Vt ly 12 2 tp trn quc chin TT sao p

TRUNG TÂM NGOẠI NGỮ - BỒI DƯỠNG VĂN HOÁ VÀ LTĐH

SAO PHƯƠNG NAM


Tài liệu dùng cho học sinh ôn thi TNPT và LTĐH

Tập 1



2012-2013


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

Bảng qui đổi đơn vị
Tên đại lượng
Bước sóng

kí hiệu

đơn vị
m (mét)
1m = 10dm = 102cm = 103mm = 10 6m =



0

Cảm kháng
Cảm ứng từ
Chu kì
Cường độ âm
Cường độ điện trường
Cường độ dòng điện

ZL
B
T
I
E
I

Điện áp

u, U

Điện dung

C

Điện trở

r, R

Độ cứng lò xo

K

Độ tự cảm

L

Dung kháng
Gia tốc
Khoảng vân
Lực
Lượng tử năng lượng
Mức cường độ âm

ZC
a
i
F

L

Năng lượng

W

Suất điện động
Tần số

E, e
F

Tần số góc

Tốc độ
Tổng trở
Trọng lực
Từ thông


v
Z
P


=109nm = 1010 A
1m 2 = 102dm2 = 104cm 2…

T (tesla)
s (giây)
W/m2 (ốt trên mét vng)
V/m
A (ampe)
1kA = 10 3 A = 10 6mA = 109A
V (vôn)
1kV = 10 3 V = 10 6mV = 109V
F (fara)
1F = 10 3mF = 106F = 109nF = 1012pF

1k = 103 
N/m (niuton/mét)
1N/cm=100N/m
H (henry)
1H = 103mH = 106H

 (ôm)
m/s2
m, mm
(N) (niutơn)
J (jun)
B (ben)
1B = 10dB (dexiben)
J (jun)
1kJ = 10 3 J = 10 6 mJ = 109 J
1eV = 1,6.10 -19J
1MeV = 10 6eV = 1,6.10-13J
V/m (vôn/mét)
Hz (héc)
1MHz = 10 3KHz = 106Hz
rad/s
m/s

N
Wb (vêbe)

Trong bài toán điện xoay chiều cần nhớ :

0,318 

1


0,159 

1

2

0,636 

2


Chuyển đổi sin sang cosin và ngược lại:
 cos   cos(   ) ;  sin   cos( 
GV: Trần Quốc Chiến


)
2

;  cos   sin( 

Trang 2


)
2

;  sin   sin(   )


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

I. Dao động cơ – dao động tuần hoàn – dao động điều hòa
1. Dao động cơ: Chuyển động của vật qua lại quanh vị trí cân bằng gọi là dao động cơ. Vị trí cân
bằng là vị trí của vật khi đứng yên.
2. Dao động tuần hoàn: Khi vật dao động, nếu sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kỳ,
vật có vị trí và hướng như cũ thì dao động của vật gọi là dao động tuần hồn.
3. Dao động điều hịa : là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) của thời gian.
4. Phương trình dao động điều hịa x  A cos  t    Trong đó A, ,  là những hằng số.
A là biên độ dao động, A > 0 , xMax  A

x là li độ dao động

 t    là pha của dao động tại thời điểm t (rad)
 là tần số góc



 (rad) là pha ở thời điểm ban đầu t = 0.

2
 2f (rad/s).
T



Chú ý: x  A sin  t     A cos  t    
2


cũng xem là ptr dao động điều hòa

5. Chu kỳ là khoảng thời gian vật thực hiện một dao động tồn phần. Kí hiệu T, đơn vị giây (s).
6. Tần số là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây. Kí hiệu f, đơn vị héc (Hz).

2 1 t
 1 n
 
f
 
và
 f n
2 T t
Với n là số dao động toàn phần thực hiện được trong khoảng thời gian t .
T

7. Vận tốc: v  x '  A sin   t   

hay



v  A cos   t    
2


+ Vận tốc biến đổi điều hịa và sớm pha hơn li độ 1 góc
+ Vận tốc cực đại (tốc độ cực đại) v max  A


.
2

ở VTCB

+ v = 0 ở vị trí biên
+ Cơng thức liên hệ giữa biên độ, li độ và vận tốc: A 2  x 2 
+ Vận tốc ở li độ x: v   A 2  x 2
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 3

v2
2


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

+ Tốc độ trung bình: v 

s
t

+ Tốc độ trung bình trong một chu kỳ dao động:
8. Gia tốc: a   2 A cos(t   )   2 x

v

4A
T

hay: a  2 A cos  t      .

+ Gia tốc biến đổi điều hoà sớm pha hơn vận tốc một góc


và ngược pha so với li độ.
2

+ Gia tốc tỉ lệ với li độ và luôn trái dấu với li độ.
+ Vectơ gia tốc ln hướng về vị trí cân bằng, tức đổi chiều khi qua VTCB.
+ Gia tốc cực đại: a max  2 A : ở vị trí biên
+ A2 

+ a = 0 ở VTCB

a2 v2

4 2

Li đô, Vận tốc, gia tốc biến thiên điều hòa với cùng tần số (cùng chu kì)
9. Mối liên hệ giữa dao động điều hịa và chuyển động trịn
đều: dao động điều hồ trên một đoạn thẳng có thể coi là hình
chiếu của một điểm chuyển động trịn đều lên đường kính là
đoạn thẳng đó.

  .t 

2
.t

T

10. Đồ thị : Đồ thị của li độ , vận tốc, gia tốc
theo thời gian là một đường hình sin, nên
dao động điều hịa gọi là dao động hình sin.
Sau một chu kì, đồ thị lập lại như cũ.

x (cm)

2

11. Tính chất chuyển động:
- Chuyển động
 nhanh dần khi tiến về
VTCB: v  a ; a.v  0

0

1

- Chuyển
2
 động
 chậm dần khi tiến ra vị trí
T  1( s )
biên: v  a ; a.v  0


- Trong quá trình dao động : Fdh  a




- Fdh và a đổi chiểu khi qua VTCB. Còn v đổi chiều ở vị trí biên.

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 4

2

3

t (s)


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

II. Con lắc lò xo
1. Con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn
vào đầu của một lị xo có độ cứng k. Vật m có thể
trượt trên mặt phẳng nằm ngang khơng ma sát. Khi
được kích thích, con lắc lị xo sẽ dao động điều hịa.
2. Tần số góc:  

k
m

Chu kỳ: T  2 

m
k

Tần số: f 

1 k
2 m

Đơn vị: k (N/m) ; m (kg)

3. Lực kéo về: F   kx  ma ln hướng về vị trí cân bằng.
4. Năng lượng dao động (cơ năng): W  Wđ  Wt

hay:

1
1
W  m2 A 2  kA 2 = hằng số.
2
2

Trong dao động điều hồ, nếu bỏ qua ma sát, cơ năng khơng đổi và tỉ lệ với bình phương
biên độ dao động.

