BÁO cáo bài tập lớn giải tích 2 chương 14 1 câu 56

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Bộ mơn: Giải tích 2
---------------o0o---------------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GVHD: Nguyễn Thị Hồng Nhung
Tên nhóm: nhóm 7

TP. HỒ CHÍ MINH, ngày 12 tháng 5 năm 2021

1


DANH SÁCH THÀNH VIÊN
Họ và tên

MSSV

1) Nguyễn Võ Tấn Hải (2013076)
2) Lữ Hoàng Anh (2010133)
3) Trần Thị Thanh Tâm (2014443)
4) Nguyễn Thị Thu Huyền (2013180)
5) Tạ Vũ Hương Thảo (2014525)
6) Lâm Khánh Duy (2012820)
7) Võ Thị Ngọc Ánh (2012631)
8) Ngô Quang Hiếu (1710084)
9) Võ Hồng Duy Khang (2013441)
10) Trần Đình Thiên (2014569)
11) Nguyễn Đặng Nhật Minh (2013769)

12) Đỗ Quang Chuẩn (1910880)

2


LỜI CẢM ƠN
Những dịng đầu tiên, chúng em, Nhóm 7, cảm thấy mình thật vơ cùng may mắn
khi được trở thành những sinh viên của trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM. Tại đây,
chúng em đã bắt đầu có được những cơ dun đầu tiên với bộ mơn Giải Tích 2.
Kế đến, Nhóm em xin được phép gửi gắm những lời tri ân sâu sắc, chân thật nhất
tới cô Nguyễn Thị Hồng Nhung vì đã dìu dắt chúng em từ những ngày đầu tiên của mơn
học Giải Tích 2. Nếu khơng có cơ, nhóm của chúng em đã khó có thể hoàn thành dự án
một cách trơn tru và đúng hạn. Cũng nhờ có cơ mà nhóm chúng em đã có thể tích lũy
thêm được vơ vàn những kiến thức mới, được tiếp cận với đa dạng các loại tích phân
cùng với việc biết thêm về vô vàn các ứng dụng của chúng đối với đời sống thực tiễn như
tính diện tích, thể tích hay khối lượng…v..v.. Nhờ đó giúp chúng em bước chân vào thế
giới tốn học với sự thích thú, ham học hỏi nhưng cũng không thiếu đi sự nghiêm túc
trong học tập.
Tuy vậy, khả năng của chúng em trong q trình vẫn đang được hồn thiện, vẫn
chưa đạt được tới mức hồn hảo, sẽ cịn những chỗ chưa được chuẩn xác và có lỗi. Kính
mong cơ góp ý, xem xét để giúp nhóm hồn thiện hơn trong tương lai.
Xin chân thành cảm ơn cơ ạ!
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 5 năm 2021
Tập Thể Sinh viên Nhóm 7

3


Bài 1. Chương 14.1/ câu 56
Nếu V ( x, y ) là điện thế tại điểm ( x, y ) trong mặt phẳng Oxy , thì các đường cong của V

được gọi là đường đẳng thế bởi vì tại tất cả mọi điểm trên một đường cong như vậy có
V ( x, y ) 

điện thế là như nhau, vẽ một số đường cong đẳng thế nếu
c là một hằng số.

c
r  x2  y 2
2

trong đó

Giải

Ta có:

Bài 2. Chương 14.3/ câu 84
Chứng tỏ rằng hàm sản xuất Cobb-Douglas

4

P  bL K  thoả mãn phương trình:


L

�
P
�
P

K
    P
�
L
�
K

Giải


Ta có: P  bL K (1)

�
P
 b L 1 K 
�
L
(2)
�
P
 b L K  1
�
K
(3)

Thay

 1 ,  2  ,  3 vào phương trình :

Vế trái:

Vế phải:

L

�
P
�
P
K
 L.b L 1 K   K .b L K  1       bL K 
�
L
�
K

     P  (   )bL K 

2 vế bằng nhau � hàm sản xuất Cobb-Douglas
L

P  bL K  thoả mãn phương trình:

�
P
�
P
K
    P
�
L

�
K
.

