Tài liệu Bài giảng tuyến tính pptx

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 1
TOÁN CAO CẤP A 3 ðẠI HỌC
Tài liệu tham khảo:
1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – Nguyễn Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – ðỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBðHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – NXB Giáo dục.
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – Nguyễn ðình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục.
7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê ðình Thịnh – NXB KH và Kỹ thuật.
8. Bài tập Giải tích (tập 2) – Nguyễn Thủy Thanh – NXB Giáo dục.

Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. ðịnh nghĩa
• Cho
2
D ⊂ ℝ
. Tương ứng
:f D → ℝ
,

( , ) ( , )x y z f x y=֏

duy nh
ấ
t,
ñượ
c g

ọ
i là hàm s
ố
2 bi
ế
n x và y.
• T
ậ
p D
ñượ
c g
ọ
i là MX
ð
c
ủ
a hàm s
ố
và
{ }
( ) ( , ), ( , )f D z z f x y x y D= ∈ = ∀ ∈ℝ
là mi
ề
n giá tr
ị
.

– N
ế
u M(x, y) thì D là t

ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ
sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là t
ậ
p liên thông. (T
ậ
p liên thông D
là t
ồ
n t
ạ
i
ñườ
ng cong n
ố
i 2
ñ

i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
trong D n
ằ
m hoàn
toàn trong D).



Hình a

Hình b

– N
ế
u M(x, y) thì D là t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M trong
2
ℝ

sao cho
f(M) có ngh
ĩ
a, th
ườ
ng là mi
ề
n liên thông (n
ế
u M, N thu
ộ
c
mi
ề
n D mà t
ồ
n t
ạ
i 1
ñườ
ng n
ố
i M v
ớ
i N n
ằ
m hoàn toàn
trong D thì D là liên thông-Hình a)).

– Tr
ừ
tr
ườ
ng h
ợ
p
2
D = ℝ
, D th
ườ
ng
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i 1
ñườ
ng cong kín
D∂
(biên) ho
ặ
c không. Mi
ề
n liên thông D
là
ñơ

n liên n
ế
u D
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i 1
ñườ
ng cong kín (Hình
a);
ñ
a liên n
ế
u
ñượ
c gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i nhi
ề
u
ñườ
ng cong kín r

ờ
i
nhau t
ừ
ng
ñ
ôi m
ộ
t (Hình b).
– D là mi
ề
n
ñ
óng n
ế
u
M D M D∈∂ ⇒ ∈
, mi
ề
n m
ở

n
ế
u
M D M D∈∂ ⇒ ∉
.
Chú ý
• Khi cho hàm s
ố

f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi
ể
u
MX
ð
D là t
ậ
p t
ấ
t c
ả
(x, y) sao cho f(x, y) có ngh
ĩ
a.
• Hàm s
ố
n bi
ế
n f(x
1
, x
2
,…, x
n
)
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ

a t
ươ
ng t
ự
.

VD 1.

Hàm s
ố
z = f(x, y) = x
3
y + 2xy
2
– 1 xác
ñị
nh trên
2
ℝ
.
VD 2.
Hàm s
ố

2 2
( , ) 4z f x y x y= = − −
có MX
ð
là hình
tròn

ñ
óng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 3.
Hàm s
ố

2 2
( , ) ln(4 )z f x y x y= = − −
có MX
ð
là
hình tròn m
ở
tâm O(0; 0), bán kính R = 2.

VD 4.
Hàm s
ố

( , ) ln(2 3)z f x y x y= = + −
có MX
ð
là n
ử
a
mp m
ở
biên d: 2x + y – 3 không ch
ứ

a O(0; 0).


1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục
• Dãy
ñ
i
ể
m M
n
(x
n
; y
n
) d
ầ
n
ñế
n
ñ
i
ể
m M
0
(x
0
; y
0
) trong
2

ℝ
,
ký hi
ệ
u
0n
M M→
hay
0 0
( ; ) ( ; )
n n
x y x y→
, khi
n → +∞

n
ế
u
( )
2 2
0 0 0
lim , lim ( ) ( ) 0
n n n
n n
d M M x x y y
→∞ →∞
= − + − =
.

• Cho hàm s

ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong mi
ề
n D (có th
ể
không
ch
ứ
a M
0
), ta nói L là gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a f(x, y) khi
ñ
i
ể
m M(x, y)
d
ầ
n
ñế
n M
0
n

ế
u m
ọ
i dãy
ñ
i
ể
m M
n
(M
n
khác M
0
) thu
ộ
c D
d
ầ
n
ñế
n M
0
thì
lim ( , )
n n
n
f x y L
→∞
=
.

