac hình bình hành 2dan đen
˜
2
2
2
||(x + x)/2|| =2 d
2
2
||x − x˜|| = 2||x|| + 2||x˜|| − ||x + x˜|| = 2d
+ 2d − 4d = 0.
đưoc
xemnhat
như gan
là hình
chieutrong
cna xK lên
K. Nó đưoc
thoa mãn

K...P K = P K , đ%nh
Phan
tu duy
x nhat
thưịng
ký Phi¾u
boi P x, v
ngha cna mđt phộp chieu. Thuắt ngu ắc biắt oc su dung khi mK K l
mđt
khụng gian con đóng tuyen tính cna X, trong trưịng hop đó PK là m®t tốn tu
chieu tuyen tính.
Phép chieu và tính trnc giao. Neu S l mđt tắp con bat k cna không gian
Hillbert X, cho

S⊥ = {x ∈ X :< x, s >= 0 vói tat ca s ∈ S}.
Khi đó S là m®t khơng gian con đóng cna X. Hien nhiên là chúng ta có
⊥

S ∩ S⊥ = 0 và S ⊂ S⊥⊥ .
Khang
đ%nh: Neu S là m®t khơng gian con đóng cna X, x ∈ X, và PS x
là
hình chieu cna x lên S, khi đó x − PSx ∈ S ⊥ . Thnc v¾y, neu s ∈ S là tùy ý
và
t ∈ R, thì
2

2

2

2

||x − PSx|| ≤ ||x − PSx − ts|| = ||x − PSx|| − 2t(x − PSx,

s) + t ||s|| ,
vì
đa tai
thúc
hai0bên
phai
giáx,
tr%s)
nho
đaov¾y
hàm
đób¾c
bang
danve
đen
(xđat
−P
= nhat
0. khi t = ⊥0. Đ¾t
S
Dosv¾y
kỳlàx s∈=X Pchúng
ta =
có x−P
the viet

như là s + s vói s ∈
⊥
⊥
S và
∈ vói
S⊥ bat
(túc
Sx). Sn phân tích này hien
⊥ Sx, s
nhiên
là
duy
nhat
(neu
s
+
s
là
phân
tích
thú
hai
thì chúng ta có s −s =
s⊥ −s ⊥ ∈ S ∩S ⊥ = 0).
Rõ ràng chúng ta có
||x||2 = ||s||2 + ||s⊥||2.


Mđt hắ qua trnc tiep l S = S vúi S là m®t khơng gian con đóng, vì neu
x ∈ S⊥⊥ chúng ta có the viet nó như là s + s⊥, vì s⊥ ∈ S ⊥ ∩ S⊥⊥ = 0, túc

là


x ∈ S. Do v¾y chúng ta thay rang sn phân tích

x = (I − PS)x + P Sx
⊥
là sn phân tích (duy nhat) x thành tőng cna các phan
và S. Do
tu thuđc S
vắy
P
l
khụng
gian
con úng
S = I PS. Vói bat kỳ t¾p con S cna X, S
nho nhat chúa S.
Các t¾p trnc chuan và cơ sá trong khơng gian Hillbert.
Cho e1 , e2 , ..., eN là các phan tu trnc chuan cna m®t khơng gian
Hillbert X, và S là m®t mo r®ng cna chúng (HQ các tő hop tuyen tính
Σ
Σ
cna các phan tu trên). Khi đó
< x, en >∈en
S và x < x, en
> en
S, vì v¾y
−
Σ

⊥n
n < x, en > en = PSx. Nhưng
Σ
Σ
2
N
< x, en >2,
.. < x, en > en.. =
..
.. n
n=1
vì v¾y
N
Σ

< x, en >2≤ ||x||2

(Bat đang thúc Bessel.)

