Tổng hợp đề xác suất thống kê cuối kì có đáp án BK TPHCM

Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

Bộ môn Toán ứng dụng

- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Không sử dụng tài liệu.

CÂU 1: (1,5đ) Có n quả cầu được đánh số từ 1 đến n ( n≥ 5). Lấy ngẫu
nhiên ra 5 quả cầu. Gọi X là số nhỏ nhất trên các quả cầu đã được lấy ra.
Tính P(X=1); P(X= k).
CÂU 2: (2đ) Thời gian hoạt động tốt liên tục (không phải sửa chữa) của
một loại tivi là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với kỳ vọng  =4300 giờ
và độ lệch chuẩn  = 250 giờ. Ước tính mỗi ngày một tivi được sử dụng
trung bình 10 giờ. Thời hạn tivi được bảo hành miễn phí là 1 năm (360
ngày).
a) Tìm tỷ lệ tivi mà công ty sản xuất phải bảo hành.
b) Sau một thời gian đầu tư cải tiến công nghệ cho sản phẩm, công ty
nhận thấy rằng hiện giờ có thể tăng thời gian bảo hành cho các sản phẩm
lên đến 2 năm mà tỷ lệ sản phẩm cần phải bảo hành vẫn không đổi. Hãy
cho biết thời gian hoạt động tốt trung bình của mỗi sản phẩm đã tăng lên
bao nhiêu nếu giả thiết phương sai của thời gian sản phẩm hoạt động tốt
không thay đổi?
CÂU 3: (1,5đ) Từ n cặp vợ chồng người ta chọn ngẫu nhiên ra m người
nam và m người nữ. Hãy tính xác suất để chọn được đúng k cặp vợ chồng
( kCÂU 4: (2đ) Người ta đo bán kính (cm) của một số sản phẩm được lựa

chọn ngẫu nhiên và có kết quả như sau:
Bán kính xi

3,4

3,6

3,8

4,0

4,2

4,4

4,6

Số lượng ni

4

6

10

18

42

14

6

Với mức ý nghóa 5%, có thể coi bán kính các sản phẩm này tuân theo quy
luật chuẩn không?
CÂU 5: (3đ) Nghiên cứu về sự ảnh hưởng của mức thu nhập X (triệu
đồng/tháng) đối với mức tiêu dùng Y (kg/tháng) về một loại thực phẩm ở
150 hộ gia đình trong vùng, người ta thu được số liệu:


Y

5

10

5

7

15

20

X
15
25

20

23

35

17

30

20

13

15

45

a) Hãy ước lượng mức tiêu dùng trung bình của loại thực phẩm này
trong một tháng của các hộ trong vùng với độ tin cậy 99%.
b) Những hộ có thu nhập từ 40 triệu đồng/tháng trở lên được coi là
có thu nhập cao. Hãy kiểm định ý kiến cho rằng tỷ lệ hộ có thu nhập cao
trong vùng là 20%, với mức ý nghóa 5%.
c) Với mức ý nghóa 10%, hãy xét xem mức tiêu dùng Y có phụ thuộc
vào mức thu nhập X hay không ?

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TS. NGUYỄN BÁ THI


ĐÁP ÁN

Câu 1: 1,5 đ
C4
5
P( X  1)  n 51  .
Cn
n

(0.5 đ)

P( X  k ) 

Cn4k
.
Cn5

k  1, 2,..., n - 4 (1 đ)

Tử số có thể tìm nhờ quy tắc nhân:
 Chọn quả cầu có số 1: có 1 cách.
 Chọn 4 quả cầu cịn lại: C4n-1 cách.

Câu 2: 2đ
a) Gọi X là thời gian hoạt động tốt liên tục của tivi.
X  N( a = 4300 giờ; 2 = (250 giờ)2)
Những tivi được bảo hành miễn phí là những sản phẩm có số giờ hoạt động tốt liên tục
dưới 360 ngày, tức 3600 giờ.
Tỉ lệ cần tìm:
 3600  4300 
P(X<3600 giờ) =  
  0,5  0, 4974  0,5  0, 0026

250


b) Gọi X’ là thời gian hoạt động tốt liên tục của tivi sau khi được cải tiến.
X’  N( a = µ’ giờ; 2 = (250 giờ)2)
 7200   ' 
Tìm µ’ thỏa: P(X’<7200 giờ) =  
  0,5  0, 0026
 250 
7200   '

 2,8   '  7900 . (Có thể trả lời theo µ’- µ).
250
Câu 3: 1,5 đ Câu này khơng chia nhỏ để chấm điểm thành phần.

Cnm  Cmk  Cnmmk
TS Cnk  Cnmkk  Cnmmk

Xs cần tìm:
hoặc
MS
Cnm  Cnm
Cnm  Cnm
TS tìm theo quy tắc nhân:
 Chọn k cặp vợ chồng từ n cặp: có Cnk cách.
 Chọn tiếp m-k người nữ từ n-k người phụ nữ chưa được chọn.
 Chọn thêm m-k người nam từ (n-k) – (m-k) người nam chưa được chọn và vợ họ cũng chưa được
chọn.

Caâu 4: 2đ

n  100
x  4,108
s  0, 2777
Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Miền bác bỏ: Wα =( 9,49; +∞).

