Tài liệu CHƯƠNG 5: CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (551.56 KB, 70 trang )
241
CHƯƠNG 5: CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
§1.KHÁINIỆMCHUNG
Nếuphươngtrìnhđạisốhaysiêuviệtkháphứctạpthìítkhitìmđược
nghiệmđúng.Bởivậyviệctìmnghiệmgầnđúngvàướclượngsaisốlàrất
c
ầnthiết.
Taxétphươngtrình:
f(x)=0(1)
vớif(x)làhàmchotrướccủabiếnx.Chúngtacầntìmgiátrịgầnđúngcủa
nghiệmcủaphươngtrìnhnày.
Quátrìnhgi
ảithườngchialàmhaibước:bướcsơbộvàbướckiệntoàn
nghiệm.
Bước giải sơ bộ có 3 nhiệm vụ: vây nghiệm,tách nghiệmvàthuhẹp
khoảngchứanghiệm.
Vây
nghiệmlàtìmxemcácnghiệmcủaphươngtrìnhcóthểnằmtrên
nhữngđoạnnàocủatrụcx.Táchnghiệmlàtìmcáckhoảngchứanghiệmsao
cho trong mỗi khoảng chỉ cóđúng m
ột nghiệm. Thu hẹp khoảng chứa
nghiệmlà làmchokhoảngchứanghiệmcàngnhỏcàngtốt.Saubướcsơbộta
cókhoảngchứanghiệmđủnhỏ.Đểxácđịnhkhoảngchứanghiệmta
cóthể
dùngphươngphápđồthị.Ngoàiratacũngcóthểtìmnghiệmbằngphương
pháptìmtăngdần.Ýtưởngcủaphươngphápnàylànếyf
1(x).f2(x)<0thìcóít
nhấtmộtnghiệmcủaphươngtrìnhtrongđoạn[x
1,x2].Nếuđoạn[x1,x2]đủ
nhỏthìtrongđạonđósẽcómộtnghiệmduynhất.Nhưv ậytacóthểphát
hiệnranghiệmbằngcáchtínhtrịcủahàmtrêncácđoạn∆xvàxemchúngcó
đổidấukhông.
Taxây
dựnghàmrootsearch()đểtìmkhoảngchứanghiệm.
function[x1,x2]=rootsearch(func,a,b,dx)
%Timdoanchuanghiemcuahamf(x).
%Cuphap:[x1,x2]=rootsearch(func,a,d,dx)
%func=hamf(x).
%a,b=daontim.
%dx=khoangtang
%x1,x2=doanchunghiem
(a,b);
%datlaNaNneukhongthaynghiem
242
x1=a;f1=feval(func,x1);
x2=a+dx;f2=feval(func,x2);
whilef1*f2>0.0
ifx1>=b
x1=NaN;x2=NaN;
return
end
x1=x2;f1=f2;
x2=x1+dx;f2=feval(func,x2);
end
Khipháthi
ệnthấykhoảng chứanghiệm,hàm trảvềgiátrịbiên củađoạn.
Nếukhôngcónghiệm,x1=x2=NaN.Tagọirootsearch()nhiềulầnđểphát
hiệnhếtcácđoạnchứanghiệm.
Vớivídụtìmkhoảngchứanghiệmcủahàm
f(x)=x
3
‐10x
2
+5tadùngchươngtrìnhctrootsearch.m
clearall,clc
f=inline(ʹx^3‐10*x^2+5ʹ);
[x1,x2]=rootsearch(f,2,10,.2)
Bướckiệntoànnghiệmtìmcácnghiệmgầnđúngtheoyêucầuđặtra.
Córấtnhiềuph
ươngphápxácđịnhnghiệmcủa(1).Sauđâychúngta
xéttừngphươngpháp.
§2.PHƯƠNGPHÁPLẶPĐƠN
Giảsửphươngtrình(1)đượcđưavềdạngtươngđương:
x=g(x)(2)
từgiátrịx
onàođógọilàgiátrịlặpđầutiêntalậpdãyxấpxỉbằngcôngthức:
x
n=g(xn‐1)(3)
vớin=1,2,
Hàmg(x)đượcgọilàhàmlặp.Nếudãyx
n→αkhin→∝thìtanóiphéplặp
(3)hộitụ.
Tacóđịnhlí:Xétphươngpháplặp(3),giảsử:
‐[a,b]làkhoảngchứanghiệmαcủaphươngtrình(1)tứclàc
ủa(2)
‐mọix
ntínhtheo(3)đềuthuộc[a,b]
‐g(x)cóđạohàmthoảmãn:
243
g(x) q 1 a x b
′
≤< <<(4)
trongđóqlàmộthằngsốthìphươngpháplặp(3)hộitụ
Tacóthểminhhoạphéplặptrênbằnghìnhvẽsau.
