Tài liệu Bài tập đại số 10 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (634.86 KB, 55 trang )
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 1
§ 1. MỆNH ðỀ
I. Lý thuyết
1.ðịnh nghĩa :
* Mệnh ñề là một câu khẳng ñịnh ñúng hoặc sai .
* Một mệnh ñề không thể vừa ñúng hoặc vừa sai
* Mệnh ñề chứa biến không phải là một mệnh ñề tuy nhiên khi cho các biến nhận một
giá trị nào ñó ta ñược một mệnh ñề.
Ví dụ: *Câu “
2 1 3
x
+ >
” là mộ
t M
ð
ch
ứ
a bi
ế
n vì ta ch
ư
a kh
ẳ
ng
ñị
nh
ñượ
c tính
ñ
úng
sai c
ủ
a nó. Tuy nhiên khi ta cho x nh
ậ
n m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
thì ta
ñượ
c m
ộ
t M
ð
, ch
ẳ
ng
h
ạ
n x=1 ta
ñượ
c M
ð
sai, x=2 ta
ñượ
c M
ð
ñ
úng
* Câu “
2
0
x
≥
” không ph
ả
i là m
ệ
nh
ñề
ch
ứ
a bi
ế
n vì nó là m
ộ
t M
ð
ñ
úng.
2.Mệnh ñề phủ ñịnh:
Cho m
ệ
nh
ñề
P.m
ệ
nh
ñề
“không ph
ả
i P ” g
ọ
i là m
ệ
nh
ñề
ph
ủ
ñị
nh c
ủ
a P. Kí hi
ệ
u là
P
.
N
ế
u P
ñ
úng thì
P
sai, n
ế
u P sai thì
P
ñ
úng
Ví dụ
: P: “ 3 > 5 ” thì
P
: “ 3
≤
5 ”
3. Mệnh ñề kéo theo
*Cho 2 m
ệ
nh
ñề
P và Q. M
ệ
nh
ñề
“n
ế
u P thì Q” g
ọ
i là m
ệ
nh
ñề
kéo theo . Kí hi
ệ
u là P
⇒
Q. M
ệ
nh
ñề
P
⇒
Q ch
ỉ
sai khi P
ñ
úng Q sai
* M
ộ
t
ñị
nh lí toán h
ọ
c th
ườ
ng
ñượ
c phát bi
ể
u d
ướ
i d
ạ
ng m
ộ
t M
ð
kéo theo
P Q
⇒
. Khi
ñ
ó P g
ọ
i là gi
ả
thi
ế
t, Q g
ọ
i là k
ế
t lu
ậ
n
P là
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñủ
ñể
có Q và Q là
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
ñể
có P.
4. Mệnh ñề ñảo – Mệnh ñề tương ñương
* Cho m
ệ
nh
ñề
P
⇒
Q. Khi
ñ
ó m
ệ
nh
ñề
Q
⇒
P g
ọ
i là m
ệ
nh
ñề
ñả
o c
ủ
a P
⇒
Q
* Cho 2 m
ệ
nh
ñề
P và Q. N
ế
u hai m
ệ
nh
ñề
P Q
⇒
và
Q P
⇒
ñề
u
ñ
úng thì
P
và
Q
g
ọ
i
là m
ệ
nh
ñề
t
ươ
ng
ñươ
ng , kí hi
ệ
u P
⇔
Q.M
ệ
nh
ñề
P
⇔
Q
ñ
úng khi c
ả
P và Q cùng
ñ
úng
M
ệ
nh
ñề
P Q
⇔
ta
ñọ
c là: “P t
ươ
ng
ñươ
ng Q” ho
ặ
c “P là
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
có Q”
ho
ặ
c “P khi và ch
ỉ
khi Q”
5. Kí hiệu
∃
∃∃
∃
và
∀
∀∀
∀
*
∃
: T
ồ
n t
ạ
i, có m
ộ
t ( ti
ế
ng anh: Exist)
*
∀
: V
ớ
i m
ọ
i (All)
Ph
ủ
ñị
nh c
ủ
a m
ệ
nh
ñề
“
∀
x
∈
x, P(x) ” là m
ệ
nh
ñề
“
∃
x
∈
x,
P(x)
”
ph
ủ
ñị
nh c
ủ
a m
ệ
nh
ñề
“
∃
x
∈
x, P(x) ” là m
ệ
nh
ñề
“
∀
x
∈
x,
P(x)
”
II. Bài tập:
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Các câu sau ñây, câu nào là mệnh ñề, và mệnh ñề ñó ñúng hay sai :
a) ở ñây là nơi nào ?
b) phương trình x
2
+ x – 1 = 0 vô nghiệm
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 2
c) x + 3 = 5
d) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau :
a) “phương trình x
2
–x – 4 = 0 vô nghiệm ”
b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “∀n∈n ; n
2
– 1 là số lẻ ”
Bài 3: Phát biểu mệnh ñề P ⇒ Q và xét tính ñúng sai của nó và phát biểu mệnh ñề ñảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung ñiểm mỗi
ñường”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ góc B = 45
0
”
Bài 4: Cho các mệnh ñề sau
a) P: “ hình thoi ABCD có 2 ñường cho AC vuông góc với BD”
b) Q: “ tam giác cân có 1 góc = 60
0
là tam giác ñều”
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
* Xét tính ñúng sai của các mệnh ñề và phát biểu mệnh ñề ñảo :
* Biểu diễn các mệnh ñề trên dưới dạng Mð kéo theo
Bài 5: Phát biểu mệnh ñề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp mệnh ñề sau và xét tính ñúng
sai
a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cạnh ñối diện bằng nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”
B: “ tứ giác có 3 góc vuông”
c) A: “ x > y ”
B: “ x
2
> y
2
” ( Với x y là số thực )
d) A: “ðiểm M cách ñều 2 cạnh của góc xOy ”
B: “ðiểm M nằm trên ñường phân giác góc xOy”
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Trong các mệnh ñề, mệnh ñề nào ñúng
I. “ 3 và 5 là số chính phương” II. Các ñường cao của tam giác ñều bằng nhau
III. Các ñường trung tuyến của tam giác cân bằng nhau IV. “33 là số nguyên tố”
Câu 2: Phát biểu nào sau ñây là mệnh ñề ñúng:
I. 2.5=10
⇒
Luân ðôn là thủ ñô của Hà Lan II. 7 là số lẻ
⇒
7 chia hết cho 2
III. 81 là số chính phương
⇒
81
là số nguyên IV.
141 3 141 9
⇒
⋮ ⋮
Câu 3: Mệnh ñề nào sau ñây sai
?
I. ABCD là hình chữ nhật
⇒
tứ giác ABCD có ba góc vuông
II. ABC là tam giác ñều
⇔
A = 60
0
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 3
III. Tam giác ABC cân tại A
⇒
AB = AC
IV.Tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O
⇒
OA=OB=OC=OD
Câu 4: Tìm mệnh ñề ñúng:
I. ðường tròn có một tâm ñối xứng và có một trục ñối xứng
II. Hình chữ nhật có hai trục ñối xứng
III. Tam giác ABC vuông cân
⇔
A = 45
0
IV. Hai
∆
vuông ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau
' ' '
ABC A B C
⇔ ∆ = ∆
Câu 5: Tìm mệnh ñề sai
:
I. a chia hết cho 5
⇒
a(a+1) chia hết cho 5
II. Tam giác ABC vuông tại C
⇔
AB
2
= CA
2
+ CB
2
III. Hình thang ABCD nôi tiếp ñường tròn (O)
⇔
ABCD là hình thang cân
IV. 63 chia hết cho 7
⇒
Hình bình hành có hai ñường chéo vuông góc nhau
Câu 6: Phủ ñịnh của mệnh ñề “ Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn
” là mệnh ñề nào sau ñây:
I. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn tuần hoàn
II. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
III. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
IV. Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân tuần hoàn
Câu 7: Biết A là mệnh ñề sai, còn B là mệnh ñề ñúng. Mệnh ñề nào sau ñây ñúng ?
I.
B A
⇒
II.
B A
⇔
III.
A B
⇒
IV.
B A
⇒
Câu 8: Cho ba mệnh ñề:
• P : “ số 20 chia hết cho 5 và chia hết cho 2 ”
• Q : “ Số 35 chia hết cho 9 ”
• R : “ Số 17 là số nguyên tố ”
Hãy tìm mệnh ñề sai trong các mệnh ñề ñã cho dưới ñây:
I. P
⇔
(
Q R
⇒
) , II. R
⇔
Q
III.
(
)
R P Q
⇒ ⇒
IV.
(
)
Q R P
⇒ ⇒
Câu 9: Cho các câu sau:
a) Huế là một thành phố của miền Nam Việt Nam.
b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.
c) Hãy trả lời câu hỏi này !
d) 5 + 19 = 24
e) 6 + 81 = 25
f) Bạn có rỗi tối nay không ?
g) x + 2 = 11
Số câu là mệnh ñề trong các câu trên là:
I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4
Câu 10: Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P:
2
" 3 1 0"
x x
+ + >
+ + >+ + >
+ + >
với mọi x là :
I. Tồn tại x sao cho
2
3 1 0
x x
+ + >
II. Tồn tại x sao cho
2
3 1 0
x x
+ + ≤
III. Tồn tại x sao cho
2
3 1 0
x x
+ + =
IV. Tồn tại x sao cho
2
3 1 0
x x
+ + ≥
Câu 11: Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P: “
2
: 2 5
x x x
∃ + +
là số nguyên tố” là
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 4
I.
2
: 2 5
x x x
∀ + +
là số nguyên tố II.
