Tính hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm cận của một số luồng thủy khí trên toàn trục thời gian TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

LÊ THẾ SẮC

TÍNH HẦU TUẦN HỒN, HẦU TỰ ĐỒNG HÌNH
VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LUỒNG THỦY KHÍ TRÊN TỒN TRỤC THỜI GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Hà Nội - 2022


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Nghiên cứu nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn là một hướng nghiên cứu
quan trọng liên quan đến tính chất nghiệm của phương trình tiến hóa theo
thời gian. Đối với trường hợp nghiệm tuần hoàn, một số phương pháp như
nguyên lý Massera, nguyên lý điểm bất động của Tikhonov hay hàm Lyapunov được áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân cụ thể. Các phương
pháp phổ biến nhất cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hồn là tính
bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré thông qua các phép
nhúng compact.
Tuy nhiên, với trường hợp phương trình đạo hàm riêng trong các miền
khơng bị chặn hay các phương trình có nghiệm khơng bị chặn thì các phép
nhúng compact này khơng cịn đúng nữa và do đó sự tồn tại nghiệm bị chặn
sẽ khó đạt được. Bằng cách sử dụng tính chất nội suy của không gian Lp
yếu, Yamazaki và nhiều tác giả khác đã chỉ ra sự tồn tại và tính ổn định
nghiệm tuần hoàn trên các miền ngoại vi. Nguyễn Thiệu Huy & các cộng sự
đã kết hợp giữa nguyên lý dạng Massera và không gian nội suy, các hàm tử

nội suy kết hợp với phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tại nghiệm
tuần hồn của các phương trình cơ học chất lỏng và các phương trình truyền
nhiệt với hệ số thơ, phương trình Ornstein - Uhlenbeck. Gần đây, Nguyễn
Thiệu Huy & các cộng sự đã chỉ ra được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định
cấp đa thức của nghiệm hầu tuần hồn cho một lớp phương trình tiến hóa
parabolic tổng qt trên các khơng gian nội suy.
Khái niệm về hàm hầu tuần hồn có trọng được giới thiệu đầu tiên bởi
Zhang vào năm 1994. Sau đó, Diagana đã đưa ra khái niệm hàm tựa hầu tuần
hồn có trọng vào năm 2008. Trong những năm gần đây, loại hàm này nhận
được nhiều sự quan tâm của các nhà tốn học. Khái niệm về hàm hầu tự
đồng hình lần đầu được giới thiệu bởi Bochner như một sự tổng qt hóa của
hàm hầu tuần hồn trong các cơng trình nghiên cứu hình học vi phân có liên
quan tới các nhóm rời rạc. Sau đó, các nhóm nghiên cứu của N’Guérékata
và của Xiao đã tổng quát hóa khái niệm hàm hầu tự đồng hình bằng hàm
hầu tự đồng hình có trọng. Khái niệm về hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa
Stepanov được đưa ra bởi Casarino như là một sự khái quát hóa hàm hầu tự
1


đồng hình theo ý tưởng của Stepanov. Tiếp nối sự phát triển đó là sự ra đời
của hàm tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng được giới thiệu
bởi Xia & Fan.
Trong luận án này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các bài toán về sự tồn
tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của một số lớp nghiệm đủ tốt định
nghĩa trên toàn trục thời gian cho 3 dạng phương trình sau:
• Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tổng qt dạng:
u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R.

(1)

• Dạng 2. Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa không gian Rn+ :


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF
trong R × Rn+ ,




∇·u = 0
trong R × Rn+ ,
(2)
u(t, x) = 0
trên R × ∂Rn+ ,




lim u(t, x) = 0
với t ∈ R.

|x|→∞

• Dạng 3. Xét hệ phương trình Boussinesq dạng


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF




∇·u = 0

θt − ∆θ + (u · ∇)θ = divf



u(t, x) = θ(t, x) = 0

trong R × Ω,
trong R × Ω,
trong R × Ω,
trên R × ∂Ω.

(3)

Đối với phương trình (1), các tác giả như Geissert, Hieber và Nguyễn
Thiệu Huy đã chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm bị
chặn, nghiệm hầu tuần hồn với nửa nhóm ổn định cấp đa thức. Kobayashi
& Kubo đã chỉ ra được sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
đủ tốt của phương trình (2). Trong khi Fife, Cannon, Hishida và Ferreira đã
chỉ ra sự tồn tại của nghiệm yếu và nghiệm đủ tốt thì Roa và Nakao đã chỉ
ra sự tồn tại của nghiệm tuần hồn của phương trình (3). Tuy nhiên, sự tồn
tại của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, tựa hầu tuần hồn có trọng, hầu tự
đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và tựa hầu tự đồng hình
có trọng định nghĩa trên tồn trục thời gian và tính ổn định của các phương
trình trên cho đến nay vẫn là các vấn đề mở.
Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tơi đến
việc lựa chọn đề tài: Tính hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và dáng điệu tiệm
cận của một số luồng thủy khí trên tồn trục thời gian.
2

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và
tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình và
một số lớp nghiệm có trọng của các phương trình (1), (2) và (3) trong
các khơng gian nội suy.
• Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm đủ tốt của các
phương trình (1), (2) và (3) trong miền khơng bị chặn và trên toàn
trục thời gian R trong các không gian nội suy như không gian Lorentz,
không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt và khơng gian tích Đề-Các
của các khơng gian Lorentz.
• Phạm vi nghiên cứu của luận án: Luận án nghiên cứu sự tồn tại, duy
nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng
hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có
trọng, tựa hầu tự đồng hình có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo
nghĩa Stepanov có trọng tương ứng với ba lớp phương trình:
- Phương trình tiến hóa parabolic tổng quát có dạng (1) với điều
kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức trong các khơng gian
nội suy tổng qt. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực
học thủy khí dạng Navier-Stokes trong miền khơng bị chặn.
- Phương trình Navier-Stokes (2) trên nửa khơng gian và trong các
khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt.
- Phương trình Boussinesq (3) trên miền khơng bị chặn trong khơng
gian tích Đề-Các của các khơng gian Lorentz.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phép chiếu Helmholtz và dạng ma trận của hệ phương trình
để chuyển các phương trình cụ thể về dạng tổng quát.
• Sử dụng lý thuyết về hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, các loại
hàm có trọng, lý thuyết nội suy, đánh giá Lp − Lq , bất đẳng thức đối

ngẫu để chứng minh nguyên lý dạng Massera trong việc chỉ ra sự tồn
tại một số lớp nghiệm của phương trình tuyến tính.
• Sử dụng các đánh giá Lp − Lq , đánh giá Lp − Lq có trọng và nguyên lý
ánh xạ co để nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định một số lớp nghiệm
của phương trình nửa tuyến tính.
3