Taxâydựnghàm
simpiter()đểlặp
function[x,err,xx]=simpiter(g,x0,tolx,maxiter)
%giaiptx=g(x)tux0bangcahlap
%vao:g,x0=hamvagiatridau
%tolx=saisomongmuon
%maxiter=solanlapmax
%ra:x=nghiem
%err=
saiso|x(k)‐x(k‐1)|
%xx=cacgiatritrunggian
ifnargin<4
maxiter=100;
end
ifnargin<3
tolx=1e‐6;
end
xx(1)=x0;
fork=2:maxiter
xx(k)=feval(g,xx(k‐1));
err=abs(xx(k)‐xx(k‐1));
if
err<tolx
break;
end
x1
xo
x1
xo
244
end
x=xx(k);
ifk==maxiter
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlanlap\nʹ,maxiter)
else
fprintf(ʹHoitusau%dlanlap\nʹ,k)
end
Đểtínhlạivídụtrêntadùngchươngtrình
ctsimpiter4_2.m
clearall,clc
f=inline(ʹ‐0.5*((x‐1).^2‐3)ʹ);
[x,ss,xx]=simpiter(f,0.5,.00001,200)
§3.PHƯƠNGPHÁPCHIAĐÔICUNG
Giả sử cho phương trình f(x) = 0 với
f(x)liêntụctrênđoạn[a,b]vàf(a).f(b)<0.
Chiađoạn [a, b]thành 2 phần bởi chính
điểmchia(a+b)/2.
1.Nếuf((a+b)/2)=0thì
ξ=(a+b)/2
2. Nếu f((a + b)/2) ≠ 0 thì chọn
[a,(a+b)/2]hay[(a+ b)/2,b]màgiátrịhàm
haiđầutráidấuvàkíhiệulà[a
1,b1].Đốivới
[a
1,b1]talạitiếnhànhnhư[a,b].
Taxâydựnghàm
bisection()thựchiệnthuậttoántrên
function[x,err,xx]=bisection(f,a,b,tolx,maxiter)
%bisection.mdegiaiptf(x)=0bangphuongphapchiadoicung
%vao:f=hamcantimnghiem
%a/b=biencuadoancantimnghiem
%tolx=saisomongmuon
%maxiterlanlapmax
%ra:x
=nghiem
%err=saiso
%xx=cacgiatritrunggian
y
x
a
b
ξ
b
1
245
tol=eps;
fa=feval(f,a);
fb=feval(f,b);
iffa*fb>0
error(ʹNghiemkhongotrongdoannayʹ);
end
fork=1:maxiter
xx(k)=(a+b)/2;
fx=feval(f,xx(k));
err=(b‐a)/2;
ifabs(fx)<tol|abs(err)<
tolx
break;
elseiffx*fa>0
a=xx(k);
fa=fx;
elseb=xx(k);
end
end
x=xx(k);
ifk==maxiter
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlanlap\nʹ,maxiter),
else
fprintf(ʹHoitusau%dlanlap\nʹ,k),
end
Đểtìmnghiệmcủahàmf(x)=tg(π‐)‐xtadùngchươngtrình
ctbisection.m
clearall,clc
f=inline(ʹtan(pi‐x)‐xʹ);
[x,ss,xx]=bisection(f,1.6,3,1e‐4,50)
§4.PHƯƠNGPHÁPDÂYCUNG
Giảsửf(x)liêntụctrêntrênđoạn[a,b]vàf(a).f(b)<0.Cầntìmnghiệm
củaf(x)= 0.Đểxácđịnhtaxemf(a)<0vàf(b)>0.Khiđóthayvìchiađôi
đoạn[a,b]tachia[a,b]
theotỉlệ‐f(a)/f(b).Điềuđóchotanghiệmgầnđúng:
x
1=a+h1
246
Trongđó
1
f(a)
(b a)
h
f(a) f(b)
=
−
−
−+
Tiếptheodùngcáchđóvớiđoạn[a,x
1]
hay[x
1,b]màhaiđầuhàmnhậngiátrịtrái
dấutađượcnghiệmgầnđúngx
2v.v.
Vềmặthìnhhọc,phươngphápnàycó
nghĩalàkẻdâycungcủađườngcongf(x)
quahaiđiểmA[a,f(a)]vàB[b,f(b)]haynóicáchkháclàtuyếntínhhoáhàm
f(x)trongđoạn[a,b].
Thật
vậyphươngtrìnhdâycungABcódạng:
f(a) f(b) af(b) bf(a)
yx
ab ab
−−
=+
−−
Chox=x
1,y=0tacó
1
af(b) bf(a)
x
f( b) f(a)
−
=
−
(1)
Taxâydựnghàm
chord()đểthựchiệnthuậttoántrên
function[x,err,xx]=chord(f,a,b,tolx,maxiter)
%giaiptf(x)=0bgphuongphapdaycung.
