Tài liệu Chương 2: Mô hình hồi quy hai biến (tt) pdf

Chương 2

MƠ HÌNH HỒI QUY
HAI BIẾN (tiếp theo)


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
1. Các đại lượng ngẫu nhiên
a. Đại lượng ngẫu nhiên Ui

Theo giả thiết của phương pháp OLS, Ui là đại lượng ngẫu
nhiên có giá trị trung bình bằng 0 và phương sai khơng thay
đổi
Giả sử
Ui ~ N(0,σ2)
Khi đó σ2 được gọi là phương sai của tổng thể , rất khó tính được
nên thường được ước lượng bằng phương sai mẫu

ˆ
σ

2

∑e
=

2
i

n−2

=

ˆ )2
∑ (Yi − Yi
n−2

RSS
=
n−2


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
1. Các đại lượng ngẫu nhiên
a. Đại lượng ngẫu nhiên Ui

Ta có

Yi = β1 + β 2 X i + U i
Vì

Ui ~

Nên Yi ~

N(0,σ2)
N(β1+β2Xi,σ2)


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
1. Các đại lượng ngẫu nhiên

b. Đại lượng ngẫu nhiên

ˆ ˆ
β1 , β 2

ˆ ˆ
Mỗi mẫu thì chỉ tính được duy nhất một β1 , β 2
Nhưng tổng thể có rất nhiều mẫu và cách chọn mẫu là ngẫu nhiên nên
a.

βˆ , βˆ

Đại lượng
ngẫu nhiên
12

ˆ ˆ
β1 , β 2
2
ˆ
β1 ≈ N ( β1 , σ βˆ )
1
ˆ
β ≈ N ( β , σ 2ˆ )

Giả sử :

2

Trong đó

β2

ˆ
là phương sai của β1

2
σ βˆ

1

2
σ βˆ

2

2

ˆ
là phương sai của β 2

cũng ngẫu nhiên


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
1. Các đại lượng ngẫu nhiên
Với

2
σ βˆ =

1

σ

2
ˆ
β1

X i2
∑

n(∑ X i2 − nX 2 )

σ2 ≈

X i2
∑

n(∑ X i2 − nX 2 )

ˆ
σ2

ˆ2
σ
σ
=
≈
2
2

2
2
∑ X i − nX ∑ X i − nX
2

độ lệch chuẩn của

ˆ
β1

độ lệch chuẩn của

2
ˆ
se( β1 ) = σ βˆ

ˆ
β2

1

2
ˆ
se( β 2 ) = σ βˆ

2


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
1. Các đại lượng ngẫu nhiên

Vì :

2
ˆ
β1 ≈ N ( β1 , σ βˆ )
1

Nên :

2
ˆ
β 2 ≈ N ( β 2 , σ βˆ )
2

Nhưng do σ ước lượng bằng σ 2 dẫn đến
ˆ
2

b.

2

βˆ1,βˆ2

Đại lượng
ngẫu nhiên

ˆ
β1 − β1
≈ T (n − 2)

ˆ
se( β1 )
ˆ
β2 − β2
≈ T (n − 2)
ˆ
se( β )
2

ˆ
β1 − β1
≈ N (0,1)
ˆ
se( β1 )
ˆ
β2 − β2
≈ N (0,1)
ˆ
se( β )

Với T(n-2) phân
phối T-Student với
bậc tự do (n-2)


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Các khoảng tin cậy
a. Khoảng tin cậy của β2

ˆ

β2 − β2
t=
≈ T ( n − 2)
ˆ )
se( β 2

Vì

Nên khoảng tin cậy của β2 với độ tin cậy 1-α là

 ˆ
ˆ ); β + t × se( β ) 
ˆ 
 β 2 − t α × se( β 2 ˆ2
α
2 

2
2



tα
Với
2

có được khi tra bảng t-Student với bậc tự do (n-2),

mức ý nghĩa α/2

III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Các khoảng tin cậy
b. Khoảng tin cậy của β1

ˆ
β1 − β1
t=
≈ T ( n − 2)
ˆ)
se( β1

Vì

Nên khoảng tin cậy của β1 với độ tin cậy 1-α là

 ˆ
ˆ ); β + t × se( β ) 
ˆ 
 β1 − t α × se( β1 ˆ1 α
1 

2
2



tα
Với
2

có được khi tra bảng t-Student với bậc tự do (n-2),

mức ý nghĩa α/2


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Các khoảng tin cậy
Khoảng tin cậy của σ2

c.

