De thi chinh thuc vao 10 mon Toan De so 4 co loi giai chi tiet tron bo 110 de

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM: 2015 – 2016
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2015

Câu I. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3
2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến.

a  a 
a 5 a 
A  3 
  3 

a 1  
a  5 

3) Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0, a ≠ 25
Câu II. (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x  2mx  2m  10 0 (1), m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m = -3
2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho 2 x1  x2  4
Câu III. (1,0 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m. Tính chiều dài và

chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó.
Câu IV. (2,5 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp
tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là
tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.
1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.
DM CM

CE
2) Chứng minh rằng DE
3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD khơng đổi.
Câu V. (1,5 điểm)
a
5(a 2  1)
S 2

.
a 1
2a
1) Cho a là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M. Chứng
minh rằng MA + MB > MC + MD.

------HẾT-----


ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu I. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 3x + 2 = x + 3
 3 x  x 3  2

 2 x 1
1
 x
2
2) Tìm m để hàm số y = (m – 2 )x + 1 đồng biến.
Hàm số = (m – 2 )x + 1 đồng biến.
 m 2 0
 m2
Vậy m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến

a  a 
a 5 a 
A  3 
  3 

a 1  
a  5 

3) Rút gọn biểu thức
với a ≥ 0, a ≠ 25

a ( a  1)  
a ( a  5) 
 3 
  3 

a 1  
a  5 

(3  a )(3  a )

9  a
Câu II. (2,0 điểm)
2
Cho phương trình x  2mx  2m  10 0 (1), m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m = -3
2
Khi m =-3 (1) trở thành : x  6 x  16 0
 ' 32  16 25  0
 x1  3  5  8

x  3  5 2
PT có 2 nghiệm phân biệt  2
Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt : x = -8, x =2
2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 sao cho 2 x1  x2  4
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x , x ⇔ ∆’ > 0
 m 2  (2m  10)  0
1

2

 m 2  2m  1  9  0
 (m  1) 2  9  0 (ln đúng)
=> thì PT ln có 2 nghiệm phân biệt x , x .
 x1  x2 2m

 x1 x2 2m  10
2 x  x  4
Theo Vi –ét và đầu bài cho ta có :  1 2
1

2


  4  x1 2m

  x1 x2 2m  10
 x  4  2 x
1
 2
 x1  4  2m

  x2 4  4m
 x x 2m  10(*)
 1 2
Thay x , x vào (*) ta có :
(  4  2m)(4  4m) 2m  10
1

2

 8m 2  26m  6 0
 4m 2  13m  3 0
 132  4.4.3 121  0
 13  11

 3
 m1  8
 
(TM )
 m   13  11   1

 2
8
4
1
Vây m =- 3 hoặc m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu III. (1,0 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m. Tính chiều dài và
chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó.
Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 < a < 28)
Chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là b (m) (0 < a < b)
Chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là 28 m nên :
(a + b).2 = 28
 a + b = 14 (1)
Đường chéo của hình chữ nhật 10 m nên :
a 2  b 2 102
 a 2  b 2 100(2)
a  b 14
 2
a  b 2 100
Từ (1) và (2) ta có hệ PT 
Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) được :
a 2  (14  a )2 100
 a 2  196  28a  a 2 100
 2a 2  28a  96 0
 a 2  14 a  48 0
 ' 49  48 1
 a 7  1 6  b 8(loai)
 
 a 7 1 8  b 6(tm)
Vậy chiều dài của HCN là 8m

Chiều rộng của HCN là 6m
Câu IV. (2,5 điểm)


Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp
tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là
tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.

1) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường trịn.
Vì AC là tiếp tuyến của (O) nên OA ⊥ AC => OAC = 90o
Vì MC là tiếp tuyến của (O) nên OM ⊥ MC => OMC = 90o
=> OAC + OMC = 180o. Suy ra OACM là tứ giác nội tiếp
DM CM

CE
2) Chứng minh rằng DE
Xét hai tam giác vng OAC và OMC có
OA OM R
 OAC OMC

chung _ OC
(cạnh huyền – cạnh góc vng)
CM CA
DM DB


CE CE . Tương tự ta có DE DE
⇒ CA = CM
CA CE
CA DB

CM DM





CE DE
CE
DE
Mà AC // BD (cùng vng góc AB) nên DB DE
3) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD khơng đổi.
1
OAC OMC  AOC MOC  AOC  AOM
2
Vì
1
BOD  BOM
2
Tương tự:
1
AOC  BOD  ( AOM  BOM ) 90o
2
Suy ra


o
Mà AOC ACO 90  ACO BOD
AO AC
 AOC ~ BDO( g.g ) 


 AC.BD  AO.BO R 2
BD BO
(không đổi, đpcm)
Câu V. (1,5 điểm)
a
5(a 2  1)
S 2

.
a 1
2a
1) Cho a là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 2 số dương, ta có:


a
a2 1
a a2 1


2
.
1
a 2 1
4a
a 2  1 4a
a 2 1
9 a 2 1 9
2
2

a  1 2 a .1 2a 
2  .

a
4 a
2
9 11
 S 1  
2 2
 a
a 2 1

 a2 1
4a
 2
 a 1  a 1
a  0


Dấu bằng xảy ra
11
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2 , xảy ra khi a = 1.
2) Cho đường tròn (O,R) và hai dây cung AB, CD (AB > CD). Hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M. Chứng
minh rằng MA + MB > MC + MD.

Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD. Suy ra OE ⊥ AB, OF ⊥ CD
Có MA + MB = (MB + BA) + MB = (MB + 2BE) + MB = 2(MB + BE) = 2ME
Tương tự MC + MD = 2MF
Vì ∆ MOE vuông tại E nên ME =
Tam giác AOE vuông tại E nên

MO 2  OE 2

OE 2  AO 2  AE 2 R 2 

AB 2
MO  R 
4
Suy ra MA + MB = 2ME = 2
CD 2
MO 2  R 2 
4
Tương tự MC + MD = 2MF = 2
Mà AB > CD => MA + MB > MC + MD (đpcm)
2

2

AB 2
4