4. Kết quả của luận án
Luận án đã chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp
đa thức của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng
hình theo nghĩa Stepanov, tựa hầu tuần hồn có trọng, tựa hầu tự đồng hình
có trọng và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng cho ba lớp
phương trình sau đây:
• Phương trình tiến hóa parabolic (1) trong các khơng gian nội suy tổng
qt. Sau đó áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí. Các
kết quả này nằm trong Chương 2 và đã mở rộng các kết quả trước đây
bằng việc nghiên cứu các lớp nghiệm đủ tốt trên toàn trục thời gian.
• Phương trình Navier-Stokes trên nửa khơng gian (2) trong các khơng
gian Lorentz có trọng Muckenhoupt. Các kết quả nằm trong Chương
3 và đã mở rộng một phần kết quả của Chương 2 về phương trình
Navier-Stokes. Đặc biệt, khi các trọng Muckenhoupt bằng nhau thì ta
thu được kết quả về tính ổn định cấp đa thức như ở Chương 2.
• Phương trình Boussinesq trên miền ngoại vi (3) trong khơng gian tích
Đề-Các của các khơng gian Lorentz. Các kết quả này nằm ở Chương 4
và đã mở rộng các kết quả ở Chương 2 về phương trình Navier-Stokes
trên miền ngoài. Đặc biệt, khi hàm nhiệt độ bằng 0 ta thu được các kết
quả như ở Chương 2.
Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 04 bài báo và 01
bản thảo đang gửi đăng được liệt kê ở “Danh mục các cơng trình đã cơng

bố của luận án".
5. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong
luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các cơng trình đã
cơng bố của luận án, luận án được chia thành 4 chương sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Sự tồn tại và tính ổn định của một số lớp nghiệm của phương
trình tiến hóa trên không gian nội suy.
Chương 3. Một số lớp nghiệm của phương trình Navier-Stokes trên khơng
gian Lorentz có trọng Muckenhoupt.
Chương 4. Một số lớp nghiệm của phương trình Boussinesq trong miền
không bị chặn.
4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Nửa nhóm

Nhắc lại một số định nghĩa và các tính chất cơ bản của nửa nhóm, nửa
nhóm liên tục mạnh và nửa nhóm giải tích.

1.2

Khơng gian nội suy và một số lớp hàm

Định nghĩa 1.2.1. Cho X0 , X1 là các không gian Banach. Cặp (X0 , X1 )

được gọi là cặp nội suy nếu X0 và X1 được nhúng liên tục vào một không
gian véc tơ tơpơ Hausdorff V . Khi đó X0 ∩ X1 là khơng gian con của V và
nó là một khơng gian Banach với chuẩn:
x

X0 ∩X1

:= x

X0

+ x

X1 .

Tổng X0 + X1 := {x = x0 + x1 : x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } cũng là một không gian
con của V và nó là một khơng gian Banach với chuẩn:
x

X0 +X1

:= inf{ x0

X0

+ x1

: x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }.

X1

Với cặp nội suy (X0 , X1 ), ta gọi không gian Banach X bất kỳ thỏa mãn
X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 ,
với các phép nhúng liên tục là một không gian nội suy giữa X0 và X1 .

1.2.1

Không gian nội suy thực

Cho cặp nội suy (X0 , X1 ). Với x ∈ X0 + X1 và t ≥ 0, ta đặt
K(t, x) := inf { x0

X0

+ t x1

X1 ,

x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } .

Định nghĩa 1.2.2. Cho θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta định nghĩa một số không
gian nội suy thực như sau:
5


i) (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x

x

(X0 ,X1 )θ,q

(X0 ,X1 )θ,q

< ∞ , trong đó
 1q

∞

:=  [t−θ K(t, x)]q

dt 
với q < ∞
t

0

x

và

(X0 ,X1 )θ,∞

:= sup t−θ K(t, x).
t∈(0,∞)

x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim+ t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 .

ii) (X0 , X1 )θ :=

1.2.2

t→∞

t→0

Không gian Lorentz

Cho Ω là miền thuộc Rn với biên trơn. Ta kí hiệu:
∞
∞ (Ω)
C0,σ
(Ω) := {v ∈ C0∞ (Ω) : divv = 0 trong Ω}, Lpσ (Ω) := C0,σ

·

Lp

.

Định nghĩa 1.2.3. Với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz được
định nghĩa như sau:
Lp,q (Ω) = u ∈ L1loc (Ω) : u p,q < ∞ ,

u

với

p,q

1/q

∞

sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p

=

q

ds 
s

, 1≤q<∞

0

và
p,∞

Ta gọi L

u

p,∞

= sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p .

(Ω) :=

s>0

p
Lw (Ω)

là không gian Lp yếu.

Mệnh đề 1.2.4. Nếu 1 < p0 < p < p1 < ∞, q ∈ [1, ∞] và θ ∈ (0, 1) thỏa
mãn
1 1−θ
θ
=
+
p
p0
p1
thì Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q .
Với mỗi 1 < r < ∞, cho P = Pr là phép chiếu Helmholtz trên Lr (Ω),
nghĩa là phép chiếu trên Lrσ (Ω) tương đương với phân rã Helmholtz:
¯
Lr (Ω) = Lrσ (Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lrloc (Ω)}.
6


r0
r1
Đặt Lr,q
σ (Ω) := (Lσ (Ω), Lσ (Ω))θ,q , với 1 < r0 ≤ r ≤ r1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và

θ
1 1−θ
=

+ .
r
r0
r1
Kí hiệu Lrσ,w (Ω) := Lr,∞
σ (Ω).