2
: 2 5
x x x
∃ + +
là hợp số
III.
2
: 2 5
x x x
∀ + +
là hợp số IV.
2
: 2 5
x x x
∃ + +
là số thực
Câu 11: Cho x là số thực mệnh ñề nào sau ñây ñúng ?
I.
2
, 5 5 5
x x x x
∀ > ⇒ > ∨ < −
II.
2
, 5 5 5
x x x∀ > ⇒ − < <
III.
2
, 5 5
x x x
∀ > ⇒ > ±
IV.
2
, 5 5 5
x x x x
∀ > ⇒ ≥ ∨ ≤ −
Câu 12: Chọn mệnh ñề ñúng:
I.
*
x N
∀ ∈
,
2
-1
n
là bội số của 3 II.
2
: 3
x Q x
∃ ∈ =
III.
n N
∀ ∈
: 2
n
+1 là số nguyên tố IV.
,2 2
n
n N n
∀ ∈ ≥ +
Câu 13: Cho mệnh ñề chứa biến P(x) :
2
" 15 "
x x
+ ≤
với x là số thực. Mệnh ñề ñúng là
mệnh ñề nào sau ñây
I. P(0) II. P(3) III. P(4) IV. P(5)
Câu 14: Trong các mệnh ñề sau mệnh ñề nào sai:
2 2
2 2
, 2 2 , 6 6
. , 3 3 . , 9 9
n N n n n N n n
n N n n n N n n
∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ⇒
∀ ∈ ⇒ ∀ ∈ ⇒
I. II.
III IV
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Câu 15: Cho n là số tự nhiên , mệnh ñề nào sau ñây ñúng.
I.
∀
n: n(n+1) là số chính phương II.
∀
n: n(n+1) là số lẻ
III.
∃
n: n(n+1)(n+2) là số lẻ IV.
∀
n: n(n+1)(n+2) là số chia hết cho 6
Câu 16: Phủ ñịnh của mệnh ñề
2
" ,5 3 1"
x R x x
∃ ∈ − =
là:
2 2
2 2
. " ,5 3 1"
. " ,5 3 1"
." ,5 3 1"
. " ,5 3 1"
x R x x x R x x
x R x x x R x x
∃ ∈ − ≠ ∀ ∈ − =
∀ ∈ − ≠ ∃ ∈ − ≥
I II
III IV
Câu 17:Cho mệnh ñề P(x)
2
" : 1 0"
x R x x
∀ ∈ + + >
. Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề
P(x) là:
I.
2
" : 1 0"
x R x x
∀ ∈ + + <
II.
2
" : 1 0"
x R x x
∀ ∈ + + ≤
III.
2
" : 1 0"
x R x x
∃ ∈ + + ≤
IV.
" ∃
2
: 1 0"
x R x x
∈ + + >
Câu 18: Chọn phương án ñúng trong các phương án sau: mệnh ñề
2
" : 3"
x R x
∃ ∈ =
khẳng ñịnh:
I. Bình phương của mỗi số thực bằng 3 II. Chỉ có 1 số thực có bình phương bằng 3
III. Có ít nhất 1 số thực có bình phương bằng 3 IV. Nếu x là số thực thì x
2
=3
Câu 19: Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong ñội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh ñề
chứa biến “ x cao trên 180cm”. Chọn phương án trả lời ñúng trong các phương án sau:
Mệnh ñề “
" : ( )"
x R P x
∀ ∈
khẳng ñịnh rằng:
I. Mọi cầu thủ trong ñội tuyển bóng rổ ñều cao trên 180cm.
II. Trong số các cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180cm.
III. Bất cứ ai cao trên 180cm ñều là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ.
IV. Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ.
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 5
§ 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN
I. Lý thuyết
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học . Có 2 cách cho tập hợp
* Liệt kê các phần tử :
VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoặc N = { 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . }
* Chỉ rõ tính chất ñặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng
A { | ( )}
x P x
=
VD :
{ |
A x
= ∈
ℕ
x lẻ và
10}
x
<
{1,3,5,7,9}
A
⇒ =
* Tập con :
( )
A B x A x B
⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈
* Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu:
∅
* Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A
2. Các phép toán trên tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp
A∩B = {x /x∈A và x∈B}
A∪B = {x /x∈A hoặc x∈B}
A\ B = {x /x∈A và x∉B}
Chú ý: Nếu B ⊂ A thì
\
A
A B C B
=
gọi là phần bù của B trong A.
3. Các tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
ðoạn [a ; b]
{ | }
x R a x b
∈ ≤ ≤
Khoảng (a ; b )
Khoảng (-∞ ; a)
Khoảng(a ; + ∞)
{ | }
x R a x b
∈ < <
{ | }
x R x a
∈ <
{ | }
x R a x
∈ <
Nửa khoảng [a ; b)
Nửa khoảng (a ; b]
Nửa khoảng (-∞ ; a]
Nửa khoảng [a ; ∞ )
{∈R/ a ≤ x < b}
{x∈R/ a < x ≤ b}
{x∈R/ x ≤ a}
{x∈R/ a ≤ x }
//////////// [ ] ////////
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
////////////( ] /////////
]/////////////////////
///////////////////[
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 6
II. Bài tập
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau
a)
{ | 2| | 7}
A x Z x
= ∈ <
b)
2
{ | 2 1 0}
B x R x x
= ∈ − − =
c)
{
C
=
ước của 18 và 15} d)
{
D
=
Bội của 2 và 5}
Bài 2: Tìm
; , \
A B A B A B
∩ ∪
trong các trường hợp sau
a)
{1,2,3,4,5}; {2,3,5,7,11}
A B
= =
b)
2 3 2
{ |( 1)(3 5 2 0}; { | 4 3 0}
A x R x x x B x R x x x
= ∈ − − + = = ∈ − + =
c)
[ 10;11); ( 2; )
A B
= − = − +∞
d)
( ;12]; ( 7;12)
A B
= −∞ = −
Bài 3: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử?. Từ
ñó hay cho biết từ 10 ñiểm phân biệt ta có thể lập ñược bao nhiêu véc tơ mà ñiểm ñâu và
ñiểm cuối là các ñiểm trong 10 ñiểm trên.
Bài 4: Cho
{ | 7}
A x N x
= ∈ <
và
{1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
B
=
a) Xác ñịnh
; ; \ ; \
AUB A B A B B A
∩
b) CMR :
( ) \ ( ) ( \ ) ( \ )
A B A B A B B A
∪ ∩ = ∪
Bài 5: Cho
{2;5}; {5; }, { ; ;5}
A B x C x y
= = =
. Tìm các cặp số (x ; y) ñể
A B C
= =
.
Bài 6: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tñ = tập hợp tất cả các tam giác ñều
Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân
Xác ñịnh tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X =
{
}
2
| 2 5 3 0
x x x
∈ − + =
ℝ
I.
{0}
X
=
II.
{1}
X
=
III.
3
{ }
2
X =
IV.
3
{1; }
2
X =
Câu 2: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp:
{
{{
{
}
}}
}
2
| 1 0
X x x x
= ∈ + + =
= ∈ + + == ∈ + + =
= ∈ + + =
ℝ
ℝℝ
ℝ
I.
{0}
X
=
II.
0
X
=
III.
X
= ∅
IV.
{ }
X
= ∅
Câu 3:
Trong các m
ệ
nh
ñề
sau, tìm m
ệ
nh
ñề
sai:
I
.
A A
∈
II.
A
∅ ⊂
III.
A A
⊂
IV.
{ }
A A
∈
Câu 4:
T
ậ
p h
ợ
p X có bao nhiêu t
ậ
p h
ợ
p con, bi
ế
t t
ậ
p h
ợ
p X có ba ph
ầ
n t
ử
:
I.
2
II.
4
III.
6
IV.
8
Câu 5:
T
ậ
p h
ợ
p
{1,2,3,4,5,6}
A
=
==
=
có bao nhiêu t
ậ
p h
ợ
p con g
ồ
m 2 ph
ầ
n t
ử
I.
30
II.
15
III.
10
IV.
3
Câu 6:
Trong các t
ậ
p h
ợ
p sau, t
ậ
p h
ợ
p nào là t
ậ
p h
ợ
p r
ỗ
ng:
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang
7
I.
{
{{
{
}
}}
}
x / x 1
∈ <
∈ <∈ <
∈ <
Z
II.
{
{{
{
}
}}
}
2
x | 6 7 1 0
x x
∈ − + =
∈ − + =∈ − + =
∈ − + =
Z
III.
{
{{
{
}
}}
}
2
x x 4 2 0
x
∈ − + =
∈ − + =∈ − + =
∈ − + =
|
Q
IV.
{
{{
{
}
}}
}
2
x | 4 3 0
R x x
∈ − + =
∈ − + =∈ − + =
∈ − + =
Câu 7: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xét các mệnh ñề sau:
(1) x
∈
∈∈
∈
A (2)
{x} A
∈
(3) x
⊂
⊂⊂
⊂
A (4)
{
{{
{
}
}}
}
x
A
⊂
⊂⊂
⊂
Trong các mệnh ñề trên, mệnh ñề nào ñúng.
I. 1 & 2 II. 1 & 3 III. 1 & 4 IV. 2 & 4
Câu 8: Số phần tử của tập hợp A =
{
{{
{
}
}}
}
2
| , 2
x x x
∈ ≤
∈ ≤∈ ≤
∈ ≤
Z
là :
I. Một II. Hai III. Ba IV. Năm
Câu 9: Các kí hiệu nào sau ñây dùng ñể viết ñúng mệnh ñề “7 là một số tự nhiên”
I. 7
N
⊂
⊂⊂
⊂
II. 7
N
∈
∈∈
∈
III. 7
N
<
<<
<
IV. 7
N
≤
≤≤
≤
.
