ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THI MINH HỌA THPT MÔN TOÁN 20202021 (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT)

PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA
MÃ ĐỀ: 01

KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021
MƠN THI: TỐN
Thời gian: 90 phút

Câu 1.

Tổ 1 lớp 12A1 có 12 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh của tổ 1 làm trực nhật của ngày thứ
hai là:
4
4
A. 412 .
B. 12 4 .
C. C12 .
D. A12 .

Câu 2.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 , u6 = 8 . Tìm cơng sai d của cấp số cộng đó.
A. d = −2 .

Câu 3.

B. d = 2 .

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

5
C. d = .

3

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;1) .
B. ( 4; + ∞ ) .
C. ( −∞ ; 2 ) .

5
D. d = − .
3

D. ( 0;1) .

Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Câu 5.

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã
cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.
Câu 6.

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

ax + b
( ad − bc ≠ 0 ; ac ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm đường tiệm
cx + d
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

Cho hàm số y =

A. x = −1, y = 1 .

B. x = 1, y = 2 .

C. x = 1, y = 1 .

D. x = 2, y = 1 .
Trang 1


Câu 7.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

A. y = − x 3 + 3 x 2 + 2 .
Câu 8.

B. y = x 4 − 2 x 2 + 2 .

D. y = x3 − 3 x − 2 .

Đồ thị của hàm số y = x 4 + 4 x 2 − 3 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
B. 2 .

A. 0 .
Câu 9.

C. y = x 3 − 3 x + 2 .
C. 1 .

D. 4 .

 a3 
Cho a là số thực dương khác 4. Giá trị của log a  ÷ bằng:
4  64 
1
A. −3 .
B. 3 .
C. .
3

D.

−1
.
3

x

 1 
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = 
÷.
 2022 
x

x

 1 
A. y′ = 
÷ ln 2022 .
 2022 

 1 
B. y′ = − 
÷ ln 2022 .
 2022 

x −1

 1 
C. y′ = x 
÷ ln 2022 .
 2022 
Câu 11. Với a là số thực khác 0 . Khi đó
A. a 4 .

x

1
 1 
D. y′ = − 
.
÷
 2022  ln 2022
a 4 bằng:

B. a 2 .

1

C. a3 .

D. a 2 .

C. 3 .

D. 4 .

2

Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3x − 2 x = 1 là
A. 0 .
B. 2 .
Câu 13. Nghiệm của phương trình log5 ( 2 x ) = 2 là:

25
1

.
D. x = .
2
5
2
4
Câu 14. Cho hàm số f ( x) = 3 − x + x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. x = 5 .

A.

∫

C. x =

B. x = 2 .

x3 x5
f ( x ) dx = 3 x − + + C .
3
5

B.

∫ f ( x ) dx = −2 x + 4 x

3

+C .

x3 x5
x3 x5
.
D.
f
x
d
x
=
3
−
+ +C .
+
+
C
(
)
∫
∫
3 5
3 5
Câu 15. Cho hàm số f ( x ) = sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
f ( x ) dx = 3x +

C.

1

∫ f ( x ) dx = 3 cos 3x + C .

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 cos 3x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = cos 3x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = −3cos 3x + C .

Câu 16. Cho

Trang 2

1

A.

4

2

4

0

0

0

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ g ( 2 x ) dx = 4 . Tính ∫  f ( x ) − g ( x )  dx .


4

4

A. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 1 .

B. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −1 .

C. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −5 .

D. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 5 .

0
4

0

1

Câu 17. Tích phân

∫ ( 4x
0

3

0
4

0

+ 1) dx bằng

A. 2 .
B. − 2 .
C. 1.
Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z = (2 + i ) 2 là số phức
A. z = 3 − 4i .

B. z = 3 + 4i .

D. 0 .

C. z = − 3 − 4i .

D. z = − 3 + 4i .

Câu 19. Cho hai số phức z1 = 1 + 3i , z2 = 3 − i . Phần thực của số phức z1 + 2 z2 là
A. 7 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M (3;6) biểu diễn của số phức nào sau đây?
A. z = 6 + 3i .
B. z = 3 + 6i .

C. z = 3 − 6i .
D. z = 6 − 3i .
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với
đáy và SA = a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .

2
2
2
.
B. a 3
.
C. a 3 2 .
D. a 3
.
6
4
3
Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
A. 9 .
B. 27 .
C. 81 .
D. 36 .
Gọi l , h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Cơng thức
đúng là:
A. R = h .
B. l 2 = h 2 + R 2 .
C. R 2 = h 2 + l 2 .
D. l = h .
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng cạnh bằng a . Thể tích
khối trụ bằng:

π a3
π a3
π a3
A. π a 3 .
B.
.
C.
.
D.
.
3
2
4
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0; −1; −2 ) và B ( 2; 2; 2 ) . Tọa độ
A. a 3

Câu 22.
Câu 23.

Câu 24.

Câu 25.

trung điểm I của đoạn thẳng AB là
 1 
A. I ( 2;1;0 )
B. I  1; ; 0 ÷
 2 

 3 

D. I  1; ; 2 ÷.
 2 

C. I ( 2;3; 4 )

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + z 2 = 36 . Tìm tọa
2

2

độ tâm I và tính bán kính R của ( S ) .
A. I ( 2; −1;0 ) , R = 81 .

B. I ( −2;1; 0 ) , R = 9 .

C. I ( 2; −1;0 ) , R = 6 .

D. I ( −2;1;0 ) , R = 81 .

Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − z − 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?
A. Q ( 2; −1;5 ) .

B. N ( 2; −3;0 ) .

C. P ( 0; 2; −3) .
D. M ( 2;0; −3) .
uuu
r r r
r
Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3; −4) và OB = 4i − j − 2k . Vectơ chỉ phương của

đường thẳng AB là
r
A. u = (1; −2;1).

r
r
r
B. u = (−1; 2;1).
C. u = (6; 2; −3).
D. u = (3;1; −3).
Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con
Trang 3


súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. 0, 25.
B. 0, 75.
C. 0,85.
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ?
4x +1
A. y = x 4 + x 2 + 1 .
B. y = x 3 + x + 1 .
C. y =
.
x+2

D. 0,5.
D. y = cot x .

Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 trên đoạn [ −2;1] .

