De thi chon HSG lớp 6

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6
Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính
5.(22.32)9.(22)6 - 2.(22.3)14.34
A=
5.228.318 - 7.229.318
1)
�
�
12 �
B = 81. �
�
�4 �
2)

12 12 12
5
5
5�
5+ +
+ �
158158158
7 289 85 :
13 169 91�
.
�
4
4
4
6
6
6 �711711711

6+ +
+ �
7 289 85
13 169 91�

Câu II: (4.0 điểm)1) So sánh P và Q
Biết

P =

2010 2011 2012
2010  2011  2012
+
+
Q 
2011  2012  2013
2011 2012 2013 và

2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và
a + 21 = b.
Câu III: (4.0 điểm)
1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4yM37 thì 13x + 18yM37
2

2) Cho

3

4

2012

��
1 3 ��
3� ��
3� ��
3�
3�
�
�
�
�
�
�
�
A = + +�
+
+
+
...
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�

�
�
�
2 2 ��
2� ��
2� ��
2�
2�
��

2013

�3 �
B � � :2
�2 �
và
. Tính B �A

Câu IV. (6.0 điểm)
�
Cho xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm . Trên tia đối của tia Ax lấy
điểm D sao cho AD = 4 cm.
1) Tính BD.
�
�
�
2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD = 80�, BCA = 45�. Tính ACD �
3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK
Câu V: (2.0 điểm)

x 3
1
=
18
1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 y
2) Tìm số tự nhiên n để phân số

B=

10n - 3
4n - 10 đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó.
- HẾT –

1


ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6

KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
Câu

Nội dung

Điể
m

A=

a) Ta có:

5.(22.32)9.(22)6 - 2.(22.3)14.34
5.228.318 - 7.229.318

=

5.218.318.212 - 2.228.314.34
5.228.318 - 7.229.318

=

5.230.318 - 229.318
228.318(5 - 7.2)

=

229.318(5.2 - 1) 2.9
=
=- 2
228.318(5 - 14) - 9

0.5

0.5

0.5

0.5

KL: …..
Câu 1

b) Ta có:
0.5
�
�
12 �
B = 81. �
�
�4 �
��
�
12�
1�
�
�
�
= 81. �
��
�
4�
1�
�
�
��

12 12 12
5
5
5�
5+ +

+ �
158158158
7 289 85 :
13 169 91�
.
�
4
4
4
6
6
6 �711711711
6+ +
+ �
7 289 85
13 169 91�
�
� � 1
�
1
1
1�
1
1�
�
�
�
�
5
1

+
+
+
�
�158.1001001
�
�
� 13 169 91�
7 289 85�
� �
�
�
:
.
�
� � 1
�
711.1001001
1
1
1�
1
1
�
�
�
�
6�
1+ +
+ �

�
�
�
� 13 169 91�
7 289 85�
� �
�
�

�
12 5�
158
18 2 324
�
= 81.�
: �
.
�
�
�
�711 = 81. 5 . 9 = 5 = 64,8
�4 6�
Câu 2
a) Ta có:

2

Q=

2010 + 2011+ 2012

=
2011 + 2012 + 2013

0.5

1,0


ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6
=

Ta

2010
2011
2012
+
+
2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013

1.0

2010
2010
<
có: 2011+ 2012 + 2013 2011
0.75

2011
2011

<
2011+ 2012 + 2013 2012
2012
2012
<
2011+ 2012 + 2013 2013
Q<

0.25

2010 2011 2012
+
+
2011 2012 2013 . Kết luận: P > Q

b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:
+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n
khác 0, sao cho:
a = 21m ; b = 21n �
và ƯCLN(m, n) = 1
+ Vì

BCNN ( a,b) = 420

( 1)
0.5

( 2)
, nên theo trên, ta suy ra:

0.5

� BCNN ( 21m; 21n) = 420 = 21.20
� BCNN ( m; n) = 20

( 3)

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:
� 21m + 21 = 21n � 21.( m + 1) = 21n � m + 1 = n

( 4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện

( 2) và ( 3) ,thì

chỉ có

3

0.5

0.5


ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6
Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn
điều kiện

( 4)

Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải
tìm là:
a = 21.4 = 84 ; b = 21.5 = 105�
a) Ta có: 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y) = 65x + 90y - 28x - 16y

0.5

= 37x + 74y = 37(x + 2y)M37
0.5

( *)
Hay 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y)M37

0.5

( 4;37) = 1 nên 4( 7x + 4y) M37
Vì 7x + 4y M37 , mà
Do đó, từ

( *)

5( 13x + 18y) M37

suy ra:

, mà

0.5

( 5; 37) = 1 nên

13x + 18yM37
Câu 3

b) Ta có:
2

3

4

2012

��
��
��
1 3 ��
3
3
3
3
�
�
�
�
A = + +�
+�
+�
+ ... + �

��
��
��
��
�
�
�
�
�
2 2 �
2� �
2� �
2�
2�
��
��
��
��

2
3
2013
��
3
3 ��
3� ��
3� ��
3�
3�
�

�
�
�
� A = + ��
+ ��
+ ��
+ ... + ��
� �
� ��
�
�
�
�
2
4 �
2�
2�
2�
2�
��
��
��

Lấy

( 1)

0.5

( 2)

0.5

( 2) – ( 1) ta được:
2013

��
3
3
3 1 3
�
A - A =�
+ - ��
�
�
�
2
2�
4 2 2

0.5

2013

��
1
3�
1
32013 1
�

�
A =�
+ � A = 2012 +
�
�
�
2
2�
4
2
2
�

4

0.5


ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6

Vậy
Câu 4

B- A=

32013 32013 5
+
22014 22012 2

Hình vẽ:

0.5

a) Vì B thuộc tia Ax , D thuộc tia đối của tia Ax

� A nằm giữa D và B

0.5
0.5
0.5

� BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm). KL:…..
b) Vì A nằm giữa D và B � Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

0.5

�
� = BCD
�
� ACD
+ ACB

0.5

� = BCD
� �ACB
� = 80��45�= 35�
ACD
KL:….

0.5

c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

0.25

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

0.25

- Suy ra: AK + K B = AB

0.25

� K B = AB �AK = 6 �2 = 4 (cm)

0.25

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: K B = K A + AB

5

0.5

0.25
0.25
0.25

ĐỀ KIỂM TRA HSG MƠN TỐN 6
� K B = 6 + 2 = 8 (cm)

0.25

* Kết luận: Vậy K B = 4 cm hoặc K B = 8 cm

x 3
1
x
1
3
2x - 1 3
=
� = �
=
9
y
18
9
18
y
18
y
a) Từ

0.25

� ( 2x � 1) .y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9

Vì x là số tự nhiên nên 2x �1 là ước số lẻ của 54.
Ta có bảng sau:
2x �1

1

3

9

27

x

1

2

5

14

y

54

18

6

2

0.25
0.25
0.25

Vậy (x;y) = (1;54); (2;18); (5;6); (14;2)
Câu 5
b)

B=

10n - 3
22
= 2, 5 +
4n - 10
4n - 10

Vì n �� nên

B = 2,5 +

22
22
4n - 10 đạt GTLN khi 4n - 10 đạt

0.25

0.25

GTLN.
22
Mà 4n - 10 đạt GTLN 4n �10 là số nguyên dương nhỏ nhất.

- Nếu 4n �10 = 1 thì

n 

11
��
4
(loại)

- Nếu 4n �10 = 2 thì n = 3 (thỏa mãn)
Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3 .
(Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

6

0.25
0.25