Luận văn thạc sĩ tính điều khiển được của hệ tuyến tính rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Lý Vinh Hạnh

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts. Đỗ Đức Thuận


Lài cam ơn

Đưoc sn phân cơng cna Khoa Tốn - Cơ - Tin

HQ c

trưòng Đai

HQ c

Khoa

HQ c

Tn nhiên, ĐHQGHN và

sn đong ý cna thay giáo hưóng dan TS. Đo Đúc Thu¾n tơi đã thnc hi¾n đe tài "Tính đieu khien đưoc
cna h¾ tuyen tính rịi rac".
Đe hồn thành khóa lu¾n này, tôi xin chân thành cam ơn các thay cô giáo đã t¾n tình hưóng dan,
giang day trong suot q trình tơi

HQ c

t¾p, nghiên cúu và rèn luy¾n o trưịng Đai

HQ c

Khoa

HQ c

Tn

nhiên.
Xin chân thành cám ơn thay giáo hưóng dan TS. Đo Đúc Thu¾n đã t¾n tình, chu đáo hưóng dan
tơi thnc hi¾n khóa lu¾n này.
M¾c dù đã co gang rat nhieu nhưng do ban thân van còn han che nên khóa lu¾n này khơng the
tránh khoi nhung thieu sót nhat đ%nh. Tơi rat mong đưoc sn góp ý cna q thay cơ giáo và các ban
đong nghi¾p đe khóa lu¾n đưoc hồn chinh hơn.
Tơi xin chân thành cám ơn!
Hà n®i, tháng 3 năm 2017.
Nguyen Lý Vinh Hanh

1


Mnc lnc
Lài ma đau

1

Danh mnc kí hi¾u và chE viet tat

2

1 H¾ đieu khien tuyen tính
1.1 H¾ đieu khien tuyen tính liên tuc . . . . . . . . . . . .

3
.3

1.1.1 Khái ni¾m đieu khien đưoc . . . . . . . . . . . .

.3
1.1.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc . . . . . . .
.4
1.2 H¾ đieu khien tuyen tính rịi rac . . . . . . . . . . . . .
.11
1.2.1 Mơ hình rịi rac và khái ni¾m đieu khien đưoc . .11
1.2.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc . . . . . . .
.13
2 H¾ tuyen tính rài rac có tre

23

2.1 Khái ni¾m đieu khien đưoc tương đoi . . . . . . . . . . .23
2.2 Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưoc tương đoi . . . . . .24
2.3 Dang cna hàm đieu khien đưoc . . . . . . . . . . . . . .31
Ket lu¾n

36

Tài li¾u tham khao

37

i


Lài ma đau
Lý thuyet đieu khien đưoc phát trien tù khoang 150 năm trưóc đây
khi sn thnc hi¾n các đieu khien cơ HQc bat đau can đưoc mô ta và phân
tích m®t cách tốn HQc. Tù đó, nó đóng vai trị rat quan TRQNG

trong nhieu ngành khoa HQc, đ¾c bi¾t là trong kĩ thu¾t và tốn HQc
(xem [3, 4, 5, 6]). Ví du các van đe như làm sao đe đieu khien tàu vũ
tru, tên lua, đieu kien kinh te cna m®t quoc gia, đieu khien robot,
... Khi xét các h¾ rịi rac, mơ hình tuyen tính thuan nhat có the
bieu dien boi h¾ phương trình sai phân
x(n + 1) = Ax(n),

(1)

cỏc
bien
(n),
...,
Do ny
ú
takhụng
khụng
the
ieu
khien
trờn
1(n),
k(n).
trong
ú xAVỡ
lvắy,
max2trắn
k xì
k. ieu
Hắ

yeu
notuyen
tỏchắđng
túi oc.
mđtcừ
mụ
hỡnh
khien
cna cú
hắ
rũitorac
tớnh
oc
phỏt trien cú dang
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n),

(2)

trong
ú mđt
B lvector
ma trắn
cừ 1.
k Trong
ì m, hắ
ocny,
GQi l ma trắn au vo v
u(n) là
m ×
ta có m bien đieu khien

u1(n), u2(n), ..., um(n), trong đó m ≤ k.
Trong lu¾n văn này chúng tơi t¾p trung trình bày tính đieu khien đưoc
cna h¾ tuyen tớnh rũi rac. Nđi dung khúa luắn gom phan mo đau, phan
ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham khao và 2 chương vói n®i dung sau:
Chương 1: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính.
Chương 2: Trình bày tính đieu khien đưoc cna h¾ tuyen tính rịi rac
có tre.

