Tài liệu Giáo án đại số đại cương docx

Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CHƯƠNG 1
NỬA NHÓM VÀ NHÓM

1. NỬA NHÓM
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm được khái niệm phép toán hai ngôi, nửa nhóm. Biết nhận biết
các khái niệm trên trong các trường hợp cụ thể.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng khái niệm trên giải các bài tập .
1.1.Phép toán hai ngôi:
Ví dụ: 1.xét tập số tự nhiên N, với phép toán cộng thông thường. Ta thấy: ∀ a, b ∈
N luôn có: a+b = c ∈ N. Có thể nói phép cộng trong N là một ánh xạ được không?
Hãy lập ánh xạ đó. ( +: NxN → N
(a,b)  c )
2.Cũng hỏi như trên với Phép mũ hoá trong N? Phép trừ trong N ?phép nhân
trong N ?
T: NxN → N
(a,b)  c= a
b
)
các phép toán trên ( trừ phép trừ) đều là các phép toán hai ngôi.
Định nghĩa 1: SGK(37)
Để cho tiện từ nay về sau ta ký hiệu cái hợp thành của x và y là xy. Nếu
không có lý do nào khiến ta phải viết khác.
Định nghĩa 2: sgk(38)
A ⊂ X đgl ổn định với phép toán hai ngôi trong X. ⇔ ∀ x,y ∈ A → xy ∈ A .
(Ta còn nói phép toán trên X đối với bộ phận ổn định A là phép toán cảm sinh trên
A )
 Trong các ví dụ trên phép toán nào có các tính chất: kết hợp; Giao hoán ?
Định nghĩa 3: Tr 38.
 Trong các phép toán trên hãy tìm các cặp phần tử có cái hợp thành chính

là một trong hai phần tử đó ?
+: NxN → N . : NxN → N T: NxN → N
(a,o )  a (a , 1)  a (a , 1) a
1
=a
Định nghĩa 4: tr 39
 Hãy cho nhận xét trong các phép toán nêu trên cái nào có phần tử đơn vị trái,
phải? Một phép toán vừa có đơn vị trái, vừa có đơn vị phải thì phần tử đơn vị
trái và đơn vị phải có quan hệ gì với nhau? Hãy chứng minh? ( tr 39).
Định lý1: tr39.
Hệ quả: tr39.
1.2.Nửa nhóm:
Định nghĩa 5: tr39
1
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
 Hãy chỉ ra trong các ví dụ trên tập N với các phép toán nào là một nửa nhóm ? (
trừ phép mũ hoá- phép toán trừ ).
∗ Mọi bộ phận ổn định A của một nửa nhóm X cùng với phép toán cảm sinh trên A
là một nửa nhóm. Gọi là nửa nhóm con của nửa nhóm X.
Trong một nửa nhóm X:
Ta viết: (xy)z = x(yz) = xyz giọ là tích của 3 phần tử lấy theo thứ tự đó.
Tổng quát : x
1
x
2…
x
n-1
x
n
= (x

1
x
2…
x
n-1
)x
n
gọi là tích của n phần tử lấy theo
thứ tự đó.
Định lý 2: (sinh viên tự CM) tr40.
Định nghĩa 6: X là nửa nhóm:
n ∈ N, n ≠ 0 ∀ a ∈ X ; a
n
gọi là tích của n phần tử bằng a.
Do tính kết hợp ta có:
a
m
.a
n
= a
m+ n
; (a
m
)
n
= a
m.n
( Sinh viên tự CM)
 Nếu phép toán hai ngôi của X ký hiệu là + thì tổng của n phần tử đều bằng a gọi
là bội của n . Ký hiệu là: na. Hãy viết quy tắc trên dưới dạng tổng:

( ma + na = (m + n )a ; n(ma) = m.n a )
Định lý 3: tr41.
 Sinh viên tự trả lời các ví dụ 1, 2 tr 42.
∗ Bài tập: 1 → 5 tr 42-43.
2
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Trang 42:
Bài 1: X là nửa nhóm. a ∈ X ; b ∈ Xsao cho: ab = ba.
a) CMR: (ab)
n
= a
n
b
n
∀ n > 1 ; n ∈ N
b) Nếu (ab)
2
= a
2
b
2
thì có suy ra được ab = ba không ?
Bài giải:
a).Quy nạp theo n:
 Với n = 1 ta có ab = ba.
 Giả sử với m = n-1 có: (ab)
n-1
= a
n-1

b
n-1
 Ta CM đúng với m = n.
Có (ab)
n
= (ab)
n-1
(ab) = a
n-1
b
n-1
(ab) = a
n-1
(b
n-1
b)a =a
n-1
b
n
a. (1)
Như vậy nếu có b
n
a = ab
n
thì từ (1) suy được ra điều phải CM. Ta đi CM điều đó:
Bằng quy nạp theo n:
- Với n =1 ta có ab = ba
- Với m = n-1 giả sử có : a
n-1
b = ba

n-1
- Ta CM đúng với m = n.
Có : a
n
b = a(a
n-1
b) = a(ba
n-1
) = a(a
n-1
b) = (aa
n-1
)b = a
n
b (2)
áp dụng (2) vào (1) ta có ĐPCM.
b). Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. Chẳng hạn ∀ a, b ∈ X : a ≠ b
Xét nửa nhóm X với phép toán ab = a ∀ a,b ∈ X. Ta có :
a
2
= a , b
2
= b , ab = a , a
2
b
2
= a
2
= a . Nên: (ab)
2

= a = a
2
b
2

Nhưng: ab = a ≠ ba = b.
Bài 2:
Gọi X là tập thương Z/nZ = {
0
,
1
,
1−n
} ; ( a ≡ b (modn) . a và b chia
cho n có cùng số dư. Hay : a - b chia hết cho n. ). Với mỗi cặp (
a
,
b
) cho tương
ứng với lớp tương đương
ba +
.
a). CM R có một ánh xạ từ X
2
đến X
b). X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán xác định ở câu a)
c) Nếu với mỗi cặp (
a
,
b

) cho tương ứng với lớp
ab
Thì X cũng là một vị
nhóm giao hoán.
Bài giải:
a).Ta CM tương ứng (
a
,
b
) →
ba +
. Không phụ thuộc vào các đại
diện a, b của các lớp tương đương
a
,
b
.
Nếu
a
=
'
a
thì: a - a
’
chia hết cho n
Nếu
b
=
'
b

thì: b-b
’
chia hết cho n
Suy ra: (a+b)-(a
’
+b
’
) cũng chia hết cho n hay
ba +
=
''
ba +
Vậy ta có ĐPCM.
b)Ta ký hiệu phép tóan trên là +: X
2
→ X
(
a
,
b
) →
ba +
=
α
Kiểm tra t/c kết hợp: ∀
a
,
b
,
c

:
3
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Phần tử không là :
0
.
c) Sinh viên tự CM.
Bài 3:
X là tập tuỳ ý. Xét ánh xạ:T: X.X → X
(x,y) → x.
CMR: X là một nửa nhóm đối với phép toán trên. Nửa nhóm đó có giao hoán
không ,có phần tử đơn vị không?
Bài giải:
∀ x, y, z ∈ X ta có: xT(yTz) = xYy = x
(xTy)Tz = xTz = x
Vậy: xT(yTz) = (xTy)Tz Nên X là nửa nhóm.
Nếu X có nhiều hơn 1 phần tử. ∀ x, y ∈ X, x ≠ y ta có
xTy = x ≠ yTx =y nên X không giao hoán.
Không có đơn vị vì: giả sử e là đơn vị thì: eTx = e ≠ x ∀ x ∈ X.
Bài 4:
Gọi X là tập thương của ZxN
*
trên quan hệ tương đương S xác định bởi:
(a,b) S(c,d) <=> ad = bc .
Ta ký hiệu các phần tử C(a,b) của X bằng a/b, (a,b) ∈ ZxN
*
a). f: XxX → X

(a/b , c/d)  (ad+bc)/bd Là một ánh xạ.
b). CMR X là một vị nhóm giao hoán với phép toán ở câu a).

