Tài liệu Bài giảng số phức ppt

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Số phức
1.1 Khái niệm về số phức
Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R
không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x
2
+ 1 = 0 vô nghiệm
thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.

1.1.1 Định nghĩa số phức:
1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i
2
= - 1 gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)
3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.
5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng
bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.
6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký
hiệu
z
. Khi đó: số phức liên hợp của
z
là z.

1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức
1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số

phức.
2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng
Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)
của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.
Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục
thực.
Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo
Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ
OA
uuur
Trong nhiều trường hợp,
người ta xem vec tơ
OA
uuur
như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.
3. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a +bi và
OA
uuur
là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy.
Khi đó:
Độ dài r =
OA
uuur
của vectơ

OA
uuur
được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển
nhiên ta có:
|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0
Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là
OA
uuur
≠
0
r
. Góc định hướng giữa tia Ox
và vectơ
OA
uuur
(đo bằng radian) ϕ =
·
(
)
,
OxOA
uuur
được gọi là
argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất
mà sai khác nhau k2π.
Nếu chỉ giới hạn xét ϕ ∈[0;2π) thì khi đó ϕ được gọi là
argument chính, ký hiệu argz.
Khi z = 0 thì ϕ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.
Rõ ràng a = rcosϕ ; b = rsinϕ.
Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)
Ta có: r =
22
ab
+
, ϕ = tg (b/a) , nếu a ≠ 0. a = rcosϕ ; b = rsinϕ
Từ định nghĩa của số phức liên hợp
z
của z và biểu diễn hình học của
z
, ta có:
|
z
| = | z |; arg
z
= - argz.
Ví dụ:
1. r(cosϕ - isinϕ) có phải là dạng lượng giác của số phức z?
2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
a. z = -2 + 2i
3
b. z = 1 + i c. z = 1- i
d. z =
cos.sin
77
i
ππ

−+



e. z =
sin.cos
33
i
ππ

+



A(a,b)
b
y
O a x
ϕ

r
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



1.2 Những phép tính cơ bản trên số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là r
1
(cosϕ
1
+
isinϕ
1

) và r
2
(cosϕ
2
+ isinϕ
2
)
1.2.1 Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)
1.2.2 Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)
Nhận xét: z.
z
= a
2
+ b
2
= | z |
2
.
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:
z.w = r
1
.r
2
(cos(ϕ
1
+ϕ
2
) + isin(ϕ
1
+ϕ

2
)) (3)
Nhận xét: | z.w | = | z |. | w |;
| z
n
| = | z |
n
; Arg(z
n
) = n. Argz + k2π
1.2.3 Phép chia 2 số phức.
Bổ đề: Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z
1
sao cho z.z
1
=1. Khi đó z
1
được
gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z
-1
. Vậy z
-1
= 1/z.
Chứng minh
Ta cần tìm z
1
= c + di sao cho z.z
1
= 1.
Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1

Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1
Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)
Giải hệ phương trình (I) ta được:
2222
;
ab
cd
abab
−
==
++

Vậy z
1
tồn tại.
Do đó, z
-1
= z
1
=
2222
ab
i
abab
−
++
(4)
Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z
-1
= 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức

liên hợp
z


Phép chia hai số phức:
Giả sử w ≠ 0. Khi đó:
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



2222
.().()()()
.
zzwabicdiacbdbcadi
wcdcd
ww
+−++−
===
++
(5)
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:
z/w = (r
1
/r
2
). (cos(ϕ
1
- ϕ
2
) + isin(ϕ

1
-ϕ
2
)) (6)
1.2.4 Các ví dụ:
1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w,z – w,z.w, z/w.
2. Tính (1 + i)
2
, (1 + i)
4
. Suy ra (1+i)
2006
, (1 – i)
210906

3. (3 –i)(14 +2i); (2+3i)/ (1 - 4i); (1 + 2i)
2
/1-i
4. (1 + i)
9
/(1 – i )
7
; 1 + (1+i) + (1+i)
2
+ + (1+i)
99

5. Tìm modun của các số phức sau:
4
(1)

(16)(27)
i
ii
+
+−

1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức
1.3.1 Nâng lên lũy thừa
Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:
[r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ).
Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức
lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với
số mũ của lũy thừa.
Áp dụng của công thức Moivre:
Trong công thức đặt r = 1, ta được
(cosϕ + isinϕ)
n
= (cosnϕ + isinnϕ)
Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần
ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ.
Chẳng hạn với n = 3: ta có:
VT = cos
3
ϕ + i.3cos
2
ϕsinϕ - 3cosϕsin

2
ϕ - isin
3
ϕ
VP = cos3ϕ + isin3ϕ
Do đó: cos3ϕ = cos
3
ϕ - 3cosϕsin
2
ϕ = -3cosϕ + 4 cos
3
ϕ
sin3ϕ = -sin
3
ϕ + 3cos
2
ϕsinϕ = 3sinϕ - 4 sin
3
ϕ
1.3.2 Phép khai căn
Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn:
n
n
zwwz
=⇔=
.
Hay:
(cossin)(cossin)
n
rii

ϕϕρθθ
+=+
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



(cossin)(cossin)
n
rinin
ϕϕρθθ
⇔+=+
Vì trong những số phức bằng nhau. Môđun phải bằng nhau nhưng argument có thể
sai khác một bội 2π nên:
ρ
n
= r; nθ = ϕ + k2π
Từ đó: ρ =
n
r
; θ =
2
k
n
ϕπ
+
; k là số nguyên tùy ý.
Cho k các giá trị 0,1,2, , n-1, ta được n giá trị khác nhau của căn.
Vậy căn bậc n của một số phức có n giá trị khác nhau
Căn bậc n của số thực A khác 0 cũng có n giá trị vì số thực là một trường hợp đặc
biệt của số phức và có thể viết dưới dạng lượng giác:

Nếu A > 0 thì A = |A| (cos0 + isin0)
Nếu A < 0 thì A = |A| (cosπ + isinπ)
Ví dụ: Tìm
3
3
4
1,1,(22)
i
−+


Bài tập:
Bài 1 Tính:
1. (3+5i).(4-i) 2. (6+11i).(7+3i) 3. (4 – 7i)
30
4.
3
45
i
i
−
+

5.
23
32
(12)(1)
(32)(2)
ii
ii

+−−
+−+
6.
34
12
i
i
+
−
7. (1+i
3
)
3
8.
512
i
−−

9.
()
(
)
9
3
1313
ii+++ 10.
8
1
2
i

−
−+



11.
(
)
7
13
i−− 12.
()
(
)
2007
2006
13ii−+−
Bài 2 Tìm các số thực x,y sao cho:
1. (1- 2i)x + (-3 + 4i)y = -1 -3i 2. (2+i)x – (3+5i) = 1 +3i
3. (2 - 3i)x +(1+3i)y = x + 5iy 4. (3-2i)x – (4+5i)y = 2y + 3ix
Bài 3: Tìm |z| (modun của số phức) nếu :
1. ( 1 + i)
(
)
3
i
+
2.
1
3

i
i
+
+
3.
(1)(3)(2)
(34)(5)
iii
iii
++−−
++
4.
3
26
13
i
i

−+


+


5.
5
(34)
34
i
i

+
−
6.
3
1
i
i
i
+
−+
−
7.
2006
23
32
i
z
i
+

=

−

8.
4
(34)(1)
34
ii
i

++


−


Bài 4: Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
1. – 1 – i 2.
13
i
+
3.
(
)
3
13
1
i
i
+
−−
4.
(
)
()
4
31
ii
+−
5.

(
)
(
)
(
)
1133
iii
+−−+

Bài 5: Giải các phương trình:
1. z
2
= - 1 + i 2. 4z
2
+ 4z + i = 0 3.
42
2340
zz
−+=

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Bài 2. ÔN TẬP VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

I. Giới hạn hàm số
1. Các giới hạn cơ bản:
1. 1lim

sin
lim
00
==
→→
t
tgt
t
t
tt
2. 1
)1ln(
lim
1
lim
00
=
+
=
−
→→
t
t
t
e
t
t
t
3.
2

1cos1
lim
2
0
=
−
→
t
t
t

4.
a
t
t
a
t
=
−+
→
1)1(
lim
0
5.
p
e
t
t
p
t

∀=
∞→
,0lim
6.
p
t
t
p
t
∀>=
∞→
,0,0
ln
lim α
α

2. Quy tắc L’Hospital:
Cho x
o
∈ R hoặc x
o
= ± ∞.
f, g có đạo hàm liên tục thỏa mãn:
0)(lim)(lim
00
==
→→
xgxf
xxxx
hoặc

±∞==
→→
)(lim)(lim
00
xgxf
xxxx

Giả sử tồn tại
A
xg
xf
xx
=
→
)('
)('
lim
0
. Khi đó:
A
xg
xf
xx
=
→
)(
)(
lim
0

3. Giới hạn dạng:
[
]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→

1. Giả sử
bxgaaxf
xxxx
=>=
→→
)(lim);0()(lim
00
(a,b hữu hạn) thì
[
]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
= a
b

2.
[
]
)(
)(lim
0
xv
xx
xu
→
có dạng 0
0
. Đặt y = u
v
thì lny = v.lnu
Khi đó:
y
xx
lnlim
0
→
có dạng 0.0 ta dùng L’Hospital để tính giới hạn.
Nếu
y
xx
lnlim
0
→
=

)(ln)(lim
0
xuxv
xx→
=a thì
[
]
)(
)(lim
0
xv
xx
xu
→
= e
a

3.
[
]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
có dạng 1
∞
. Khi đó:

[
]
)(
)(lim
0
xg
xx
xf
→
=
()
(
)
0
()1()
1
()1
lim1(()1)
fxgx
fx
xx
fx
−
−
→

+−


=

[]
()
0
lim()1
gx
xx
fx
e
→
−

Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1.
1
2
1
lim
2
2
−
−
−
∞→
x
x
x
x
2.
x

xxx
x
1)31)(21)(1(
lim
0
−
+
+
+
→

3.
52
5
0
)51()1(
lim
x
x
xx
x
+
+−+
→
4.
1
3
lim
32
1

−
−++
→
x
xxx
x

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



5.
2
1
1
)1(
)1(
lim
−
++−
+
→
x
nxnx
n
x
6.







