ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI TOÁN (KHÔNG CHUYÊN) CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2021 – 2022
Khố ngày : 29/05/2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1. (3,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây :
a) 2 + 1 x − 2 = 2

(

)

b) x 4 + x 2 − 6 = 0
2 x + y = 11
c) 
x − y = 4
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hai hàm số y = x 2 có đồ thị là Parabol ( P ) và y = x + 2 có đồ thị là đường
thẳng ( d )
a) Vẽ đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Bằng phép tính, tìm tọa độ giao điểm ( P ) và ( d )
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 3m − 4 = 0 ( m là tham số, x là ẩn
số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

b) Đặt A = x12 + x22 − x1 x2 . Tính A theo m và tìm m để A = 18
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho 4 điểm A, B, C , D theo thứ tự lần lượt nằm trên nửa đường trịn đường kính
AD. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Kẻ EF vng góc với AD ( F ∈ AD )
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
b) Chứng minh BD là tia phân giác của ∠CBF
Câu 5. (1,0 điểm)
Một bức tường được xây bằng các viên gạch hình chữ nhật bằng nhau và được bố
trí như hình vẽ bên. Phần sơ màu (gạch chéo) là phần ngồi của một hình tam giác có
cạnh đáy 10dm và chiều cao 6dm. Tính diện tích phần tơ đậm

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


ĐÁP ÁN
Câu 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a)

(

)

2 +1 x − 2 = 2 ⇔

(

)

2 +1 x = 2 + 2

2+ 2
= 2
2 +1
b) x 4 + x 2 − 6 = 0
x=

Đặt x 2 = t ( t ≥ 0 ) . Nên phương trình thành :
t 2 + t − 6 = 0 ⇔ t 2 + 3t − 2t − 6 = 0 ⇔ t ( t + 3) − 2 ( t + 3) = 0
t = −3(ktm)
⇔ ( t + 3)( t − 2 ) = 0 ⇔ 
2
t = 2  x = 2  x = ± 2

{ }

Vậy phương trình có tập nghiệm S = ± 2
 2 x + y = 11 3 x = 15
x = 3
c) 
⇔
⇔
x − y = 4
y = x − 4
y =1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( 5;1)

Câu 2.
a) Học sinh tự vẽ đồ thị ( P ) , ( d )
b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm ( P ) và ( d ) :

x2 = x + 2 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x2 − 2 x + x − 2 = 0
x = 2  y = 4
⇔ ( x − 2 )( x + 1) = 0 ⇔ 
 x = −1  y = 1
Vậy đường thẳng ( d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt ( −1;1) , ( 2;4 )
Câu 3.
a) x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 3m − 4 = 0 (*)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' > 0

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


2

⇔ ( m − 1) − ( m 2 − 3m − 4 ) > 0
⇔ m 2 − 2m + 1 − m 2 + 3m + 4 > 0 ⇔ m > −5
Vậy với m > −5 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2
b) Với m > −5 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Theo hệ thức
Vi – et ta có :

 x1 + x2 = 2 ( m − 1) = 2m − 2

2
 x1 x2 = m − 3m − 4
Theo đề bài ta có :
2

2

A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2
2

= 4 ( m − 1) − 3 ( m 2 − 3m − 4 ) = 4 ( m 2 − 2m + 1) − 3m 2 + 9m + 12
= 4m 2 − 8m + 4 − 3m 2 + 9m + 12 = m 2 + m + 16
A = 18 ⇔ m 2 + m + 16 = 18

m = 1
⇔ m 2 + m − 2 = 0 ⇔ ( m − 1)( m + 2 ) = 0 ⇔ 
 m = −2
Vậy m ∈ {−2;1} thỏa mãn bài toán
Câu 4.

B
C
E

A

O

F

D

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
Ta có ∠ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AD

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI

 ∠ABD = 90° hay ∠ABE = 90°
Xét tứ giác ABEF có ∠ABE + ∠AFE = 90° + 90° = 180°
 ∠ABEF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 180°)

b) Chứng minh BD là tia phân giác ∠CBF
Vì ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt)  ∠FBE = ∠FAE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung
EF ) hay ∠CAD = ∠FBD
Lại có : ∠CBD = ∠CAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
 ∠CBD = ∠FBD ( = ∠CAD )  BD là phân giác của ∠FBC

Câu 5.