( s  0, 2791)

Trình bày cơng thức tính pi : ……

(α; β)
-∞ 3.5
3.5 3.7
3.7 3.9
3.9 4.1
4.1 4.3
4.3 4.5
4.5 +∞

Pi
0.0143
0.0566
0.1560
0.2616
0.2668
0.1656
0.0790

Ei =n*pi

1.4283
5.6604
15.6038
26.1583
26.6832
16.5625
7.9035

Oi
4
6
10
18
42
14
6
100

(Oi-Ei)^2/Ei
4.6301
0.0204
2.0125
2.5444
8.7922
0.3964
0.4584
18.8545

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 18,8545  Wα  Bác bỏ H0.
Mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.

( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).


Câu 5: 3đ
a) Khoảng tin cậy cho mức tiêu dùng trung bình a:
z s
2,58  4, 0258
y   Y 14,3667 
 14,3667  0,8481
n
150
b) H0: p = 20%;
H1: p≠ 20%.
zα = 1,96
Mbb Wα = (-∞; - 1,96) ⋃ (1,96; +∞)
28
 0, 2
f  p0
150
Tiêu chuẩn kđ: zqs 
n
150  0, 4082
p0 (1  p0 )
0, 2  0,8
KL: Do zqs  Wα  Chấp nhận H0.
c) Bài toán kiểm định tính độc lập.
H0: X,Y độc lập;
H1: X,Y không độc lập.
Mbb Wα = (14,68; +∞)
Bảng tần số lý thuyết:

5

7

5

20

23

17

30

20

13

15

44

66

35

12 `

0.4000

3.5200

5.2800

2.8000

43

1.4333

12.6133

18.9200

10.0333

67

2.2333

19.6533

29.4800

15.6333

28
150

0.9333

8.2133

12.3200

6.5333

Tiêu chuẩn kđ:……….( viết cơng thức tính)
qs2 = 105,0695  Wα  Bác bỏ H0.
( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính 

2
qs

Y phụ thuộc vào X.

nhanh hơn ).


Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Bộ môn Toán ứng dụng

Thời gian: 90 phút.
- Đề thi gồm 2 trang.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.

- Khơng sử dụng tài liệu.

Câu 1: Một hộp có n sản phẩm. Với cùng xác suất như nhau, giả sử hộp đó có i chính
phẩm; i =0, 1, 2,…n. Lần 1 người ta rút ngẫu nhiên khơng hồn lại một sản phẩm từ
hộp thì được chính phẩm. Lần 2 rút tiếp ngẫu nhiên từ hộp 1 sản phẩm nữa. Tìm xác
suất để sản phẩm rút lần 2 cũng là chính phẩm.
Câu 2: Biết rằng tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên X có hàm mật
độ xác suất là:
0,5 e kx
f ( x)  
0

x0
x0

(đơn vị: năm)

a) Tìm hệ số k, tính P(-1< X< 4) và hàm phân phối xác suất F(x).
b) Giả sử có một thiết bị cùng loại đã dùng được 3 năm, tìm xác suất để thiết bị đó
cịn dùng được ít nhất 2 năm nữa.
c) Một người mua mới 6 thiết bị cùng loại. Tìm xác suất trong 6 thiết bị này sẽ chỉ
có đúng 2 thiết bị có tuổi thọ lớn hơn 3 năm.
Câu 3: Thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số công nhân được cho bởi bảng
phân phối tần số mẫu sau (đơn vị: phút):
Thời gian (xi)

14 -16

16 - 18

18 - 20

20 - 22

22 – 24

Số công nhân (ni)

4

10

14

12

6

Với mức ý nghĩa 5%, có thể coi thời gian hồn thành một sản phẩm loại này tuân theo
quy luật phân phối chuẩn hay không?
Câu 4: Khi khảo sát mối liên hệ giữa lượng phân bón X (kg/ha) và năng suất tương
ứng Y (tạ/ha) của một loại cây trồng trong vùng, người ta lấy số liệu mẫu trên 100 thửa
ruộng có cùng diện tích. Kết quả được biểu diễn trong bảng sau:
X
Y
32

300

340

10

5

360

380

34

10

7

36

4

20

14

10

20

38

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng lượng phân bón trung bình đã sử dụng và năng
suất trung bình của cây trong vùng.
b) Có một báo cáo cho rằng 75% diện tích trồng cây trong vùng cho năng suất từ 35
tạ/ha trở lên. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận xét xem tỉ lệ được nhắc đến trong báo
cáo trên có đáng tin khơng.
c) Hãy ước lượng hệ số tương quan giữa X,Y; phương trình đường hồi quy tuyến tính
Y theo X; và dự kiến năng suất cây trồng nếu sử sụng lượng phân bón là 390 kg/ha.

CHỦ NHIỆM BỘ MƠN

PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY


ĐÁP ÁN
Câu 1: 2 đ

Gọi Hi là biến cố hộp có i chính phẩm, i = 0,..,n.
P  Hi  

{H0, H1,….,Hn} tạo thành nhóm biến cố đầy đủ.

1
;
n 1

i  0,1,.., n.

