De cuong on thi

Facebook : Tú Lê – Từ trang 56 – 60
1
1
1


1
2
2
2
Chứng minh: 2  a b 2  b c 2  c a

Hướng dẫn giải
Ta dễ tìm thấy điểm dơi đạt tại a = b = c = 1
Với điểm dơi trên ta có :
2  a 2b 1  1  a 2b 3 3 a 2b 

a 2b
a 2b
1

 3 a 4b 2
2 2
2a b
3 3 a 2b 3

Ta có:

1
1
a 2b  1  1 3 4 2  1 1 3 4 2


1

a b  
ab

  1
2  a 2 b 2  2  a 2b  2  3
 2 6
1 1
   a 2  2ab 
2 18

a
a 2  2ab
a b a a.b.b   a  2b  
3
3
Vì :
3



4 2

3

1
1 1 2
 

 c  2ac 
2  a 2b 2 18

1
1 1 2
1
1 1 2
 
b  2bc  ;
 

 c  2ca 
2
2
2  c a 2 18
Tương tự : 2  b c 2 18
1
1
1
3 1
3 1
2


 
 a  b  c    1
2
2
2
2 2

Vậy : 2  a b 2  b c 2  c a 2 18

Đẳng thức xảy ra : a b c 1
Ví dụ 2.33. Cho a, b, c  0 và a  b  c 3
a
b
c
3
 3
 3

Chứng minh : b  ab c  bc a  ca 2
3

Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại a b c 1

a
a
1 a
1
b2  1 
b  1
1


.

1


 1
 


3
2
2 
2
b  ab b  b  a  b a  b b  a  b  b  2 a  b 2 a
Ta có :

b
1
1
c
1
1
 
; 3
 
Tương tụ : c  bc c 2 b a  ca a 2 c
3


1

1 1 
1
1
1

1 1 1 1 3
   1 


    
2 a 2 b 2 c 4 a b c 4
Mặt khác ta có: 2 a 4  a 
a
b
c
9
 1 1 1 1 1 1 1 3 3
 3
 3
 3
           
 1 
b  ab c  bc a  ca  a b c  4  a b c  4 4  a  b  c  2
3

Lời bình: Qua các ví dụ trên, ta có thể đưa ra cách tác cho dễ dàng như sau:

M
M
K
M 
N 
 .
 . 1 


Ta ghi nhớ: K  N K K  N K  K  N  với K là hằng số khác 0
1
a2
1
1
2
1
a2 

1

;

;

1



1  a2
1  a2 2  a2 2 2  a2 2 
2  a2 

a
1
b2

a
.


a
1


2
1  b2
1  b2
 1 b

 a 1

b2 
;

a

1
.
1





2
2 
 1 b
 1 b 



a
1
b2c 
1
1
2
1
a 2b 

a
.

a
1

;

.

1




2 
2
2
1  b2c
1  b2c
2  a 2b 

 1 b c  2  a b 2 2  a b 2 


a3
a2
b2 
a2
a
2b 2 

a
.

a
1

;

a
.

a
1





a3  b2
a2  b2

a 2  b 2  a  2b 2
a  2b 2
a  2b 2 



a
a
1 a
1
b2 

 .
 1

b3  ab b  b 2  a  b a  b2 b  a  b 2 
3. Điểm rơi của biểu thức không đối xứng và kỹ thuật liên quan
3.1 Biểu thức không đối xứng với các biến

P 5 x  3 y 
Cho biểu thức

10 8

x y

Nếu ta hốn đổi vai trị của x,y cho nhau thì biểu thức P sẽ thay đổi nên ta nói biểu thức P không
là biểu thức đối xứng với vai trị các biến khơng bình đẳng với nhau. Vậy điểm dơi x # y
3.2 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa
Ví dụ 2. 34. Cho a, b  0 và thỏa mãn a  b 3

Tìm GTNN của biểu thức

P a  b 

1 2

2a b

Hướng dẫn giải
Ta giả sử điểm rơi đạt tại:

a  x, b  y  x, y  0   x  y 3

Dựa trên liên hệ x và y ta đặt:
x ty  t  0   x  y  y.  t  1 3  y 

3
t 1


P
Khi đó thì:

t 1 2
1 32 9
 1 2t  32
  t  1  3     2
 
6t 3
9 6 2

 6t 3  6

1 2t
1
b
  t  0   t   a  ; a  b 3  a 1; b 2
2
2
Đẳng thức xảy ra khi: 6t 3
9
MinP   a 1, b 2
2
Vậy

Lời bình: Khi đã biết điểm dơi đạt tại a 1, b 2
Ta tách như sau:
M a  b 

1 2  1 a   2 b  a b
1
3 9
 
     
2
2 
2a b  2a 2   b 2 
2
4
2 2

Ví dụ 2.35. Cho a, b  0 và a  b 6
Tìm GTNN của biểu thức

P 3a  2b 

6 8

a b

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm dơi đạt tại:
Ta đặt :

a  x, b  y  x, y  0   x  y 6

x ty  t  0   x  y  y  t  1 6  y 

6
6t
 x
t 1
t 1

4  t  1 1 
18t  12 t  1 4  t  1 
6t
P



 12 

   1 3 3 8 13 19
t 1
t
3
t

1
3
t

Khi đó thì :

6t 4  t  1 1
1

  t  0   t   a 2; b 4
3
t
2
Đẳng thức xảy ra khi: t  1
Vậy : MinP 19  a 2, b 4
Lời bình : Khi đã biết điểm rơi đạt tại a 2, b 4
Ta tách như sau:

6 8  6 3a   8 b  3
3
P 3a  2a            a  b  2.3  2.2  .6 19
a b  a 2   b 2 2

2
Ví dụ 2.36 Cho a, b  0 và

a b 

5
4 1
P 
4 . Tìm GTNN của biểu thức
a 4b

( Trích ĐTTS vào lớp 10, Bắc Giang năm học 2008-2009)
Hướng dẫn giải


Ta giả sử điểm dơi đạt tại:

a  x, b  y  x, y  0   x  y 

5
4