Chiều rộng của một viên gạch là : 6 : 4 = 1,5(dm)
Chiều dài của một viên gạch : 10 : 5 = 2(dm)
Diện tích của một viên gạch: 1,5.2 = 3(dm 2 )
Tổng số viên gạch để xây bức tường là : 2 + 3 + 4 + 5 = 14 (viên)
Diện tích của bức tường là : 3.14 = 42(dm 2 )
Diện tích tam giác trong hình là :

1
.6.10 = 30 ( dm 2 )
2

Diện tích phần son màu là : 42 − 30 = 12(dm 2 )

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
NĂM HỌC 2021 – 2022
ĐỀ THI MÔN: TỐN (chung)
Thời gian làm bài : 120 phút, khơng kể giao đề
Ngày thi: 04/06/2021

Câu 1. (2,5 điểm)
a) Giải phương trình: x 2 + 6 x − 7 = 0
x − y = 5
b) Giải hệ phương trình : 
2 x + y = 4
c) Rút gọn biểu thức M = 20 − 45 + 5
Câu 2. (2,0 điểm) Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = x − m + 3 (m là
tham số)
a) Vẽ parabol ( P )

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( d ) cắt parabol ( P ) tại hai

điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 + y2 = 1
Câu 3. (1,5 điểm)
a) Theo kế hoạch, một đội xe phải chở 150 tấn hàng từ một khu công nghiệp thuộc
huyện Châu Đức đến cảng Cái Mép – Thị Vải. Khi thực hiện thì trong đội có 5
xe phải đi làm việc khác, nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 5 tấn hàng.
Tính số xe lúc đầu của đội (biết khối lượng trên mỗi xe chở là như nhau)
b) Giải phương trình ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 3 x + 2 ) = 2
Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O ) và điểm A nằm bên ngồi đường trịn. Kẻ các
tiếp tuyến AB, AC của đường tròn ( O )( B, C là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua

A cắt đường tròn ( O ) tại hai điểm phân biệt D, K ( D nằm giữa A, K và B, D nằm cùng
phía đối với đường thẳng OA). Gọi H là giao điểm của AO và BC
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AD. AK = AB 2 và AD. AK + OH .OA = OA2
c) Chứng minh ∠AOD = ∠ODH
d) Đường thẳng qua D và vng góc với OB cắt BC tại M . Gọi P là trung điểm
của AB. Chứng minh ba điểm K , M , P thẳng hàng
Câu 5. (0,5 điểm) Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1
1   1
1 
S = 2( x + y ) 3
+ 3
−
+
  2

y2 
x + y y +x x

ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


MƠN TỐN – VŨNG TÀU 2021
Câu 1.
a) Giải phương trình x 2 + 6 x − 7 = 0
Ta có : a + b + c = 1 + 6 − 7 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 x1 = 1


 x2 = c = −7
a

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−7;1}
x − y = 5
b) Giải hệ phương trình 
2 x + y = 4
x − y = 5
3 x = 9
x = 3
Ta có: 
⇔
⇔
 2 x + y = 4  y = x − 5  y = −2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 3; −2 )

c) Rút gọn biểu thức M = 20 − 45 + 5

M = 20 − 45 + 5 = 2 5 − 3 5 + 5 = 0
Vậy M = 0
Câu 2. Cho parabol ( P ) : y = x 2 và đường thẳng ( d ) : y = x − m + 3 (với m là tham
số)
a) Vẽ Parabol (P)
Parabol ( P ) : y = x 2 có bề lõm hướng lên và nhận Oy làm trục đối xứng
Ta có bảng giá trị sau :
x
−2

−1

0

1

2

y = x2

1

0

1

4

4

Đồ thi Parabol ( P ) : y = x 2

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( d ) cắt ( P ) tại hai
điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn

y1 + y2 = 1

Xét phương trình hồnh độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :
x 2 = x − m + 3 ⇔ x 2 − x + m − 3 = 0 (1)