n=1

Bessel
rangBây
vóigiị
ε >
∈ t¾p
X, {e
E :<
>≥tùy
ε}

là huu
han, vthay
vỡ vắy
cho0Ev
l x
mđt
trnc
chuan
vúi x,
lnc e
long
ý. Tự
bat
ang thỳc
{e E :< x, e >> 0} là đem đưoc. Do vắy chỳng ta cú the mo rđng
thỳc Bessel cho mđt t¾p trnc chuan bat kỳ:
Σ
< x, e >2≤ ||x||2,

bat đang

e∈E

o đây tőng là tőng đem đưoc cna các so hang dng.
l mđt
tắptrong
bat k
v fmo: rđng
EX
l mđt

hmtắp
ỏnhcúxalnc
vo
mđt bat
khụng
gian Neu
ieuEny
huu ớch
viắc
tng
trờn cỏc
long
k.
Hillbert (hay mđt khụng gian tuyen tớnh %nh chuan hay thắm chớ l mđt TVS),
chỳng ta núi


f (e) = x
eE

(*)

tắp con huu han F cna E, h®i
neu lưói Σ e∈F f (e), oc ỏnh chi so boi cỏc
tu mđt tắp con huu han F0 ⊂ E sao cho x − e∈F f (e) U neu F l mđt
tắp con túi x. Nói m®t cách khác, (*) đúng neu vói MQI lõn cắn U cna
goc TQA đ, cú


huu

hantuyắt
cna Eoi
chỳa
trũng
E =neu
N, ieu nyf tng
ng
vúi vúi
sn
0 . Trong
hđi tu
cnaFmđt
chuoi.
Chỳ hop
ý rang
(e) hđi
tu, thỡ
eE
MQI ton tai mđt tắp huu han F0 sao cho neu F1Σ
và F2 là các t¾p con huu han
cna
F0, thì
..

Σ1
e∈F

e∈F2

Σ

..

f (e) −
f
..
Đieu này cho thay moi t¾p {e ∈ E : ||f (e)|| ≥ 1/n} là huu han, và vì
v¾y,
(e)..
≤E ε.
f (e) = 0 vói tat ca long
e
em oc.
Bo e 1.6. Neu E l mđt tắp con trnc chuan cua m®t khơng gian Hillbert X
Σ
và x ∈ X, thì e∈E < x, e > e h®i tn.
x,
e
rang Chúng minh.
Chúng>ƒ=
ta có the sap0.thú tn cácChú
phan tu e1, ýe2, ... cna E
vói <
N
.. N
Σ
| < x, en > | ≤ ||x|| .
Σ < x, en > 2 =
..
2

n=1 en
n=
1
..
Σ∞
<
x, e > e tao thành
dãy Cauchy, và vì v¾y h®i tu đen m®t phan
tu
n=
n=1 < nx, enn > en cna
N
ieu
nylchi
ra rang
cỏcỏp
tng
riờng
sN =
X.
Nh
mđt
bi tắp
dung
%nh
ngha, chỳng ta chi ra rang

x, e > e = n=

< x, en > en.

Cho trưóc ε > 0, cHQN N đn lón sao cho
∞
n=ΣN +1 |

< x, en2> | < ε.
Neu M > N và F l mđt tắp con huu han cna E chỳa e1, ..., eN , khi đó
..Σ
M

..

n=

< x, en >
en −

1

Cho M tien ra vơ
cùng,
.. ∞ < x, e >
n
Σ

en −
..
n=1
ta có đieu phai chúng minh.

eΣ∈
F

2

≤ ε.

< x, e
>e
..

eΣ∈
F

2

≤ ε,
< x, e
>e
..


Ta nhac lai chúng minh rang MQI không gian vectơ eu cú mđt c so. Chỳng
ta xột tắp tat ca cỏc tắp con đc lắp tuyen tớnh cna khụng gian vectơ đưoc sap
thú tn theo quan h¾ bao hàm thúc, v chỳ ý rang neu chỳng ta cú mđt tắp con

