RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

CHUYÊN ĐỀ 1:

RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
I-CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ta vận dụng
thích hợp các phép tính về căn thức và các phép biến đổi đơn giản biểu
thức chưa căn bậc hai ( đưa thừa số ra ngoài dấu căn, trục căn thức ở
mẫu,..)
Khi phối hợp các phép biến đổi căn thức với các phép biến đổi biểu
thức cá dạng phân thức cần chú ý:
1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức
-Mẫu khác 0;

A xác định khi A � 0; biểu thức chia khác 0

2. Điều kiện để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
2
�A( A �0)
A  A �
 A( A  0)
�

3. Một số hắng đẳng thức(x>=0)

x  1  ( x  1)( x  1)

;

x �2 x  1  ( x �1)2 ; x x  1  ( x  1)(x  x  1)

4. Chú ý :

Một số bài toán như : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức
không phụ thuộc vào biến… cũng quy về Rút gọn biểu thức
Sau khi rút gọn có thể có những câu hỏi tiếp theo, chẳng hạn tìm x để:
biểu thức có giá trị nguyên, biểu thức có giá trị dương, biểu thức có giá
trị bằng k , biểu thức có giá trị nhỏ nhất, ....
1


Cho biểu thức

mn p

a 2 +b 2 = m và 2ab=

n p

mn p ,

hoặc
thì

mn p

nếu tìm được a và b sao cho

= (a+b) 2

II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1:
x-2

�0

x  2 x  2 có nghĩa khi x+2
:
x 1 x  3

�0;

x-1

�0;

x+3

�0;

 x > -2; x �1; x �2

Ví dụ 2:

* Nhận xét: ta dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn, khử căn thức ở
mẫu,...
1 5
; 20=4.5; 1  2 ; 4,5  9  9.2 ;

5 25
2 4
2 4
12,5=

125 25 25.2
; 45=9.5; 18=9.2; 72= 36.2; 200=100.2; 0,08 =


10
2
4

4.2/100; 50=25.2
Bài giải

2


a) 5. 1  1 . 20  5
2 2

=

5.

2 1
 . 4.5  5
4 2

=

5.

1
1
2  .2 5  5
4
2

=

5
5
2 5 5=
22 5
4
4
1
 4.5  12,5
2

b)

=

2
9.2
25.2


4
4
4

=

1
3
5
2
2
2
2
2
2

=

(

1 3 5 ).
9
 
2= . 2
2 2 2
2
c)

20  45  3. 18  72

= 2. 5  3. 5  3.3. 2  6. 2 =  5  15 2
d) 0,1 200  2. 0,08  0,4. 20
=

2  0,1.2. 2  0,8 5 = 1,2. 2  0,8 5

Ví dụ 3: Tình giá trị biểu thức
a)

42 3  42 3

b)

2 3  2 3

 Phân tích
Câu a, Ta tìm được a=1 và b=

42 3

= (1+

3 )2

và

42 3

3

= (1-

thỏa mãn a 2 +b 2 =4 và 2ab=

2 3

nên

3 )2

* Bài giải
2
4  2 3  4  2 3 = ( 1  3 )  ( 1  3 )2

=

1 3

-

1 3

= 1+ 3 - ( 3 - 1) = 2
3


b) Nhận xét:

2 ( 2  3  2  3 )=

2(2  3)  2(2  3 ) =

42 3  42 3

Như vậy ta chỉ việc tính như câu a rồi chia cho

2

là được kết quả

câu b
Cách khác: kết quả câu b là một số âm. Bình phương ta được:
( 2  3  2  3 ) 2 =( 2 
-2.( 4-3) = 4-2 =2= (-

2 )2

3 )–2.( 2  3 )( 2  3 )
=(

+( 2 

3)

= 4

2 )2

Vì giá trị biểu thức là số âm nên

2 3  2 3

=-

2

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
A=

x  2  2 x 1  x  2  2 x 1

 Phân tích
Ta tìm được a=1 và b=

x  1 thỏa mãn a 2 + b 2 = x+2 và 2ab= 2 x  1 .

Ta có

=

x  2  2 x 1

(1  x  1) 2 = 1  x  1

 Bài giải

Điều kiện xác định:

�x  1 �0
�x �1
��
�
�x  2  2 x  1 �0

�x  2 �2 x  1

Với x �1 xét (x+2) 2 � 4(x+1)  x 2 � 0 ( luôn đúng với mọi giá trị
của x). Vậy ĐKXĐ của biểu thức là x �1
Cách giải thứ nhất:
4


A=

(1  x  1) 2 - (1  x  1)2 = 1  x  1 - 1  x  1

�
1  x  1 �0
� 1 �x+1 �0  -1 �x �0 ta có:
Nếu �
�x  1 �0
A= 1-

x  1 -1- x  1 = -2 x  1

�
1  x  1 �0
� x+1 �1  x �0 ta có:
Nếu �
�x  1 �0
A=

x  1 -1 – 1- x  1 = -2

Cách thứ hai: A< 0 ta tính A 2 = 2x+4 - 2 x
Nếu x �0 ta có A 2 = 4 <=> A= -2 ( vì A <0)
Nếu x<0 ta có A 2 = 4x+4 suy ra A=- 2 x  1 ( vì A<0)
Ví dụ 5: cho biểu thức

* Phân tích bài tốn: Ta thực hiện theo quy tắc thực hiện trong ngoặc
trước, nhân sau
- Trong ngoặc ta rút gọn các biểu thức ( nếu được) rồi quy đồng mẫu.

