Cac de luyen thi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010
Mơn: TỐN – VỊNG II
(Đề thi vào lớp chun Tốn, Tin)
Hướng dẫn chấm gồm 3 trang

I Hướng dẫn chung.
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó, có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
2. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc khơng vẽ hình thì khơng cho điểm.
3. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như
hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất, không làm tròn điểm.
II. Hướng dẫn chi tiết.
Câu 1 ( 2 điểm):
a. (1.5 điểm):

 b  ab
  b
a
a b
P 
 a  : 



ab  b
ab 
 a b
  ab  a





b

ab  a  ab 
b
a
:

a b
b( a 
 a( b  a)

a  b b b( a 
:
a b

0,5

a b 


b)
ab 

0,5

b)  a a ( b  a )  (a  b)( b  a )( a 

ab( b  a )( a  b)

b)

a  b b ab  b 2  a ab  a 2  (a 2  b 2 )
a b
b ab  a ab

:

:
a b
ab( b  a )( a  b)
a  b ab( b  a )( a 
a b
a b
:
a  b ( b  a )( a 

b)



a  b ( b  a )( a 
.
a b
a b

b)

 a

0,25
b)

0,25

b

b. (1 điểm):
a  b 6

Cách 1. Theo định lí Vi-ét: ab 1



P2 

a

b



2

0.25

a  b  2 ab 6  2 4

Vì a  b  P  0  P 2

0,25

Cách 2. Phương trình x – 6x + 1 = 0 có hai nghiệm x 3 2 2
2

Vì a  b  a 3  2 2, b 3  2 2
 P  32 2 

3  2 2  ( 2 1) 2 

( 2  1) 2  2 1  ( 2  1) 2

Câu 2 (2 điểm):
a. (0.5 điểm):
a + b + c = 0  c = - (a + b)  a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a + b)3
= - 3ab(a + b) = 3abc

0,25
0.25


b. (1 điểm)
0,5

a + b + c = 0  a = - b - c  a2 = b2 + 2bc + c2  a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự có: b2 - c2 - a2 = 2ac ,
2

2

c2 - a2 - b2 = 2ab
2

2

0,25
2

2

3

3

3

a
b
c
a
b
c
a b c
3abc 3
 2 2
 2







2
2
2
2
2
2bc 2ac 2ab
2abc
2abc 2
a  b c
b c a
c a  b
2

0,25

Câu 3 (2 điểm):
a (1 điểm):
Điều kiện: x 2, y 3, z 5

0,25

x + y + z + 4 = 2 x  2 4 y  3 6 z  5
 (x  2  2 x  2  1)  (y  3  4 y  3  4)  (z  5  6 z  5  9) 0

0,25

 ( x  2  1)2  ( y  3  2) 2  ( z  5  3) 2 0

0,25

 x  2  1 0

  y  3  2 0 

 z  5  3 0

 x  2 1

 y  3 2 

 z  5 3

 x 3

 y 7
z 14


0,25

b (0.5 điểm):
Cách 1:

xy 

(x  y) 2

 4xy (x  y) 2  4xy x 2  2xy  y 2  0 x 2  2xy  y 2
4

 0 (x  y) 2

 xy 

(x  y) 2
x, y  R
4
, đẳng thức xảy ra x y

(x  y) 2 3(x  y) 2 3.162
(x  y) 


192
 x2 + xy + y2 = (x + y)2 – xy
4
4
4
.
Đẳng thức xảy ra x y = 8.
2

0.25

0.25

3(x  y)2 (x  y) 2

3(x  y) 2


192
4
4
4
Cách 2: x2 + xy + y2 =
. Đẳng thức xảy ra x y = 8.
c. (1 điểm)

 x  y 0

Điều kiện:  x  y 0
xy 

x  y 4 

0.25
x  y 4  x  y 16

0.25

3(x  y) 2
3(x  y) 2
2
2

x  xy  y 192  192 
 256 (x  y) 2  x  y 16

2
2
4
4
x + xy + y
,

0.25

 x  y 16  x y 8

0.25


Câu 4 (1 điểm):
2009.2010
2019045
2
S = 1 + 2 + 3 + …+ 2009 =
. Suy ra S chia cho 8 dư 5

0.5

 S  58 , do đó số n lớn nhất là 2008.

0.5

Câu 5 (2 điểm):

X

A

E

t
K

C’

B

I

D’

a) 1 điểm


IEK
IBK
(vì B, E đối xứng với nhau qua KI)

D

C

0.25





IBK
OCD
(cùng chắn cung C ' D )

0.25




IAK
ODC
(cùng chắn cung CD ' )

0.25





Mà OCD ODC (vì OC = OD)  IEK IAK  tứ giác AIKE nội tiếp.

0.25

b. 1 điểm


Tứ giác AIKE nội tiếp  EAK EIK

0.25



EIK
BIK
(vì B, E đối xứng với nhau qua KI)

0.25




BIK
EBt
(cùng phụ với góc EBI )

0.25


  EAD


 EAK
EBt
'  EBD
' 180 0  tứ giác AEBD’ nội tiếp
 E nằm trên đường tròn tâm (O, R)

0.25

Mà IK là trung trực của BE suy ra IK đi qua O (ĐPCM)
Câu 6. (1 điểm)
x 2  2 y 2  3 xy  2 x  4 y  3 0  x 2   3 y  2  x  2 y 2  4 y  3 0

(1)

0.25

Nếu pt (1) có nghiệm ngun theo x, thì:
2

  3 y  2   4  2 y 2  4 y  3   y 2  4 y  8

là số chính phương.

2

 y 2  4 y  8 k 2  k  N    y  2   k 2 12  ( y  2  k )( y  2  k ) 12

0.25

y  2  k   ( y  2  k ) 2( k  2)
Ta có: Tổng 
là số chẵn nên

 y  2  k  ; ( y  2  k ) cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6
hoặc 3.4 và y + 2 + k > 0, y + 2 + k > y + 2 – k nên chỉ có các hệ phương trình sau:
 y  2  k 2



 y  2  k 6

 y 2

k 2

0.25
0.25


 ( x; y ) (1; 2), (3; 2) .