c). Nếu với mỗi cặp (a/b , c/d) cho tương ứng với lớp tương đương ac/bd. CMR lúc
đó X cũng là một vị nhóm giao hoán.
Bài giải::
4
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
2. NHÓM
(Số tiết: 18 = 9 + 9)
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU:
Sinh viên nắm vững khái niệm nhóm, biết nhận biết các nhóm . biết chứng
minh các tính chất về nhóm.
Sinh viên có kỹ năng vận dụng lý thuyết giải các bài tập về nhóm.
PHƯƠNG PHÁP:
Thuyết trình - Luyện tập Đàm thoại
CHUẨN BỊ: SGK- SBT môn ĐSĐC
NỘI DUNG:
2.1. Nhóm:
2.1.1. Định nghĩa 1: X là nửa nhóm.
∃ e ∈ X: ∀ x ∈ X : ex = x
∀ x ∈ X , ∃ x
'
∈ X : x
'
x = xx
'
= e
Khi ấy X là một nhóm.
 X là nhóm hưu hạn nếu nó có số phần tử là hữu hạn. Số phần tử của X
còn gọi là cấp của nhóm X
 Phép toán trong X là giao hoán thì X gọi là nhóm giao hoán ( aben )
Ví dụ: SGK tr 44

2.1.2. Các tính chất:
1.Trong một nhóm X mỗi phần tử có duy nhất một phần tử đối.
CM: ∀ x ∈ X giả sử có hai phần tử đối xứng là a và b.
Ta có: xa = ax = e , xb = bx = e nên: bxa = be hay ea = b hay a = b.
 Phép toán ký hiệu bằng dấu . phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử nghịch
đảo. Viết x
-1
 Phép toán ký hiệu bằng dấu + phần tử đối xứng của x còn gọi là phần tử đối.
Viết - x
 Vậy (x
-1
)
-1
= x ; (- (-x) = x.
 Nếu X là aben thì : (.): xy
-1
= y
-1
x nên còn viết x/y gọi là thương của x trên y
(+): x-y = -y + x viết x - y gọi là hiệu của x và y.
2. (Luật giản ước)
Trong một nhóm X : ∀ x , y , z ∈ X. Nếu xy = xz ( yx = zx ) thì: y = z
CM: nếu :xy = xz
Ta có: x
-1
(xy) = x
-1
(xz) hay (x
-1
x)y = (x

-1
x)z hay ey = ez hay y = z.
3. trong một nhóm X phương trinh ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất
x= a
-1
b ( y = ba
-1
)
CM:
Ta có: ax = a(a
-1
b) = (aa
-1
) b = eb =b hay x = a
-1
b là nghiệm. Nghiệm này là
duy nhất vì Nếu có c là một nghiệm khác tức: ac = b thì: ax = ac = b thực hiện luật
giản ước ta được: x = c.
5
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
4. X là nhóm: ∀ x , y ∈ X ta có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
CM:
(xy)( y
-1
x

-1
) =x(yy
-1
)x
-1
= xex
-1
= xx
-1
= e
(y
-1
x
-1
)(xy) = y
-1
(x
-1
x)y = y
-1
ey = y
-1
y = e
Vậy có (xy)
-1
= y
-1
x
-1
 Tổng quát: (x

1
.x
2
x
n
)
-1
= x
n
-1
x
-1
n-1
x
2
-1
x
1
-1
.
 Đặc biệt (a
n
)
-1
= (a
-1
)
n
∀ n ∈ N, n ≠ 0
 Quy ước viết : a

-n
Đặt a
0
= e
CMR: ∀ λ , µ ∈ Z: λ a + µa = (λ + µ )a
µ (λ a) = µ λ a.
5. Một nửa nhóm X là một nhóm khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thoả
mãn:
i)∀ x ∈ X , ex = x ( X có đơn vị trái)
ii) ∀ x ∈ X, có một x
’
∈ X Sao cho: x
’
x = e
CM:
→ Đ/k cần là hiển nhiên.
Đ/ k đủ:
∀ x ∈ X theo ii) ∃ x
’
∈ X: x
’
x = e. cũng theo ii) ∃ x
’’
∈ X: x
’’
x
’
= e
Ta có: xx
’

= exx
’
= x
’’
x
’
xx
’
= x
’’
ex
’
= x
’’
x
’
= e .
Mặt khác: xe = xx
’
x = ex = e
Vây : X là nhóm.
 Sinh viên tự phát biểu và cm cho trường hợp ứng với phần tử đơn vị phải.
6. Một nửa nhóm khác rỗng X là một nhóm khi và chỉ khi:
các phương trình ax =b và ya = b có nghiệm trong X
CM:
→ : đã cm trong t/c 3
Đủ: Do X ≠ φ nên ∃ a ∈ X vì phương trình ya = b có nghiệm nên phương trình
ya = a có nghiệm. Giả sử nghiệm đó là e, ta CM e là phần tử đơn vị trái của X.
Thật vậy: ∀ b ∈ X phương trình ax = b có nghiệm, gọi nghiệm này là c
Ta có: eb = e(ac) = (ea) c = ac = b. hay e là đơn vị trái.

∀ b ∈ X xét phương trình yb = e theo (gt) phương trình này có nghiệm trong X
nên ∃ b
’
sao cho : b
’
b = e
Theo đ/ lý 5 ta có đpcm.
Bài tập 3,5,7,10 tr 70.
Bài tập 2 sinh viên làm tại lớp.

6
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
2.2.Nhóm con:
Nhóm cộng các số thực R, tập Z các số nguyên. Z ⊂ R, Z cùng phép cộng
cũng là một nhóm. Ta còn gọi đó là một nhóm con của nhóm cộng các số thực R
 Định nghĩa 2:
X là một nhóm, A là một bộ phận ổn định của X. A cùng với phép toán cảm sinh
là một nhóm Thì A gọi là một nhóm con của nhóm X.
Nếu A là nhóm con của X thì liệu phần tử trung lập của A có phải là phần tử
trung lập trong nhóm X không? Phần tử nghịch đảo của một phần tử x trong A có
trùng với phần tử nghịch đảo của x trong X không? Sinh viên tự CM.
A nhóm con X hiển nhiên có:
1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A
2. Giả sử b là phần tử trung lập của A thì ∀ x ∈ A bx = x;
mặt khác do x ∈ X nên ex = x ( với e là trung lập của X) Do đó: bx = ex áp dung
luật giản ước trong nhóm ta có: b = e.
3. ∀ x ∈ A giả sử có x
’
∈ A mà x
’

x = e ta cũng có x
-1
x = e nên x
’
x = x
-1
x
hay: x
’
= x
-1
.
Ngược lại nếu A là một bộ phận của X Thoả các điều kiện 1, 2, 3 thì A là một
nhóm ( tính chất 5), do đó là một nhóm con của nhóm X.
 Định lý 1: X là một nhóm; A ⊂ X
1. ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A
A là nhóm con của X Khi và chỉ khi 2. e ∈ A, với e là phần tử TLập của X
3. ∀ x ∈ A, x
-1
∈ A
 Hệ quả:
X là một nhóm. A ≠ φ , A ⊂ X các mệnh đề sau là tương đương
a) A là một nhóm con của X a)
b) ∀ x, y ∈ A, xy ∈ A, x
-1
∈ A
c) ∀ x, y ∈ A, xy
-1
∈ A c) b)
CM:

a) → b): theo đ/lý trên.
b) → c) : do x, y ∈ A nên theo b) y
-1
∈ A, và cũng theo b) xy
-1
∈ A
c) → a): vì A ≠ φ nên ∃ x ∈ A theo c): xx
-1
= e ∈ A
∀ x ∈ A ,do e ∈ A, cũng theo c): ex
-1
= x
-1
∈ A
∀ x, y ∈ A theo trên y
-1
∈ A nên x(y
-1
)
-1
∈ A hay xy ∈ A Vởy A là nhóm
con của nhóm X
 Các ví dụ : Tr 49 Sinh viên tự đọc tại lớp (5 phút).
 Định lý 2:
Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X
7
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CM:
Gọi A = ∩ A
i