5


Danh mnc kớ hiắu v chE viet tat
R
C
Rn
Rnìm
rankA
Im(A)
,
rang
eA

tắp cỏc so thnc
t¾p các so phúc
khơng gian Euclide n chieu
t¾p các ma trắn n hng m cđt
hang cna ma trắn A
anh cna ma tr¾n A

L1[0, T ; Rm] t¾p các hàm kha tích đ%a phương tù [0; T ] vào Rm

S(t)
ma
cơđưoc
ban Gramian
QT
ma tr¾n
tr¾n nghi¾m
đieu khien
[A|B]

ma tr¾n [B, AB, . . . , An−1B]

Z+
Zqs
eBk
m

t¾p so nguyên dương
t¾p {s, s + 1, ..., q} trong đó s = −∞ ho¾c q = ∞
ma tr¾n rịi rac có tre dang mũ


Chương 1

H¾ đieu khien tuyen tính
1.1

H¾ đieu khien tuyen tính liên tnc

Trong muc này, chúng tơi trình bày ngan gQN các ket qua ve tính

đieu khien đưoc cna h¾ đieu khien tuyen tính liên tuc, dna trên tài li¾u
tham khao [7].
1.1.1

Khái ni¾m đieu khien đưac

H¾ đieu khien tuyen tính liên tuc đưoc mơ ta boi phương trình vi phân
d
= Ay(t) + Bu(t),
dt

n
m
∈ y(0) = x R , u(t)R

(1.1)

m
kha
tích
đ%aAphương,
túc
u(t)
L1→
[0,Rn
Tduy
;làRcác
] vói
> 0.
Ta

đã biet
: Rn →trình
Rnlà,(1.1)
B : có
R∈mnghi¾m
tốnMQI
tu Ttuyen
tính,
u(t)
là vói
hàm
phương
nhat
∫ t
y(t) = S(t)x
S(t −
0
∞
+
s)Bu(s)ds,
o đây S(t) = eAt Σ
A n
nn t là ma tr¾n nghi¾m cơ ban.
=
n= !

0

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Trang thái b đưac GQI là đat đưac tù trang thái a
trong thài gian T > 0 neu ton tai đieu khien u(t) xác đ%nh trên [0, T ]

sao cho phương trình (1.1) có nghi¾m y(t) thóa mãn y(0) = a, y(T ) =
b.
Quy ưóc: Trang thái a đat đưoc tù a trong thòi gian T = 0.


Đ%nh nghĩa 1.1.2. Trang thái b đưac GQI là đat đưac tù trang thái a
hay trang thái a d%ch chuyen đưac đen trang thái b neu b đat đưac tù
a trong thài gian T > 0 nào đó.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. H¾ (1.1) đưac GQI là đieu khien đưac trong thài gian
T > 0 neu b và a là hai trang thái bat kì thì b có the đat đưac tù a
trong thài gian T.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. H¾ (1.1) đưac GQI là đieu khien đưac neu b và a
là hai trang thái bat kì thì b có the đat đưac tù a.
1.1.2

ắc trng cho tớnh ieu khien ac

Mđt hm bat k u(.) xác đ%nh trên [0; +∞) kha tích đ%a phương và
có các giá tr% trong Rn se đưoc GQI là đieu khien ho¾c đau vào cna h¾
(1.1). Nghi¾m tương úng cna phương trình (1.1) se đưoc ký hi¾u là
y x,u (.) e nhan manh sn phu thuđc vo ieu kiắn ban đau x và
đau vào u(.). Ta nói m®t đieu khien u chuyen m®t trang thái a tói
trang thái b neu ton tai thòi điem T > 0 sao cho
ya,u(T ) = b.