Ký hi
ệ
u:
0 0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( )
x y x y M M
f x y f M L
→ →
= =
.

Nhận xét

• N
ế
u khi
0n
M M→
trên 2
ñườ
ng khác nhau mà dãy
{f(x
n
, y
n
)} có hai gi
ớ
i h
ạ

n khác nhau thì
0
lim ( )
M M
f M
→
∃
.

VD 5.
Cho
2
2
2 3 1
( , )
3
x y x
f x y
xy
− −
=
+
, tính
( , ) (1, 1)
lim ( , )
x y
f x y
→ −
.

VD 6.
Cho
2 2
( , )
xy
f x y
x y
=
+
, tính
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
.




VD 7.
Cho hàm s
ố

2 2
3
( , )
xy
f x y
x y

=
+
.
Ch
ứ
ng t
ỏ

( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
f x y
→
không t
ồ
n t
ạ
i.

• Hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong D ch
ứ
a M
0
, ta nói f(x, y)
liên t
ụ

c t
ạ
i M
0
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
0 0
( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y
→
và
0 0
0 0
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y x y
f x y f x y
→
=
.

• Hàm s
ố

f(x, y) liên t
ụ
c trong D n
ế
u liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m
M thu
ộ
c D. Hàm s
ố
f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n
ñ
óng gi
ớ
i n
ộ
i

D thì
ñạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t và nh
ỏ
nh
ấ
t trong D.

VD 8.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
:
2 2
, ( , ) (0,0)
( , )
0, ( , ) (0,0)
xy
x y
x y
f x y

x y

≠

+
=


=

.
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 2


§2. ðẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN

2.1. ðạo hàm riêng
a) ðạo hàm riêng cấp 1

• Cho hàm số f(x, y) xác ñịnh trên D chứa M
0
(x
0
, y
0
). Nếu
hàm số 1 biến f(x, y
0
) (y

0
là hằng số) có ñạo hàm tại x = x
0

thì ta gọi ñạo hàm ñó là ñạo hàm riêng theo biến x của f(x,
y) tại (x
0
, y
0
).
Ký hiệu:
0 0
( , )
x
f x y
hay
/
0 0
( , )
x
f x y hay
0 0
( , )
f
x y
x
∂
∂
.
Vậy

/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
x
x
f x x y f x y
f x y
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
• Tương tự ta có ñạo hàm riêng theo y tại (x
0
, y
0
) là:
/
0 0 0 0
0 0
0
( , ) ( , )
( , ) lim
y
y
f x y y f x y

f x y
y
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.
VD 1. Tính các ñạo hàm riêng của z = x
4
– 3x
3
y
2
+ 2y
3
–
3xy tại (–1; 2).
VD 2. Tính các ñạo hàm riêng của f(x, y) = x
y
(x > 0).
VD 3. Tính các ñạo hàm riêng của
cos
x
z
y
=
tại
( ; 4)
π
.

• Vớ
i hàm n bi
ế
n ta có
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.
VD 4.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ủ
a
2
( , , ) sin
x y
f x y z e z=
.


b) ðạo hàm riêng cấp cao
• Các hàm s
ố
f
x

, f
y
có các
ñạ
o hàm riêng (f
x
)
x
, (f
y
)
y
, (f
x
)
y
,
(f
y
)
x

ñượ
c g
ọ
i là các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c

ủ
a f.
Ký hi
ệ
u:
( )
2
2
//
2
x xx
x
x
f f
f f f
x x x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
2
//
2
y yy
y

y
f f
f f f
y y y
 ∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
x xy xy
y
f f
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂
 
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
,
( )
2
//
y yx yx
x

f f
f f f
x y x y
 ∂ ∂ ∂
= = = =
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
.

VD 5.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a
3 2 3 4y
z x e x y y
= + −
t
ạ
i
( 1; 1)−
.
VD 6.
Tính các
ñạ
o hàm riêng c

ấ
p hai c
ủ
a
2
( , )
x y
f x y xe
−
=
.

• Các
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai c
ủ
a hàm n bi
ế
n và
ñạ
o hàm
riêng c
ấ
p cao h
ơ
n
ñượ
c

ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
.

