Bài tập vecto và trường

BÀI TẬP
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
(Tháng 8/2017)

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường



     
1.1 Cho 3 vector: A  3a1  2a 2  a 3 ;B  a1  a 2  a 3
 


C  a1  2a 2  3a 3





Xác định: ( a ) A  B  4C

  
(b) Vector đơn vị dọc theo: A  2B  C
 

 
  
( c ) A.C;( d ) B  C; ( e )A.( B  C )

 


 
Ans: (a) 13; (b)( 2a1  a 2  2a 3 ) / 3; ( c ) 10;( d ) 5a1  4a 2  a 3
(e) 8
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.2 Cho 3 vector:

 

 
 
    
A  a1  2a 2  2a 3 ;B  2a1  a 2  2a 3 ;C  a1  a 2  a 3

  
Xác định: ( a ) A  ( B  C );

  
(b) B  ( C  A )
  
( c) C  ( A  B )

 




ans : (a) 2a1  a 2  2a 3 ;( b ) a1  2a 2  2a 3 ;


( c ) -3a1  3a 2
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.3 Cho 3 điểm: P1(1, -2,2), P2(3,1,0), và P3(5,2,-2). Xác định: (a)
Vecto hướng từ P1 đến P2 (còn gọi là RP1P2). (b) Khoảng cách từ
P2 đến P3. (c) Vecto đơn vị dọc theo đường thẳng từ P1 đến P3 .





  
ans : (a) 2a x  3a y  2a z ;( b ) 3; (c) (a x  a y  a z ) / 3




1.4 Cho trường vectơ: A  (x)a x  (2,5x)a y  3a z

Và điểm P(4, 5, 2). Xác định: (a) Vectơ AP (còn gọi là vectơ A tại

 

P). (b) Hình chiếu của AP theo hướng : a n  1 [2a x  a y  2a z ]
3

(c) Thành phần vectơ của AP theo hướng an. (d) Góc hợp bởi AP
và an.


 



o
Ans : (a) 5ax 10ay  3az ;(b)  2;(c) 1333a
,

0
,
667a


1
.
333a
(d)
100
x
y
z
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

(a) (0,  2,0)

Chương 1:

(c) (  2,0, 

Vector và trường

1.5 Cho
A(6, – 1, 2), B(– 2 , 3, – 4) và C(– 3, 1, 5). Tìm:
 3 điểm:

(a) R AB  R AC (b) Vectơ đơn vị pháp tuyến vng góc với mặt
ABC.








Ans : (a) 24a x  78a y  20a z ;( b ) 0,286a x  0,928a y  0.238a z
1.6 Tìm vecto đơn vị pháp tuyến hướng ra bên ngồi mặt kín 2x2
+ 2y2 + z2 = 8 tại các điểm :

( a ) ( 2, 2,0); (b) (1,1,2); (c) (1, 2, 2)
 
  
ans : (a) (a x  a y ) / 2 , (b) (a x  a y  a z ) / 3
  
(c) ( 2a x  a y  a z ) / 7
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.7 Cho hai hàm vô hướng :
2

2

2

1( x, y,z )  x  y  z
 2 ( x, y,z )  x  2 y  2 z
Tại điểm M(3, 4, 12), xác định :
(a)Tốc độ tăng cực đại của hàm 1 .
(b)Tốc độ tăng cực đại của hàm 2 .

(c)Tốc độ tăng của hàm 1 dọc theo hướng tăng cực đại của hàm
2 .

ans : (a) 26 , (b) 3, (c) 23 13
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.8 Cho hàm vô hướng V(x,y,z) = x2yz, xác định gradV ? Tính
rot(gradV) ? Tính div(gradV) ?



2 
2
ans: (2xyz)a x  (x z)a y  (x y)a z ; 0; 2yz
1.9 Cho vector:

xác định




2 
2
A  (xy)a x  (xy )a y  (x y)a z


divA

và


rotA

? Tính


div(rotA)

?




2
ans: y  2xy; (x )a x  (2xy)a y  (y  x)a z ; 0
2

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.10 Cho hàm vô hướng f = r.sin.cos, xác định gradf ? Tính
rot(gradf) ? Tính div(gradf) ?