%vao:f‐hamcantimnghiem
%a/b‐khoangtimnghiem
%tolx‐saisomongmuoncuanghiem
%maxiterlanlapmax
%ra:x‐nghiem
%err‐sai
so
%xx‐cacgiatritrunggian
tolfun=eps;
fa=feval(f,a);
fb=feval(f,b);
iffa*fb>0
error(ʹNghiemkhongotrongdoannay!ʹ);
end
fork=1:maxiter
xx(k)=(a*fb‐b*fa)/(fb‐fa);%pt.(1)
fx=feval(f,xx(k));
err=min(abs(xx(k)‐a),abs(b‐xx(k)));
a
b
x
y
x1
ξ
247
ifabs(fx)<tolfun|err<tolx
break;
elseiffx*fa>0
a=xx(k);
fa=fx;
else
b=xx(k);
fb=fx;
end
end
x=xx(k);
ifk==maxiter
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlanlap\nʹ,maxiter)
else
fprintf(ʹ
Hoitusau%dlanlap\nʹ,k)
end
Đểtìmnghiệmcủahàmf(x)=tg(π‐x)‐xtadùngchươngtrình
ctchord.m
clearall,clc
f=inline(ʹtan(pi‐x)‐xʹ);
[x,ss,xx]=falsp(f,1.7,3,1e‐4,50)
§5.PHƯƠNGPHÁPNEWTON‐RAPHSON
Phương pháp lặp Newton(còn gọi là ph ương pháp tiếp tuyến)được
dùngnhiềuvìnóhộitụnhanh.Tuynhiênphươngphápnàyđòihỏitínhfʹ(x).
CôngthứcNewton‐RaphsonđượcsuytừkhaitriểnTaylorc
ủaf(x)lâncậnx:
2
i1 i i i1 i i1 i
f(x ) f(x) f(x)(x x) O(x x)
+++
′
=+ −+ −(1)
Nếux
i+1lànghiệmcủaphươngtrìnhf(x)=0thì(1)trởthành:
2
iii1i i1i
0 f(x ) f (x )(x x ) O(x x )
++
′
=+ −+ −(2)
Giảsửrằngx
igầnvớixi+1,tacóthểbỏquasốhạngcuốitrong(2)vàcócông
thứcNewton‐Raphson:
i
i1 i
i
f(x )
xx
f(x)
+
=−
′
(3)
Nếux
i+1lànghiệmđúngcủaphươngtrìnhthìsaisốlàei=x‐xi.Khinghiệm
đượctínhtheo(3)thìsaisốlà:
248
2
i
i1 i
i
f(x)
ee
2f (x )
+
′′
=−
′
Minh hoạ hình học của thuật toán
Newton‐Raphsonnhưhìnhbên.
Thuậttoánđượctómlượcnhưsau:
‐chox
o
‐tính
f(x)
x
fʹ(x)
∆=−
‐chox=x+∆x
‐lặplạibước2và3chođếnkhi|∆x|≤ε
Taxâydựnghàm
newtonraphson()đểthựchiệnthuậttoántrên.
function[x,fx,xx]=newtonraphson(f,df,x0,tolx,maxiter)
%giaiptf(x)=0bangppNewton‐Raphson.
%vao:f=ftntobegivenasastring’f’ifdefinedinanM‐file
%df=df(x)/dx(neukhongchosedungdaohamso.)
%x0
=giatribandau
%tolx=saisomongmuon
%maxiter=solanlapmax
%ra:x=nghiem
%fx=f(x(last)),xx=cacgiatritrunggian
h=1e‐4;
h2=2*h;
tolf=eps;
ifnargin==4&isnumeric(df)
maxiter=tolx;
tolx=x0;
x0=df;
end
xx(1)=x0;
fx=feval(f,x0);
fork=1:maxiter
if~isnumeric(df)
dfdx=feval(df,xx(k));%daohamcuaham
else
dfdx=(feval(f,xx(k)+h)‐feval(f,xx(k)‐h))/h2;%daohamso
a
b
=xo
x1
y
x
249
end
dx=‐fx/dfdx;
xx(k+1)=xx(k)+dx;%pt.(3)
fx=feval(f,xx(k+1));
ifabs(fx)<tolf|abs(dx)<tolx,
break;
end
end
x=xx(k+1);
ifk==maxiter
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlanlap\nʹ,maxiter)
else
fprintf(ʹ
Hoitusau%dlanlap\nʹ,k)
end
Để tính lại nghiệm của hàm cho trong ví dụ trên ta dùng chương trình
ctnewraph.m
clearall,clc
f=inline(ʹx.^3‐10*x.^2+5ʹ);
[x,ss,xx]=newtonraphson(f,0.7,1e‐4,50)
§6.PHƯƠNGPHÁPCÁTTUYẾN
Phươngphápcáttuy ếncóthểcoilàbiếnthểcủaphươngphápNewton
‐Raphsontheonghĩađạohàmđượcthaybằngxấpxỉ:
kk1
kk1
f( x ) f(x )
f(x)
xx
−
−
−
′
≈
−
(1)
vàtốnítthờigiantínhhơnkhidùngđạohàmgiảitíchhayđạohàmsố.