Câu 10: Trong các tập hợp sau ñây, tập hợp nào có ñúng một tập hợp con:
I.
∅
∅∅
∅
II. {1} III.
{ }
∅
∅∅
∅
, IV.
{
{{
{
}
}}
}
;1
∅
∅∅
∅
Câu 11: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6}. Tập hợp A\B bằng:
I. {0} II. {0;1} III. {1;2} IV. {1;5}.
Câu 12: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6}. Tập hợp B\A bằng:
I. {5 }. II. {0;1} III. {2;3;4 } IV. {5;6 }.
Câu 13: Cho số thực
0
a
<
<<
<
. ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
hai kho
ả
ng
( ;9 )
a
−∞
và
4
( ; )
a
+∞
có giao khác t
ậ
p r
ỗ
ng là:
I
. –2/3<a<0.
II
. –2/3
≤
a<0.
III
. –3/4<a<0.
IV
. –3/4
≤
a<0.
Câu 14:
Cho A=[-4;7] và B=(-
∞
;-2)
∪
(3;+
∞
). Khi
ñ
ó A
∩
B là:
I
.
[ 4; 2) (3;7]
− − ∪
II
.
[ 4; 2) (3;7)
− − ∪
III
.
( ;2] (3; )
−∞ ∪ +∞
IV
.
( ; 2) [3; )
−∞ − ∪ +∞
.
Câu 15:
Cho A=(-
∞
;-2]; B=[3;+
∞
) và C=(0;4). Khi
ñ
ó t
ậ
p (A
∪
B)
∩
C là:
I.
[3;4].
II.
(-
∞
;-2]
∪
(3;+
∞
).
III.
[3;4)
IV.
(-
∞
;-2)
∪
[3;+
∞
).
Câu 16:
Ch
ọ
n kh
ẳ
ng
ñị
nh
sai
trong các kh
ẳ
ng
ñị
nh sau:
I.
∩ =
ℕ ℤ ℕ
II
.
∪ =
ℚ ℝ ℝ
III
.
* *
∩ =
ℚ ℕ ℕ
IV.
* *
∪ =
ℚ ℕ ℕ
Câu 17:
Cho
[1;4]; (2;6); (1;2)
A B C
= = =
. Khi
ñ
ó t
ậ
p
A B C
∩ ∩
là:
I
.
[1;6)
II.
(2;4]
III
.
(1;2]
IV
.
∅
Câu 18:
Cho
2 2
{ | (2 )(2 3 2) 0}
A x R x x x x
= ∈ − − − =
và
2
{ *|3 30}
B n N n= ∈ < <
.
Khi
ñ
ó t
ậ
p h
ợ
p
A B
∩
b
ằ
ng:
I
.
{2;4}
II
. {2}
III
. {4;5}
IV
. {3}.
Câu 19
: Cho hai t
ậ
p A và B phân bi
ệ
t th
ỏ
a mãn
A B A
∩ =
. Kh
ẳ
ng
ñị
nh nào sau
ñ
ây là
ñ
úng
I.
B A
⊂
II.
A B
⊂
III.
\
A B
≠ ∅
IV.
\
B A
= ∅
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 8
Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI
§ 1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT
1.ðịnh nghĩa: Cho D ⊂ R. hàm số f xác ñịnh trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi x∈D là
1 và chỉ 1 số . Khi ñó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác ñịnh.
* Nếu hàm số cho bằng công thức
( )
y f x
=
khí ñó TXð của hàm số là tập các giá trị
của x sao cho biểu thức
( )
f x
có nghĩa.
* Chú ý: Với
( )
f x
và
( )
g x
là một ña thức thì :
( )
f x
có nghĩa
( ) 0
f x
⇔ ≥
( Biểu thức dưới dấu căn không âm)
( )
( )
f x
g x
có nghĩ
a
( ) 0
g x
⇔ ≠
( Bi
ể
u th
ứ
c
ở
m
ẫ
u khác 0)
2. ðồ thị hàm số:
Là t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m
( ; ( ))
M x f x
v
ớ
i x thu
ộ
c D.
V
ậ
y
ñ
i
ể
m
0 0 0 0
( ; ) ( ): ( ) ( )
M x y C y f x y f x
∈ = ⇔ =
3. Sự biến thiên hàm số:
Cho f(x) xác
ñị
nh trên D
* f
ñồ
ng bi
ế
n ( t
ă
ng) trên D
1 2
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
, ; : 0
f x f x
x x D x x
x x
−
⇔ ∀ ∈ ≠ >
−
* f ngh
ị
ch bi
ế
n ( gi
ả
m) trên D
1 2
1 2 1 2
1 2
( ) ( )
, ; : 0
f x f x
x x D x x
x x
−
⇔ ∀ ∈ ≠ <
−
*
ðồ
th
ị
hàm
ñồ
ng bi
ế
n là m
ộ
t
ñườ
ng
ñ
i lên t
ừ
trái qua ph
ả
i,
ðồ
th
ị
hàm ngh
ị
ch bi
ế
n là
m
ộ
t
ñườ
ng
ñ
i xu
ố
ng t
ừ
trái qua ph
ả
i.
4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
* f g
ọ
i là ch
ẵ
n trên D
( ) ( )
x D x D
f x f x
∈ ⇒ − ∈
⇔
− =
⇒
ðồ
th
ị
nh
ậ
n Oy làm tr
ụ
c
ñố
i x
ứ
ng.
* f g
ọ
i là l
ẻ
trên D n
ế
u
( ) ( )
x D x D
f x f x
∈ ⇒ − ∈
⇔
− = −
⇒
ðồ
th
ị
nh
ậ
n O làm tâm
ñố
i x
ứ
ng.
*M
ộ
t hàm s
ố
có th
ể
không ch
ẵ
n c
ũ
ng không l
ẻ
Ví dụ 1:
Tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a các hàm s
ố
sau
) ( ) 1 3
a f x x
= −
2
) ( ) 2 9
3 1
b f x x
x
= + −
+
1
) ( )
1 1 4
c f x
x
=
− +
Giải:
a) f(x) có nghĩa
1 1
1 3 0 ( ; ]
3 3
x x D⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇒ = −∞
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 9
b) f(x) có nghĩa
1
3 1 0
1 2
3
( ; ]
2 9 0 2
3 9
9
x
x
D
x
x
> −
+ >
⇔ ⇔ ⇒ = −
− ≥
≤
.
c) f(x) có nghĩa
0
1 4 1
1 1 4 0 1
[ ;0)
1
1
4
1 4 0
4
4
x
x
x
D
x
x
x
<
+ <
− + >
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = −
≥ −
+ ≥
≥ −
.
Ví dụ 2: Xét tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số
2
( ) 2 2
f x x x
= − +
trên
(1; )
+∞
.
Giải: Vì
2 2
2 2 ( 1) 1 0
x x x x R D R
− + = − + > ∀ ∈ ⇒ =
1 2 1 2
, (1; );
x x x x
∀ ∈ +∞ ≠
ta có:
2 2
1 2 1 1 2 2
( ) ( ) 2 2 2 2
f x f x x x x x
− = − + − − +
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 ( )( 2)
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x
x x x x x x x x
− − + − + −
= =
− + + − + − + + − +
Suy ra:
1 2 1 2
2 2
1 2
1 1 2 2
( ) ( ) 2
2 2 2 2
f x f x x x
x x
x x x x
− + −
=
−
− + + − +
Vì
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( )
, (1; ) , 1 2 0
f x f x
x x x x x x
x x
−
∈ +∞ ⇒ > ⇒ + > ⇒ >
−
Vậy hàm ñồng biến trên
(1; )
+∞
.
Ví dụ 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
2
) ( ) | | ( 2)
a f x x x
= −
) ( ) | 2 1| | 2 1|
b f x x x
= + − −
) ( ) 1
c f x x
= −
Giải:
a) TXð:
D R
=
nên
x D x D
∀ ∈ ⇒ − ∈
.
Ta có:
2 2
( ) | |[( ) 2] | | ( 2) ( ) ( )
f x x x x x f x f x
− = − − − = − = ⇒
là hàm số chẵn.
b) TXð:
D R
=
nên
x D x D
∀ ∈ ⇒ − ∈
.
Ta có:
( ) | 2 1| | 2 1| |2 1| |2 1| ( ) ( )
f x x x x x f x f x
− = − + − − − = − − + = − ⇒
là hàm số lẻ
c)TXð:
[1; )
D
= +∞
Ta có:
2
D
∈
nhưng
2
D
− ∉
nên f(x) là hàm không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có tập xác ñịnh là tập ñối xứng. Chứng minh rằng f(x) luôn
phân tích ñược thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
Giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
f x f x f x f x
f x g x h x
+ − − −
= + = +
Ta dễ dàng chứng minh ñược g(x) là hàm số chẵn, h(x) là hàm số lẻ
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 10
II. BÀI TẬP
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau:
a)
2
1
1
x
y
x
−
=
−
b)
2
2 1
.
2 1
x
y
x x
+
=
− −
c)
3 4
( 2) 4
x
y
x x
+
=
− +
d) y =
1
8 2 7
1
x x
x
+ + + +
−
Bài 2: Cho hàm số
5 2 3
y x x a
= − + +
. ðịnh a ñể tập xác ñịnh của hàm số là ñoạn
thẳng có ñộ dài = 1 ñơn vị
Bài 3:Cho hàm số
3
khi 0
1
( )
1
khi 1 0
1
x
x
x
f x
x
x
x
>
+
=
+
− ≤ ≤
−
a) Tìm tập xác ñịnh của hàm số
( )
y f x
=
.
b) Tính
(0), (2), ( 3), ( 1)
f f f f
− −
.