1
+ Động năng: Wđ  mv2
2
hay

1
+ Thế năng: Wt  kx 2 Đơn vị: v (m/s) ; A, x (m) ; W (J)
2

Wd 

1
m 2 A2 sin 2 (t   )  W sin 2 (t   )
2

(1)

Wt 

1 2 2
kA cos (t   )  Wcos 2 (t   )
2

(2)

+ Khi vật dao động điều hoà thì động năng và thế năng biến đổi điều hồ theo thời
T
gian với tần số góc  '  2 , chu kỳ T '  , tần số f '  2f . Động năng và thế năng
2
chuyển hoá qua lại lẫn nhau.
(dùng công thức lượng giác hạ bậc biểu thức 1 và 2 ở trên ta có kết quả)
5. Con lắc lò xo treo thẳng đứng: khi vật ở vị trí cân bằng lị xo dãn ra một đoạn
 .
Tại VTCB Ta có



k l  mg 

k
g

m l

k
g

m


T  2

m

 2
k
g

GV: Trần Quốc Chiến

f

1 k
1 g


2 m 2 

Trang 5

nên

k

l


Fdh
m

P


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

III. Con lắc đơn
1. Con lắc đơn gồm vật nhỏ khối lượmg m, treo ở đầu một sợi dây
có chiều dài  , không dãn, khối lượng không đáng kể.
2. Với dao động nhỏ (li độ góc < 10 0), con lắc đơn dao động
điều hịa theo phương trình s  s 0 cos   t    trong đó s 0  0

Q

là biên độ dao động.  0 là biên độ góc (rad).

g


3. Tần số góc:  


g

4. Chu kỳ: T  2

5. Tần số: f 

C

1 g
2 

O

Q
Đơn vị:  (m) ; g = 9,8 m/ s 2 .

α0

s
6. Lực kéo về: Pt  mg sin   mg  ma ln hướng về vị trí

cân bằng.
7. Năng

lượng

B

dao

động
(cơ
năng):
1
W  Wđ  Wt  mg(1  cos0 )  mg 02 =
hằng
số.
2

l

α

B

C
M

O
+

1
+ Động năng: Wđ  mv2 + Thế năng: Wt  mg 1  cos   Gốc thế năng tại vị trí cân bằng.

2
ĐỐI VỚI CON LẮC LỊ XO VÀ CON LẮC ĐƠN
 Thời gian giữa 2 lần liên tiếp Wt_max (hoặc Wđ_max ) là
 Thời gian giữa 2 lần liên tiếp Wđ = Wt là
vị trí x  

A
2



T
.
2

T
. Trong một chu kì có 4 thời điểm Wđ = Wt. (tại 2
4

A 2
)
2

 SỰ CHUYỂN HĨA GIỮA ĐỘNG NĂNG VÀ THẾ NĂNG

6. Vận tốc dài và lực căng dây trong con lắc đơn: 
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 6

SAO PHƯƠNG NAM



GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

Vận tốc của con lắc :

v  2 gl (cos   cos  0 )

v max  2 gl (1  cos  0 )



Lực căng dây :

(ở VTCB) ;

(ở 2 vị trí biên)

vmin = 0

T  mg (3 cos   2 cos  0 ) 

Tmax  mg (3  2 cos  0 )

(ở VTCB)

; Tmin  mg cos 0

(ở 2 vị trí biên)

IV. Dao động tắt dần, dao động duy trì, dao động cưỡng bức
1. Hệ dao động – Dao động tự do (hay dao động riêng)


Hệ dao động là hệ gồm vật dao động và vật tác dụng lực kéo về vị trí cân bằng
lên vật dao động.



Con lắc lò xo là một hệ dao động.



Con lắc đơn (hoặc con lắc vật lí) cùng với Trái Đất là hệ dao động.



Dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực gọi là dao động tự do hay
dao động riêng.



Mọi dao động tự do của một hệ dao động đều có cùng một tần số góc xác định
gọi là tần số góc riêng của vật hay hệ ấy.



Hệ Con lắc lò xo có tần số góc riêng là  0 



Hệ con lắc đơn có tần số góc riêng là  0 

k
1
;  f0 
m
2

1
g
;  f0 
2
l

k
m
; T0  2
m
k

g
l
; T0  2
l
g

Tần số riêng chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của hệ con lắc. Đối với con lắc lò xo
f0  m, k. Đối với con lắc đơn tại vị trí xác định (g = const) f0  l.
2. Dao động tắt dần có biên độ giảm dần theo thời gian.
+ Nguyên nhân gây tắt dần là do lực cản của môi trường.
+ Biên độ dao động giảm dần nên cơ năng cũng giảm dần.
* khi ma sát nhớt rất lớn : vật không dao động
* khi ma sát nhớt lớn

: vật qua VTCB 1 lần rồi dừng

* ma sát càng lớn sự tắt dần xảy ra càng nhanh
+ Dao động tắt dần khơng là dao động điều hịa.
+ Các thiết bị đóng cửa tự động hay giảm xóc ôtô,…là những ứng dụng của dao động tắt dần.

Sau đây là 2 cách để dao động không tắt dần
3. Dao động duy trì: Để dao động khơng tắt dần (biên độ dao động không thay đổi), cứ sau mỗi chu
kỳ, vật dao động được cung cấp một phần năng lượng đúng bằng phần năng lượng đã tiêu hao do
ma sát. Dao động của vật khi đó được gọi là dao động duy trì.
+ Dao động duy trì dao động với tần số riêng của hệ.
+ Dao động của con lắc đồng hồ là dao động duy trì. Dây cót đồng hồ hay pin là nguồn cung cấp
năng lượng.
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 7


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

4. Dao động cưỡng bức : Để dao động không tắt dần (biên độ dao động không thay đổi), người ta
tác dụng vào hệ dao động một ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn. Khi ấy dao động của hệ được gọi là
dao động cưỡng bức.
a) Đặc điểm
+ Dao động cưỡng bức có tần số (chu kỳ) bằng tần số (chu kỳ) của lực cưỡng bức.
+ Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưỡng bức và độ chênh lệch
giữa tần số của lực cưỡng bức và tần số dao động riêng của hệ dao động, nghĩa là f  f 0  0 thì
biên độ dao động cưỡng bức càng lớn.
Cả hai dao động duy trì và cưỡng bức đều xem là dao động điều hòa.
b) Hiện tượng cộng hưởng cơ học
+ Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức tăng đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưỡng bức
tiến đến bằng tần số riêng f o của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng.
+ Điều kiện để có cộng hưởng là

f  f0

+ Khi các hệ dao động như toà nhà, cầu, khung xe,…chịu tác dụng của các lực cưỡng bức mạnh,
có tần số bằng tần số dao động riêng của hệ. Hiện tượng cộng hưởng xảy ra, làm các hệ ấy dao động
mạnh có thể gãy hoặc đổ. Người ta cần phải cẩn thận để tránh hiện tượng này.
+ Hiện tượng cộng hưởng lại là có lợi như khi xảy ra ở hộp đàn của đàn ghita, viơlon,…

V. Tổng hợp hai dao động điều hịa cùng phương, cùng tần số.
1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vecto quay:
Phương trình dao động x  A cos  t    có thể được biểu diễn

bằng một vectơ quay OM được vẽ ở thời điểm ban đầu. Vectơ

quay OM có:
+ Gốc tại gốc toạ độ của trục Ox.

φ
O

+ Độ dài bằng biên độ dao động, OM = A.
+ Hợp với trục Ox một góc bằng pha ban đầu  . Chiều dương
là chiều dương của đường tròn lượng giác.
2. Độ lệch pha của hai dao động x1  A1 cos   t  1 1 ; x 2  A 2 cos  t   2  2  :

  1   2

(hay

   2  1 )

+ Khi 1  2 dao động (1) sớm pha hơn dao động (2) và ngược lại.
+ Khi   2n

 n  0, 1, 2,... hai dao động cùng pha.

+ Khi    2n  1 

 n  0, 1, 2,...

hai dao động ngược pha.


2

 n  0, 1, 2,...

hai dao động vuông pha.