hồn tồn sap thú tn cna t¾p này, thì khi ú hop se l mđt tắp con đc
lắp tuyen tớnh chúa tat ca các phan tu cna nó. Sau đó ỏp dung B e Zorn ta
thay rang cú mđt tắp đc lắp tuyen tớnh cnc ai. Tự tớnh cnc ai suy ra
rang tắp ny cng mo rđng, tỳc l, nú là m®t cơ so. Trong khơng gian tích
trong chúng ta có the su dung l¾p lu¾n tương tn đe chúng minh sn ton
tai cna m®t cơ so trnc chuan.
Thnc te là, trong khi các cơ so ton tai đoi vói MQI khơng gian vectơ, vói các
khơng gian vơ han chieu các cơ so rat khó hay khơng the xây dnng và hau như
khơng bao giị đưoc su dung. M®t khái ni¾m khác cna cơ so huu ích hơn nhieu,
túc là ta có the dùng tơpơ đe cho phép (chap nh¾n) các tő hop tuyen tính vơ
han. Đe phân bi¾t các c so thụng thũng tự khỏi niắm ny, mđt c so
thơng thưịng đưoc GQI là cơ so Hamel.
e đây chúng ta mơ ta m®t cơ so trnc chuan cna khơng gian Hillbert. Theo
%nh ngha, ú l mđt tắp trnc chuan cnc ai. Theo B e Zorn, mđt tắp
trnc chuan bat kỳ trong m®t khơng gian Hillbert có the đưoc mo rđng thnh
mđt c so, v vỡ vắy cỏc c so trnc chuan ton tai. Neu E là m®t cơ so trnc
chuan như v¾y, và x ∈ X, thì
Σ
x=
< x, e > e.
e∈E

kiem
tra rang
bat kỳ
0 ∈ E tích trong cna nó là < x, e0 >. Do v¾y y
:= Thnc
v¾y, vói
chúng
taebiet

rang tőng bên ve phai ton tai trong X và de
dàng
x − e∈E < x, e > e là trnc chuan vói E, và neu nó khác 0, thì
chúng ta có the
thêmΣy/||y|| vào E đe thu đưoc t¾p trnc chuan lón hơn.
như chúng
là ceetavói
e R, nhưng có nhieu phan tu 0. De dng e chi ra
rangdien
Do vắy
ócchi
ra rang mđt phan tu x ∈ X bat kỳ có the đưoc
Σ
bieu các ce xác đ%nh duy nhat, cu the là ce =< x, e > và ||x||2 = c2.
Khái ni¾m cơ so trnc chuan cho phép chúng ta xác đ%nh chieu
Σ cna m®t khơng
∈
e kỳ. Đe thay
gian Hillbert, đó chính là lnc lưong cna m®t cơ so trnc chuan bat
đ%nh nghĩa này là tot, chúng ta can kiem tra rang hai cơ so bat kỳ phai có cùng
lnc lưong. Neu m®t trong hai là huu han thì đieu này là tam thưịng. Ngồi
ra, cho E và F là hai cơ so trnc chuan vơ han. Vói moi 0 ƒ= x ∈ X, tích trong
< x, e >ƒ= 0 vói ít nhat m®t e ∈ E. Boi
[
v¾y

F⊂


{f ∈ F :<

f, e >
0},
e∈E
túc là, F đưoc chúa trong hop cna cỏc tắp em oc thuđc E. Do ú cardF
N0cardE = cardE.
Neu S l mđt tắp bat kỳ, ta xác đ%nh m®t khơng gian Hillbert riêng l2(S)
như là t¾p các hàm c : S → R, các hm ny triắt tiờu trờn mđt tắp em oc
s
v thoa mãn S c2 < ∞. Do v¾y thơng qua m®t cơ so chúng ta thay rang
s

m®t khơng gian Hillbert bat kỳ có the đưoc dien ta như là m®t song ỏnh tuyen
tớch
vúi ang
mđt cau
l2(S).
Do vắy,
thnh bao
angton
cau,chuan
chi cú
khụng
gian
tớnh trong)
(hay mđt
khụng
gian e
Hillbert)
(vmđt
do ú

bao ton
Hillbert vúi lnc long cna nú. ắc biắt chi có duy nhat m®t khơng gian Hillbert
vơ han chieu tách đưoc (thành đang cn).
vơVí
han
chính
hàm
en =cna
exp(2πinθ),
cái
mà Hillbert
l¾p Ví du:
du chieu
női tieng
nhatlvetắp
mđtcỏc
c so
trncsochuan
mđt khụng gian
thnh mđt c so cho L2([0, 1]) phúc. (Các hàm đó hien nhiên là trnc chuan,
và
chúng là t¾p trnc chuan lón nhat theo đ%nh lý xap xi Weierstrass. Do vắy mđt
L2 hm bat k cú mđt L2 chuoi Fourier h®i tu
∞
fˆ(n)e2πinθ ,
f (θ) = n=Σ−
∞

0

vói fˆ(n) =< f, en >=

∫

f (θ)e−2πinθdθ. Do v¾y tù quan điem cna không


gian