Bài giảng môn sức bền vật liệu

Chương 3
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT


Chương 3. Trạng thái ứng suất

3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm
3.2. Trạng thái ứng suất phẳng
3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất
3.4. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
3.5. Trạng thái ứng suất khối
3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng.
Định luật Hooke
3.7. Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các
thuyết bền


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (1)

a. Khái niệm
Ứng suất
• điểm K(x,y,z)
n
σ
• mặt cắt (pháp tuyến ν)
y
Mặt cắt bất kỳ đi qua K
K τ
• ứng suất pháp σν
• ứng suất tiếp τν
z

x
Qua K: vơ số mặt cắt
TTUS tại một điểm: là trạng thái chịu lực của 1 điểm
được đặc trưng bằng tất cả những thành phần ứng
suất trên các mặt cắt vô cùng bé đi qua điểm đó


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (2)

• Để nghiên cứu TTƯS tại một
điểm:
Tách 1 phân tố lập phương vơ
cùng bé chứa điểm đó;
Gắn hệ trục xyz
=> trên mỗi mặt vng góc với
trục có 3 thành phần ứng suất:
1 tp ứng suất pháp và 2 thành
phần ứng suất tiếp

σy

y

σz
z

τxy

σx

x


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (3)

• ten-xơ ứng suất Tσ
y

σ x τ xy τ xz 


Tσ = τ yx σ y τ yz 
τ zx τ zy σ z 



τyz
σz
z

σy
τyx
τzy
τzx

τxz

τxy

σx

x


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (4)

σ2
• Phân tố chính:
• Mặt chính: mặt khơng có
ứng suất tiếp.
σ3
• Phươngchính: là phương
pháp tuyến của mặt chính.
• Ứng suất chính: là ứng suất
pháp tác dụng trên mặt
chính.

σ1


3.1. Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm (5)

Qui ước gọi tên các ứng suất chính:
• Tại 1 điểm ln tồn tại ba mặt chính vng
góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng
ký hiệu là
• Theo qui ước:
Phân loại TTƯS
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
σ3
- TTƯS đơn

σ1
- TTƯS phẳng
- TTƯS khối
σ
2

Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng


3.2. TTƯS phẳng (1)

• Xét p/tố: Trên mặt vg/góc oz khơng có u/s.
- Các mặt cịn lại có: u/s pháp và tiếp.
y

σy

σy

τxy

σx

σx

τxy

y
x

z

O

x


3.2. TTƯS phẳng (2)

•

Qui ước dấu

y

Ứng suất pháp dương:
Ứng suất tiếp dương:

σx

τxy

a) Định luật đối ứng của ứng suất tiếp z

∑M

z

=0

σy

x

τxy = τyx

Trạng thái ứng suất phẳng chỉ còn 3 thành phần
ứng suất độc lập trên các mặt cắt vuông góc với
σx ,σy, τxy
2 trục x, y:


3.2. TTƯS phẳng (3)

b) Ứng suất trên mặt nghiêng (//z)

y

Mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp với
phương ngang x góc α (α > 0: từ x
quay đến u theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ)

σy

τyz

τyx
τzy

τxy

σx

τzx τxz

σz

x

z

σx

τxy

y
συ

σx

τ

τyx
z

y

u

v
σy

τxy

u
σu

α
dy ds

τyx

x
τuv

σy

dx


3.2. TTƯS phẳng (*)

σy

u

Qui ước dấu：
：
α >0 - chiều ngược kim đồng hồ ；

α

y

σx

τxy

u

σu >0 - hướng ra
τ uv - thuận chiều kim đồng hồ

∑F

u

O

α

σx

−σ y dA sin 2 α + τ yx dA sin α cos α = 0

τuv
σy

dA cos α

σ u dA − σ x dA cos 2 α + τ xy dA cos α sin α

σu

vx

=0 ⇒

τxy
dA

dA sin α

∑F

v

=0⇒

τ uv dA - τ xy dAcos 2 α - σ x dAcosαsinα
+τ yx dAsin 2 α + σ y dAsinαcosα = 0


3.2. TTƯS phẳng (4)

σu

TTƯS phẳng

α

σx

σu =

σ x + σ y σ x −σ y

τuv =

+

2

σ x −σ y
2

2

cos 2α −τ xy sin 2α

sin2α +τ xy cos2α

σy

τuv

τxy
σy

3.2. TTƯS phẳng (5)

c) Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính
• Ứng suất pháp cực trị khi:

dσ u
=0
dα

⇒ tg2α = -

2τ xy

σx −σy

(1)

• Các ứng suất chính (phương chính) xác định từ
đk:

τ uv = 0 =>
Từ (1) và (2):

tg2α 0 =-

2τ xy

σx −σy

α ≡ α 0 (d.p.c.m)

(2)


3.2. TTƯS phẳng (6)

Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính

σmax, min =σ1,2(3) =

σx +σy

σx −σy  2
± 
 +τxy
2
 2 
2

Hai phương chính vng góc với nhau

tg 2α = −

2τ xy

α 01,02

σ x −σ y


2τ xy
1
α 0 = arctg  −
 σ x −σ y
2






 α0
=
0
+
90
α
 0


3.2. TTƯS phẳng (7)

d) Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp
với mặt chính góc 450
σx −σy
dτ
= 0 => tg2α =
=> α =α 0 + 450
dα

2τ xy

 σ x −σ y 
2
=± 
+
τ

xy
2


2

τ max,min

e) Bất biến của TTƯS phẳng: tổng các ứng suất pháp trên
hai mặt bất kỳ vng góc với nhau tại một điểm có giá
trị khơng đổi

σ x + σ y = σ u + σ v = const


Ví dụ
• Tìm giá trị của ứng suất pháp, tiếp trên mc nghiêng.