Bài 3. Chương 14.4/ Applied project: 2
Tốc độ v của một vật thể đang di chuyển về phía trước trong lịng nước được cho như
sau:

5


1

3
�2 P �
v  P, C   � �
�KC �

Với P là năng lượng để làm cho vật di chuyển về phía trước trong lịng nước, C là lực cản
của nước và K là một hằng số dương. Nhờ đó, các vận động viên có thể tăng vận tốc bơi
bằng cách tăng lực của chính mình hoặc giảm đi lực cản của nước tác dụng lên họ. Thế
nhưng, hai cách làm có thật sự hữu ích?
Để so sánh giữa việc tăng lực áp vào và giảm lực cản, chúng ta cần so sánh chúng ở cùng
một hệ quy chiếu. Cách tiếp cận thường thấy nhất là xác định phần trăm thay đổi trong
tốc độ do có sự thay đổi (phần trăm) của lực áp vào và lực cản.
Nếu chúng ta xem phần trăm như những phần nhỏ thì khi năng lượng thay đổi 1 lượng
nhỏ x (với x gần bằng 100 x %), P thay đổi từ P sang P + xP . Tương tự, nếu lực cản
của nước thay đổi 1 lượng nhỏ y , điều đó có nghĩa nó đã thay đổi từ C sang C + yC .
Tổng kết lại, ta có cơng thức mức thay đổi của vận tốc (do sự ảnh hưởng bởi cả 2 thành
phần) như sau:

v( P  xP, C  yC )  v( P, C )
v ( P, C )
2) Xem như sự thay đổi năng lượng x và sự thay đổi của lực cản y là nhỏ. Tìm xấp xỉ
tuyến tính của hàm f ( x, y ) . Xấp xỉ này cho ta biết điều gì về sự ảnh hưởng của sự thay
đổi nhỏ của năng lượng so với sự thay đổi nhỏ trong lực cản?
Giải
x là lực áp vào

y là lực cản của chất lỏng lên vật

f ( x, y ) 
Ta có

v( P  xP, C  yC )  v( P, C )
v ( P, C )
1/3

1/3
�2  P  xP  � �2 P �
�
� � �
1/3
K  C  yC  � �KC � �
1 x �
�

�
� 1
1/3

1 y �
�2 P �
�
� �
�KC �

6


f x�
( x, y ) 

1
3 1 x

2/3

1 y

1/3

 1 x
f y�
( x, y )  
4/3
3 1 y 
1/3

Hàm xấp xỉ tuyến tính của f ( x, y ) tại giá trị thay đổi x0 và y0 được cho bởi pt:

� L( x, y )  f ( x0 , y0 )  f x�
( x0 , y0 )  x  x0   f y�
( x0 , y0 )  y  y0 

� L ( x, y ) 

 1  x0 
f ( x0 , y0 ) 
x

x

y  y0 


0
2/3
1/3
4/3 
3  1  x0   1  y0 
3  1  y0 
1

1/3

x tỉ lệ nghịch với y

nếu lực áp vào tăng 1 lượng nhỏ thì lực cản sẽ giảm 1 lượng nhỏ
dựa trên hàm xấp xỉ tuyến tính f , cả 2 sự thay đổi này đều ảnh hưởng tới tốc độ f với tỉ
1

lệ 3 so với tổng thể. Vì vậy, khơng có sự khác biệt đáng kể nào giữa việc tăng 1 lượng

nhỏ trong năng lượng đưa vào và việc giảm đi 1 lượng nhỏ trong lực cản.

Bài 4. Chương 14.5/ câu 55
Hàm f được gọi là hàm đồng nhất bậc n nếu nó thoả phương trình
f (tx, ty )  t n f ( x, y )

7


Với mọi t khi n là số nguyên dương và hàm f có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục
a) Chứng minh hàm f là hàm đồng nhất bậc 3
b) Chứng tỏ rằng khi f là hàm đồng nhất bậc n thì:
�
f
�
f
x y
 nf ( x, y )
�
x
�
y
Giải

a)

là hàm đồng nhất bậc 3
b) Đặt

Ta có: đạo hàm theo :

Sử dụng quy tắc chuỗi, ta có:

Tương tự:
Thế (2), (3) vào (1):

8


Bài 5. Chương 14.7/ câu 59
Giả sử rằng một nhà khoa học có lý do để tin rằng hai đại lượng x và y có quan hệ tuyến
tính với nhau, nghĩa là, ít nhất là xấp xỉ, đối với một số giá trị của và. Nhà khoa học thực

hiện một thí nghiệm và thu thập dữ liệu dưới dạng các điểm, sau đó vẽ biểu đồ các điểm
này. Các điểm khơng nằm chính xác trên một đường thẳng, vì vậy nhà khoa học muốn
tìm các hằng số m và b sao cho đường thẳng “khớp” với các điểm nhất có thể (xem hình
vẽ).