A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
2
Câu 32. Tìm nghiệm của bất phương trình: 2 x − x +8 < 41−3 x .
 x > −2
A. −3 < x < −2 .
B. 
.
C. 2 < x < 3 .
 x < −3
3

Câu 33. Cho

∫
1

3

f ( x ) dx = −5 , ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 9 . Tính
1

∫ g ( x ) dx .
1

B. I = −14 .
C. I = 7 .
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + i ) = 3 − 5i . Tính module của z.
B. 16 .

D. −1 < x < 1 .

3

A. I = 14 .
A. 17 .

D. 6 .

C. 17 .

D. I = −7 .
D. 4 .

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Gọi α là góc giữa A′C và ( ADD′A′ ) . Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. α = 30° .

C. tan α =

B. α = 45° .

1
.
2

D. tan α =

2

.
3

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

a
.
2

B.

a 6
.
3

C.

a 3
.
3

D.

a 2
.
2

Câu 37. Tìm độ dài đường kính của mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 4 z + 2 = 0 .

A.

3.

B. 2 .

C. 1 .

D. 2 3 .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho A ( 1; −2;1) và B ( 0;1;3) phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm A và B là
x +1 y − 3 z − 2
x
y −1 z − 3
=
=
=
=
A.
.
B.
.
−1
−2
1
−1
3
2
x +1 y − 2 z +1

x y −1 z − 3
=
=
=
C.
.
D. =
.
1 −2
1
−1
3
2
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên.

Trên [ −4;3] hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
2

A. x0 = − 4 .
Trang 4

B. x0 = 3 .

C. x0 = −3 .

D. x0 = 1 .


Câu 40. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực

( x; y )

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

= 5−( y + 4) và 4 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 ?
B. 2 .
C. 1 .
x
ïì e + a
khi x ³ 0
Câu 41. Cho hàm số f ( x ) = ïí 3
có đạo hàm tại x0 = 0 .
ïï - x + bx khi x < 0
ỵ
2

x 2 − 2 x −3 − log3 5

3
A. 3 .

D. 4 .

- ln( e+1)

Tích phân I =

ò

1

f ( ln ( be- x + a) ) dx = m - ne . Giá trị của P = 2m + n bng
x
ử 1 + ae
2

ổ
ỗ e ữ
lnỗ
ữ
ữ
ỗe+1ứ
ố

A. P = 3 .

B. P = 5 .

C. P =

5
.
2

D. P =

3
.
2

Câu 42. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z - 1 + z - i = 4 . Gọi ( C ) là đường cong tạo bởi tất cả các

điểm biểu diễn số phức ( z - 2i ) ( 2i +1) khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong ( C ) .
A. S = 5π 7 .

B. S = 10π 7 .

C. S = 5π 14 .

D. S = 10π 14 .

Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a , góc giữa

SC và mặt phẳng ( SAB ) bằng 300 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp S . ABCD
bằng:

a3
a3
a3
a3 3
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
6
12
6

Câu 44. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước 12m × 6m như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong
q trình đi dã ngoại đã gập đơi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của
tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (như hình vẽ). Tìm x
để khoảng khơng gian trong lều là lớn nhất.
A.

A. x = 4 .

B. x = 3 2 .

C. x = 3 .

D. x = 3 3 .
Trang 5


Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 1 = 0 , ( Q ) : 2 x + 2 y − 4 z + 7 = 0

x y +1 z − 2
=
=
. Đường thẳng ∆ cách đều hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) ,
2
−1
1
đồng thời vng góc và cắt đường thẳng d có phương trình là:
15

29


x = 2 + t
x = − +t

x
=
−
15
+
2
t
x
=
−
15
+
t



4

11



A.  y = 11 + 5t
B.  y = 11 + 5t
C.  y = + 5t
D.  y = 4 + 5t
4


 z = −1 + 3t
 z = −7 + 6t
 z = −7 + 3t


7



 z = − 4 + 3t

và đường thẳng d :

Câu 46. Cho hàm số f ( x) = x 3 − 3x 2 + 1 và g ( x ) = f

(

f ( x ) − m ) cùng với x = − 1; x = 1 là hai điểm cực

trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) . Khi đó số điểm cực trị của hàm y = g ( x) là
A. 14 .

B. 15 .

C. 9 .

Câu 47. Biết rằng có n cặp số dương ( x; y ) ( với n ∈¥ * ) để x; x

D. 11 .

log x

;y

log y

; xy

log ( xy )

tạo thành một cấp số

n

nhân. Giá trị gần nhất của biểu thức

∑x

n

k =1
n

∑y
k =1

A. ( 3, 4;3,5 ) .

nằm trong khoảng nào sau đây?
n

C. ( 3,7;3,8 ) .

B. ( 3, 6;3, 7 ) .

D. ( 3,9; 4 ) .

Câu 48. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( C ) , biết rằng tồn tại hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) sao cho tiếp
tuyến tại A, B và đường thẳng vng góc với hai tiếp tuyến tại A, B tạo thành một hình chữ
nhật ( H ) có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi đồ thị ( C ) và hai
tiếp tuyến, S 2 là diện tích hình chữ nhật ( H ) . Tính tỉ số

S1
?
S2

125
1
125
.
C.
.
D.
.
3
128
768
Câu 49. Xét các số phức z1 = 1 + i , z2 = 1 − 3i , z 3 = 4 + i và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức
A.

1
.
6

z4 , z5 , z6 mà

B.

z4 − z2 z5 − z3 z6 − z1
z − z 4 z − z5 z − z 6
,
,
,
,
là các số thực, cịn
thuần ảo. Tìm
z4 − z3 z5 − z1 z6 − z2
z2 − z3 z3 − z1 z1 − z2
2

2

2

giá trị nhỏ nhất của T = z − z4 + z − z5 + z − z6 .
A.

72
.
5

B. 3.

C.

72
.
25

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;1; 2 ) và B

D.