Gọi F1 là biến cố sản phẩm lấy ra ban đầu là chính phẩm.
Gọi F2 là biến cố sản phẩm lấy ra lần sau là chính phẩm.
Xác suất cần tìm là: P( F2 | F1 ) 

P( F1F2 )
P( F1 )

n(n  1)
1
i
1
2
  P( H i ).P(F1 / H i )  
  i 0


n(n  1) n(n  1) 2
i 0
i 0 n  1 n
n

P  F1 

n

i

n

n

(i 2  i )


1
i (i  1)
  P( H i ).P(F1F2 / H i )  

 i 1
n

1
n
(
n

1)
n(n  1)(n  1)
i 0
i 1
n

P( F1 F2 )

n

n

n

i  i
2



i 1

i 1

n(n  1)(n  1)

n(n  1)(2n  1) n(n  1)

1
6
2


n(n  1)(n  1)
3

 P( F2 | F1 ) 
Caâu 2: 3 ñ (1+1+1)
a) k = 0,5 ;
P(-1< X< 4) = 0.8647 ;
0,5 x
1  e
x0
F( x)  
.
x0
0
b) Xác suất cần tìm:
P( X  5) 1  P(0  X  5) 1  0,9179

P( X  5 / X  3) 


 0,3679
P( X  3) 1  P(0  X  3) 1  0, 7769
c) p = P( X > 3) = 0,2231. Áp dụng công thức Bernoulli với n =6, p = 0,2231;
Xác suất cần tìm: C62 p 2 (1  p)4  0, 2720.
Caâu 3: 2 ñ
n  46
x  19, 2609 s  2,3072
Ho: maãu phù hợp phân phối chuẩn…
H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Miền bác bỏ: Wα =( 5,99; +∞).
Trình bày cơng thức tính pi , tckđ…

pi
Ei =n*pi
0.0788 3.6238
0.2136 9.8250
0.3333 15.3312
0.2568 11.8117
0.1176 5.4084
Tiêu chuẩn kđ: 02 = ….= 0,2255  Wα  Chấp nhận H0.
Mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).

P( F1F2 ) 2

P( F1 )
3

Câu 4: 3đ (1+1+1)
n  100

x  357

s X  23,8472

y  35, 66

sY  2, 0510

a) * Khoaûng tin cậy cho lượng phân bón trung bình (kg/ha):
z s
1,96  23,8472
x   X  357 
 357  4, 6741
n
100
 (352,3259;361, 6741)
* Khoảng tin cậy cho năng suất trung bình (tạ/ha):
z s
1,96  2, 0510
y   Y  35, 66 
 35, 66  0, 4020
n
100
 (35, 2580; 36, 0620)
b) H0: p = 75%;

H1: p≠ 75%.
zα = 2,58
Mbb Wα = (-∞; - 2,58) ⋃ (2,58; +∞)
f  p0
0, 68  0, 75
Tiêu chuẩn kđ: zqs 
n
100  1, 6166
p0 (1  p0 )
0, 75  0, 25
KL: Do zqs  Wα  Chấp nhận H0.
Chưa đủ cơ sở để bác bỏ tỉ lệ nêu trong báo cáo.
c) Hệ số tương quan rXY = 0,8050
Phương trình đường hồi quy tuyến tính: y 10,9427  0,0692 x
Giá trị ước lượng y ( x  390)  37,9448 ( tạ/kg)


Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

Bộ môn Toán ứng dụng
ĐỀ CA 1

- Đề thi gồm 1 trang A4.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Câu 1: ( 2đ) Cho một hộp bi gồm 8 bi xanh, 7 bi vàng và 6 bi đỏ có cùng cỡ. Từ
hộp rút ngẫu nhiên lần lượt, khơng hồn lại, từng bi cho đến khi gặp bi đỏ thì
dừng lại. Giả sử đã lấy ra tất cả 5 bi. Tìm xác suất để có 2 bi xanh và 2 bi vàng
được rút ra.
Câu 2: ( 3đ) Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm
tra tự động để kiểm tra các sản phẩm do máy sản xuất. Tuy nhiên thiết bị này vẫn
có sai sót khi kết luận, cụ thể sai sót khi gặp chính phẩm là 4%, cịn sai sót khi gặp
phế phẩm là 1%.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận chính phẩm mà thực ra nó là phế phẩm.
b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra đó kết luận nhầm.
Câu 3: (5đ) Khi khảo sát chiều dài của cùng một loại chi tiết do phân xưởng A
sản xuất, người ta thu được mẫu sau:
Chiều dài chi tiết (mm)
Số chi tiết tương ứng

62-63 63-64
12
33

64-65
70

65-66
57

66-67 67-68
48
10

Các chi tiết đạt loại I là các chi tiết có chiều dài trong khoảng 64-66 (mm).

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều dài trung bình của các chi tiết do
phân xưởng A sản xuất.
b) Với độ tin cậy 98%, hãy tìm khoảng ước lượng cho số chi tiết đạt loại I
trong kho chứa 2000 sản phẩm cùng loại của phân xưởng A.
c) Trước đây, tỉ lệ chi tiết đạt loại I của phân xưởng chiếm 50%. Số liệu mẫu
trên được khảo sát sau khi phân xưởng áp dụng cải tiến quy trình sản xuất.
Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem như việc cải tiến đã làm tăng tỉ lệ chi tiết
đạt loại I không?
d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem chiều dài chi tiết có phù hợp với
phân phối chuẩn hay không?
Chủ nhiệm Bộ môn


Trường ĐHBK TPHCM
Bộ môn Toán ứng dụng

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

ĐỀ CA 2
- Đề thi gồm 1 trang A4.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Câu 1: ( 2đ) Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm, xác suất để người
thứ nhất và người thứ 2 làm ra chính phẩm là 0,9. Cịn xác suất người thứ 3 làm
ra chính phẩm là 0,8. Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế
phẩm.Tìm xác suất trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đó sản xuất sẽ có 6
chính phẩm.