+ Khi    2n  1

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 8

+


A
x


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

3. Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: x1  A1 cos   t  1  và
x 2  A 2 cos  t   2  là một dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số với hai dao động thành

phần. Phương trình dao động tổng hợp x  A cos   t    , trong đó
+ Biên độ A của dao động tổng hợp được xác định bởi: A  A12  A 22  2A1A 2 cos  2  1 
+ Pha ban đầu  của dao động tổng hợp được xác định bởi: tan  
Biên độ A phụ thuộc A1 , A2 và   1  2

( hay

A1 sin 1  A 2 sin 2

A1 cos 1  A 2 cos 2

  2  1 )

+ Khi x1 & x 2 cùng pha    2n  AMax  A1  A2 và   1  2 .
+ Khi x1 & x 2 ngược pha    (2 n  1)
A  A1  A2 và   1 nếu A1  A 2 ;   2
 Min
nếu A 2  A1 .
+ Khi x1 & x 2 vuông pha  A  A12  A 22
+ Trong mọi trường hợp thì

; tan  

Ay
Ax

A1  A 2  A  A 1  A 2 .

Cách tìm dao động tổng hợp bằng máy casio

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 9


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1



Bài 1: Cho dao động điều hồ có phương trình : x  2 cos 3t  (cm) , t tính bằng giây (s).
4

a) Xác định biên độ, tần số góc, pha và pha ban đầu của dao động.
2
b) Tính li độ của dao động khi pha của dao động bằng
( rad ) .
3
Bài 2: Cho dao động điều hồ có phương trình : x  2 cos4t (cm) , t tính bằng giây (s). Xác định chu kì
và tần số của dao động.
Bài 3: Một vật dao động điều hoà theo phương trình : x  2 cost (cm) , t tính bằng giây (s).
a) Tính vận tốc dao động của vật vào thời điểm t = 0,25 s.
b) Vận tốc của vật có độ lớn cực tiểu và cực đại bằng bao nhiêu ?
Bài 3: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng với tần số f = 0,5 Hz. Khi vật có li độ bằng 3 cm
thì vật có vận tốc bằng 4 (cm / s) .
a) Tính biên độ dao động của vật.
b) Tính gia tốc của vật khi vật có vận tốc 3 (cm / s ) .
Bài 4: Một người đứng trên bãi biển quan sát một chiếc phao nổi trên mặt nước và đang dao động. Người
này đo được thời gian từ lần nhô lên đầu tiên của chiếc phao cho đến lần nhơ lên thứ mười của nó là 36 s.
Tính chu kì dao động của chiếc phao.
Bài giải :
Trong thời gian Δt = 36 s, chiếc phao thực hiện được N = 9 dao động tồn phần. Do đó, chu kì dao
t 36
động của chiếc phao là : T 

 4( s ) .
N
9

1
- Trong 1 giây, chuyển động thực hiện được f  dao động toàn phần, f được gọi là tần số của dao
T
1
động tuần hoàn. Đơn vị của tần số là , gọi là héc (kí hiệu là Hz).
s
1
f 
(1.2)
T
Bài 5: Một con lắc đơn thực hiện dao động tuần hoàn, thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật nặng qua vị trí
cân bằng theo cùng một chiều là 0,5 s. Tính tần số dao động của con lắc đơn này.

Bài 1 : Một vật m = 250g treo vào lò xo có độ cứng k = 0,1N/cm. Tính chu kì, tần số dao
động của hệ (cho 2 = 10).
ĐS: T = 1s; f = 1Hz
Bài 2: Một vật khối lượng m = 2kg treo vào 1 lò xo dao động điều hòa với chu kì 2s.
Tính độ cứng k của lò xo. Cho 2 = 10
ĐS: k = 20N/m
Bài 3: Sau 12s quả cầu gắn vào lò xo có độ cứng k = 40N/m thực hiện được 24 dao động.
Tính khối lượng quả cầu (2 = 10)
ĐS: m = 250g
Bài 4: Một lò xo xoắn dài treo thẳng đứng vào vị trí cố định. Lấy g =  = 10m/s2.
2

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 10

SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

1) Tính độ cứng k của lò xo biết rằng lò xo giãn dài 1cm khi đầu dưới treo 1 khối m =
200g.
2) Kéo m ra khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn theo phương thẳng đứng rồi thả tự do, vật
dao động điều hòa. Tính chu kì dao động của m.
ĐS: k = 200N/m ; T = 0,2s
Bài 5: Hòn bi của con lắc lò xo có khối lượng m. Nó dao động với chu kì T = 1s.
a) Phải thay đổi khối lượng hòn bi thế nào để chu kì con lắc trở thành T’ = 0,5s.
b) Nếu thay hòn bi đầu tiên bằng hòn bi có khối lượng 2m, chu kì con lắc sẽ là bao
nhiêu ?
ĐS: a) m’ = m/4 b) T’ = 1,4T.
Bài 6: Ta lần lượt gắn 2 quả nặng có khối lượng khác nhau vào cùng 1 lò xo. Khi quả
nặng thứ nhất gắn vào lò xo thì nó thực hiện dao động điều hòa với chu kì T1 = 0,6s.
Khi quả nặng thứ hai gắn vào lò xo thì nó thực hiện dao động điều hòa với chu kì T2 =
0,8s.
Hỏi khi gắn cả 2 quả nặng vào lò xo thì chu kì dao động của hệ 2 quả nặng là bao
nhiêu ?
ĐS: T = 1s
Bài 7: Một lò xo có độ cứng k = 80N/m. Lần lượt treo 2 quả cầu có khối lượng m1 và m2
vào lò xo và kích thích cho dao động thì thấy trong cùng một khoảng thời gian, m1 thực
hiện được 10 dao động trong khi m2 chỉ thực hiện được 5 dao động.

Nếu treo cả 2 quả cầu vào lò xo thì chu kì dao động của hệ là T = 1,57s = s. Tính m1 và
2
m2
ĐS: m1 = 1kg; m2 = 4kg

Viết phương trình dao động điều hòa là tìm các đại lượng A,  và  cho phương trình :
x = Acos(t + )


Tìm 

 = 2f =

2
=
T

k
m



g

l 0

Tìm A : thường tìm A trong các trường hợp sau :
v2
l l
chieu dai quy dao
A2 = x2 + 2
A  max min 

2
2

 Tìm 
 Chọn trục tọa độ (gốc tọa độ, chiều dương)
 Chọn gốc thời gian (t = 0) (thường đề sẽ chọn)
 Dựa vào điều kiện ban đầu : Lúc t = 0 : x = x0 vaø v = v 0
Ta thường gặp 1 trong 3 hệ phương trình sau :
 x  A cos   x0
Luùc t = 0 vật có li độ x0 và có vận tốc v 0

v   A sin   v0
 x  A cos   x0
Lúc t = 0 vật qua vị trí x 0 theo chiều dương

v   A sin   0


GV: Trần Quốc Chiến

Trang 11


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

Lúc t = 0 vật qua vị trí x 0 theo chiều âm

 x  A cos   x0

v   A sin   0

– Giaûi 1 trong 3 hệ phương trình lượng giác trên và Biện luận để suy ra  ( thỏa cả 2
phương trình sin và cosin)
Nếu v > 0 chọn  < 0; nếu v < 0 thì chọn  > 0
Chú ý:
– Khi kéo (hay nén) quả nặng một đoạn x0 tính từ VTCB rồi buông tự do (hay thả tự do
hoặc thả nhẹ) thì biên độ dao động là A = x0 
ngược lại, nếu kéo (hay nén) quả cầu một đoạn x 0 rồi cung cấp cho quả cầu một vận tốc
ban đầu v0 thì biên độ dao động không phải là x0. (thường A > x0).
– Khi một con lắc lị xo treo thẳng đứng thì có các vị trí mà đề thường cho:
 Lò xo ngắn nhất : vật ở biên trên (vật ở vị trí cao nhất)
 Lị xo dài nhất: vật ở biên dưới (vật ở vị trí thấp nhất)
 Đưa vật đến vị trí lị xo khơng biến dạng: x = l0

CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hoà trên trục toạ độ Ox, vị trí cân bằng của vật trùng với gốc toạ độ
O, chiều dài quỹ đạo của vật là 8 cm. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng ra đến vị trí giới
hạn (một trong hai biên) là 0,5 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật có li độ cực đại. Viết phương trình dao
động (phương trình li độ) của vật.
Bài giải :
Phương trình dao động điều hồ của vật có dạng : x  A cos(t   ) .
Phương trình vận tốc dao động của vật có dạng : v  A sin(t   ) .
1
• Biên độ dao động của vật là : A  .8  4(cm) .
2
• Chu kì dao động của vật là : T  4.0,5  2( s ) . Từ đó suy ra
t=0
(+)
2 2
x
(cm)

-4
+4
O
tần số góc dao động của vật là :  

  ( rad / s ) .
T
2
 x  A  4(cm)
 A cos   A
cos   1
• Lúc t = 0 thì 
hay 
   0(rad )

v0
 A sin   0

sin   0
Vậy phương trình dao động của vật là : x  4 cos(t )(cm) , t tính bằng giây (s).
Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hoà trên trục toạ độ Ox, vị trí cân bằng của vật trùng với gốc toạ độ
O, khoảng cách từ vị trí cân bằng đến vị trí giới hạn (vị trí biên) là 2 cm. Trong thời gian 10 s, vật
thực hiện được 20 dao động toàn phần. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều
dương của trục toạ độ. Viết phương trình dao động (phương trình li độ) của vật.
Bài giải :
Phương trình dao động điều hồ của vật có dạng : x  A cos(t   ) .
Phương trình vận tốc dao động của vật có dạng : v  A sin(t   ) .
• Biên độ dao động của vật là : A  2(cm)
t 10
• Chu kì dao động của vật là : T 


 0,5( s ) . Từ đó
t = 0 v
N 20
(+)
2 2
x
-4
+ 4 (cm)
O
suy ra tần số góc dao động của vật là :  

 4 (rad / s )
T
0,5
 x  0(cm)
 A cos   0
cos   0

• Lúc t = 0 thì 


    (rad )
2
 v0
 A sin   0
 sin   0
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 12

SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1



Vậy phương trình dao động của vật là : x  2 cos 4t  (cm) , t tính bằng giây (s).
2

Ví dụ 3 : Một vật dao động điều hồ trên trục toạ độ Ox, vị trí cân bằng của vật trùng với gốc toạ độ
10
O, tần số dao động của vật là
( Hz ) . Khi vật đi qua vị trí cách vị trí cân bằng một đoạn 3 cm thì vật

đang có vận tốc 80 cm/s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều ngược với
chiều dương của trục toạ độ Ox. Viết phương trình dao động (phương trình li độ) của vật.
Bài giải :
Phương trình dao động điều hồ của vật có dạng : x  A cos(t   ) .
Phương trình vận tốc dao động của vật có dạng : v  A sin(t   ) .
10
• Tần số góc dao động của vật là :   2f  2 .  20( rad / s ) .

• Khi vật đi qua vị trí cách vị trí cân bằng đoạn 3 cm thì vật đang có vận tốc 80 cm/s, nghĩa là khi
x  3( cm) thì v  80(cm / s ) .
Áp dụng cơng thức A 

x2 

v2
ta tính được biên độ dao
2


v t=0
-A

2

O

+A

(+)
x (cm)

80
 5(cm) .
20 2
 x  0(cm)
 A cos   0
cos   0

• Lúc t = 0 thì 


    ( rad )
2
 v0

 A sin   0
 sin   0


Vậy phương trình dao động của vật là : x  2 cos 20t  (cm) , t tính bằng giây (s).
2

Ví dụ 4 : Một vật dao động điều hoà trên trục toạ độ Ox, vị trí cân bằng của vật trùng với gốc toạ độ
O, tần số dao động của vật là 2 Hz. Trong một chu kì dao động, vật đi được quãng đường bằng 16 cm.
Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vị trí có li độ bằng  2 2 ( cm) theo chiều ngược với chiều dương
của trục toạ độ Ox. Viết phương trình dao động (phương trình li độ) của vật.
Bài giải :
Phương trình dao động điều hồ của vật có dạng : x  A cos(t   ) .
Phương trình vận tốc dao động của vật có dạng : v  A sin(t   ) .
• Trong một chu kì dao động, vật đi được quãng đường bằng bốn lần biên độ dao động A của vật.
Do đó theo đề ta có : 4A = 16 cm, suy ra : A = 4 cm.
• Tần số góc dao động của vật là :   2f  2 .2  4 (rad / s ) .

động A của vật : A  3 2 


2
 x  2 2 (cm)
4 cos   2 2


• Lúc t = 0 thì 

 cos   2     ( rad )
4

v0

  A sin   0
 sin   0


Vậy phương trình dao động của vật là : x  4 cos 4t  (cm) , t tính bằng giây (s).
4


BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Vật dao động điều hòa có biên độ A = 4cm, tần số góc  = 10 (rad/s). Lập phương trình dao động
nếu chọn góc thời gian là :
a) lúc vật có li độ x = + A
b) lúc vật có li độ x = – A
c) lúc vật có li độ x = 0 (tại VTCB) và đi theo chiều dương
d) lúc vật có li độ x = 0 (tại VTCB) và đi theo chiều âm
A
e) lúc vật có li độ x  và đi theo chiều dương
2
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 13


SAO PHƯƠNG NAM

f) lúc vật có li độ x  

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

A
và đi theo chiều dương
2

Bài 2: Một lò xo xoắn dài có độ cứng k = 14,4 N/m được mắc vào 1 vị trí cố định treo vào lò xo 1
khối lượng m = 900g rồi kéo ra khỏi vị trí cân bằng 1 đoạn 4cm và buông ra không vận tốc đầu.
1) Tính chu kì của chuyển động.
2) Lấy vị trí cân bằng làm gốc tọa độ, lúc vừa buông làm gốc thời gian (t = 0), chiều dương là
chiều từ trên xuống. Viết phương trình dao động của m.
Bài 3: Một CLLX nằm ngang dao động điều hòa với tần số 20Hz, biên độ 5cm. vị trí cân bằng là
góc tọa độ, Viết phương trình dao động khi chọn :
a) gốc thời gian là lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Gốc thời gian là lúc chất điểm có li độ x = –5cm
c) Gốc thời gian là lúc chất điểm có li độ x = 2,5cm và đang di chuyển theo chiều âm.
Bài 4: Viết biểu thức li độ của vật dao động điều hòa có biên độ 2cm, chu kì 0,5s trong 2 trường
hợp: (VTCB là góc tọa độ):
1) lấy gốc thời gian là lúc vật có li độ bằng không và di chuyển theo chiều âm trục tọa độ.
2) lấy gốc thời gian là lúc vật có li độ x = + A.
Bài 5: Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 8cm, tần số f = 50Hz. Viết phương trình dao
động với gốc thời gian là lúc vật :
1) có li độ cực đại đương.
2) đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
3) đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
4) đi qua vị trí có li độ x = +2cm theo chiều âm.
Bài 6: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, vận tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng là
62,8cm/s và gia tốc cực đại của vật là 2m/s2 (lấy 2 = 10)
a) Xác định biên độ , chu kì và tần số dao động của vật
b) Viết phương trình dao động của vật nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí Mo có li độ xo
= –10 2 cm theo chiều dương trục tọa độ, gốc tọa độ là vị trí cân bằng.

