Luận văn thạc sĩ về phức koszul

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN-CƠ-TIN HOC

NGUYEN TH± QUỲNH

VE PHÚC KOSZUL

LU¾N VĂN THAC SĨ

HÀ N®I- 2015


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN-CƠ-TIN HOC

NGUYEN TH± QUỲNH

VE PHÚC KOSZUL

LU¾N VĂN THAC SĨ
Chuyên ngành: Đai so và lý thuyet so

Giang viên hưáng dan: TS. Nguyen Phn Hoàng Lân


LèI CAM ƠN

Nhân d%p này, tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen TS.Nguyen
Phu Hoàng Lân, thay đã trnc tiep hưóng dan, t¾n tình chi bao cũng

như tao đieu ki¾n ve nhieu m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn
này.
Đong thịi, tơi cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the các
thay giáo, cơ giáo trong khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc
Tn Nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi đã day bao tơi t¾n tình
trong suot q trình HQc t¾p tai khoa.
Tôi cũng xin trân TRQNG cam ơn các thay, cụ trong Hđi ong bao vắ luắn
vn cna tụi. Cỏc thay, cơ đã ĐQc, góp ý, và giúp đõ đe tơi có the chinh
sua lu¾n văn này đưoc tot hơn.
Cuoi cùng, tơi xin cam ơn gia đình, ban bè và tat ca MQI ngưịi đã quan
tâm, tao đieu ki¾n và đ®ng viên cő vũ tơi đe tơi có the hồn thi¾n nhi¾m
vu cna mình. Xin chúc MQI ngưịi súc khoe, đat đưoc nhieu thành tích cao
trong cơng tác,

HQc

t¾p cũng như nghiên cú khoa

HQc.

Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2015.
HQc viên
Nguyen Th% Quỳnh

1


Mnc lnc
DANH MUC CÁC KÝ HIfiU

4

LèI Me ĐAU

5

1

6

Kien thÉc chuan b%

1.1 Các phúc và đong đieu cna phúc............................................6
1.1.1 Các phúc......................................................................6
1.1.2 Đong đieu cna phúc.....................................................8
1.1.3 Các cách xây dnng m®t phúc khác tù các phúc đã cho 13
1.2 Các dãy giai và các mơđun mo r®ng.....................................15
1.2.1 Các dãy giai................................................................15
1.2.2 Các mơđun mo r®ng..................................................16
1.3 Đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so ngoài...........................17
1.3.1 Đai so tenxơ...............................................................17
1.3.2 Đai so đoi xúng...........................................................21
1.3.3 Đai so ngồi...............................................................25
2 Đ® sâu

28

3 PhÉc Koszul

35

3.1 Cách xây dnng Phúc Koszul theo tích ngồi.........................35
3.2 Cách xây dnng Phúc Koszul bang cách lay tenxơ các phúc .37
3.3 M®t so tính chat cơ ban cna phúc Koszul.............................39
4 Úng dnng cua phÉc Koszul

41


4.1 Phúc Koszul và dãy chính quy...............................................41
4.2 Phúc Koszul và đ® sâu.........................................................43
4.3 Phúc Koszul và dãy giai tn do cna đai so đoi xúng................44
Ket lu¾n

49

Tài li¾u tham khao

50


DANH MUC CÁC KÝ HIfiU
Sau đây là nhung ký hi¾u oc dựng trong luắn vn.
k
mđt trũng.
R
mđt vnh giao hoỏn cú đơn v%.
M
m®t R-mơđun.
I

m®t R-iđêan.
M ⊗R N
tích tenxơ cna M và N vúi hắ so trờn R.
mđt R-ai so tenx cna mơđun M .
T (M )
m®t R-đai so đoi xúng cna mơđun M .
S (M )
m®t R-đai so ngồi cna mơđun M .
∧(M )
HomR(M, N ) t¾p các R-đong cau mơđun tù M vào N
.
C• ⊗ K•
tích tenxơ cna hai phúc Cã v Kã.
n
R[x
,
.
.
.
,
x
]vnh
a thỳc n bien vúi hắ so trờn
1
n
R. Ext
R(M, N ) mơđun mo r®ng thú n cna M và N
.
(x1, x2, . . . , xn) m®t R-iđêan đưoc sinh boi các phan tu x1, x2, . . . ,
xn .