Câu 2: ( 3đ)
Hàng đóng thành kiện, mỗi kiện có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I.
Khách hàng kiểm tra từng kiện hàng, và sẽ nhận kiện hàng nếu lấy ngẫu nhiên
đồng thời ra 3 sản phẩm thì được cả 3 sản phẩm loại I. Khách đã kiểm tra 100 kiện
hàng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số kiện được khách nhận.
a) Tìm xác suất một kiện hàng bất kì được khách nhận . Tính E(X), D(X).
b) Tính xác suất để có khơng q 33 kiện hàng được nhận.
Câu 3: ( 5 điểm): Một công ty đã nhập thêm máy móc mới phục vụ sản xuất. Khi
quan sát quá trình cơng nhân gia cơng sản phẩm trên máy mới, người ta có được
số liệu mẫu:
Thời gian gia cơng
30-32 32-34 34-36
(phút)
Số sản phẩm tương ứng
18
36
68

36-38

38-40

40-42

44

24

10

a) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm được gia công dưới 34 phút với độ tin cậy
96%.
b) Nếu muốn khoảng ước lượng thời gian trung bình để gia cơng một sản
phẩm có chiều dài khơng quá 0,5 phút và độ tin cậy 96% thì chúng ta cần
kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu?
c) Thời gian định mức trước đây để gia công một sản phẩm loại này là 36
phút. Với mức ý nghĩa 1%, chúng ta có thể kết luận việc nhập máy móc
mới đã làm tăng năng suất công nhân hay chưa?
d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định xem thời gian gia cơng một sản phẩm
loại này có phù hợp với phân phối chuẩn hay không?
Chủ nhiệm Bộ môn


ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu 1: 2đ
Gọi: A là biến cố dừng lại ở bi thứ 5 (đề bài cho A xảy ra rồi ).
B là biến cố trong 4 viên bi đầu có 2 xanh, 2 vàng .
C154 6
26
P(A) = 4  
 0.0805
C21 17 323

C82  C72 6
56
P(AB) =
 
 0, 0347
4
C21

17 1615
P( AB) C82  C72 28
P(B/A) =


 0, 4308
P( A)
C154
65
m
Các bài làm theo công thức xác suất nhưng trình bày   C154  6 nếu đúng đáp số cũng không
n
được điểm tối đa do cách viết trên không thể hiện yêu cầu của bài là lấy có thứ tự.
Câu 2: 3đ
( 1,5đ +1,5đ)
Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm do máy sản xuất.
Gọi: PP là biến cố sản phẩm đó là phế phẩm.
CP là biến cố sản phẩm đó là chính phẩm.
KlPP là biến cố sản phẩm được kết luận là phế phẩm.
KlCP là biến cố sản phẩm được kết luận là chính phẩm.
a) P(PP*KlCP) = P(PP) * P(KlCP/ PP) = 5% * 1% = 0,05%.
b) P(Kl nhầm) = P(CP)* P(Kl nhầm/CP) + P(PP)* P(Kl nhầm/PP)
= 95% * 4% + 5% *1% = 3,85%
Câu 3: 5đ

(1đ +1đ +1đ +2đ )

n  230

x  65,0478

s  1, 2353

s  1, 2380

a) Khoảng ước lượng cần tìm:
z s
1,96 1, 2380
x 
 65, 0478 
 65, 0478  0,1600
hay (64,8878; 65, 2078)
n
230
b) f= 127/230 =0,5522
Khoảng ước lượng cho tỉ lệ chi tiết đạt loại I:
z  f (1  f )
2,33  0,5522(1  0,5522)
f 
 0,5522 
 0,5522  0, 0764
n
230
hay ( 0,4758; 0,6286)
Khoảng ước lượng cho số sản phẩm loại I trong kho: ( 952; 1257).
c) Gọi p là tỉ lệ chi tiết loại I thời điểm hiện tại
C1:
Gtkđ Ho: p = 50%
Gt H1: p  50%
zα = 2,58

f  p0
0,5522  0,5
zo 
n
230  1,5825
po (1  po )
0,5  0,5
Do | zo | < zα nên chấp nhận Ho.
Ta nói tỉ lệ chi tiết loại I không tăng lên.
C2:
Gtkđ Ho: p = 50%
Gt H1: p > 0,5
Miền bác bỏ Wα = (2,33; +)
f  p0
0,5522  0,5
zo 
n
230  1,5825
po (1  po )
0,5  0,5
Do zo  Wα nên chấp nhận Ho. Ta nói tỉ lệ chi tiết loại I không tăng.


d) Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Miền bác bỏ: Wα =( 7,81; +∞).
Trình bày cơng thức tính pi : ……

pi

Ei =n*pi

0.0487
11.20
0.1495
34.38
0.2864
65.87
0.2950
67.86
0.1634
37.58
0.0570
13.11
Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 5,7364 ( trình bày cơng thức tính) Wα  Khơng bác bỏ được H0.
Mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).


ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1: 2đ
Gọi:

A là biến cố lần đầu người đó làm 8 sản phẩm được 6 sản phẩm tốt.
B là biến cố lần tiếp theo người đó làm 8 sản phẩm được 6 sản phẩm tốt.
H1 là biến cố người làm việc là người thứ nhất hoặc thứ 2.
H2 là biến cố người làm việc là người thứ 3.
P(AB) P(H1 )*P(AB/H1 )  P(H 2 )*P(AB/H 2 )
Xác suất cần tìm:
P  B/A  =


P(A)
P(H1 )*P(A/H1 )  P(H 2 )*P(A/H 2 )
2
2
2
1
  C86  0.96  0,12     C86  0.86  0, 22 
3
3
 0, 2207
2
1
6
6
2
6
6
2
 C8  0.9  0,1   C8  0.8  0, 2
3
3
Câu 2: 3đ
( 2 đ + 1đ)
3
C
7
 0, 2917
a) p  37 
C10 24