, trong đó A
i
∈ I là họ các nhóm con tuỳ ý của nhóm X
- A≠ φ vì e ∈ A
i
∀ i ∈ I nên e ∈ A
- ∀ x, y ∈ A, nên x , y ∈ A
i
∀ i ∈ I suy ra xy
-1
∈ A
i
∀ i ∈ I ( do A
i
là các
nhóm con ) từ đó xy
-1
∈ A (theo hệ quả đ/l 1). cho đpcm.
* Giả sử U là một bộ phân của một nhóm X thế thì U chứa trong ít nhất một
nhóm con của X ( chẳng hanj chính nhóm con X) theo đ/l 2 giao A của tất cả các
nhóm con của X chứa U cũng là một nhóm con của X chứa U. Đó là nhóm con bé
nhất của X chứa U.
định nghĩa 3:
U ⊂ X, X là một nhóm; A là nhóm con bé nhất của X chứa U .Khi ấy A gọi
là nhóm con sinh ra bởi U.
 Nếu A = X ta nói U là một hệ sinh của X; X được sinh ra bởi U
 Nếu U = {a}, a ∈ X.
Tập hợp A = { a
k
: k ∈ Z }là Nhóm con sinh ra bởi U

Thật vậy:
- Hiển nhiên A ≠ φ , vì a ∈ A
- ∀ x, y ∈ A → x = a
k
; y = a
l
→ xy
-1
= a
k
(a
l
)
-1
= a
k
a
-l
= a
k-l
∈ A
- A là nhóm con bé nhất của X chứa U. Vì: ∀ nhóm con B của X chứa U = {a}
đều chứa các luỹ thừa của a. A còn gọi là nhóm con sinh ra bởi a.
 Định nghĩa 4:
X gọi là nhóm xyclic ⇔ X ={ a
k
: k ∈ Z ; a ∈ X}; phần tử a gọi là phần tử sinh của
X
 Ví dụ1: Cho nhóm các phép thế bậc ba: S
3

e = (1) ; f
1
= (1 2 3); f
2
= (1 3 2 )
f
3
= (1 2 ) ; f
4
= (1 3 ) f
5
= (2 3 )
Tìm các nhóm con là xyclic sinh ra bởi : e; f
1
; f
2
; f
3
; f
4;
f
5
.
Giải:
Giả sử A = { f
1
k
: k ∈ Z }
Ta có : f
1

2
= (1 2 3 )(1 2 3 ) = (1 3 2 ) = f
2
f
1
3
= ( 1 2 3 )(1 3 2 ) = e
∀ k ∈ Z: f
1

k
= f
1
3q+ r
=f
1
3q
f
1
r
= (f
1
3
)
q
f
1
r
= e
q

f
1
r
= f
1
r
trong đó 0 ≤ r < 3. Từ đó suy ra
A = { f
1
k
: k ∈ Z } = {f
1
0
= e ; f
1
1
= f
1
; f
1
2
= f
2
}
( các trường hợp còn lại sinh viên tự CM)
 Ví dụ 2:
Nhóm cộng số nguyên Z là một nhóm xyclic sinh bởi phần tử 1 hoặc -1
(Sinh viên tự CM)
 Giả sử X là một nhóm với phần tử đơn vị e ; a ∈ X. Nếu không có một
số nguyên dương n nào sao cho a

n
= e thì nhóm con sinh bởi phần tử a là
vô hạn, vì a
k
≠ a
l
∀ k ≠ l.
 Trong trường hợp ngược lại gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
a
m
= e thì nhóm con sinh ra bởi a có nm phần tử: a
0
, a
1
, a
2
,….a
m-1
.
8
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
 Định nghĩa5:
X là một nhóm; ∀ a ∈ X; A là nhóm con sinh ra bởi a
a gọi là có cấp vô han nếu A vô hạn. Khi ấy: ∄ n: a
n
= e
a gọi là có cấp m nếu A có cấp m .
Khi ấy ∃ m là số nguyên dương bé nhất sao cho: a
m
= e

2.2.3.Nhóm con chuẩn tắc- nhóm thương:
X là một nhóm; A là nhóm con của X. Ta định nghĩa quan hệ ~ trong X như
sau: ∀ x, y ∈ A, x~y ⇔ x
-1
y ∈ A.
Bổ đề 1: Quan hệ ~ trong X là một quan hệ tương đương.
CM:
-Phản xạ: ∀ x ∈ A , x
-1
x = e ∈ A → x~x
- đối xứng: ∀ x, y ∈ A, x ~ y tức x
-1
y ∈ A. ta có: (x
-1
y)
-1
∈ A hay y
-1
x ∈ A → y~x
-Bắc cầu: ∀ x~y, y~z , tức x
-1
y ∈ A, y
-1
z ∈ A → (x
-1
y)(y
-1
z) = x
-1
z ∈ A → x~z

 Ký hiệu: - với mỗi x ∈ X, ta ký hiệu:
x
=
}{
yxXy ~:∈
- xA =
{
xa
{ a ∈ A
}
, a chạy khắp A
Bổ đề 2:
x
= xA
CM: ∀ y ∈
x
thì: x~y tức x
-1
y = a ∈ A → y = xa ∈ xA vậy
x
⊂ xA
∀ y = xa ∈ xA → x
-1
y = a ∈ A Vậy xA ⊂
x
Định nghĩa 6:
Các bộ phận xA gọi là các lớp trái của nhóm con A trong X; tương tự các
lớp phải Ax của nhóm con A trong X là tập gồm các phần tử có dạng ax với a ∈ A
Tương tự cũng có x ~y ⇔ xy
-1

∈ A
Hệ quả: X là một nhóm, ∀ x, y ∈ X khi ấy:
+ xA = yA ⇔ x
-1
y ∈ A
+ xA ∩ yA = φ ⇔ x
-1
y ∉ A
 Tập hợp thương của X trên quan hệ tương đương ~ gọi là tập thương của nhóm
X trên nhóm con A, Kí hiệu: X/A. các phần tử của X/A là các lớp trái xA
 Định lý 3: ( đ/l Lagrănggiơ)
Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp mọi nhóm con của nó.
CM:
Giả sử X có cấp n, A là nhóm con của X và có cấp là m.
A = { x
1
, x
2
,….,x
m
} khi ấy ∀ x ∈ X, mọi lớp trái xA có đúng m phần tử dạng:
xx
1
, xx
2
,…., xx
m
. các phần tử này là phân biệt vì nếu xx
1
= xx

2
thì → x
1
= x
2
. Do X
là hữu hạn nên có số các lớp trái xA là hữu hạn. gọi số các lớp trái là l và do các
lớp trái là rời nhau nên n = ml.
 Số l các lớp trái xA gọi là chỉ số của nhóm con A trong X
 Hệ quả 1:
Cấp của một phần tử tuỳ ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của X
 Hệ quả 2:
Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic và được sinh ra bởi
một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm .(sinh viên tự CM)
9
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
( Số nguyên tố p chỉ có ước là 1 và chính nó. Nên một nhóm hh có cấp
nguyên tố p thì mọi phần tử tuỳ ý của nó chỉ có thể có cấp là 1 hoặc p. loại
trừ e thì các phần tử tuỳ ý còn lại đều có cấp p và do đó chính nhóm đã cho
được sinh bởi phần tử đó.Hay đó là một nhóm xyclic)
Ví dụ : SGK tr 54- (Sinh viên tự đọc 05 phút)
Định nghiã 7:
X là một nhóm, A là nhóm con của X.
A gọi là chuẩn tắc ⇔ x
-1
ax ∈ A, ∀ a ∈ A và ∀ x ∈ X
Định lý 4:
X là một nhóm, A là nhóm con chuẩn tắc của X, thì:
i) Quy tắc sau là một ánh xạ: X/A xX/A → X/A
(xA, yA) ↦ xyA

ii) X/A cùng với phép toán hai ngôi: (xA, yA) ↦ xyA là một nhóm, gọi là nhóm
thương của X/A.
CM:
i)
Giả sử có xA = x
1
A và yA = y
1
A ta phải CM: xyA = x
1
y
1
A.
Theo hệ quả bổ đề 2 ta có: x
-1
x ∈ A, y
-1
y ∈ A .
Nên (xy)
-1
(x
1
y
1
) = y
-1
(x
-1
x
1

