Phương thức sóng phi thuyến bị nhiễu xấp xỉ tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (500.03 KB, 61 trang )
l-as —
BộGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠO
Bộ
,
*
*
Isagasl TRƯỜNG
ĐẠI HỌC
PHẠM
TP. HỒTP.
CHÍ
MINH
TRƯỜNG
ĐẠIsưHỌC
sư PHẠM
HÒ
CHÍ MINH
^
ĩ
Nguyên Văn Y
Nguyên Văn Y
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU:
CỦA NGHIỆM
XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA NGHIỆM
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CÔNG TÂM
Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm
ơn sâu sắc nhất về sự giúp đõ' của Thầy trong việc hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm on thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành
Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích.
Xin chân thành cảm on quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán - Tin học
Truông Đại học Su phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học
tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt
khóa học.
Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và
Sau đại học, thu viện truờng Đại học Su phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
Ban Giám hiệu truờng THPT Chuyên Hùng Vuơng - Bình Duơng đã
tạo mọi điều kiện thuận lọi để tôi hoàn thành chuơng trình học.
Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lóp Cao học giải tích KI 6
cũng nhu các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn
Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và
nghiên cứu.
Và cuối cùng, lòi thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình
tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành
luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 - 2008.
Nguyễn Văn Ý
MỤC LỤC
Trang
phụ
bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỎ ĐÀU............................................................................................................1
Chương 1: CÁC CỒNG cụ CHUẨN BỊ..........................................................5
1.1. Các không gian hàm thông dụng.......................................................5
1.2. Không gian hàm ư(0,T;X)9 1 < p < 00...........................................6
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.....................................7
1.4. Đạo hàm trong ư (0,T;X)................................................................8
1.5. Bổ đề về tính compact của Lions......................................................8
1.6. Bổ đề về sự hội tụ yếu trong u (0......................................................9
1.7. Một số kết quả khác...........................................................................9
Chương 2: sụ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM...................................10
2.1. Giới thiệu........................................................................................10
2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................................10
2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm........................................................21
Chương 3: sụ HỘI TỤ CẤP HAI...................................................................25
3.1. Dãy lặp cấp hai................................................................................25
3.2. Sự hội tụ bậc hai..............................................................................34
Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI Ằ^o , £ - > 0 ..................................40
4.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số Ả,ố............40
4.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số Ẳ...............42
4.3. Khai triển tiệm cận theo tham số Ả đến cấp N +1..........................45
Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỌP cụ THẺ..............................54
KẾT LUẬN......................................................................................................56
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................57
1
MỞ ĐẦU
Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng (Vật lỷ,
Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,...) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài
mà rất nhiều nhà toán học từ truớc đến nay quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn
nhu trong [2, 4 - 12, 14 - 22] và các tài liệu tham khảo trong đó. Chính vì
vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và
thực tiễn.
Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phuơng pháp của Giải
tích hàm phi tuyến nhu: phuơng pháp Galerkin, phuơng pháp compact và đơn
điệu, phuơng pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động,
phuơng pháp khai triển tiệm cận... nhằm khảo sát một bài toán biên có liên
quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng.
Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau
Ổ
ua - — ơ(u,u ) + Ẫul = F(x,t), 0
u(0,t) =u(ì,t) =0,
u(x,0) = ũ0(x), U'(x, 0) = Wj(x),
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trường hợp ơ = ơ(ụ ,u t) đã có rất nhiều công trình nghiên cứu. Khởi
đầu với trường họp ơ = ơ(u ,uxt) = J3(ux ) + ẪuX > 0, /3 E C2(R), /?(0) = 0,
p >£> 0, bài toán (0.1)- (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel
[10]. Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt
phi tuyến, u(x,t) là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng. Từ khi xuất hiện
2
công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy,
chẳng hạn nhu: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6],
Andrews [2], Clements [4].
PhưoTig trình (0.1) với (0.4) về mặt hình thức có dạng
(0.5)
ull-uxx= f(x,t,u,ux,ut),
f (x,t ,u,ux,ut) = F (x,t) + ỏf'(ụ)ux -Ẫut, tuy nhiên về mặt ý nghĩa
thì có những điểm khác biệt riêng.
Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của phuơng trình
u -uít- 2axut - a2u = £U3 + b, với £ > 0 bé.
Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong
các truờng hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm
cận của nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục.
Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu
tiệm cận khi £ —» 0 của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều
kiện
(0.7)
biên
Dirichlet
thuần
nhất
u(0,t) = u(l,t) = 0,
trong đó các số hạng phương trình (0.5) cho bởi
(0.8)
f = £fì(t,u,utị
Nếu fx e CN([0,oo] X K2) thỏa /^(í,0,0) = 0 với mọi í>0, một khai
triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp N +1 theo £ thu
được với £ đủ nhỏ.
Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5)
với số hạng phi tuyến có dạng / = fx(u,ut).
Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
(0.9)
u (0, t) = hu(0, t) + g(t), u{ 1, t) = 0,
N
“u-ấ
*=0
+
N^
k=0
43
h > 0 là hằng số cho trước và trong [15] vói điều kiện tổng quát hon
ux(0,t) = g(t) + hu(0,t)- ịk(t - s)u(0,s)ds, u(ì,t) = 0.
Luận văn được trình bày theo các0chương mục sau:
Phần mở
đầu,
tổng
toán khảo
sát toán
trong(0.3),
luận văn,
qua
Trong
[16],
Long
vàquan
Diễmvềđãbài
nghiên
cứu bài
(0.5)điểm
với điều
các kết quả đã có
trước đó, đồng
cục của luận văn.
kiện
biên
hỗnthời nêu bố hợp
thuần
nhất
Chương
1, chúng
tôi+ trình
bày= một
(0.11) u> (0,t)
- hữu(0,t)
= u (1,í)
hxu(\,t)
0, số kết quả chuẩn bị bao gồm
h0, việc
\ là các
hằng
không
âm chogian
trướchàm,
với h0
\ >kết
0 vàquả
cácvề
số các phép nhúng
nhắc
lại sốmột
số không
một+ số
hạng phi tuyến
vế phảigiữa
có dạng
compact
các không gian hàm.
f = f{x,t,u,ux,uí) +>sfị(x,t,u,ux,ul).
Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất
trường
hợp(0.1)/ E (0.4).
C2([0,l]x[0,co)xM3), f x e C'([0,l]x[0,oo)xR3)
nghiệmTrong
yếu của
bài toán
3, chúng
trung
nghiên
cứu nghiệm
về sự tồn
tạiuvàđến
hộicấp
tụ của
các tác>giảChương
đã thu được
một tôi
khaitậptriển
tiệm
cận của
yếu
hai
dãy lặp
cấp £hai
nghiệm
theo
£, với
đủvềnhỏ
[16]. yếu của bài toán (0.1) - (0.4).
> Chương
4, chúng
tôi nghiên
cứu dáng
điệu
cậnduy
củanhất
nghiệm
yếu
Trong
luận văn
này chúng
tôi nghiên
cứu sự
tồntiệm
tại và
nghiệm
của phương
bài toán của
(0.1)bài- (0.4)
sự -khai
triển
tiệm minh
cận theo
tham
Ả đến
cấp
địa
toán và
(0.1)
(0.4).
Chứng
được
nhờsốvào
phương
N +1.Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ
pháp
Chương
5, Tiếp
minhđến
họachúng
cho khai
triển sát
tiệmsựcận
Ă ởdãy
chương
4
yếu và>tính
compact.
tôi khảo
tồn theo
tại của
lặp cấp
bằngvàmột
hai
sự trường
hội tụ hợp
của cụ
dãythể.
này về nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.4) tương
ứng. Sau cùng chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu U Ắ S
(phụ thuộc Ả, ố) của bài toán (0.1) - (0.4) khi (Ã,ổ) —> (0+,0+) cũng như sự
khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số nhiễu Ã
đến cấp N+ 1, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo Ă
N ^
ụ. (x,t) » y]uk(x,í)Ã/c,
k=0
theo nghĩa cần chỉ ra các hàm uk(x,t), k = 0,1,và thiết lập đánh giá theo
dạng
5
Chương 1: CÁC CỒNG cụ CHUẨN BỊ.
1.1.
Các không gian hàm thông dụng.
Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau Q = (0,1), Qj = n X (0,T), T > 0 và bỏ
qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: Cm(Q), ư (ũ),
ỊVm,p(Q). Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: ư = Ư(Q), Hm=H'n(Q)
= wm-2(íì), W"’p = fVm’p(Ũ). ( có thể xem trong [1, 3]).
Ta định nghĩa IỈ = IỈ (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng
1
(1.1.1) (u,v)= ịu(x)v(x)dx, u,veL2.