ðịnh lý (Schwarz)

• N
ế
u hàm s
ố
f(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng f
xy
và f
yx
liên t
ụ
c
trong mi
ề
n D thì f
xy
= f
yx

.



2.2. Vi phân
a) Vi phân cấp 1
• Cho hàm s
ố
f(x, y) xác
ñị
nh trong
2
D ⊂ ℝ
và
0 0 0
( , )
M x y D∈
,
0 0
( , )
M x x y y D+ ∆ + ∆ ∈
.
N
ế
u s
ố
gia
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ −

có
th
ể
bi
ể
u di
ễ
n d
ướ
i d
ạ
ng:
0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
,
trong
ñ
ó A, B là nh
ữ
ng s
ố
không ph
ụ
thu
ộ
c
, x y∆ ∆

và
, 0
α β
→
khi
( , ) (0,0)x y∆ ∆ →
, ta nói f kh
ả
vi t
ạ
i M
0
.
• Bi
ể
u th
ứ
c
. .A x B y∆ + ∆

ñượ
c g
ọ
i là vi phân c
ấ
p 1 (toàn
ph
ầ
n) c
ủ

a f(x, y) t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
, x y∆ ∆
.
Ký hi
ệ
u df(x
0
, y
0
).
• Hàm s
ố
f(x, y) kh
ả
vi trên mi
ề
n D n
ế

u f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i
m
ọ
i (x, y) thu
ộ
c D.

Nhận xét


• N
ế
u f(x, y) kh
ả
vi t
ạ
i M
0
thì f(x, y) liên t
ụ
c t
ạ
i M
0
.
• T

ừ

0 0
( , ) . .
f x y A x B y x y
α β
∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
, ta suy ra:
0 0 0 0
( , ) ( , ) .
f x x y f x y A x x
α
+ ∆ − = ∆ + ∆


0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x
f x x y f x y
A
x
∆ →
+ ∆ −
⇒ =
∆
,
t
ươ

ng t
ự

0 0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
y
f x y y f x y
B
y
∆ →
+ ∆ −
=
∆
.


V
ậ
y
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ). ( , ).
x y
df x y f x y x f x y y= ∆ + ∆
hay
/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) ( , ) ( , )

x y
df x y f x y dx f x y dy= +
.
Tổng quát:

/ /
( , ) ( , ) ( , ) , ( , )
x y
df x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈
.
VD 7.

Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a
2 3 5x y
z x e xy y
−
= + −
t
ạ
i (–1; 1).
VD 8.
Tính vi phân c
ấ
p 1 c
ủ
a

2
2
( , ) sin( )
x y
f x y e xy
−
=
.

ðịnh lý
• N
ế
u hàm s
ố
f(x, y) có các
ñạ
o hàm riêng liên t
ụ
c t
ạ
i M
0

trong mi
ề
n D ch
ứ
a M
0
thì f(x, y) kh

ả
vi t
ạ
i M
0
.


b) Vi phân cấp cao

• Vi phân c
ấ
p 2:
( )
2 2
2
// 2 // // 2
( , ) ( , )
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
d f x y d df x y
f x y dx f x y dxdy f x y dy
=
= + +
.

• Vi phân c
ấ
p n:

( )
1 ( )
0
( , ) ( , ) ( , )
k n k
n
n n k n k n k
n
x y
k
d f x y d df x y C f x y dx dy
−
− −
=
= =
∑
.





ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 3


VD 9. Tính vi phân cấp 2 của
2 3 2 3 5
( , ) 3f x y x y xy x y= + −
tại (2; –1).

VD 10. Tính vi phân cấp 2 của
2
( , ) ln( )f x y xy= .

c) Ứng dụng vi phân cấp 1 vào tính gần ñúng giá trị hàm
số

0 0
/ /
0 0 0 0 0 0
( , )
( , ) ( , ). ( , ).
x y
f x x y y
f x y f x y x f x y y
+ ∆ + ∆ ≈
≈ + ∆ + ∆
.
VD 11. Tính gần ñúng
1,02
0,97
arctg
.