)y
1
= y
-1
(x
-1
x
1
)y(y
-1
y
1
) ∈ A, (vì A là chuẩn tắc nên
y
-1
(x
-1
x
1
)y ∈ A)
ii)
+ ∀ x, y, z ∈ X ta có: (xA.yA)zA = xyzA = xA.(yA.zA) do đó phép toán đã cho là
kết hợp
+ Xét lớp trái eA = A trong đó e là phần tử trung lập của nhóm X Ta có:
eA.xA = exA = xA, ∀ xA ∈ X/A vậy eA = A là phần tử đơn vị trái của X/A
+∀ xA ∈ X/A ta có: x
-1
A.xA = x
-1
xA = eA = A. Vậy xA nhận x

-1
A là phần tử
nghịch đảo trái
Định lý 4: X là một nhóm, A là nhóm con của X. Khi ấy:
A là chuẩn tắc ⇔ xA = Ax , ∀ x ∈ X
CM: → : ∀ xa ∈ xA ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: y
-1
ay ∈ A , ∀ y ∈ X, lấy y =
x
-1
thì: xax
-1
∈ A, đặt xax
-1
= a
’
→ xa = a
’
x ∈ Ax Vậy xA ⊂ Ax
∀ ax ∈ Ax, ( a ∈ A) do A là chuẩn tắc nên: x
-1
ax ∈ A, đặt x
-1
ax = a
’
∈ A ,
ta có: ax = xa
’
∈ xA, vậy Ax ⊂ xA. Do đó: Ax = xA.
Ngược lại:

∀ a ∈ A, ∀ x ∈ X. Ta có: ax ∈ Ax = xA, nên ∃ a
’
∈ A sao cho: ax = xa
’
suy
ra:
x
-1
ax = a
’
∈ A, Vậy A là chuẩn tắc.
Các ví dụ: tr 57 (sinh viên tự đọc 5 phút)
2.2.4. Đồng cấu:
Định nghĩa 8:
10
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Một đồng cấu(nhom) là một ánh xạ f từ một nhóm X đến một nhóm Y sao
cho: f(ab) = f(a).f(b), ∀ a, b ∈ X
+ Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X.
+ Một đồng cấu là đơn ánh thì gọi là một đơn cấu.
+ Một đồng cấu là toàn ánh thì gọi là một toàn cấu
+ Một đồng cấu là song ánh thì gọi là một đẳng cấu. Ký hiệu: f: X : → Y
+ Một tự đồng cấu là song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu
Ví dụ: Xét xem các ánh xạ sau ánh xạ nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu, tự đồng
cấu, tự đẳng cấu:
1).A là nhóm con của nhóm X. Đơn ánh chính tắc: f: A → X
a  a
2). f: X → X ( tự động cấu đồng nhất)
x  x
3). Log : R

+
→ R ; R
+
: là nhóm nhân các số thực dương; ( đẳng cấu)
x  logx R :nhóm cộng các.số thực
4). A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X. ánh xạ: h : X → X/A ( toàn cấu)
x  h(x) = xA
5) X, Y là hai nhóm tuỳ ý:
f: X → Y
x  e , e là đơn vị của Y ( là đồng cấu tầm thường)
6) f: X → Y là một đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Hỏi f
-1
: Y → X có là đẳng
cấu không ? (f
-1
là song ánh. Mặt khác: ∀ y, y
1
∈ Y , đặt x = f
-1
(y) ; x
1
= f
-1
(y
1
). Ta
có: f(x) = y; f(x
1
) = y
1

vì f là một đồng cấu nên: f(xx
1
) = f(x).f(x
1
) = y.y
1
;
do đó: f
-1
(y.y
1
) = xx
1
= f
-1
(y)f
-1
(y
1
). Vậy f
-1
là một đẳng cấu.
Định nghĩa 9:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, e
x,
, e
y
tương ứng là các
phần tử trung lập của nhóm X, nhóm Y. Ta ký hiệu:
Imf = f(X)

Kerf = { x ∈ X { f(x) = e
y
} = f
-1
( e
y
)
Gọi imf là ảnh của đồng cấu f; còn Kerf là hạt nhân của đồng cấu f
 Các tính chất của đồng cấu:
Định lý 5:
X,Y, Z là các nhóm . f: X → Y; g: Y → Z là các đồng cấu. Thế thì ánh xạ
tích gf: X → Z là một đồng cấu.
CM: ∀ a, b ∈ X ta có: gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a).f(b)) = g(f(a))g(f(b)) = gf(a)gf(b)
Định lý 6:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì:
i) f(e
x
) = e
y
ii) f(x
-1
) = [f(x)]
-1
, ∀ x ∈ X
CM:
11
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
i) ∀ x ∈ X ta có: f(x). f(e
x
) = f(x. e

x
) = f(x) = f(x) e
y
→ f(e
x
) = e
y
(sau khi
thực hiên luật giản ước)
ii) ∀ x ∈ X. ta có: f(x).f(x
-1
) = f(xx
-1
) = f(e
x
) = e
y
= f(x).[f(x)]
-1
(sau khi thực
hiên luật giản ước)
Định lý 7:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A là nhóm con của X, B
là một nhóm con chuẩn tắc của Y. Thế thì:
i) f(A) là một nhóm con của Y.
ii) f
-1
(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X
CM:
i).f(A) ≠ φ , vì e

x
∈ A, f(e
x
) = e
y
∈ f(A)
∀ y, y
1
∈ f(A) → ∃ x, x
1
∈ A sao cho: y = f(x), y
1
= f(x
1
);
xét yy
1
-1
= f(x).[f(x
1
)]
-1
= f(x).f(x
1
-1
) = f(xx
1
-1
) ∈ f(A) ( vì A là nhóm con nên
xx

1
-1
∈ A ), → f(A) là nhóm con của nhóm Y.
ii) f
-1
(B) ≠ φ , vì f(e
x
) = e
y
∈ B nên e
x
∈ f
-1
(B)
∀ x, x
1
∈ f
-1
(B) , ta có: f(xx
1
-1
) = f(x).f(x
1
-1
) = f(x)[.f(x
1
)]
-1
. Do B là nhóm con
nên từ f(x), f(x

1
) ∈ B → f(x).f(x
1
-1
) ∈ B vậy: f(xx
1
-1
) ∈ B → xx
1
-1
∈ f
-1
(B)
do đó f
-1
(B) là một nhóm con của X
Hơn thế f
-1
(B) còn là chuẩn tắc, vì: ∀ a ∈ f
-1
(B) ( có: f(a) ∈ B ), ∀ x ∈ X.
xét: f(x
-1
ax) = f(x
-1
)f(a)f(x) = f(x)
-1
f(a)f(x) ∈ B ( do B là chuẩn tắc trong Y) → x
-1
ax

∈ f
-1
(B)
Hệ quả:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y. Thế thì imf là nhóm con
của Y, còn Kerf là nhóm con chuẩn tắc của X. (sinh viên tự CM)
Định lý 8:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y,thế thì:
i) f là toàn ánh ⇔ imf = Y ( = f(X) )
ii) f là đơn ánh ⇔ Kerf = { e
x
}
CM:
i) theo định nghĩa toàn ánh.
ii) giả sử f là đơn ánh khi ấy ∀ y ∈ Y ,∃ ! x ∈ X sao cho: f(x) = y vậy với e
y
,
∃ ! e
x
∈ X sao cho: f(e
x
) = e
y
, hay kerf = { e
x
}
Ngược lại: giả sử Kerf = { e
x
} , ∀ x, y ∈ X, f(x) = f(y) . ta có : f(x).f(y)
-1