Bằngcáchxấpxỉ,biểuthức:
k
k1 k
k
f(x )
xx
f(x )
+
=−
′
trởthành:
−
+
−
⎡⎤
−
=− =−
⎢⎥
−
⎣⎦
kk1 k
k1 k k k
kk1 k
xx f(x)
xxf(x) x
f(x ) f(x ) dfdx
(2)
với
kk1
k
kk1
f( x ) f(x )
dfdx
xx
−
−
−
=
−
250
Phươngtrình(2)chínhlàbiểuthứctổngquátcủaphéplặp.Haigiátrịđầu
tiênx
1vàx2cầnđểkhởiđộngphépl ặp.Quátrìnhlặpđượcminhhoạbằng
hìnha
Phéplặpcóthểkhônghộitụ(hìnhb).Tuynhiênkhihộitụ,nóhộirấtnhanh.
Taxâydựnghàm
secant()đểthựchiệnthuậttoántrên.
function[x,fx,xx]=secant(f,x0,x1,tolx,maxiter)
%giaiptf(x)=0bgphuongphapdaycung
%vao:f‐hamcantimnghiem
%x0,x1‐giatrikhoidongpheplap
%tolx‐saisomongmuon
%maxiter‐solanlapmax
%ra:x
=nghiem
%fx=f(x(last)),xx=cacgiatritrunggian
h=(x1‐x0)/100;
h2=2*h;
tolfun=eps;
xx(1)=x0;
fx=feval(f,x0);
fork=1:maxiter
ifk<=1
dfdx=(feval(f,xx(k)+h)‐feval(f,xx(k)‐h))/h2;
else
dfdx
=(fx‐fx0)/dx;
x0
x1
x2
f(x)
x
y
a
x0
x1
f(x)
x
y
b
251
end
dx=‐fx/dfdx;
xx(k+1)=xx(k)+dx;%pt.(2)
fx0=fx;
fx=feval(f,xx(k+1));
ifabs(fx)<tolfun|abs(dx)<tolx,
break;
end
end
x=xx(k+1);
ifk==maxiter
fprintf(ʹKhonghoitusau%dlan
lap\nʹ,maxiter)
else
fprintf(ʹHoitusau%dlanlap\nʹ,k)
end
Đểtính nghiệm của hàm f(x) = x
3
‐10x
2
+ 5 ta dùng chương trình
ctsecant.m
clearall,clc
f=inline(ʹx.^3‐10*x.^2+5ʹ);
[x,ss,xx]=secant(f,0.5,1,1e‐4,50)
§7.PHƯƠNGPHÁPBRENT
Phương pháp Brent kêt hợp phương pháp chiađôi cung và phương
phápnộisuybậchaiđểtạo ra mộtphươngpháptìmnghiệm của phương
trìnhf(x) =0rấthiệuquả.Phương
phápnàydùngkhiđạohàmcủaf(x)khó
tínhhaykhôngthểtínhđược.Giảsửtacầntìmnghiêmtrong đoạn[x
1,x2].
Quátrìnhtìmnghiệmbắtđầubằngviệcchiađôiđoạn[x
1,x2]bằngđiểmx3.
x2
x
x3
x
x1
x
x3
x
x2
x1
252
Trongquátrìnhnàytatínhđượcf(x1),f(x2)vàf(x3).Qua 3điểm nàytacómột
đườngcongbậc2vàtìmđượcnghiệmxcủađườngcongbậc2này.Nếux
nằmtrongđoạn[x
1,x2]nhưhìnhtrên thìgiátrịnàyđượcchấpnhận. Tiếp
theotatìmnghiệmtrongđoạn[x
1,x3]hay[x3,x2]tuỳtheovịtrícủax.
ĐathứcnộisuyLagrangequa3điểmlà:
23 13 12
123
1213 2123 3132
(f f )(f f ) (f f )(f f ) (f f )(f f )
x(y) x x x
(f f )(f f ) (f f )(f f ) (f f )(f f )
−− −− −−
=++
−− −− −−
Choy=0tacó:
2312 3 1323 1 1231 2
122331
ffx(f f) ffx(f f) ffx(f f)
x
(f f )(f f )(f f )
−+ −+ −
=−
−−−
(1)
Độthayđổicủanghiệmlà:
31 2 2 3 1 212 3 123 1
33
122331
x (f f )( f f f ) f x (f f ) f x (f f )
xxx f
(f f )(f f )(f f )
−−++ −+ −
∆= − =
−−−
(2)
Taxâydựnghàm
brent()đểthựchiệnthuậttoántrên
functionroot=brent(f,a,b,tol)
%giaiptf(x)=0bangthuattoanBrent.