(R, m)
vành đ%a phương R vói iđêan cnc đai m.
depth(I, M )
Đ® sâu cna iđêan I trên mơđun
M . K•(x)
phúc Koszul cna dãy x.
K•(x; M )
phúc Koszul cna dãy x vói h¾ so trên
M . Ann(M )
linh tu cna M .


Me ĐAU
Phúc Koszul là m®t đoi tưong quan

TRQNG

cna đai so đong đieu. Phúc

này đưoc đ¾t theo tên cna nhà tốn HQc ngưịi Pháp Jean-Louis Koszul, nó
có moi liên h¾ m¾t thiet vói các dãy chính quy và đ® sâu cna mđt iờan.
Nđi dung chớnh cna luắn vn l trỡnh by lai m®t so kien thúc cơ
ban ve dãy chính quy, đ® sâu, phúc Koszul và nêu ra m®t vài úng
dung cơ ban cna phúc Koszul.
Bo cuc cna lu¾n văn đưoc trình bày như sau.
Chương 1: Trình bày lai m®t so kien thúc cơ ban cna đai so đai
cương và đai so đong đieu như: các phúc, đong đieu cna phúc, tích
tenxơ cna hai phúc, đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so ngồi, các
dãy giai và các mơđun mo r®ng.
Chương 2: Trình bày lai m®t so kien thúc cơ ban ve dãy chính quy,

dãy chính quy cnc đai, tù ú i en khỏi niắm đ sõu cna mđt iờan.
Chng 3: Trình bày các cách xây dnng phúc Koszul và m®t so tính
chat cơ ban cna nó.
Chương 4: Nêu ra m®t vài úng dung cơ ban cna phúc Koszul như:
phúc Koszul cna m®t dãy chính quy cho ta m®t dãy giai tn do cna
iđêan sinh boi dãy đó, kiem tra khi nào m®t dãy các phan tu trong
iđêan cnc đai cna m®t vành đ%a phương là dãy chính quy, tính đ® sâu
cna m®t iđêan, xây dnng m®t phúc vói đong đieu cna nó o v% trí 0
chính là đai so đoi xúng cna m®t iđêan.


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Muc đích cna chương này là trình bày lai m®t so kien thúc cơ ban
cna đai so đai cương và đai so đong đieu: các phúc, đong đieu cna
phúc, tích tenxơ cna các phúc, đai so tenxơ, đai so đoi xúng, đai so
ngoài, các dãy giai và các mơđun mo r®ng. N®i dung chương này dna
trên các tài li¾u [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15]. Trong suot
lu¾n văn, chúng tơi ln gia su R là m®t vành giao hốn có đơn v%.
Các mơđun và các đong cau đeu đưoc hieu là các R-môđun và các
đong cau R-môđun.
1.1
1.1.1

Các phÉc và đong đieu cua phÉc
Các phÉc

Các nghiên cúu ve các môđun và đong cau giua chúng có the đưoc
dien ta thơng qua các phúc.

Đ%nh nghĩa 1.1. Mđt dóy cỏc mụun v cỏc ong cau
Mã : · · · →
M

∂n+1
∂n
n+1

− → Mn

Mn−

→...

(1.1)

1

−→

đưoc gQI là m®t phúc neu ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z.
Tương tn, m®t dãy các mơđun và các đong cau
∂−
M• = · · · → Mn−1 →
n−1

M n − M n+1 → . . . ,
→
n
∂

(1.2)


đưoc gQI là m®t đoi phúc neu ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z.
M®t
phúc
đưoc
GQI là kháp á v% trí thú n neu Ker ∂n = Im ∂n+1 .
M®t
phúc
đưoc
GQI là kháp neu nó khóp tai MQI v% trí.