X có phân phối nhị thức nên E(X)= np = 29,17
D(X)= npq = 2915/144 = 20,6597
k

100  k

7 
 7  
b) * Bấm máy trực tiếp: P(0  X  33)   C   1  
 0,8302
 24   24 
k 0
* Nếu sử dụng cơng thức tính gần đúng, ta có kết quả:
 33  29,17 
 29,17 
P(0  X  33)   
 
  0,80028 ( hoặc 0,80049)
20,
6597
20,
6597




33

k
100

Câu 3: 5đ

(1đ +1đ +1đ +2đ )

n  200

x  35,5

s  0, 25515

s  2,5579

a) Khoảng ước lượng cần tìm:

f

z  f (1  f )
n

 0, 27 

2, 05  0, 27(1  0, 27)
200
2

 0, 27  0, 0646 hay (0, 2054; 0,3344)
2

 z  s   2, 05  2,5579 

b) 2’ 0,5  n '   
 n  440
 
  439,94
0, 25
 '  

c) Gọi a là thời gian trung bình để gia công 1 sản phẩm thời điểm hiện tại
C1:
Gtkđ Ho: a = 36
Gt H1: a  36
zα = 2,58
x  a0
35,5  36
zo 
n
200  2, 7862
s
2,5379
Do | zo | > zα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1; tức là thời gian gia cơng trung bình 1 sản
phẩm đã thay đổi. Đồng thời do x < ao=36 nên ta coi như thời gian trung bình để gia
cơng 1 sản phẩm đã giảm, hay năng suất công nhân đã tăng.
C2:
Gtkđ Ho: a = 36
Gt H1: a < 36
Miền bác bỏ Wα = (-; -2,33)
x  a0
35,5  36
zqs 
n

200  2, 7644
s
2,5579
Do zo  Wα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
Ta coi như thời gian trung bình để gia cơng 1 sản phẩm đã giảm, hay năng suất công
nhân đã tăng.


d) Ho: mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
H1: mẫu không phù hợp phân phối chuẩn.
Miền bác bỏ: Wα =( 7,81; +∞).
Trình bày cơng thức tính pi : ……

pi

0.0851
0.1932
0.2994
0.2587
0.1247
0.0389

Ei =n*pi

17.01
38.65
59.88
51.75
24.94
7.78

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 3,1701 ( trình bày cơng thức tính) Wα  Khơng bác bỏ được H0.
Mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).


Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

Bộ môn Toán ứng dụng

- Đề thi gồm 2 trang A4.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.

Câu 1: ( 2đ) Một lô hàng nơng sản được nhập về siêu thị gồm có 60 kiện hàng từ
trang trại A và 40 kiện hàng từ trang trại B. Tỉ lệ sản phẩm đạt loại I từ các trang
trại lần lượt là 90% và 70%. Người ta lấy ngẫu nhiên một kiện hàng để kiểm tra.
a) Từ kiện hàng lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm loại I. Khả
năng sản phẩm đó từ trang trại A là bao nhiêu?
b) Từ kiện hàng lấy ra ngẫu nhiên 5 sản phẩm. Tìm xác suất được ít nhất 4
sản phẩm loại I.
Câu 2: ( 3đ) Mỗi ngày một lần, một máy tự động gieo ngẫu nhiên 2 con xúc xắc
cân đối và đồng chất. Gọi S là tổng số chấm trên 2 con xúc xắc trong một lần
gieo.
a) Tính xác suất để S = 7 ngay trong ngày đầu tiên.
b) Tính xác suất trong ngày thứ k S nhận giá trị bằng 7, và trước đó chưa có

ngày nào S nhận giá trị 5 hoặc 7.
c) Tính xác suất để ngày có S =7 xảy ra trước ngày có S = 5.
Câu 3: (4đ) Khi khảo sát hàm lượng vitamin E của các trái bơ trong vùng, người
ta có được số liệu:
Hàm lượng 2,52-2,56
mg/100 gram
Số trái

5

2,56-2,60

2,60-2,64

2,64-2,68

2,68-2,72

2,72-2,76

25

40

45

35

20

Những trái bơ có hàm lượng vitamin E từ 2,60 mg/100 gram trở lên được coi là
những trái bơ đạt tiêu chuẩn thương mại.
a) Hãy ước lượng hàm lượng vitamin E trung bình của các trái bơ trong vùng
với độ tin cậy 98%.
b) Có thể coi như hàm lượng vitamin E của các trái bơ tuân theo phân phối
chuẩn hay không, xét với mức ý nghĩa 1%?
c) Số liệu trước đây ghi nhận hàm lượng vitamin E trung bình trong những
trái bơ đạt tiêu chuẩn thương mại ở vùng này là 2,65 mg/100 gram. Từ số
liệu mẫu trên, có thể nói rằng hàm lượng trung bình ở những trái bơ đạt
tiêu chuẩn thương mại hiện đã tăng hay không? Kết luận với mức ý nghĩa
5%.


d) Ở một vùng trồng bơ khác, người ta khảo sát ngẫu nhiên 120 trái bơ thì
thấy có 90 trái bơ đạt tiêu chuẩn thương mại. Với mức ý nghĩa 2%, có thể
xem như tỉ lệ trái bơ đạt tiêu chuẩn thương mại ở 2 vùng là như nhau hay
không?
Câu 4: (1đ ) Các cố vấn học tập đã theo dõi kết quả học của một nhóm được lựa
chọn ngẫu nhiên gồm 120 sinh viên ở nội trú và 80 sinh viên ngoại trú. Tỉ lệ học
tốt, khá và trung bình của các sinh viên nội trú trong nhóm lần lượt là 30%; 40%
và 30%. Tỉ lệ này tương ứng ở các sinh viên ngoại trú là 30%; 50% và 20%. Với
mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng việc quyết định ở nội trú hay ngoại trú của sinh
viên có ảnh hưởng đến kết quả học tập của sinh viên hay không?
Chủ nhiệm Bộ môn