Để ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − 4 ( m − 3) > 0 ⇔ 1 − 4m + 12 > 0 ⇔ m <

13
( *)
4

x + x = 1
Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-et ta có :  1 2
.
 x1 x2 = m − 3

Ta có A, B ∈ ( P ) nên A ( x1 ; x12 ) , B ( x2 ; x22 ) . Khi đó ta có :
y1 + y2 = 1 ⇔ x12 + x22 = 1 ⇔ x1 + x2 = 1
⇔ ( x1 + x2

)

2

= 1 ⇔ x12 + x22 + 2 x1 x2 = 1

2

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2 x1 x2 = 1 ⇔ 1 − 2 ( m − 3) + 2 m − 3 = 1
⇔ m−3 = m−3⇔ m−3≥0⇔ m≥3

Kết hợp với điều kiện (*) ta được 3 ≤ m ≤

Vậy 3 ≤ m ≤

13
4

13
thỏa mãn u cầu bài tốn.
4

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Câu 3.
a) Theo kế hoạch, một đội xe phải chở 150 tấn hàng từ một khu công nghiệp thuộc huyện
Châu Đức đến cảng Cái Mép – Thị Vải. Khi thực hiện thì trong đội có 5 xe phải đi làm
việc khác, nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 5 tấn hàng. Tính số xe lúc đầu của đội
(biết khối lượng trên mỗi xe chở là như nhau)

Gọi số xe lúc đầu của đội là x ( x > 5, x ∈ ℕ ) (xe)
150
(tấn hàng)
Số hàng mà mỗi xe phải chở là
x
Số xe thực tế tham gia chở hàng là x − 5 (xe)
150
Số hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là :
(tấn hàng)
x−5

Do thực tế mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng nên ta có phương trình :
150 150
−
= 5  150 x − 150 x + 750 = 5 x ( x − 5 )
x−5
x
⇔ 5 x 2 − 25 x − 750 = 0 ⇔ x 2 − 5 x − 150 = 0
2

∆ = ( −5 ) − 4.1.(−150) = 625 > 0  ∆ = 25
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
5 + 25

x
=
= 15(tm)
1

2

 x = 5 − 25 = −10(ktm)
 2
2
Vậy số xe tham gia chở hàng lúc đầu của đội là 15 xe
b) Giải phương trình : ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 3 x + 2 ) = 2

(x

2

− 3 x + 1)( x 2 − 3 x + 2 ) = 2 ⇔ ( x 2 − 3 x + 1)( x 2 − 3 x + 1 + 1) = 2
2

⇔ ( x 2 − 3 x + 1) + ( x 2 − 3 x + 1) − 2 = 0

Đặt t = x 2 − 3 x + 1khi đó phương trình trở thành : t 2 + t − 2 = 0
t1 = 1
Ta có: a + b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
t2 = c = −2
a

x = 0
Với t = 1  x 2 − 3 x + 1 = 1 ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ 
x = 3
Với t = −2  x 2 − 3 x + 3 = 0, ∆ = −3 < 0  VN
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {0;3}

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


Câu 4.

B
K

M

P

D

J
H

O

A

C
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
 AB ⊥ OB
Ta có : AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn ( O ) nên 
 AC ⊥ OC
 ∠ABO = ∠ACO = 90°
 ∠ABO + ∠ACO = 180°  ABOC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b) Chứng minh AD. AK = AB 2 và AD. AK + OH .OA = OA2
Ta có ∠ABD = ∠BKD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn
cung BD)

Xét ∆ABD và ∆AKB ta có :
∠BAK chung , ∠ABD = ∠BKD (cmt )
AD AB
 ∆ABD ∽ ∆AKB( g.g ) 
=
(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
AB AK
 AD. AK = AB 2 (1)
Ta có: OB = OC ( = R ) nên O thuộc trung trực của BC
AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên A thuộc trung trực của BC
 OA là trung trực của BC  OA ⊥ BC tại H