1.2.3

Không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt

Định nghĩa 1.2.5. Với 1 < q < ∞, một hàm trọng 0 ≤ ω ∈ L1loc (Rn ) được
gọi là thuộc lớp Muckenhoupt Aq (Rn ) nếu nó thỏa mãn


q−1
 1
sup 
|Q|
Q

 1
ωdx 
|Q|
Q


ω −1/(q−1) dx

< ∞,

Q

trong đó Q ⊂ Rn và |Q| là độ đo Lebesgues của Q.
Định nghĩa 1.2.6. Với 1 < q < ∞, không gian Lq (Rn+ ) với trọng Muckenhoupt ω ∈ Aq (Rn ) được định nghĩa như sau:


1/q









1
q
1/q
q
n
n
|u| ωdx < ∞ .
Lω (R+ ) = u ∈ Lloc (R+ ) : u Lqω (Rn+ ) = uω
Lq (Rn+ ) = 







Rn+
Tương tự, ta có định nghĩa các khơng gian Sobolev có trọng sau đây
Wωk,q (Rn+ ) = {u ∈ Lqω (Rn+ ) : ∇α u ∈ Lqω (Rn+ ), |α| ≤ k} ,
ˆ ωk,q (Rn+ ) = u ∈ L1loc (Rn+ ) : ∇α u ∈ Lqω (Rn+ ), |α| = k ,
W
với 1 < q < ∞, k ∈ N và ω ∈ Aq (Rn ). Không gian Wωk,q (Rn+ ) là không gian
Banach với chuẩn

1/q
u

Wωk,q (Rn+ )

∇α u

:= 

q

Lqω (Rn+ )

|α|≤k

Áp dụng phân rã Helmholtz trên Lqω (Rn+ ) ta được
ˆ ω1,q (Rn+ ),
Lqω (Rn+ ) = Lqω,σ (Rn+ ) ⊕ ∇W
7

.


trong đó
Lqω,σ (Rn+ )

= {u ∈

Lqω (Rn+ )

C0∞ (Rn+ )

: ∇ · u = 0}

,

ˆ ω1,q (Rn+ ) = ∇π : π ∈ W
ˆ ω1,q (Rn+ ) .
∇W
n
q0
q1
Đặt Lq,r
ω,σ (R+ ) := (Lω,σ , Lω,σ )θ,r , với 1 < q0 ≤ q ≤ q1 < ∞, 1 ≤ r ≤ ∞ và

θ
1 1−θ
=
+ .
q

q0
q1

1.2.4

Không gian Besov

Cho χ ∈ C ∞ (Rn , R) sao cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), 0 ≤ χ ≤ 1 và χ ≡ 1
trong B(0, 4/3). Đặt φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) và h := F −1 φ với F là biến đổi
Fourier.
˙ j )j∈Z được xác định bởi
Phép phân hoạch Littlewood-Paley (∆
˙ j u(x) = 2jn
∆

h(2j y)u(x − y)dy = F−1 φ(2−j )F)(x).
Rn

˙ j u.
Hơn nữa, chúng tơi xét tốn tử S˙ j u = j ≤j−1 ∆
Với s ∈ R và p, q ∈ [1, ∞], không gian thuần nhất Besov xác định bởi
s
B˙ p,q
(Rn ) = {u ∈ Sh : u

s
B˙ p,q

< ∞}

với Sh là tập tất cả các hàm suy rộng ôn hòa u sao cho lim Sj u = 0 trong
j→−∞

tơpơ của hàm suy rộng ơn hịa và

u

s
B˙ p,q

1/q
q 
Lp

˙ ju
2sqj ∆

=

,

q<∞

j∈Z

u

1.2.5

s

B˙ p,q

˙ ju
= sup 2sj ∆

Lp ,

q = ∞.

j∈Z

Hàm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình

Định nghĩa 1.2.7. Cho X là không gian Banach. Hàm liên tục f : R → X
được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số thực Lε > 0 sao
cho với mọi a ∈ R có thể tìm được T ∈ [a, a + Lε ] thỏa mãn
f (t + T ) − f (t)
8

X

< ε, ∀t ∈ R.


Kí hiệu tập các hàm hầu tuần hồn từ R → X bởi AP (R, X) và nó là
một khơng gian Banach với chuẩn sup.
√
Ví dụ 1.2.8. Hàm f (t) = sin t + sin 2t là hầu tuần hoàn nhưng khơng tuần
hồn.
Định nghĩa 1.2.9. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tự đồng hình

nếu với mọi dãy số thực (σn ), tồn tại một dãy con (σn ) và hàm g(t) sao cho
g(t) = lim f (t + σn ) và f (t) = lim g(t − σn )
n→∞

n→∞

(1.1)

xác định với mỗi t ∈ R.
Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình với giá trị trong không gian Banach
X bởi AA(R, X) và nó là một khơng gian Banach với chuẩn sup.
1
√
2 + sin t + sin 2t

Ví dụ 1.2.10. Hàm f (t) = cos

là hầu tự đồng hình

nhưng khơng hầu tuần hồn.
Định nghĩa 1.2.11. Hàm f ∈ Lploc (R, X) được gọi là bị chặn p-Stepanov nếu
1/p

 t+1
f

Sp

f (s)

:= sup 

p

t∈R

< ∞.

ds

t

Kí hiệu tập các hàm bị chặn p−Stepanov bởi Lps (R, X).
Định nghĩa 1.2.12. Hàm f ∈ Lps (R, X) được gọi là hầu tự đồng hình theo
nghĩa Stepanov nếu với mọi dãy số thực (σn ), tồn tại một dãy con (σn ) và
hàm g ∈ Lploc (R, X) sao cho


1/p

1

f (t + s + σn ) − g(t + s)



p
X

ds

−→ 0,

0

và


1/p

1

g(t + s − σn ) − f (t + s)