−
−
−
→
3
1
)1(
3
1
1
lim
x
x
x

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1.
x
axa
x
33
0
lim
−+
→
2.
4

8
lim
3
64
−
−
→
x
x
x
3.
22
lim
ax
axax
ax
−
−+−
→

4.
2
3
7118
lim
2
3
2
+
−

+−+
→
x
x
xx
x
5.
1
lim
+
++
∞→
x
xxx
x
6.
2
12
2
lim
x
x
x
x







−
+
∞→

7.
2
1
2
0
2
1
1
lim
x
x
x
+
→






+
8.
()
2
.
1

2lim
x
tg
x
x
π
−
→
9.
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x






→

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

Bài 3 . VÔ CÙNG BÉ

1.1. Định nghĩa:
Hàm α(x) được gọi là lượng vô cùng bé (VCB) khi x → x
o
nếu
lim()0
o
xx
xα
→
=

Ví dụ: x
m
, sinx, tgx, ln(1+x), (1-cosx) là các VCB khi x → 0.
Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x → ∞ thay vì quá trình

x → x
o.


Quy ước: quá trình x → ∞ hay x → x
o
ta gọi chung là trong 1 quá trình.

1.2 Định lý:
Trong 1 quá trình, f(x) → L khi và chỉ khi α(x) = f(x) – L là VCB trong quá trình đó.

1.3 Tính chất:Trong 1 quá trình

1. Nếu α(x) là VCB, C là hằng số thì C.α(x) là VCB.
2. Nếu α
1
(x), α
2
(x), , α
n
(x) là một số hữu hạn các VCB thì tổng
α
1
(x) + α
2
(x) + + + α
n
(x) cũng là VCB.
3. Nếu α(x) là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích α(x).f(x) cũng là VCB.

1.4 So sánh hai lượng VCB:
Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.
Giả sử k
xg
xf
o
xx
=
→
)(
)(
lim
Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: f = o(g)

Nếu k = ±∞ thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu g = o(f)
Nếu k ≠0, k ≠ ±∞ thì f, g là haiVCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k =1 thì ta nói f, g là
VCB tương đương. Ký hiệu: f ~ g
Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f, và g không so sánh được với nhau
Ví dụ:
1. 1 – cosx và x
2
là hai VCB ngang cấp khi x → 0.
2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi x → 0.

1.5 Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu x → 0 thì:
sinx ~ x; tgx ~ x; (1 – cosx) ~ ½ x
2
; arcsinx ~ x;
(e
x
-1) ~ x; ln(1+x) ~ x ; [(1+x)
a
– 1] ~ ax;

1.6 Khử dạng vô định:
Tính chất 1: Nếu
k
g
f
o
xx
=
→

lim
, f ~ f
1
; g ~ g
1
thì
k
g
f
o
xx
=
→
1
1
lim

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Chứng minh
Thật vậy:
limlim lim
ooo
xxxxxx
fffgf
gg
fgg
→→→

==

Ví dụ:

3
00
ln(12)22
limlim
33
1
x
xx
xx
x
e
→→
+
==
−


Tính chất 2: Nếu α(x) = o(β(x)) trong 1 quá trình thì α(x) + β(x) ~ β(x).
Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn

Ví dụ:
1.
2
0
1cos5
lim

sin2
x
x
x
→
−
2.
0
ln(13)
lim
2
x
x
tgx
→
−
3.
23
35
0
sin
lim
24
x
xxtgx
xxx
→
++
++

4.
3
0
ln(1)
lim
sin
x
tgx
xx
→
+
+
5.
2
2
0
ln(12sin)
lim
sin.
x
xx
xtgx
→
−


Bài tập:
1. Giả sử t là lượng VCB. So sánh các lượng VCB: u = 5t
2
+ 2t

5
và v = 3t
2
+2t
3

2. So sánh các VCB u = tsin
2
t và v = 2tsint khi t → 0.
3. So sánh các VCB u = t
2
sin
2
t và v = ttgt khi t → 0.
4. Sử dụng các VCB tương đương, tính các giới hạn:
a.
2
0
)sin.31ln(
lim
tgx
xx
x
+
→
b.
xtg
x
x
3

121
lim
0
−+
→
c.
)21(ln
3sin
lim
2
2
0
x
x
x
+
→

d.
)41ln(
1
lim
2
0
x
e
x
x
−
−

→
e.
)1ln(
cosln
lim
2
0
x
x
x
+
→
f.
x
e
x
x
ln
)1sin(
lim
1
1
−
−
→

g.
1)1().1(
1)1(
lim

3
2
5
3
0
−++
−+
→
xx
x
x
h.
2516
238
lim
4
3
0
−+
−+
→
x
x
x
i.
)431ln(
)231ln(
lim
32
32

1
xxx
xxx
x
+−+
+−+
→

j
2
1
arcsin
1
lim
ln(1)
x
x
x
x
→
−
−
k.
2
1
2
41
lim
arcsin(12)
x

x
x
→
−
−

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Bài 4 Công thức khai triển Taylor – Maclaurinh
1. Công thức khai triển Taylor:
Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp
n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.
Hãy xác định một đa thức y = P
n
(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a)
và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của
hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:
P
n
(a) = f(a);
'()()
()'(); ;()()
nn
nn
PafaPafa
== (1)
Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với
hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số
cần xác định
2
012
().().() ()
n
nn
PxCCxaCxaCxa
=+−+−++− (2)
Các hệ số C
0
, C
1
, C
2
, …, C
n
được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.
Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P
n
(x)
'21
123
''2
23
()
()2.()3.() ()
() 23.2.() (1)()

()

n
nn
n
nn
n
n
PxCCxaCxanCxa
PxCCxannCxa
Px
−
−
=+−+−++−
=+−++−−
= (1) 2.1.
n
nnC






−

(3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:
0
'
1

''
2
()
()
()
()2.1.