0
Kí hiệu II. II để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là
1
_____ í 1
^2
(1.1.2) HI = y ] { u ’ u ) = J|w(x)|2í/x , ueL2.
vo
)
Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1
Hl={veL2:v'eL2}.
Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng
(u>v)Hx =(u,v) + (u',v').
Kí hiệu I. II ! để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là
(1.1.5)
\\u\\HÌ = Ậ U , U ) H X Ì U e H\
Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian L2 và Hx sau
0-1-6)
Bổ đề 1.1. Phép nhúng Hx C°(Q) là compact và
llvll^^Vãllvll^.VvE//'.
Chứng minh. Xem Adams[l].
6
Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không
gian
(1.1.7) Hl=ĩxãf =c::{€i)H'.
Bố đề 1.2. Ta cỏ phép nhúng từ Hlữ C°(Q) là compact và
MUõklklHMU Vve//Ó>
sã Mltf'ắlkHMU^IIvL' Vveí/Í-
(1.1.8)
Chứng
minh
bổ
đề
1.2
không
khó
khăn.
Một cách đặc trưng khác để xác định H\ là
(1.1.9) H^ịveH1: v(0) = v(l) = o}.
Bổ đề 1.3. Đồng nhất ứ với (L2 y (đối ngẫu của L2). Khỉ đó ta có
H'() L2 = (L2)'
(HQY = //“' với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật.
Chú thích 1.2. Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng (v) trong
j} để chỉ cặp tích đối ngẫu (v)H-, H\ giữa H\ và H~l. Chuẩn trong L2 được
ký hiệu bởi II.||. Ta cũng ký hiệu II • II để chỉ chuẩn trong không gian Banach
X và gọi X' là không gian đối ngẫu của X.
1.2. Không gian hàm ư (0, T; X), 1 < p < 00.
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là II -| . Ta kí hiệu
ư(ti,T\X),
\
là
không
gian
các
lớp
tương
đương
chứa
hàm
u :(0,T) ^ X đo được sao cho
I\u\
ư ( 0 , T; X )
< 00, nếu 1 < p < 00
và
7
ll“ILo.j':jn=esJSUPlHí)L> n®u p = cc’'
0
Khi đó ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh của chúng có thể tìm
thấy trong Lions[13].
Bổ đề 1.4. ư(0,T;X),ì
p-1
1 < p <00, ư (0,T;X') là đối ngẫu của Ư(ỊÒ,T;X).
Hon nữa, nếu X phản xạ thì ư(0,T\X) cũng phản xạ.
Bổ đề 1.6. (É(0,T;X))r = ZT(0,77;X'). Hon nữa, các không gian
L\0,T;X), r°(0 ,T;X') không phản xạ.
Chú thích 1.3. Nếu x = ư(ũ) thì ư(0,T\X) = Lp(Clx(ồ,T)).
1.3. Phân bố có giá trị trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực. Một ánh xạ tuyến
tính liên tục từ D((0,T)) vào X đuợc gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có
giá trị trong X. Tập họp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là
D'((0,T;X)) = L(D((0,T));X) = ịu: D((0,T))^X: u tuyến tính, liên tục}.
Chú thích 1.4. Ta kí hiệu D(0,T) thay cho ^((O,?7)) hoặc C”((0,r))
để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0,r).
Đinh nghĩa 1.2. Cho u ED'(0,T',X). Ta đinh nghĩa đao hàm — theo
8
Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.4.
Đạo hàm trong Ư(<Ò,T\X).
Do bổ đề 1.7, u e ư(0,T;X) ta có thể coi u ED\0,T;X) và do đó —
dt
là phần tử của D\0,T',X). Ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.8. Nếu u, ứ e Ư{ỊÒ,T\X) thì u bằng hầu hết một hàm
liên
tục
từ [0,7] vào X.
Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13].
1.5.
Bổ đề về tính compact của Lions.
Cho ba không gian Banach X0, Xv X vói X0 X Xỉ vói các phép
nhúng liên tục sao cho
(1.5.1)
X0, Xx là phản xạ,
(1.5.2)
Phép nhúng X0 X là compact.
< +00,1 < p. < +00, i = 0,1. Ta đặt
(1.5.3)
W(0,
T) = {veư°(0,
T;Xữ):v'e
(0,7;
X,)}.
Ta trang bị cho ỈV(0,r) chuẩn sau
(1.5.4)
|VIL(0,7') — IMLp° (OJ;*O) "*"|v ILÍ’I (OJ;X,)‘
ĨV(0,T) là không gian Banach. Hiển nhiên W(0,T) LPu (0,T;X).
Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact.
Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]). Với giả thiết
(1.5.1),
(1.5.2)
và nếu 1 < Pị< 00,
9
1.6.
Bổ đề về sự hội tụ yếu trong 2/(0.
Bổ đề 1.10. Cho
Q
là
tập
mở,
bị
chặn
của
R' và
ơ , Geư(Q), ì
1.7.
Một số kết quả khác.
Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất
cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau.
Bổ đề 1.11. (Bổ đề GronwalI).
Giả sử f: [0,r] —» R là hàm khả tích, không âm trên [0,r] và
thỏa bất
< Cj + C21 f{s)ds với hầu hết t e[0,T], trong đó Cp C2 là
0
các hằng so không âm.
Khi đó f (t) < CxeClt, với hầu hết t e [0,r].
Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 1.12. Cho dãy {77 } thỏa mãn
(1.7.1)
70=0, 0
1, r > 0 là các hằng số cho trước. Khi đó
ĩ
(1.7.2)
1-í
Vu(t),
Trong luận văn ta kí hiệu u(t), ut(t) = ú(t), utt(it) = ủ(t), ux(t) =
,x
J.Ẵ 1X 1 , ,
đê lân lượt chỉ u(x,t), —(x,t),
,
. du , x Õ2U . .du. . õ2u .
.
—(x,t), —j(x,t).
10
Chương 2: sự TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM.
2.1.
Giói thiệu.
Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau:
Uu ~(ux +<5f (w)) + ^ut = F(x,t), 0 < X < 1, 0
< u(0,t)
=
u(ì,t)
=
0,
u(x,0) = ũ0(x), ul(x,0) =
ũx(x),
Ẫ, ổ là các hằng số không âm cho trước; /, F, ũữ, ũx là các hàm
cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau.
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu.
Xét một cơ sở trực giao {w.} của H\ và trực chuẩn trong ứ gồm các
Vĩsin(ỹ7Df),ỹ = 1,2,...được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace
ô2
-A = sao cho -AWj = ẲJWJ, Ăj = jn, Wj eH]QnH2,j = 1,2,....
Hơn nữa, dãy [wj/ýl;.Ị cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của Hlữ
đối với tích vô hướng
(2.1.2)
2.2.
(u,v)H, =a(u,v) = (ux,vx).
Thuật giải xấp xỉ tuyến tính.
Ta thành lập các giả thiết sau:
cH x )
Ả>0,ỏ>0,
Ũ0 e Hxữ nH2, ũx E H]0,
— eI"(0,oo;Z.2), thỏa F(0,í) = F(l,f) = 0, V/>0,
õx
11
/GC2(M) và/'(0) = 0.
Bài toán (2.1.1) được viết lại
u(x,0)
(2.2.1)
ủ-u +Ăủ = f(x,t,u,ux), 0
(2.2.2)
u(0,t) = u(\,t) = 0,
=
ủữ(x),
ủ(x,0)
=
ũỊ(x),
trong đó
(2.2.4)
/ (x,t,u(x,t),ux(x,t)) = F(x,t) + s f\u{x,t))ux{x,t).
Với M >0, T > 0, ta đặt:
(2.2.5)
K, =
1,2),
=supỊ|/(i>(«)|:
=
W(M,T) = {v € r(0,T;H'0 nH2):ver(0,T;Hị), V e L\Qt),
(2-2.6)
>’
(2.2.7)
(0,r;I2)}.
WÌ(M,T) =Ịve
W{M,T):
V
e
r
Tiếp theo, ta xây dựng dãy {um} trong WX(M,T) bằng qui nạp và
chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với sự lựa
chọn M > 0, T > 0 thích hợp.
Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:
Chọn số hạng đầu U Q eỊVx(M,T). Giả sử rằng
(2.2.8) um_lGWĩ(M,T).
Ta liên kết bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với bài toán biến phân sau:
Tìm um eWx(M,T) sao cho
(2.2.9) (ũm{t),v) + a{um{t),v) + Ằ{ủmự),v) = {Fm(i),v) VveHị,
(2.2.10)
um(0) = ũ0, úm(0) = ũv
12
(2.2.11)
Fm(x,t)
=
Sự tồnf(x:,t,um_l(x,t)yum_Ị(x,
tại của um được cho bởi định lí sau
Định lí 2.1. Giả sử
là đủng. Khỉ đó, tồn tại các
hằng so
dưong M, T và một dãy qui nạp tuyến tính {um} c= WX{M ,T) xác định bởi
(2.2.9)
-(2.2.11).