0

khi n → ∞ với mọi t ∈ R.
9

p
X

ds

−→ 0


Kí hiệu tập các hàm hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov bởi S p AA(R, X)
và nó là khơng gian Banach với chuẩn:

1/p

 t+1
f

Sp

= sup 

f (s)

t∈R

p

ds

.

t

1.2.6

Hàm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình
có trọng

Kí hiệu U := {ρ : R → R+ |ρ khả tích địa phương}. Với r > 0 và với mỗi
ρ ∈ U, ta đặt
r

ρ(x)dx và U∞ := ρ ∈ U : lim m(r, ρ) = ∞ .

m(r, ρ) :=

r→∞

−r

Với mỗi ρ ∈ U∞ , không gian P AA0 (R, ρ) các hàm có trọng ρ xác định bởi:


r


1
φ(s) X ρ(s)ds = 0 .
P AA0 (R, ρ) := φ ∈ BC(R, X) : lim
r→∞ m(r, ρ)


−r

Định nghĩa 1.2.13. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tuần hồn
có trọng ρ nếu f = g + φ với g ∈ AP (R, X) và φ ∈ P AA0 (R, ρ).
Kí hiệu W P AP (R, X) là tập các hàm tựa hầu tuần hồn có trọng ρ.
Định nghĩa 1.2.14. Hàm liên tục f : R → X được gọi là tựa hầu tự đồng
hình có trọng ρ (tương ứng tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có
trọng ρ) nếu f = g + φ với g ∈ AA(R, X) (tương ứng g ∈ S p AA(R, X)) và
φ ∈ P AA0 (R, ρ).
Kí hiệu W P AA(R, X) và W S p AA(R, X) lần lượt là tập các hàm tựa hầu

tự đồng hình và tựa hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov có trọng ρ.

10


Chương 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ
LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA
TRÊN KHƠNG GIAN NỘI SUY

2.1
2.1.1

Tính chất nghiệm của phương trình tuyến
tính
Nghiệm hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình

Cho các khơng gian Banach X, Y1 và Y2 . Xét phương trình tuyến tính
u (t) + Au(t) = Bf (t), t ∈ R,

(2.1)

với u ∈ Y := (Y1 , Y2 )θ,∞ , (0 < θ < 1), f (t) ∈ X và B là toán tử tuyến tính
từ X đến Y sao cho e−tA B ∈ L(X, Yi ) với i = 1, 2.
Giả thiết 2.1.1. Giả sử Yi có tiền đối ngẫu Banach Zi (hay Yi = Zi ) sao
cho Z1 ∩ Z2 trù mật trong Zi với i = 1, 2. Cho −A là tốn tử sinh của C0 -nửa
nhóm bị chặn (e−tA )t≥0 trên Y1 và Y2 . Hơn nữa, giả sử tồn tại các hằng số
α1 , α2 ∈ R với 0 < α2 < 1 < α1 và L > 0 sao cho
e−tA Bv

Y1

≤Lt−α1 v

X,

t > 0,

e−tA Bv

Y2

≤Lt−α2 v

X,

t > 0.

(2.2)

Hàm u ∈ C(R, Y ) là nghiệm đủ tốt của (2.1) nếu
t

e−(t−τ )A Bf (τ )dτ, ∀t ∈ R.

u(t) =
−∞

Định lý 2.1.2. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Nếu f ∈ AP (R, X)
hoặc f ∈ AA(R, X) hoặc f ∈ S p AA(R, X) thì (2.1) có nghiệm đủ tốt tương

ứng u ∈ AP (R, Y ) hoặc u ∈ AA(R, Y ) hoặc u ∈ S p AA(R, Y ) thỏa mãn
u(t)

Y

˜ f
≤L
11

∞,X ,

˜ ≥ 1.
L


2.1.2

Nghiệm tựa hầu tuần hồn, tựa hầu tự đồng hình
có trọng

Bổ đề 2.1.3. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Với hàm φ ∈ P AA0 (R, ρ)
và ρ ∈ U∞ ta có
s

e−(s−τ )A Bφ(τ )dτ ∈ P AA0 (R, ρ).
−∞

Định lý 2.1.4. Giả sử Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn và hàm f = g + φ với
φ ∈ P AA0 (R, ρ) và ρ ∈ U∞ . Khi đó các khẳng định sau là đúng:
i) Nếu g ∈ AP (R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AP (R, Y ).

ii) Nếu g ∈ AA(R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P AA(R, Y ).
iii) Nếu g ∈ S p AA(R, X) thì phương trình (2.1) có nghiệm u ∈ W P S p AA(R, Y ).

2.2
2.2.1

Tính chất nghiệm của phương trình tiến
hóa nửa tuyến tính
Sự tồn tại của một số lớp nghiệm

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng
u (t) + Au(t) = BG(u)(t), t ∈ R,

(2.3)

với A và B thỏa mãn Giả thiết 2.1.1 và G : BC(R, Y ) → BC(R, X).
Hàm u ∈ C(R, Y ) gọi là nghiệm đủ tốt của (2.3) nếu nó thỏa mãn
t

e−(t−τ )A BG(u)(τ )dτ.

u(t) =

(2.4)

−∞

Ký hiệu M(R, Y ) thay thế cho một trong số các không gian sau: AP (R, Y ),
AA(R, Y ), S p AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ) và W S p AA(R, Y ).
Đặt BM (0, R) := ω ∈ M(R, Y ) : ω BC(R,Y ) ≤ R .

12


Giả thiết 2.2.1. Giả sử toán tử G : BC(R, Y ) −→ BC(R, X) trong (2.3)
biến một hàm thuộc M(R, Y ) thành một hàm thuộc M(R, X) và thỏa mãn
G(u) − G(v)

BC(R,X)

≤L u−v

˜ < 1 và G(0)
với L, R > 0 sao cho LL

BC(R,Y ) ,

L∞ (R,X)

≤

∀u, v ∈ BM (0, R),
˜
R(1 − LL)
.
˜
L

Định lý 2.2.2. Giả sử Giả thiết 2.1.1 và Giả thiết 2.2.1 được thỏa mãn. Khi
đó phương trình (2.3) có nghiệm đủ tốt duy nhất uˆ ∈ BM (0, R).