Bài 4: Cho hàm số
2
( ) 1
f x x x
= + −
a) Tìm tập xác ñịnh của hàm số.
b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần ñúng của f(4),
( 2), ( )
f f
π
chính xác ñến hàng phần trăm.
Bài 5: Bằng cách xét tỉ số
2 1
2 1
( ) ( )
f x f x
x x
−
−
, hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau
(không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khỏang ñã cho:
a)
1
x
y
x
=
+
trên mỗi khỏang
( , 1)
−∞ −
và
( 1, )
− +∞
b)
2 3
3
x
y
x
+
=
− +
trên mỗi khỏang
( ;3)
−∞
và
(3; )
+∞
Bài 6: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
4 2
3 3 2
y x x
= + −
b)
3
2 5
y x x
= −
c)
y x x
=
d)
1 1
y x x
= + + −
e)
1 1
y x x
= + − −
f)
2 2
1 1
x x
y
x x
+ + −
=
+ − −
Bài 7:
Tìm m
ñể
ñ
i
ể
m
(1;2)
A
thu
ộ
c
ñồ
th
ị
hàm s
ố
3 2
2 (2 1) 3
y x mx m x m
= + + + +
Bài 8:
Xác
ñị
nh a,b bi
ế
t
ñồ
th
ị
hàm s
ố
2
1
y ax bx
= + +
ñi qua
(1;3), ( 2; 1)
A B
− −
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 11
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số
2
1
( 1) 2
x
y
x x
+
=
+ −
. Hàm số ñã cho có tập xác ñịnh là:
I.
[
)
2;
+∞
II.
(
)
2;
+∞
III.
(
)
{
}
2; \ 1
− +∞ −
IV.
[
)
2;
− +∞
Câu 2: Trong các tập sau, ñâu là tập xác ñịnh cảu hàm số
2
1 2
3
x
y x
x
+
= − +
−
I.
1
[ ; )
2
− ∞ II.
(3; )
+∞
III.
1
[ ; ) \{3}
2
+∞ IV. ðáp án khác
Câu 3: Tập xác ñịnh của hàm số
2 4 6
y x x
= − + −
là :
I. ∅ II. [ 2; 6 ] III. (- ∞ ; 2]∪ [ 6 ; +∞ ) IV. [ 6 ; +∞ )
Câu 4: Giá trị nào sau ñây không thuộc tập xác ñịnh h/s:
2
2
3 2 1
9
4 3
x
y x
x x
+ −
= + −
− +
I.
4
x
=
II.
15
2
x
=
III.
17
6
x
=
IV
.
21
x =
Câu 5:
T
ậ
p
(1; )
D
= +∞
là t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố
nào sau
ñ
ây?
I.
3 3
y x
= −
II.
1
1
y
x
=
−
III.
2
3 1
( 1)( 10)
x
y
x x
+
=
− +
IV.
1
2 3
1
y x
x
= + −
−
Câu 6:
Cho hàm s
ố
1
khi 0
1
2
khi 0
2
x
x
x
y
x
x
x
+
<
−
=
≥
+
phát biểu nào sau ñây là ñúng
I. Hàm số không xác ñịnh khi x = 1 II. Hàm số không xác ñịnh khi x = - 2
III. Tập xác ñịnh của hàm số là R IV. Hàm số không xñ khi x = 1 hoặc x = - 2
Câu 7: Hàm số
2
( 2)( 1)
x
y
x x
−
=
− −
thì
ñ
i
ể
m nào thuôc
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
I.
M( 2 ;1)
II.
M(0 ; -1)
III.
M( 2 ; 0)
IV.
M(1 ; 1)
Câu 8:
ð
i
ể
m nào sau
ñ
ây thu
ộ
c
ñồ
th
ị
hàm s
ố
2
khi 1
3
( )
2
khi 1
1
x
x
x
y f x
x
x
x
−
<
−
= =
≥
+
.
I.
A( 2;0)
II.
A (0;0)
III.
A(1 ; 1)
IV.
2
(1; )
3
A
Câu 9:
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
ñồ
th
ị
hàm s
ố
2
2
x x m
y
x m
− +
=
−
ñ
i qua
(2;1)
A
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 12
I.
1
m
=
II.
2
m
=
III.
0
m
=
IV.
3
2
m
=
Câu 10:
Trong các hàm s
ố
sau, hàm s
ố
nào ch
ẵ
n
I.
3
| |( 2 )
y x x x
= +
II.
4
2 1
y x x
= + +
III.
2
1
2| | 1
x
y
x
−
=
+
IV
.
3
| |
y x x
= −
Câu 11:
Hàm s
ố
2
3
1
x
y
x x
−
=
+
là hàm s
ố
:
I.
ch
ẵ
n
II.
l
ẻ
III.
V
ừ
a ch
ẵ
n, v
ừ
a l
ẻ
IV.
Không có tính ch
ẵ
n l
ẻ
Câu 12:
V
ớ
i
( ) (| | 2)
f x x x
= −
thì f(x) là:
I.
f(x) là hàm s
ố
ch
ẵ
n
II.
f(x) không là hàm s
ố
l
ẻ
III.
f(x) v
ừ
a là hàm s
ố
ch
ẵ
n và l
ẻ
IV.
f(x) là hàm s
ố
l
ẻ
Câu 13:
Cho hàm s
ố
2
2 3
y x
= +
khi
ñ
ó
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
ñ
ó:
I.
C
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m
II.
C
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 1
ñ
i
ể
m
III.
Không c
ắ
t tr
ụ
c tung
IV.
Không c
ắ
t tr
ụ
c hoành
Câu 14
: Cho b
ố
n
ñồ
th
ị
sau
x
y
(1)
x
y
(2)
x
y
(3)
x
y
(4)
a) ðâu là ñồ thị hàm số chẵn
I. (1) II. (1) và (2) III. (3) IV. (3) và (4)
b) ðâu là ñồ thị hàm số lẻ
I. (2) và (3) II. (1) và (2) III. (4) IV. (3)
Câu 15: Cho hàm số y=f(x) có ñồ thị như sau
Khẳng ñịnh nào sau ñây là ñúng?
I. Hàm số luôn ñồng biến
II. Hàm số luôn nghịch biến
III. Phương trình f(x)=0 có ba nghiệm phân biệt
IV.
( ) 0
f x x
≥ ∀
x
y
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 13
§ 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. LÝ THUYẾT
* Là hàm số có dạng:
( 0)
y ax b a
= + ≠
* Hàm số ñồng biến khi
0
a
>
và nghị
ch bi
ế
n khi
0
a
<
*
ðồ
th
ị
là m
ộ
t
ñườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t hai tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ
t
ạ
i
(0; )
A b
và
( ;0)
b
B
a
−
* Hàm s
ố
y b
=
g
ọ
i là hàm h
ằ
ng.
ðồ
th
ị
c
ủ
a nó là
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i tr
ụ
c Ox,
c
ắ
t Oy t
ạ
i
(0; )
A b
. M
ọ
i
ñ
i
ể
m thu
ộ
c
ñồ
th
ị
luôn có d
ạ
ng:
( ; )
M x b
Ví dụ 1: Tìm a,b biết ñường thẳng d:
y ax b
= +
a) ði qua
(1;2), ( 2; 1)
A B
− −
b) ði qua
(3;2)
M
và song song với trục hoành
c) ði qua
(2;4)
C
và vuông góc với ñường thẳng d’:
1
1
3
y x
= +
Giải:
a) Vì ñường thẳng d ñi qua
(1;2), ( 2; 1)
A B
− −
nên:
2 1
2 1 1
a b a
a b b
+ = =
⇔
− + = − =
b) Vì ñường thẳng d song song với Ox nên
0
a
= ⇒
d có dạng:
y b
=
(3;2) 2
M d b
∈ ⇒ =
c)
1
' . 1 3
3
d d a a
⊥ ⇒ = − ⇒ = −
. Vì
(2;4) 4 3.2 10
C d b b
∈ ⇒ = − + ⇒ =
Ví dụ 2: Tìm m ñể ba ñường thẳng
1 2 3
: 2 1, : 3 6, : (2 1) 2 1
d y x d y x d y m x m
= + = − + = + + −
ñồng quy tại một ñiểm.
Giải:
Gọi A là giao ñiểm của
1
d
và
2
(1;3)
d A
⇒
. ðể ba ñường thẳng
1 2 3
, ,
d d d
ñồng quy thì A
phải thuộc
3
d
:
3
3 2 1 2 1
4
m m m
= + + − ⇒ =
.
II. BÀI TẬP
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Vẽ trên cùng một hệ trục ñồ thị các hàm số sau:
) 2 3
a y x
= −
1
)
3
x
b y
+
=
1
) 1
2
c y x
= − +
1
) 3
2
d y x
= − +
Timg giao ñiểm của các ñường thẳng trên.