ĐÁP ÁN
Câu 1: 2đ
Gọi: A là biến cố kiện hàng từ trang trại A.
B là biến cố kiện hàng từ trang trại B. { A, B} là nhóm biến cố đầy đủ.

a) E là biến cố lấy được sản phẩm loại I.
P( A)  P( E / A)
0, 6  0,9
27
P( A / E ) 


 0, 6585
P( A)  P( E / A)  P( B)  P( E / B) 0, 6  0,9  0, 4  0, 7 41
b) Gọi F là biến cố có ít nhất 4 sản phẩm tốt trong 5 sản phẩm lấy ra.
P(F) = P(A) P(F/A) + P(B)  P(F/B)
=  0,6  C54  0,94  0,1  0,95   0,4  C54  0,74  0,3  0,75   0,7624
Câu 2: 3đ
a) P( S=7) = 6/36 = 1/6.
b) XS trong 1 lần tung S nhận giá trị bằng 5 hoặc 7 là

64 5

36
18

 13 
XS lần thứ k S=7 và khơng lần nào trước đó S nhận giá trị 5 hay 7 là:  
 18 
 13 
c)   
k 1  18 


k 1



k 1



1
; k =1,2,…
6

1 3

6 5

Câu 3: 4đ

n  170

x  2,6529

s  0,0527

s  0,0528

a) Khoảng ước lượng cần tìm:
z s
2,33  0, 0528
x 
 2, 6529 

 2, 6529  0, 0094
hay (2, 6435; 2, 6624)
n
170
b) GTKĐ Ho: Hàm lượng vitamin E trong các trái bơ tuân theo phân phối chuẩn
N(a=2,6529; 2= (0,0527)2 ).
GT đối H1: Hàm lượng vitamin E trong các trái bơ không tuân theo phân phối chuẩn.
Miền bác bỏ Wα =( 11,34; +∞).
Trình bày cơng thức tính pi : ……

Pi

Ei =n*pi

Oi

(Oi-Ei)^2/Ei

0.0389

6.61

0.3921

0.1187

20.18

0.2457

41.76

0.2933

49.86

0.2021

34.36

0.1013

17.23

5
25
40
45
35
20
170

2.5486

1

1.1501
0.0743
0.4739
0.0120

0.4463

Tiêu chuẩn kđ: qs2 = 2,5486 ( trình bày cơng thức tính) Wα  Chưa bác bỏ được H0.
Ta coi mẫu phù hợp phân phối chuẩn.
( Có thể dùng cơng thức rút gọn để tính qs2 nhanh hơn ).


c) n  140
x  2,67
s  0,0409
s  0,0410
Gọi a là hàm lượng vitamin E trung bình trong một trái bơ ( đạt tiêu chuẩn thương mại)
thời điểm hiện tại.
C1:
Gtkđ Ho: a = 2,65
Gt H1: a  2,65
zα = 1,96
x  a0
2, 67  2, 65
zo 
n
140  5, 7675
(5, 7718)
s
0, 0410
Do | zo | > zα nên bác bỏ Ho, a đã thay đổi.
Đồng thời x  2,67  2,65 nên có thể nói hàm lượng vitamin C trung bình đã tăng.
C2:
Gtkđ Ho a = 2,65
Gt H1: a > 2,65

Miền bác bỏ Wα = (1,65; +)
x  a0
2, 67  2, 65
zo 
n
140  5, 7675
(5, 7718)
s
0, 0410
Do zo  Wα nên bác bỏ Ho, chấp nhận H1. Ta nói hàm lượng vitamin C trung bình đã
tăng.
d) Gọi p1; p2 lần lượt là tỉ lệ bơ đạt tiêu chuẩn thương mại ở 2 vùng.
Gtkđ Ho: p1 = p2
Gtkđ H1: p1  p2
Wα =(-∞; - 2,33;)  ( 2,33; +∞).
n1  170; n2  120

z0 

f1 

f1  f2





1 1
f 1 f   
 n1 n2 

140
90
; f2 
170
120

f

140  90 23

170  120 29

( 0,7931)

 1,5224

Do z0  Wα nên chưa bác bỏ được H0.
Coi như tỉ lệ bơ đạt tiêu chuẩn ở 2 vùng là như nhau.
Câu 4: 1đ
Gtkđ H0: Kết quả học tập của SV khơng liên quan đến việc SV có ở nội trú hay không.
Gt đối H1: Kết quả học tập của SV có liên quan đến việc SV có ở nội trú hay không.
Miền bác bỏ Wα = ( 5,99; + )
Bảng tần số thực nghiệm:

36

48

36

24

40

16

60
88
Bảng tần số lý thuyết:

120
52

36

52.8

31.2

24

35.2

20.8

80
200

qs2 = 2,9371 ( trình bày cơng thức tính) Wα  Chưa bác bỏ được H0.

Trường ĐHBK TPHCM
Bộ môn Toán ứng dụng

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.
- Đề thi gồm 2 trang A4.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.