2.2.2

Tính ổn định nghiệm

Giả thiết 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i) Tồn tại không gian Banach T với đối ngẫu T , không gian nội suy
(Q1 , Q2 )θ,1
:= Q và tồn tại các hằng số β1 , β2
˜ với đối ngẫu (Q1 , Q2 )(θ,1)
˜
˜ 1 + θβ
˜ 2 . Hơn nữa, tồn tại các
sao cho 0 < β2 < 1 < β1 và 1 = (1 − θ)β
hằng số M1 , M2 > 0 sao cho với mọi t > 0 ta có
B e−tA ψ
T

B e−tA ψ
T

e−tA ψ

Q

≤ M1 t−β1 ψ

Q1 ,

≤ M2 t−β2 ψ

Q2 ,

≤ Ct−γ ψ

Y

, 0 < γ < 1.

ii) Toán tử phi tuyến G : BC(R, Y ) −→ BC(R, T ) thỏa mãn
G(v1 )−G(v2 )

L∞ (R,T )

≤ κ + v1

BC(R,Y )

+ v2

BC(R,Y )

v1 −v2

BC(R,Q) ,

với hằng số κ > 0 và với mọi v1 , v2 ∈ BC(R, Q) ∩ BC(R, Y ).
Định lý 2.2.4. Giả sử Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.2.1 và Giả thiết 2.2.3 được
thỏa mãn. Khi đó nghiệm đủ tốt đủ nhỏ uˆ của (2.3) là ổn định cấp đa thức,
nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R, Y ) của (2.3) thỏa mãn u(0) − uˆ(0) Y

và κ > 0 đủ nhỏ, ta có
u(t) − uˆ(t)

Q

≤ Dt−γ , ∀t > 0,

với hằng số D > 0 độc lâp với u và uˆ.
13

(2.5)


2.3

Một số ứng dụng

2.3.1

Phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi

Xét phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi Ω ⊂ R3 với biên ∂Ω
thuộc lớp C 3 :
ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF
∇·u =0

trong R × Ω,
trong R × Ω.

(2.6)

Áp dụng phép chiếu Helmholtz P ta thu được phương trình
u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R

(2.7)

với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t) và A := −P∆.
3/2
Giả thiết 2.1.1, 2.2.1 và 2.2.3 được thỏa mãn với B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 ,
3
1
(r+3)/3r
Y = L3σ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w
(Ω) và γ = −
(r > 3).
2 2r
Định lý 2.3.1. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau:
R
˜ < 1 thì
− 2R2 , với 2RL
˜
L
(2.7) có nghiệm đủ tốt duy nhất uˆ ∈ BM (0, R).

i) Nếu F ∈ M(R, X) sao cho F

L∞ (R,X)

≤

ii) Nghiệm đủ tốt uˆ với chuẩn đủ nhỏ của phương trình (2.7) là ổn định
cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R; Y ) của (2.7) sao
cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ thì với r > 3 và t > 0 ta có
u(t) − uˆ(t)

2.3.2

≤ Ct−( 2 − 2r ) .
1

r,w

3

Dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay
vừa tịnh tiến

Xét dòng Navier-Stokes dọc theo vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến D ⊂ R3
với biên trơn, vận tốc tịnh tiến u∞ = (0, 0, k) và vận tốc góc ω = (0, 0, a):


ut + (u · ∇)u − ∆u + k∂3 u + ∇p = (ω × x) · ∇u



−ω × u + divF
trong R × Ω,

∇·u =0
trong R × Ω,




u = ω × x − ke3
trên R × ∂Ω,
(2.8)
14


với Ω = R3 \D(0), D(0) là vị trí của D tại t = 0 và e3 = (0, 0, 1).
Cho ϕ ∈ C0∞ (R3 ) là một hàm “ngắt gọn” thỏa mãn ϕ ≥ 0, ϕ ≡ 1 trong
một lân cận của Ωc và supp ϕ ⊆ B(0, r) với r > 0. Đặt
1
1
bω,k := − ∇ × ϕ(x)|x|2 ω + ∇ × ∇ × ϕ(x)k|x|2 e3 .
2
4
Khi đó bω,k ∈ C0∞ (Ω), divbω,k = 0 và bω,k = ω × x − ke3 trên ∂Ω. Bằng các
phép tính toán sơ cấp, ta thu được



0
 a
2
với Fω = 
 − ϕ (x) |x|
2
0

bω,k = divFω + divFk

a
ϕ (x) |x|2 0
2

0
0
 và
0
0


|x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x)
0
−|x|2 ∂1 ϕ(x) − 2x1 ϕ(x)
k
Fk = 
0
|x|2 ∂3 ϕ(x) + 2x3 ϕ(x) −|x|2 ∂2 ϕ(x) − 2x2 ϕ(x) 
4
0
0
0


Với 1 < p < ∞, ta định nghĩa toán tử L như sau:
Lu := −P [∆u − k∂3 u + (ω × x) · ∇u − ω × u] ,
D(L) := u ∈ Lpσ (Ω) ∩ W 2,p (Ω) : u|∂u = 0 và (ω × x) · ∇u ∈ Lp (Ω) .

(2.9)

Đặt v := u − bω,k , ta thấy rằng u là nghiệm của phương trình (2.8) khi và chỉ
khi v là nghiệm của phương trình
v (t) + Lv(t) = PdivG(v)(t), t ∈ R

(2.10)

với
G(v) = F +Fω +Fk +(ω×x)⊗bω,k +∇bω,k +bω,k ⊗v+v⊗v+bω,k ⊗v+bω,k ⊗bω,k .
3/2

(r+3)/3r

Đặt B = Pdiv, X = Lw (Ω)3×3 ), Y = L3σ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w
1
3
và γ = −
(r > 3), ta thu được các kết quả sau:
2 2r

(Ω)

Định lý 2.3.2. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau:
i) Nếu F ∈ M(R, X) và F ∞, 3 ,w đủ nhỏ thì tồn tại duy nhất nghiệm đủ
2
tốt vˆ ∈ BM (0, R) của (2.10).
15

ii) Nghiệm đủ tốt vˆ với chuẩn đủ nhỏ của (2.10) là ổn định cấp đa thức,
nghĩa là với nghiệm bất kỳ v ∈ BC(R, Y ) của (2.10) thỏa mãn v(0) − vˆ(0)
đủ nhỏ thì với mọi t > 0 ta có
v(t) − vˆ(t)

2.3.3

Q

Y

≤ Dt−γ .

Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng

Cho Ω ⊂ Rn (n ≥ 3) là một miền có lỗ thủng với biên ∂Ω trơn, nghĩa là
tồn tại R > k > 0 sao cho
Ω \ B(0, R) = (Rn+k ∪ Rn−k ) \ B(0, R),
trong đó B(0, R) là quả cầu mở trong Rn và Rn±k := {x ∈ Rn : ± xn > k} .
Do Ω là miền liên thơng nên ta có thể lấy hai miền con rời nhau Ω± của
Ω và một đa tạp trơn (n − 1)-chiều M (được gọi là lỗ thủng của Ω) thỏa mãn
Ω± \B(0, R) = Rn±k \B(0, R), M ∪∂M = ∂Ω+ ∩∂Ω− ⊂ B(0, R) và Ω = Ω+ ∪Ω− ∪M.
Ta xét phương trình Navier-Stokes trong miền Ω ⊂ Rn với thông lượng
xuyên qua lỗ thủng M bằng không như sau


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF
trong R × Ω,





∇·u = 0
trong R × Ω,
(2.11)
u(t, x) = 0
trên R × ∂Ω,




u (t, x) · ndσ = 0.

M

Sử dụng toán tử Stokes trên Lpσ (Ω) với 1 < p < ∞ xác định bởi
A = −P∆ với D(A) = W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) ∩ Lpσ (Ω).

(2.12)

Áp dụng phép chiếu Helmholtz, (2.11) được viết lại trên Lr,q
σ bởi
u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R,

(2.13)

với G(u)(t) = −u(t) ⊗ u(t) + F (t).
n/2
(r+n)/nr
Đặt X = Lw (Ω)n×n ), Y = Lnσ,w (Ω), Q = Lrσ,w (Ω), T = Lσ,w

(Ω) và
1
n
(r > n), ta thu được các kết quả sau:
γ= −
2 2r
Định lý 2.3.3. Với ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X), ta có các khẳng định sau:
16


i) Nếu F ∈ M(R, X) và F M(R,X) đủ nhỏ thì tồn tại duy nhất nghiệm
đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R) của (2.13).
ii) Nghiệm đủ tốt uˆ với chuẩn đủ nhỏ của phương trình (2.13) là ổn định
cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm bất kỳ u ∈ BC(R, Y ) của (2.13) sao
cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ thì với mọi t > 0 ta có
u(t) − uˆ(t)

2.3.4

Q

≤ Dt−γ .

Phương trình Navier-Stokes trong khơng gian
Besov

Xét phương trình Navier-Stokes trên Rn
trong R × Rn ,
trong R × Rn ,

ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF
∇·u =0

(2.14)

với u(t) thuộc không gian Besov phù hợp.
Sử dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (2.14) được viết lại thành
u (t) + Au(t) = PdivG(u)(t), t ∈ R,

(2.15)

với G(u)(t) = F (t) − u(t) ⊗ u(t) và A := −P∆.
r
r−2
s
s−2
(Rn ), Q = B˙ p,∞(R
(Rn ), T = B˙ p,∞
(Rn )n×n , Y = B˙ p,∞
Đặt X = B˙ p,∞
n),
n
A = −P∆ và B = Pdiv, với s = − 1, ta thu được kết quả sau:
p
n
Định lý 2.3.4. Cho s > 0, p ∈ [2, n) và 3 ≤ n ∈ N sao cho s = − 1. Giả
p
sử ten-xơ bậc hai F ∈ BC(R, X).
R
˜

−C(n, p)R2 , LRC(n,
p) < 1
˜
L
thì (2.15) tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt uˆ ∈ BM (0, R).

i) Nếu F ∈ M(R, X) sao cho F

M(R,X)

<

ii) Nghiệm đủ nhỏ uˆ của (2.15) là ổn định cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm
bất kỳ u ∈ M(R; Y ) của (2.15) sao cho u(0) − uˆ(0) Y đủ nhỏ thì với
r > s và t > 0 ta có
u(t) − uˆ(t)

17

≤ Ct−( 2 − 2r ) .
1

Q

s


Chương 3
MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
NAVIER-STOKES TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ

CĨ TRỌNG MUCKENHOUPT
Xét phương trình Navier-Stokes trên nửa khơng gian Rn+ dạng


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇π = divF
trong R × Rn+ ,



∇·u = 0
trong R × Rn+ ,

u(t, x) = 0
trên R × ∂Rn+ ,



lim|x|→∞ u(t, x) = 0
với t ∈ R.

(3.1)

Áp dụng phép chiếu Helmholtz P, phương trình (3.1) trở thành
u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R,

(3.2)

với A = −P∆ và X là không gian Lorentz với trọng Muckenhoupt phù hợp.

3.1

Các đánh giá Lp − Lq giữa các khơng gian
Lorentz có trọng Muckenhoupt

Khơng gian Lpω (Rn+ ) với lớp trọng Muckenhopt cho bởi
ω s (x) = x

s1

xn

sn

= (1 + |x |2 )s1 /2 (1 + |xn |2 )sn /2 ,

với s = (s1 , sn ), s = (s1 , sn ), x = (x1 , x2 , ..., xn ), x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ) và
−

n−1
1
< s1 ≤ s1 < (n − 1) 1 −
q
p

và −

1
1
< sn ≤ sn < 1 − .
q

p

n
Bổ đề 3.1.1. Giả sử n ≥ 2 và 1 ≤ r ≤ ∞. Với a ∈ Lp,r
ω s ,σ (R+ ) và t > 0, các
khẳng định sau là đúng:

i) Nếu 1 < p ≤ q < ∞ thì
e−tA a

Lq,rs
ω ,σ

≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)−
18

(s1 +sn )−(s1 +sn )
2

a

Lp,r
ω s ,σ

,


∇e−tA a

Lq,rs

ω ,σ

≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)−

(s1 +sn )−(s1 +sn )
2

a

Lp,r
ω s ,σ

.

ii) Nếu 1 < p < q < ∞ thì
e−tA a

Lq,1s
ω

∇e−tA a

≤ Ct−n(1/p−1/q)/2 (1 + t)−

(s1 +sn )−(s1 +sn )
2

a

,σ

Lq,1s
ω ,σ

≤ Ct−n(1/p−1/q)/2−1/2 (1 + t)−

(s1 +sn )−(s1 +sn )
2

Lp,∞
ω s ,σ

a

,

Lp,∞
ω s ,σ

.

