So hoc 6 Chuong III 6 So sanh phan so

Ngày soạn: 12/01/2011

SO SÁNH PHÂN SỐ

Thời lượng 6 tiết:
Để so sánh 2 phân số , tùy theo một số trường hợp cụ thể của đặc điểm các phân số , ta có thể
sử dụng nhiều cách tính nhanh và hợp lí .Tính chất bắc cầu của thứ tự thường được sử dụng (
a c c m a m
 &  thì 
b d d n
b n ), trong đó phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan
trọng.Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp so sánh phân số
PHẦN I: CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH .
I/CÁCH 1:
Quy đồng mẫu dương rồi so sánh các tử :tử nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
 11 17
&
 18 ?
Ví dụ : So sánh 12
 11  33 17  17  34
 33  34
 11 17

&


Vì



36

 18 18
36 ;
36
36
12  18
Ta viết : 12
Chú ý :Phải viết phân số dưới mẫu dương .
II/CÁCH 2:
Quy đồng tử dương rồi so sánh các mẫu có cùng dấu “+” hay cùng dấu “-“:
mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn .
2
2
3 3

vì  5   4;
 vì 7  5
7 5
Ví dụ 1 :  5  4
2 5
&
Ví dụ 2: So saùnh 5 7 ?
2 10 5 10
10 10
2 5
 & 
Vì

 
25 24
5 7

Ta có : 5 25 7 24 ;
3 6
&
7 ?
Ví dụ 3: So sánh 4
3 3
6
6 6
6
6
3 6
  &

Vì



8 7
4
7
Ta có : 4  4  8 7  7 ;
III/CÁCH 3:

Chú ý : Khi quy đồng tử các phân số thì phải viết các tử dương .
(Tích chéo với các mẫu b và d đều là dương )
a c
a c
a c




+Nếu a.d>b.c thì b d
+ Nếu a.d
5 7
 vì5.8  7.6
Ví dụ 1: 6 8
4 4

vì  4.8   4.5
8
Ví dụ 2: 5
3
4
3 3 4 4
3
4
& ?
 &


 5 5 ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên  4  5
Ví dụ 3: So sánh  4  5 Ta viết  4 4


Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương
3 4

vì chẳng hạn  4 5 do 3.5 < -4.(-4) là sai

IV/CÁCH 4:

Dùng số hoặc phân số làm trung gian .

1) Dùng số 1 làm trung gian:
a
c
a c
 1&1   
d
b d
a) Neáu b
a
c
a c
 M 1;  N 1

d
b) Nếu b
mà M > N thì b d

M,N là phần thừa so với 1 của 2 phân số đã cho .
Phân số nào có phần thừa lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
a
c
a c
 M 1;  N 1

d
c) Nếu b

mà M > N thì b d
 M,N là phần thiếu hay phần bù đến đơn vị của 2 phân số đó.
 Phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
 Bài tập áp dụng :
19 2005
&
?
Bài tập 1: So sánh 18 2004
19 1
2005
1
1
1
19 2005

1&

1 Vì 


2004 2004
Ta có : 18 18
; 18 2004 18 2004
72 98
& ?
Bài tập 2: So sánh 73 99
72 1
98 1
1
1

72 98
 1&  1
Vì 


99 99
73 99
73 99
Ta có : 73 73
;
7 19
7
19
7 19
& ?
1  
17
9 17
Bài tập 3 : So sánh 9 17 Ta có 9



2) Dùng 1 phân số làm trung gian :(Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất , có mẫu là mẫu
của phân số thứ hai)
18 15
18
&
Ví dụ : Để so sánh 31 37 ta xét phân số trung gian 37 .
18 18 18 15
18 15

 &



31 37
Vì 31 37 37 37
*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số nào vừa có tử lớn hơn , vừa có mẫu nhỏ hơn
thì phân số đó lớn hơn (điều kiện các tử và mẫu đều dương ).
a c c m a m
 &  thì 
b n
*Tính bắc cầu : b d d n
 Bài tập áp dụng :
72 58
& ?
Bài tập 1: So saùnh 73 99


72
72 72 72 58
 &
 
-Xét phân số trung gian là 99 , ta thấy 73 99 99 99
58
72 58 58 58
 & 

-Hoặc xét số trung gian là 73 , ta thaáy 73 73 73 99
n
n 1

&
;(n  N * )
Bài tập 2: So sánh n  3 n  2
n
Dùng phân số trung gian là n  2
n
n
n
n 1
n
n 1

&



;(n  N * )
n 3 n 2
Ta coù : n  3 n  2 n  2 n  2

72 58

73 99
72 58

73 99

Bài tập 3: (Tự giải) So sánh các phân số sau:
12 13
456 123

& ?
&
?
a) 49 47
e) 461 128
64 73
2003.2004  1 2004.2005  1
& ?
&
?
2004.2005
b) 85 81
f) 2003.2004
19 17
149 449
& ?
&
?
c) 31 35
g) 157 457
67 73
1999.2000
2000.2001
& ?
&
?
d) 77 83
h) 1999.2000  1 2000.2001  1
(Hướng dẫn : Từ câu a  c :Xét phân số trung gian.
Từ câu d  h :Xét phần bù đến đơn vị )