Chứng minh. Gồm các bước sau.
Bước 1. Xấp xỉ Galerkin. Xét một cơ sở trực giao Hilbert {\Vj} của
Hlữ
và trực chuẩn trong L2 như trong mục 2.1.
k
(2.2.12) =
i=1
c^j{t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
(2.2.13)
(tii*>(0,w/) + a(«l‘>(0.Wj) + ^(«l‘)(0 ,Wj) =
«<*>(0)=ũữk, ủlk\0) = ũìk, 1
(2.2.15) ũok = ^0í{^Wj —» ữ0 mạnh trong Hl0nH2,
k
(2.2.16) ũỉk Jd^)wj -»ũx mạnh trong H\.
;=1
Hệ (2.2.13), (2.2.14) có thể viết thành một dạng khác
(2.2.17)
Từ (2.2.17)! ta có
I ắ j
13
= ựFmự),wt),
Do đó ta suy ra rằng
/?(*)
c (?) = < +
^
+1
00
t r
(1 - ẽM) - /i; J rfr J
0 0
đrị
(eH‘~r)Fm
0),
(5)*
Wj)ds.
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng um_J thỏa (2.2.8). Khỉ đó hệ (2.2.13) cớ nghiệm
duy nhất u%\t) trên một khoảng 0
viết Cj(t), ctj, Pj lần luợt thay cho c(^j{t), a^, Ta viết lại hệ (2.2.18)
thành
phuong
trình
điểm
bất
động
(2.2.19) c(t) = ạjc){t\ 0
(Cj,...,cfc),
(2.2.20)
Uc
((Uc\,...,(ưc\),
(ơc).=yyOO + (Kc).( 0,
p>
r>(0 = « + ậ(l - eM) +1I ( í ) ,
A
0 0
V
wy)*,
(Vc) .(t) = -Ẳ2Ị drị e1(‘~r)c. (s)ds, 1< ý0 0
Ta chỉ cần chứng minh: tồn tại một số tự nhiên P Q sao cho toán tử
ưPo : X = C°([0,r];R*) —» X là co, tức là tồn tại hằng số p e [0,1) sao cho
(2.2.21)
\ưPữc-UPữd\úp\\c-d\\Y Vc,deX,
II
lừ r 11 "x
ở đây, ta sử dụng chuẩn trong X như sau
k
(2.2.22)
||c|| = sup ỵicM, ceX.
14
(2.2.23) ị\ạj’’c)l(t)-ạjpd)l{tỊ<{^-\c-d\x Vc,deX,Vt*[0,T],
7=1
KZP)'
với ơ = k7ĩ.
1, ta có
ỵ\mA‘) -<ụd)jựị s {k7if'\dr\Ỷ\cl (s)-dj{s)ịds
7=1
0 0 7=1
/ _.\2
<^|c-rfll...
2!
Vậy (2.2.23) đúng với p = 1.
X
Giả sử (2.2.23) đúng với p > 1, tức là
£|(17'C)/0++,(+-^+||c-7||i. Vc,7eX, Víe[0,r|.
ìi
(2 />)!
Ta sẽ chứng minh (2.2.23) đúng với /7 + 1, nghĩa là
(2.2.26) É|(ĩ+c),(f)-(ĩ+<í)/(0| £
7=1
c-j|xVc,í/EX,VíE[0,r].
(2/7 + 2)!'
Thật vậy
(2.2.27)
ẳl^c), (0 - (U^dịựị = ị\(Ụ(Ụrc))j(f) - (ơ(ơ"7)),.(0|
7=1
7=1
< cr2 jí/7-ịX|(í/'’c)J.(í)-(C/^)7.(í)|&
0 0 7=1
- r(ơs)
<<72\dr\
í 0 (2p)!
/ ^\2/?+2
=----------||c —í/|L Vc,í/ E X, \/t E [0,T].
(2/7 + 2)!11 Ilx
Từ (2.2.27) suy ra (2.2.26) đúng. Như vậy (2.2.23) đúng \/p E N.