(

3;1;3

)

18
.
25

thoả mãn AB ⊥ BC

; AB⊥ AD; AD⊥ BC . Gọi ( S ) là mặt cầu có đường kính AB , đường thẳng CD di động và
luôn tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . Gọi E∈ AB, F∈ CD và EF là đoạn vng góc chung của AB và
CD . Biết rằng đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu ( S ) và thỏa mãn (∆ ) ⊥ EF;(∆ ) ⊥ AB
và d ( A; ( ∆ ) ) = 3 . Khoảng cách giữa ∆ và CD lớn nhất bằng

Trang 6


A.

3+2
.
2

B. 2 .

C.

3 +3
.
2

D. 3 .

Trang 7


1.C
11.B
21.D
31.C
41.B

Câu 1.

2.B
12.B
22.A
32.A
42.C

3.D
13.C
23.D
33.D
43.B

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
BẢNG ĐÁP ÁN
4.B
5.B
6.C
7.C
8.B
14.A
15.B
16.C
17.A
18.A
24.D
25.B
26.C
27.D
28.A
34.A

35.C
36.C
37.D
38.B
44.B
45.D
46.D
47.D
48.A

9.B
19.A
29.A
39.D
49.C

10.B
20.B
30.B
40.B
50.A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ SỐ 01 PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA THI TN 12- 2020-2021
Tổ 1 lớp 12A1 có 12 học sinh. Số cách chọn 4 học sinh của tổ 1 làm trực nhật của ngày thứ
hai là:
4
4
A. 412 .
B. 12 4 .

C. C12 .
D. A12 .
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách chọn 4 học sinh làm trực nhật của ngày thứ hai là một tổ hợp chập 4 của 12 nên số
4
cách chọn là C12 .

Câu 2.

Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 , u6 = 8 . Tìm cơng sai d của cấp số cộng đó.
A. d = −2 .

B. d = 2 .

5
C. d = .
3
Lời giải

5
D. d = − .
3

Chọn B
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d ta có:

u6 = u1 + 5d ⇔ 8 = −2 + 5d ⇔ d = 2 .
Câu 3.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1;1) .
B. ( 4; + ∞ ) .
C. ( −∞ ; 2 ) .

D. ( 0;1) .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) và ( 0;1) .
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
Trang 8


A. 2.

Câu 5.

B. 3.

C. 1.
Lời giải

D. 4.

Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đã cho có 1điểm cực tiểu x = 0 và 2 điểm cực đại
x = ±1 .
Vậy số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3.
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã
cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B

Do hàm số f ( x ) liên tục trên ¡ nên hàm số xác định tại các điểm −1;0; 2; 4 .
Mặt khác từ bảng xét dấu f ′ ( x ) , ta có f ′ ( x ) đổi dấu khi x đi qua các điểm −1;0; 2; 4 .

Câu 6.

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.
ax + b
y=
( ad − bc ≠ 0 ; ac ≠ 0 )
cx + d
Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm đường tiệm
cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

A. x = −1, y = 1 .

B. x = 1, y = 2 .

C. x = 1, y = 1 .
Lời giải

D. x = 2, y = 1 .

Chọn C
Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số y =
Câu 7.

ax + b
ta có x = 1 là tiệm cân đứng và y = 1 là tiệm cận
cx + d

ngang của đồ thị.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?

Trang 9


A. y = − x 3 + 3x 2 + 2 .

B. y = x 4 − 2 x 2 + 2 . C. y = x 3 − 3x + 2 .
Lời giải

D. y = x 3 − 3 x − 2 .

Chọn C
Đây là dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hệ số a > 0 nên loại phương án

A, B .
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên loại phương án D .
Vậy đồ thị trên là của hàm số y = x 3 − 3x + 2 .
Câu 8.

Đồ thị của hàm số y = x 4 + 4 x 2 − 3 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 + 4 x 2 − 3 với trục hoành:

 x2 = 1
x4 + 4 x2 − 3 = 0 ⇔  2
⇔ x = ±1 .
x
=
−
3
PTVN
(
)


Phương trình hồnh độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị của hàm số
y = x 4 + 4 x 2 − 3 cắt trục hoành tại 2 điểm.
Câu 9.

 a3 
Cho a là số thực dương khác 4. Giá trị của log a  ÷ bằng:
4  64 
1
A. −3 .
B. 3 .
C. .
3
Lời giải
Chọn B

D.

−1
.
3

3

 a3 
a
a
Ta có: log a  ÷ = log a  ÷ = 3.log a  ÷ = 3 .
4  64 
4 4

4  4
x

 1 
Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y = 
÷.
 2022 
x

x

 1 
A. y ′ = 
÷ ln 2022 .
 2022 

 1 
B. y′ = − 
÷ ln 2022 .
 2022 

x −1

x

 1 
C. y′ = x 
÷ ln 2022 .
 2022 

1
 1 
D. y′ = − 
.
÷
 2022  ln 2022
Lời giải

Chọn B
Ta có: ( a x ) ′ = a x ln a , với 0 < a ≠ 1 .
x

 1 
Do đó y′ = − 
÷ ln 2022 .
 2022 
Câu 11. Với a là số thực khác 0 . Khi đó
A. a 4 .

a 4 bằng:

B. a 2 .

C. a 3 .
Lời giải

Chọn B
Ta có:

Trang 10

a4 =

(a )

2 2

= a 2 (Do a 2 > 0 ).

1

D. a 2 .


Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3x
A. 0 .
B. 2 .

2

−2 x

= 1 là

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn B

x = 0
2
.
= 30 ⇔ x − 2 x = 0 ⇔ 
x = 2
Câu 13. Nghiệm của phương trình log 5 ( 2 x ) = 2 là:
Ta có: 3x

2

−2 x

= 1 ⇔ 3x

2

−2 x

A. x = 5 .

C. x =

B. x = 2 .

25
.
2

1

D. x = .
5

Lời giải
Chọn C

25
.
2
Câu 14. Cho hàm số f ( x) = 3 − x 2 + x 4 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ta có: log 5 ( 2 x ) = 2 ⇔ 2 x = 25 ⇔ x =

A.

∫

C.