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOB vng tại B, đường cao BH ta có :
2
OB = OH .OA
( 2)
 2
2
2
OA = OB + AB

Từ (1) và (2) ta có: AD. AK + OH .OA = AB 2 + OB 2 = OA2 ( dfcm )
c) Chứng minh ∠OAD = ∠ODH
OH OD
Ta có : OB 2 = OH .OA(cmt ) . Mà OB = OD  OD 2 = OH .OA 
=
OD OA
OH OD
Xét ∆OHD và ∆ODA ta có : ∠DOA chung,
=
( cmt )
OD OA
 ∆OHD ∽ ∆ODA(c.g .c)  ∠OAD = ∠ODH (2 góc tương ứng ) (đpcm)

d) Đường thẳng qua D và vng góc với OB cắt BC tại M . Gọi P là trung điểm
của AB. Chứng minh ba điểm K , M , P thẳng hàng
Gọi J là giao điểm của AK và BC
Gọi P là giao điểm của KM và AB. Ta sẽ chứng minh P là trung điểm của AB

Kẻ ON ⊥ DK ( N ∈ DK )  N là trung điểm của DK
Lại có ∠ANO = 90° nên N thuộc đường trịn đường kính OA hay O, N , B, A, C cùng
thuộc một đường tròn.
Xét tam giác ABJ và ANB ta có :
∠BAN chung, ∠ABJ = ∠BNA ( = ACB ) (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
AJ AB
 ∆ABJ ∽ ∆ANB ( g .g ) 
=
(cặp cạnh tương ứng)  AB 2 = AJ . AN
AB AN
AB AD
=
 AB 2 = AK . AD
Tương tự ta có : ∆ABD ∽ ∆AKB( g.g ) 
AK AB
AN AK AK − AN KN DN
 AJ . AN = AK . AD 
=
=
=
=
AD AJ
AJ − AD DJ
EJ
AK AJ
=
(Vì N là trung điểm của DK ) 
DN EJ
 AB AJ
=

 DM ⊥ OB( gt )
 DM DJ
Ta lại có : 
 DM / / AB  
(Định lý Ta – let)
(
)
AB
⊥
OB
gt
AP
AK


=
 DM DK
AP
AK
AB
1 AJ 1 AB

=
= .
= .
 AP =
DM 2 DN 2 EJ 2 DM
2
Vậy P là trung điểm của AB ( dfcm )

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Câu 5. Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1
1   1
1 
S = 2( x + y ) 3
+ 3
− 2 + 2 
y 
x + y y +x x

Theo BĐT cộng mẫu Schwwarz
2
2
2 ( x + y) ( y + x)   1
1 
S=
. 2
+ 2
 − 2 + 2 
x + y  x + y
y + x   x
y 

2  x2 y 2 y3 x2   1
1 
S≤
. 3 +

+ 2 + − 2 + 2 
x+ y  x
y y
x  x
y 
  1
2 1 1
1 
S≤
. + + x + y  −  2 + 2 
x+ y x y
y 
 x
2

1 1
2
1
1
S≤
+2− 2 − 2  S ≤ 2− −  ≤ 2
xy
x
y
x y
Vậy S max = 2 ⇔ x = y = 1

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI

SỞ GIÁO DỤC, KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ BẠC LIÊU
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2021 – 2022
Mơn thi: Tốn (khơng chun)
Ngày thi: 23/06/2021
Thời gian : 120 phút (không kể giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 28 + 63 − 2 7
x y+y x
1
b) Chứng minh rằng
:
= x − y với x > 0, y > 0 và x ≠ y
xy
x− y
Câu 2. (4,0 điểm)
x − 2 y = 5
a) Giải hệ phương trình 
2 x − y = 7
1
1
b) Cho hàm số y = − x 2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng d : y = x − 2 . Vẽ đồ thị ( P )
2
4
và tìm tọa độ giao điểm của ( P ) với đường thẳng d bằng phép tính

Câu 3. (6,0 điểm)
Cho phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = −3
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi số thực m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc
vng của một tam giác vng có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vng xuống
2
cạnh huyền là h =
5