9


Gọi là độ lệch dọc của điểm () so với đường thẳng. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
xác định m và b sao cho đạt giá trị nhỏ nhất tổng bình phương của những độ lệch này.
Chứng tỏ rằng, theo phương pháp này, dịng tốt nhất thu được khi

Và

Do đó, đường thẳng được tìm thấy bằng cách giải hai phương trình này trong hai ẩn số m
và b. (Xem Phần 1.2 để thảo luận thêm và các ứng dụng của phương pháp bình phương

nhỏ nhất.) .
Giải
n

Đặt

n

L  �di  � yi  (mxi  b) 
2

i 1

2

i 1

Để tìm độ lệch nhỏ nhất thì ta đi tìm đạo hàm theo b và theo m sao cho đạt giá trị bằng 0
thì tại điểm đó đạt cực trị

�
L
0
b
Chứng minh: �
�
L n �
 � [ yi  (mxi  b)]2
�
b i 1 �

b
�
L n
 �2[ yi  (mxi  b)]( 1)
�
b i 1
n
�
L
 0 � �(2)[ yi  (mxi  b)]  0
�
b
i 1
n

n

n

�y  �mx  �b  0
i

i 1

i 1

i

i 1

n

n

i 1

i 1

m�xi  bn  �yi

�
L
0
m
Chứng minh: �

10


n
�
L
�
 � [ yi  ( mxi  b)]2
�
m i 1 �
m
n
�
L

 �2[ yi  ( mxi  b)](  xi )
�
m i 1
n
�
L
 0 � �(2 xi )[ yi  (mxi  b)]  0
�
m
i 1
n

n

n

�x y �mx  �bx
i

i 1

n

i

2

i

i 1

i 1

n

n

i 1

i 1

0

i

m�xi  b�xi  �xi yi
2

i 1

Từ đó suy ra giá trị của m và b được thể hiện qua:
n

n

m

i 1

i 1

n

i 1

n

n�xi 2  (�xi ) 2
i 1

b

n

n�xi yi  (�xi )(�yi )

n

i 1

n

1
m
yi  �xi
�
n i 1
n i 1

Bài 7. Chương 15.1/ câu 7

Một bản đồ đường bao được hiển thị cho một hàm f trên hình vng

(a) Sử dụng Quy tắc điểm giữa với m = n = 2 để ước tính giá trị của∬f (x, y) dA
(b) Ước lượng giá trị trung bình của f.

11


Giải

f  x, y  dA ���f  xi, yi  A
�
�
m

(a) Quy tắc điểm giữa :

R

n

i 1 j 1

Chúng ta phải sử dụng quy tắc điểm giữa với m = n = 2
Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ chia phần đã cho thành 4 hình vng
2
2
Diện tích của vùng hồn chỉnh A  4  16

Vì thế

A 

Vì thế :

A
16
 4
m �n 4

f  x, y  dA �4 �
�f  1,1  f  3,1  f  3, 3  f  1, 3 �
�
�
�
R

Từ biểu đồ dưới đây, chúng ta có thể viết :
+

f  1,1 �27

+

f  3,1 �14

12


+

f  3,3  �17

+

f  1,3 �4

Vì thế :

f  x, y  dA �4  27  14  17  4   4 �62  248
�
�
R

Kết quả :

f  x, y  dA �248
�
�
R

ftb 
(b) Nhớ rằng :

1
f ( x, y ) dA
�
A�
R

Trong đó A là diện tích của vùng R
Trong vấn đề đã cho R = [0,4] x [0,4] đó là một hình vng có độ dài cạnh = 4
2
Do đó diện tích của khu vực R là A  4  16
f  x, y  dA �248
�
�
R
Từ câu (a) , chúng ta biết rằng :
248
�f tb
15.5
16

13


Bài 8. Chương 15.2/ câu 29
Tìm thể tích của vật thể được giới hạn trụ bởi z= , y= và mặt phẳng z=0, y=4
Giải
2 4 x2