∫

x 3 x5
f ( x ) dx = 3 x − + + C .
3 5
x3 x5
f ( x ) dx = 3 x + + + C .
3 5

B.
D.

∫ f ( x ) dx = −2 x + 4 x
∫

f ( x ) dx = 3 −

3

+C .

x 3 x5
+ +C .
3 5

Lời giải
Chọn A
x3 x5
∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3 − x + x ) dx = 3x − 3 + 5 + C .
Câu 15. Cho hàm số f ( x ) = sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
2

Ta có:

4

1

1

A.

∫ f ( x ) dx = 3 cos 3x + C .

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 cos 3x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = cos 3x + C .

D.

∫ f ( x ) dx = −3cos 3x + C .

Lời giải
Chọn B
Ta có
4

Câu 16. Cho

∫

f ( x ) dx = ∫ sin3xdx = ∫

∫

f ( x ) dx = 3 và

sin3xd ( 3 x )

3

1
= − cos 3 x + c .
3

2

4

0

0

∫ g ( 2 x ) dx = 4 . Tính ∫  f ( x ) − g ( x )  dx .

0

4

4

A. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 1 .

B.

0

∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −1 .
0

4

4

C. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −5 .

D. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = 5 .

0

0

Lời giải
Chọn C
2

Ta có ∫ g ( 2 x ) dx =
0

2

2

4

4

1
1

1
1
2 g ( 2 x ) dx = ∫ g ( 2 x ) d ( 2 x ) = ∫ g ( t ) dt = ∫ g ( x ) dx .
∫
20
20
20
20

4

Suy ra

∫ g ( x ) dx = 8 .
0

Trang 11


4

Vậy ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = −5 .
0

1

Câu 17. Tích phân

∫ ( 4x
0

3

+ 1) dx bằng
B. −2 .

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 0 .

Chọn A
1

Ta có:

∫ ( 4x

3

0

+ 1) dx = ( x 4 + x ) = 2
1

0

Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z = (2 + i ) 2 là số phức

A. z = 3 − 4i .

B. z = 3 + 4i .

C. z = − 3 − 4i .

D. z = − 3 + 4i .

Lời giải
Chọn A
Ta có: z = (2 + i) 2 = 4 + 4i + i 2 = 3 + 4i .
Vậy số phức liên hợp của số phức z là: z = 3 − 4i.
Câu 19. Cho hai số phức z1 = 1 + 3i , z2 = 3 − i . Phần thực của số phức z1 + 2 z2 là
A. 7 .
B. 4 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: z1 + 2 z2 = 7 + i.
Vậy phần thực của số phức z1 + 2 z2 là 7.
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M (3;6) biểu diễn của số phức nào sau đây?
A. z = 6 + 3i .
B. z = 3 + 6i .
C. z = 3 − 6i .
D. z = 6 − 3i .
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M (3;6) biểu diễn của số phức z = 3 + 6i .
Câu 21. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với

đáy và SA = a 2 . Tính thể tích khối chóp S . ABCD .
A. a 3

2
.
6

B. a 3

2
.
4

C. a 3 2 .

D. a 3

2
.
3

Lời giải
Chọn D
2
Diện tích hình vng ABCD là S ABCD = a .

Chiều cao khối chóp là SA = a 2 .
1
1
2

VABCD = .SA.S ABCD = .a 2.a 2 = a3
3
3
3 .
Vậy thể tích khối chóp
Câu 22. Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
A. 9 .
B. 27 .
C. 81 .
D. 36 .
Lời giải
Chọn A
Khối lập phương có cạnh là 3 thì có thể tích là: V = 33 = 27
Câu 23. Gọi l , h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Cơng thức
Trang 12


đúng là:
A. R = h .

B. l 2 = h 2 + R 2 .

D. l = h .

C. R 2 = h 2 + l 2 .
Lời giải

Chọn D
Theo định nghĩa của hình trụ thì chiều cao chính là đường sinh của nó.
Câu 24. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng cạnh bằng a . Thể tích

khối trụ bằng:
A. π a 3 .

B.

π a3
.
3

C.

π a3
.
2

D.

π a3
.
4

Lời giải
Chọn D
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = a .
Bán kính đáy

R=

a
π a3

V = R 2 .π .h =
2 . Do đó thể tích khối trụ
4 .

Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0; −1; −2 ) và B ( 2; 2; 2 ) . Tọa độ
trung điểm I của đoạn thẳng AB là
 1 
A. I ( 2;1;0 )
B. I 1; ;0 ÷
 2 

 3 
D. I 1; ; 2 ÷.
 2 

C. I ( 2;3; 4 )
Lời giải

Chọn B
x A + xB 0 + 2

 xI = 2 = 2 = 1

y + y B −1 + 2 1

=
= .
Ta có tọa độ điểm I được tính bởi cơng thức  yI = A
2
2

2

z A + z B −2 + 2

 zI = 2 = 2 = 0

 1 
Vậy I 1; ;0 ÷.
 2 
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + z 2 = 36 . Tìm tọa
2

2

độ tâm I và tính bán kính R của ( S ) .
A. I ( 2; −1; 0 ) , R = 81 .

B. I ( −2;1; 0 ) , R = 9 .

C. I ( 2; −1; 0 ) , R = 6 .

D. I ( −2;1;0 ) , R = 81 .
Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −2;1;0 ) , bán kính R = 6 .
Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − z − 5 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc ( P ) ?
A. Q ( 2; −1;5 ) .

B. N ( 2; −3;0 ) .

C. P ( 0; 2; −3) .

D. M ( 2;0; −3) .

Lời giải
Chọn D
Ta có: 2 − (−3) − 5 = 0 suy ra M ( 2;0; −3) ∈ ( P ) .

Trang 13


uuu
r r r
r
Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(2;3; −4) và OB = 4i − j − 2k . Vectơ chỉ phương của

đường thẳng AB là
r
A. u = (1; −2;1).

r
B. u = (−1; 2;1).

r
C. u = (6; 2; −3).
Lời giải

r

D. u = (3;1; −3).

Chọn A
uuu
r
uuu
r r r
r
Ta có OB = 4i − j − 2k ⇒ B (4; − 1; − 2) ⇒ AB = ( 2; −4; 2 ) .
r 1 uuu
r
Vậy đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là u = AB = ( 1; −2;1) .
2
Câu 29. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con
súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
A. 0, 25.
B. 0, 75.
C. 0,85.
D. 0,5.
Lời giải
Chọn A
Số kết quả có thể xảy ra Ω = 6.6 = 36 .
Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ “.
9 1
⇒ n ( A ) = 3.3 = 9 ⇒ P ( A ) =
= .
36 4
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ¡ ?
4x +1
A. y = x 4 + x 2 + 1 .