4 + ( −6 ) 4 − ( −6 )
σu =
+
cos( 2* 30o ) − 2 sin( 2* 30o ) ≈ −0,232KN / cm2

2
2
4 −6
τuv =
sin60o + 2cos60o ≈ 0,134KN / cm2
2
−2 * 2
tg 2αo =
= −0, 4
4 − ( −6)

σ max ≈ 4,385KN / cm 2

α 01 ≈ −10o54'2.54
'
α 02 ≈ 79o557.46

σ min ≈ −6,385KN / cm 2


3.3. Vịng trịn Mohr ứng suất (1)
• Biết TTƯS tại một điểm => các thành phần ứng suất trên mặt
nghiêng, ứng suất cính, phương chính theo cơng thức …:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH
• Bằng đồ thị => vịng trịn Mohr ứng suất
( σu -

σx + σ y
2

( τ uv )2

)2 =

(

=

(

σx − σ y
2
σx − σ y
2

cos 2α − τ xy sin 2α )2
sin 2α + τ xy cos 2α )2

σx + σ y 

 σx − σy 
2
2
+
τ
τ
σ
=
+


uv

xy
 u

2
2




2

Tâm

 σx + σ y 
I
,0 
2



2

bán kính

 σx − σy 
2
R= 
τ

+

xy
2


2


3.3. Vòng tròn Mohr ứng suất (2) – Cách dựng vòng tròn Mohr
TTƯS phẳng
σy

τuv
τyx

u τuv

σx
τxy

τxy
τyx

σx

α

y

u2

σu

σu

A

α01

u1

σ

2

)

I

σ2

 σx − σy 
2
R= 
τ
+

xy
2 



(

α02R
B

 σx + σy 
I
,0 
2



M σ y , τ xy

`

O

u

K

α

M

τxy

σy

Điểm cực

τmax

σx
σ1

τmin


3.4. TTƯS phẳng đặc biệt (2)
TTƯS trượt thuần
túy: trên các mặt của
phân tố chỉ có ứng
suất tiếp

τ yx

C

C

τ xy

M
Thanh chịu xoắn

σx =σy = 0

τ xy

Mz
=τρ =
ρ
IP
σ max
= ±τ ρ

σ min

τxy

τ

τyx
σmin

σmax


3.4. TTƯS phẳng đặc biệt (1)
y

TTƯS phẳng mà 1 trong 2 thành
phần ứng suất pháp σx, σy bằng 0 =>
ký hiệu các thành phần ứng suất: σ
và τ

C

F

Thanh chịu uốn ngang phẳng

x

τ yz

c
x

Qy S
Mx
σz =
y, τ zy =
Ix
I xbc

τ

σ
τ

σ max,min

σz

τ

C

τ
I

σ
τ

τ

z

σmin

σ
σ
= σ1,3 = ±   + τ 2
2
 2
2

σ

σ

σmax

σ1 − σ 3
σ

=
=   + τ2
2
2
2

τ max

σz

τ zy


3.5. TTƯS khối (1)

• TTƯS khối có cả
3 thành phần ứng
suất chính σ1, σ2,
σ3 ≠ 0

y

σ2

a
σ3
z

x

b


3.5. TTƯS khối (2)
• Ứng suất trên các M/C
nghiêng // với từng
phương chính ta vẽ
được 3 vịng trịn có
đường kính (σ1, σ2),
(σ1, σ3), (σ2, σ3).
• LTĐH đã chứng minh:
ứng suất trong mặt cắt
nghiêng bất kỳ (khơng
//với mặt chính nào)
tương ứng với 1 điểm
nằm trong vùng gạch
chéo

τ

C2

C3

2α

2γ

σ3

C1

σ2

σ

σ1


3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (1)

1. Trạng thái ứng suất đơn
εx =

σx
E

εy = −

µ
E

σx εz = − µ σ x

γ xy =

G

σx

E

2. Trạng thái ứng suất trượt
thuần túy
τ xy

y

γ yz = γ zx ≈ 0

z

x

y

τxy
z

x


3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (2)

3. Trạng thái ứng suất tổng quát
Theo nguyên lý cộng tác dụng

ε x (σ x , σ y , σ z ) = ε x (σ x ) + ε x (σ y ) + ε x (σ z )

σy

y

σx
σz
z

τxy

εx =

σx

−µ

−µ

σz

E
E
E
1
σx − µ σ y +σz
=
E

[

x

σy

(

)]


3.6. Quan hệ ứng suất – biến dạng (3)

a.

b.

Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài
1
1
ε x = σ x − µ (σ y + σ z ) 
ε 1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )]
E
E
1
1
[σ 2 − µ (σ 3 + σ 1 )]
ε
=
ε y = σ y − µ (σ x + σ z ) 
2
E
E
1

1
[σ 3 − µ (σ 2 + σ 1 )]
=
ε
3
ε z = σ z − µ (σ x + σ y ) 
E
E
Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc

γ xy =

τ xy
G

γ xz =

τ xz
G

γ yz =

τ yz
G

với E, µ, G là mơ đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson,
mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau bởi cơng thức:

G=

E
2 (1 + µ )