Ký hiệu M(R, Y ) thay thế cho một trong số các không gian: AP (R, Y ),
AA(R, Y ), W P AP (R, Y ), W P AA(R, Y ), S p AA(R, Y ) và W S p AA(R, Y ).

3.2

Phương trình tuyến tính trên khơng gian
Lorentz có trọng Muckenhoupt

n

Xét phương trình Stokes trên BC(R, Ln,∞
ω s ,σ (R+ )) dạng

u (t) + Au(t) = PdivF (t), t ∈ R.

(3.3)

Nghiệm đủ tốt u của phương trình (3.3) thỏa mãn
t

e−(t−τ )A PdivF (τ )dτ.

u(t) =

(3.4)

−∞

Từ Bổ đề 3.1.1, khi s = s ta thấy nửa nhóm (e−tA )t≥0 thỏa mãn Giả thiết
2.1.1 và Giả thiết 2.2.3 trong Chương 2 với
n

,∞

n
B = Pdiv, X = Lω2 s ,σ (Rn+ )n×n và Y = Ln,∞
ω s ,σ (R+ ).

(3.5)

Định lý 3.2.1. Ta có các khẳng định sau:
i) Nếu F ∈ BC(R, X) thì phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt
u ∈ BC(R, Y ) thỏa mãn
u(t)

Ln,∞
ω s ,σ

≤M F

n ,∞

∞,Lω2s ,σ

.

ii) Nếu F ∈ M(R, X) thì phương trình (3.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt
trên không gian M(R, Y ).
19


3.3

Phương trình nửa tuyến tính trên khơng
gian Lorentz có trọng Muckenhoupt

Xét phương trình nửa tuyến tính sau
u (t) + Au(t) = Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)), t ∈ R.

(3.6)

Nghiệm đủ tốt u ∈ C(R, Y ) của (3.6) thỏa mãn phương trình tích phân
t

e−(t−τ )A Pdiv(−u ⊗ u + F )(τ )dτ.

u(t) =

(3.7)

−∞
n

,∞

Định lý 3.3.1. Giả sử ten-xơ bậc hai F ∈ M(R, Lω2 s ,σ (Rn+ )n×n ). Ta có các
khẳng định sau:
i) Nếu F

n ,∞

∞,Lω2s ,σ

đủ nhỏ thì phương trình (3.6) tồn tại duy nhất nghiệm

n
đủ tốt uˆ trong quả cầu với bán kính đủ nhỏ trong M(R, Ln,∞
ω s ,σ (R+ )).

ii) Nghiệm đủ nhỏ uˆ của (3.6) ổn định cấp đa thức, nghĩa là với nghiệm

n
bất kỳ u ∈ BC(R, Ln,∞
ˆ(0) − u(0) Ln,∞
n
ω s ,σ (R+ )) của (3.6) thỏa mãn u
s (R+ )
ω ,σ

đủ nhỏ thì với mọi t > 0 và r > n ta có
uˆ(t) − u(t)

1

Lr,∞
(Rn+ )
ω s ,σ

n

≤ Ct− 2 + 2r (1 + t)−

20

(s1 +sn )−(s1 +sn )
2

.

(3.8)

Chương 4
MỘT SỐ LỚP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
BOUSSINESQ TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN
Xét hệ phương trình Boussinesq dạng


ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = θg + divF



∇·u = 0

θt − ∆θ + (u · ∇)θ = divf



u(t, x) = θ(t, x) = 0

trong R × Ω,
trong R × Ω,
trong R × Ω,
trên R × ∂Ω.

(4.1)

với Ω là Rn , Rn+ , miền bị chặn trong Rn (với n ≥ 3), hoặc miền ngoại vi Ω
trong Rn (với n ≥ 4) với biên ∂Ω thuộc lớp C 2+µ (µ > 0).

4.1

Dạng ma trận của hệ phương trình Boussinesq và các đánh giá Lp − Lq

Sử dụng phép chiếu Helmholtz P, hệ (4.1) được viết lại thành
u (t) + Au(t) = P(θ(t)g(t)) + Pdiv(−u(t) ⊗ u(t) + F (t)),
θ (t) + Bθ(t) = div(−θ(t)u(t)) + divf (t),

(4.2)

trong đó B := −∆ với miền xác định D(B) = W 2,q (Ω) ∩ W01,q (Ω)
và A := −P∆ với miền xác định D(A) = W 2,q (Ω) ∩ W01,q (Ω) ∩ Lqσ (Ω).
A 0
Đặt A :=
, phương trình (4.2) trở thành
0 B
∂ u
u
+A
θ
∂t θ
với G

u
θ

:=

P[θg − div(u ⊗ u)]
div(−θu)

=G

u
+ F(t),
θ

và F(t) :=

21

PdivF (t)
.
divf (t)

(4.3)


Nghiệm đủ tốt của (4.3) thỏa mãn phương trình tích phân
t

u(t)
θ(t)

e−(t−s)A G

=

u(s)
+ F(s) ds.
θ(s)

(4.4)

−∞
n

q,r
n
q,r
q,r
2
Ký hiệu Lq,r
σ (Ω) := Lσ (Ω, R ), Lσ (Ω) := Lσ (Ω, R) và Lσ
n
,∞
Lσ2 (Ω, Rn ⊗ Rn ).