Lưu ý rang, m®t phúc (khóp) cũng có the huu han, đó là khi dãy (1.1)
huu han.
Ví dn 1.2. Cho hai phan tu x, y ∈ R. Khi đó dãy sau là m®t phúc
(x y)
(−y)
0 → R −x→ R2 − → R → 0.
Hơn nua, neu x khơng là ưóc cna khơng trên R và y khơng là ưóc cna
khơng trên R/(x) thì phúc trên là khóp.
Nh¾n xét 1.3. Theo đ%nh nghĩa, ta có
(i) M là m®t mơđun tn do khi và chi khi ∃n ∈ N∗ : Rn → M → 0 là
dãy khóp,
(ii) f : A → B là đơn ánh khi và chi khi 0 →
A →−

f

B là dãy khóp,

g

(iii) g : B → C là tồn ánh khi và chi khi B →− C → 0 là dãy khóp.
Vi¾c ket hop các dãy khóp trên tao nên m®t loai dãy khóp rat
quan TRQNG, đưoc GQI là dãy khóp ngan.
Đ%nh nghĩa 1.4. M®t dãy khóp vói 5 mơđun có dang
0 → M j → M → M jj 0
oc gQI l mđt dóy khỏp ngan.
Nhắn xột 1.5. MQI dãy khóp dài · · · →
M

∂n+1
n+1

− → Mn

∂n

Mn− → . . .

1
−→
đeu có the phân tích thành các dãy khóp ngan
0 − → ker ∂n − → Mn − → im ∂n − → 0
ǁ

0 − → ker ∂n+1 − → Mn+1 − → im ∂n+1 − → 0

Đe liên ket các phúc, ta su dung khái niắm ong cau giua cỏc phỳc.
%nh ngha 1.6. Mđt ong cau giua hai phỳc Mã v
l mđt HQ cỏc
Mj
ong cau
fã

:=
{fn



:
Mn

Mj
}

•
n∈Z sao

cho bieu đo sau giao hốn


n
∂n+1

∂

− → Mn−1 −n−

1 → . . .
. . .− → Mn+1 − →
∂n
Mn



yfn+1
yfn
yfn−1
∂

J

J

J

∂n+

J

J

∂n

J

J

∂n−
1

...
− → Mn+1 − → Mn − → Mn−1 − → . . .


túc là fn−1 ◦ ∂n = ∂nj ◦ fn , n.
Ta kớ hiắu fã : Mã Mã j .
Ket qua tiep theo nói lên moi liên h¾ giua các đong cau thành phan
trong đong cau giua hai dãy khóp ngan.
Bo đe 1.7 (Bő đe 5 đang cau). Cho bieu đo giao hoán cua hai dãy
kháp ngan
g

f

0−→A −→
−→C−→0
B
 ϕ
 ψ
y
yρ
y
f
0 − → Aj j
− gj C j − → 0
−
→

B
→
Neu ϕ và ρ là các đang cau thì ψ cũng là m®t đang cau.
J

Chúng minh. Gia su u ∈ ker ψ, su dung tính giao hốn cna bieu
đo ta đưoc ρ(g(u)) = g j (ψ(u)) = g j (0) = 0. Vì ρ là đơn cau nên
g(u) = 0, do đó u ∈ ker g. Tính khóp tai B chi ra rang u ∈ ker g
⇒ u ∈ im f , do đó
∃a ∈ A : f (a) = u. Su dung m®t lan nua tính giao hốn cna bieu đo,
ta đưoc f j (ϕ(a)) = ψ(f (a)) = 0, và do f j là đơn cau nên ϕ(a) = 0,
lai do ϕ là đơn cau nên a = 0. Do đó, u = f (0) = 0. V¾y ψ là m®t
đơn cau.
Xét bj ∈ B j . Khi đó g j (bj ) ∈ C j . Do ρ là toàn cau nên ∃c
∈ C : ρ(c) = g j (bj ), và do g là toàn cau nên ∃b ∈ B : g(b) =
c. Su dung tính giao hoán cna bieu đo ta đưoc g j (ψ(b)) = g j (bj ), do
đó g j (ψ(b) − bj ) = 0, hay ψ(b) − bj ∈ ker g j . Tính khóp tai B j chi
ra rang ψ(b) − bj ∈ im f j , túc là ∃aj ∈ Aj : f j (aj ) = ψ(b) − bj , do
ϕ là toàn cau nên ∃α ∈ A : ϕ(α) = aj ,
và su dung tính giao hốn cna bieu đo ta đưoc
ψ(b) − bj = f j (aj ) = f j (ϕ(α)) = ψ(f (α)).
Do v¾y, bj = ψ(b) − ψ(f (α)) = ψ(b − f ()), hay l mđt ton cau.
1.1.2

ong ieu cua phẫc

Viắc nghiên cúu tính khóp cna các phúc đưoc quy ve vi¾c nghiên
cúu các đong đieu cna chúng.