2.3. ðạo hàm của hàm số hợp
• Cho hàm số f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là những
hàm số của x. Nếu f(u, v) khả vi của u, v và u(x), v(x) khả
vi của x thì
/ /
. .

u v
df du dv
f f
dx dx dx
= +
. Với
, ,
df du dv
dx dx dx
là các
ñạo hàm toàn phần theo x.
• Nếu hàm số f(x, y) khả vi của x, y và y = y(x) là hàm số
khả vi của x thì
/ /
.
x y
df dy
f f
dx dx
= +
.
VD 12. Cho
2 2
2 , , sin
x
z u uv v u e v x
−
= − + = =
. Tính
dz

dx
.
VD 13. Cho
2 2 2
( , ) ln( ), sinf x y x y y x= + =
. Tính
df
dx
.


2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn
• Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*).
Nếu y = y(x) là hàm số xác ñịnh trong 1 khoảng nào ñó sao
cho khi thế y(x) vào (*) ta ñược ñồng nhất thức thì y = y(x)
là hàm số ẩn xác ñịnh bởi (*).

VD 14.
Xác ñịnh hàm số ẩn y(x) trong phương trình x
2
+ y
2
– 4 = 0.
• ðạo hàm hai vế (*) theo x, ta ñược:
/
/ / /
/
( , )
( , ) ( , ). 0 , ( , ) 0
( , )

x
x y y
y
F x y
F x y F x y y y F x y
F x y
′ ′
+ =
⇒
= − ≠
.
VD 15. Cho
0
x y
xy e e− + =
. Tính
y
′
.
VD 16. Cho
3 2 4
( 1) 0y x y x+ + + =
. Tính
y
′
.

VD 17. Cho
2 2
ln

y
x y arctg
x
+ =
. Tính
y
′
.
• Cho hàm số ẩn hai biến z = f(x, y) xác ñịnh bởi
F(x, y, z)) = 0, với
/
( , , ) 0
z
F x y z ≠
ta có:
/ / /
/
/
/
/ / /
/
/
/
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) ,
( , , )
( , , ) ( , , ). ( , ) 0
( , , )
( , ) .

( , , )
x z x
x
x
z
y z y
y
y
z
F x y z F x y z z x y
F x y z
z x y
F x y z
F x y z F x y z z x y
F x y z
z x y
F x y z
• + =
⇒ = −
• + =
⇒ = −

VD 18. Cho
cos( )xyz x y z= + +
. Tính
/ /
,
x y
z z
.

§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ
3.1. ðịnh nghĩa
• Hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
(
ñị
a ph
ươ
ng) t
ạ
i
ñ
i
ể
m
M
0
(x
0
; y
0
) n
ế

u v
ớ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m M(x, y) khá g
ầ
n nh
ư
ng khác
M
0
thì hi
ệ
u f(M) – f(M
0
) có d
ấ
u không
ñổ
i.
• N
ế
u f(M) – f(M
0
) > 0 thì f(M
0

) là c
ự
c ti
ể
u và M
0
là
ñ
i
ể
m
c
ự
c ti
ể
u; f(M) – f(M
0
) < 0 thì f(M
0
) là c
ự
c
ñạ
i và M
0
là
ñ
i
ể
m

c
ự
c
ñạ
i. C
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u g
ọ
i chung là c
ự
c tr
ị
.
VD 1.
Hàm s
ố
f(x, y) = x
2
+ y
2
– xy
ñạ
t c
ự

c ti
ể
u t
ạ
i O(0; 0).

3.2. ðịnh lý
a) ðiều kiện cần

• N
ế
u hàm s
ố
z = f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i M
0
(x
0
, y
0
) và t
ạ
i

ñ
ó
hàm s
ố
có
ñạ
o hàm riêng thì:

/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y= =
.

Chú ý.

ð
i
ể
m M
0
th
ỏ
a
/ /
0 0 0 0
( , ) ( , ) 0
x y
f x y f x y= =

ñượ
c g
ọ
i
là
ñ
i
ể
m d
ừ
ng, có th
ể
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a z.
b) ðiều kiện ñủ.
Gi
ả
s
ử
f(x, y) có

ñ
i
ể
m d
ừ
ng là M
0
và có
ñạ
o hàm riêng c
ấ
p hai t
ạ
i lân c
ậ
n
ñ
i
ể
m M
0
.
ðặ
t
2 2
// // //
0 0 0 0 0 0
( , ), ( , ), ( , )
xy
x y

A f x y B f x y C f x y= = =
.
Khi
ñ
ó:
+ N
ế
u AC – B
2
> 0 và A > 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0
;
AC – B
2
> 0 và A < 0 thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0
.
+ N
ế
u AC – B
2
< 0 thì hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
(
ñ
i
ể
m M

0

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
i
ể
m yên ng
ự
a).
+ N
ế
u AC – B
2
= 0 thì ch
ư
a th
ể
k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị

hay không (dùng
ñị
nh ngh
ĩ
a
ñể
xét).