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn ( O; R ) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn ( O ) tại hai
điểm A, B. Trên tia đối của tia BA, lấy một điểm M , qua M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD
với đường tròn ( O )( C , D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng tứ giác OMCH nội tiếp được trong một đường tròn
b) OM cắt đường tròn ( O ) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh OK .OM = R 2
c) Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt các tia MC , MD lần lượt tại P và Q.
Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂM 2021 MÔN TOÁN
TỈNH BẠC LIÊU
Câu 1.
a) Rút gọn biểu thức A = 28 + 63 − 2 7
Ta có :
A = 28 + 63 − 2 7 = 4.7 + 9.7 − 2 7

=2 7 +3 7 −2 7 =3 7
Vậy A = 3 7

b) Chứng minh rằng

x y+y x
xy

:

1
= x − y với x > 0, y > 0 và x ≠ y
x− y

Với x > 0, y > 0 và x ≠ y ta có :
VT =
=

(

x y+y x
1
:
=
xy
x− y

x+ y

)(

xy .

(

x+ y
xy

).(

x− y

)

1

)

x − y = x − y = VP (dfcm)

Câu 2.
x − 2 y = 5
a) Giải hệ phương trình 
2 x − y = 7
x − 2 y = 5
x − 2 y = 5
 −3 x = −9
x = 3
⇔
⇔

⇔

2 x − y = 7
−4 x + 2 y = −14
 y = 2x − 7
 y = −1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 3; −1)

1
1
b) Cho hàm số y = − x 2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng d : y = x − 2 . Vẽ đồ thị
2
4
( P ) và tìm tọa độ giao điểm của ( P ) với đường thẳng d bằng phép tính
1
Vẽ đồ thị hàm số y = − x 2
4
Ta có bảng giá trị

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


x

−4

−2

0

2

4

1
y = − x2
4

−4

−1

0

−1

−4

1
Vậy đồ thị hàm số ( P ) : y = − x 2 là đường cong đi qua các điểm ( −4; −4 ) ;
4
( −2; −1) ; ( 0;0 ) ; ( 2; −1) ; ( 4; −4 )
Đồ thị hàm số

Phương trình hồnh độ giao điểm của d và ( P ) là :

1
1
− x2 = x − 2 ⇔ x2 + 2 x − 8 = 0
4

2
2

Phương trình có ∆ ' = ( −1) + 8 = 9 > 0  Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1 = −1 + 9 = 2  y = −1

 x2 = −1 − 9 = −4  y = −4
Vậy đường thẳng ( d ) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ( 2; −1) và ( −4; −4 )

Câu 3. Cho phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = −3

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


Khi m = −3 phương trình (1) trở thành x 2 + x − 2 = 0
Vì a + b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x =1

.
c
 x = = −2
a

Vậy khi m = −3 thì phương trình có tập nghiệm S = {1; −2}
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với mọi số thực m
Ta có : hệ số của x 2 là 1 ≠ 0 nên phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn
2
Lại có ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( m + 1) = m 2 + 4m + 4 − 4m − 4 = m 2 ≥ 0 (với mọi m)
Do đó phương trình (1) ln có nghiệm với mọi số thực m

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là độ dài hai cạnh
góc vng của một tam giác vng có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vng
2
xuống cạnh huyền là h =
5
2

Phương trình (1) có ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( m + 1) = m 2 + 4m + 4 − 4m − 4 = m 2
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì ∆ > 0 ⇔ m ≠ 0
−b

 x1 + x2 = a = m + 2
Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : 
x x = c = m + 1
 1 2 a
Do hai nghiệm phân biệt x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vng nên ta có x1 , x2 > 0 suy ra :
 x1 + x2 > 0
m + 2 > 0
⇔
⇔ m > −1


x
x
>
0
m
+
1
>

0

 1 2
Vì x1 , x2 là độ dài hai cạnh góc vng của một tam giác vng có độ dài đường cao kẻ từ
2
nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
đỉnh góc vng xuống cạnh huyền h =
5
vng ta có :
2
x1 + x2 ) − 2 x1 x2 5
1
1
1
x12 + x22 5
(
+ =
⇔ 2 2 = ⇔
=
x12 x22  2 2
x1 x2
4
x12 x22
4