%Cuphap:root=brent(f,a,b,tol)
%vao:f=hamcantimnghiem
%a,b=doanchuanghiem
%tol=saisochotruoc
ifnargin<
4;
tol=1.0e6*eps;
end
%lanchiadoidautien
x1=a;
f1=feval(f,x1);
iff1==0;
root=x1;
return;
end
x2=b;
f2=feval(f,x2);
iff2==0;
root=x2;
return;
253
end
iff1*f2>0.0
error(ʹNghiemkhongnamtrongdoannayʹ)
end
x3=0.5*(a+b);
%batdaulap.
fori=1:30
f3=feval(f,x3);
ifabs(f3)<tol
root=x3;
return
end
%xacdinhdoanchuanghiem.
if
f1*f3<0.0;
b=x3;
else
a=x3;
end
if(b‐a)<tol*max(abs(b),1.0)
root=0.5*(a+b);
return
end
%noisuybac2.
denom=(f2‐f1)*(f3‐f1)*(f2‐f3);
numer=x3*(f1‐f2)*(f2‐f3+f1)
+f2*x1*(f2‐f3)+
f1*x2*(f3‐f1);
ifdenom==0;
dx=b‐a;
else
dx=f3*numer/denom;
end
x=x3+dx;
%neulaprangoaidoan(a,b),dungcachchiadoicung
if(b‐x)*(x‐a)<0.0
dx=0.5*(b‐a);
x=a+dx;
254
end
%chox=x3&chonx1,x2moisaochox1<x3<x2.
ifx<x3
x2=x3;
f2=f3;
else
x1=x3;
f1=f3;
end
x3=x;
end
root=NaN;
Để tìm nghiệm của phương trìnhx|cos(x)|‐1 = 0 ta dùng chương trình
ctbrent.m
clearall,clc
f=inline(ʹx.*abs(cos(x))‐1ʹ);
x=brent(f,0.0,4,1e‐4)
§8.PHƯƠNGPHÁPNGOẠISUYAITKEN
Xétphươngpháplặp:
x=f(x)(1)
vớif(x)thoảmãnđiềukiệnhộitụcủaphéplặp,nghĩalàvớimọix∈[a,b]ta
có:
|f’(x)|≤q<1(2)
Nhưvậ
y:
x
n+1=f(xn)(3)
x
n=f(xn‐1)(4)
Trừ(3)cho(4)vàápdụngđịnhlíLagrangechovếphảivớic∈[a,b]tacó:
x
n+1‐xn=f(xn)‐f(xn‐1)=(xn‐xn‐1)f’(c)(5)
Vìphéplặp(1)nên:
|x
n+1‐xn|≤q|xn‐xn‐1|(6)
Do(6)đúngvớimọinnênchon=1,2,3,...tacó:
|x
2‐x1|≤q|x1‐xo|
|x
3‐x2|≤q|x2‐x1|
255
...................
|x
n+1‐xn|≤q|xn‐xn‐1|
Điềunàycónghĩalàdãyx
i+1‐xi,mộtcáchgầnđúng,là mộtcấpsốnhân.Ta
cũngcoirằngdãyx
n‐yvớiylànghiệmđúngcủa(1),gầnđúngnhưmộtcấp
sốnhâncócôngsaiq.Nhưvậy:
n1
n
xy
q1
xy
+
−
=<
−
(7)
hay:
n1 n
xyq(xy)
+
−= − (8)
Tươngtựtacó:
n2 n1
xyq(xy)
++
−= − (9)
Từ(8)và(9)tacó:
n2 n1
n1 n
xx
q
xx
++
+
−
=
−
(10)
Thaygiátrịcủaqvừatínhở(10)vàobiểuthứccủaqởtrêntacó:
(
)
2
nn1
n
nn1n2
xx
yx
x2x x
+
++
−
=−
−+
(11)
Công thức (11)được gọi là công thức ngoại suy Adam. Nhưvậytheo(11)
trướchếttadùngphươngpháplặpđểtínhgiátrịgầnđúngx
n+2,xn+1,xncủa
nghiệmvàsauđótheo(11)tìmđượcnghiệmvớisaisốnhỏhơn.
Khi phương pháp lặpđược k ết hợp với phương pháp Aitken ta có
phươngphápSteffensen.Bắtđầulặptừx
0,haibướclặpđượcdùngđểtính:
x
1=f(x0) x2=f(x1)
vàsauđódùngthuậttoánAitkenđểtinhy
0theo(11).Đểtiếptụclặptacho
x
0=y0vàlặplạibướctínhtrước.