3.3. Cực trị tự do

Cho hàm s
ố
z = f(x, y).
ðể
tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a f(x, y) trên MX
ð

D, ta th
ự
c hi
ệ
n các b

ướ
c sau:
B
ướ
c 1. Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
) b
ằ
ng cách gi
ả
i h
ệ
:
/
0 0
/
0 0
( , ) 0
( , ) 0
x

y
f x y
f x y

=


=


.
B
ướ
c 2. Tính
2
// //
0 0 0 0
( , ), ( , )
xy
x
A f x y B f x y= =
,

2
// 2
0 0
( , )
y
C f x y AC B=
⇒

∆ = −
.
B
ướ
c 3.
+ N
ế
u
∆
> 0 và A > 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
M
0
và c
ự
c ti
ể

u là f(M
0
);
+ N
ế
u
∆
> 0 và A < 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i
M
0
và c
ự
c
ñạ
i là f(M
0

).
+ N
ế
u
∆
< 0 thì k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
không
ñạ
t c
ự
c tr
ị
.
+ N
ế
u
∆
= 0 thì không th
ể
k
ế
t lu
ậ
n (trong ch
ươ

ng trình h
ạ
n
ch
ế
lo
ạ
i này).

VD 2.

Tìm
ñ
i
ể
m d
ừ
ng c
ủ
a hàm s
ố
z = xy(1 – x – y).

VD 3.

Tìm c
ự
c tr
ị
c

ủ
a hàm s
ố
z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8.

VD 4.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = x
3
+ y
3
– 3xy – 2.

VD 5.

Tìm c
ự
c tr

ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = 3x
2
y + y
3
– 3x
2
– 3y
2
+ 2.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 4


3.4. Cực trị có ñiều kiện
• Cho hàm số z = f(x, y) xác ñịnh trên lân cận của ñiểm
M
0
(x
0
; y
0
) thuộc ñường cong
( , ) 0x y
ϕ

=
. N
ế
u t
ạ
i
ñ
i
ể
m M
0

hàm s
ố
f(x, y)
ñạ
t c
ự
c tr
ị
thì ta nói
ñ
i
ể
m M
0
là
ñ
i
ể

m c
ự
c tr
ị

c
ủ
a f(x, y) v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
( , ) 0x y
ϕ
=
.
•
ðể
tìm c
ự
c tr
ị
có
ñ
i
ề

u ki
ệ
n c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) ta dùng
phương pháp khử
ho
ặ
c
nhân tử Lagrange
.

Phương pháp khử

T
ừ
ph
ươ
ng trình
( , ) 0
x y
ϕ
=
, ta rút x ho
ặ
c y th
ế
vào f(x, y)

và tìm c
ự
c tr
ị
hàm 1 bi
ế
n.
VD 6.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = x
2
+ y
2
– xy + x + y
v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x + y + 3 = 0.

VD 7.
Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
f(x, y) = xy v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
2x + 3y – 5 = 0.

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1
. L
ậ
p hàm Lagrange:
( , , ) ( , ) ( , )
L x y f x y x y
λ λϕ

= +
,
λ
là nhân t
ử
Lagrange.

Bước 2.
Gi
ả
i h
ệ
:
'
'
'
0
0
0
x
y
L
L
L
λ

=

= ⇒



=


ñ
i
ể
m d
ừ
ng M
0
(x
0
; y
0
)
ứ
ng v
ớ
i
λ
0
.


Bước 3

Tính
2
0 0

( , )d L x y

2 2
'' 2 '' '' 2
0 0 0 0 0 0
( , ) 2 ( , ) ( , )
xy
x y
L x y dx L x y dxdy L x y dy= + +
.

ðiều kiện ràng buộc:

/ /
0 0 0 0 0 0
( , ) 0 ( , ) ( , ) 0
x y
d x y x y dx x y dy
ϕ ϕ ϕ
= ⇒ + =
(1)
và
(dx)
2
+ (dy)
2
> 0 (2).

