CHUYEN DE DAY DAI TRA TOAN 6

CHUYÊN ĐỀTOÁN 6 ĐẾN 9 DÀNH CHO DẠY ĐẠI TRÀ VÀ HỌC SINH
GIỎI). LIÊN HỆ 01668571397 ĐỂ NHẬN TRỌN BỘ
Chuyên 1:
I. MC TIấU:
- Nắm đợc khái niệm thế nào là dÃy số viết theo quy luật (các phần tử của dÃy có mối liên hệ nào
đó với nhau).
- Biết nhận dạng dÃy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó.
- HS đợc hệ thống tổng quát các khái niệm về tập hợp và bổ sung thêm một số khái niệm mi v
tập hợp
- HS làm thành thạo các bài tập v dÃy số viÕt theo quy lt, về tËp hỵp.
II. NỘI DUNG:
A. d·y số viết theo quy luật thờng gặp
I) DÃy cộng.
1. Định nghĩa: DÃy cộng là dÃy mà mỗi phần tử kể từ phần tử thứ 2 đều lớn hơn phần tử liền trớc
đó cùng một số đơn vị.
Tng quỏt: DÃy a1, a2, a3, a4, . . . , an-1, an lµ d·y céng
 a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = . . . = an – an - 1 = d
XÐt d·y céng:
a1, a2, a3, a4, . . . , an-1, an
(*)
a) Tìm phần tử thứ n trong d·y (*):
an = a1 + (n - 1) d
b) TÝnh tỉng cđa d·y (*):
(a1 + an )n
2
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an =
c) Số các số hạng của dÃy (*):
an - a1
d
n=
+1

(Trong đó d là khoảng cách giữa hai phần tử liªn tiÕp)
2. VÝ dơ: D·y sè tù nhiªn: 0, 1, 2, 3, 4, . . . là dãy cộng.
D·y c¸c sè chia 7 cã cïng sè d lµ 3: 3, 10, 17, 24, 31, . . . là dãy cộng.
3. Bµi tËp:
Bài 1: Cho d·y: 1, 4, 7, 10, 13, . . .
(1)
a) Tìm phần tử thứ 102 của dÃy?
b) Nếu viết dÃy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy?
Hng dn:
a) Phần tử thứ 102 của dÃy là a102 = 1 + (102 - 1).3 = 304
b) Ph©n tÝch: DÃy số trên khi viết liền thành 1 số đợc chia thành các dÃy sau
- DÃy các số có 1 chữ số chia 3 d 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số

97 - 10
+1 = 30
3
- DÃy các số có 2 chữ số chia 3 d 1 là 10, 13, , 97 gồm
số nên có 30.2 = 60

chữ số
- Để viết tiếp dÃy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ s 100, đảm bảo
chia 3 d 1. Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số n÷a
Ta thấy 239 : 3 = 79 dư 2 nên chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là chữ số thứ 2 của sè thø
80 trong d·y 100, 103, 106, . . .
Mµ sè thø 80 cđa dÃy là: 100 + (80 - 1).3 = 337
Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dÃy (1) là 3 (ch s hàng chục trong số 337)
147101317334337340
Chữ số thứ 302

Chú ý: Trong phần b) khi chữ số thứ n phải tìm là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dÃy các số

có 3, có 4 chữ số và tiếp tục làm tơng tự.


Bài 2: Để dễ theo dõi bạn An đánh số trang một cuốn vở dày 226 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6,
8, . . .
a) Biết mỗi chữ số viết mất 1,5 giây. Hỏi bạn An cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn vở?
b) Chữ số thứ 253 mà bạn An viết là chữ số nào?
Hướng dẫn:
a) Dãy các số chẵn mà bạn An dùng để đánh số trang vở được chia thành các dãy số sau:
- Dãy 2, 4, 6, 8 có 4 số gồm 4(chữ số).
- Dãy 10, 12, 14, . . . , 98 có: (98 - 10) : 2 + 1 = 45(số) gồm: 2.45 = 90(chữ số).
- Dãy 100, 102, 104, . . . , 226 có (226 - 100) : 2 + 1 = 64(số), gồm 3.64 = 192(chữ số).
Do đó bạn An phải dùng tất cả là: 4 + 90 + 192 = 286(chữ số).
Vì mỗi chữ số viết mất 1,5 giây nên 286 chữ số viết mất 286.1,5 = 429 giây hay 7 phút 9 giây.
Vậy bạn An cần 7 phút 9 giây để đánh số trang vở.
b) Để viết dãy số chẵn từ 2 đến 98 phải dùng 94 chữ số, còn lại 253 - 94 = 159 chữ số để viết các
số chẵn có 3 chữ số kể từ số 100.
Ta thấy 159:3 = 53. Do đó chữ số thứ 253 phải là chữ số thứ ba của số thứ 53 trong dãy 100, 102,
104, . . .
Số thứ 53 của dãy 100, 102, 104, . . . là: 100 + (53 - 1).2 = 204
Vậy chữ số thứ 253 là chữ số 4 (chữ số hàng đơn vị của số 204)
2468101214……202204206…
Ch÷ sè thø 253