= e
y
Nên: f(x)f(y)
-1
= f(x).f(y
-1
) = f(xy
-1
) = e
y

suy ra: xy
-1
∈ Kerf = { e
x
}, hay: xy
-1
= e
x

→

y
-1
=x
-1
hay y = x tức f là đơn ánh.
Định lý 9:
f: X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p: X → X/Kerf là toàn
cấu chính tắc từ nhóm X đến nhóm thương của X trên hạt nhân của f. Thế thì:

i) có một đồng cấu duy nhất
f
: X/Kerf → Y sao cho f =
f
p
f
X Y
12
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
P
f
( tam giác này là giao hoán )
X/Kerf
ii) Đồng cấu
f
là một đơn cấu và im
f
= f(X)
( sinh viên đọc trước lời CM - sẽ CM trên lớp vào tiết tiếp theo)
CM đ/l 9:
i). Đặt Kerf = A cho tương ứng mõi phần tử xA của nhóm X/A với một
phần tử f(x) của Y. Quy tắc này là một ánh xạ. Thật vậy : Giả sử ∀ xA = yA → x
-
1
y ∈ A. Nhưng A = Kerf nên f(x
-1
y) = f(x
-1
)f(y) = e
y

= f(x
-1
)f(x) → f(y) = f(x).
Ta đặt
f
: X/A → Y
xA ↦
f
(xA) = f(x) .
f
là một đồng cấu. Thật vậy:
∀ xA, yA ∈ X/A,
f
(xAyA) =
f
(xyA) = f(xy) = f(x)f(y) =
f
(xA)
f
(yA)
(Do f là đồng cấu nên f(xy) = f(x)f(y))
Từ
f
(xA) = f(x) ∀ x ∈ X ta cố: f(x) =
f
(xA) =
f
(p(x)) =
f
p(x), ∀ x ∈

X
Vậy: f =
f
p
f
là duy nhất, vì giả sử có đồng cấu h: X/A → Y sao cho: f = hp.
Khi âý ∀ xA ∈ X/A ta có :h(xA) = h(p(x)) =hp(x) = f(x) =
f
(xA). Hay
f
= h.
ii) Giả sử ∀ xA ∈ X/A sao cho
f
(xA) = e
y
Ta có
f
(xA) = f(x) = e
y
→ x ∈
A = Kerf → nên x
-1
∈ A (vì A = Kerf là nhóm con cuả X) → x
-1
e
x
∈ A → xA =
e
x
A.

Vậy Ker
f
= {e
x
A}.→
f
là một đơn cấu ( đ/l 8)
Vì p là toàn cấu và f =
f
p nên → p(X) = X/Y → (im
f
=
f
(X/Y) =
f
(p(X)
=
f
p(X) = f(X).
Hệ quả:
∀ đồng cấu f: X → Y từ một nhóm X đến một nhóm Y, ta có f(X) ~ X/Kerf

Bài tập về nhà : 41,42,43,44,47 tr 75:76
13
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
CHỮA BÀI TẬP
Bài 5 tr70: X là nhóm, với e là đơn vị.CMR: ∀ a ∈ X, a
2
= e thì X là aben.
Bài giải:

a
2
= e, → aa = e, hay a =a
-1
.
Xét ∀ a, b ∈ X, (ab)
2
= e, ab.ab = e → bab = a
-1
e, → ab = b
-1
a
-1
e, hay: ab =
ba ( do b
-1
= b, a
-1
= a ).
Bài 7 tr 70:
X ≠ φ , trên X trang bị một phép toán hai ngôi, a ∈ X.
Kí hiệu: aX = { ax : x ∈ X }
Xa = { xa : x ∈ X }
CMR: X là nhóm ⇔ ∀ a ∈ X ta có: aX = Xa = X.
Bài giải:
X là nhóm , ta biết rằng phương trình ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X
∀ a, b ∈ X, nên: X ⊂ aX, X ⊂ Xa; hiển nhiên aX ⊂ X, Xa ⊂ X Vậy aX = X = Xa.
Ngược lại : theo giả thiết X ≠φ , aX = X = Xa, ∀ a ∈ X, nên các phương trình:
ax = b, ya = b luôn có nghiệm trong X, ∀ a,b ∈ X. Do đó X là một nhóm.
Bài 3 tr 70:

X là nửa nhóm khác rỗng, hữu hạn. CMR: X là một nhóm ⇔ luật giản ước
thực hiện được ∀ x ∈ X
Bài giải:
Giả sử X = { x
1
, x
2
, , x
n
} gồm n phần tử. ∀ x
i
∈ X tập hợp
x
i
X= { x
i
x
1
, x
i
x
2
, ,x
i
x
n
} ⊂ X, x
i
X gồm n phần tử phân biệt vì nếu x
i

x
k
= x
i
x
l

→ x
k
= x
l
( do có luật giản ước) mâu thuẫn với X gồm n phần tử, hiển nhiên X ⊂
x
i
X do vậy x
i
X = X. Tương tự ta có: Xx
i
= X . Khi ấy các phương trình ax = b, ya
= b luôn có nghiệm trong X ∀ a, b ∈ X → X là một nhóm.
Bài 10 tr 70:
(Z, + ) là nhóm cộng các số nguyên.
CMR: A là nhóm con của Z ⇔ A = mZ, m ∈ Z
Bài giải:
đủ: giả sử A = mZ, m ∈ Z . A ≠ φ thật thế vì 0 = m.0 ∈ A
∀ k = mk
1
(k
1
∈ Z), h = mh

1
(h
1
∈Z) → k-h = m(k
1
- h
1
) ∈ A. hay A là nhóm con
Cần: Nếu A = {0} thì A = 0Z, m = 0
Nếu A ≠ {0} → ∃ 0≠ a ∈ A gọi m là số nguyên ≠ 0 ∈ A sao cho : /m/ < /a/ ∀
a ∈ A, a ≠ 0 ( m là số có trị tuyệt đối nhỏ nhất trong A)
* → mZ ⊂ A ( vì m ∈ A, nên A chứa mọi bội của m)
* A ⊂ mZ: thật vậy: ∀ a ∈ A ta có: a = mq + r (1) với 0 ≤ / r / </ m/
Từ (1) → r = a – mq ∈ A ( do a ∈ A, mq ∈ A) → r = 0 (vì /m/ là nhỏ nhất trong
A)
Hay a = mq ∈ mZ. Tóm lai A = mZ
14
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài tập về nhà: 13-14-15-18-19-20-21-22-25-28-35. Tr .(71:73)
15
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 13 tr 71:
X là một nhóm, A ⊂ X, B ⊂ X. ta định nghĩa:
AB = { ab : a ∈ A, b ∈ B }
A
-1
= { a
-1
: a ∈ A }
CMR: a). (AB)C = A(BC)

b) (A
-1
)
-1
= A
d) (AB)
-1
= B
-1
A
-1
e) Nếu A là một nhóm con của X, thì: A
-1
= A
Bài giải:
a) ∀ a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ta có: (ab)c = abc = a(bc) nên có a)
b) ∀ a ∈ A → a
-1
∈ A
-1
→ (a
-1
)
-1
= a ∈ (A
-1
)
-1
→ A ⊂ (A
-1

)
-1
∀ b ∈ (A
-1
)
-1
→ b = (b
-1
)
-1
→ b
-1
∈ A
-1
→ b ∈ A → (A
-1
)
-1
⊂ A
c) ∀ (ab)
–1
∈ (AB)
-1
→ ab ∈ AB → a ∈ A, b ∈ B → a
-1
∈ A
-1
, b
-1
∈ B

-1
→
( ab)
–1
= b
-1
a
-1
∈ B
-1
A
-1
ngược lại : ∀ b
-1
a
-1
∈ B
-1
A
-1
ta có: b
-1
a
-1
= ( ab)
-1
∈ (AB)
-1
d) ∀ a ∈ A( do A là nhóm) → a
-1

∈ A → a = (a
-1
)
-1
∈ A
-1
nên A ⊂ A
-1
∀ a
-1
∈ A
-1
→ a ∈ A do A là nhóm nên: a
-1
∈ A hay: A
-1
⊂ A
Bài 14:
X là một nhóm, A ≠ φ , A ⊂ X. CMR: A là nhóm con của X ⇔ AA
-1
= A
Bài giải:
→ : ∀ a ∈ A → a = ae
-1
∈ AA
-1
→ A ⊂ AA
-1
Mặt khác theo bài 13) ý d) → A
-1