().(1) 2.1.
n
n
n
n
nn
PaC
PaC
PaC
PannC
=


=


=




=−


So sánh với điều kiện (1) ta có:
0
1
2
()
()
'()
''()2.1.

().(1) 2.1.
n
n
faC
faC
faC
fannC

=

=


=




=−


Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



0
1
2
()
()
'()
1
.''()
2!

1
.()
!
n
n
Cfa
Cfa
Cfa
Cfa
n

=


=




⇒=





=


(4)
Thay các giá trị của C
0
, C
1
, …, C
n
vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm
()
23
'()''()'''()()
()()()()() ()
1!2!3!!
n
n
n
fafafafa
Pxfaxaxaxaxa

n
=+−+−+−++−
Ký hiệu bằng R
n
(x), hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập
P
n
(x) (hình vẽ)

()()()
nn
RxfxPx
=+

Hay:
()
23
'()''()'''()()
()()()()() ()()
1!2!3!!
n
n
n
fafafafa
fxfaxaxaxaxaRx
n
=+−+−+−++−+
(6)
R
n

(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị
x làm cho số hạng dư R
n
(x) bé, thì khi đó đa thức
P
n
(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).
Do đó, công thức (6) cho khả năng thay
hàm số y = f(x) bằng đa thức P
n
(x) với độ chính
xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R
n
(x).
Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng
dư R
n
(x) khá bé .
Viết số hạng dư dưới dạng:
1
()
()()
(1)!
n
n
xa
RxQx
n
+
−

=
+
(7)
Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.
Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị
xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.
Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x)
21
()
()()()
()()()'()''() ()
1!2!!(1)!
nn
n
xtxtxtxt
FtfxftftftftQ
nn
+
−−−−
=−−−−−−
+
(8)
Tìm đạo hàm F’(t) :
O

a

y

x

R
n
(x)
y = f(x)
x

y = P
n
(x)
P
n
(x) f(x)
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



211
()()
(1)
()2()
'()'()'()''()''()
12!
()()()
'''() ()()
2!(1)!!
()(1)()
()
!(1)!
nn

nn
nn
n
xtxt
Ftftftftft
xtxtnxt
ftftft
nn
xtnxt
ftQ
nn
−−
+
−−
=−+−+
−−−
−+−+
−
−+−
−+
+

Rút gọn lại ta được :
(1)
()(1)()
'()()
!(1)!
nn
n
xtnxt

FtftQ
nn
+
−+−
=−+
+
(9)
Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.
Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.
Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = ξ nằm giữa
a và x sao cho F’(ξ) = 0.
Thế vào (9) ta có :
(1)
()(1)()
'()()
!(1)!
nn
n
xnx
FfQ
nn
ξξ
ξξ
+
−+−
=−+
+

Suy ra :
(1)

()
n
Qf
ξ
+
=

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

1
(1)
()
()()
(1)!
n
n
n
xa
Rxf
n
ξ
+
+
−
=
+
- số hạng dư Larange
Vì ξ là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng:
() , [0;1]
axa

ξθθ
=+−∈

Nghĩa là :
1
(1)
()
()[()]
(1)!
n
n
n
xa
Rxfaxa
n
θ
+
+
−
=+−
+

Công thức:

()
23
1
(1)
'()''()'''()()
()()()()() ()

1!2!3!!
()

[()]
(1)!
n
n
n
n
fafafafa
fxfaxaxaxaxa
n
xa
faxa
n
θ
+
+
=+−+−+−++−+
−
++−
+

gọi là công thức Taylor của hàm số f(x).
Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:
231
()(1)
()(0)'(0)''(0)'''(0) (0)() , [0;1]
1!2!3!!(1)!
nn

nn
xxxxx
fxffffffx
nn
θθ
+
+
=++++++∈
+

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R
n
(x) – được gọi là
công thức khai triển Maclaurinh.
Tóm lại, ta có định lý sau:
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f’(x), f’’(x), f
(n)
(x) liên tục tại điểm x
o
và có đạo hàm
f
(n+1)
(x) trong lân cận của x
o
thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:
f(x) =

1
)1(
)(
2
)(
!
)(
)(
!
)(
)(
!
2
)(''
)(
!
1
)('
)(
+
+
−+−++−+−+
n
o
n
n
o
o
n
o

o
o
o
o
xx
n
cf
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xf

(c ở giữa x
o
và x, c= x
o
+ a(x-x
o
), 0 < a <1)
Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số
hạng dư của nó. Đặc biệt x
o
= 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
(công thức khai triển tại lân cận x
o
= 0):

f(x)=
)10(,
!
)(
!
)0(

!
2
)0(''
!
1
)0('
)0(
1
)1()(
2
<<+++++
+
+
θ
θ
n
n
n
n
x
n
xf
x

n
f
x
f
x
f
f

2. Các khai triển Maclaurin quan trọng:
1. e
x
=
∑
=
+
n
k
n
k
xo
k
x
0
)(
!

2. sinx = )(
)!12(
)1(
!5!3

12
12
1
53
−
−
−
+
−
−+++−
m
m
m
xo
m
xxx
x =
∑
=
−
−
−
+
−
−
n
k
n
k
k

xo
k
x
1
12
12
1
)(
)!12(
)1(
3. cosx = )(
)!2(
)1(
!4!2
1
2
242
m
m
m
xo
m
xxx
+−+++− =
∑
=
+−
n
k
n

k
k
xo
k
x
0
2
2
)(
)!2(
)1(
4. ln(1+x) =
)()1(
4
3
2
1
432
n
n
n
xo
n
xxxx
x +−+−+−
−

5. (1+x)
α
= )(

!
)1) (1(

!
2
)1(
1
2 nn
xox
n
n
xx +
+
−
−
++
−
++
α
α
α
α
α
α
3. Bài tập:
Bài 1:
a.
Khai triển đa thức x
4
– 5x

3
+ 5x
2
+ x + 2 thành lũy thừa của ( x – 2)

b.
Khai triển đa thức x
5
+ 2x
4
- x
2
+ x + 1 thành lũy thừa của ( x + 2)

c.
Khai triển hàm số f(x) = sinx tới số hạng x
4
tại lân cận x
o =
π/4 .

d.
Khai triển hàm số y =
x
với x
o
= 1 và n = 3.