(1.2)

Khi đó trang thái a b% chuyen sang trang thái b tai thòi điem T
hay trang thái b đat đưoc tù trang thái a tai thòi điem T . M¾nh đe
dưói đây nêu lên cơng thúc đieu khien chuyen tù a tói b. Trong cơng

thúc này ma tr¾n QT GQI là ma tr¾n đieu khien đưoc Gramian:
∫T
∗
S(r)BB
∗
S
QT =
(r)dr, T > 0.
0

QT là đoi xúng và xác đ%nh không âm.
n
∗ ∗
đó)avái
MQI a, b ∈ R
đieu
khien
u(s)
=
−B
S ma
(t −tr¾n
s)QQ−T
(S(T
−
Bo
đe
1.1.1.
Gia
su

vái
T
>
0
nào
đó,
khơng
suy
bien
b),
s
∈
[0,
T
]
d%ch
chuyen
tù
trang
thái
a
đenT
trang thái b trong thài
gian T, túc là vái đieu khien như trên h¾ (1.1) có nghi¾m y(t) thóa mãn
y(0) = a, y(T ) = b.
1
khi


∫t

Chúng minh. Ta có

S(t

y(t) = S(t)a ∫0
+

−

s)Bu(s)ds
=
S(
t)
a
−

−

t

S(t
s)BB ∗ S

∗

(t − s)Q−T 1 (S(T )a −

0

b)ds.
De thay y(0) = S(0)a = a.
y(T ) = S(T )
a−

0

∫
S(T −
.
s)BB

T

S (T −
s)ds

QT
∗ ∗
b)

(S(T )aΣ −−1

= S(T )a − QT Q−T 1 (S(T )a − b)
= b.
Bo đe 1.1.2. Neu MQI trang thái b ∈ Rn
đeu đat đưac tù 0, khi đó ma tr¾n QT không
suy bien vái MQI T > 0
Chúng minh. Xét
∫

LT u =

T

−

S(r)Bu(T r)dr.

0
u
n 1 [0, T ; Rm ]) là
u (0) = 0. Đ¾t E
u
=cna
LnTnghi¾m
(L
T(t)
khơng
gian
véc
tơ
con
R
.<
SuyT
ra
L
=
y

(t)
trong
đó
y
là
cna
h¾TE
(1.1)
n
Jđưoc
thoa
mãn
Vì
MQI
b
∈
R
đeu
tù
nên
E∈
Neu
thì
Eu
⊂0
E
tù
taiT T
T0;đat
sao

T >0
T suy
T ,, ∀T
TT =
Rn
T
.=nVói
0R
T
> ∪0,
v≥đó
,Rra
u .MQI
∈ton
L1[0,
Rm]cho
ta có
∫
∗
(QT v, . S(r)B (r)
T ∗
B
S∗
v) = ∫ B ∗S dr Σv,
2
ǁ
(r)vǁ
dr
(
T

0
Σ
v =
J

∫
0

(

(LT
u,
v) =

T

u(r)
,B ∗S ∗(T − r)v)dr.

0

Vì the neu QT v = 0 vói v nào đó thu®c Rn , T
> 0 thì hàm B ∗S ∗(r)v


đong nhat
bang 0
trong [0, T
]. Do hàm
f (r) =

B ∗S ∗(r)v là
hàm giai tích
(có the khai
trien thành
chuoi Taylor
vơ han) và f
(r) = 0 vói
MQI

r ∈ [0, T ] cho nên
f (r) phai bang 0
vói

MQI

r ∈ R+ . Tù

cơng thúc bieu
dien cna LT suy ra
(LT u, v) = 0,
∀u, ∀T > 0. Túc
là v⊥ET ∀T > 0
mà


∪T

ET = Rn. Do đó, v⊥Rn. V¾y v = 0, hay QT là khơng suy bien vói
T > 0.

>0

MQI

Bo đe 1.1.3. Im(LT ) = Im(ln ) vái
∫
LT u
=

0

MQI

T > 0. Trong đó,

T

S(r)Bu(T −
r)dr

ln(u0, u1, ..., un−1) = Bu0 + ABu1 + ... + An−1Bun−1
Chúng
∈ Rn, u ∈ L1[0, T ; Rm], uj ∈ Rm, j = 0, 1
. . . , nminh.
− 1∀v
ta có:
T
u(s),
(LT u, v)
∗

B ∗S
(
(T − s)v)ds,
∫
=
0

(ln (u0 , . . . , un−1), v) = (u0 , B ∗ v) + . . . + (un−1, B ∗(A∗)n−1 v).
Xét
giarasu (ln(u0, . . . , un−1), v) = 0, ∀u0, . . . ,
un−1v∈nào
Rmđó,
. Suy
B ∗ v = . . . = B ∗ (A∗ )n−1v = 0.
∗ n
∗ n−1
n
n−1
Theo
Đ%nh
)
+ . . . + an In =
0. Suy
ra lý Cauley - Hamilton
Σ (A ) + a1(A
Σ
(A∗ )n = −
ak (A∗ )n−k =
ck (A∗)k .