Bước 4
T

ừ

ñ
i
ề
u ki
ệ
n (1) và (2), ta có:
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0d L x y
>
thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i M
0
.
+ N
ế

u
2
0 0
( , ) 0d L x y
<
thì hàm s
ố

ñạ
t c
ự
c
ñạ
i t
ạ
i M
0
.
+ N
ế
u
2
0 0
( , ) 0d L x y
=
thì
ñ
i
ể
m M

0
không là
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

VD 9.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = 2x + y v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n x

2
+ y
2
= 5.
VD 10.

Tìm c
ự
c tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
z = xy v
ớ
i
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2
1
8 2
x y
+ =
.

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI (KÉP)

1.1. Bài toán mở ñầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm s
ố
z = f(x, y) liên t
ụ
c, không âm và m
ộ
t m
ặ
t tr
ụ

có các
ñườ
ng sinh song song Oz,
ñ
áy là mi
ề
n ph
ẳ
ng
ñ
óng D
trong Oxy.
ðể

tính th
ể
tích kh
ố
i tr
ụ
, ta chia mi
ề
n D thành n ph
ầ
n không
d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m
ỗ
i ph
ầ
n là
∆
S
i
(i=1,2,…,n). Nh
ư

v
ậ
y kh
ố

i tr
ụ
cong
ñượ
c chia thành n kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
. Trong
m
ỗ
i
∆
S
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Ta có th

ể
tích
∆
V
i
c
ủ
a
kh
ố
i tr
ụ
nh
ỏ
là:
1
( ; ) ( , )
n
i i i i i i i
i
V f x y S V f x y S
=
∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆
∑
.


G
ọ
i

{ }
max ( , ) ,
i i
d d A B A B S= ∈∆
là
ñường kính
c
ủ
a
i
S∆
.
Ta có:
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
V f x y S
→
=
= ∆
∑
.


1.2. ðịnh nghĩa

• Cho hàm s
ố
z = f(x, y) xác
ñị
nh trên mi
ề
n
ñ
óng gi
ớ
i n
ộ
i,
ñ
o
ñượ
c D trong Oxy. Chia mi
ề
n D m
ộ
t cách tùy ý thành n
ph
ầ
n không d
ẫ
m lên nhau, di
ệ
n tích m

ỗ
i ph
ầ
n là
∆
S
i

(i=1,2,…,n). Trong m
ỗ
i
∆
S
i
ta l
ấ
y
ñ
i
ể
m M
i
(x
i
; y
i
) tùy ý. Khi
ñ
ó
1

( , )
n
n i i i
i
I f x y S
=
= ∆
∑
ñượ
c g
ọ
i là
tổng tích phân
c
ủ
a hàm
f(x, y) trên D (
ứ
ng v
ớ
i phân ho
ạ
ch
∆
S
i
và các
ñ
i
ể

m M
i
).
N
ế
u
max 0
1
lim ( , )
i
n
i i i
d
i
I f x y S
→
=
= ∆
∑
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n, không ph
ụ

thu
ộ
c vào phân ho
ạ
ch
∆
S
i
và cách ch
ọ
n
ñ
i
ể
m M
i
thì s
ố
I
ñượ
c g
ọ
i là
tích phân bội hai
c
ủ
a f(x, y) trên D.

Ký hi
ệ

u
( , )
D
I f x y dS=
∫∫
.
ðịnh lý.
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trong mi
ề
n b
ị
ch
ặ
n,
ñ
óng D thì
kh
ả
tích trong D.
• N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i tích phân, ta nói f(x, y) kh
ả
tích; f(x, y) là hàm

d
ướ
i d
ấ
u tích phân; x, y là các bi
ế
n tích phân.

Chú ý
1) N
ế
u chia D b
ở
i các
ñườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c
t
ọ
a
ñộ
thì
∆
S
i

=
∆
x
i
.
∆
y
i
hay dS = dxdy.
V
ậ
y
( , ) ( , )
D D
I f x y dS f x y dxdy= =
∫∫ ∫∫
.
2)
( , ) ( , )
D D
f x y dxdy f u v dudv=
∫∫ ∫∫
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 5


Nhận xét
1)

( )
D
dxdy S D=
∫∫
(diện tích miền D).
2) f(x, y) > 0, liên tục ∀(x, y) ∈ D thì
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
là thể
tích hình trụ có các ñường sinh song song với Oz, hai ñáy
giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = f(x, y).
1.3. Tính chất của tích phân kép
• Tính chất 1. Hàm số f(x, y) liên tục trên D thì f(x, y) khả
tích trên D.
• Tính chất 2. Tính tuyến tính:

[ ( , ) ( , )]
D D D
f x y g x y dxdy fdxdy gdxdy± = ±
∫∫ ∫∫ ∫∫
;

( , ) ( , ) ,
D D
kf x y dxdy k f x y dxdy k= ∈
∫∫ ∫∫
ℝ
.