⊂ A nên AA
-1
⊂ A hay: AA
-1
= A.
Ngược lại:
∀ a ∈ A → a
-1
∈ A
-1
mà AA
-1
= A → aa
-1
= e ∈ A
ea
-1
∈ AA
-1
= A hay a
-1
∈ A → A là nhóm con
∀ a, b ∈ A, → b
-1
∈ A,→ ab = a(b
-1
)
-1
∈ AA
-1

= A.
Cách ≠ : ∀ a, b ∈ A ta có ab
-1
∈ AA
-1
= A, nên A là nhóm con của X
Bài 15:
X là một nhóm, A là nhóm con của nhóm X, a ∈ X. CMR: aA là nhóm con
của nhóm X ⇔ a ∈ A.
Bài giải:
→ : Gọi e là phần tử đơn vị của nhóm X → aa
’
= e ∈ aA → a
’
= a
-1
∈ A nên a
∈ A.
← : aA = A (vì:phương trình ax = b luôn có nghiệm trong A, ∀ a,b nên ∀ b ∈ A
→ b = ax ∈ aA → A ⊂ aA; do a ∈ A nên hiển nhiên aA ⊂ A), mà A là nhóm con
của X, nên aA là nhóm con của X
Bài 18:
X là một nhóm xyclic, ∀ nhóm con A của X → A là xyclic.
Bài giải:
16
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Giả sử X = < x> , A
⊂
•°
X , ∀ a ∈ A → a = x

n
.Nếu n = 0 → A = <e> là
nhóm xycil sinh bởi e.
Nếu n ≠ 0, vì A
⊂
•°
X nên a
-1
= x
-n
∈ A , khi ấy hoặc n,hoặc -n là một số dương.do
đó ∃ các luỹ thừa nguyên dương của X trong A
Gọi x
m
là luỹ thừa nguyên dương bé nhất của x trong A.
Khi đó A = < x
m
> thật vậy:
+ x
m
∈ A nên <x
m
> ⊂ A ( do A là nhóm)
+ ∀ x
k
∈ A , chia k cho m: k = mq + r, với 0 ≤ r < m ,
do đó x
k
= x
mq + r

= x
mq
. x
r
→ x
r
= (x
m
)
-q
x
k
∈ A vậy r = 0 hay: x
k
= (x
m
)
q
∈ <x
m
>.
hay: A ⊂ <x
m
>
Bài 19:
X là một nhóm với phần tử đơn vị e, a ∈ X, a có cấp n. CMR a
k
= e ⇔ n \ k
Bài giải:
→ : ta có n là số nguyên dương bé nhất để a

n
= e , nếu có k : a
k
= e chia k cho
n → k = nq + r với 0 ≤ r < n → a
k
= (a
n
)
q
.a
r
→ a
r
= e → r = 0 hay n\ k
← : Nếu k = nq → a
k
= a
nq
= (a
n
)
q
= e
q
= e
Bài 20:
X là một nhóm, ∀ a, b ∈ X, CMR: ab và ba có cùng cấp.
Bài giải:
Giả sử ab có cấp hữu hạn là n → (ab)

n
= e → (ab) (ab)(ab)… (ab) = a(ba)
n-1
b
= e hay: (ba)
n-1
= a
-1
b
-1
= (ba)
-1
→ (ba)
n
= e → ba có cấp hữu hạn giả sử là m →
m \ n)
Giả sử ba có cấp là m → (ba)
m
= e → b(ab)
m-1
a = e → (ab)
m-1
= b
-1
a
-1
= (ab)
-1

nên: (ab)

m
= e → n \ m ( bài tập19)
. Vậy : m = n
Bài 21:
Giả sử: X = <a> , cấp n, a ∈ X. Xét phần tử b = a
k
. CMR
a) Cấp của b bằng n/d, d = ƯCLN(k, n)
b) b là phần tử sinh của X ⇔ (k, n) = 1, từ đó suy ra số phần tử sinh của X.
Bài giải:
a) Ta có n là số nguyên dương nhỏ nhất để a
n
= e, e là trung lập của X
→ b
n/d
= (a
k
)
n/d
= (a
n
)
k/d
= e
k/d
= e.
Giả sử b có cấp l → b
l
= e theo bài 19 → (n/d ) l (1)
ta có b

l
= (a
k
)
l
=a
kl
= e → kl  n → kl/d  n/d ( do d = ƯCLN( k, n) )
nên: (k/d, l/d) = 1 → l  l/d (2)
Từ (1 và (2) → đpcm.
b) Ta có (k,n) = 1 ⇔ d = 1 → b
n/d
= e hay b
n
= e → b là phần tử sinh của X . Vậy số
phần tử sinh của X là số các số tự nhiên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n
( từ b = a
k
và (k,n) =1)
17
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 22:
X là một nhóm, ∀ a, b ∈ X: a có cấp r, b có cấp s và ab = ba , (r, s) = 1
CMR: ab có cấp rs.
Bài giải:
Ta có a
r
= e, b
s
= e, với e là trung lập của X. Từ ab = ba nên ∀ n → (ab)

n
=
a
n
b
n
(bài tập 1 phần nửa nhóm) → (ab)
rs
= a
rs
b
rs
=e.e = e
Giả sử ab có cấp t: (ab)
t
=a
t
b
t
= e → a
t
= b
-t
→ a
tr
=b
-tr
=e → tr  s
a
ts

=b
-ts
= e → ts  r do ( r, s ) = 1
nên: t  s và t  r → t  rs.
Mặt ≠ từ (ab)
rs
=e → rs  t hay t = rs
Bài 25:
X là một nhóm, A là nhóm con của X. Giả sử tập X/A có hai phần tử. CMR:
A là chuẩn tắc.
Bài giải:
Giả sử: X/A = { eA, xA }= { A, xA} Khi đó ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A:
Nếu x ∈ A → x
-1
ax ∈ A → A là chuẩn tắc.
Nếu x ∉ A → x ∈ xA , x = ex → x ∈ Ax hay xA ⊂ Ax. Mặt ≠ ∀ x ∈ Ax có: x = ex
= xe, → x ∈ xA, hay Ax ⊂ xA. Tức là xA = Ax. Khi ấy ∀ a ∈ A, ∃ a
’
∈ A: xa = a
’
x
→ a

= x
-1
a
’
x ∈ A. Hay A là chuẩn tắc.
Bài 28:
X là một nhóm, gọi tâm của X là bộ phận C(X) = {a ∈ X: ax = xa ,∀ x ∈ X}

CMR: C(X) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của C(X) là một nhóm
con chuẩn tắc của X.
Bài giải:
C(X) ≠ φ vì e ∈ X, ∀ x ∈ X có ex = xe nên : e ∈ C(X)
∀ a, b ∈ C(X) → ax = xa ; bx = xb, ∀ x ∈ X. Ta cần CM: ab
-1
∈ C(X). Muốn vậy
cần chỉ ra: (ab
-1
)x = x(ab
-1
), ∀ x ∈ X. Từ ax =xa → x = a
-1
xa → xa
-1
= a
-1
x, ∀ a ∈ X,
∀ x ∈ X. Xét: (ab
-1
)x = a(b
-1
x) =a(xb
-1
) =(ax)b
-1
= (xa)b
-1
= x(ab
-1

).Vậy C(X) là
nhóm con của X. ∀ a,b ∈ C(X) có ab = ba nên C(X) là giao hoán.
∀ A là nhóm con của C(X) → A là nhóm con của X ,
mặt ≠ : ∀ x ∈ X, ∀ a ∈ A → ax = xa → x
-1
ax =a ∈ A hay A là nhóm con chẩn tắc
của X
18
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Bài 42:
cho X là một nhóm. CMR ánh xạ: ϕ :X → X
a→ a
-1
Là một tự đẳng cấu nhóm ⇔
X là aben.
Bài giải:
→ : ∀ a,b ∈ X ta có: ϕ (ab) = (ab)
-1
= ϕ(a)ϕ (b) = a
-1
b
-1
. hay: (ab)
-1
= (ba)
-1
→
ϕ (ab) = ϕ (ba), vì ϕ là đơn ánh nên có ab = ba vậy X là giao hoán.
← : ϕ là đồng cấu thật vậy: ∀ a, b ∈ X ,ϕ (ab) = (ab)
-1