Bang truy hoi thu đưoc

n− k=

1

(A∗)n+l
∗

∗ k

k=0

1

Σ
=
cl,k (A∗ )k , ∀l ≥ 0, cl,k ∈ C.
k=0

Tù đó suy ra B (A ) v = 0, ∀k ≥ 0. Do đó
Σ
∗ ∗
∗ A t∞
k
B S (t)v = B e ∗ v =
= 0, ∀t ≥ 0.
t
∗
∗ k

B (A ) v
k
!
k=0

Suy ra
∫
(LT u, v)
=
0

T

(u(s), S (T − s)v)ds = 0, ∀u [0, T ; ], ∀T >
∗ ∗∈ L
1
m0.
B


m
∗ ∗
k
Ngưoc
gia
suN.MQI
(L
v)
=
0,

∀u0,
L1≥
[0,
Rđó
]. Suy
Suyra ra
B (0)
S ∗(t)v
0∈
vói
∈ [0,
T∗)].
f∈(t)
= 0.
BT,
SDo
(t)v.
f
T tu,
= lai,
0,=∀n
Suy
ra
B ∗(A
vĐ¾t
=
∀k
(n)∗

m

(ln(u0, . . . , un−1), v) = 0, ∀u0, . . . , un−1 ∈ R .
V¾y Im(LT )⊥ = Im(ln)⊥, đieu này tương đương vói Im(LT ) = Im(ln).
M¾nh đe 1.1.1. Gia su rang vái T > 0, ma tr¾n QT khơng suy bien.
Khi đó, trong tat ca các đieu khien u(.) chuyen a tái b tai thài điem
T
∫T
đieu khien u^ toi thieu tích phân0
|u(s)|2ds. Hơn nua,
∫
2
T

−1

0
|u^(s)|

ds = (QT (S(T )a − b), S(T )a − b).

(1.3)

Chúng minh. Ta có (1.3) là h¾ qua cna phép tính đơn gian sau:
∫T

2

|
ds
u^( =

s)|

∫T
0

∗
B
S
|

∗

(T − s)Q−T 1 (S(T )a − b)|2 ds

=
.
∫

S(T −
s)BB

∗ ∗

−1

−1

Σ

T

(T − s)(QT (S(T )a − b))ds, QT (S(T )
a − b)
= (QT Q−T 1 (S(T )a − b), Q−T 1(S(T )a − b))
= (Q−T 1 (S(T )a − b), (S(T )a − b)).
GQI u(.) là đieu khien bat kỳ tù a tói b tai thịi điem T . Gia su rang u(.)
kha tích cap 2 trên [0; T ]. Khi đó,
∫T

(u(s),
u^(s))ds = −
=
−

∫
0

T

(u(s), B ∗S
∫

T

(S(T − s)Bu(s)ds, (QT (S(T )a −
b)))


0

∗

(T − s)Q−T 1 (S(T )a − b))ds
−1

= (S(T )a − b, Q−T 1(S(T )a − b)).
∫T
∫∫TT
ds ∫ T
0
0
Do ∫
đóT
(u(s),
=
(u^(s),
2≥
∫T
ds u^(s))ds
ds
2ds.
|u(s) −
|
2=
2+
|u(s)|Tù đó, ta |có
u^(s)|
u^(s))ds.
u^(
u^(

s)|
s)|
0
Suy ra

∫

T

|u^(s)|2ds là cnc tieu.