Bài 7: Một lò xo nằm ngang có độ cứng k = 40N/m, một đầu được gắn một vật có khối lượng m =
100g, đầu kia gắn với một điểm cố định. Lúc đầu nén lò xo lại sao cho nó đạt độ dài l1 = 8cm,
sau đó thả ra tự do thì vật dao động điều hòa , khi lò xo giãn ra dài nhất thì độ dài l2 = 15cm. bỏ
qua ma sát.
a) Tìm biên độ và tần số góc.
b) Viết phương trình dao động của vật (gốc thời gian t = 0 khi thả vật, vị trí cân bằng làm gốc
tọa độ, chiều dương là chiều vật bắt đầu chuyển động)
c) Hãy tìm vận tốc của vật khi nó cách vị trí cân bằng một đoạn x = 2,5cm
Bài 8: Cho con lắc lò xo treo thẳng đứng, k = 500N/m, m = 5kg. Từ vị trí cân bằng kéo m xuống
về phía dưới 1 đoạn 0,1m rồi truyền cho nó 1 vận tốc 1m/s hướng lên trên.
Chọn vị trí cân bằng làm gốc tọa độ, chiều từ trên xuống làm chiều dương và lúc truyền vận tốc
cho m làm gốc thời gian. Viết phương trình dao động của vật m.
Bài 9: Đồ thị x(t) biểu diễn dao động cuả một con lắc lò xo có dạng như hình vẽ trên. Khối lượng
quả cầu cuả con lắc là m = 100g. Hãy tìm:
x(cm)
1) Chu kì dao động.
4
2) Phương trình dao động.
0,2
0,6
2
3) Năng lượng dao động. Lấy  = 10.
0
0,4
t(s)
Bài 10: Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng
-4
80N/m để tạo thành một con lắc lò xo . Khối lượng lò xo không
đáng kể. Con lắc thực hiện 100 dao động hết 31,4s .
1) Xác định khối lượng của quả cầu.

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 14


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

2) Viết phương trình dao động của quả cầu , biết lúc t = 0 quả cầu có li độ 2cm và đang
chuyển động theo chiều dương của trục toạ độ với vận tốc bằng 40 3 cm/s.
Bài 11: Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Lò xo có độ dài tự nhiên l0 = 30cm. Kích thích cho con
lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng thì độ dài dài nhất của lò xo trong khi dao động
là lM= 36cm. Gia tốc trọng lực g = 2 m/s2. Tỉ số giữa độ lớn lớn nhất và nhỏ nhất của lực đàn
hồi của lò xo bằng 3.
1) Hãy xác định biên độ và chu kì dao động.
2) Viết phương trình dao động. Biết lúc t = 0 con lắc có li độ x=–2cm.
Bài 12 : Một con lắc lò xo có biên độ dao động là A = 4cm, chu kì T = 0,1s. Chọn gốc thời gian
là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
a) viết phương trình dao động.
b) Tính thời gian ngắn nhất để nó đi từ li độ x = 2cm đến li độ x = 4cm

Chọn gốc thời gian là lúc ( t = 0)

x

V

Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương

0

+

-

Vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

0

-

+

Vật ở biên dương
Vật ở biên âm

A
-A

0
0

A
theo chiều dương
2
A
Vật qua vị trí có x =
theo chiều âm.

2

A
2
A
2

Vật qua vị trí có x =

+
-

 (rad)

2

2
0


-


3

3

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hồ theo phương trình : x  2 cost (cm) , t tính bằng giây (s).
a) Tính vận tốc dao động của vật vào thời điểm t = 0,25 s.
b) Vận tốc của vật có độ lớn cực tiểu và cực đại bằng bao nhiêu ?

Bài giải :
a) Phương trình vận tốc của vật là : v  2 sin(t )(cm / s ) , t tính bằng giây (s).
Vận tốc dao động của vật vào thời điểm t = 0,25 s là :
v  2 sin  0,25   2 (cm / s )  4,44(cm / s )
b) Vận tốc của vật có độ lớn đạt cực tiểu bằng v min  0(cm / s) khi vật có li độ bằng

x   A  2(cm) (vật ở hai vị trí giới hạn).
Vận tốc của vật có độ lớn đạt cực đại bằng v max  A  2 (cm / s)  6,28(cm / s) khi vật có li độ
bằng x  0(cm) (vật đi qua vị trí cân bằng).
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hồ theo phương trình : x  2 cost (cm) , t tính bằng giây (s).
a) Tính gia tốc dao động của vật vào thời điểm t = 0,25 s.
b) Tính gia tốc dao động của vật khi li độ của vật bằng – 1 (cm).
c) Gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu và cực đại bằng bao nhiêu ?
Bài giải :
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 15


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

a) Phương trình gia tốc của vật là : a  2 2 cost (cm / s 2 ) , t tính bằng giây (s).
Gia tốc dao động của vật vào thời điểm t = 0,25 s là :
a  2 2 cos .0,25   2 2 (cm / s 2 )  13,96(cm / s 2 )
b) Gia tốc dao động của vật khi li độ của vật bằng – 1 (cm) là :
a   2 x   2 (1)   2 (cm / s 2 )  9,87(cm / s 2 )
c) Gia tốc của vật có độ lớn đạt cực tiểu bằng a min  0( cm / s 2 ) khi vật có li độ bằng x  0(cm) (vật
đi qua vị trí cân bằng).

Gia tốc của vật có độ lớn đạt cực đại bằng a max   2 A   2 2(cm / s 2 )  19,74(cm / s 2 ) khi vật có
li độ bằng x   A  2(cm) (vật ở hai vị trí giới hạn).
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng với tần số f = 0,5 Hz. Khi vật có li độ bằng 3
cm thì vật có vận tốc bằng 4 (cm / s) .
a) Tính biên độ dao động của vật.
b) Tính gia tốc của vật khi vật có vận tốc 3 (cm / s ) .
Bài giải :
a) Tần số góc của dao động là :   2f  2 .0,5   (rad / s ) .
2

v2
 4 
2
Ta có : A  x  2  3 2  
  5 . Suy ra : A  5(cm) .

  
2

2

2

2

 a   v 
b) Từ hệ thức :  2   
  1 , suy ra :
  A   A 
a    2 A 2  v 2   ( ) 2 (5 2 )  (3 ) 2  4 2 ( cm / s 2 )  39,5(cm / s 2 )

Ví dụ 4: Một vật khối lượng m = 100 g dao động điều hồ theo phương trình : x  2 cos(3t )(cm) , t tính
bằng giây (s). Tính năng lượng dao động (cơ năng) của vật.
Bài giải :
Tần số góc của dao động là :   3(rad / s ) .
Biên độ của dao động là : A = 2 (cm).
Năng
1
1
lượng dao động (cơ năng) của vật là :
W = m 2 A 2  0,1.32 ( 2.10 2 ) 2  1,8.10 4 ( J ) .
2
2
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hồ theo phương trình : x  2 cos(t )(cm) , t tính bằng giây (s). Động
năng của vật biến đổi với chu kì bằng bao nhiêu ?
Bài giải :
2 2
Chu kì dao động điều hoà của vật là : T 

 2( s ) .


T 2
Động năng của vật biến đổi với chu kì là : T '    1( s ) .
2 2
Ví dụ 6: Một vật nhỏ khối lượng m = 100 g dao động điều hoà theo phương trình :
x  2 cos(10t )(cm) , t tính bằng giây (s). Chọn thế năng tại vị trí cân bằng (x = 0) làm thế năng gốc.
a) Thế năng của vật biến đổi với chu kì bằng bao nhiêu ?
b) Tính thế năng của vật khi vật có li độ bằng  2 (cm) .
c) Khi vật có thế năng bằng một nửa thế năng cực đại thì vật đang có li độ bằng bao nhiêu ?