V 

1dzdydx 
�
�
�

2 x 2 0

2 4

2
x
�
�dydx

2 x 2

2

x3 4
43  x 6
512
� �
dx

2 dx 
�3
2 3 x
7
2
2

Bài 9. Chương 15.4/ câu 28
a) Chứng minh rằng:
4 xy ,
�
f ( x, y )  �

0,
�

0 �x �1, 0 �y �1
Trường hợp khác

b) Nếu X và Y là các
hàm f trong phần a,hãy tìm:
(i)
(ii)
c) Tìm giá trị trung bình của X và Y

biến ngẫu nhiên có hàm mật độ khớp là

Giải
a) f(x,y) là hàm mật độ khớp nếu

Bởi vì f(x,y) = 0 nếu x,y > 1 or x,y < 0

14


b)
(i)

(ii)

c)

Bài 10. Chương 15.5/ câu 12

15


2
2
2
Tìm diện tích của bề mặt một phần của hình cầu x  y  z  4 z Nằm bên trong
2
2
paraboloid z  x  y

Giải

Ta có:

x2  y2  z 2  4 z
�  z  2  4  x2  y 2
2

� z  2 � 4  x2  y2
z�
x ( x, y ) 

x
4  x2  y 2

, z�
y ( x, y ) 

�x  r cos( )
���
0  2 , 0
�
y

r
sin(

)
Đặt: �

y
4  x2  y 2
r

3

Sử dụng hệ toạ độ trụ Phương trình của mặt cầu và paraboloid trong hệ toạ độ trụ lần lượt
là:
2
r 2  z 2  4 z và z  r

Đầu tiên ta tìm đường cong giao nhau của hai bề mặt:

r 2  z 2  4r 2
z 0�r 0
�
��
z 3�r  3

�

16


� �
A�
z�
y ( x , y ) �  z x ( x , y )  dA
�1  �
�
2

Diện tích bề mặt của một phần hình cầu là

2

D

x2  y 2  4  x2  y 2
A�
� 4  x 2  y 2 dA
D
4
A�
�4  x 2  y 2 dA
D
A
A

2

3

4

d �
r
�
4r
0

0

2

1

2

dr

1
1/ 2
d

2
u
(


du )
�
�
2
0
4

A  4

Bài 11. Chương 15.6/ câu 44
Giả sử rằng chất rắn có khối lượng riêng k khơng đổi.
Tìm mơmen qn tính của một viên gạch hình chữ nhật có kích thước a, b, c và khối
lượng M nếu trọng tâm của viên gạch nằm tại gốc tọa độ và các cạnh song song với các
trục tọa độ.
Giải

Do tâm của viên gạch nằm ở góc tọa độ nên sẽ chia các cạnh a,b và c làm 2 phần đối
xứng qua nhau qua các trục tọa độ.
Ta tính moment quán tính theo trục Ox:

IX  �
( y 2  z 2 )  ( x, y, z ) dV
�
�
E

=

17

=
=
=
=
=
Mà
Nên
Tương tự moment quán tính theo trục 0y,0z
,
Vậy moment quán tính của viên gạch là

Bài 12. Chương 15.7/ câu 25
Dùng hệ tọa độ trụ để
a- Tìm thể tich của miền E nằm giữa paraboloid z = và hình nón z =
b- Tìm trọng tâm của E (trung tâm của miền khi trọng lượng riêng là hằng số)

Giải

x  r cos 
y  r sin 
V

2 4

(24  r
�
�

2

 2r )drd 

0 0

a)

Mx 

2 4

r.sin  .(24  r
�
�

2

352

5

 2r )rdrd  0

0 0

18

My 

2 4

r.cos  .(24  r
�
�
0 0

2

 2r )rdrd  0


b)

 Tọa độ trọng tâm

Mx
0
V
My
y0 
0
V

x0 

Trọng tâm của miền E là O (0;0)
Bài 13. Chương 15.8/ câu 49
(a) Sử dụng tọa độ hình trụ để chứng tỏ rằng thể tích của vật rắn bao quanh bởi hình
cầu và bên dưới bởi hình nón , khi , thì
(b) Suy ra rằng thể tích của hình cầu cho bởi là

(c) Sử dụng Định lý Giá trị Trung bình để chỉ ra rằng khối lượng trong phần (b) có thể được
viết dưới dạng khi nằm giữa , nằm giữa ,
Giải
(a) Hình chiếu của vật rắn đã cho là hình trịn, được xác định bởi giao của các bề mặt:

Thay ph ương trình thứ hai vào phương trình đầu tiên chúng ta được

19


Ta có:

Tích phân bên trong khơng phụ thuộc vào , vì vậy chúng ta có thể di chuyển nó ra bên
ngồi tích phân bên ngồi

(b) Nếu ta lấy thì

20


Gọi
V11

là thể tích của vật rắn giới hạn bởi mặt cầu và hình nón

V12

là thể tích của vật rắn giới hạn bởi hình cầu và hình nón

V21

là thể tích của vật rắn giới hạn bởi hình cầu và hình nón

V22 là thể tích của vật rắn giới hạn bởi hình cầu và hình nón

Hình vẽ biểu diễn mặt cắt của vật thể cần

vậy ta có thể tích của phần thân :

21


(c) Định lý giá trị trung bình là viết tắt của một hàm, có đạo hàm tại (a, b) và liên tục
tại [a, b] giữ trong đó

Trong đó a
Ta có

Sử dụng định lý giá trị trung bình, ta có:

Thay tất cả vào công thức ta được:
Bài 14. Chương 15.9/ câu 22

22


Một vấn đề quan trọng trong nhiệt động lực học là tìm cơng thực hiện bởi một động cơ
Carnot lí tưởng. Một chu trình bao gồm sự giãn nở và nén xen kẽ của khí trong một
piston. Cơng do động cơ thực hiện bằng diện tích của vùng được bao bởi hai đường đẳng

1.4
1.4
nhiệt xy  a, xy  b và hai đường đoạn nhiệt xy  c, xy  d .

Trong đó 0  a  b    và 0  c  d .
Tính tốn cơng việc đã thực hiện bằng cách xác định diện tích của R.
Giải

Chúng ta có thể định nghĩa R là
a  xy  b   và c  xy1.4  d

Đặt

xy  u   và xy1.4  v     ta có
a  u  b 

và c   v  d

Vậy R là hình chữ nhật trong mặt phẳng uv
1.4 
0.4
ta có thể viết: xy    xy. y    v
2.5

vậy

�v �
u. y 0.4   v � y  � �
�u �
2.5

�v �
x. � �  u
Với xy=u ta đươc: �u �

Suy ra

x

u 3.5
 u 3.5 .v ( 2.5)
2.5
v

Ma trận Jacobi là
= 2.5v-1
d

Diện tích cần tìm:

23

b

�d �
SR  �
dA  �
2,5v 1dv �
du  2,5  b  a  ln � �
�

�c �
R
c
a


Bài 15. Chương 15 Review/ câu 57
Sử dụng công thức đổi biến và biến đổi phù hợp để tính giá trị của tích phân
R là hình vng với tạo bới các điểm (0, 0), (1, 1), (2, 0), (1, -1) .
Giải

Ta có thể xác định miền trong hình vng:
 0  x  y  2 và 0  x  y  2

Đặt: u  x  y và v  x  y .
 0  u  2 , 0  v  2  và

24

x

uv
uv
  , y 
2
2

xydA
�
�

R

,


1
2
J
1
2

1
1
2

1 2
2
2 2

�u  v �
�u  v �
�1 �
xydA  �
dudv
�
�
�
�
� �
�

�
�
2
2
2
�
�
�
�
�
�
R
0 0
2 2

1
 �
v 2  u 2 dudv
�
800
2

2
1 �2 u 3 �
 �
v u  �dv
�
8 0�
3�
2



1
8
2v 2  dv
�
80
3

2
1�
v 3 4v �
 �  �
4 �3 3 �
0


1�
8 8�
 0
�
4�
3 3�
�

Bài 16. Chương 16.2/ câu 7
( x  2 y )dx  x dy
�
2

Tính tích phân đường

C

0, 0
với C bao gồm các đoạn thẳng chạy từ   đến

 2,1 và từ  2,1 đến  3,0 
Giải
Gọi toạ độ các điểm lần lượt là :

 x  2 y  dx  x dy  �
 x  2 y  dx  x dy  �
 x  2 y  dx  x dy
�
2

Ta có:

A  0, 0  , B  2,1 , C  3, 0 

C

2

AB

2

BC

 Phương trình đoạn thẳng AB: x  2 y , điểm đầu A ứng với y  0 , điểm cuối B ứng
với y  1 , khi đó:
1

�
 x  2 y  dx  x 2 dy  �
 2y  2y 2   2y
�
�

AB

25

0

2

�dy  16
�
3