[B,
AB,.
. . ma
,hai
An−1
B]
∈ M (n, nm) chúa các c®t lan lưot
là tr¾n
B,
AB,.
.. ,bang
Cho
ma
tr¾n
ký
hi¾u
[A|B]
n−1

A
B. A ∈ M (n, n), B = M (n, m),
Đ%nh lý 1.1.1. Các đieu ki¾n sau là tương đương
i. M®t trang thái tùy ý b ∈ Rn ln có the đat đưac tù 0; ii.H¾

(1.1) là đieu khien đưac;
iii. H¾

(1.1) đieu khien đưac tai thài điem T > 0 cho trưác;

iv.Ma tr¾n QT khơng suy bien vái mđt vi T > 0;
v. Ma trắn QT khụng suy bien vái MQI T > 0;
vi. rank[A|B] = n.

Chúng minh. i −→ v: Áp dung Bő đe 1.1.2
v −→ iv: Hien nhiên.
iv −→ iii: QT khơng suy bien o thịi gian T > 0 nào đó. Áp dung Bő đe
1.1.1 suy ra H¾ (1.1) là đieu khien đưoc trong thịi gian T .
iii −→ ii: Hien nhiên.
ii −→ i: Do h¾ là đieu khien đưoc nên ∀b ∈ Rn đeu đat đưoc tù 0.
iii −→ vi: H¾ (1.1) là đieu khien đưoc o thịi gian T > 0 nào đó.
Suy ra LT là toàn ánh. Tù Bő đe 1.1.3 suy ra ln là tồn ánh. Do đó
rank[A|B] = n.
vi −→ i: rank[A|B] = n suy ra ln là toàn ánh. Tù Bő đe 1.1.3 suy ra LT
là tồn ánh vói MQI T > 0. Do đó MQI b ∈ Rn đat đưoc tù 0.
Ví dn 1.1. Xét tính đieu khien đưoc cna h¾ sau
Ta có

.
x˙

= 2x=
1 +
3u 1x˙
x13x
+2u+
1 3
3
A=Σ
Σ,
B=Σ
10

1

Σ;


rank[A, AB] = Σ

3 6

Σ = 2,

vói AB = Σ

6

Σ.

13

3
V¾y h¾ đã cho là đieu khien đưoc (theo đieu ki¾n Kalman).
Ví dn 1.2. Xét h¾
d(n)

d(n−1)

z + a1
z + . . . + anz = u
(n)
dt(n−1)
vói đieu ki¾ndt
ban đau
dz
d(n−1)z
z(0) =
(0) = ξ2,
(0) = ξn.
dt
dt(n−1)
..

ξ1,
.,

dz
d(n−1)z
Đ¾t
(t),
. . . ., , ξ (n−1)

(t),
tcna
≥ vecto
0 là TQAKhi
đ® cna hàm
y(t),z(t),
≥ dt
0 trên
và
ξđưoc
là TQA
đ®
1, . .
trình
vit phân
đưa dt
venphương
trình
vi phân x.
cap 1 đó phương
y˙ = Ay + Bu, y(0) = x ∈ Rn
trong đó, ma tr¾n A và B có dang

0
1
... 0
0
0
... 0


A  .
.
.
.
=

. . ... 0
0
0


suy ra

0
0

0
0
.  ,B =
.

1 


−an −an−1 . . . −a2




−a1

0



.
j

AB



 0 

 1  , và rank [A|B]
= rank 

.
.




0



.

1

.






 c. 
1j
 c 
jj





0 1

. .
.
1
0 0
1 . .
. . .
. .
.

0

1

1
n−2,n

n−1,n 1
cn−1

.



,1

.

V¾y do đi¾u ki¾n hang Kalman phương trình vi phân tuyen tính cap cao
vói h¾ so hang là đieu khien đưoc.




Đ%nh lý 1.1.2. (Đieu ki¾n hang Hautus) H¾ (1.1) là đieu khien đưac
khi và chs khi
rank[A − λI, B] = n vái

MQI

λ ∈ C.