15
= 0 nên tồn tại số tự nhiên P Q sao cho
p— (2 p)\
Mặt khác, do
,
Ị
-—-— <1. Tức toán tử ưPo là co. Theo nguyên lý ánh xa co, ta suy ra răng
(2/>o)!
hệ
(2.2.13)
có
duy
nhất
nghiệm
um\t)trên
0
Vậy
bổ
đề
2.1
được
chứng minh. □
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
(2.2.28)
xik\t) =||ú»f + «(1^(0,«/.*>«) + 2/lj||ú«(.?)|2 *,
0
(2.2.29) J?\t) = a{ủ«\t),ủ«\t)) + ||A«f(0||2 + 2A J||v«<í>(s)||2
0
(2.2.30) g\t) = *?>(/) + Yik\t) + ị\\ũ«> (í)||í&.
0
Đánh giả thứ nhất.
Nhân (2.2.13) với c ^ j { t ) và lấy tổng theo ý, ta được
(2.2.31)
(ủ^\i),ú^\t))
+
a(u^\t),ủ^\t))
+
Xịủ^\t)Ị
=(F„(0,«1*,(Í)).
Do đó
Suy ra
1 d
2 d
(2.2.32) x«(0 = AÌ‘>(0) + 2j(F.(í),HÍf>(i))ds.
0
Đánh giả thứ hai.
12
Trong (2.2.13) thay wy. = —-y Aw., sau đó đorn giản cho /ly ta đươc
2;
16
(2.2.33)
[u(k)(t),-AWj) + a(uy(t),-AWj) + Ẫ^ú(k)(t),-
AwJ)
=
{Fm
Hơn nữa, ta có:
(2.2.34) (uik\t),-AWj) = a(ũfk)(t),Wj),
(2.2.35)
a(u^\t),-AWj) = {Au^\t),AWj),
(2.2.36) (ủ(k\tị-AwJ) = a(úik\t),Wj),
( Fm ơ)> -Aw, } = -J Fm (x, t)AWj (x)dx
0
(2.2.37)
= -F„(x,/)Vwy(x)[ + ịvFm(x,t)Vwi(x)dx
= a{Fm(t),wJ).
Nhờ vào (2.2.33) - (2.2.37) ta có
(2.2.38)
a(tí(k\t),Wj)
Ẳa(ủík)
(t),Wj)
+
ịAu^\t),AWj)
=
a(Fm(0
Trong (2.2.38) thay Wj bởi ủ%\t) ta được
(2.2.39)
a(ề:\tịúlk\t)) + (Au«\t)Mmt\t)) + )
Do đó ta có
(2.2.40)
“C(0
2 dt
=
«(F.(0,O))-
Tích phân theo t, ta được
Từ (2.2.32) và (2.2.41) suy ra
+
17
sík) (0 = Si*> (0) + 2 j (F„
00
(5))* + j||«f (í)f ds
(2.2.42)
0
= 5Í*)(0)+/,+/,+/,.
Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong (2.2.42).
Tích phân thứ nhắt /j = 2j^M(.s'),ỉi);f)(s)^ífc.
0
Ta có
Ị{Fm(.s),ủ^(s))ds
/, = 2 0 0
<
2|||F„(í)||||iif(í)||&.
Do (2.2.8) nên từ (2.2.5) - (2.2.7) ta suy ra
(2.2.44) |/<i>(Mm_l(x,í))|
(2.2.45) \Fm{x,t)\ <|F(x,í)| + ỔK, |v«_(x,0|.
Suy ra
||F„(0||2<(|F(0|+^1||VM„.,(0||)2
< 2||F(0||2 +
^2MỈW, + 2 ^ > M 2 Sử dụng bất đẳng thức
2 ab < — a2+ sh1 \/a,b ei, Ví>0,
£
ta suy ra từ (2.2.43) và (2.2.46) rằng
ắl7’IHIỈ-,.r.í,+l^.í^Í7’ + 3j5Í>(í)*-
18
N
rì lÌK.COÍ *
** 0
t 0
+
3j||“i‘)('s)||2
* i^lr
+ \s2K2M2Tds.
+ 3 j||«i<ÍV)f ds
Tích phân thứ
hai<„w>
I2 = j,|w(Ấ:)(s)||
(2.2.48)
\
rìr||F|k(0 0
rl?ì + + 3 j
Xi
Ta CÓ phương trình (2.2.13) được viết lại
D
Ồ
0
(2.2.49) (u{*\t),wỳ-(ầu^\t),wỳ + x[ủ
= (F„(í), wy).
Do đó thay thế wy bởi ũ"\t), ta được
||“i*)(0|| ^ |AKÌ‘,(0|+4K*’ (0||+llF« w|| •
Do đó
(2.2.50) |/2| < 3 j||A«ii)(í)|2 ds + 3Ẫ2 j||«f Cí)f ds + 3}\\Fm (5)||2
ds.