 5
2
2
⇔ 4. ( m + 2 ) − 2 ( m + 1)  = 5 ( m + 1) ⇔ 4m 2 + 8m + 8 = 5m 2 + 10m + 5



⇔ m 2 + 2m − 3 = 0

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Ta có : a + b + c = 1 + 2 + ( −3) = 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

 m1 = 1(tm)

 m2 = c = −3(ktm)
a

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Câu 4.

Q

D
O
I

K
B

H

A

P

M

C

a) Chứng minh rằng tứ giác OMCH nội tiếp được trong một đường trịn
Vì H là trung điểm của AB ( gt )  OH ⊥ AB (quan hệ vng góc giữa đường kính và
dây cung)  ∠OHM = 90°
Xét tứ giác OMCH có ∠OHM = ∠OCM = 90°  OMCH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có
2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


b)

OM cắt đường tròn ( O ) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh OK .OM = R 2

Vì MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  M thuộc trung trực của CD
OC = OD ( = R ) nên O thuộc trung trực của CD  OM là trung trực của CD
 OM ⊥ CD tại K
Xét tam giác OMD vng tại D có đường cao DK ta có :
OD 2 = OK .OM = R 2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c)
Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt các tia MC , MD lần lượt tại P và
Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất

Ta có : MO là phân giác của ∠PMQ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
MO là đường cao của ∆PMQ ( doPQ ⊥ OM ( gt ) )

 ∆MPQ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)
 MO đồng thời là trung tuyến của ∆MPQ  O là trung điểm của PQ

1
1
 OP = PQ . Ta có : S∆MPQ = .MO.PQ = OM .OP
2
2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vng tại O có đường cao OC ta có :
1
1
1
1
+
=
= 2
2
2
2
OM
OP
OC
R
1
1
ta có :
và
Áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương
OP 2
OM 2

1
1
2
2
1
2
+
≥
=
 2≥
⇔ S∆MPQ ≥ 2 R 2
2
2
OM
OP
OM .OP S∆MPQ
R
S MPQ
OM = OP

OM = OP
⇔
Dấu " = " xảy ra ⇔  2

1
OM = R 2
 OM 2 = R 2
Vậy S∆MPQ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R2 khi OM = R 2

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC CẠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2021 – 2022
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài : 120 phút không kể giao đề

Câu 1. (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau :
a ) A = 3 2 − 32 + 50
 1
x 
1 x ≥ 0
b) B = 
−
:


 x − 2 x − 4  x + 2  x ≠ 4

Câu 2. (2, 5 điểm)
a) Giải các phương trình sau: 1)2 x − 4 = 0
2) x 4 − x 2 − 12 = 0
2 x + y = 3
b) Giải hệ phương trình 
x − 2 y = 4

c) Một người đi xe máy từ huyện Ngân Sơn đến huyện Chợ Mới cách nhau 100km.
Khi về người đó tăng vận tốc thêm 10km / h so với lúc đi ,do đó thời gian về ít hơn
thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc đi của xe máy

Câu 3. (1,5 điểm)
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = 2 x 2 và y = − x + 2 trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm a, b để đường thẳng ( d ') : y = ax + b đi qua điểm M (1;2 ) và song song với

đường thẳng ( d ) : y = − x + 2
Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 4 = 0 (1)( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = 2
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn
x12 + 2 ( m + 1) x2 ≤ 2m 2 + 20

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các
đường cao AD, BE , CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh các tứ giác AEHF , BFEC nội tiếp đường tròn
b) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại điểm K khác điểm A. Gọi I là giao
điểm của hai đường thẳng HK và BC . Chứng minh I là trung điểm của đoạn
thẳng BC
AH BH CH
c) Tính
+
+
AD BE CF

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN – TỈNH BẮC CẠN 2021

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau :
a ) A = 3 2 − 32 + 50 = 3 2 − 4 2 + 5 2 = 4 2