Chúng minh. M®t cách tőng quát ta xột A Cnìn, B Cnìm. Gia su

hắ (1.1) là đieu khien đưoc. Khi đó boi đieu ki¾n hang Kalman suy ra
BCm + ABCm + . . . + An−1BCm = Cn.
M¾t khác
ta có Ak Bu = (A − λI + λI)k Bu = (A − λI)v + λk Bu vói
u ∈ Cm . Suy ra Ak BCm ⊂ (A − λI)Cn + BCm vói MQI k. Do đó

MQI

Cn = BCm + ABCm + . . . + An−1BCm = (A − λI)Cn + BCm,
đieu này tương đương vói rank[A − λI, B] = n vói MQI λ ∈ C. Ngưoc
gia
rank[A
− λI,cna
B] phương
= n vói
MQI
GQI −
λ1λI]
, λ2 ,=
Caley-Hamilton
tanghi¾m
có
.lai,
, λsu
là
cáclý
trình
Pnλ
(λ)∈ =C.det[A
n Đ%nh

0.. .Theo
P (A) = (A − λ1I)(A − λ2I) . . . (A − λ nI) = 0.
Đ¾t
(A − λ1I)(A − λ2I) . . . (A − λkI). Ta se chúng minh
k =
bang Tqui
nap
n
m
m
k−1
n
m
TRõ
+
ABC
+
.nk
.+.=BC
+1A
BCm = −Cnλ1vói
kC
MQI
này
vói
vì
rank[A
I,
B] =k.n.
Taràng

có BC
Cđieu
=+
(A
−đúng
λ
I)C
k+1
= (A − λk+1I)(TkCn + BCm + ABCm + . . . + Ak−1BCm) +
BCm
⊂ Tk+1Cn + BCm + ABCm + . . . + AkBCm.
Suy ra đang thúc đúng vói k + 1. Vói k = n thì Tn = 0 nên ta thu đưoc
BCm + ABCm + . . . + AnBCm = Cn
Do v¾y rank[A|B] = n cho nên h¾ (1.1) là đieu khien đưoc.
Ví dn 1.3. Xét h¾ đieu khien x˙ = Ax + Bu vói A =

01

Σ

10

Σ,

B=

1

Σ Σ.

0


Σ
Ta có rank[A

Σ−
−λ
λI, B] = rank

∈

1

1

= 2 vói

MQI

λ

C. V¾y

boi
1 −λ 0
đieu ki¾n hang Hautus h¾ này là đieu khien đưoc.

1.2

H¾ đieu khien tuyen tính rài rac

Trên thnc te các giu kiắn au vo khụng oc cung cap giong nh mđt
hm liờn tuc theo bien thũi gian vỡ vắy mđt mụ hình khác cna h¾ đieu
khien là h¾ đieu khien rịi rac ra địi. Các ket qua trong muc này đưoc
trình bày dna trên tài li¾u tham khao [2].
1.2.1

Mơ hình rài rac và khái ni¾m đieu khien đưac

Xét h¾ rịi rac cú dang
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n),

(1.4)

mđt
vector
m
1.
hắtrắn
ny,cừta
cú mB bien
khien
u1(n),
u
...,tựng
trong
ú Trong
B l ma
k ìm.

ocieu
GQI l
ma trắn
au
2 (n),
vo
v
u(n)
lìu
m (n), trong ú m k. Mđt hắ liờn tuc vúi ieu
khien
hang
khỳc
cú the xem nh mđt hắ rũi rac. Thắt vắy, xột hắ phương trình vi phân
xˆ˙ (t) = Aˆ(t)xˆ(t) + Bˆ u(t),

(1.5)

Vói u(t) = u(k), t ∈ [kT, (k + 1)T ]. Đ¾t
x(k) = xˆ(kT ).

(1.6)

De thay phương trình (1.5) có nghi¾m vói t ∈ [kT, (k + 1)T ] đưoc
cho boi công thúc
∫t
x(t) = e
ˆ
x(kT ) kT eA (t−τ ) Bˆ u(τ )dτ.
(1.7)

A+
ˆ

t

Tai t = (k + 1)T ket hop vói (1.6) và (1.7), ta có


x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),

(1.8)

trong đó
ˆT

A = eA

ˆT

, B = T eA

Bˆ .