B. y = x 3 + x + 1 .
C. y =
.
D. y = cot x .
x+2
Lời giải
Chọn B
Do hàm số đồng biến trên ¡ nên loại ý C; D vì hai hàm số này khơng có tập xác định là ¡ .
Loại đáp án A vì đây là hàm trùng phương.
Vậy chọn đáp án B.
Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 trên đoạn [ −2;1] .
A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn C

Hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x + 1 liên tục trên đoạn [ −2;1] .
 x = −1∈ [ −2;1]
′
Ta có : y′ = 3 x − 4 x − 7 , y = 0 ⇔ 
.
7
x = ∉ [ −2;1]


3
2

y ( −2 ) = −1, y ( 1) = −7, y ( −1) = 5 .
y = y ( −1) = 5 .
Vậy xmax
∈[ −2;1]

Câu 32. Tìm nghiệm của bất phương trình: 2 x2 − x +8 < 41−3 x .
 x > −2
A. −3 < x < −2 .
B. 
.
C. 2 < x < 3 .
 x < −3
Lời giải
Chọn A
2
Bất phương trình ⇔ 2 x − x +8 < 22−6 x ⇔ x 2 + 5 x + 6 < 0 ⇔ −3 < x < −2 .

Trang 14

D. −1 < x < 1 .


3

Câu 33. Cho

∫

1

3

f ( x ) dx = −5 , ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 9 . Tính
1

A. I = 14 .

B. I = −14 .

3

∫ g ( x ) dx .
1

C. I = 7 .
Lời giải

D. I = −7 .

Chọn D
3

3

3

3

1

1

1

1

Ta có ∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 9 ⇔ ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ g ( x ) dx = 9 ⇔ −5 − 2 ∫ g ( x ) dx = 9
3

⇔ ∫ g ( x ) dx = −7 .
1

Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z ( 1 + i ) = 3 − 5i . Tính module của z.
A. 17 .

B. 16 .

C. 17 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn A
3 − 5i
z=
= −1 − 4i ⇒ z = 12 + 42 = 17 .
1+ i

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ cạnh a . Gọi α là góc giữa A′C và ( ADD′A′ ) . Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. α = 30° .

B. α = 45° .

C. tan α =

1
.
2

D. tan α =

2
.
3

Lời giải
Chọn C

CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( ADD′A′ ) .
Ta có 
′
CD
⊥
AA

Suy ra A′D là hình chiếu vng góc của A′C lên ( A′D′DA ) ⇒ tan α =

CD
a
1
=
=
.
A′D a 2
2

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng
A.

a
.
2

B.

a 6
.
3

C.

a 3
.
3

D.

a 2
.
2

Lời giải
Chọn C

Trang 15


Gọi O là giao điểm của AC và BD , suy ra BD ⊥ ( SAO ) .

Từ A , kẻ đường AH ⊥ SO tại H . Khi đó AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH .
Xét tam giác SAO vuông tại, A có AH là đường cao, SA = a , AO =
Suy ra AH =

SA. AO
SA2 + AO 2

=

1
a 2
.
AC =
2
2

a 3
.
3

Câu 37. Tìm độ dài đường kính của mặt cầu ( S ) có phương trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 y + 4 z + 2 = 0 .
A.

3.

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 3 .

Chọn D
Bán kính của mặt cầu : R = 12 + ( −2 ) − 2 = 3 ⇒ đường kính của mặt cầu là ...
2

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho A ( 1; −2;1) và B ( 0;1;3) phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm A và B là
x +1 y − 3
=
=
A.
−1
−2
x +1 y − 2
=

=
C.
−1
3

z−2
.
1
z +1
.
2

x
y −1 z − 3
=
=
.
−1
3
2
x y −1 z − 3
=
D. =
.
1
−2
1
Lời giải
B.

Chọn B
uuu
r
Ta có AB = ( −1;3; 2 ) .
Đường thẳng AB có đường thẳng chính tắc là

x
y −1 z − 3
=
=
.
−1
3
2

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) . Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình bên.

Trên [ −4;3] hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + ( 1 − x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
2

Trang 16


A. x0 = −4 .

B. x0 = 3 .

C. x0 = −3 .
Lời giải

D. x0 = 1 .

Chọn D
Ta có: g ′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( 1 − x ) .

g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1 − x .
Vẽ đường thẳng y = 1 − x , cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) tại ba điểm x = −4 , x = −1 , x = 3 .
Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên [ −4;3]

Vậy hàm số g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên [ −4;3] tại x0 = 1 .
Câu 40. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực
x 2 − 2 x −3 − log3 5

3
A. 3 .

=5

−( y + 4 )

( x; y )

thỏa mãn đồng thời các điều kiện

và 4 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 ?
2

B. 2 .

C. 1 .

Lời giải

D. 4 .

Chọn B
5−( y + 4 ) = 3

x 2 − 2 x − 3 − log3 5

≥ 3− log3 5 ⇒ 5−( y + 4) ≥ 5−1 ⇒ − ( y + 4 ) ≥ −1 ⇒ y ≤ −3.

x = 3
2
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = −1
Khi đó 4 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 ⇔ −4 y − ( 1 − y ) + y 2 + 6 y + 9 ≤ 8 ⇔ y 2 + 3 y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0 .
2

Kết hợp với điều kiện y ≤ −3 suy ra y = −3 .

x = 3
Với y = −3 , ta có 
.
 x = −1
 y = −3
 y = −3
Vậy có đúng 2 cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
và 
.

x = 3
 x = −1
Câu 41. Cho

I=

hàm

− ln ( e +1)

∫

số

e x + a
f ( x) =  3
 − x + bx

(

khi x ≥ 0
khi x < 0

có

đạo

hàm

tại

x0 = 0 .