• Tính chất 3



Nếu chia D thành D
1
và D
2
bởi ñường cong có diện tích
bằng 0 thì:

1 2
( , ) ( , ) ( , )
D D D
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +
∫∫ ∫∫ ∫∫
.


1.4. Phương pháp tính tích phân kép

1.4.1. ðưa về tích phân lặp
ðịnh lý (Fubini)
• Giả sử tích phân
( , )
D
f x y dxdy
∫∫
tồn tại, với

1 2
{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤
và với mỗi
[ , ]x a b∈
cố ñịnh
2
1
( )
( )
( , )
y x
y x
f x y dy
∫
tồn tại thì:
2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
y x y x
b b
D a y x a y x
f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.

Tương tự,
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:

2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , )
x y x y
d d
D c x y c x y
f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
.

Chú ý
1) Khi
{( , ) : , } [ , ] [ , ]D x y a x b c y d a b c d= ≤ ≤ ≤ ≤ = ×

(hình chữ
nh

ậ
t) thì:
( , ) ( , ) ( , )
b d d b
D a c c a
f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx= =
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(hoán v
ị
c
ậ
n).



2)
1 2
{( , ) : , ( ) ( )}D x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤
và
f(x, y) = u(x).v(y) thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )
y x
b
D a y x
f x y dxdy u x dx v y dy

=
∫∫ ∫ ∫
.

T
ươ
ng t
ự
,
1 2
{( , ) : ( ) ( ), }D x y x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
thì:
2
1
( )
( )
( , ) ( ) ( )
x y
d
D c x y
f x y dxdy v y dy u x dx
=
∫∫ ∫ ∫
.
3) N
ế
u D là mi
ề
n ph

ứ
c t
ạ
p thì ta chia D ra thành nh
ữ
ng
mi
ề
n
ñơ
n gi
ả
n nh
ư
trên.

VD 1.
Xác
ñị
nh c
ậ
n
ở
tích phân l
ặ
p khi tính tích phân
( , )
D
I f x y dxdy
=

∫∫
trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau:

1) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x và x = a.
2) D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
ñườ
ng y = 0, y = x
2
và x + y = 2.

VD 2.

Tính
D
I xydxdy
=
∫∫
v
ớ
i D gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i y = x – 4, y
2
= 2x.



ðổi thứ tự lấy tích phân

2
1
( )
( )
( , )
y x
b
a y x
I dx f x y dy

=
∫ ∫



2
1
( )
( )
( , )
x y
d
c x y
I dy f x y dx
=
∫ ∫



ThS. on Vng Nguyờn Slide bi ging Toỏn A3DH
Trang 6



VD 3. i th t ly tớch phõn trong cỏc tớch phõn sau:

1)
2
1 2
0

( , )
x
x
I dx f x y dy

=

;
2)
2
3
1 0
( , )
y
I dy f x y dx=

;
3)
2 2
1 3 1
0 1
9 9
( , ) ( , )
x
x x
I dx f x y dy dx f x y dy= +

.

1.4.2. Phng phỏp ủi bin
a) Cụng thc ủi bin tng quỏt
nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) l hai hm s cú cỏc
ủo hm riờng liờn tc trờn min ủúng gii ni D
uv
trong mp
Ouv. Gi {( , ) : ( , ), ( , ),( , ) }
xy uv
D x y x x u v y y u v u v D= = = .
Nu hm f(x, y) kh tớch trờn D
xy
v ủnh thc Jacobi
( , )
0
( , )
x y
J
u v

=

trong D
uv
thỡ:
( , ) ( ( , ), ( , ))
xy uv
D D
f x y dxdy f x u v y u v J dudv=

.

Trong ủú:
/ /
/ /
/ /
/ /
( , ) 1 1
( , )
( , )
( , )
u v
x y
u v
x y
x x
x y
J
u v
u v
u u
y y
x y
v v

= = = =



.