Bài 2: Tìm ñường thẳng
∆
biết:
a)
∆
ñi qua
(2; 3), ( 1;2)
A B
− −
b) ði qua
(2;1)
M
và song song với ñường thẳng
:2 1 0
d x y
+ − =
c) ði qua
(4;3)
N
và vuông góc với trục Oy
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 14
Bài 3:Tìm m ñể ba ñ/t sau ñồng quy:
1 2
: 1 0, : 5 1
d x y d y x
+ − = = +
,
3
: 5 2 1
d y x m
= + −
Bài 4: Cho ba ñường thẳng
1
: 1
d y x
= −
;
2
: 1
d y x
= − +
;
3
: 2 0
d y
+ =
. Gọi A, B, C là
các giao ñiểm của các cặp ñường thẳng trong ba ñường thẳng trên. Tính diện tích tam
giác ABC
Bài 5: Cho 2 ñường thẳng ∆
1
:
(2 1) 4 5
y m x m
= − + −
; ∆
2
:
( 2) 4
y m x m
= − + +
a) Tìm 2 ñiểm cố ñịnh của 2 ñường thẳng
b) ðịnh m ñể ñồ thị ∆
1
song song với ∆
2
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào ñồng biến
I.
2 1
y x
= − +
II.
(1 3) 2
y x
= − +
III.
2
( 1)
y m x
= +
IV.
3
( 2)
2
y x
= −
Câu 2:
Hàm s
ố
3 2
( 2 ) 1
y m m x
= − +
ñồ
ng bi
ế
n khi
I.
0
m
=
II.
2
m
≥
III.
2
m
<
IV.
2
m
>
Câu 3:
Trong các
ñườ
ng th
ẳ
ng sau,
ñườ
ng th
ẳ
ng nào
ñ
i qua
(2;1), (4;3)
A B
I.
3 1
y x
= +
II.
1
y x
= − +
III.
1 0
y x
− + =
IV.
2 1
y x
= −
Câu 4:
Giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a hai
ñườ
ng th
ẳ
ng
3 1
y x
= −
và
5 3
y x
= −
là
I.
(2;5)
A
II.
(2;7)
A
III.
(1;2)
A
IV.
( 1; 4)
A
− −
Câu 5:
Trong các
ñườ
ng th
ẳ
ng sau,
ñườ
ng th
ẳ
ng nào song song v
ớ
i
2 1 0
x y
− + =
I.
2 1 0
x y
+ + =
II.
4 2 2 0
x y
− + − =
III.
1
1 0
2
x y
− + + =
IV.
1
2
y x
=
Câu 6:
ðườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
3
6
3
y x
= −
là:
I.
3 8
y x
= +
II.
3
7
3
y x
− =
III.
1
1 0
3
y x
+ − =
IV.
3 0
y x
+ =
Câu 7:
Cho 3
ñườ
ng th
ẳ
ng ∆
1
:
2 1
y x
= −
; ∆
2
:
8
y x
= −
và ∆
3
:
(3 2 ) 2
y m x
= − +
ðị
nh
m
ñể
3
ñườ
ng th
ẳ
ng trên
ñồ
ng quy
I.
1
m
= −
II.
1
2
m
=
III.
1
m
=
IV.
3
2
m
= −
Câu 8:
V
ớ
i m
ọ
i m
ñườ
ng th
ẳ
ng
2 3
y mx m
= + +
qua
ñ
i
ể
m c
ố
ñị
nh A nào
I.
(2;3)
A
II.
( 2; 3)
A
− −
III.
( 2;3)
A
−
IV.
K
ế
t qu
ả
khác
Câu 9:
Cho 3 d
ườ
ng th
ẳ
ng ∆
1
:
5
y x
= − +
;∆
2
:
2 7
y x
= −
và ∆
3
:
2
( 2) 4
y m x m
= − + +
.
ðị
nh m
ñể
3
ñườ
ng th
ẳ
ng trên
ñồ
ng quy
I.
1
m
= −
II.
5
m
= −
III.
1
m
=
IV.
4
m
=
Câu 10:
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì hàm s
ố
2
(4 ) 5
y m x m
= − +
ñố
ng bi
ế
n trên R
I.
2 2
m
− < <
II.
2 V 2
m m
< − >
III.
2
m
≠ ±
IV.
2
m
= ±
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 15
§ 3. HÀM SỐ BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT
1.ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng:
2
( 0)
y ax bx c a
= + + ≠
.
2.Sự biến thiên và ñồ thị :
0
a
>
0
a
<
• Tập xác ñịnh là R
• ðỉnh
( ; )
2 4
b
I
a a
∆
− −
• Hàm số nghịch biến trên
( ; )
2
b
a
−∞ −
và
ñồng biến trên khoảng
( ; )
2
b
a
− +∞
.
• Bảng biến thiên
x
- ∞
2
b
a
−
+∞
y
+∞ +∞
4
a
∆
−
• Trục ñối xứng là ñường
2
b
x
a
= −
2
b
x
a
= −
• Tập xác ñịnh là R
• ðỉnh
( ; )
2 4
b
I
a a
∆
− −
• Hàm số nghịch biến trên
( ; )
2
b
a
− +∞
và ñồng biến trên khoảng
( ; )
2
b
a
−∞ −
• Bảng biến thiên
x
- ∞
2
b
a
−
+∞
y
4
a
∆
−
-∞ -∞
• Trục ñối xứng là ñường
2
b
x
a
= −
2
b
x
a
= −
B
Ví dụ 1: Xác ñịnh hàm số bậc hai
2
2
y x bx c
= + +
biết ñồ thị của nó
1) Có trục ñối xứng là
1
x
=
và cắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i
ñ
i
ể
m có tung
ñộ
là 4.
2)
Có
ñỉ
nh là
( 1; 2)
I
− −
3)
Có hoành
ñộ
ñỉ
nh là 2 và
ñ
i qua
ñ
i
ể
m
(1; 2)
A
−
.
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 16
Giải:
1) Trục ñối xứng
1 4
2 4
b b
x b
a
= = − = − ⇔ = −
. Cắt trục tung tại (0;4)
4 (0)
y c
⇔ = =
2) ðỉnh
1 4
2 4
( 1) 2 0
b b
x b
a
y c
− −
= = = − ⇔ =
− = − ⇔ =
3) Hoành ñộ ñỉnh
2 8
2 4
b b
x b
a
− −
= = = ⇔ = −
. ðồ thị qua ñiểm
(1; 2) 2 (1) 4
A y c
− ⇔ − = ⇔ =
.
Ví dụ 2: Xác ñịnh Parabol
2
( ):
P y ax bx c
= + +
biết (P) có ñỉnh
(1; 2)
I
−
và ñi qua
(2; 1)
A
−
. Vẽ (P) vừa tìm ñược. Dựa vào ñồ thi của (P) hãy tìm x thỏa mãn
2
y
≥
.
Giải:
Vì (P) có ñỉnh
(1; 2)
I
−
nên:
2
1 2
2
2
(1) 2 2
b
b a
b a
a
a c
y a b c
= −
− = ⇒ = −
⇔
− + = −
= − ⇔ + + = −
(P) ñi qua
(2; 1)
A
−
nên
(2) 1 4 2 1 1 1, 2
y a b c c a b
= − ⇔ + + = − ⇔ = − ⇒ = = −
Vậy
2
( ): 2 1
P y x x
= − −
.
Vẽ (P): hình bên
Ta có: ñường thẳng
2
y
=
cắt (P) tại hai ñiểm có
hoành ñộ là -1 và 3. Phần
2
y
≥
là phần mà ñồ thị
của (P) nằm trên ñường thẳng
2
y
=
Dựa vào ñồ thị ta thấy ứng với phần ñồ thị nằm
Trên ñường thẳng
2
y
=
là
1 V 3
x x
≤ − ≥
.
II. BÀI TẬP
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Vẽ các Parabol sau
2
) 4 3
a y x x
= − +
2
) 2 4 1
b y x x
= − + +
2
) 2 3
c y x x
= − + −
2
1
) 1
4
d y x x
= + +
2
) 2 1
e y x x
= + +
Bài 2:
Xác
ñị
nh t
ọ
a
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng
∆
và Parabol (P) trong các tr
ườ
ng
h
ợ
p sau:
a)
2
( ): 2 3 1 : 5
P y x x y x
= − + ∆ = +
b)
2
( ): 4 2 : 2 7
P y x x y x
= − + ∆ = −
c)
2
( ): 1 : 2 2
P y x x y x
= − + + ∆ = +
Bài 3:
Xác
ñị
nh Parabol
2
( ): 2
P y ax bx
= + +
bi
ế
t
y=2
y
x
3
-1
2
1
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang
17
a)
( )
P
ñi qua
(1;2)
A
và
(2; 1)
B
−
b)
( )
P
có ñỉnh
( 2;1)
I
−
c)
( )
P
cắt Ox tại
( 2;0)
M
−
và
(3;0)
N
Bài 4: Vẽ Parabol
2
( ): ( )
P y f x ax bx c
= = + +
biết (P) có ñỉnh
(1;2)
I
và ñi qua
( 2;1)
A
−
. Dựa vào ñồ thị (P) hay tìm x ñể
( ) 2
f x
≤
Bài 5: a) Ký hiệu (P) là parabol
2
, 0
y ax bx c a
= + + ≠
. Chứng minh rằng nếu một
ñường thẳng song song với trục hoành, cắt (P) tại hai ñiểm phân biệt A và B thì trung
ñiểm C của ñọan thẳng AB thuộc trục ñối xứng của parabol (P).
b) Một ñường thẳng song song với trục hoành cắt ñồ thị (P) của một hàm số bậc hai tại
hai ñiểm M(-3,3) và N(1,3). Hãy cho biết phương trình trục ñối xứng của parabol (P).