Tích

phân

)

1
f ln ( be − x + a ) dx = m − ne . Giá trị của P = 2m + n bằng
x
1 + ae

2

 e
ln 
÷
 e +1 

A. P = 3 .

B. P = 5 .

C. P =

5
.
2

D. P =

3
.
2

Lời giải
Chọn B
Hàm số f ( x ) có đạo hàm tại x0 = 0 khi và chỉ khi:

Trang 17


 lim+ f ( x ) = lim− f ( x )
1 + a = 0
a = −1
 x →0
x →0
⇔
⇔

+
−
1 = b
b = 1
 f ' ( 0 ) = f ' ( 0 )
− ln ( e +1)

e x − 1

khi x ≥ 0
Khi đó f ( x ) =  3
nên I =
 − x + x khi x < 0
Đặt t = ln ( e − x − 1) ⇒ dt =

∫

(

)

1
f ln ( e − x − 1) dx .
x
1− e


 e
ln 
÷
 e +1 

−e − x
1
1
dx = −
dx ⇒ −dt =
dx
−x

x
e −1
1− e
1 − ex

Đổi biến:

e
⇒ t = −1
e +1
+ Với x = − ln ( e + 1) ⇒ t = 1
+ Với x = ln

1

1

−1

−1

0

1

−1

0

I = − ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

0

1

−1

0

= − ∫ ( − x 3 + x ) dx − ∫ ( e x − 1) dx =

1
9
− ( e − 2) = − e
4
4

9
n
⇒ m = ; n = 1 ⇒ P = 2m + = 5.
4
2
Câu 42. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − 1 + z − i = 4 . Gọi ( C ) là đường cong tạo bởi tất cả các
điểm biểu diễn số phức ( z − 2i ) ( 2i + 1) khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn
bởi đường cong ( C ) .
A. S = 5π 7 .

B. S = 10π 7 .

C. S = 5π 14 .
Lời giải

D. S = 10π 14 .

Chọn C

x − 2 + ( y + 1) i
x + yi
⇒ z −i =
 z − 2i =
2i + 1
2i + 1
Đặt ( z − 2i ) ( 2i + 1) = x + yi ⇒ 
 z − 1 = x + yi + 2i − 1 = x − 5 + yi
2i + 1
2i + 1


( x − 5 ) + y 2 = 4 5 (1)
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức ( z − 2i ) ( 2i + 1) khi z thay đổi.
F1 ( 2; −1) , F2 ( 5; 0 ) .
Ta có: z − 1 + z − i = 4 ⇔

( x − 2)

2

+ ( y + 1) +
2

2

Từ (1) ta có: MF1 + MF2 = 4 5 .
Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận F1 , F2 là hai tiêu điểm.
 4 5 = 2a ⇒ a = 2 5
70

2
2
⇒
10 ⇒ b = a − c = 2
 F1 F2 = 2c = 10 ⇒ c =

2
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S( C ) = π ab = 5π 14 .

Trang 18


Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a , góc giữa

SC và mặt phẳng ( SAB ) bằng 300 (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp S . ABCD
bằng:

A.

a3
.
2

B.

a3
.
6

a3
.
12
Lời giải
C.

D.

a3 3
.
6

Chọn B

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )
Ta có: 
 BC ⊥ SA
⇒ Hình chiếu vng góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng ( SAB ) là đường thẳng SB
·
·
⇒ ( SC ; ( SAB ) ) = BSC
⇒ BSC
= 300 .
Đặt AB = BC = x ( x > 0 ) .

BC
1
= tan 300 =
∆SBC vuông tại B ⇒
⇒ SB = x 3 .
SB
3

∆SAB vuông tại A ⇒ SB 2 = SA2 + AB 2 ⇒ 3x 2 = a 2 + x 2 ⇒ x 2 =

a2
.
2

a2
1
a3 .
⇒ VS . ABCD = .SA.S ABCD =
2
3
6
Câu 44. Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước 12m × 6m như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong
q trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của
tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (như hình vẽ). Tìm x
để khoảng khơng gian trong lều là lớn nhất.
S ABCD = x 2 =

Trang 19

A. x = 4 .

B. x = 3 2 .

C. x = 3 .
Lời giải

D. x = 3 3 .

Chọn B
Phần khơng gian trong lều được tính bởi cơng thức thể tích hình lăng trụ đứng.
Ta có: V = h.S ∆ABC = 12.S ∆ABC . Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy ABC là
lớn nhất.
Trong tam giác đáy ABC , vẽ đường cao AH . Ta có AH = 9 −
Do đó diện tích: S ∆ABC =

x2
.
4

1
x2 1
x. 9 −
= x 36 − x 2 .
2
4 4

1
x 36 − x 2 với x ∈ (0;6);
4

1
− x  1 36 − x 2 − x 2
2
′
S ( x) =  36 − x + x
.
÷= .
4
36 − x 2  4
36 − x 2
S ′( x) = 0 ⇔ 36 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = 3 2.
Bảng biến thiên:
x
0
3 2
Xét hàm S ( x) =

S ′( x)
S ( x)

+

0
9
2

6
−

Vậy với x = 3 2 ( m ) thì thể tích lều là lớn nhất.

Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z − 1 = 0 , ( Q ) : 2 x + 2 y − 4 z + 7 = 0

x y +1 z − 2
=
=
. Đường thẳng ∆ cách đều hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) ,
2
−1
1
đồng thời vng góc và cắt đường thẳng d có phương trình là:
15

29

x = 2 + t
x = − +t

x
=
−
15
+
2
t
x
=
−
15
+

t



4

11



A.  y = 11 + 5t
B.  y = 11 + 5t
C.  y = + 5t
D.  y = 4 + 5t
4
 z = −7 + 6t
 z = −7 + 3t

 z = −1 + 3t


7



 z = − 4 + 3t

Lời giải
Chọn D
và đường thẳng d :

Trang 20


7
=0
2
Gọi ( R ) là mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
7
5
−1
R
Phương trình của mặt phẳng ( ) là:
( R ) : x + y − 2z + 2 = 0 ⇔ ( R ) : x + y − 2z + 4 = 0
2
 Ycbt: ∆ ∈ ( R ) và ∆ ∩ d ≡ K ⇒ K ≡ d ∩ ( R ) . Khi đó, tọa độ của K là nghiệm của hệ:
 Viết lại mặt phẳng ( Q ) : x + y − 2 z +