= b
-1
a
-1
= a
-1
b
-1
= ϕ(a)ϕ(b)
ϕ là đơn ánh vì: Ker ϕ = { x ∈ X: ϕ (x) = e }, ∀ x ∈ Ker ϕ → ϕ (x) = x
-1
= e → x =
e
nên Ker ϕ = { e} → ϕ là đơn ánh.
ϕ là toàn ánh vì: ∀ y ∈ X, ∃ x = y
-1
∈ X: ϕ (x) = ϕ (y
-1
) = (y
-1
)
-1
= y hay ϕ (X) = X
Vậy ϕ là một tự đẳng cấu.
Bài 43:
X là nhóm.CMR G = { f: X → X : f là tự đẳng cấu } cùng với phép nhân ánh
xạ là một nhóm.
Bài giải:
Dựa theo đ/n nhóm e
x

: X → X là trung lập, ∀ f ∈ H , f
-1
là nghịch đảo của
f.
Bài 54:
X = Z
3
xác định phép toán hai ngôi:
(k
1
, k
2
, k
3
)( l
1
, l
2
, l
3
) = (k
1
+ (-1)
k
3
.l
1
, k
2
+ l

2
, k
3
+ l
3
)
a) CMR X là một nhóm với phép toán trên
b) CMR: A = < (1, 0, 0 ) > là nhóm con chuẩn tắc của nhóm X
Bài giải:
a)Theo đ/ n nhóm: Trung lập 0 = (0 , 0, 0 )
∀x = (k
1
, k
2
, k
3
) ∈ X phần tử nghịch đảo là x
-1
= ((-1)
-k
3
+ 1
.k
1
, -k
2
, - k
3
)
b) Các phần tử của A là : a = (1, 0, 0 )

a
2
=(2, 0, 0 )
a
3
=(3, 0, 0 )
a
n
= ( n, 0, 0 ) ( sinh viên tự CM bằng quy nạp)
∀ x = (k
1
, k
2
, k
3
) ∈ X, ∀ a
k
∈ A
ta có x
-1
a
k
x = ((-1)
-k
3
+ 1
.k
1
, -k
2

, - k
3
)(k, 0, 0 ) (k
1
, k
2
, k
3
) = (k, 0, 0 ) ∈ A Vậy A là
chuẩn tắc
Bài 47:
X là một nhóm , với mỗi a ∈ X xét ánh xạ: f
a
: X → X
x → a
-1
xa
a) CMR f
a
là một tự đẳng cấu của X
b) CMR các tự đẳng cấu trong lập thành một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu
của X
c) H là một nhóm con của X. CMR H là chuẩn tắc ⇔ f
a
(H) = H ∀ f
a
của X
19
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
d)CMR ánh xạ a → f

a
là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm các tự đẳng cấu trong
của X và hạt nhân của đẳng cấu đó là tâm C(X) của X
e) CMR X/C(X) đẳng cấu với nhóm các tự đẳng cấu trong của X
Bài giải:
a) f
a
là

đồng cấu vì: ∀ x, y ∈ X: f
a
(xy) = a
-1
xy a = a
-1
xa a
-1
ya =
f
a
(x)f
a
(y)
∀ x ∈ Kerf
a
→ f
a
(x) = a
-1
xa = e → x = e → Kerf

a
= {e} nên f
a
là đơn ánh
∀ y ∈ X, ∃ x = aya
-1
∈ X sao cho: f
a
(x) = f
a
( aya
-1
) = a
-1
aya
-1
a = y hay f
a
(X)=
X nên X là toàn ánh Vậy f
a
là đẳng cấu.
b) Gọi T là tập hợp các tự đẳng cấu trong của X Ta CM T là nhóm con
của nhóm G ( G là nhóm các tự đẳng cấu của X- Bài 43)
e
x
∈ T vì : f
e
(x) =e
-1

xe = x ( ánh xạ đồng nhất e
x
là phần tử trung lập của nhóm G )
∀ f
a
, f
b
∈ T , ∀ x ∈ X, f
a
f
b
(x) = f
a
(f
b
(x)) =f
a
(b
-1
xb) = a
-1
(b
-1
xb)a =(ba)
-1
x(ba) = f
ab
(x)
Vậy f
a

f
b
∈ T
∀ f
a
∈ T, ∃ f
a-1
∈ T: ∀ x ∈ X f
a
f
a-1
(x) = f
a
((a
-1
)
-1
xa
-1
) =a
-1
((a
-1
)
-1
xa
-1
)a = x = f
a-
1

f
a
(x)
Vậy f
a-1
là
phần tử nghịch đảo của f
a
Ta suy ra T là nhóm con của nhóm G
c) H là chuẩn tắc của X thì : ∀ f
a
∈ T ta có f
a
(H) = a
-1
Ha = H
Ngược lại: f
a
(H) = a
-1
Ha = H, ∀ a ∈ X → H là chuẩn tắc theo đ/n
d) xét ánh xạ k: X → T
a → f
a
k là đồng cấu vì: ∀ a,b ∈ X k(ab) = f
ab
= f
a
f
b

∀ x ∈ Kerk →
20
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu
Chương 3: Vành và trường
MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Sinh viên nắm vững các khái niệm Vành- Trường, trên cơ sở đó hiểu rõ hơn
các tập hợp số ở phổ thông thuộc loại cấu trúc đại số này. Biết vận dụng để giải các
bài tập.
Chuẩn bị: giáo viên : soạn đề cương hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu.
Tài liệu : Như đã dẫn.
1. Vành và miền nguyên
1.1. Vành
Định nghĩa 1: SGK tr 78
Câu hỏi1:
Thế nào là một Vành-Vành giao hoán-Vành có đơn vị? Chứng minh cho các
ví dụ trong SGK tr 78:79
Câu hỏi 2:
X là một vành hiển nhiên ta thấy ngay nó mang đầy đủ các tính chất của một
nhóm cộng giao hoán và các tính chất của một nửa nhóm nhân. Do có luật phân
phối giữa phép cộng và phép nhân, nên liệu vành X còn có các tính chất nào khác
chăng? Hãy tìm các tính chất đó!
1.2. Ước của không. Miền nguyên:
Sinh viên đọc tài liệu tr(80:81)
( Cho tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi trong X. a ∈ X gọi là chính quy nếu:
∀ b,c ∈ X: ab = ac và ba = ca thì kéo theo b = c )
1.3. Vành con:
Trong phần nửa nhóm, nhóm ta đã định nghĩa khái niệm nửa nhóm con,
nhóm con. Em hãy thử xây dựng định nghĩa Vành con theo cách của mình ! Lấy ví

dụ?
Định nghĩa 5: Tr 81
Câu hỏi 3:
Làm thế nào để nhận biết một bộ phận A của một vành X có là một vành con
của nó hay không?
Câu hỏi 4:
Ta đã biết giao tất cả các nhóm con của một nhóm X, cũng là một nhóm con
của nhóm X,.Hơn thế nếu A là một bộ phận của X thì A chứa trong ít nhất một
nhóm con của X, khi ấy giao của mọi nhóm con của X chứa A là nhóm con bé nhất
của X chứa A. Điều này còn đúng không đối với một vành? Hãy CM.
1.4. Iđêan và vành thương:
Câu hỏi 5:
Thế nào là một iđêan của một vành X? cho ví dụ?
21
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Câu hỏi 6:
Nêu và chứng minh dấu hiệu nhận biết một iđêan của một vành X ? Chứng
minh rằng Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của vành X là một iđêan của X.
Iđêan chính là gì ?
Câu hỏi 7:
Cho X là một vành, A = { x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ + x
n