Bài 2: Viết khai triển các hàm sau đây theo lũy thừa nguyên dương của biến x đến
số hạng cấp cho trước

1. f(x) = e
sinx
đến x
3
2. f(x) =
(
)
6040
100
)21()21(
1
xx
x
+−
+
đến số hạng
x
2

3. f(x) =
2
2
1
1
x
x
xx
+
−
++

đến số hạng x
4
. f
(4)
(0) =? 4.
2
2 xx
e
−
đến số hạng x
5

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



5.
323
3121 xxxx +−−+− đến số hạng x
3
. 6. tgx đến số hạng x
5

7.
1
)1(
−
−
x
ex đến số hạng x

4
8.
33
sin x đến số hạng x
13
. f
(7)
(0) = ?
9. f(x) =
)1ln(
2
xx ++
đến x
5
. 10. f(x) = ln(cosx) đến x
6

11. f(x) =






x
xsin
ln
đến x
6
. f

(4)
(0) = ? 12.sin(sinx) đến số hạng x
3

Bài 3: Ước lượng sai số tuyệt đối của các công thức gần đúng:
1. e
x
≈
!

!
2
1
2
n
xx
x
n
++++
khi 0≤ x ≤ 1. 2.sinx ≈
6
3
x
x −
, khi |x| ≤ 0.5
Bài 4: Với giá trị x nào thì ta có công thức gần đúng cosx ≈
2
1
2
x

−
với độ chính xác
0,0001?
Bài 5: Dùng công thức Taylor tính gần đúng
1.
3
250
2. sin(18
o
) 3. (1,1)
1,2
và ước lượng sai số.
4. sin1
o
với độ chính xác 10
-8
5. lg11 với độ chính xác 10
-5

Bài 6: Sử dụng khai triển để tính các giới hạn sau:
1.
2
1
sin
lim
2
0
x
xe
xx

x
x
−−−
−
→
2.
5
3
0
)sin(2
lim
x
xxtgx
x
−−
→

3.






−
→
ctgx
xx
x
11

lim
0
4.
656656
lim xxxx
x
−−+
∞→

5.






+−






+−
∞→
1
2
lim
6
1

23
xe
x
xx
x
x
6.












+−
∞→
x
xx
x
1
1lnlim
2

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

TÍCH PHÂN PHÂN THỨC HỮU TỶ

1. Lấy tích phân các phân thức hữu tỷ sơ cấp:
Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng:
()
()
Px
Qx
, trong đó P(x), Q(x) là các đa thức.
Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu degP(x) < degQ(x).
Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:
I.
A
xa
−

II.
()
,1,
m
A
mmZ
xa
≥∈
−

III.
2

AxB
xpxq
+
++
, tam thức bậc hai x
2
+ px + q không có nghiệm thực
IV.
()
2
,1,
n
AxB
nnZ
xpxq
+
≥∈
++
, x
2
+ px + q không có nghiệm thực
Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên
I. .ln
A
dxAxaC
xa
=−+
−

∫

II.
()
1
1
.
1()
m
m
AA
dxC
mxa
xa
−
=−+
−−
−
∫

III.
2
22
22
ln()
2
44
ABApxp
xpxqarctgC
qpqp

−+
++++
−−

Ví dụ: Tính
2
1
225
x
dx
xx
+
++
∫



3. Xét tích phân dạng IV:
Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại IV:
22
()
n
dt
ta
+
∫
. Ta có:
222222
1
2222222212222222

11111()
()()()()2()
nn
nnnnn
dtattdttdttdta
IdtI
taataataataaata
−
−
+−+
===−=−
+++++
∫∫∫∫∫




Áp dụng công thức tích phân từng phần cho
22
22
()
()
n
tdta
ta
+
+
∫
. Ta có:
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

11
22221222122212
111123

2(1)()2(1)()2(1)()22
nnn
nnn
tdttn
III
aantaantaantaan
−−
−−−
−
=+−=+
−+−+−+−
∫
Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về
22
dt
ta
+
∫

Ví dụ: tính
23
(1)
dx

x
+
∫

- Tích phân dạng IV:
Cần tính
()
2
n
AxB
dx
xpxq
+
++
∫
,
2
0
4
p
q
−<

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:
() () () ()
2222
(2)
(2)
22
22

nnnn
AAp
xpB
AxBAxpApdx
dxdxdxB
xpxqxpxqxpxqxpxq

++−

++


==+−


++++++++
∫∫∫∫
- dễ dàng tính tích phân thứ nhất.
-
()
22
22
2
()
24
nn
n
dxdxdt
ta
xpxq

pp
xq
==
+

++


++−







∫∫∫

Ví dụ: tính
22
32
(210)
x
dx
xx
+
++
∫

4. Tích phân các phân thức hữu tỷ nhờ phân tích các phân thức đơn giản nhất:
Xét phân thức hữu tỷ
()
()
Px
Qx
(1)
- Nếu (1) là phân thức hữu tỷ không thật sự thì ta có thể đưa về dạng phân
thức thật sự bằng cách chia tử cho mẫu. Khi đó:
()()
()
()()
PxRx
Sx
QxQx
=+
, S(x), R(x) là các đa
thức và degR(x) < degQ(x).