5


Ví dụ 6:

Bài giải
Gợi ý: Để rút gon ta biến đổi làm cho tử và mẫu có nhân tử chung
6


x 2  3 ( x  3)(x  3)

x 3
x 3
x 3

a)

3
b) 1  a a  1  ( a )  (1  a )(1  a  a ) = (1  a  a)
1 a

1 a
1 a

với a>0; a khác 1
3.2. Bài tập
Bài 1 : Rút gọn biểu thức
1492  762
457 2  3842

1)
2)
3)
4)
5)

1
2 1



1
3 2



6)
1
4 3

1

33
1
48  2 75 
5 1
2
3
11
9a  16a  49a

7)

2 3  48

75

8)

32 2 

6 4 2

243

9) 4  8 . 2  2  2 . 2  2  2

Víi a 0

10)

a

a b
 ab 
b
b a

Bài 2 Cho biểu thức

9  4 5  9  80

8 2 2 23 2
2


3 2
2
1 2

11)

6  11  6  11

�x2
x
1 � x1
A= �
:


�x x  1 x  x  1 1  x �
� 2

�
�

a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh A =

2
x  x 1

c. Tính giá trị của A tại

x = 8-

28

d. Tìm max A.
* Gợi ý: b) Trước khi quy đồng mẫu ta phân tích các mẫu ra thừa số rồi
tim Mẫu chung là đâ thức chia hết cho đa thức mẫu

7


x. x  1 = x 3  1
1
1

1 x
x 1

x  1).( x+ x +1)

=(

c) Để tính giái trị của A, trước hết ta rút gọn x
x=

8  28  8  2 7  7  2 7  1  ( 7  1) 2

Chú ý
d)

A� A0
A 
A � A  0
2

7 1  0

; trong bài này

Vì tử bằng 2 là một số dương khơng đổi, suy ra Biểu thức A có giá

trị lớn nhất khi và chỉ khi mẫu x  x  1 có giá trj nhỏ nhất;
Chẳng hạn: Y 2 +Y+1 = (Y 2 + Y+ ¼) +3/4 = (Y+1/2) 2 +3/4 >=3/4 với mọi
giá trị của Y, dấu = xảy ra khi Y =-1/2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
¾ khi Y=-1/2
Bài 3

Cho biểu thức

n 3

n 2

P=

n  1 4 n  4 (với
n �0 ; n �4 )

4 n
n 2

a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
Bài 4 Cho biểu thức M

2
= ( a  b )  4 ab  a b  b a

a b

ab

( a , b > 0)

a. Rút gọn biểu thức M.
b. Tìm a , b để M

= 2 2006

* Gợi ý: Ta rút gọn a b  b a trước rồi thực hiện
ab
Bài 5:



Cho biểu thức : M = 

x

 x1



  x 1
1
2 x 

x  : 


x
1  x x  x 
 

a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3
8

c) Tìm x sao cho M =1/2
 Gợi ý : Tập xác định của M là x>0, x

�1, x �3

(1)

b) Viết x = 7  4 3 dưới dạng bình phương rồi thay vào biểu thưc M đã
rút gọn
c) sau khi tìm x chú ý kết hợp với điều kiện (1) rồi kết luận xem x
tìm được có thỏa mãn hay không


Bài 6: Cho biểu thức : P = 

x 4

x 2 x



3
2

  x 2
:

x  
x

x 

x  2 

a) Rút gọn P.
8

b) Tính giá trị của P khi x =
3 5
� x 2
x � �( x  2)( x  2)  x . x �

* Gợi ý: a) �
�= �
�
x
x

2
x ( x  2)
�
� �
�
=

x 4  x
=
x ( x  2)

4

x ( x  2)

TXĐ: x

�4 ; x �0

P= 1-

x

b) biến đổi

x=

8
3 5

�0

với mọi x

bằng cách trục căn thức ở mẫu ta được x= 6-2 5 =

\= ( 5  1) 2 ; thay vào P ta được P = 1-( 5 -1) = 2- 5
 2x 1

Bài 7 Cho biểu thức : B = 



 x x  1 1

1

 
x 2 
 : 1 

x 
x  x 1

a) Rút gọn B.
b) Tìm x để :