Bài giải :
2 2 
a) Chu kì dao động điều hồ của vật là :
T

 ( s )  0,628( s )

10 5

T 5 
Thế năng của vật biến đổi điều hoà với chu kì là :
T '    ( s )  0,314( s )
2 2 10
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 16


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

b) Khi vật có li độ bằng  2 (cm) thì vật đang có thế năng là :
2
1
1
Wt  m 2 x 2  .0,1.10 2.  2 .10 2  10 3 ( J )
2
2
1 2 11 2

1
kx   kA 
c) Khi vật có thế năng bằng một nửa thế năng cực đại : Wt  Wt max hay
2
22
2

A
2
Suy ra li độ của vật khi đó là :
x

(cm)   2 (cm)  1,41(cm)
2
2
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hồ theo phương trình : x  2 cos(t )(cm) , t tính bằng giây (s). Chọn
thế năng tại vị trí cân bằng làm thế năng gốc. Khi thế năng bằng động năng thì vật đang có li độ bằng
bao nhiêu ?
Bài giải :
1
Cơ năng của vật được bảo toàn : W = Wđ + Wt = kA 2 .
2
1
1
1
Khi Wđ = Wt thì W = Wđ + Wt = 2Wt = kA 2 hay 2. kx 2  kA 2 .
2
2
2
A 2

2 2
Từ đó, suy ra : x  

(cm)  1,41(cm) .
2
2



Li độ

Trạng thái
Động năng bằng 3 lần thế năng
Động năng bằng thế năng:



Wd  3Wt

Wd  Wt

Thế năng bằng 3 lần động năng:

x=±

Wt  3Wd

Vận tốc

A

x=±
2
A

x=±

2
A 3
2

v=±
v=±

A 3
2
A

2
A
v=±
2

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có biên độ 6cm, tần số 10Hz, pha ban đầu


. Gốc tọa độ tại vị
6

trí cân bằng.

a) Viết biểu thức li độ, vận tốc, gia tốc của vật theo thời gian
b) Tìm giá trị cực đại của vận tốc, gia tốc
Bài 2: Một quả cầu gắn vào lò xo dao động điều hòa với biên độ 6cm. quả cầu có khối lượng là
0,5kg và lò xo có độ cứng 50N/cm.
a) Vận tốc lớn nhất của quả cầu
b) Năng lượng dao động của quả cầu
c) Lúc quả cầu có li độ 3cm. Tính thế năng và động năng lúc đó.

Bài 3: Vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(8t + ) (cm)
6
a) Tìm v, a khi vật có li độ x = 2cm
1
b) Tìm x, a khi vật có vận tốc v = vmax
2
Bài 4: Một chất điểm có khối lượng m = 200g , dao động dọc theo trục Ox . Phương trình dao
động là : x = 6cos20 t (cm). Xác định chu kì , tần số và năng lượng dao động của chất điểm .

Bài 5: Một dao động điều hòa có phương trình: x = 4cos(t + ) (cm).
2
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 17


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

a) Xác định pha của dao động ở thời điểm t = 1/3s
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm trên.


) (cm)
2
a) Xác định chu kì T, cơ năng E, biết khối lượng của vật là m = 100g
b) Ở vị trí nào thì thế năng lớn gấp 3 lần động năng ?
c) Ở vị trí nào thế năng bằng động năng ?
Bài 7 : Một con lắc lò xo có phương trình dao động x = 3cos4t (cm).
a) Hòn bi có các li độ x = 1,5cm và x = 3cm vào những thời điểm nào?
b) Tính vận tốc hòn bi khi nó có li độ 0 cm ; 1,5cm và 3cm.
Bài 8: Năng lượng của vật dao động điều hòa (vật gắn vào đầu lò xo) sẽ biến đổi bao nhiêu lần
nếu tần số tăng lên gấp 3 lần còn biên độ giảm đi phân nửa .

Bài 6: con lắc lò xo dao động theo phương trình: x=2cos(20t +

CẦN NHỚ
Qng đường

trong 1 chu kỳ luôn là
4A
trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A
trong l/4 chu kỳ là
A
(khi vật bắt đầu từ VTCB hay vị trí biên)

KẾT HỢP VỚI ĐỘNG NĂNG THẾ NĂNG
Li độ

Wd  3Wt

x=±

Wd  Wt

x=±

Wt  3Wd

GV: Trần Quốc Chiến

Vận tốc

A
2
A
2

x=±

A 3
2

Trang 18

v=±

A 3
2
A

v=±

2
A
v=±
2


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

Các bài tập sau chủ yếu rèn cho HS cách dùng giãn đồ vecto quay để xác định dao động
tổng hợp, giúp HS có kỹ năng tốt khi dùng giãn đồ vecto trong dịng điện xoay chiều.
Việc tìm phương trình dao động hợp có thể sử dụng máy tính CASIO.


Ví dụ 1: Cho các dao động điều hoà sau : x1  2 cos(t )(cm) , x2  2 cos t  (cm) ,
2

2 

3 



x3  3 cos t 
(cm) , x4  2 cos t  (cm) và x5  cos t 
(cm) , với t tính giây (s). Trên
6
4 

3 



cùng một giản đồ vectơ quay, hãy vẽ các vectơ quay biểu diễn cho các dao động điều hoà trên vào thời
điểm t = 0.
Bài giải :

 
A3
Vẽ trục toạ độ Ox nằm ngang. Lần lượt vẽ các vectơ A1 , A2 ,
+
 


A3 , A4 và A5 có cùng gốc O, có độ dài lần lượt tỉ lệ với các biên
A2
độ A1 = 2 cm, A2 = 2 cm, A3 = 3 cm, A4 = 2 cm và A5 = 1 cm theo
cùng một tỉ lệ xích, có hướng lập với trục Ox các góc lần lượt là
2


3

2

φ1 = 0(rad ) , φ2 = ( rad ) , φ3 = 
( rad ) , φ4 =  ( rad ) và φ5
A1
2

3
6








x
O
3
6
A5
( rad ) như hình bên. Các vectơ A1 , A2 , A3 , A4 và A5 quay
=
3


4
A4
4
quanh O theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ với cùng
tốc độ góc ω = π (rad/s), chúng lần lượt biểu diễn cho các dao động điều hồ x1, x2, x3, x4 và x5.




Ví dụ 2 : Cho hai dao động điều hoà : x1  2 cos 2t  (cm) và x 2  3 cos 2t  (cm) , t tính

2
6


bằng giây (s). Tính độ lệch pha giữa hai dao động.
Bài giải :
Hai dao động này có cùng tần số góc :   2 (rad / s ) , độ lệch pha giữa hai dao động này là :
2
  
   2   1       
.
3
 6 2
Ví dụ 3 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số :


x1  2 cos(t )(cm) và x2  2 cos t  (cm) , t tính bằng giây (s). Tìm phương trình dao động tổng hợp
2

của vật.
Bài giải :


Vẽ các veectơ quay A1 và A2 biểu diễn cho các dao động điều hoà x1  2 cos(t )(cm) và


x2  2 cos t  (cm) tại thời điểm t = 0 trên cùng một hình vẽ. Vectơ quay biểu diễn cho dao động
2

 


tổng hợp x  x1  x 2 tại thời điểm t = 0 là A  A1  A2 được xác định theo quy tắc hình bình hành như
hình vẽ.

A
Dựa vào hình vẽ ta có :
+

A  A12  A22  2 2  2 2  2 2 (cm)
A2
A2 2


tan  
 1  
A1 2
4
x

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là :
O
A1
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 19


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1



x  2 2 cos t  (cm) , t tính bằng giây (s).
4

Ví dụ 4 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số :




x1  2 3 cos 2t  (cm) và x 2  2 cos 2t  (cm) , t tính bằng giây (s). Tìm phương trình dao
3
6


động tổng hợp của vật.
Bài giải :
 

Độ lệch pha giữa hai dao động x1 và x 2 là :    2  1      . Như vậy, hai dao động
6 3
2
x1 và x 2 vuông pha nhau.