Taxâydựnghàm
aitstef()đểthựchiệnhaithuậttoántrên
function[x,y]=aitstef(g,x0,tolx,maxiter)
%phuongphapAitken‐Steffenson
%giaiptx=g(x)
xstart=x0;
f0=0;
f0old=1.;
count=0;
while((count<maxiter)&(abs(f0‐f0old)>.0000001))
count=count+1;
f0old=f0;
256
x1=feval(g,x0);
x2=feval(g,x1);
f0=x0‐(x1‐x0)*(x1‐x0)/(x2‐2.*x1+x0);
x0=x1;
end
x=f0;
fprintf(ʹ\nʹ);
fprintf(ʹPhuongphapAitken‐Steffensonʹ);
x0=xstart;
count=0;
f0=0;
x2=1.;
while((count
<maxiter)&(abs(f0‐x2)>.0000001))
count=count+1;
x1=feval(g,x0);
x2=feval(g,x1);
f0=x0‐(x1‐x0)*(x1‐x0)/(x2‐2.*x1+x0);
x0=f0;
end
y=f0;
Đểtìm nghiệmcủaphươngtrìnhx=(2‐e
x
+x
2
)/3=g(x)tadùngchươngtrình
ctaitstef.m
clearall,clc
f=inline(ʹ(2.‐exp(x)+x.^2)/3ʹ);
[x,y]=aitstef(f,0.,1e‐4,50)
§9.PHƯƠNGPHÁPMUELLER
Trongphươngphápdâycungkhitìmnghiệmtrongđoạn[a,b]taxấp
xỉ hàm bằng mộtđường thẳng. Tuy nhiênđểgiảm lượng tính toán vàđể
nghiệmhộitụnhanhhơntacóthểdùngphương
phápMuller.Nộidungcủa
phươngphápnàylàthayhàmtrongđoạn[a,b]bằngmộtđườngcongbậc2
màtahoàntoàncóthểtìmnghiệmchínhxáccủanó.
257
Gọicácđiểmđócóhoànhđộlầnlượtlàa=x2,b=x1vàtachọnthêm
mộtđiểmx
0nằmtrongđoạn[x2,x1].Gọi
h
1=x1‐x0
h
2=x0‐x2
v=x‐x
0
f(x
0)=f0
f(x1)=f1
f(x
2)=f2
1
2
h
h
=γ
Qua3điểmnàytacómộtđườngparabol:
y=av
2
+bv+c
Tatìmcáchệsốa,b,ctừcácgiátrịđãbiếtv:
2
00
2
11 11 1
2
22 22 2
v0(xx) a(0) b(0)cf
vh(xx) ah bh cf
vh(xx)ahbhcf
== ++=
== ++=
=− = − + =
Từđótacó:
0
1
2
101
2
1
201
fc
h
ahff
b
)1(h
f
)1(
f
f
a
=
−−
=
γ+γ
+γ+−γ
=
Sauđótatìmnghiệmcủaphươngtrìnhav
2
+bv+c=0vàcó:
0
2
2c
nx
b
b 4ac
=−
±−
Dấucủa mẫusốđượcchọnsaochonócógiátrịtuy ệtđốilớnnhất,nghĩalà
khib>0,talấydấu+,khib<0talấydấu‐.
Tiếpđó
tachọnx0làmmộttrong3điểmđểtínhxấpxỉmới.Cácđiểmnày
đượcchọngầnnhaunhất,nghĩalànếunghiệmnởbênphảix
0 thìbađiểm
tínhmớilàx
0,x1vàn;nếunnằmbêntráix0thì3điểmtínhmớilàx0,x2và
nghiệm.Tiếptụcquátrìnhtínhđếnkhiđạtđộchínhxácyêucầuthìdừnglại.
Taxâydựnghàm
muller()đểthựchiệnthuậttoántrên
functionp=muller(f,a,b,maxiter)
%giaiptf(x)=0
h1
h2
f(x)
x0,
f
0
x1,
f
1
x2,
f
2
258
%vao‐flahamcantimnghiem
%‐a,bladoanchuanghiem
%‐maxitersolanlapmax
%ra‐pxapxiMullercuaf
%‐ylagiatriy=f(p)
%‐errsaisothuccuanghiem.