15

x=−

2
 x y +1 z − 2

 2 = −1 = 1
11

⇔ y =


4
x + y − 2z + 5 = 0


7

4
z = − 4

r
r
u
⊥
u
 ∆
d
r
r r
r . Do đó ∆ có một vectơ chỉ phương là: u∆ =  n( R ) ; ud  = ( 1;5;3)
Ta lại có:  r
u∆ ⊥ n( R )
15

x
=
−
+t

2


11

Vậy phương trình của đường thẳng ∆ là:  y = + 5t
4

7

 z = − 4 + 3t

29

x = − 4 + t

1
 29

Cho t = ⇒ M  − ; 4; −1÷∈ ∆ ⇒ ∆ :  y = 4 + 5t .
4
 4

 z = −1 + 3t


3
2
Câu 46. Cho hàm số f ( x) = x − 3 x + 1 và g ( x) = f ( f ( x) − m ) cùng với x = −1; x = 1 là hai điểm cực
trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y = g ( x) . Khi đó số điểm cực trị của hàm y = g ( x ) là
A. 14 .
B. 15 .
C. 9 .

D. 11 .
Lời giải
Chọn D
 Ta có: f ( x) = x3 − 3 x 2 + 1 và g ( x) = f
′
Suy ra g '( x) = ( f ( x ) ) . f ′ ( f ( x ) − m ) =

(

f ( x) − m ) ; f ( −1) = −3; f (1) = −1;

f ( x) f ′( x )
f 2 ( x)

. f ′ ( f ( x) − m ) = 0

 x = 0; x = 2
 x = 0; x = 2


⇔  f ( x) − m = 0 ⇔  f ( x ) = m
(*)
 f ( x) − m = 2
 f ( x) = m + 2



 x = a1 ∈ ( −1;0 ) ≈ −0.53,

Mặt khác, f ( x ) = 0 ⇔  x = b1 ∈ ( 0;1) ≈ 0.65

nên các điểm x = a1 ; x = b1 ; x = c1 là các điểm
 x = c ∈ 2;3 ≈ 2.8
( )
1

cực trị của g ( x ) .
Trang 21


Để hai điểm x = −1; x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số y = g ( x) thì hai giá trị x đó phải là
m = 3
  f ( x) = m
 m = −1
m = 1
 
⇒
⇔  m = 1 .
nghiệm của hệ phương trình:  f ( x) = m + 2
m + 2 = 3


f
(
−
1)
=
3;
f
(1)
=

1;
 m = 3

m + 2 = 1
 f ( x) = 3
- Với m = 3 thì suy ra 
, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên khơng có nghiệm
 f ( x) = 5
x = −1; x = 1 nên ta loại
 f ( x) = −1
- Với m = −1 thì suy ra 
, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình kia khơng có nghiệm
 f ( x) = 1
x = −1 nên ta loại

 f ( x) = 1
- Với m = 1 thì suy ra 
. Do hệ phương trình này có hai nghiệm x = −1; x = 1 nên hệ
 f ( x) = 3
phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

 x = a ∈ ( −1;0 )

 x = a ∈ ( −1;0 )
x = 0

x = 1
x = 1

 x = b ∈ ( 2;3)

 x = b ∈ ( 2;3)
Suy ra 
. Do x = 0, x = 2 là nghiệm bội chẵn nên 
là 6 nghiệm
x
=
3
x = 3


 x = −1
 x = −1

 x = c ∈ ( 3, 4 )
x = 2

 x = c ∈ ( 3, 4 )

bội lẻ.
Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số y = g ( x) có 11
điểm cực trị thỏa đề bài.

Trang 22


Câu 47. Biết rằng có n cặp số dương ( x; y ) ( với n ∈ ¥ * ) để x; x log x ; y log y ; xy log( xy ) tạo thành một cấp số
n

nhân. Giá trị gần nhất của biểu thức

∑x
k =1
n

∑y
k =1

A. ( 3, 4;3,5 ) .

n

nằm trong khoảng nào sau đây?
n

B. ( 3, 6;3, 7 ) .

C. ( 3, 7;3,8 ) .

D. ( 3,9; 4 ) .

Lời giải
Chọn D
Tính chất: a, b, c, d lập thành một cấp số nhân thì log a;log b;log c;log d sẽ tạo thành một cấp
số cộng.
log ( xy )
log x
log y
Áp dụng vào suy ra: log x;log ( x ) ;log ( y ) ;log xy
lập thành một cấp số cộng

(

log x; ( log x ) ; ( log y ) ; ( log ( xy ) ) tạo thành 1 cấp số cộng
2

)

2

2

Suy ra: ( log ( xy ) ) − ( log ( y ) ) = ( log ( y ) ) − ( log ( x ) )
2

2

2

2

⇔ ( log ( xy ) − log ( y ) ) ( log ( xy ) + log ( y ) ) = ( log ( y ) ) − ( log ( x ) )
2

2

⇒ ( log ( y ) ) − 2 log ( x ) log ( y ) − 2 ( log ( x ) ) = 0 (1)
2

2

Mặt khác:

( log ( y ) ) − ( log ( x ) )
2

2

= ( log ( x ) ) − log ( x ) ⇒ ( log ( y ) ) − 2 ( log ( x ) ) + log ( x ) = 0 (2)
2

2

2

( 2 ) − ( 1) ⇒ 2 log ( y ) log ( x ) + log ( x ) = 0

 x =1
⇔ log ( x )  2 log ( x ) + 1 = 0 ⇔ 
y = 1

10
TH1: x = 1 thì log ( y ) = 0 ⇒ y = 1 ⇒ ( x; y ) = ( 1;1) = ( x1; y1 )
TH2: y =

1
2
1
thì 2 ( log ( x ) ) − log ( x ) − = 0
10
4

1± 3
1± 3
⇒ x = 10 4
4
 1+ 3 1 
 1− 3 1 
⇒ ( x; y ) =  10 4 ;
= ( x2 ; y2 ) và ( x; y ) = 10 4 ;
= x ;y
÷
÷

÷

÷ ( 3 3)
10
10




⇒ S ≈ 3,96687... ∈ ( 3,9; 4 )

⇔ log ( x ) =

Câu 48. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị ( C ) , biết rằng tồn tại hai điểm A, B thuộc đồ thị ( C ) sao cho tiếp
tuyến tại A, B và đường thẳng vng góc với hai tiếp tuyến tại A, B tạo thành một hình chữ
nhật ( H ) có chiều dài gấp đơi chiều rộng. Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi đồ thị ( C ) và hai
tiếp tuyến, S 2 là diện tích hình chữ nhật ( H ) . Tính tỉ số

A.

