Lý thuyết về giới hạn dãy số-phần 1

Lý thuyết về giới hạn dãy số
Lê Văn Phong
2021

1

Giới hạn

Giới hạn dãy số
Cho f : N → R. Với an = f (n) ∈ R, ∀n ∈ N thì tập hợp {an }n≥1 = {a1 , a2 , . . . , ak , . . .} được gọi là
một dãy số thực.
Định nghĩa 1.1 (Giới hạn dãy số thực). Số thực a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy số thực
{an }n≥1 nếu với mọi số ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 thì |an − a| < ε. Kí hiệu: lim an = a,
n→∞

hoặc an → a khi n → ∞.
Định lý 1.2. Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy số thực hội tụ tới hai giá trị khác nhau là a, b ∈ R mà a > b.
a−b
Khi đó với ε =
> 0, ∃n1 ∈ N sao cho ∀n ≥ n1 thì |an − a| < ε. và ∃n2 ∈ N sao cho ∀n ≥ n2
2
a+b
a+b
= a − ε < an < b + ε =
.
thì |an − b| < ε. Suy ra với mọi n ≥ n0 = max {n1 , n2 }, thì
2
2
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng mọi dãy hội tụ đều có một giới hạn duy nhất.
Định lý 1.3. Cho {an }, {bn } là hai dãy số thực hội tụ. Giả sử ∃n0 ∈ N, sao cho an ≤ bn , ∀n ≥ n0 .

Khi đó lim an ≤ lim bn .
n→∞

n→∞

a−b
> 0,
2
∃n1 ∈ N sao cho ∀n ≥ n1 thì |an − a| < ε và ∃n2 ∈ N sao cho ∀n ≥ n2 thì |bn − b| < ε. Mà
a+b
a+b
an ≤ bn , ∀n ≥ n0 nên ∀n ≥ N = max {n0 , n1 , n2 }, thì
= a − ε < an ≤ bn < b + ε =
.
2
2
Điều mâu thuẫn này bác bỏ giả thuyết phản chứng, do đó ta có lim an ≤ lim bn .
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng lim an = a > b = lim bn . Khi đó với ε =
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.4. Dãy {an } được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại a ∈ R : an ≤ a, ∀n ∈ N, được gọi
là bị chặn dưới nếu tồn tại b ∈ R : an ≥ b, ∀n ∈ N, và gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa
bị chặn dưới.
Bổ đề 1.5 (Giới hạn của dãy đơn điệu). Dãy {an } được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu

giảm) nếu an+1 ≥ an (tương ứng an+1 ≤ an ) ∀n ∈ N.
a. Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
1


b. Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy số thực đơn điệu tăng và bị chặn trên. Do {an } là một tập con
của R và bị chặn trên nên nó tồn tại một cận trên đúng là α = sup{an } ≥ an ∀n ∈ N. Nên với ε > 0
bất kỳ thì α − ε khơng là cận trên đúng của {an }. Do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho α − ε < an0 < α,
khi đó ∀n ≥ n0 thì an ≥ an0 (do {an } là một dãy đơn điệu tăng). Suy ra ∃n0 mà ∀n ≥ n0 thì
α − ε < an0 ≤ an ≤ α < α + ε, hay |an − α| < ε. Chứng tỏ dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên {an }
hội tụ tại sup{an }. Chứng minh hoàn toàn tương tự với dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội
tụ tại cận dưới đúng của nó.
Định lý 1.6. Một dãy số thực hội tụ thì nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy số thực hội tụ tới a ∈ R. Khi đó ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho
∀n ≥ n0 thì |an − a| < ε. Từ đó suy ra ∀n ≥ n0 , |an | = |(an − a) + a| ≤ |an − a| + |a| < ε + |a|.
Đặt M = max {|a1 |, |a2 |, . . . , |an0 |, |a| + ε} thì |an | < M, ∀n ∈ N. Nghĩa là tồn tại M > 0 sao cho
|an | < M, ∀n ∈ N, chứng tỏ dãy {an } bị chặn.
Định lý 1.7 (Nguyên lý Cantor). Mọi dãy đoạn con lồng nhau thắt lại có một điểm chung duy
nhất.
Chứng minh. Giả sử [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ . . . là một dãy đoạn con lồng nhau
và thắt lại, nghĩa là lim (bn − an ) = 0. Khi đó a < a1 < . . . < an < . . . < bn < . . . < b1 < b.
n→∞

Hay {an } là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi bk bất kỳ, nên nó tồn tại giới hạn hữu hạn
α = sup {an } ∈ R. Nhận thấy rằng α < bn , ∀n ∈ N, thật vậy, giả sử phản chứng rằng tồn tại n0
sao cho α > bn0 . Vì an ≤ bn0 ∀n ∈ N, nên lim an = α ≤ bn0 , mâu thuẫn với giả thiết phản chứng
n→∞

∞

trên, chứng tỏ α ∈ [an , bn ] , ∀n ∈ N. Nghĩa là α ∈

[an , bn ]. Tiếp theo ta chứng minh tính duy

n=1
∞

nhất của α. Giả sử rằng tồn tại β ̸= α, mà β ∈

[an , bn ]. Khi đó do α, β ∈ [an , bn ] ∀n ∈ N, nên
n=1

|α − β| ≤ |an − bn | ∀n ∈ N. Lấy giới hạn hai vế của bất phương trình trên khi n → ∞, ta được
0 < |α − β| ≤ lim |an − bn | = 0. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ tính tồn tại duy nhất của α.
n→∞