Bài 6:Hàm số bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
có giá trị nhỏ nhất bằng
3
4
khi
1
2
x
=
và
nhận giá trị
bằng 1 khi x=1.
a)Xác ñịnh các hệ số a, b và c. Khảo sát sự biến thiên ,vẽ ñồ thị (P) của hàm số vừa
nhận ñược .
b) Xét ñường thẳng
y mx
=
, ký hiệu bởi (d). Khi (d) cắt (P) tại hai ñiểm A và B phân
biệt, hãy xác ñịnh tọa ñộ trung ñiểm của ñọan thẳng AB.
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Parabol
2
2
y x x
= −
có ñỉnh I là :
I.
(1;1)
I
II.
(2;0)
I
III.
( 1;1)
I
−
IV.
( 1;2)
I
−
Câu 2: ðiểm
(1;2)
I
là ñỉnh của Parabol nào dưới ñây
I.
2
2 2
y x x
= − +
II.
2
2 4 3
y x x
= − +
III.
2
3 6 1
y x x
= − + −
IV.
2
2
y x x
= −
Câu 3
: Parabol
2
1
2
2
y x x
= − +
ñồng biến trên khoảng
I.
1
( ; )
4
+∞
II.
(4; )
+∞
IV.
( ;2)
−∞
IV.
(1; )
+∞
Câu 4: Hàm số nào sau ñây nghịch biến trên
( 1; )
− +∞
I.
2
1
y x x
= − − +
II.
2
2 4 3
y x x
= − − +
III.
2
2 4
y x x
= − +
IV.
2
2
y x x
= − −
Câu 5:Tìm m ñể ñỉnh ñồ thị
2
y x x m
= + +
nằm trên ñường thẳng
3
4
y
=
I.
3
4
m
= −
II.
3
4
m
=
III.
1
2
m
= −
IV.
1
2
m
=
V.
1
m
=
Câu 6:
Cho các hàm s
ố
sau , hãy ch
ỉ
các
ñ
ô th
ị
t
ươ
ng
ứ
ng sau:
2
2 3
y x x
= + +
có
ñồ
th
ị
là ………
2
6 9
y x x
= − + −
có
ñồ
th
ị
là ………
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 18
2
2 2 3
y x x
= + −
có ñồ thị là ………
2
4 5
y x x
= − + −
có ñồ thị là ………
(I)
(II)
(III)
(IV)
Câu 7: Nếu (P) cắt Ox tại các ñiểm có hoành ñộ x=-1 và x=3 thì (P) có trục ñối xứng
I.
1
x
= −
II.
3
x
=
III.
1
x
=
IV.
3
x
= −
Câu 8: Parabol (P) ñi qua
( 2;4)
A
−
và
(5;4)
B
có trục ñối xứng là
I.
4
x
=
II.
3
2
x
=
III
.
1
x
=
IV.
0
x
=
Câu 9:
Có bao nhiêu Parabol có
ñỉ
nh
(2;3)
I
I.
M
ộ
t
II.
Hai
III.
B
ố
n
IV.
Nhi
ề
u h
ơ
n n
ă
m
Câu 10:
Có bao nhiêu Parabol c
ắ
t Ox t
ạ
i
( 2;0)
A
−
và
(4;0)
B
I.
M
ộ
t
II.
Ba
III.
N
ă
m
IV.
Vô s
ố
Câu 11:
Hãy khoanh tròn vào các kh
ẳ
ng
ñị
nh
ñ
úng.
I.
Parabol
2
4 1
y x x
= − + −
có
ñỉ
nh I (2;3)
II.
Parabol
2
4 1
y x x
= − + −
ngh
ị
ch bi
ế
n trong kho
ả
ng (-3; 0).
III.
Parabol
2
2 2
y x x
= + +
nh
ậ
n x =-1 làm tr
ụ
c
ñố
i x
ứ
ng.
IV.
Parabol
2
2
y x x
= −
ñồ
ng bi
ế
n trong
( ;1)
−∞
ngh
ị
ch bi
ế
n trong
(1; )
+∞
Câu 12:
Tìm a,b,c bi
ế
t (P):
2
y ax bx c
= + +
ñ
i qua 3
ñ
i
ể
m
( 1;0), (0;1), (1;0)
A B C
−
.
I.
1; 2; 1
a b c
= = =
II.
1; 2; 1
a b c
= = − =
III.
1; 0; 1
a b c
= − = =
IV.
1; 0; 1
a b c
= = = −
Câu 13:
Cho hàm s
ố
2
y x mx n
= + +
có
ñồ
th
ị
là (P).Tìm m, n
ñể
(P) có
ñỉ
nh là S(1; 2).
I.
2; 1
m n
= =
II.
2; 3
m n
= − = −
III.
2; 2
m n
= = −
IV.
2; 3
m n
= − =
Câu 14:
Cho hàm s
ố
2
2 4 3
y x x
= − +
có
ñồ
th
ị
là parabol (P).Tìm m
ệ
nh
ñề
sai
?
I.
(P)
ñ
i qua
ñ
i
ể
m M(-1; 9).
II.
(P) có tr
ụ
c
ñố
i x
ứ
ng là
ñườ
ng th
ẳ
ng y = 1.
III.
(P) có
ñỉ
nh là S(1; 1).
IV.
(P) không có giao
ñ
i
ể
m v
ớ
i tr
ụ
c hoành.
Câu 15:
Giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a parabol (P):
2
3 3
y x x
= − + +
và
ñườ
ng th
ẳ
ng (d):
3 2
y x
= −
có
t
ọ
a
ñộ
là:
I
.(1;1) và (3 ;7)
II
.(-1;1) và (-3 ;7)
III
. (1;1) và (- 3;7)
IV
. (1;1) và (-3 ;-7)
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 19
ÔN TẬP CHƯƠNG II
Bài 1: Cho Parabol (P):
2
y x ax b
= + +
và ñường thẳng
:
d y cx d
= +
1) Xác ñịnh (P) và d biết chúng cắt nhau tại hai ñiểm
(1;2)
A
và
( 2; 1)
B
− −
2) Vẽ (P) và d trên cùng một hệ trục
3) Tìm x ñể
2
( ) 0
x a c x b d
+ − + − ≥
với
, , ,
a b c d
tìm ñược ở câu 1
Bài 2: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau
2
2 1
1)
3 4
x
y
x x
−
=
+ +
2) 6 2 2
y x x
= − + +
2
2 1
3)
4 3
x
y
x
+
=
−
Bài 3:
Xét tính ch
ẵ
n l
ẻ
c
ủ
a các hàm s
ố
sau
3
1) ( ) | |( 2 )
f x x x x
= − −
2) | 2 1| |2 1|
y x x
= + + −
3 2
3) | | ( 1)
y x x
= +
3 5
4) 2 1
y x x
= − +
Bài 4:
V
ẽ
ñồ
th
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau
2
1) 4 1
y x x
= − + +
2) | 1| 2
y x
= + −
3) | |( 2)
y x x
= −
4) | 1| | 2 3|
y x x
= + + −
2
5) 4 3 | 2 1|
y x x x
= − + + −
Bài 5:
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t (n
ế
u có) c
ủ
a các hàm s
ố
sau
2
1) 2 4 3
y x x
= − +
2 2 2
2) ( 4 3) 4( 4 3) 3
y x x x x
= − + − − + +
2 2
3) 2 2 2 3 1
y x x x x
= − + − + +
4) |3 1| |2 3|
y x x
= − + −
Trắc nghiệm
Câu 1
:Tìm
ñ
i
ể
m thu
ộ
c
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
1
2
3
y x
= −
trong các
ñ
i
ể
m có t
ọ
a
ñộ
là
I.
(15; 7)
−
II.
(66;20)
III.
(
)
2 1; 3
−
IV.
(3;1)
Câu 2:
Hàm s
ố
có
ñồ
th
ị
trùng v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
y x
= +
là hàm s
ố
I.
(
)
2
1
y x= +
II.
( )
( )
2
1
1
x
y
x
+
=
+
III.
2
( 1) 1
y x x x
= + − +
IV.
(
)
1
x x
y
x
+
=
Câu 3:
ðườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
2
y x
=
là
I.
1 2
y x
= −
II.
1
3
2
y x
= −
III.
2 2
y x
+ =
IV.
2
5
2
y x
− =
Câu 4:
Tr
ụ
c
ñố
i x
ứ
ng c
ủ
a parabol
2
2 5 3
y x x
= − + +
là
ñườ
ng th
ẳ
ng
I.
5
2
x
=
II.
5
2
x
= −
III.
5
4
x
=
IV.
5
4
x
= −
Câu 6
: Cho Parabol
2
y ax bx c
= + +
(a
≠
0)
ñồ
ng bi
ế
n khi
( ; )
2
b
x
a
∈ −∞ −
thì hàm s
ố
y ax b
= +
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 20
I. là hàm số nghịch biến ∀x∈ R II. là hàm số ñồng biến ∀x∈ R
III. là hàm số hằng ∀x∈ R IV. không ñồng biến, không nghịch biến
Câu 7: Hàm số
2
2 4 1
y x x
= + −
I. ðồng biến trên khoảng
( ; 2)
−∞ −
và nghịch biến trên khoảng
( 2; )
− +∞
II. Nghịch biến trên khoảng
( ; 2)
−∞ −
và ñồng biến trên khoảng
( 2; )
− +∞
III. ðồng biến trên khoảng
( ; 1)
−∞ −
và nghịch biến trên khoảng
( 1; )
− +∞
(D) Nghịch biến trên khoảng
( ; 1)
−∞ −
và ñồng biến trên khoảng
( 1; )
− +∞
Câu 8: Parabol
2
2
y x x
= −
có ñỉnh I là :
I. I (1; 1) II. I (2 ; 0) III. I (-1 ; 1) IV. I (-1; 2)
Câu 9
: Cho Parabol
2
y ax bx c
= + +
( với
0
a c
< <
) thì ñồ
th
ị
c
ủ
a Parabol
ñ
ó:
I.