1
.
6

B.

1
.
3

C.

125
.
768

S1
?
S2

D.

125
.
128

Lời giải
Chọn A

2
2
Đặt A ( a ; a ) và B ( b ; b ) . Khơng mất tính tổng qt, ta xét a > 0 và b < 0

Trang 23


Gọi: ( d1 ) là đường tiếp tuyến với ( C ) tại A , ( d 2 ) là đường tiếp tuyến với ( C ) tại B .

( d1 ) : y = 2ax − a 2
⇒
2 .
( d 2 ) : y = 2bx − b
Do ( d1 ) ⊥ ( d 2 ) nên
k( d1 ) .k( d2 ) = −1 ⇔ ( 2a ) . ( 2b ) = −1 ⇒ b =

−1
−x
1
 −1 1 
.
⇒ B ;
⇒ ( d2 ) : y =
−
2 ÷
4a
2a 16a 2
 4a 16a 

 4 a 2 − 1 −1 
; ÷ ⇒ chiều dài D =
d1 ∩ d 2 tại E 
4 
 8a
Mà D = 2.R ⇒ a = 1 ⇒ S
2

Suy ra S1 =

( 4a
=

2

+ 1)

128a 3

3
8

3

( 4a

2

+ 1)

8a

3

và chiều rộng R =

( 4a

2

+ 1)

16a

2

3

.

( d1 ) : y = 2 x − 1
 3 −1 
125 và suy ra ⇒ 
− x 1 và E ; ÷.
=
−
8 4 
( d 2 ) : y =
128
2 16



1

 2  − x 1 
125
2
∫1  x −  2 − 16 ÷dx + ∫3  x − ( 2 x − 1) dx = 768 .
−
4

8

S1 125 128 128 1
=
.
=
= .
Như vậy tỉ số
S 2 768 125 768 6

Câu 49. Xét các số phức z1 = 1 + i, z2 = 1 − 3i, z3 = 4 + i và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức

z4 , z5 , z6 mà

z4 − z2 z5 − z3 z6 − z1
z − z 4 z − z5 z − z 6
,
,
,

,
là các số thực, cịn
thuần ảo. Tìm
z4 − z3 z5 − z1 z6 − z2
z2 − z3 z3 − z1 z1 − z2
2

2

2

giá trị nhỏ nhất của T = z − z4 + z − z5 + z − z6 .
A.

72
.
5

B. 3.

C.

72
.
25

D.

18
.

25

Lời giải
Chọn C
Ta có nhận xét: Nếu có hai số phức z, z ′ mà

z
thuần ảo thì điểm biểu diễn M , M ′ của chúng
z′

z
là số thực thì O, M , M ′ thẳng hàng.
z′
Gọi A(1;1), B(1; −3), C (4;1) là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , z3 và M là điểm biểu diễn của z.
sẽ thỏa mãn OM ⊥ OM ′. Còn nếu

Trang 24


Từ đó, ta thấy nếu gọi H , K , L là điểm biểu diễn của z4 , z5 , z6 thì H , K , L chính là hình chiếu
của M lên các cạnh BC , CA, AB. Ta cần tìm min( MH 2 + MK 2 + ML2 ). Ta có
2
(a 2 + b 2 + c 2 )( MH 2 + MK 2 + ML2 ) ≥ (aMH + bMK + cML)2 ≥ 4 S ABC
nên

2
4S ABC
4 ×62
72
=

= .
2
2
2
2
2
2
a +b +c
3 +4 +5
25
trong đó BC = a = 5, CA = b = 3, AB = c = 4 . Đẳng thức xảy ra khi
S
S
MH MK ML
S
=
=
⇒ MBC
= MCA
= MAB
và M nằm trong tam giác.
2
2
a
b
c
a
b
c2
72

Từ đó dễ thấy M tồn tại nên z cũng tồn tại và Tmin = .
25

T≥

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 0;1; 2 ) và B

(

3;1;3

)

thoả mãn AB ⊥ BC

; AB⊥ AD; AD⊥ BC . Gọi ( S ) là mặt cầu có đường kính AB , đường thẳng CD di động và
luôn tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . Gọi E∈ AB, F∈ CD và EF là đoạn vng góc chung của AB và
CD . Biết rằng đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của mặt cầu ( S ) và thỏa mãn (∆ ) ⊥ EF;(∆ ) ⊥ AB
và d ( A; ( ∆ ) ) = 3 . Khoảng cách giữa ∆ và CD lớn nhất bằng
A.

3+2
.
2

B. 2 .

C.

3 +3

.
2

D. 3 .

Lời giải
Chọn A

 A ( 0;1; 2 ) và B

(

uuur
3;1;3 suy ra AB =

)

(

)

3; 0;1 ⇒ AB = 2

 Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh AB = 2 và mặt cầu ( S ) có bán kính bằng
EF tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi F là trung điểm CD thì suy ra CD
ln tiếp xúc với mặt cầu ( S )
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được d ( A; ∆ ) = AM = a 3 với M thuộc đường tròn thiết diện
qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa CD và khoảng cách giữa ∆ và CD bằng MF ′
với MF ′ vng góc mặt phẳng chứa CD
Suy ra khoảng cách giữa ∆ và CD lớn nhất bằng MF ′= MJ + JF ′ như hình vẽ trên

Từ đây ta có: MB = AB 2 − MA 2 =

( 2R )

2

− MA 2 =

( 2)

2

−

( )
3

2

=1

Trang 25