000
Do (2.2.28) - (2.2.30) và (2.2.46), ta suy từ (2.2.50) rằng
|/2|ắ3jií*)(i)&+3Aíjjrì‘>(í)&
00
(2.2.51)
+ 3j(2||F|k(lw?) + 2ổ2K?M2)ds
0
t
< 3(1 + x2)ị S(J>(s)ds + 6r||F||2r(or;l2) +
6S2K2M2T.
0
t
19
Ta có
(2.2.52)
ja(F„(í),«f(í))*<2}|VF„(5)|||v1i®(í)|*.
|/3| = 2 0 0
Ta có
lV“”->(jc’í)l-llVu*-iWllc",fi) -||v“™-i(0||„i'ĨĨ
Do (2.2.5), (2.2.6) và (2.2.44), ta suy từ (2.2.53) rằng
II VF„ (Oll < ||VF(Í)|| + ỎK2 |V«„.,(0|Ỉ.(5) +
||
A«„., (í)||
+ ỔM(2K2M + K}).
ữ(ữ ,T;Ư)
Do đó từ (2.2.52) kết hợp với (2.2.28) - (2.2.30), (2.2.47) và (2.2.54) ta
w4íiVF«(atf*+4ivtì«)<,tf
J(2ll™1r,0.rií> + 2S2M2(2K2M + Kxf)ds + 2Ị Y^(s)ds
T\\VFfnV]!?)+ổ2M2(2K1M + K,fT + 2} s® (*)<&•
0
Từ (2.2.42), (2.2.48), (2.2.51), (2.2.55) ta có
(t)< s?>(0) + A(JÍ,1) + (8 + 3/L2)jsf (s)ds,
0
DX(M,T)
20
=
T\\F \ [ 'r ‘ II
+ ' ‘ lli** (0,T;ư)
2 II —
IIL"(0,7’;L2)
71VF
Bây giờ ta đánh giá sô hạng:
^20
20
(2.2.58) s%\ 0) = ||ũltf + a(ũ0k,ũM)+ ,«,*) + |A«otf.
Do (2.2.15) - (2.2.16) nên tồn tại M > 0 độc lập với k và m sao cho
jư2
(2.2.59) S«\ữ)<ĩĩ-Vk,m.
Tiếp theo ta chọn hằng số T > 0 sao cho
(2.2.60) — + o, (M,T) < M2 exp(-(8 + u2)ĩ).
Từ (2.2.56), (2.2.58) - (2.2.60) ta suy ra
(2.2.61) s®(f) < M2exp(-(8 + 3/l2)r)+ (8 + 3/l2)|
0
0
Do bổ đề Gronwall, ta suy ra từ (2.2.61) rằng
(2.2.62) s ( k ) ( t ) < M2 exp(-(8 + 3/l2)7’jexp((8 + 3/12)/) < M2, 0
Vậy ta có
(2.2.63)
u™
e
W(M,T)Vm,
k.
Bước 3. Qua giới hạn.
Từ (2.2.63) ta có thể lấy từ dãy j một dãy con Ịí/^Ị sao cho:
(2.2.64) uỉ' -> um trong r (0,T;Hl0 n H2) yếu*,
(2.2.65) ủ{y ^>ủm trong r°(0,T\Hị) yếu*,
(2.2.66)
ủm trong Ữ(QT) yếu,
(2.2.67) umeW(M,T).
Qua giới hạn trong (2.2.13), (2.2.14) và nhờ vào (2.2.64) - (2.2.67) ta
có um thỏa (2.2.9) - (2.2.11) trong IỈ(ỊÒ,T) yếu.
Mặt khác, ta suy từ (2.2.9) - (2.2.11) rằng
(2.2.68)
ửm=Aum-Ảủm+f(x,t,um_tyum_l)eữ(Q,T;L2).
Do đó um E WX(M,T).
Vậy định lí 2.1 được chứng minh xong.D
v
'
II
llltc(0 T-L2) II m \\Lx(0T-L2)
T
’
21
2.3.
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
trong đó
Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng bài toán (2.2.1) - (2.2.3) có duy
nhất một nghiệm yếu. Ta giới thiệu không gian
(2.3.1)
= {veư(0,T;H'„):veư(0,T;ứ)}.