II) Các dãy khác.
1) Ví dụ: Cho c¸c d·y sau:
a) 1, 3, 6, 10, 15
b) 2, 5, 10, 17, 26
Tìm phần tử thứ 108 của các dÃy trên?
Hng dn

- DÃy (1) cha là dÃy cộng nhng có thể viết lại thành d·y sau:

1.2 2.3 3.4 4.5
,
,
,
,
2 2 2 2

(1)
(2)

. . .

XÐt d·y c¸c thõa sè thø nhÊt trong c¸c tư sè:
1, 2, 3, 4, . . .
Dãy (1') lµ d·y céng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dÃy (1') là 108.

(1')

108.109
= 5886
2
Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của d·y (1) lµ:
- D·y (2) viÕt thµnh d·y: 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1, . . .
Tơng tự ta tính đợc phần tử thứ 108 cđa d·y (2) lµ 1082 + 1 = 11665
2) DÃy Fibonaci:
DÃy số Fibonaci là dÃy bắt đầu bằng hai phần tử là 1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dÃy mỗi phần
tử là tổng của hai phần tử liền trớc phần tử đó.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

D·y sè Fibonaci cã nhiÒu tÝnh chÊt thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo.
III) Các bài tập
Bài 1: Cho các dÃy sau:
*) 1, 3, 5, 7, 9, . . .
(1)
*) 1, 10, 19, 28, 37, . . .
(2)
*) 3, 7, 11, 15, 19, . . .
(3)
*) 2, 9, 16, 23, 30, . . .
(4)
*) 1, 7, 17, 31, 49, . . .
(3')
*) 1, 5, 11, 19, 29, . . .
(4')
a) Tìm phần tử thứ 123 của các dÃy trên


b) Giả sử dÃy (1) có 500 phần tử, dÃy (2) có 200 phần tử. Tìm dÃy các phần tử gièng nhau cđa hai
d·y?
Hướng dẫn
a) Tìm phần tử thứ 123:
*) Xét dãy (1):
Ta thấy dãy (1) là dãy các số lẻ bắt đầu từ 1 nên:
Phần tử thứ 123 của dãy (1) là: 1 + (123 - 1).2 = 245.
*) Xét dãy (2):
Ta thấy dãy (2) là dãy các số chia cho 9 dư 1 nên phần tử thứ n có cơng thức:
9(n - 1) + 1 với n N*
Suy ra phần tử thứ 123 của dãy (2) là: 9(123 - 1) + 1 = 1099.
*) Xét dãy (3):

Ta thấy dãy (3) gồm các số chia cho 4 dư 3 và bắt đầu là phần tử 3 nên phần tử thứ 123 là: 4.
(123 - 1) + 3 = 491
*) Xét dãy (4):
Ta thấy dãy (4) gồm các số chia cho 7 dư 2 và bắt đầu là phần tử 2 nên phần tử thứ 123 là: 7.
(123 - 1) + 2 = 856
b) Gọi số cần tìm là n.
Ta thấy dãy (2) là các số chia cho 9 dư 1 nên: n - 1  9
Còn dãy (1) là các số chia cho 2 dư 1 nên: n - 1  2
 n - 1  18  n = 18k + 1
Vì dãy (1) có 500 phần tử cịn dãy (2) có 200 phần tử
Mà phần tử thứ 500 của dãy (1) là: 1 + (500 - 1).2 = 999
phần tử thứ 200 của dãy (2) là: 9.199 + 1 = 1792
Do đó: 1  n  999  1  18k + 1  999  0  18k  998  0  k  55
Vậy có 56 số cần tìm.
Bµi 2: Cho d·y : 2, 22, 222, 2222, . . . , 222…22