Vậy A = 4 2
 1
x 
1
b) B = 
−
:
 x −2 x−4 x +2
Với x ≥ 0, x ≠ 4 ta có :

 1
x 
1
B=
−
=
:
x
−
4
x
−
2
x
+
2



Vậy B =

x +2− x

(

x −2

)(

x +2

)

.

x +2
=
1

2
x −2

2
, với x ≥ 0, x ≠ 4
x −2

Câu 2.
a) Giải các phương trình sau :

1)2 x − 4 = 0 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
2) Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 ) , khi đó phương trình trở thành : t 2 − t − 12 = 0
2

Ta có : ∆ = ( −1) − 4.( −12 ) = 49 = 7 2 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
 1+ 7
t = 2 = 4(tm)

t = 1 − 7 = −3(ktm)

2
x = 2
Với t = 4  x 2 = 4 ⇔ 
 x = −2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−2;2}

2 x + y = 3
b) Giải hệ phương trình 
x − 2 y = 4
2 x + y = 3
4 x + 2 y = 6
5 x = 10
x = 2
Ta có : 
⇔
⇔
⇔
x − 2 y = 4
x − 2 y = 4

 y = 3 − 2x
 y = −1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = ( 2; −1)

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


c) Một người đi xe máy từ huyện Ngân Sơn đến huyện Chợ Mới cách nhau
100km. Khi về người đó tăng vận tốc thêm 10km / h so với lúc đi ,do đó thời
gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc đi của xe máy
Gọi vận tốc lúc đi của xe máy là x ( km / h )( x > 0 )
100
(giờ)
x
Vận tốc lúc về của xe máy : x + 10 ( km / h )

Lúc đi, xe máy đi hết

Lúc về, xe máy đi hết

100
(giờ)
x + 10

1
Do lúc về xe máy tăng tốc nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút = h nên ta có
2
phương trình :
100 100

1
−
=  2 (100 x + 1000 − 100 x ) = x ( x + 10 )
x
x + 10 2
2
⇔ x + 10 x − 2000 = 0
∆ = 102 + 4.2000 = 8100 > 0  ∆ = 90
−10 + 90

x
=
= 40(tm)
1

2

 x = −10 − 90 = −50(ktm)
 2
2
Vậy vận tốc của xe máy là 40km / h
Câu 3.
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = 2 x 2 và đường thẳng y = − x + 2 trên cùng mặt phẳng

tọa độ Oxy
+) Đồ thị hàm số y = 2 x 2
Đồ thị hàm số y = 2 x 2 có hệ số a = 2 > 0 nên có bề lõm hướng lên, đồng biến khi x > 0,
nghịch biến khi x < 0 và nhận Oy làm trục đối xứng
Ta có bảng giá trị sau :
x

−2
−1
0
1

2

y = 2x2

8

8

2

0

2

 y = 2 x 2 là đường cong đi qua các điểm ( −2;8 ) , ( −1;2 ) , ( 0;0 ) , (1;2 ) , ( 2;8 )

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


+)Đường thẳng y = − x + 2
Ta có bảng giá trị:
x
0
y = −x + 2

2

2
0

 y = − x + 2 là đường thẳng đi qua các điểm ( 0;2 ) ; ( 2;0 )

b) Tìm a, b để đường thẳng ( d ') : y = ax + b đi qua điểm M (1;2 ) và song song với
đường thẳng ( d ) : y = − x + 2
 a = −1
Để d '/ / d thì 
 Phương trình đường thẳng ( d ') có dạng y = − x + b
b
≠
2

Lại có M (1;2 ) ∈ d ' nên thay tọa độ điểm M vào đường thẳng ( d ') ta có :

2 = −1 + b ⇔ b = 3(tm)
Vậy a = −1, b = 3

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Câu 4. x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
Khi m = 2 phương trình (1) trở thành x 2 − 6 x + 8 = 0
Ta có ∆ ' = 32 − 8 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1 = 3 + 1 = 4
x = 3 −1 = 2