C
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m
II.
Ti
ế
p xúc v
ớ
i tr
ụ
c hoành
III.
C
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 1
ñ
i
ể
m
IV.
Không c
ắ
t tr
ụ
c hoành
Câu 10:
Hàm s
ố
2
3 5
y x x
= − − +
có
I.
Giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t khi
3
2
x
=
II.
Giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t khi
3
2
x
= −
III.
Giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
3
2
x
=
IV. Giá trị nhỏ nhất khi
3
2
x
= −
Câu 11: Cho hàm số
2
( ) 4 3
y f x x
= = −
. Phát biểu nào sau ñây ñúng
I. f(x) nghịch biến
( 2; 1)
x
∀ ∈ − −
II. f(x) ñồng biến
( 2;2)
x
∀ ∈ −
III. f(x) nghịch biến
(2;3)
x
∀ ∈
IV. f(x) ñồng biến
( 2;3)
x
∀ ∈ −
Câu 12: Hãy ghép mỗi thành phần của cột trái với một thành phần thích hợp ở cột phải
ñể ñược khẳng ñịnh ñúng
1)
a) ðiểm (2,2) là ñỉnh của parabol
b) ðiểm
1 1
;
2 2
−
là ñỉnh của parabol
1)
2
2 2 1
y x x
= + +
2)
2
1
y x x
= − +
3)
2
0.25 1
y x x
= − + +
2)Xét parabol (P):
2
y ax bx c
= + +
a) Chắc chắn (P) có ñỉnh nằm ở
phía d
ưới trục hòanh
Chắc chắn (P) có ñỉnh nằm ở
phía trên trục hoành
1) n
ếu a < 0 và c < 0
2) n
ếu a > 0 và c < 0
3) nếu a < 0 và c > 0
4) nếu a > 0 và c > 0
3) Xét parabol (P) :
2
y ax bx c
= + +
với
2
0, 4
a b ac
< ∆ = −
a) Chắc chắn (P) cắt trục hòanh
tại 2 ñiểm có hòanh ñộ dương
b) Ch
ắc chắn (P) cắt trục hòanh
tại 2 ñiểm có hòanh ñộ âm
1)
nếu
0
∆ >
,b < 0 và c < 0
2) nếu
0
∆ >
,b > 0 và c > 0
3)
nếu
0
∆ >
, b < 0 và c >0
4) nếu
0
∆ >
, b > 0 và c< 0
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 21
MỘT SỐ CHUYÊN ðỀ NÂNG CAO
Chuyên ñề 1: ðồ thị hàm số y=f(x) trên ñoạn [a;b]:
ðể vẽ ñồ thị hàm số y=f(x) trên ñoạn [a;b] ta vẽ ñồ thị trên TXð của hàm số rồi lấy
phần ñồ thị mà x
∈
[a;b]
Ví dụ: Vẽ ñồ thị các hàm số sau:
1)
1 2 2
y x x
= + − −
2
2) 1 3 2
y x x x
= − − − +
Giải:
1) * Với
1
x
< −
ta có:
1 2 2 3
y x x x
= − − + − = −
* Vớ
i
1 1
x
− ≤ <
ta có:
1 2 2 3 1
y x x x
= + + − = −
*V
ớ
i
1
x
≥
ta có:
1 2 2 3
y x x x
= + − + = − +
V
ậ
y
3 khi 1
3 1 khi 1 1
3 khi 1
x x
y x x
x x
− < −
= − − ≤ <
− + ≥
.
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
Ta có cách v
ẽ
nh
ư
sau
B1
: v
ẽ
ñườ
ng th
ẳ
ng
3
y x
= −
trên
( ; 1)
−∞ −
.
Cách vẽ
: ta v
ẽ
ñườ
ng th
ẳ
ng
3
y x
= −
r
ồ
i b
ỏ
ph
ầ
n
ñườ
ng th
ẳ
ng n
ằ
m v
ề
phía trái c
ủ
a
ñườ
ng th
ẳ
ng
1
x
= −
.
B2:
V
ẽ
ñườ
ng th
ẳ
ng
3 1
y x
= −
trên
[ 1;1)
−
B3
: v
ẽ
ñườ
ng th
ẳ
ng
3
y x
= − +
trên
[1; )
+∞
2) D
ự
a vào
ñồ
th
ị
hàm s
ố
2
3 2
y x x
= − +
ta th
ấ
y:
2
3 2 0 1 V 2
x x x x
− + ≥ ⇔ ≤ ≥
và
2
3 2 0 1 2
x x x
− + < ⇔ < <
. T
ừ
ñ
ây ta có:
2
2
2
4 3 khi 2
2 1 khi 1 2
2 1 khi 1
x x x
y x x x
x x x
− + − ≥
= − + < <
− + − ≤
.
B
ả
ng bi
ế
n thiên
2
-4
2
1 +
∞
-
∞
y
x
y
x
2
-4
-1
1
y
x
1
2
-
4
-
1
1
2
-
4
1
-
1
+
∞
-
∞
y
x
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 22
Ứng dụng 1: Tìm gtnn và gtln của hàm số
Nhận xét:Cho hàm số y=f(x) xác ñịnh trên D.Khi ñó ñiển có tung ñộ thấp nhất (cao
nhất)trên ñồ thị là ñiểm mà hàm số ñạt gtnn (gtln) và tung ñộ của ñiểm ñó là
gtnn(gtln)
Ví dụ: Tìm gtnn hoặc gtln của các hàm số sau:
1) 1 2 2
y x x
= + − −
2
2) 1 3 2
y x x x
= − − − +
2
3) 3 5 7
y x x
= − +
trên [-1;2]
Giải:
1) Dựa vào ñồ thị ñã vẽ ở trên ta thấy ñiểm có tung ñộ lớn nhất là
(1;2)
A
. Vậy gtln của hàm số là
2
ñạy ñược khi
1
x
=
. Hàm không
có gtnn.
2) Tươ
ng t
ự
ta có gtln y=1
ñạ
t
ñượ
c khi x=2. Hàm không có gtnn.
3) V
ẽ
ñồ
th
ị
hàm s
ố
2
3 5 7
y x x
= − +
trên [-1;2].
D
ự
a vào
ñồ
th
ị
ta có:
Gtln y=15
ñạ
t
ñượ
c khi
1
x
= −
Gtnn
59
12
y =
ñạ
t
ñượ
c khi
5
6
x
=
.
Ứng dụng 2:
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
n
o
c
ủ
a pt:
ðịnh lí: Số nghiệm của pt:f(x)=g(x) chính là
số giao ñiểm của hai ñồ thị y=f(x) và y=g(x).
ðể biện luận số n
o
của pt f(x)=a ta vẽ ñồ thị hs
y=f(x) rồi biện luận số giao ñiểm của ñt y=a
với ñồ thị
Ví dụ:Biện luận số n
o
của phương trình:
1 2 2 3 2
x x m
+ − − = +
Giải:
1) Dựa vào ñồ thị ta có
* Nếu
3 2 2 0
m m
+ > ⇔ > ⇒
pt vô nghiệm
* Nếu
0
m
= ⇒
Pt có nghiệ
m duy nh
ấ
t
*N
ế
u
0
m
> ⇒
Pt có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
Ứng dụng 3
: B
ấ
t pt tho
ả
mãn v
ớ
i m
ọ
i
x D
∈
*Bpt : f(x)
≥
a (a là h
ằ
ng s
ố
)
ñ
úng
min ( )
x D a f x x D
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈
*Bpt : f(x)
≤
a (a là h
ằ
ng s
ố
)
ñ
úng
max ( )
x D a f x x D
∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈
Ví d
ụ
: Tìm m
ñể
bpt:
2
( 1)( 3)( 4 6)
x x x x m x R
+ + + + ≥ ∀ ∈
Giải:
Ta có
2 2 2
( 1)( 3)( 4 6) ( 4 3)( 4 6)
x x x x m x x x x m
+ + + + ≥ ⇔ + + + + ≥
ðặ
t
2 2
4 3 ( 2) 1 1
t x x x
= + + = + − ≥ −
y
x
59/12
5/6
9
15
2
-
1
y
x
2
-
4
-
1
1
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 23
Bpt trở thành:
2
( 3) 3 ( ) 3
t t m t t m f t
+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
, với
2
( ) 3 , [ 1; )
f t t t t
= = ∈ − +∞
Bài toán trở thành: Tìm m ñể bpt:
( ) 1 min ( ) 1
f t m t m f t t
≥ ∀ ≥ − ⇔ ≤ ∀ ≥ −
Vẽ ñồ thị f(t) trên
[ 1; )
− +∞
.
Dựa vào ñồ thị ta thấy
min ( ) 2
f t
= −
, ñạt ñược khi t=-1
Vậy
2
m
≤ −
là những giá trị cần tìm.