2.B < 1

c) Với giá trị nào của x thì B. x = 4/5
x  2 = x  x 1 x  2
x2 �
�
1

1
Gợi ý: �
=
�
x  x 1
x  x 1
� x  x 1�
9

=

x  3 > 0 với mọi x, TXĐ của B là x >0; x
;
�
1
x  x 1

a) B=

x
với x >0; x
;
�
1
x 3

b) 2.B<1
vì

�

2. x <1
x 3

x 3
0
x 3

�

x9

x 3 0

x  3  0 với mọi x nên

Đối chiếu với điều kiện tập xác định ta có x >0; x
 x2 x  7
x  1 
 : 

Bài 8: Cho biểu thức : M = 

x 9



3

�1; x<9

1

x   x 3



1



x  1

a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
TXĐ: x>0; x �9 ;
a) M=

x  1 với
x>0; x �9 ;
x 3

b) M=

x 3 2

x 3

x 3
2
2

1
x 3
x 3
x 3

x 3

M có giá trị nguyên nếu 2 chia hết cho
 x2 x  2

Bài 9: Cho biểu thức : A = 1 : 


x x 1

x1
x

x 1





x  1 
1

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
 x 1

Bài 10: Cho biểu thức : P = 
 x1

x  1  1
x
2 
:





x  1   x  1 1  x x  1 

a) Rút gọn P.
10


7 4 3
2

b) Tính giá trị của P khi x =
c) Tìm x sao cho P = 1/2
�2 x  1

Bài 11: Cho biểu thức : A = �
�

3
� x 1



��
x
1 x x �
.
x

�
�
�
�
x  x 1 �
1 x �
��
�

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 2  3
2


2 x

Bài 12: Cho biểu thức : A = 

x x  x x  1

 
x 
 : 1 


x  1 
x  1  
1



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0


Bài 13: Cho biểu thức : B = 

1

 x 1



 
2x  x 

 :  2 
x  1 
x x  x  x 1 
2

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2 5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.

 x 2

Bài 14: Cho biểu thức : A = 
 x 3

5
x x  6



1
2



x 

a) Rút gọn A.
2

b) Tính giá trị của A nếu x =
2 3
c) Tìm x nguyên để A nguyên
 2 x9

Bài 15: Cho biểu thức : M = 

x 3

 x 5 x 6

x 2



2 x 1

3  x 

a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
 x x  4
x  1 
 : 1 

Bài 16: Cho biểu thức : A = 
 
x 2 x  3

3

x 

x  3

x  2 

11

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
2 x
4x
2 x  x 3 x
:


Bài 17: Cho biểu thức : P = 

3
2

x 4

x

2  x  2x 

x

a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.


Bài 18: Cho biểu thức : M = 

x

 x1



3 x  1  x 1 4 x 1
:


1  x  
x
x  x 

a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
 2x 1
Bài 19: Cho biểu thức : P =  3 
 x 1

  3
2 x 5
:


1  x 
x  x  1   x  1
x

a) Rút gọn P.
8

b) Tính giá trị của P khi x =
3 5
c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1


Bài 19: Cho biểu thức : B = 

x

 x 2



3
2

x



3 x  2  x 3
2 x
:



x 4   x  2 2 x 



x 

a) Rút gọn B.
b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 5
c) Tìm x sao cho B.( x – 1 ) = 3 x
 x 1
  x 1
xy  x

 1 : 

Bài 20: Cho biểu thức : M = 
  xy  1
xy

1
xy

1

 


 1

xy  1


xy  x

a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y = 3  1
1 3

12




2 x 3 y

Bài 21: Cho biểu thức : B = 

 xy  2 x  3 y  6





xy  2 x  3 y  6 
6

xy

a) Rút gọn B.
y  10
y  10

b) Cho B=

( y 10). Chứng minh :

x 9

y 10

Bài 22 : Cho biểu thức :

x 2
x 3
P 


x

5
x

6
2

x


x  2 
:2 
x  3  

x 

x  1 

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

1
5

P
2

2
Bài 23 : Cho biểu thức : P  x 

x

x  x 1



2x  x
x



2 x  1
x1

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q  2 x nhận giá trị là số nguyên
P
 x1

Bài 24: Cho biểu thức : P 
 x 1

x  1  1
x 

2 
x  1  2 x

2

a) Rút gọn P
b) Tìm x để

P
x

2



 

1

5 x 4
2 x
:


Bài 25: Cho biểu thức : P 


x
 x  2 2 x  x 



x  2 
x

a) Rút gọn P
b)*Tìm m để có x thoả mãn : P mx x  2mx  1
2

2
Bài26: Cho biểu thức A =  1  1  x  1  1  x 2
1 x  2
 1 x
1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2. Rút gọn biểu thức A.
13

3. Giải phương trình theo x khi A = - 2.

14