Vẽ các veectơ quay A1 và A2 biểu diễn cho các dao động điều hoà x1  2 3 cos 2t  (cm) và
3




x 2  2 cos 2t  (cm) tại thời điểm t = 0 trên cùng một hình vẽ. Vectơ quay biểu diễn cho dao động
6

 

tổng hợp x  x1  x 2 tại thời điểm t = 0 là A  A1  A2 được xác định theo quy tắc hình bình hành như
hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ ta có :

A  A12  A22  (2 3 ) 2  2 2  4(cm)
A1

A
+
A1 2 3


 3  
tan  
A2
2
3
φ1


 
α

     2    
x
3
6
6
φ2
O
Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là :

A2


x  4 cos 2t  (cm) , t tính bằng giây (s).
6

Ví dụ 5 : Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số :


x1  2 cos t  (cm) và x 2  2 cost   ( cm) , t tính bằng giây (s). Tìm phương trình dao động tổng
3

hợp của vật.
Bài giải :




Vẽ các veectơ quay A1 và A2 biểu diễn cho các dao động điều hoà x1  2 cos t  (cm) và
3


x 2  2 cost   (cm) tại thời điểm t = 0 trên cùng một hình vẽ. Vectơ quay biểu diễn cho dao động tổng
 

hợp x  x1  x 2 tại thời điểm t = 0 là A  A1  A2 được xác định theo quy tắc hình bình hành như hình vẽ.


2
Do A1  A2 và góc hợp bởi hai vectơ A1 và A2 bằng
(hay 1200) nên hình bình hành có hai cạnh là
3



hai vectơ A1 và A2 trở thành hình thoi và vectơ A chia hình thoi này ra thành hai tam giác đều. Do đó, ta
có :
+
2
A  A1  A2  2(cm)

 
2
 
A2
O
  1         
x
3 3
3
 3
1

 

Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là :
A
A
1
2 

x  2 cos t 
(cm) , t tính bằng giây (s).
3 

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 20


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

Ví dụ 6 : Một vật thực


x1  2 cos t  (cm) và x 2
3

hợp của vật.
Bài giải :


Vẽ các veectơ quay A1 và

hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số :
 cost   (cm) , t tính bằng giây (s). Tìm phương trình dao động tổng




A2 biểu diễn cho các dao động điều hoà x1  2 cos t  (cm) và
3

x2  cost   (cm) tại thời điểm t = 0 trên cùng một hình vẽ. Vectơ quay biểu diễn cho dao động tổng
 

hợp x  x1  x 2 tại thời điểm t = 0 là A  A1  A2 được xác định theo quy tắc hình bình hành như hình vẽ.
CB A2 1

hay
Dựa vào hình vẽ ta có :

 và   1 
OB A1 2
3
C
B
 1
α 
+
cos   cos 1  cos 
nên suy ra tam giác OBC là tam


3 2
A1
A
giác vuông (vuông tại C). Do đó, pha ban đầu của dao động
φ
φ2

 1
tổng hợp có giá trị bằng   .
x

2
O
A2
Biên độ của dao động tổng hợp là :

A  A12  A22  2 2  12  3 (cm)



Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là : x  3 cos 2t  (cm) , t tính bằng giây (s).
2

Ví dụ 3 : Có hai dao động điều hồ được mô tả bằng đồ thị li
x
Dao động 1
Dao động 2
độ - thời gian như hình bên. Dựa vào đồ thị, hãy chọn kết luận
đúng.

A. Hai dao động cùng pha.
B. Hai dao động vuông pha.
0
t
C. Hai dao động ngược pha.
0
D. Hai dao động lệch pha nhau 45 .
Bài giải :
Dựa vào đồ thị ta thấy hai dao động này có li độ không cùng dương và không cùng âm, nghĩa là :
x1  x 2 , trong đó α là hệ số âm. Do đó hai dao động này ngược pha nhau. Vậy chọn C.

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Baøi 1: Cho hai dao động điều hòa có phương trình :
x1 = 2cos20t

và

x2 = 2 3 cos(20t +


)
2

a) Biểu diễn các dao động bằng vectơ quay.
b) Tính độ lệch pha giữa 2 dao động trên. Xác định biên độ và pha ban đầu của dao động
tổng hợp. Viết phương trình dao động tổng hợp.
c) Tính vận tốc cực đại gia tốc cực đại của dao động tổng hợp.
Bài 2: Tìm dao động tổng hợp của hai dao động sau:
a) x1 = 3cos10t ;
x2 = 4cos(10t – )


b) x1 = 5sint (cm) ;
x2 = 5cos(t – ) (cm)
6
Hướng dẫn : b) x1 = 5sint = 5cos(t – /2) 
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hòa :
x1 = 4 3 cos(2t + /3) (cm) vaø
x2 = 4cos(2t + 2 ) (cm)
a) Xác định 2 biết x 2 dao động sớm pha hơn x1 một góc /2.
b) Viết phương trình dao động tổng hợp ứng với 2 tìm được ở caâu a).
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 21


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

c) Tìm giá trị cực đại của vận tốc và gia tốc của dao động tổng hợp.
Bài 4: Một chiếc xe máy chạy trên một con đường lát gạch, cứ cách khoảng 9m trên đường lại có
một cái rãnh nhỏ. Chu kì dao động riêng cuả khung xe máy trên các lò xo giảm xóc là 1,5s. Hỏi
với vận tốc bằng bao nhiêu km/h thì xe bị xóc mạnh nhất?
ĐS : v = 21,6km/h.
Bài 5: Một người đi bộ xách xô nước mà chu kì dao động riêng của nước là T = 0,9s. Mỗi bước đi
của người đó dài 60cm. Hỏi người đó đi bộ với vận tốc bao nhiêu thì nước trong xô có thể bắn
tung tóe rất mạnh ra ngoài.
ĐS: v = 66,67cm/s

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 22


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1



CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐƠNG ĐIỀU HỊA
1


1. Một vật dao động điều hịa theo phương trình x  20 cos  2t    mm  . Ở thời điểm t =  s  ,
4
4

li độ của vật là
A. -14,1mm.
B. 5 mm.
C. 0 mm .
D. 14, 4mm .
2. Trong dao động điều hòa
A. vận tốc biến đổi điều hòa cùng pha với li độ.
B. vận tốc biến đổi điều hòa ngược pha với li độ.

C. vận tốc biến đổi điều hòa sớm pha
so với li độ.
2


D. vận tốc biến đổi điều hòa trễ pha so với li độ.
2
3. Gia tốc của vật dao động điều hòa bằng 0 khi
A. vật ở vị trí có li độ cực đại.
B. vật ở vị trí biên âm.
C. vật ở vị trí có li độ bằng khơng.
D. vật ở vị trí có pha dao động cực đại.
4. Nếu chọn gốc tọa độ trùng với vị trí cân bằng thì ở thời điểm t, biểu thức quan hệ giữa biên độ A,
li độ x, vận tốc v và tần số góc  của chất điểm dao động điều hòa là
B. A 2  x 2  2 A 2 .
A. A 2  v2  2 x 2 .
2
x
v2
C. A 2  v2  2 .
D. A 2  x2  2 .


5. Trong dao động điều hòa li độ, vận tốc, gia tốc là ba đại lượng biến đổi điều hịa theo thời gian
và có
A. cùng biên độ.
B. cùng pha.
C. cùng tần số góc.
D. cùng pha ban đầu.
6. Vận tốc của chất điểm dao động điều hịa có độ lớn cực đại khi
A. li độ bằng không.
B. pha dao động cực đại.
C. gia tốc có độ lớn cực đại.
D. li độ có độ lớn cực đại.