Đ%nh nghĩa 1.8. Mơđun thương Hn (M• ) := ker ∂n /im ∂n+1 đưoc GQI là
mơđun
n cna
n
•đong đieu thú
n
n−1 phúc Mã. Mđt cỏch tng tn, mụun thng
H
(M
)
oc GQI l mụun đoi đong đieu thú n cna đoi
• := ker ∂ /im
phỳc M .
Nh vắy, phỳc Mã khúp tai v% trớ thỳ n khi v chi khi Hn(Mã) = 0.
Mđt đong cau giua hai phúc se cam sinh m®t dãy các đong cau
giua các môđun đong đieu cna hai phúc ú.
Mắnh e 1.9. Cho mđt ong cau fã giua hai phúc M• và M j

•

. ..− →
M


... −→
Mj

∂n+1

∂

−n →
−→

M
n+
yfn+1 Mn yfn

yfn−1

n−

1

1

J

n+
1

∂ n+

j

∂

− → ...

J

−1 → M − → M
n

J

− → ...

n

•
n−1

: Hn (M•) → Hn (M j ) đưac cam

Khi đó vái mői n se có m®t đong cau

(f∗ )n
sinh bái fn như sau
(f∗ )n ([m]) = [fn (m)] , ∀m ∈ ker ∂n .
Chúng minh. Có the xem chúng minh này trong [7, tr. 778].
Ta se nghiên cúu kĩ hơn ve đong cau giua hai phúc. Trưóc tiên ta
nhac lai khái ni¾m dãy khóp ngan cna các phúc.
Đ%nh nghĩa 1.10. Cho các phúc M• , M j , M jj và các đong cau f• : M j → M•,
g• :
M•

→ M•jj . Neu vói moi n, dãy
0 → M j fn M
fã

n
ã
l mđt dóy khúp ngan, thỡ ta GQI→dãy

•
g
n

•

M jj → 0

•

0 → Mj

M


n

−→ n
M jj → 0
là m®t dãy kháp ngan cua các phúc M j g,• M• , M jj .
•
•
•−
•
→
Dãy khóp ngan nói trên đưoc viet cu the như sau, trong đó các hàng

ngang là các dãy khóp ngan và các hàng DQc là các phúc


.

0

.

 j
y

.

fn+1

y

yJJ

0

gn+1

−→
Mn+1
0−→
0
 j
y

− → Mn+1 − → Mn+1 − →
yJ

M
n

fn

−→
fn−1

y



gn
y

yJJ

− → Mn
0

−→

yJJ

gn−1

−→
Mn−1
 .
y

− → Mn−1
 .
y

− → Mn−1 −
→
 .
y

0


M®t dãy khóp ngan cna các phúc se cam sinh dãy khóp dài trên đong
đieu.
Đ%nh lý 1.11. Cho m®t dãy kháp ngan cua các phúc
g• M jj → 0
0 → M•−
j f• M •−
•
→ trên các đong đieu
Dãy này se cam sinh ra mđt dóykhỏp di
ÃÃÃ
H

n

H
(M

J

(M )

(f )nã
(f)n



n

1

)
ã(g
)n
(g)n1

H (M jj )
n
− δ→ H
n

•
JJ

(M j )
n−

δn−1

•
J

−− → Hn−1(M•) −− → Hn−1(M• ) − → Hn−2(M•) → . . .
(1.3)
Chúng minh. Các đong cau (f∗ )n và (g∗ )n đã đưoc xây dnng như trong
M¾nh đe 1.9. Ta can xây dnng đong cau δn và kiem tra tính khóp cna
dãy (1.3).
Ta bat đau vói vi¾c xây dnng δn dna vào bieu đo giao hoán sau
g