%khoigana,b,x0vacacgiatrituongung
cuaham
x0=(a+b)/2.;
P=[x0ab];
Y=feval(f,P);
delta=1e‐4;
%tinhcachesocuaptbachai
fork=1:maxiter
h0=P(1)‐P(3);
h1=P(2)‐P(3);
e0=Y(1)‐Y(3);
e1=Y(2)‐Y(3);
c=Y(3);
denom=h1*h0^2‐h0*h1^2;
a=(e0*h1‐e1*h0)/denom;
b=(e1*h0^2‐e0*h1^2)/denom;
%neunghiemphuc
ifb^2‐4*a*c>0
disc=sqrt(b^2‐4*a*c);
else
disc=0;
end
%timnghiemnhonhat
ifb<0
disc=‐disc;
end
z=‐2*c/(b+disc);
p=P(3)+z;
%sapxeplaicactritinhlap
ifabs(p‐P(2))<abs(p‐P(1))
Q=[P(2)P(1)P(3)];
259
P=Q;
Y=feval(f,P);
end
ifabs(p‐P(3))<abs(p‐P(2))
R=[P(1)P(3)P(2)];
P=R;
Y=feval(f,P);
end
%cactritinhlanmoi
P(3)=p;
Y(3)=feval(f,P(3));
y=Y(3);
%dieukien
dunglap
err=abs(z);
relerr=err/(abs(p)+delta);
if(err<delta)|(relerr<delta)|(abs(y)<eps)
break
end
end
Đểgiảiphươngtrìnhsin(x)‐0.5*x=0tadùngchươngtrình
ctmuller.m
clearall,clc
formatlong
f=inline(ʹsin(x)‐0.5*xʹ);
x=muller(f,1.8,2.2,50)
§10.PHƯƠNGPHÁPHALLEY
PhéplặpNewtontìmnghiệmcủahàmphươngtrìnhx=g(x)là:
′
f(x)
g(x)=x‐
f(x)
(1)
Tốcđộhộitụtăngđángkểkhihàmcónghiệm đơn.Đểtăngtốcđộhội
tụ,EdmonHalleyđưaracôngthứclặp:
[]
−
⎧⎫
′′
⎪⎪
−
⎨⎬
′
′
⎪⎪
⎩⎭
1
2
f(x) f(x)f (x)
h(x)=x‐ 1
f(x)
2f(x)
(2)
Taxâydựnghàm
halley1()đểthựchiệnthuậttoántrên
260
functionx=halley1(f,x,maxiter)
%hamdungdetimnghiemcuaptf(x)=0
%vao:‐hamcantimnghiemf
%‐giatridaux0
%‐solanlapcucdaimaxiter
%ra‐nghiemx
%dungdaohamso
i=0;
h=1e‐4;
while(i
<maxiter)
f1=feval(f,x);
df1=(feval(f,x+h)‐feval(f,x‐h))/(2*h);
ddf1=(feval(f,x+h)‐2*feval(f,x)+feval(f,x‐h))/(h*h);
hx=x‐(f1/df1)*1./(1‐(f1*ddf1)/(2*(df1)^2))
x=hx;
i=i+1;
if(abs(f1)<eps)
break;
end
end
haydùnghàm
halley2()
functionx=halley2(f,x,maxiter)
%hamdungdetimnghiemcuaptf(x)=0
%vao:‐hamcantimnghiemf
%‐giatridaux
%‐solanlapcucdaimaxiter
%ra‐nghiemx
%dungdaohamsymbolic
df=diff(f,x);
ddf=diff(f,x,2);
i=0;
while(i<maxiter)
f1=eval(f);
261
df1=eval(df);
ddf1=eval(ddf);
hx=x‐(f1/df1)*1./(1‐(f1*ddf1)/(2*(df1)^2));
x=hx;
i=i+1;
if(abs(f1)<eps)
break;
end
end
Đểgiảiphươngtrìnhf(x)=x
3
‐3x+2=0tadùngchươngtrìnhcthalley.m:
clc,clearall
%f=inline(ʹx.^3‐3*x+2ʹ);%khidunghalley1()
%x=halley1(f,‐3,50);
symsx
f=x^3‐3*x+2;%khidunghalley2()
x=halley2(f,‐3,50)
§11.PHƯƠNGPHÁPCHEBYSHEV
Khitìmnghiệmcủaphươngtrìnhđạisốtuyếntínhhayphương trình
siêuviệtf(x)=0tacóthểdùngmộthàmcó4thôngsốđểxấpxỉhàmf(x)
y(x)=p
1+p2(x‐p3)
e
(1)
Cácthôngsốp
1 và p3tạosựchuyểndịchtheocáctrục;thôngsốpxácđịnh
biênđộvàecungcấpđộcongcủahàm.
Takhảosáthàmf(x)trênđoạn[a,b]trongđóf(a).f(b)<0,nghĩalàtrong
đoạn[a,b]
tồntạinghiệmcủaphươngtrìnhf(x) =0.Tacóthêmđiềukiện
fʹ(x).fʹʹ(x) ≠ 0 ∀x∈[a,b]. Gọi x
i∈[a,b]làlầnxấp xỉ thứ i của nghiệmthì
nghiệmlầnthứi+1theocôngthứcPopovskilà:
1
e
i1 i
2
fef.f
xx(e1)1 1
fe1f
+
⎡⎤
′′′
⎛⎞
⎢⎥
−=− − −
⎜⎟
′′ ′
−
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
(2)
Khie=‐1
i1 i
2
f.f
xx
0.5f.f f
+
′
−=
′′ ′
−
vàđólàphéplặpHalley
262
Khie→1:
i1 i
f
xx
f
+
−=−
′
vàđólàphéplặpNewton
Khie=0.5
2
2
iii
i1 i
33
ii
10.5f.f
f
f(x) f(x) f(x)
f
xx
ff(x)2f(x)
+
′′
+
⎛⎞
−
⎜⎟
′
′
×
′
⎝⎠
−= =− −
′′′
vàtacóphéplặpChebyshev.
Taxâydựmghàm
chebyiter()đểthựchiệnthuậttoántrên
function[x,fx,xx]=chebyiter(f,x0,tol,maxiter)
%giaiptf(x)=0bangppChebyshev.