- Nếu
22
()().().().()
nm
Qxxaxbxpxqxlxs
αβ
=−−++++
, (a, b là các nghiệm
thực, x
2
+ px + q và x

2
+ lx + s không có nghiệm thực, α, β, m. n là các số tự nhiên) thì:
1212
22
11221122
22222222
()

()()()()()()()

()()()()()()
+
mmnn
mn
B
A
AABBPx
Qxxaxaxaxbxbxb
MxNPxN
MxNMxNPxQPxQ
xpxqxpxqxpxqxlxsxlxsxlxs
β
α
αβ
=++++++++
−−−−−−
++
++++
+++++++
++++++++++++

Để tìm các hệ số A
1
, A
2
, ,A
α
, B
1
, B
2
, , B
β
, M
1
, M
2
, , M
n
, N
1
, N
2
, N
m
, ta có
thể tính theo 2 cách:
- 1/ Nhân hai vế cho Q(x), rút gọn các số hạng đồng bậc ở vế phải, sau đó cho
đồng nhất hệ số hai vế
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

- 2/ Sau khi nhân hai vế cho Q(x), ta cũng có thể cho x các giá trị khác nhau
để xác định giá trị của các hệ số.

Ví dụ: Phân tích phân thức hữu tỷ:
2
52
1
x
xx
+
−
thành phân thức đơn giản

5. Phương pháp Ostrogradsky:
Nếu Q(x) có nghiệm bội thì:
12
12
()()
()
()()()
PxPx
Px
dxdx
QxQxQx
=+
∫∫
(5)
Trong đó: Q

1
(x) là ước chung lớn nhất của Q(x) và Q’(x); Q
2
(x) = Q(x) : Q
1
(x);
P
1
(x) và P
2
(x) là những đa thức có hệ số chưa xác định, bậc của chúng lần lượt kém bậc
của Q
1
(x) và Q
2
(x) 1 bậc.
Các hệ số của P
1
(x), P
2
(x) được tính bằng phép lấy vi phân của (5)

Ví dụ: Tính tích phân:
()
2
2
32
210
x
dx

xx
+
++
∫

Bải tập:
1. Tính các tích phân sau:
1.
4
(1)
dx
x −
∫
2.
3
(23)
dx
x +
∫
3.
2
618
dx
xx
−+
∫
4.
2
63
23

xdx
xx
++
∫

5.
2
2
47
x
dx
xx
−
−+
∫
6.
2
53
1029
x
dx
xx
+
++
∫
7.
()
2
2
23

25
x
dx
xx
+
++
∫
8.
()
2
2
34
613
x
dx
xx
+
++
∫

2. Tính các tích phân sau:
1.
23
(2)(5)
x
dx
xx
+
−+
∫

2.
(1)(2)(3)
xdx
xxx
+−+
∫
3.
10
2
2
x
dx
xx
−−
∫

4.
2
22
569
(3).(1)
xx
dx
xx
++
−+
∫
5.
23
23

(32)
x
dx
xx
−
−+
∫
6.
32
2
357
2
xxx
dx
x
+++
+
∫

7.
5
42
1
816
x
dx
xx
+
−+
∫

8*.
9
1052
(22)
x
dx
xx++
∫

3. Dùng công thức Ostrogradsky, tính các tích phân:
1.
42
(1)
dx
x +
∫
2.
22
(1)
dx
xx++
∫
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM




Bài 5 Tích phân hàm vô tỉ
1. Các tích phân cơ bản:

2
1
arcsin
x
dxC
a
ax
2
=+
−
∫


2
2
1
ln
dxxxkC
xk
=+++
+
∫

2222
11
arcsin
22
x
axdxxaxaC
a

2
−=−++
∫


222
1
ln
22
k
xkdxxxkxxkC
+=+++++
∫


2. Các tích phân dạng
3
12
123
,,,,
mmm
nnn
axbaxbaxb
Rxdx
cxdcxdcxd

+++





+++



∫

Gọi k là mẫu số chung của
12
12
,, ,
n
n
m
mm
nnn

Đặt:
k
axb
t
cxd
+
=
+
để đưa về tích phân hữu tỉ.
Ví dụ: Tính
3
11
11

x
dx
x
−+
++
∫


3. Xét tích phân dạng:
(),(,,;,)
mnp
xabxdxmnpQabR
+∈∈
∫
(tích phân nhị thức vi phân)
Tích phân chỉ có nguyên hàm nếu rơi vào 1 trong 3 trường hợp sau:
1. p ∈ Z. Đặt x = t
S
. s là mẫu số chung của m và n.
2.
1m
Z
n
+
∈
. Đặt a + bx
n
= t
k
, k là mẫu số của p.