VD 4. Cho min D
uv
l hỡnh tam giỏc O(0;0), A(2;0), B(0;2)
trong mpOuv. Gi min D
xy
l nh ca D
uv
qua phộp bin
hỡnh g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u
2
v).
Tớnh tớch phõn ca hm
1
( , )
1 4 4
f x y
x y
=
+ +
trờn min
bin hỡnh D
xy
= g(D
uv
).
VD 5. Cho min D
uv
l phn t hỡnh trũn ủn v trong
mpOuv. Gi min D
xy

l nh ca D
uv
qua phộp bin hỡnh
g: (x, y) = g(u, v) = (u
2
v
2
, 2uv). Tớnh tớch phõn ca hm
2 2
1
( , )f x y
x y
=
+
trờn min bin hỡnh D
xy
.
VD 6. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi bn Parapol:
y = x
2
, y = 2x
2
, x = y
2
v x = 3y
2
.

b) i bin trong ta ủ cc

i bin:
cos
sin
x r
y r


=


=

, vi
0, 0 2r



ho

c


.


Khi
ủ
ú, mi

n D
xy
tr

thnh:
1 2 1 2
{( , ) : , ( ) ( )}
r
D r r r r


=

v
/ /
/ /
cos sin
( , )
sin cos
( , )
r
r
x x r
x y
J r
y y
r
r

= = = =

.

V

y ta cú:

2 2
1 1
( )
( )
( , ) ( cos , sin )
( cos , sin )
xy r
D D
r
r
f x y dxdy f r r rdrd
d f r r rdr

=
=


.

Chỳ ý

1)

i bi

n trong t

a
ủ
c

c th

ng dựng khi biờn D l
ủ
ng trũn ho

c elip.
2)

tỡm
1 2
( ), ( )r r

ta thay
cos
sin
x r
y r


=


=

vo ph

ng
trỡnh c

a biờn D.
3) N

u c

c O n

m trong D v m

i tia t

O c

t biờn D khụng
quỏ 1
ủ
i

m thỡ:
( )
2
0 0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr




=

.



4) N

u c

c O n

m trờn biờn D thỡ:
2
1
( )
0
( cos , sin ) ( cos , sin )
r
r
D
f r r rdrd d f r r rdr





=

.
5) N

u biờn D l elip thỡ
ủ
t:
cos
{( , ): 0 2 , 0 1}
sin
r
x ra
D r r

y r b




=


=

=

.
VD 7.
Bi

u di

n tớch phõn
( , )
D
f x y dxdy

trong t

a
ủ
c

c.

Bi

t mi

n D l mi

n ph

ng n

m ngoi (C
1
): (x 1)
2
+ y
2
= 1
v n

m trong (C
2
): (x 2)
2
+ y
2
= 4.
VD 8.
Tớnh di

n tớch hỡnh ellip:

2 2
2 2
1
x y
a b
+
.

VD 9.
Tớnh tớch phõn
2 2
( )x y
D
I e dxdy
+
=

v

i D l hỡnh trũn
2 2 2
x y R+
.
VD 10.
Tớnh di

n tớch mi

n D gi

i h

n b

i:
y = x,
2 2 2 2
3 3x y x y x+ = +
v
0y
.

Cụng thc Walliss

2 2
0 0
( 1)!!
,
!!
sin cos
( 1)!!
. ,
2 !!
n n
n
n
n
xdx xdx
n
n

n






= =






leỷ
chaỹn
.

ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài giảng Toán A3DH
Trang 7

MỘT SỐ MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
• Trong không gian Oxyz, mặt bậc hai là tập hợp tất cả các
ñiểm M(x; y; z) có tọa ñộ thỏa phương trình:
Ax
2
+ 2Bxy + 2Cxz+ Dy
2
+ 2Eyz + Fz
2

+ 2Gx + 2Hy+ 2Kz
+ L = 0.
Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñồng thời bằng 0.
• Các dạng chính tắc của mặt bậc hai:
1)
2 2 2 2
x y z R+ + = (mặt cầu);
2)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
(mặt elipxoit);
3)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − =
(hyperboloit 1 tầng);
4)
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ − = −

(hyperboloit 2 tầng);

5)
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
(nón eliptic);
6)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
+ =
(parabolit eliptic);
7)
2 2
2 2
2
x y
z
a b
− =
(parabolit hyperbolic – yên ngựa);
8)
2 2

2 2
1
x y
a b
+ =
(mặt trụ eliptic);
9)
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
(mặt trụ hyperbolic);
10)
2
2
y px=
(mặt trụ parabolic).