(2.3.4) Wl(T)
kT = 2S(KÍ
+ MK24Ĩ)T < 1,
Chú ý rằng Wx (T) là một không gian Banach đối với chuẩn
và c là một hằng so chỉ phụ thuộc vào T, u0, ux và kT.
(2.3.2)
IMI^CT) — l^VIL£C(0,7’;L2) IIVIL=D(0,7’;L2) '
Chứng
Định lí minh.
2.2. Giả sử ( / / , ) - (HA) là đủng. Khi đó tồn tại các hằng so
Sự tồn
nghiệm.
M> 0,(i)r>0
saotạicho
bài toán (2.2.1) - (2.2.3) có duy nhất nghiệm yếu
Ta sẽ chứng minh ịum} là một dãy Cauchy trong WX(T).
ueWx(M,T).
Đặt vm = um+ì - um. Khi đó vm thỏa bài toán biến phân sau
Mặt khác,
dãy quỉ nạp
tuyến tính ịum} được
xác định bỏi (2.2.9) ịOm(t),v) + a(vm(t),v)
+ Ẫ(vm(t),v)
= {F^i(t)-Fm(t),v)
VveHl
k(0) WX(T).
= v„(0) = 0.
(2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian
Ta lấy V = v m trong (2.3.5)! rồi sau đó tích phân theo t, ta đuợc
Hon nữa, ta cũng có đánh giá sai số
(2.3.3)
IIVu — Vu\\ „ 2 +||ti — ủ\\ x 2 < CkTm Vm,
F"+l
(0
-
w/'(“"»
(0)V«.
(0
22
-
(0)VKm_, (0}
|v„(0||2 + a(v„(0> v„(0) + 2A|||v„(j)|f ds
(2.3.6)
= 2} {Fmtl(s)-Fm(s),vm(s
Ta có
xm (í) =
= £{/'(“» (0) V v„_, (0 +
(0) v„,_, (0 V (í)},
(0 + ớvm_, (0, 0 < 0 < 1.
Do (2.2.5) và (2.2.6) nên từ (2.3.7) ta suy ra
\K, (0 - ^ (01 Sí(x, ||Vv„_, (01+MK2 V2 |K_, (01)
(2.3.8)
+>/2MS:í)|Vv_1(0|
Do đó từ (2.3.7) và (2.3.8) ta suy ra
v„(0|f + «(’'„(0>v„(0) + 2Aj||v„(Oir *
< â(K, + VĨMẸOk-iLícn íkcoll*
0
<Ổ(K
Kết hợp (2.3.9) và (2.3.10) ta được
(2.3.11) lvm|^(r) — ||vm-i||frl(7’) ^m’
trong đó kT = 2Ổ(KỈ + \ÍĨMK2)T <1. Do đó
(2.3.12)
ịum+p ~-||W1 — Uữ\wxỢ)^T 0“^r)
m+p
Unu- l~u
23
Từ (2.3.12) ta suy {um} là dãy Cauchy trong WX(T). Do đó tồn tại
u E Wx (T) sao cho
(2.3.13) um —» u mạnh trong WX(T).
Ta chú ý rằng um EỈVX(M,T), khi đó có thể lấy từ {um} một dãy con
sao cho
(2.3.14) um —»u trong ư(0,T;Hl0nH2) yếu*,
(2.3.15) ủm —^ ủ trong ZT(0yếu *,
(2.3.16) ũm -^ủ trong L2(QT) yếu,
(2.3.17) u e W{M,T).
Ta chú ý rằng
F(t)-f(x,t,u,Vu)'
+'Ỉ2MK2)
j
L*(0,T;L2)
WX{T)
Từ (2.3.14) và (2.3.18) ta thu được
(2.3.19) Fm (t)-> f(x,t,u,ux) mạnh trong ư(0,T;L2).
Khi đó qua giới hạn trong (2.2.9) - (2.2.11) khi m = mj —»+00, ta thu
được từ (2.3.13) - (2.3.17) răng
(2.3.20) (ủ(t),v) +a(u(t),v) +Ẳ(ủ(t),v) = (f(x,t,u,ux),v), Vve//Ồ’
và các điều kiện đầu
(2.3.21) u(0) = ũ0, ứ(0) = ũx.
Mặt khác, từ (2.3.20) và (2.3.21) ta có
(2.3.22) uư=uxx- Ầut + f(x,t,u,ux)eư(0,T;L2).
Vậy ta thu được
(2.3.23) ueWx(M,T).
Sự tôn tại nghiệm được chứng minh hoàn tât. □