3.
1m
pZ
n
+
+∈
. Dùng phép thế ax
-n
+ b = t
S
, s là mẫu số của p.
Ví dụ: Tính
32
1
xdx
x
+
∫
;
()
10
4
1
dx
xx+
∫
;
()
1
42

2
1
dx
xx
−
+
∫


Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



4. Tích phân vô tỉ dạng:
2
(,)
Rxaxbxcdx
++
∫

TH1:
()
2
2
2
22
2
2
4
;;

4
4
4
dxdxdubbac
uxk
aa
axbxc
auk
bbac
ax
aa
−
===+=
++

−
−

+−





∫∫∫

1/ Nếu k > 0 và a > 0:
()
2
22

2
11
.ln1
1
dududt
ttC
ak
aukakt
auk
===+−+
−−
−
∫∫∫
;
u
t
k
=

2/ Nếu k > 0 và a > 0:
()
22
2
11
.arcsin
1
dududt
tC
ak
akuakt

auk
===+
−−−
−
∫∫∫
;
u
t
k
=


3/ Nếu k < 0 thì chắc chắn a phải dương:

()
2
222
22
11
.ln1
1
dududt
ttC
ak
aubabt
aub
===+++
++
+
∫∫∫

;b
2
= -k

TH2:
2
2222
(2)
()
22
22
AAb
axbB
AxBAdaxbxcAbdx
aa
dxdxB
aa
axbxcaxbxcaxbxcaxbxc

++−

+++


==+−


++++++++
∫∫∫∫

TH3:
2
()
n
Px
dx
axbxc
++
∫
, P
n
(x) là đa thức bậc n
Được tính theo công thức:
2
1
22
()
().
n
n
Px
dx
dxQxaxbxc
axbxcaxbxc
λ
−
=+++
++++
∫∫
(*)

Với Q
n-1
(x) là đa thức bậc n-1 với các hệ số phải tìm; λ là số thực càn xác định
Những hệ số của đa thức Q
n-1
và hệ số λ được xác định bằng cách lấy đạo hàm của
(*) và so sánh các hệ số.
Ví dụ:
3
2
12
x
dx
xx+−
∫
:
TH4: Các trường hợp khác
1. Nếu ax
2
+ bx + c có hai nghiệm thực x
1
, x
2
thì đặt
2
1
()
axbxctxx
++=−

2. Nếu ax
2
+ bx + c có hai nghiệm ảo thì
a. Đặt
2
,(0)
axbxcaxta
++=+>

b. Đặt
2
,(0)
axbxcxzcc
++=+>

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Ví dụ:
(
)
2
2
22
11
1
xx
dx
xxx

−++
++
∫


4/ Tích phân các hàm lượng giác:
(sin,cos)
Rxxdx
∫

- Phép thế vạn năng: Đặt t = tg(x/2). Khi đó:
2
22
12
cos;sin
11
tt
xx
tt
−
==
++

- Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với sinx, Đặt t = cosx
- Nếu R(sinx,cosx) là hàm lẻ đối với cosx, Đặt t = sinx
- Nếu R(sinx,cosx) là hàm chẵn đối với cosx và sins, Đặt t = tgx
Ví dụ:
3
cos
xdx

∫
;
sin
1sin
x
dx
x
+
∫



Bài tập: Tính tích phân
1.
2
1
dx
xx
−−
∫
2.
2
28
dx
xx
−−+
∫
3.
2
53

451
x
dx
xx
+
−++
∫

4.
3
2
1
22
xx
dx
xx
−+
++
∫
5
4
4
1
dx
x
+
∫
. 6.
()
5

23
3
2
dx
xx
+
∫

7.
3
4
1
x
dx
x
+
∫
8.
333
.2
dx
xx
−
∫
9.
23
sincos
xxdx
∫

10.
45sin
dx
x
−
∫
11.
22
sin
dx
xtgx
+
∫
12.
44
sin2
cossin
x
dx
xx
+
∫

13.
4
1
1
x
dx
x

+
+
∫
14.
6
3
1
x
dx
x
+
∫
15.
1
1
xdx
xx
−
+
∫

16.
32
.1
dx
xx
−
∫
17.
3

3
2
2
xx
dx
xx
+
++
∫
18.
2
12
xxdx
−−
∫

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1. Tích phân suy rộng loại 1:
1.1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hũu hạn a≤x≤b< +∞
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):
lim():()
b
b
aa

fxdxfxdx
+∞
→+∞
=
∫∫

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).
Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
()
a
fxdx
+∞
∫
là hội tụ
Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy
rộng
()
a
fxdx
+∞
∫
là phân kỳ.
Ví dụ:
2
1
1
dx
x
+∞
+

∫
là hội tụ;
1
dx
x
+∞
∫
là phân kỳ

1.2 Định nghĩa:
():lim()
cc
d
d
fxdxfxdx
→−∞
−∞
=
∫∫


1.3 Tích phân quan trọng:
Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:
a>0;>0
a
dx
x
α
α
+∞

∫

Nếu α =1 thì tích phân phân kỳ
Nếu α > 1 thì tích phân hội tụ
Nếu α <1 thì tích phân phân kỳ

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0
1.4.1 Định lý so sánh 1:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân
cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:
a. Nếu
()
a
gxdx
+∞
∫
hội tụ thì tích phân
()
a
fxdx
+∞
∫
hội tụ
b. Nếu
()
a
fxdx
+∞
∫
phân kỳ thì tích phân

()
a
gxdx
+∞
∫
phân kỳ.