4.2

,∞

(Ω)n×n :=

Tính chất nghiệm của phương trình tuyến
tính

4.2.1

Nghiệm hầu tuần hồn và hầu tự đồng hình

Xét phương trình tuyến tính dạng
∂ u
u
+A
θ
∂t θ
với

u(t)
θ(t)

0
η

n,∞
∈ Ln,∞
(Ω); G
σ (Ω) × L

F(t) :=

PdivF (t)
divf (t)

0
+ F(t),
η

=G

P[ηg]
, η ∈ Ln,∞ (Ω) và
0

:=
n

∈ Lσ2

,∞

(4.5)

n

(Ω)n×n × L 2 ,∞ (Ω).

Nghiệm đủ tốt của (4.5) thỏa mãn phương trình tích phân
t

u(t)
θ(t)

e−(t−s)A G

=

0
+ F(s) ds.
η(s)

(4.6)

−∞
n,∞
Ta định nghĩa chuẩn trên BC(R, Ln,∞
(Ω)) như sau
σ (Ω)) × BC(R, L

.

∞,n,w

= max

.

∞,Ln,∞
σ

, .

.

∞,Ln,∞

Định lý 4.2.1. Với n ≥ 4, ta có các khẳng định sau:
n

,∞

n

n

,∞

i) Nếu F ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AP (R, L 2 ,∞ (Ω)), g ∈ AP (R, Lσ2 (Ω))
và η ∈ AP (R, Ln,∞ (Ω)) thì (4.5) có duy nhất nghiệm đủ tốt (u, θ) ∈
n,∞
AP (R, Ln,∞
(Ω)) thỏa mãn
σ (Ω)) × AP (R, L
u
θ

≤M g
∞,n,w

∞, n2 ,w

22

η

∞,n,w

+M

F

f

.
∞, n2 ,w

(4.7)


n

,∞

n

n

,∞

ii) Nếu F ∈ AA(R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AA(R, L 2 ,∞ (Ω)), g ∈ AA(R, Lσ2 (Ω))
và η ∈ AA(R, Ln,∞ (Ω)) thì (4.5) có duy nhất nghiệm đủ tốt (u, θ) ∈
n,∞
(Ω)) thỏa mãn (4.7).
AA(R, Ln,∞
σ (Ω)) × AA(R, L

4.2.2

Nghiệm tựa hầu tuần hồn và tựa hầu tự đồng
hình có trọng

Định lý 4.2.2. Giả sử F, f, g và η là các hàm tựa hầu tuần hồn có trọng
(tương ứng tựa hầu tự đồng hình có trọng). Khi đó phương trình (4.5) có duy
nhất nghiệm tựa hầu tồn có trọng (tương ứng tựa hầu tự đồng hình có trọng)
ˆ
(ˆ
u(t), θ(t)).

4.3

Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của
phương trình nửa tuyến tính
n

,∞

n

Định lý 4.3.1. Cho n ≥ 4. Giả sử F ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)n×n ), f ∈ AP (R, L 2 ,∞ (Ω))
n
,∞
và g ∈ AP (R, Lσ2 (Ω)). Khi đó ta có các khẳng định sau:
i) Nếu F

, f

, g

đủ nhỏ thì phương trình nửa
ˆ trong
tuyến tính (4.3) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hồn (ˆ

u, θ)
n,∞
(Ω)).
quả cầu có bán kính đủ nhỏ trong AP (R, Ln,∞
σ (Ω)) × AP (R, L
n ,∞

∞,Lσ2

n

∞,L 2 ,∞

n ,∞

∞,Lσ2

(Ω)

ˆ của phương trình (4.3) ổn định theo
ii) Nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn (ˆ
u, θ)
n,∞
nghĩa với nghiệm bất kỳ (u, θ) ∈ BC(R, Ln,∞
(Ω)) của
σ (Ω))×BC(R, L
ˆ
phương trình (4.3) sao cho uˆ(0) − u(0) Ln,∞
và
(Ω) , θ(0) − θ(0) n,∞

σ
L

g

n ,∞
∞,Lσ2

(Ω)

đủ nhỏ thì với mọi t > 0 và r > n ta có
uˆ(t)
u(t)
− ˆ
θ(t)
θ(t)

1

n

≤ Ct− 2 + 2r .
r,∞ (Ω)
Lr,∞
σ (Ω)×L

23

(4.8)

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Những kết quả đã đạt được
Trong luận án này, chúng tôi đã thu được các kết quả chính sau:
• Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức
trong các không gian nội suy phù hợp của một số lớp nghiệm: hầu
tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng hình theo nghĩa Stepanov và
các loại nghiệm có trọng định nghĩa trên tồn trục thời gian cho một
lớp phương trình tiến hóa tổng quát dạng parabolic với nửa nhóm liên
kết ổn định cấp đa thức. Chúng tôi cũng chỉ ra một số áp dụng vào
các luồng thủy khí như: phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại
vi, dịng Navier-Stokes dọc theo một vật cản vừa xoay vừa tịnh tiến,
phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng và phương trình
Navier-Stokes trong khơng gian Besov.
• Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức
của các loại nghiệm: hầu tuần hồn, hầu tự đồng hình, hầu tự đồng
hình theo nghĩa Stepanov và các loại nghiệm có trọng cho phương trình
Navier-Stokes trên nửa khơng gian và trên tồn trục thời gian trong
khơng gian Lorentz có trọng Muckenhoupt.
• Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của
các loại nghiệm: hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, giả hầu tuần hồn
và giả hầu tự đồng hình có trọng cho hệ phương trình Boussineq trên
miền khơng bị chặn và trên toàn trục thời gian.
2. Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo
• Nghiên cứu sự tồn tại của các nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn và tiệm
cận hầu tự đồng hình của phương trình Navier-Stokes trong miền khơng
bị chặn.
• Nghiên cứu tính duy nhất tồn cục cho nghiệm của phương trình
Navier-Stokes trên miền khơng bị chặn.
• Nghiên cứu các loại nghiệm của phương trình Navier-Stokes và phương

trình Boussineq trên khơng gian Mourey yếu và khơng gian nội suy.
24