Ans : sin cos a r  cos cos  .a  sin .a ; 0 ; 0
1.11
(a) Tính :
(b) Tính :




2 
divA khi A  (r )a r  (2sin )a





rotA khi A  (2 cos  )a r  (3rsin )a
Ans : (a) 4r 

4 cos 
r


(b)  4 sin  .a 

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường




A  (rcos )a r  (zsin )a z
 
Ad  dùng :

1.12 Cho vector:

xác định



C

a) Tích phân trên 3 cung của đường (C) ?
b) Dùng định lý Stokes ?

ans: 1
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.13 Cho vector trong hệ trụ :


3 
A  (r )a r

và S là mặt kín giới hạn bởi : r = 1, r = 2, z = 0 và z = 5.
Xác định



S

 

AdS

dùng :

a) Tích phân trên 4 mặt của S ?
b) Dùng định lý Divergence ?

ans: (a) I  10  160  0  0 (b) I  150π
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
1.14 Xác định mật độ điện tích khối tạo ra trường điện tĩnh có
vectơ cảm ứng điện :



2 
2
a) D  (8xy)a x  (4x )a y (C/m )



2 
2
b) D  (rsin )a r  (2rcos )a   (2z )a z (C/m )

2cosθ 

sinθ 
2
c) D  ( 3 )a r  ( 3 )a θ (C/m )
r
r

(Ans: 8y; 4z; 0 )
Bài tập TĐT– BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.15 Mơi trường  = 0, µ = µ0 tồn tại trường điện:



E  cos(ωt  βz)a x (V/m)

Biết /β = c, dùng hệ phương trình Maxwell tìm trường từ gắn
với trường điện trên ?

1.16 Mơi trường  = 0,  = 2,250 tồn tại trường từ :



H  cos(ωt  βz)a y (A/m)

Biết /β = 2c/3, dùng hệ phương trình Maxwell tìm trường điện
gắn với trường từ trên ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.17 Mơi trường  = 0, µ = µ0 ,  = 40 tồn tại trường điện:



8
E  20sin(10 t  βz)a y (V/m)

Dùng hệ phương trình Maxwell tìm β và cường độ trường từ gắn
với trường điện trên ?

1.18 Mơi trường  = 0, µ = 2µ0 ,  = 50 tồn tại trường từ:



H  2cos(ωt  3y)a z (A/m)

Dùng hệ phương trình Maxwell tìm  và cường độ trường điện

gắn với trường từ trên ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.19 Mặt phẳng xOy là biên của hai mơi trường. Mơi trường 1 (
z < 0) có µ1 = 6µ0 . Môi trường 2 ( z > 0) có µ2 = 4µ0 . Nếu trên
biên tồn tại dòng mặt : 
1 

JS 

μ0

a y (mA/m)

Và vectơ cảm ứng từ về phía mơi trường 2 :




B2  5a x  8a z (mWb/m 2 )

Tìm vectơ cảm ứng từ và cường độ trường từ về phía mơi

trường 1 ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.20 Mặt phẳng xOy là biên của hai mơi trường. Mơi trường 1 (
z > 0) có 1 = 20 . Môi trường 2 ( z < 0) có 2 = 80 . Nếu trên biên
tồn tại điện tích mặt :

ρS  3,54.10

11

2

(C/m )

Và vectơ cường độ trường điện về phía mơi trường 2 :





E 2  2a x  3a y  3a z (V/m)

Tìm vectơ cường độ trường điện về phía mơi trường 1 ?





E1  2a x  3a y  14a z (V/m)
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 1:

Vector và trường

1.21 Mặt phẳng 3x + 4y = 2 chia không gian thành 2 miền. Miền
1: 3x + 4y > 2, có µ1 = µ0 . Miền
 2: 3x + 4y < 2, có µ2 = 2µ0 . Nếu
trên biên tồn tại dòng mặt : J  10a (A/m)
S

z

Và vectơ cường độ trường từ về phía mơi trường 1 :





H1  6a x  8a y (A/m)

Tìm vectơ cường độ trường từ về phía mơi trường 2 ?




Ans: H2 11ax  2ay
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>