Bài tập:
Bài 1: Vẽ ñồ thị các hàm số sau:
1) 3 2 2 1 2 3
y x x x
= + − − − −
2) 1( 2)
y x x
= − −
2
3) 4 5
y x x
= − −
;
2
4) 1 3 5
y x x x
= + − + −
Bài 2: Tìm gtnn và gtln
1) 3 2 2 1 2 3
y x x x
= + − − − −
2) 1( 2)
y x x
= − −
2
3) 4 5
y x x
= − −
;
2
4) 1 3 5
y x x x
= + − + −
Bài 3: Biện luận số nghiệm của pt:
1) 3 2 2 1 2 3 3 1
x x x m
+ − − − − = − +
2) 1 ( 2) 2 3
x x m
− − = −
Bài 4:Tìm m ñể các Bpt sau ñúng
1) 3 2 2 1 2 3 5 7
x x x m x
+ − − − − ≥ + ∀
2
2) 1 3 2 3
x x x m
− ≤ − + + −
[
]
x∀ ∈
0;7
2
3)( 1) ( 2) 4
x m x x
+ + ≤ + +
x
∀ ∈
[0;1]
2
4) (4 )(6 ) 2 [ 4;6]
x x x x m x+ − ≤ − + ∀ ∈ −
2
5) 4 (2 )(4 ) 2 18 [ 2;4]
x x x x m x− + − ≤ − + − ∀ ∈ −
Chuyên ñề 2: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm bậc nhất
ðịnh lí: Hàm số
y ax b
= +
ñồng biến khi
0
a
>
và nghị
ch bi
ế
n khi
0
a
<
.
V
ề
m
ặ
t n
ộ
i dung c
ũ
ng nh
ư
hình th
ứ
c thì
ñ
ây là m
ộ
t
ñị
nh lí
ñơ
n gi
ả
n và ch
ắ
c có l
ẽ
là h
ọ
c
sinh nào c
ũ
ng n
ắ
m
ñượ
c. Vì s
ự
ñơ
n gi
ả
n
ñ
ó nên chúng ta ít tìm cách khai thác nó và
thông th
ườ
ng chúng ta ch
ỉ
v
ậ
n d
ụ
ng nó vào các bài toán xét tính
ñơ
n
ñ
i
ệ
u c
ủ
a hàm b
ậ
c
nh
ấ
t. Tuy nhiên n
ế
u chúng ta bi
ế
t cách nh
ậ
n xét nh
ữ
ng
ñặ
c tr
ư
ng c
ủ
a nó ta s
ẽ
tìm
ñượ
c
nhi
ề
u k
ế
t qu
ả
thú v
ị
.
Nhận xét 1: Từ ñịnh lí trên ta suy ra ñược tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số
' '
n m
y ax b a x b
= + + +
c
ụ
th
ể
:
* N
ế
u
0, ' 0
a a
> >
thì hàm s
ố
' '
n m
y ax b a x b
= + + +
là hàm
ñồ
ng bi
ế
n.
* N
ế
u
0, ' 0
a a
< <
thì hàm s
ố
' '
n m
y ax b a x b
= + + +
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n.
y
x
-2
-1
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 24
Ta lưu ý rằng hàm ñồng biến có nghĩa là
1 2 1 2
( ) ( )
> ⇒ >
x x f x f x
. Vậy từ nhận xét trên
ta suy ra ñược:
1 1 2 2 1 2
' ' ' '
+ + + = + + + ⇔ =
n m n m
ax b a x b ax b a x b x x
, kết quả này
gợi ý cho chúng ta suy nghĩ ñến các bài toán phương trình.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2 5 5 (1)
x x+ + + =
.
Giải: ðk:
2
x
≥ −
ðặt
( ) 2 2 5
f x x x
= + + +
, theo nhận xét 1 ta có
( )
f x
là hàm ñồng biến và
(2) 5
f
=
* Với
2 ( ) (2) 5 (1)
x f x f
> ⇒ > = ⇒
vô nghiệm
* Với
2 2 ( ) (2) 5 (1)
x f x f
− ≤ < ⇒ < = ⇒
vô nghiệm
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
3
1 2 9 7 2 1 6 2
x x x
+ + + − ≥ −
(2).
Giải: ðk:
7
9
x
≥ −
.
Gọi
( )
f x
và
( )
g x
lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (2)
Ta có
( )
f x
là một hàm ñồng biến và
( )
g x
là hàm nghịch biến, ñồng thời
(1) (1)
f g
=
.
*Với
1 ( ) (1) (1) ( ) (2)
x f x f g g x
> ⇒ > = > ⇒
nghiệm ñúng.
*Với
7
1 ( ) (1) (1) ( ) (2)
9
x f x f g g x− ≤ < ⇒ < = < ⇒
vô nghiệm.
Vậy nghiệm của bất phương trình ñã cho là:
1
x
≥
.
Tùy thuộ
c vào trình
ñộ
c
ủ
a h
ọ
c trò mà ta có th
ể
ra nh
ư
ng bài m
ứ
c
ñộ
khó khác nhau.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
2 2 2 2
18 12 5 36 24 2 8 24 21 16 48 34
x x x x x x x x
+ + + + + = − + + − +
(3).
Giải:
Ta có:
2 2 2 2
(3) 2(3 1) 3 4(3 1) 2 2(2 3) 3 4(2 3) 2
x x x x
⇔ + + + + − = − + + − −
ðặt
2 2
(3 1) , (2 3)
a x b x= + = −
, với ñiều kiện
1
,
2
a b
≥
. Khi ñó ta có
2 3 4 2 2 3 4 2 ( ) ( )
a a b b f a f b
+ + − = + + − ⇔ =
(*).
Với
( ) 2 3 4 2
f t t t
= + + −
, dễ thấy
( )
f t
là hàm ñồng biến
* Nếu
( ) ( )
a b f a f b
> ⇒ >
* Nếu
( ) ( )
a b f a f b
< ⇒ <
Do vậy
2 2
2
4
(3 1) (2 3)
(*)
2
1
1
(2 3)
5
2
2
x
a b
x x
x
a
x
= −
=
+ = −
⇔ ⇔ ⇔
=
≥
− ≥
.
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm
2
4,
5
x x
= − =
.
Bài Tập ðại Số 10 GV: Nguyễn Tất Thu
Năm Học 2008 – 2009 Trang 25
Với cách làm tương tự ta có thể tự sáng tác ñược nhiều bài toán mới hay và khó.
Nhận xét 2: Từ ñịnh lí ta có thể tìm ñược giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
bậc nhất trên ñoạn, cụ thể.
Cho hàm số
( ) ( 0)
f x ax b a
= + ≠
.
• Nếu
0
a
>
thì
[ ; ]
max ( ) ( )
f x f
α β
β
=
và
[ ; ]
min ( ) ( )
f x f
α β
α
=
•
N
ế
u
0
a
<
thì
[ ; ]
max ( ) ( )
f x f
α β
α
=
và
[ ; ]
min ( ) ( )
f x f
α β
β
=
Tóm l
ạ
i:
[ ; ]
max ( ) max{ ( ), ( )}
f x f f
α β
α β
=
và
[ ; ]
min ( ) min{ ( ), ( )}
f x f f
α β
α β
=
.
V
ậ
n d
ụ
ng nh
ậ
n xét này ta có th
ể
gi
ả
i quy
ế
t
ñượ
c các bài toán c
ự
c tr
ị
và b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
Ví dụ 4: Tìm m ñể
( ) 1 2 0 [ 1;2]
f x mx x
= − ≥ ∀ ∈ −
.
Giải:
Ta có
[ 1;2]
( ) 0 [ 1;2] min ( ) 0 min{ ( 1), (2)} 0
f x x f x f f
−
≥ ∀ ∈ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥
( 1) 0 1 2 0
1 1
.
(2) 0 1 4 0
2 4
f m
m
f m
− ≥ + ≥
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
≥ − ≥
Với học sinh lớp 12 ta có thể thay ñổi cách phát biểu bài toán, chẳng hạn “Tìm m ñể
hàm số
2 2 sin2
= + −
y x m m x
ñồng biến với mọi x”…
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
( ) | 2 2|
f x x x m
= − + −
trên
[ 2;3]
−
.
Giải:
ðặt
2 2
2 ( 1) 1 [ 2;3] [ 1;8]
t x x x x t= − = − − ⇒ ∈ − ⇔ ∈ −
. Khi ñó ta ñược
( ) | 2|
g t t m
= + −
[-2;3] [-1;8]
max ( ) max ( ) max{ ( 1), (8)} max{| 3|,| 6|}
f x g t g g m m
⇔ = = − = − +
.
Chú ý: Nếu vận dụng hai tính chất
max{ , }
2
a b
a b
+
≥ và
| | | | | |
a b a b
+ ≥ +
thì ta có ñược.
|3 | | 6| |3 6| 9
max{| 3|,| 6|}
2 2 2
m m m m
m m
− + + − + +
− + ≥ ≥ =
. Do ñó ta có thể làm cho
bài toán trên tr
ở thành khó hơn bằng cách thay ñổi câu hỏi như sau.
“ Tìm m
ñể giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) | 2 2|
f x x x m
= − + −
trên
[ 2;3]
−
nhỏ nhất”
Với cách làm tương tự trên ta có thể ra thêm những bài toán có dạng
“Tìm m
ñể giá trị lớn nhất của hàm số
| ( , )|
y f x m
=
trên ñoạn
[ ; ]
α β
nhỏ nhất” với ñiều
kiện ta có thể ñặt ẩn phụ
( )
t u x
=
và tập giá trị của
t
là một ñoạn ñồng thời
( )
f x
trở
thành m
ột hàm bậc nhất theo ẩn t.
Bây gi
ờ ta xét các bài toán cự trị
Ví dụ 6: Cho các số thực không âm
, ,
a b c
thỏa mãn
1
a b c
+ + =
. Tìm giá trị
l
ớ
n nh
ấ
t và
giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2
= + + −
P ab bc ca abc
.(
Mở rộng bài toán thi IMO năm
1984
)