2008
Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 6, chia hÕt cho
13 trong d·y?
số 2
Hướng dẫn
+) Ta cã 222  6. V× vËy c¸c sè trong d·y muèn chia hÕt cho 6 thì số các chữ số 2 của nó phải chia
hết cho 3. VËy ta lËp d·y 3, 6, 9, . . . , 2007 (là dÃy thể hiện số các chữ số 2 trong dÃy trên). DÃy
2007 - 3
+1 = 669
3
này có số phần tử là

Do đó trong dÃy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 cã 669 sè chia hÕt cho 6.

2008
+) Ta có 222222 13. Vì vậy các sè trong d·y muèn số
chia
2 hÕt cho 13 th× sè các chữ số 2 của nó
phải chia hết cho 6. VËy ta lËp d·y 6, 12, 18, . . . , 2004 (là dÃy thể hiện số các chữ số 2 trong dÃy

2004 - 6
+1 = 334
6
trên). DÃy này có số phần tử là

Do đó trong dÃy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 cã 334 sè chia hÕt cho 13.

2008
số3k2 2 + 3k +1
ak =
3
Bài 3: Cho các số a1, a2, a3, …., a2008. BiÕt r»ng:
Víi mäi k = 1, 2, 3, …., 2008
TÝnh tæng a1 + a2 + a3 + …. + a2008.

( k +k 2)


Hướng dẫn

ak =
Ta cã:
Do ®ã:

( k 3 + 3k 2 + 3k +1) 3

( k +1) .k 3

a1 + a2 + a3 + …. + a2008

k3

=

1
1
3
3
k
( k +1)

ỉ1 1 ÷
ư ổ1
ử
ổ 1
ử
1ữ
1 ữ
ỗ
ỗ
=ỗ
+
+
...

+
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ23 33 ữ
ỗ20083 20093 ữ
ố13 23 ữ
ứ ố
ứ
ố
ứ
= 1-

1
20093 - 1 8108486728
=
=
20093
20093
8108486729

Bµi 4(BTVN): Cho S1 = 1 + 2
S2 = 3 + 4 + 5
S3 = 6 + 7 + 8 + 9
S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14
…………………………….

TÝnh S100
Hướng dẫn
Ta thấy phần tử đầu tiên của S100 là phần tử thứ 100 của dãy 1, 3, 6, 10, . . . (1)

1.2 2.3 3.4 4.5
,
,
,
,
2
2
2
2
Mà dãy (1) có thể biến đổi thành dãy:
...
XÐt d·y c¸c thõa sè thø nhÊt trong c¸c tư sè:
1, 2, 3, 4, . . .
Dãy (1') lµ d·y céng, dƠ thấy phần tử thứ 100 của dÃy (1') là 100.

(1')

100.101
= 5050
2
Do ú phần tử thứ 100 của dÃy (1) là:
T đó suy ra phần tử cuối cùng của S100 là: 5050 + 100 = 5150

(5050 + 5150).101
= 515100
2

Vậy S100 =
Bµi 5(BTVN): Chia dÃy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm (các số cùng nhóm đợc đặt trong
ngoặc)
(1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), .
a) Tìm số hạng đầu tiên của nhãm thø 100
b) TÝnh tỉng c¸c sè thc nhãm thø 100
Hướng dẫn
a) Ta thấy: Nhóm 1 có 1 phần tử;
Nhóm 2 có 2 phần tử;
Nhóm 3 có 3 phần tử;
Nhóm 4 có 4 phần tử;
Nhóm 5 có 5 phần tử;
.....
Như vậy trước nhóm 100 ta đã sử dụng:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 99 = (1 + 99).100 : 2 = 4950(số)
Số hạng đầu tiên của nhóm 100 là 4951
b) Ta có nhóm 100 có 100 số hạng, số hạng đầu tiên là 4951, số hạng cuối cùng là 4951 + 99 =
5050.
Tổng các số của nhóm 100 là: (4951 + 5050).100 : 2 = 500050
Bµi 6(BTVN). Cho S = 7 + 10 + 13 + ... + 97 + 100
a) Tæng trên có bao nhiêu số hạng?
b) Tim số hạng thứ 22.