n
y − →x


y∂n
y∂n

JJ

f → ∂n(y)
gn−
−
 −
1 → 0

z
n−1
∂

y n−1
fn−2
0−→ 0
y
⊆ M jj . Do gn là toàn cau nên ∃y ∈ Mn : gn (y) = x. Su
J

Xét x ∈ ker

n

n

∂

∂”
n

dung tính giao hốn cna bieu đo, ta đưoc 0 = ∂jj (x) = gn−1 (∂n (y)), cho


nên ∂n (y) ∈ ker gn−1 = im fn−1 . Do đó ∃z ∈ M
n j : fn−1 (z) = ∂n (y) (do
fn−1 là đơn cau nên vói moi y ∈ Mn xác đ%nh duy nhat m®t z ∈ M
n j ).
Hơn nua, fn−2 (∂ jn− (z)) = ∂n−1 (fn−1 (z)) = ∂n−1 (∂n (y)) = 0 (su dung tính

giao
hốn
nên ta
cú jcna bieu o v gia thiet Mã l mđt phúc), và do fn−2 là đơn cau
. Vì v¾y, vói moi x ∈ ker ∂”, se
n−1 (z) = 0, túc là z ∈ ker
n−
∂j
n
cho tương úng vói m®t z ∈ ker ∂j , cho nên ta xác đ%nh δn boi công thúc
n−
δn([x]) = [z]. Tiep theo ta se kiem
tra rang n oc %nh ngha tot.
ã Viắc cHQN ra [z] khụng phu thuđc vo viắc cHQN phan tu y gn1 (x).
Cho phan tu yˆ ∈ gn−1(x) khác, khi đó ton tai duy nhat zˆ ∈ ker
n− ∂j
sao cho fn−1 (zˆ) = ∂n (yˆ).
f
n
−
→
w

y∂n

g

n

y − yˆ



J

z − zˆ

n

−→0


y∂n
−
→

y∂n

JJ


fn−1

∂ (y − yˆ)

g

n−1

0

−
Ta có gn (y − yˆ) = x→− x = 0, do đó y − yˆ ∈ ker gn = im
fn , và
do v¾y ∃w ∈ M
n j : fn (w) = y − yˆ. Su dung tính giao hốn cna
bieu đo ta đưoc fn−1(∂nj (w)) = ∂n (fn (w)) = ∂n (y − yˆ) = ∂n (y) −
∂n (yˆ) = fn−1 (z) − fn−1(zˆ) = fn−1 (z − zˆ), và do fn−1 là đơn cau nên
∂nj (w) = z − zˆ, hay z − zˆ ∈ nim ∂ j , tỳc l [z] = [z].
ã Viắc cHQN ra [z] khụng phu thuđc vo phan tu ai diắn cna [x]. Gia
su [x] = [xˆ], hay x − xˆ ∈
, ta phai chi ra [z] =
n+ im ∂jj
1

[zˆ], hay

z − zˆ ∈ im ∂nj . Th¾t v¾y, do x − xˆ ∈ n+
im ∂ jj
1

∃v ∈ M jj :
∂ (v) = x −
xˆ.

n+
1

JJ

gn+1
−
→
u

y∂n+1

n+


yn+∂

JJ

1

1
fn−

z − zˆ

Lai do gn+1

1

g
y − yˆ − x − xˆ
→

y∂n

0
−
→
là toàn cau nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1(u), và ta có

n

nên


x − xˆ =n+∂ jj
gn−1(x)

1

(gn+1(u)) = gn (∂n (u)). Do đó ta có the cHQN y ∈

và yˆ ∈ gn−1(xˆ) : y − yˆ = ∂n+1 (u), khi đó ∂n (y) − ∂n (yˆ) = ∂n (y −
yˆ) =
n ∂ j ⊆n M j :
∂n (∂n+1(u)) = 0. Theo cách xây dnng δn thì ∃z, zˆ ∈ ker
fn−1 (z) = ∂n (y), fn−1(zˆ) = ∂n (yˆ), suy ra fn−1 (z − zˆ) = 0, hay z −
zˆ ∈
ker
fn−1
fn−1
là đơn
nên làm
z −anh

zˆ =
0 ∈ đen
im ∂jsn. cDo
vói moi
x, sn
lna, mà
cHQN
phan
tu ycau
khơng
hưong
HQN ra [z]
nên
n
[x] = [xˆ] ⇒ [z] = [zˆ].