Định lý 1.8 (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass). Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa ít nhất một dãy
con hội tụ.
Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy bị chặn, tức tồn tại a ≤ b ∈ R sao cho a ≤ an ≤ b ∀n ∈ N.
Ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy con hội tụ của {an }. Thực hiện chia đoạn [a, b] thành hai đoạn con
bằng nhau. Khi đó tồn tại ít nhất một đoạn con chứa vơ hạn các phần tử của dãy {an }, vì nếu
khơng thì cả hai đoạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử của {an }, tức là đoạn [a, b] chỉ chứa hữu hạn
b−a
các phần tử của {an }. Ta gọi đoạn con đó là [a1 , b1 ] với (b1 − a1 ) =
, sau đó chọn một phần
2
tử an1 của dãy nằm trong nó. Trong đoạn con thứ k của lần lập luận thứ k tương tự trên là [ak , bk ]
b−a
với (bk − ak ) =

ta chọn một phần tử ank của dãy nằm trong nó. Lặp lại lập luận trên vô
2k
hạn lần ta được một dãy đoạn con [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [ak , bk ] ⊃ . . . lồng nhau và
b−a
thắt lại, nghĩa là lim (bk − ak ) = lim
= 0, và chọn được một dãy con {ank }k≥1 của {an }.
k→∞
k→∞ 2k
2


∞

Theo nguyên lý Cantor thì tồn tại duy nhất α ∈

[ak , bk ]. Mặt khác do ank , α ∈ [ak , bk ] nên
k=1

0 ≤ ank − α ≤ |ak − bk | → 0 khi nk ≥ k → ∞. Điều đó chứng tỏ lim ank = α, tức là tồn tại dãy
k→∞

con {ank } ⊂ {an } hội tụ.
Định nghĩa 1.9 (Dãy Cauchy). Dãy số thực {an } được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0 tồn tại
n0 (chỉ phụ thuộc vào ε) sao cho ∀m ≥ n ≥ n0 thì |am − an | < ε.
Định lý 1.10 (Nguyên lý Cauchy). Dãy số thực {an } hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Chứng minh. Giả sử {an } là một dãy hội tụ tới α ∈ R, tức là với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho
ε
với mọi n ≥ n0 thì |an − α| < . Khi đó với mọi m ≥ n ≥ n0 thì |am − an | = |(am − α) + (α − an )| ≤
2
ε ε

|am − α| + |α − an | < + = ε. Nghĩa là {an } là một dãy Cauchy.
2 2
Ngược lại, nếu {an } là một dãy Cauchy, với ε = 1 > 0, ∃n0 : ∀m ≥ n ≥ n0 thì |am −an | < ε = 1.
Cố định n = n1 thì ∀m ≥ n1 ≥ n0 thì |am − an1 | < 1. Suy ra |am | = |(am − an1 ) + an1 | ≤
|am −an1 |+|an1 | < 1+|an1 |. Do đó nếu đặt M = max{|a1 |, . . . , |an1 |, 1+|an1 |} thì |am | < M ∀m ∈ N,
tức là {am } là một dãy bị chặn nên theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass, tồn tại một dãy con
{amk } ⊂ {am } hội tụ đến một giá trị hữu hạn β nào đó thuộc R. Ta sẽ chứng minh rằng {am }
cũng hội tụ đến giá trị hữu hạn β đó. Thật vậy, do {amk } là một dãy hội tụ đến β, nên với mọi
ε0
ε0 > 0 thì tồn tại n2 sao cho ∀mk ≥ n2 thì |amk − β| <
. Mặt khác, do {am } là dãy cauchy,
2
ε0
. Suy ra với mọi
nên với ε0 > 0 ở trên, tồn tại n3 sao cho ∀m ≥ mk ≥ n3 thì |am − amk | <
2
ε0
ε0
m ≥ mk ≥ max{n2 , n3 } thì |am − β| ≤ |am − amk | + |amk − β| <
+
= ε0 . Điều đó chứng tỏ
2
2
dãy {am } cũng hội tụ đến β.
Bổ đề 1.11. Một dãy Cauchy con được gọi là dãy cơ bản.
i. Một dãy cơ bản thì bị chặn
ii. Nếu một dãy cơ bản có một dãy con hội tụ thì dãy cơ bản đó cũng hội tụ đến giá trị đó.
Nhận xét 1.12 (Ý nghĩa vể sự hội tụ của dãy cơ bản ). Việc biết được giá trị hội tụ của đa số các
dãy số thực là một bài tốn khó. Nên việc chỉ ra một dãy có hội tụ hay khơng bằng định nghĩa khi
đó trở nên rất khó khăn. Chính vì vậy việc chỉ ra một dãy là một dãy Cauchy tương ứng với một

dãy hội tụ là phương pháp mà ta chỉ cần sử dụng chính nội hàm các yếu tố cấu thành nên dãy số
đó mà khơng cần biết chính xác giá trị hội tụ của nó là bao nhiêu. Tương tự ta cũng có thể phát
biểu cho điều kiện để một dãy được gọi là phân kỳ là:
Dãy số thực {an } được gọi là phân kỳ nếu ∃ε0 > 0, sao cho ∀n0 , ∃m > n ≥ n0 thì |am −an | ≥ ε0 .

3