c) TÝnh S .
Bài 7.
Cho dãy số: 4; 7; 10; 13; 16; …………
a) Tìm số thứ 100 của dãy? Số thứ n của dãy
b) Số 45723 có mặt ở trong dãy đó khơng?
Hướng dẫn

Ta thấy 7 = 4 + 3
10 = 7 + 3
13 = 10 + 3 ……….
Như vậy trong dãy số đã cho kể từ số thứ 2 trở đi mỗi số đều bằng số liền trước đố cộng 3
Gọi các số trong dãy lần lượt là a1; a2; a3; a4; a5…… an-1; an
Ta có a2 – a1 = 1
a3 - a2 = 1
………
an – an-1=1 ta có n -1 đẳng thức
Cộng 2 vế ta được an – a1 = 3.(n - 1) hay an = a1+ 3.(n-1)
Vì a1 = 4 nên an= 4 + 3n - 3 = 3n + 1 với n {1; 2; 3; 4;….. }
Vậy số thứ 100 của dãy là a100 = 3.100 + 1 = 301
Số thứ n là an = 3n + 1
b) Số 45723 có mặt ở trong dãy đó khơng?
Các số trong dãy đều có dạng 3n +1
Ta có số: 45723 = 3.15241
Vậy số 45723 khơng có mặt trong dãy
B. TẬP HỢP
I. Bổ sung lý thuyết
1. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập hợp con của tập
hợp B. Kí hiệu: A Ì B đọc là: A là tập hợp con của tập hợp B hoặc A được chứa trong B hoặc B
chứa A.
- Mỗi tập hợp đều là tập hợp con của chính nó.
- Quy ước: Tập hợp rỗng là tập hợp con của mọi tập hp.
Ghi nh: Một tập hợp A bất kỳ luôn có hai tập hợp con đặc biệt. Đó là tập hợp
rỗng và
chính tập hợp A.
2. Cỏc phộp toỏn v tp hợp
a) Hợp của 2 tập hợp A và B ký hiệu A B = {x / x
A hoặc x

B}
b) Giao của 2 tập hợp A và B ký hiệu A B = {x / x
A và x
B}
c) Hiệu của 2 tập hợp A và B ký hiệu A \ B = {x / x
A và x
B}
3. Người ta chứng minh được rằng: Nếu một tập hợp có n phần tử thì số tập hợp con của nó là 2n.
II. Bài tp
Bài 1. Cho tập hợp A = {a, b, c, d}
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử.
b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A cã ba phÇn tư? Cã bèn phÇn tư?
d) TËp hợp A có bao nhiêu tập hợp con?
Bài 2. Cho tËp hỵp B = {x, y, z}. Hái tËp hỵp B có tất cả bao nhiêu tập hợp con?
Bài 3. Chøng minh r»ng nÕu A Ì B, B Ì C thì A è C
Bài 4. Cho H là tập hợp ba số t nhiờn l đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên. Tập hợp M
với H Ì M , M Ì K .
- Hái M có ít nhất bao nhiêu phần tử? Nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
- Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thỏa mÃn điều kiện trên?
a 18;12;81 , b 5;9
Bài 5. Cho
. HÃy xác định tập hợp M = {a - b}.


Bµi 6. Cho các tập hợp sau, chỉ ra phần tử thứ 100 của mỗi tập hợp.
 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; . . .
a) A =
 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37; . . .
b) B =

 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56; . . .
c) C =
Bµi 7. Tìm phần tử thứ 789 của mỗi tập hợp sau:
 3; 8; 15; 24; 35; 48; . . .
a) M =
 3; 24; 63; 120; 195; . . .
b) N =
 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; . . .
c) P =
 2; 5; 10; 17; 26; 37; . . .
d) Q =
Bµi 8. Tìm chữ số thứ 999 khi viết liên tiếp liền nhau các phần tử của tập hợp
 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; . . .
Bµi 9. Cho các số tự nhiên từ 1 đến 100 ta chia thành 2 dãy số chẵn và dãy số lẻ. Hỏi dãy nào có
tổng các chữ số lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu?
Bµi 10. Để đánh số trang 1 cuốn sách người ta dùng 1995 chữ số. Hỏi:
a) Cuốn sách dày bao nhiờu trang?
b) Chữ số thứ 1000 ở trang nào và là chữ số nào?