Do đó δn đưoc đ%nh nghĩa tot, và ta có the kiem tra rang δn là m®t
đong cau.
Tiep theo ta se kiem tra tính khóp cna dãy (1.3) tai Hn(M•). Cho
[w] ∈ Hn(M•), thì tính khóp o moi hàng trong dãy khóp ngan cna các
phúc cho ta đang thúc sau
(g∗ )n ((f∗ )n ([w])) = (g∗ )n ([fn (w)]) = [gn (fn (w))] = [0],
do đó im ((f∗ )n ) ⊆ ker ((g∗ )n ). Ngưoc lai, gia su [y] ∈ ker ((g∗ )n ), túc là
[gn (y)] = [0] hay gn (y) ∈ imn+∂ jj
∈ M jj :
n+ , khi đó ∃vn+
gn (y) = ∂ jj

1

(v),

1

1

và do gn+1 là toàn cau nên ∃u ∈ Mn+1 : v = gn+1(u). Do v¾y, gn(y) =
JJ

∂n+ (gn+1(u)) = gn(∂n+1(u)), suy ra y − ∂n+1(u) ∈ ker gn = im fn, do đó
1

∃w
∈ Mnj : y − ∂n+1(u) = fn (w). Su dung tính giao hốn cna bieu đo,
ta đưoc
fn−1(∂ j (w))
= ∂n (fn (w)) = ∂n (y − ∂n+1 (u)) = ∂n (y) = 0
n
(do y ∈ ker ∂n thu®c m®t phan cna đ%nh nghĩa [y] ∈ Hn(M•)), và do fn−1 là
đơn cau nên ∂ jn(w) = 0, hay w ∈ ker n∂ j , do đó (f∗ )n ([w]) = [fn (w)] = [y],
hay [y] ∈ im ((f∗ )n ). Do v¾y ker ((g∗ )n ) ⊆ im ((f∗ )n .
Vi¾c kiem tra tính khóp cna dãy (1.3) tai Hn (M j ) và Hn (M jj ) đưoc làm
•

•

tương tn.

Đ%nh nghĩa 1.12. Các đong cau δn : Hn (M• jj ) → Hn−1 (M• j ) đưoc xây
dnng như trong chúng minh cna Đ%nh lý 1.11 GQI là các đong cau noi.

1.1.3

Các cách xây dEng m®t phÉc khác tÈ các phÉc ó cho

Cho
Cã

n+1

:ÃÃÃ
C

n+

Cn


n

1

Cn . . . l mđt phúc và M là
1

m®t mơđun tùy ý.
Ta có the tao ra các phúc tù C• và M như sau
HomR(M, C•) :
dn+1

d
n

· · · → HomR (M, Cn+1) − → HomR (M, Cn ) −→ HomR (M, Cn−1) → . . .
trong đó, dn = ∂n ◦ .
HomR(C•, M ) :
·· · →
(Cn− ϕ
, n−1
M )−
HomR
→

,
HomR (C , M )− HomR (Cn+ , M ) → . . . , ,
ϕ
→
n
n

1

1

trong đó, ϕn = ◦ ∂n. Đây là m®t đoi phúc .
C• ⊗R M :
⊗
∂ n
···→
C

n ⊗R
M → . . .
−
−
−
−
−
Cn−1
n+1
M
∂n+1⊗RidM
C
R
→
M
− − i−
⊗R
⊗R
M
d
→
Ngồi ra, ta cịn có the xây dnng m®t phúc mói tù hai phúc đã cho.
C• ⊗R K•
Cho (C•, ∂•) và (K•, λ•) là hai phúc. Ta xét bieu đo sau
.
...− →

.

.

y m+1

⊗K
C

n

−→

⊗yKm+1 − →

⊗y Km+1 − → . . .

Cn−1

Cn+1
Km
... −→

Cn+1 y

− → Cn

y Km

−→
Cn−1 y

y

m−1


Km

− →...

...− →
Cn+1

⊗

⊗

y m−1
n

⊗K
C

−→

⊗yKm−1 − →
Cn−1
 .
y

 .
trong đó các hàngyDQc là các phúc vói các đong cau

⊗
⊗K
 .
y

(−1)nidCn ⊗ λm : Cn ⊗ Km → Cn ⊗ Km−1,
và các hàng ngang cũng là các phúc vói các đong cau
∂n ⊗ idKm : Cn ⊗ Km → Cn−1 ⊗ Km.

− →...