(1.9)


Ví dn 1.4. Dịng đi¾n DC cua mơ tơ có the đưac mơ hình hóa bái phương
trình vi phân
1
K

u(t),
x˙ (t) = −
τ
τ
x(t) +
trong đó, x là v¾n toc góc cua mơ tơ, K và τ là hang so.
Mơ hình rịi rac tương úng trong trưòng hop này là
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),
−
KT
trong đó, A = eAˆT = eτ − T và B = T eAˆT Bτˆ = Tτ
Trong phan này, ta quan tâm đen van đe có the đieu khien h¾ tù trang
thái ban đau cho trưóc đen m®t trang thái bat kỳ trong m®t khoang thịi
gian huu han hay khơng. Nói m®t cách khác, ta mong muon xác đ
%nh đưoc tính đieu khien đưoc cna h¾. Cho tói năm 1960, các phương
pháp bien đői là cơng cu chính trong vi¾c đánh giá và thiet ke h¾ đieu
khien. Vào năm 1960, nhà tốn HQc, ky sư ngưịi Thuy Sy R.E. Kalman
đã đưa ra lý thuyet đieu khien hi¾n đai bang phương pháp không
gian trang thái. Sau này phương pháp khơng gian trang thái đã tro
thành cơng cu chính cho ngành lý thuyet đieu khien hi¾n đai.

n
Z +trưác
, MQI
thái
bat (1.4)
kỳgian
x(n
x0làNvàđieu
trang

ket thúc
0 ∈
0) =
cho
Đ%nh
H¾
đưac
GQI
khien
neu
vái
MQI
, ton
tai
huu
han
>
n0 thái
và đưac
hàm
đieu
f 1.2.1.
khien
u(n),
n0xtrang
<
n ≤ N saonghĩa
cho
x(N
)=

xthài
f .
Chú ý 1.1. Neu h¾ (1.4) đieu khien đưac thì ta
là c¾p ma tr¾n đieu khien.

GQI

c¾p ma tr¾n {A, B}

Nói cách khác, ton tai m®t dãy so đau vào u(0), u(1), ..., u(N −
1) sao cho áp dung vào h¾ (1.4) cho ra ket qua x(N ) = xf .
Ví dn 1.5. Xét h¾ b% khong che bái các phương trình
x1(n + 1)
= a11xx21(n
(n)++1)a12
2(n)
bu(n),
=xa
(n).
22x2+


e
õy,

A=

a11 a12
,
0

.

b
B = . 0 .

oc
vỡ u(n)
khụng
the
đng
lờn khien
bien ra
xx2rang
(n).
Hn
the
nua,
x2(n)hon
Ta
cúton
the
deieu
dng
nhắn
n tỏc
hắ
ny
khụng
(n)

2(0).
=
a
x
2
oc
%nh
ngha
trong
phng
trỡnh
so
hai
cú
cụng
thỳc tőng qt là
1.2.2
Đ¾c trưng cho tính đieu khien đưac
2
2

Ví du trên cho thay ta có the xác đ%nh tính đieu khien
oc cna mđt hắ. Tuy nhiờn, oi vúi cỏc hắ phúc tap,
ta se nghiên cúu m®t vài tiêu chuan đơn gian hơn đe
xét tính đieu khien đưoc cna h¾.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Ma tr¾n đieu khien W cua h¾ (1.4) là ma
trắn
k ì km ac cho bỏi cụng thỳc sau
W = [B, AB, A2B, ..., Ak−1B].

(1.10)
Ma tr¾n đieu khien đóng vai trị rat quan TRQNG trong lý
thuyet đieu
khien. Ta có the thay trong ket qua quan TRQNG dưói đây
Đ%nh lý 1.2.1. H¾ (1.4) là đieu khien đưac neu và
chs neu rank W = k Trưóc khi chúng minh, ta có
m®t vài nh¾n xét ve đ%nh lý trên. Thú nhat, ta xét
trưịng hop n gian khi hắ chi cú mđt bien au vào
và do
đó ma tr¾n đau vào B chi là vector b cú cừ m ì 1. Do ú
ma trắn ieu
khien trong trũng hop ny l ma trắn k ì k
W = [b, Ab, ..., Ak−1b].
H¾ trên đieu khien đưoc khi W có hang là k, túc là ma tr¾n
W khơng
suy bien hay cỏc cđt cna nú đc lắp tuyen tớnh. Trong
trưịng hop tőng qt, đieu ki¾n đieu khien đưoc là