Câu 1: ( 2đ)
Gieo 3 con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc là 10 nếu biết rằng có ít nhất
một con xuất hiện mặt ba chấm.
b) Có ít nhất một con xuất hiện sáu chấm nếu biết rằng số chấm trên 3 con
xúc xắc là khác nhau.
Câu 2: ( 2đ)
Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném
trúng thì dừng. Người thứ nhất ném trước. Xác suất ném trúng rổ trong mỗi
lượt chơi của mỗi người lần lượt là 0,3 và 0,4. Hãy lập bảng phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lần ném rổ của người thứ nhất. Tìm E(X);
D(X).
Câu 3: ( 5đ)
Người ta khảo sát trọng lượng của các gói mì được đóng gói tự động trên 2
dây chuyền khác nhau. Các gói mì có trọng lượng nhỏ hơn 980 gram được
coi là khơng đạt tiêu chuẩn đóng gói.
Ở dây chuyền thứ nhất, số liệu mẫu thu được như sau:
Trọng lượng một gói

(gram)
Số gói tương ứng

9609709809901000- 1010- 970 - 980
- 990 - 1000 - 1010 - 1020
2
10
49
66
31
12

Ở dây chuyền thứ hai, khi khảo sát 121 gói mì thì người ta thấy có 11 gói mì
khơng đạt tiêu chuẩn đóng gói; 80 gói đạt tiêu chuẩn và có trọng lượng nhỏ
hơn 1000 gram; 30 gói đạt tiêu chuẩn và có trọng lượng từ 1000 gram trở lên.
Trọng lượng trung bình của 121 gói mì này là 991 gram và độ lệch mẫu hiệu
chỉnh là 11 gram.
a) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình của các gói mì
khơng đạt tiêu chuẩn đóng gói trên dây chuyền thứ nhất.
b) Với độ tin cậy 95%, hãy chỉ ra khoảng ước lượng cho phương sai của
trọng lượng các sản phẩm trên dây chuyền thứ hai.


c) Trước đây tỉ lệ sản phẩm đóng gói khơng đạt tiêu chuẩn trên dây
chuyền thứ nhất là 15%. Số liệu trên được lấy sau khi người ta thực
hiện cải tiến kỹ thuật. Với mức ý nghĩa 1%, có thể xem như việc cải
tiến kỹ thuật đã đem lại hiệu quả đối với dây chuyền thứ nhất hay
không?
d) Với mức ý nghĩa 5%, hãy so sánh trọng lượng trung bình của các gói
mì được đóng gói trên 2 dây chuyền.

e) Với mức ý nghĩa 5%, hãy xét xem tình trạng được đóng gói của các
gói mì có phụ thuộc vào việc các gói mì được sản xuất trên dây chuyền
nào hay khơng? ( Ta xem xét tình trạng được đóng gói ở 3 mức độ:
khơng đạt tiêu chuẩn; đạt tiêu chuẩn và trọng lượng nhỏ hơn 1000
gram; đạt tiêu chuẩn và trọng lượng từ 1000 gram trở lên).
Câu 4: ( 1 đ)
Dưới đây là số liệu mẫu thu được khi người ta khảo sát số ngày nghỉ vượt
tiêu chuẩn phép trong năm của nhân viên ở một công ty thời trang.
Số ngày nghỉ
Số công nhân

0
75

1
44

2
18

3
10

4
3

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận xem mẫu này có phù hợp với phân phối
Poisson hay không?
P. Chủ nhiệm Bộ môn

TS. Nguyễn Bá Thi


ĐÁP ÁN
Câu 1: 2đ

Yêu cầu giải thích các kết quả thành phần.

a) (1đ) Gọi A là biến cố tổng các mặt bằng 10;
B biến cố có ít nhất một mặt 3 chấm.
15
P(A|B)=

3
P(AB)
15
 6 3 
P(B)
91
5
1 3
6

b) (1đ) Gọi C là biến cố có ít nhất một con được 6 chấm;
D biến cố số chấm trên 3 con xúc xắc là khác nhau.
60
3
1
P(C | D)  6 
120 2

63

Câu 2: 2đ
P(X=1) = 0,3 + 0,7 0,4 = 0,58
P(X=2) = 0,7 0,6 0,3 + 0,7 0,6 0,7 0,4 = 0,42 0,58
P(X=3) = 0,7 0,6 0,7 0,6 0,3 + 0,7 0,60,7 0,6 0,7 0,4 = 0,42 2  0,58
Công thức tổng quát:
P(X=k) = 0,42 k-1  0,58
1 
  1,7241
 0,58 

k= 1;2;3;….
1
1 

  1,2485
2
 0,58 0,58 





E(X)  

D(X)  

Câu 3: 5đ = 1 + 0.5 +1 +1 +1.5
Mẫu 1: n = 170;

x = 993,8235;

s = 10,4243

Mẫu 2: n = 200

x = 991

s =11

a) Mẫu nhỏ:

n = 12;

x = 973,3333;

s = 3,8925

KƯL:
x  t (n  1) 
2

s
3,8925
 973,3333  2, 201
 973,3333  2, 4732  (970,8601;975,8065)
n
12



 (n  1)  s2 (n  1)  s2   120  112 120  112
; 2
;
b) KƯL:  2

152,21
91,58

(
n

1)

(
n

1)


 

1
2
 2



   95,3945; 158,5499 



c) Gọi p là tỉ lệ sản phẩm khơng đạt tiêu chuẩn đóng gói trên dây chuyền thứ nhất.
C1:
Gtkđ Ho: p = 15%
Gtkđ H1: p  15%
zα = 2,58
z0 

f  p0

p0 1  p0 

12
 0,15
n  170
170  2,8997
0,15 1  0,15

Do z0 > 2,58 nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1. Do f < 0,15 nên coi như tỉ lệ sản phẩm
không đạt yêu cầu đã giảm, việc cải tiến có hiệu quả.