Vì

ˆ
σ

2

là ước lượng của

σ

2

và người ta chứng minh được rằng

ˆ
σ 2 ( n − 2)
≈ χ 2 (n − 2)

σ2
Nên khoảng tin cậy của σ2 với độ tin cậy 1-α là

Với

χ

2
α


ˆ 2 ( n − 2).σ 2
ˆ
 (n − 2).σ
;
2
2

χα
χ1−α

2
2

2








có được khi tra bảng χ2 với bậc tự do (n-2), mức ý nghĩa α/2


Ví dụ áp dụng
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu tính khoảng
tin cậy của β1,β2 và σ2


Ví dụ áp dụng
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu tính khoảng
tin cậy của β1,β2 và σ2


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
a. Kiểm định giả thiết về β2

Ho:β2 = βo
H1:β2 ≠ βo

Với độ tin cậy là 1-α

Phương pháp khoảng tin cậy
Bước 1 : Lập khoảng tin cậy của β2
Bước 2 : Nếu β0 thuộc khoảng tin cậy
thì chấp nhận H0. Nếu β0 khơng
thuộc khoảng tin cậy thì bác bỏ H0

III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
a. Kiểm định giả thiết về β2

Phương pháp giá trị tới hạn (kiểm định t)
ˆ
β2 − β0
Bước 1 : tính giá trị tới hạn t =
ˆ
se( β 2 )

Bước 2 : tra bảng t-Student với bậc tự do (n-2) tìm tα/2
Bước 3 :
Nếu -tα/2 ≤ t ≤ tα/2 : chấp nhận giả thiết H0
Nếu t < -tα/2 hoặc t > tα/2 : bác bỏ giả thiết H0


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
a. Kiểm định giả thiết về β2

Phương pháp p-value
ˆ
β2 − β0
Bước 1 : tính giá trị tới hạn t =
ˆ
se( β 2 )

Bước 2 : Tính p_value = P(|t| > |tα/2|)

(tức là khả năng giả thiết H0 bị bác bỏ)
Bước 3 :
Nếu p_value > α : chấp nhận giả thiết H0
Nếu p_value ≤ α : bác bỏ giả thiết H0


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
b. Kiểm định giả thiết về β1

Ho:β1 = βo
H1:β1 ≠ βo

Với độ tin cậy là 1-α

Tương tự kiểm định giả thiết về β2 nhưng giá trị
tới hạn lúc này là

ˆ
β1 − β 0
t=
ˆ
se( β1 )


III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
2. Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy
c.

Kiểm định giả thiết về σ2

Ho:σ2 =σ02
H1:σ2 ≠ σ02

Với độ tin cậy là 1-α

Bước 1 : Lập khoảng tin cậy của σ2
Bước 2 :
• Nếu σ02 thuộc khoảng tin cậy thì chấp nhận H0.
• Nếu σ02 khơng thuộc khoảng tin cậy thì bác bỏ H0


Ví dụ áp dụng
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu kiểm định các
giả thiết sau
a)

Ho:β2 = 0
H1:β2 ≠ 0

Với độ tin cậy là 95%

b)

Ho:β1 = 0
H1:β1 ≠ 0

Với độ tin cậy là 99%

c)

Ho:σ2 =16
H1:σ2 ≠ 16

Với độ tin cậy là 95%



III. KiỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY
3. Kiểm định sự phù hợp của mơ hình
Kịểm định giả thiết
Ho:R2 = 0 Với độ tin cậy là 1- α
H1:R2 ≠ 0
Phương pháp kiểm định F
R 2 ( n − 2)
Bước 1 : tính F =
(1 − R 2 )
Bước 2 : Tra bảng tìm F(1,n-2), mức ý nghĩa là α
Bước 3 : Nếu F>F(1,n-2) , bác bỏ H0
Nếu F≤F(1,n-2) , chấp nhận H0


Ví dụ áp dụng
Từ số liệu đã cho của ví dụ trước , yêu cầu kiểm định sự
phù hợp của mơ hình