tr
o
n
g
k
m
c
đ
t,
c
ú

k
c
đ
t
l

đ
c
l
ắ
p
tu
y
e
n
tớ
n
h.
B
õ
y
gi
ũ
c

Vớ dn 1.6. Xột hắ
y1(n + 1) = ay1(n) + by2(n),


y2(n + 1) = cy1(n) + dy2(n) + u(n),

trong đó, ad − bc ƒ= 0.
e đây,
a b
0
A=.
Σ,
B = . Σ.
c d
1
và u(n) là hàm đieu khien vơ hưóng. Ta có,
.
0 b
W = (B, AB) =
Σ1 d
có hang bang 2 neu b ƒ= 0.
Bo đe 1.2.1. Vái MQI N ≥ k, hang cua ma tr¾n
[B, AB, A2B, ..., AN−1B]
bang vái hang cua ma tr¾n đieu khien W.
Chúng minh. Xét ma tr¾n W (n) = [B, AB,. . . , An−1B], n = 1, 2, 3
. . ..
Khi n tăng lên 1 thì ho¾c rank W (n) giu ngun ho¾c tăng lên 1. Gia
su tói m®t so r > 1 nào đó, ta có rank W (r + 1) = rank W (r).
Khi ú, cỏc cđt cna ma trắn ArB l đc lắp tuyen tớnh vúi cỏc
cđt cna
W (r) = [B, AB,. . . , Ar−1B]. Do đó,
ArB = BM0 + ABM1 +. .+ Ar1BMr1,
trong
vúi A,ú
ta moi
ocMi l ma trắn m ì m. Nhân ca hai ve cna ma tr¾n trên

Ar+1B = ABM0 + A2BM1 +. .+ ArBMr1.
r+1
Vắy
cỏc
cđt
B l đc
tuyen
cna=
ma trắn
+ ma
1). trắn
Suy A
ra, rank
W (rlắp
+ 2)
= tớnh
rankvúiWcỏc
(r cđt
+ 1)
rank
WW
(r).(rcna
Cỳ
tiep tuc nh v¾y ta có ket lu¾n sau

rank W (n) = rank W (r)

∀n > r.

Ket lu¾n: rank W (n) tăng lên nhieu nhat là 1 khi n tăng lên 1 cho
đen khi rank W (n) đat đen giá tr% lón nhat k. Do đó hang cao nhat
cna W (n)


se tính đưoc sau nhieu nhat là k bưóc. Nên sau n ≤ k bưóc, ta se có
rank W = rank W (k) = rank W (N ) ∀N ≥ k.
ChÉng minh đ%nh lý chính
khien
đưoc.
Th¾t
layrank
x0 vàWxf=làk.
hai
bat kỳminh
trongh¾
Rk(1.4)
. Ta
có
Đieu
ki¾n
đu. v¾y,
Gia su
Tavector
phai chúng
đieu
k−1
x(k) − A x(0) = A − − Bu(r),
r=0

Σ
k k r 1
x(k) − Ak x(0) = W u¯(k),

hay

(1.11)

u(k

− 1)
u(k −
u¯(k) = 


2)..


.
u(0

trong đó,

do rank W = k, rangeW = Rk. Do đó neu ta lay x(0) = x0 và x(k) =
xf ,
k

k

thì xf − A x0 ∈ rangeW . Vì vắy, xf A x0

vúi mđt so vector

= W uk
u ∈ R . Dan đen h¾ (1.4) đieu khien đưoc.
+
dung ki¾n
bő đecan.
o trên
ta h¾
có (1.4)
the ket
taivàrrank
∈ ZW
saok.cho
Đieu
Gia su
đieulu¾n
khienton
đưoc
<
Su
rank W (1) < rank W (2) < ... < rank W (r) = rank W (r+1)
= ... = rank W.

Hơn the nua, rank W (n) = rank W vói
(j + 1) = (W (j), Aj B), nên ta có

MQI

n > k. Và do W

rangeW (1) ⊂ rangeW (2) ⊂⊂ rangeW (r)
= rangeW (r + 1) = ... = rangeW = = rangeW (n)
vói MQI n > k.
Do rank W < k, rangeW ƒ= Rk . Do đó ton tai ξ ∈/ rangeW (n) vói
MQI

n ∈ Z + . Neu ta lay x0 = 0 trong cơng thúc (1.11) vói k = n, ta có
x(n) = W (n)u¯(n). Do đó vói ξ = x(n) vói m®t so n, ξ phai trong mien