 2
Vậy khi m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm S = {2;4}

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa

mãn x12 + 2 ( m + 1) x2 ≤ 2m 2 + 20
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
2

∆ ' > 0 ⇔ ( m + 1) − m 2 − 4 > 0
⇔ m 2 + 2m + 1 − m 2 − 4 ⇔ 2m > 3 ⇔ m >

3
( *)
2

 x1 + x2 = 2m + 2
Khi đó, áp dụng định lý Vi-et ta có : 
2
 x1 x2 = m + 4
Vì x2 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có :
x22 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 4 = 0 ⇔ 2 ( m + 1) x = x22 + m 2 + 4

Khi đó ta có :

x12 + 2 ( m + 1) x2 ≤ 2m 2 + 20 ⇔ x12 + x22 + m 2 + 4 ≤ 2m 2 + 20
2

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 ≤ m 2 + 16
2

⇔ 4 ( m + 1) − 2 ( m 2 + 4 ) ≤ m 2 + 16
⇔ 4m 2 + 8m + 4 − 2m 2 − 8 − m 2 − 16 ≤ 0
⇔ m 2 + 8m − 20 ≤ 0 ⇔ −10 ≤ m ≤ 2
Kết hợp với điều kiện (*) 

3
2

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Câu 5.

A
E
F

O
H

B

C
D

I

K

a)
Chứng minh các tứ giác AEHF , BFEC nội tiếp đường trịn
Xét tứ giác AEHF có ∠AEH + ∠AFH = 90° + 90° = 180° nên AEHF là tứ giác nội tiếp
(Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°)
Xét tứ giác BFEC có ∠BFC = ∠BEC = 90°  BFEC là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai
đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
b) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại điểm K khác A. Gọi I là giao
điểm của hai đường thẳng HK và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn
thẳng BC
Ta có : ∠ABK = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AB ⊥ BK
Mà CH ⊥ AB ( gt )  CH / / BK (từ vng góc đến song song)
Chứng minh tương tự ta có : BH / / CK
 BHCK là hình bình hành (tứ giác có các cạnh đối song song)
 2 đường chéo BC , HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CĨ LỜI GIẢI


Mà I = HK ∩ BC ( gt ) . Vậy I cũng là trung điểm của BC ( dfcm )

c) Tính

Đặt P =

AH BH CH
+
+
AD BE CF

AH BH CH

+
+
AD BE CF

HD
HE
HF
+1−
+1−
AD
BE
CF
 HD HE HF 
 P =3−
+
+

 AD BE CF 

 P =1−

1
HD 2 .HD.BC S HBC
Ta có :
=
=
AD 1 . AD.BC S ABC
2

Chứng minh tương tự :



BE S HAC HF S HBC
=
;
=
HE S ABC CF S ABC

HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC
+
+
=
+
+
=
=1
AD BE CF S ABC S ABC S ABC S ABC

Vậy P =

AH BH CH
+
+
= 3 −1 = 2
AD BE CF

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẾN TRE

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CÔNG LẬP
NĂM HỌC 2021 – 2022
Mơn:TỐN (chung)
Thời gian : 120 phút (khơng kể phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (1,0 điểm)
Dựa vào hình vẽ bên, hãy
a) Viết ra tọa độ các điểm M và P
b) Xác định hoành độ điểm N
c) Xác định tung độ điểm Q

Câu 2. (1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức : A = 9.32 − 2
x−5
b) Rút gọn biểu thức B =
với x ≥ 0
x+ 5
Câu 3. Cho đường thẳng ( d ) : y = ( 5m − 6 ) x + 2021 với m là tham số
a) Điểm O ( 0;0 ) có thuộc ( d ) khơng ? Vì sao ?
b) Tìm các giá trị của m để ( d ) song song với đường thẳng y = 4 x + 5

Câu 4. Vẽ đồ thị hàm số y =

1 2
x

2

Câu 5.
a) Giải phương trình 5 x 2 + 6 x − 11 = 0

ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 63 TỈNH NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI TỐN - CÓ LỜI GIẢI