Do cách cHQN dau cna các đong cau theo chieu
trên giao hốn.

DQ c

nên bieu đo

Ta có the tao ra tích tenxơ cna hai phúc (C•, ∂•) và (K•, λ•), kí hiắu
Cã R Kã, theo cỏch sau: (Cã R Kã)n := Σi Ci ⊗ Kn−i, và đong cau
gn : (C• ⊗R K•)n → (C• ⊗R K•)n−1 đưoc xác đ%nh trên tùng thành phan
Ci ⊗ Kn−i là ∂i ⊗
idK
C • ⊗R K •
gn−1 ◦

Ci ⊗
K

n−
i

+
(−1)iidC

n−
i

i

⊗ λn−i. Ta kiem tra tính phúc cna dãy

n−
i

+
(−1)iidC

= gn−1 .∂i ⊗ idK

i

⊗ λn−iΣ

gn .

= ∂i−1 ◦ ∂i ⊗

n−

i

+ (−1)i−1∂i ⊗ λn−i

idK
+ (−1)i∂i ⊗ λn−i +
(−1)i(−1)iidC
=0

i

⊗ λn−i−1 ◦ ni

Ta cú mđt ang cau CãRKã = KãRCã cho boi x⊗y ›→
(−1)i(n−1)y⊗x
vói x ⊗ y ∈ Ci ⊗ Kn−i.
Ví dn 1.13. Cho hai phúc
G•(x; M ) :
0→M →−x

M
1
y

0

→

0,

G• (y) :0→R →− R → 0.
1

0

Khi đó, phúc G•(x, y; M ) := G•(x; M ) ⊗ G•(y) có dang như sau
0→M ⊗R
2
1
−∂→ 1

M ⊗R⊕M ⊗R
1
−∂→
1

0

Ta xác đ%nh các đong cau ∂2 và ∂1

0

1

M ⊗ R → 0.
0

0

∂2(m1 ⊗ r1) = (xm1) ⊗ r1 − m1 ⊗ (yr1),
và
Do đó

∂1(m1 ⊗ r0 + m0 ⊗ r1) = (xm1) ⊗ r0 + m0 ⊗ (yr1).

G•(x, y; M ) :
0

(x y)
x)
(−y
0→M ⊗R−→M ⊗R⊕M ⊗R−→M ⊗R→

(x y)
(−y
)
x
∼= 0 → − → M2 − → M → 0.
M


1.2
1.2.1

Các dãy giai và các mơđun ma r®ng
Các dãy giai

Ta cú the nghiờn cỳu mđt mụun thụng qua viắc nghiờn cúu dãy giai
cna mơđun đó.

Đ%nh nghĩa 1.14. M®t dãy giai cua mđt mụun M l mđt phỳc


Mã : . . . →−

ϕ

2

0,

1

M2

M1 −→ M0

−→

→−

(1.4)

vói Hi(M•) = 0, ∀i > 0 và H0(M•) = M . Hơn nua, neu ton tai n ≥ 0 sao
cho Mn ƒ= 0 và Mk = 0, ∀k > n thì dãy giai đưoc GQI là cú đ di bang n.
Nhắn xột 1.15. ụi khi, mđt dãy giai cna M cịn đưoc viet dưói dang
ϕ
ϕ
. . . →−
M → 0.

2
1
M2
M1 −→ M0
−→ →−
Khi đó phúc trên là m®t dãy khóp.
Đ%nh nghĩa 1.16. Dãy giai (1.4) đưoc GQI là m®t dãy giai xa anh (tn do)
cua M neu Mi là mơđun xa anh (tn do) vói MQI i.
Ve khái ni¾m mơđun xa anh, ngưịi ĐQc có the tham khao thêm trong
[10, tr. 180].
Ví dn 1.17. Gia su x khơng là ưóc cna khơng trong R. Khi đó phúc
0 →− R
→
−x

R →− 0

(đong cau x bieu th% cho phép nhân boi x) là m®t dãy giai tn do cna R/
(x).
M¾nh đe sau đây đóng vai trị quan

TRQNG

trong đai so đong đieu.

M¾nh đe 1.18. MQI mơđun M đeu có m®t dãy giai tn do.
Chúng minh. Ngưịi ĐQc có the xem chúng minh này trong [10, tr. 182].