C2:

Gtkđ Ho: p = 15%
Gtkđ H1: p < 15%
Miền bác bỏ Wα = (-; -2,33)
12
 0,15

170
n
170  2,8997
0,15 1  0,15

f  p0

z0 

p0 1  p0 

Do z0  Wα nên bác bỏ được H0, chấp nhận H1. …
d) Gọi a1; a2 lần lượt là trọng lượng trung bình các gói mì trên dây chuyền 1 và 2.
C1:
Gtkđ Ho: a1 = a2
Gtkđ H1: a1  a2
zα = 1,96
z0 

x1  x2



s12 s22

n1 n2

993,8235  991
10,42432 112


170
121

 2,2053

Do z0 > 1,96 nên bác bỏ H0 và chấp nhận H1. Trọng lượng trung bình của các gói mì trên 2
dây chuyền là không như nhau. Do x1  x2 nên ta xem như trọng lượng trung bình của các
gói mì trên dây chuyền 1 là lớn hơn so với dây chuyền 2.
C2:
Gtkđ Ho: a1 = a2
Gtkđ H1: a1 > a2
Miền bác bỏ Wα = (1,65 ; +)
z0 

x1  x2
s12 s22

n1 n2

993,8235  991



10,42432 112

170
121

 2,2053

Do z0  Wα nên bác bỏ H0, chấp nhận H1….
( Cho điểm cả trường hợp giải bài toán theo giả thiết H1 là a1  a2)
e) Số liệu trên được viết lại:
Tình trạng SP Khơng
đạt Đạt tiêu chuẩn
tiêu
chuẩn
Dây chuyền
+ <1000 gram

Đạt tiêu chuẩn
+ 1000 gram

1

12

115

43

170

2

11

80

30

121

23

195

73

291

H0: Tình trạng sản phẩm có phân bố tỉ lệ như nhau trên 2 dây chuyền đóng gói.
H1: Tình trạng sản phẩm có phân bố tỉ lệ khác nhau trên 2 dây chuyền đóng gói.
2
0,05
(2)  5,99

Bảng tần số lý thuyết:

13.4364

113.918

42.646

9.56357

81.0825

30.354

 02  
i; j

O

ij

 Eij 
Eij

2

 0, 4011  2 nên chấp nhận H0.


Câu 4: 1 đ

Ho: mẫu phù hợp với phân phối Poisson với   x  0,8133
H1: mẫu không phù hợp với phân phối Poisson.
Miền bác bỏ: Wα =( 7,81; +∞). n =150.
Cơng thức tính pi : pi 
pi
Ei=n*pi

e    i
i!

i=0,1,2,3,4.

0.443378 0.360614 0.14665 0.039758 0.008084
66.50665 54.09208 21.99744 5.963752 1.212629

Tiêu chuẩn kđ: 

4

2
0


i 0

 Oi  Ei 
Ei

2

 9, 0602  Wα  Bác bỏ H0.

Mẫu không phù hợp với phân phối Poisson.



Trường ĐHBK TPHCM

ĐỀ THI HỌC KỲ
MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Thời gian: 90 phút.

Bộ môn Toán ứng dụng

- Đề thi gồm 2 trang A4.
- Thí sinh được dùng các bảng tra số và máy tính bỏ túi.
- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu khác.

Câu 1: ( 2đ)
Thời gian hàng ngày đi học từ nhà đến trường của sinh viên Hải là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với trung bình là 55 phút và độ lệch chuẩn 4 phút. Giờ học ở
trường bắt đầu lúc 7 giờ sáng và việc điểm danh kết thúc lúc 7giờ 05’. Giả sử Hải ra
khỏi nhà lúc 6 giờ sáng để đến trường.
a) Tính xác suất Hải đến trường đúng giờ ?
b) Trong trường hợp Hải đến trễ giờ thì xác suất Hải bị trễ luôn cả giờ điểm danh
là bao nhiêu?
Câu 2: ( 2đ)
Hai người A và B cùng chơi một trận cờ tướng. Ở mỗi ván cờ, xác suất để người
A thắng, thua và hòa lần lượt là 0,4; 0,5 và 0,1. Trận đấu kết thúc ngay khi xảy
ra 1 trong 3 trường hợp sau : người A thắng được 4 ván (coi như A thắng cuộc )
người B thắng được 6 ván (coi như B thắng cuộc ) hoặc sau 12 ván mà chưa có ai
thắng cuộc ( trận đấu coi như hịa) .
a) Tìm xác suất A thắng cuộc sau 8 ván đấu.
b) Tìm xác suất A thắng cuộc.
Câu 3: ( 5 đ)
Dưới đây là số liệu mẫu thu được khi các giảng viên làm khảo sát cuối kỳ trên
200 sinh viên về mối liên quan giữa X là thời gian sinh viên dành cho việc học
môn học A trong 1 tuần và Y là điểm trung bình mơn học mà sinh viên đó đạt
được.
Y(điểm)
X ( giờ)

0-3

3–5

5–7

7-9

9 - 10

Tổng hàng

0- 1

4

3

1

8

1 - 2

4

7

10

21

2 - 3

1

7

30

9

1

48

3 - 4

5

45

22

2

74

4 - 5

2

10

23

4

39

2

5

3

10

98

59

10

n= 200

5 - 6
Tổng cột

9

24

a) Hãy ước lượng thời gian trung bình trong tuần một sinh viên dành cho
1