%vao:f=hamcantimnghiem
%x0=giatribandau
%tol=saisomongmuon
%maxiter=solanlapmax
%ra:x=nghiem
%fx
,xx=cacgiatritrunggian
ifnargin<4
maxiter=200;
end
ifnargin<3
maxiter=100;
tol=1e‐4;
end
h=1e‐4;
h2=2*h;
xx(1)=x0;
fx=feval(f,x0);
fork=1:maxiter
df=
(feval(f,xx(k)+h)‐feval(f,xx(k)‐h))/h2;%daohamso
d2f=(feval(f,xx(k)+h)‐2*feval(f,xx(k))+feval(f,xx(k)‐h))/h^2;
dx=‐fx/df^3‐0.5*fx^2*d2f/df^3;
xx(k+1)=xx(k)+dx;
fx=feval(f,xx(k+1));
263
ifabs(fx)<tol|abs(dx)<tol
break;
end
end
x=xx(k+1);
Đểgiảiphươngtrìnhtadùngchươngtrình
ctchebyiter
clearall,clc
f=inline(ʹx.^3‐10*x.^2+5ʹ);
x=chebyiter(f,‐3,1e‐4)
§12.PHƯƠNGPHÁPNEWTONDÙNGCHOHỆPHITUYẾN
Phương pháp Newton có thể được tổng quát hoáđểgiải hệ phương
trìnhphituyếndạng:
1123 n
2123 n
n123 n
f (x ,x ,x , ,x ) 0
f (x ,x ,x , ,x ) 0
f (x ,x ,x , ,x ) 0
=
⎧
⎪
=
⎪
⎨
⋅⋅⋅⋅⋅
⎪
⎪
=
⎩
hayviếtgọnhơndướidạng:
F(X)=0
Trongđó:
X=(x
1,x2,x3, ,xn)
Vớimộtphươngtrìnhmộtbiến,côngthứcNewtonlà:
)x(f
)x(
f
xx
i
i
i1i
′
−=
+
hay:
fʹ(x
i).∆x=‐f(xi)
với ∆x=x
i+1‐xi
Đốivớihệphươngtrình,côngthứclặplà:
J(X
i)∆X=‐F(Xi)
TrongđóJ(X
i)làtoántửJacobi.Nólàmộtmatrậnbậcn(n‐tươngứngvới
sốthànhphầntrongvectơX)códạng:
264
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅⋅⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∂
∂
⋅⋅⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅⋅⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
n
n
3
n
2
n
1
n
n
2
3
2
2
2
1
2
n
1
3
1
2
1
1
1
i
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
)X(J
và∆X=X
i+1‐Xi
PhươngphápNewtontuyếntínhhoáhệvànhưvậyvớimỗibướclặp
cầngiảimộthệphươngtrìnhtuyếntính(màbiếnlà∆X
i)xácđịnhbởicông
thứclặpchotớikhivectơX(x
1,x2,x3, ,xn)gầnvớinghiệm.
Taxâydựnghàm
new4sys()đểthựchiệnthuậttoánnày
function[P,iter,err]=new4sys(f,jf,P,max1)
%vao‐FlaheptluutrongM‐filef.m
%‐JFlamatranjacobiluutrongM‐filejf.m
%‐Pvectonghiembandau
%‐max1solanlapcucdai
%ra‐Plavetonghiem
%
‐itersolanlapthucte
%‐errsaiso
Y=f(P);
fork=1:max1
J=jf(P);
Q=P‐(J\Yʹ)ʹ;
Z=f(Q);
err=norm(Q‐P);
relerr=err/(norm(Q)+eps);
P=Q;
Y=Z;
iter=
k;
if(err<eps)|(relerr<eps)|(abs(Y)<eps)
break
end
end
265
Đểgiảihệphươngtrình:
2
2
xxy20
2xy y 3 0
⎧
+−=
⎪
⎨
+−=
⎪
⎩
tadùngchươngtrình
ctnew4sys.m
clearall,clc
formatlong
p=[.5,.5];
[n,ll,ss]=new4sys(@f,@jf,p,50)
Nộidungcủa
f.m:
functionf=f(p)
f=[(p(1)^2+p(1)*p(2)‐2),(2*p(1)*p(2)+p(2)^2‐3)];
Nộidungcủa
jf.m:
functionjf=jf(p)
jf=[(2*p(1)+p(2))p(1)
(2*p(1))(2*p(1)+2*p(2))];
Tacóthểdùnghàm
new4sys2()đểthựchiệnthuậttoán:
functionroot=new4sys2(func,x,maxiter)
%PhuongphapNewton‐Raphsondetimnghiem
%cuaheptfi(x1,x2, ,xn)=0,i=1,2, ,n.
%Cuphap:root=new4sys2(func,x,tol)
%vao:
%func=controham,trave[f1,f2, ,fn].
%x=vec
tobandau[x1,x2, ,xn].
%tol=saisomongmuon
%ra:
%root‐nghiemcuahe
ifsize(x,1)==1;
x=xʹ;