3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
12 19
& ?
Ví dụ : So sánh 47 77

1
Ta thấy cả hai phân số đã cho đều xấp xỉ với phân số trung gian là 4 .
12 12 1 19 19 1
12 19

 &

 

47 77
Ta coù : 47 48 4 77 76 4

 Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
11 16
58 36 12 19
18 26
a ) & ; b) & ; c) & ; d ) &
32 49
89 53 37 54
53 78
13 34
25
74

58 36
e) &
;f)
&
; h) & .
79 204
103 295
63 55
V/ CÁCH 5:
Dùng tính chất sau với m 0 :
a
a am
a
a am
* 1 
* 1  
.
b
b bm
b
b bm
a
a am
a c a c
* 1 
*  
.
b
b bm
b d bd

1011  1
1010  1
A  12
& B  11 ?
10  1
10  1
Bài tập 1: So sánh
1011  1 (1011  1)  11 1011 10 1010  1
1011  1
A  12



B
A  12
1
10  1 (1012  1)  11 1012 10 1011  1
10  1
Ta có :
(vì tử < mẫu) 
Vậy A < B .
2004 2005
2004  2005
M

&N 
?
2005 2006

2005  2006
Bài tập 2: So sánh
2004
2004


2005 2005  2006 

2005
2005


2006
2005

2006
 Cộng theo vế ta có kết quả M > N.
Ta có :
37 3737
&
Bài tập 3:So saùnh 39 3939 ?
37 3700 3700  37 3737
a c a c



 
.
Giaûi: 39 3900 3900  39 3939 (áp dụng b d b  d )
VI/CÁCH 6:

Đổi phân số lớn hơn đơn vị ra hỗn số để so sánh :
+Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
+Nếu phần nguyên bằng nhau thì xét so sánh các phân số kèm theo.

134 55 77 116
; ; ;
Bài tập 1:Sắp xếp các phân số 43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần.
5 13 1
5
3 ; 2 ; 4 ;3
Giải: đổi ra hỗn số : 43 21 19 37
13
5
5
1
55 134 116 77
2 3 3 4



43
37
19 nên 21 43 37 19 .
Ta thấy: 21
108  2
108
A 8
&B 8
?

10  1
10  3
Bài tập 2: So sánh
3
3
3
3
A 1 8
& B 1 8
 8
 A B
8
10  1
10  3 mà 10  1 10  3
Giải:
47 17 27 37
; ;
;
Bài tập 3: Sắp xếp các phân số 223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần.
223 98 148 183
35 13 13 35
; ;
;
4 ;5 ;5 ; 4
Giaûi: Xét các phân số nghịch đảo: 47 17 27 37 , đổi ra hỗn số là : 47 17 27 37
13
13
35
35
17 27 37

47
a c
b d
5 5 4 4



(vì    )
⇒
27
37
47
98 148 183 223 b d
a c
Ta thaáy: 17
3535.232323
3535
2323
A
;B 
;C 
353535.2323
3534
2322 ?
Bài tập 4: So sánh các phân số :
Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C ra hỗn số ⇒ A

5  11.13  22.26 
1382  690

&N  2
?
22.26  44.54
137  548
Bài tập 5: So sánh
5
1
138
1
M  1  & N 
1 
 M  N.
4
4
137
137
Hướng dẫn giải:-Rút gọn
( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )
63 158 43 58
;
; ;
Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp các phân số 31 51 21 41 theo thứ tự giảm dần.
M

PHẦN II: CÁC BÀI TẬP TỔNG HP .
Bài tập 1: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
a) &
; b) & c ) &
d) &

e) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261
10 100 100


(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , chú ý : 41 410 413
53 530

d)Chú ý: 57 570 Xét phần bù đến đơn vị
1
1010
1010


e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là: 26 26260 26261 )

Bài tập 2: Không thực hiện phép tính ở mẫu , hãy dùng tính chất của phân số để so sánh các
phân số sau:
244.395  151
423134.846267  423133
a) A 
&B 
244  395.243
423133.846267  423134
Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac
+Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Viết 423134.846267=(423133+1).846267=…
+Kết quả A=B=1
53.71  18
54.107  53

135.269  133
b) M 
;N 
;P 
?
71.52  53
53.107  54
134.269  135
(Gợi ý: làm như câu a ở trên ,kết quả M=N=1,P>1)
33.103
3774
A 3
&B 
3
2 .5.10  7000
5217
Bài tập 3: So sánh
33
3774 :111 34
A &B 

3
47
5217 :111 47
Gợi ý: 7000=7.10 ,rút gọn
4
3 5 6
5
6 4 5
A  5 2  3  4 & B  4 5 2   3 ?