a
n
, a
i
∈ X, x
i
∈ X } CMR: A là
một iđêan của X sinh ra bởi a
1
, a
2
, a
n
.
Câu hỏi 8:
CM định lý 7 Tr 83
Câu hỏi 9:
Xây dựng khái niệm vành thương X/A.
Câu hỏi 10:
Tương tự như khái niệm đồng cấu nhóm hãy xây dựng khái niệm đồng cấu
vành nêu các ví dụ( có chứng minh) và chứng minh các tính chất của đồng cấu
vành
Bài tập: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 18, 19, 20 Tr (87:90)
22
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Chương 3: Vành đa thức
(16 = 8+8 )
Mục đích yêu cầu:
Sinh viên vận dụng các kiến thức đã học về nhóm, vành, trường… nghiên
cứu vành đa thức. Trên cơ sở đó nắm vững khái niệm, tính chất của vành đa thức,

lấy đó soi sáng nội dung kiến thức về đa thức ở phổ thông.
1. Vành đa thức một ẩn
1.1.Vành đa thức một ẩn:
Cho đa thức thông thường:
f(x) = a
0
+ a
1
x +…+ a
n
x
n
a
i
,

b
j
∈ R , giả sử m ≤ n
g(x) = b
0
+ b
1
x +…+ b
m
x
m
Hãy xác định : f(x) + g(x) = ?; f(x).g(x) = ?
Định nghĩa:
Câu hỏi1:

Giả sử A là một vành giao hoán, có đơn vị ký hiệu là 1.
Gọi P = { ( a
0
, a
1
,…, a
n
,…) { a
i
∈ A ∀ i ∈ N , a
i
= 0 hầu khắp, trừ một số hữu hạn }
Ta định nghĩa các phép toán trong P như sau:
(1): (a
0
, a
1
,…, a
n
, ) + (b
0
,b
1
,…,b
n
,…) = (a
0
+b
0
,…, a

n
+b
n
, )
(2): (a
0
, a
1
,…, a
n
, ).(b
0
,b
1
,…,b
n
,…) = (c
0
,c
1
,…,c
n
,…)
Trong đó: c
k
= a
0
b
k
+ a

1
b
k-1
+a
2
b
k-2
+…+a
k
b
0
; k = 0,1,2,… ( c
k
=
∑
=+ kji
ji
ba
)
Chứng minh rằng: (P,(1),(2) ) là một vành giao hoán, có đơn vị
Câu hỏi 2:
Trong P lấy phần tử: x = ( 0,1,0,.…,0, ). Tìm x
2
, x
3
,…,x
n
Quy ước : x
0
= ( 1,0,…,0, )

Câu hỏi3:
CMR: ánh xạ: A → P
a (a,0,…,0, ) Là một đơn cấu vành. Ta có thể đồng nhất phần
tử a trong A với phần tử ( a,0,…,0, ) trong P. CMR A là vành con của vành P
Câu hỏi 4:
∀ ( a
0
,a
1
,…, a
n
,…) ∈ P CMR: ( a
0
,a
1
,…, a
n
,…) = a
0
+ a
1
x +…+ a
n
x
n
Định nghĩa 1: Tr 100
1.2. Bậc của một đa thức:
Câu hỏi 5:
Bậc của đa thức là gì? Đa thức không là gì? bậc của nó có hay không?
Giả sử f(x) và g9x) là hai đa thức khác 0. Hãy cho biết bậc của các đa thức

f(x) + g(x); f(x).g(x) ( có CM)
Câu hỏi 6:
CM định lý 2 tr 101
23
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
Câu hỏi 7:
CMR nếu A là một miền nguyên thì A[x] cũng là miền nguyên
1.3 Phép chia với dư:
Câu hỏi 8:
Nêu định lý 3 Tr 102. Nêu các bước tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho
g(x) ( cho ví dụ) . Trong các trừng hợp :
Bậc của f(x) < bậc g(x)
Bậc của f(x) ≥ bậc g(x)
1.4. Nghiệm của một đa thức ;
Câu hỏi 9:
Nghiệm của một đa thức là gì? điều kiện để c là nghiệm của đa thức f(x).
Câu hỏi 10:
Trình bày lược đồ hoocne ( cho ví dụ)
Cho đa thức f(x) = 5x
4
+ 4x
3
-2x
2
+ 7x + 4
Trong vành đa thức R[x]
Tìm f (
2
+ 1) = ?
Câu hỏi 11:

Nêu khái niêm nghiệm bội của một đa thức. Cho ví dụ ?
Câu hỏi 12:
Thế nào là phần tử đại số ? Phần tử siêu việt? Cho ví dụ.
Bài tập: ( 1: 7) tr 107-108
24
Giáo án Đại số đại cương - 2005- Thái Minh
2. Vành đa thức nhiều ẩn
2.1.Vành đa thức nhiều ẩn:
Với A là một vành giao hoán, có đơn vị . ta đã xây dựng vành đa thức P của
ẩn x Ký hiệu là vành đa thức A[x]. Ta đã biết A[x] cũng là một vành giao hoán, có
đơn vị, như vậy hoàn toàn có thể xây dựng một vành đa thức mới lấy hệ tử trong
vành đa thức một ẩn A[x].
Để cho tiện ta ký hiệu: A
1
= A[x
1
] ; A
2
= A
1
[x
2
] ; …, A
n
= A
n-1
[x
n
].
Định nghĩa 1: Tr 109.

Câu hỏi1:
Xét vành đa thức hai ẩn A[x
1
,x
2
] hãy viết dạng của đa thức f(x
1
, x
2
):
Trả lời:
Gọi a
i
(x
1
) = b
i0
+ b
i1
x
1
+ b
i2
x
1
2
+…+ b
imi
x
1

m
i
, i := 0,1,2,…,n là các đa thức
trong vành đa thức A
1
= A[x
1
].
Khi ấy f(x
1
,x
2
) = a
0
(x
1
) + a
1
(x
1
)x
2
+ a
2
(x
1
)x
2
2
+…+ a

n
(x
1
)x
2
n
Do phép nhân phân phối đối với phép cộng trong vành A[x
1
,x
2
] nên :
f(x
1
,x
2
) =
2122211211
21212211

mm
aa
m
aaaa
xxcxxcxxc
+++
, với các c
i
∈ A, Các ( a
i1,
a

i2
) là các
số tự nhiên và ( a
i1,
a
i2
) ≠ ( a
j1,
a
j2
) khi i ≠ j các c
i
gọi là các hệ tử , các
2
2
1
1
aiai
i
xxc
gọi
là các hạng tử của đa thức f( x
1
, x
2
).
Đa thức f(x
1
,x
2

) = 0
⇔
các hệ tử c
i
= 0
∀
i= 1,2,…
( sinh viên tự CM )
Câu hỏi 2:
Hãy tổng quát hoá dạng của đa thức f( x
1
,x
2
,…., x
n
) ∈ A[x
1
,x
2
,….,x
n
]
Câu hỏi 3:
Cho hai đa thức tuỳ ý ∈ A[x
1
,x
2
,….,x
n
] . Hãy viết chúng sao cho các hạng tử

tương ứng là các số hạng "đồng dạng".
Viết công thức tính tổng, tích của hai đa thưca trong vành đa thức A[x
1
,x
2
,….,x
n
]
3.2. Bậc của đa thức:
Định nghĩa 2: TR 111
- Bậc của đa thức đối với một ẩn nào đó
- Bậc của hạng tử trong một đa thức
- Bậc của đa thức đối với toàn thể các ẩn
- Đa thức đẳng cấp bậc k . Đặc biệt khi k = 1, 2,3 .
Câu hỏi 4:
Có những cách nào sắp xếp các hạng tử của một đa thức ? ( các ví dụ Tr 112)
Sinh viên lấy ví dụ minh hoạ cho các định lý- Hệ quả- Bổ đề sau
Định lý 1: Tr 113-
Hệ quả: Tr 114
Bổ đề 1 Tr 114
Hệ quả của bổ đề 1
Định lý 2 : Tr 115
Hề quả : Tr 116.
25