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



1.4.2 Định lý so sánh 2:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân
cận +∞ ( tức là x đủ lớn) và
()
lim
()
x
fx
k
gx
→+∞
=

a. Nếu k = 0 thì
()
a
gxdx
+∞
∫

hội tụ ⇒ tích phân
()
a
fxdx
+∞
∫
hội tụ
b. Nếu 0 < k < +∞ thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
c. Nếu k = + ∞ thì
()
a
fxdx
+∞
∫
hội tụ ⇒ tích phân
()
a
gxdx
+∞
∫
hội tụ.
1.5 Các ví dụ:
Xét sự hội tụ của các tích phân:
2
x
edx
+∞
−
−∞
∫

;
2
ln
dx
x
+∞
∫
;
32
1
11
dx
xx
+∞
++
∫
;
3
2
1
1
xdx
x
+∞
+
∫

1.6 Trường hợp f(x) có dấu tùy ý:
Định lý: Nếu
()

a
fxdx
+∞
∫
hội tụ thì tích phân
()
a
fxdx
+∞
∫
hội tụ
2. Tích phân suy rộng loại 2:
2.1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) khả tích trên [a;c] với a ≤ c < b và lim()
xb
fx
−
→
=∞

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):
lim():()
cb
cb
aa
fxdxfxdx
−
→
=
∫∫

Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f(x) trên [a;b].
Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
()
b
a
fxdx
∫
là hội tụ
Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy
rộng
()
b
a
fxdx
∫
là phân kỳ.
2.2 Định nghĩa:
Giả sử f(x) khả tích trên [a;c] với a ≤ c < b và lim()
xa
fx
+
→
=∞
thì
():lim()
bb
ca
ac
fxdxfxdx

+
→
=
∫∫

Ví dụ:
1
2
1
1
dx
x
−
−
∫
là hội tụ;
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM



Xét sự hội tụ của các tích phân:
1
2
0
arcsin
1
xdx
x
−
∫

;
2
1
ln
dx
xx
∫

2.3 Tích phân quan trọng:
Bài toán xét sự hội tụ của tích phân:
()
b>a;>0
b
a
dx
bx
α
α
−
∫

()

b
a
dx
bx
α
−
∫

hội tụ với α < 1 và phân kỳ với α≥ 1.
2.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0
2.4.1 Định lý so sánh 1:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và f(x) ≤ g(x) ở lân cận trái của b. Khi đó:
a. Nếu
()
a
gxdx
+∞
∫
hội tụ thì tích phân
()
a
fxdx
+∞
∫
hội tụ
b. Nếu
()
a
fxdx
+∞
∫
phân kỳ thì tích phân
()
a
gxdx
+∞
∫
phân kỳ.

2.4.2 Định lý so sánh 2:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và
()
lim
()
xb
fx
k
gx
−
→
=

a. Nếu k = 0 thì
()
b
a
gxdx
∫
hội tụ ⇒ tích phân
()
b
a
fxdx
∫
hội tụ
b. Nếu 0 < k < +∞ thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
c. Nếu k = + ∞ thì
()
a

fxdx
+∞
∫
hội tụ ⇒ tích phân
()
a
gxdx
+∞
∫
hội tụ.
Chú ý:
Khi xét sự hội tụ của f(x), bằng mọi cách phải tìm được hàm g(x) có dạng
tích phân ở mục 2.3. Muốn vậy, cần chú ý các đại lượng VCB tương đương sau:
sinx ~ x, 1 – cos
2
x ~ ½ x
2
; tgx ~ x; tgx – sinx ~ ½ x
3
;
(1-x)
α
- 1~ xα; ln(1+x) ~ x; e
x
-1~ x…
x
α
.|lnx| → 0 (khi x → 0)
2.5 Các ví dụ:
Xét sự hội tụ của các tích phân:

1
3
sin
0
ln(1)
1
x
xdx
e
+
−
∫

2.6 Trường hợp f(x) có dấu tùy ý:
Định lý: Nếu
()
b
a
fxdx
∫
hội tụ thì tích phân
()
b
a
fxdx
∫
hội tụ
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM

Bài tập:
1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân:
1.
1
ln(1)
x
dx
x
+∞
+
∫
2.
1
2
1cos
dx
x
+∞

−


∫
3.
2
3
1

1
x
dx
x
+∞
+
∫

4.
2
42
0
1
xdx
xx
+∞
−+
∫
HT 5.
0
arctgxdx
x
α
+∞
∫
6.
22
22
0
ab

xx
eedx
+∞
−−

−


∫
HT
7.
2
34
1
sin3
1
xdx
x
+∞
+
∫
HT 8.
3
1
sin
xdx
xx
+∞
+
∫

HT 9.
35
0
2
xdx
x
+∞
+
∫
HT
10.
2
0
1
1
xdx
xx
+∞
+
++
∫
HT 11.
1
11
sin
dx
x
x
+∞




∫
12.
2
0
cos5cos7
xx
dx
x
+∞
−
∫
HT

3. Khảo sát sự hội tụ của tích phân:
1.
3
1
0
1
x
dx
e
−
∫
2.
1
sin
0

1
x
xdx
e
−
∫
3.
1
0
cos
x
dx
ex
−
∫

4.
2
0
ln(sin)
xdx
π
∫
HT 5.
1
32
0
ln(1)
.sin
xdx

xx
+
∫
HT 6.
2
32
1
(2)
34
xdx
xx
−
−+
∫
PK
7.
2
0
sin
x
dx
x
π
∫
HT 8.
()
1
3
0
xx

dx
xee
−
−
∫
HT 9.
1
53
0
4
2
arctgxdx
xx
+
∫
HT