7
7 7 7
7
7 7 7
Baøi tập 4: So sánh
3 6
153 6 5
329
 4 ...  4 & 2  4 ...  4
2
7
7 7
7
Gợi ý: Chỉ tính 7 7
Từ đó kết luận dễ dàng : A < B
1919.171717
18
M
&N 
191919.1717
19 ?
Bài tập 5:So sánh


Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết quả M>N
⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…..
17 1717
&
?
Bài tập 6: So sánh 19 1919

a c a c
17 1700
 
.

Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng b d b  d ; chú ý : 19 1900

+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101….
10 10
11 9
A m  n &B  m  n ?
a
a
a
a
Bài tập 7: Cho a,m,n  N* .Hãy so sánh :
 10 9  1
 10 9  1
A  m  n   n & B  m  n   m
a  a
a  a
a
a
Giải:
1
1
n
m
Muốn so saùnh A & B ,ta so saùnh a & a bằng cách xét các trường hợp sau:
a) Với a=1 thì am = an ⇒ A=B

b)
Với a 0:
 Nếu m= n thì am = an ⇒ A=B
1
1
 n ⇒
⇒
m
a
a
 Nếu m< n thì am < an
A1
1
 n ⇒
⇒
m
m
n
a
a
 Nếu m > n thì a > a
A >B
31 32 33 60
P  . . .... & Q 1.3.5.7....59
2 2 2
2
Bài tập 8: So sánh P và Q, biết rằng:
?
31 32 33 60 31.32.33....60 (31.32.33.60).(1.2.3....30)

P  . . .... 

2 2 2
2
230
230.(1.2.3....30)
(1.3.5....59).(2.4.6....60)

1.3.5....59 Q
2.4.6....60
Vaäy P = Q
7.9  14.27  21.36
37
M
&N 
?
21.27  42.81  63.108
333
Bài tập 9: So sánh
7.9  14.27  21.36
7.9.(1  2.3  3.4)
37 : 37 1
M

&N 

21.27

42.81


63.108
21.27.(1

2.3

3.4)
333
:
37
9
Giải: Rút gọn
Vậy M = N
21 62 93
; &
Bài tập 10: Sắp xếp các phân số 49 97 140 theo thứ tự tăng dần ?
Gợi ý: Quy đồng tử rồi so sánh .
1
x y 1
  
Bài tập 11: Tìm các số nguyên x,y bieát: 18 12 9 4 ?
2 3x 4 y 9



⇒
Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta được 36 36 36 36
2 < 3x < 4y < 9
Do đó x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2.

7

6

5

 1 
 1 
 3
 5 
a ) A   & B 
 ; b)C   & D 

 80 
 243 
 8
 243 
Bài tập 12: So saùnh

3

n

 x
xn
m n
m .n
   n &  x  x
y
Giải: p dụng công thức:  y 

7
7
7
6
6
1
1
1
1
 1   1  1
 1   1
a ) A       4   28 & B 
  5   30 ;Vì 28  30  A  B
3
3
3
3
 80   81   3 
 243   3 
5

5

3

3

243
 3  3 
 5   5  125

b)C    3   15 & D 
  5   15 .
2
3
 8  2 
 243   3 
125
125 125
⇒
15
15
15
Chọn 2 làm phân số trung gian ,so sánh 2 > 3
C > D.
1 3 5 99
2 4 6 100
M  . . ...
& N  . . ...
2 4 6 100
3 5 7 101
Bài tập 13: Cho
M

a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N
c) Chứng minh:
Giải: Nhận xét M và N đều có 45 thừa số
1 2 3 4 5 6
99 100
 ;  ;  ;...


2 3 4 5 6 7 100 101 nên M < N
a)Và
1

b) Tích M.N 101
1
1
1

c)Vì M.N 101 mà M < N nên ta suy ra được : M.M < 101 < 100
1 1
1
⇒
tức là M.M < 10 . 10
M < 10
1 1
1
3
4
S    ... 
S 
31 32
60 .Chứng minh: 5
5
Bài tập 14: Cho tổng :

1
10

Giải: Tổng S có 30 số hạng , cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm .Giữ nguyên tử , nếu thay

mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số sẽ giảm đi. Ngược lại , nếu thay mẫu
bằng một mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của phân số sẽ tăng lên.
1   1
1
1   1 1
1 
 1 1
S    ...       ...       ...  
40   41 42
50   51 52
60 
 31 32
Ta coù :
1
1   1
1
1   1
1
1 
 1
⇒ S     ...       ...       ...  
30   40 40
40   50 50
50 
 30 30
10 10 10
47 48
4
S  
S


S
30 40 50 từc là:
60 60 Vậy
5 (1)
hay
1
1   1
1
1   1
1
1 
 1
S     ...       ...       ...  
40   50 50
50   60 60
60 
 40 40
Mặt khác:
⇒

S

10 10 10
37 36
3
 
S

S

40 50 60 tức là :
60 60 Vậy
5 (2).


Từ (1) và (2) suy ra :đpcm.