7. Trong dao động điều hòa
A. gia tốc biến đổi điều hòa cùng pha so với vận tốc.
B. gia tốc biến đổi điều hòa ngược pha so với vận tốc.

C. gia tốc biến đổi điều hòa sớm pha
so với vận tốc.
2

D. gia tốc biến đổi điều hòa trễ pha so với vận tốc.
2
8. Một vật dao động điều hịa theo phương trình x = 8cos3,14t  cm  , lấy   3,14 . Độ lớn vận tốc
của vật tại vị trí cân bằng là
A. 25,12 cm/s.
B. 0 cm/s.
C. 78,88 cm/s.
D. 52,12 cm/s.
9. Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm và chu kỳ 2 s. Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua
vị trí cân bằng theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 23


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1


π

A. x = 4cos  2πt -   cm  .
2



π
B. x = 4cos  2πt +   cm  .
2


π
D. x = 4cos  πt -   cm  .
C. x = 4cos  πt  cm  .
2



10. Phương trình dao động của một chất điểm có dạng x  6cos   t    cm  . Gốc thời gian được
2

chọn vào lúc
A. chất điểm đi qua vị trí x = 6 cm.
B. chất điểm đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
C. chất điểm đi qua vị trí x = - 6 cm.
D. chất điểm đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

11. Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  4 sin  5t   (x tính bằng cm, t tính bằng s).
3

Vận tốc và gia tốc của vật có giá trị cực đại bằng

A. 0,2 m/s và 1 m / s 2 .
B. 0,4 m/s và 1,5 m / s 2 .
C. 0,2 m/s và 2 m / s 2 .

D. 0,6 m/s và 2 m / s 2 .



12. Một vật dao động điều hịa theo phương trình x  4sin  8t   , với x tính bằng cm, t tính bằng
6

s. Chu kỳ dao động của vật là
1
1
1
B. 4 s.
C. s .
D. s .
A. s .
8
4
2
13. Li độ và gia tốc của một vật dao động điều hịa ln biến thiên điều hòa cùng tần số và


A. lệch pha với nhau .
B. lệch pha với nhau .
4
2
C. ngược pha với nhau.

D. cùng pha với nhau.
14. Trong dao động điều hòa, vận tốc tức thời của vật dao động tại một thời điểm t luôn

A. sớm pha
so với li độ dao động.
B. cùng pha với li độ dao động.
4

C. lệch pha
so với li độ dao động.
D. ngược pha với li độ dao động.
2
15. Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng AB. Khi qua vị trí cân bằng, vectơ vận tốc của
chất điểm
A. ln có chiều hướng đến A.
B. có độ lớn cực đại.
C. bằng khơng.
D. ln có chiều hướng đến B.
16. Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox theo phương trình x  5cos 4t (x tính bằng cm, t
tính bằng s). Tại thời điểm t = 5 s, vận tốc của chất điểm này có giá trị bằng
A. 20 cm / s .
B. 0 cm / s .
C. 5 cm / s .
D. 20 cm / s .
17. Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một trục cố định. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Lực kéo về tác dụng vào vật không đổi.
B. Li độ của vật tỉ lệ với thời gian dao động.
C. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đường hình sin.
D. Quỹ đạo chuyển động của vật là một đoạn thẳng.
18. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ 0, 5  s  và biên độ 2 cm. Vận tốc của chất điểm tại

vị trí cân bằng có độ lớn bằng
A. 4 cm/s.
B. 8 cm/s.
C. 3 cm/s.
D. 0,5 cm/s.
19. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình x  Acost . Nếu chọn gốc tọa độ
O tại vị trí cân bằng của vật thì gốc thời gian t = 0 là lúc vật
A. qua vị trí cân bằng theo chiều dương của trục Ox.
B. ở vị trí li độ cực đại thuộc phần dương của trục Ox.
GV: Trần Quốc Chiến

Trang 24


SAO PHƯƠNG NAM

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ 12 – TẬP 1

C. qua vị trí cân bằng O ngược chiều dương của trục Ox.
D. ở vị trí li độ cực đại thuộc phần âm của trục Ox.
20. Một chất điểm dao động điều hịa trên trục Ox có phương trình x = 8cos(πt +


) (x tính bằng
4

cm, t tính bằng s) thì
A. lúc t = 0 chất điểm chuyển động theo chiều âm của trục Ox.
B. chất điểm chuyển động trên đoạn thẳng dài 8 cm.
C. chu kì dao động là 4 s.

D. vận tốc của chất điểm tại vị trí cân bằng là 8 cm/s.
21. Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  A cos  t    . Gọi v và a lần lượt là vận tốc
và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là:
v2 a 2
2 a 2
v2 a 2
v2 a 2
A. 2  2  A 2 . B. 2  4  A 2 .
D. 4  2  A 2 .
C. 2  4  A 2 .
 
 
 
v


CHỦ ĐỀ 2: CON LẮC LỊ XO
22. Con lắc lị xo nằm ngang dao động điều hòa. Vận tốc của vật bằng khơng khi vật chuyển động
qua
A. vị trí cân bằng.
B. vị trí vật có li độ cực đại.
C. vị trí mà lị xo khơng bị biến dạng.
D. vị trí mà lực đàn hồi của lị xo bằng khơng.
23. Phát biểu nào sau đây là không đúng đối với con lắc lị xo đặt nằm ngang, chuyển động khơng
ma sát?
A. Chuyển động của vật là chuyển động thẳng.
B. Chuyển động của vật là một dao động điều hòa.
C. Chuyển động của vật là chuyển động biến đổi đều.
D. Chuyển động của vật là chuyển động tuần hồn.
24. Một con lắc lị xo có khối lượng m và lị xo có độ cứng k. Nếu tăng khối lượng lên 2 lần và giảm

độ cứng đi 2 lần thì chu kỳ sẽ
A. tăng 4 lần.
B. không đổi.
C. giảm 2 lần.
D. tăng 2 lần.
25. Chu kỳ dao động điều hòa của con lắc lò xo không phụ thuộc vào
A. khối lượng của con lắc.
B. biên độ dao động.
C. độ cứng của lò xo.
D. tần số dao động.
26. Con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ 0,5 s , khối lượng quả nặng là 400 gam. Lấy
 2  10. Độ cứng của lò xo là
A. 0,156 N/m.
B. 32 N/m.
C. 64 N/m.
D. 6400 N/m.
27. Con lắc lị xo gồm vật nặng có khối lượng m = 100 g và lị xo có độ cứng k = 100 N/m, dao động
điều hòa với chu kỳ là
A. 0,1 s.
B. 0,2 s.
C. 0,3 s.
D. 0,4 s.
28. Một con lắc lò xo gồm vật nặng 400 g gắn vào đầu lị xo có độ cứng 40 N/m. Kéo quả nặng ra
khỏi vị trí cân bằng một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân
bằng, chiều dương theo chiều kéo vật, gốc thời gian là lúc thả cho vật dao động. Phương trình
dao động của vật là

π
A. x = 4cos 10πt +   cm  .
B. x = 4cos 10πt  cm  .

2



π
C. x = 4cos  10t +   cm  .
D. x = 4cos 10t  cm  .
2

29. Một con lắc lò xo gồm vật nặng 400 g gắn vào đầu lị xo có độ cứng 40 N/m. Kéo quả nặng ra
khỏi vị trí cân bằng một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Vận tốc cực đại của vật là
A. 160 cm/s.
B. 80 cm/s.
C. 40 cm/s.
D. 20 cm/s.

GV: Trần Quốc Chiến

Trang 25