Bài tập Chương 4 Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu

BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Phương pháp định giá dòng tiền chiết khấu
1. Lãi đơn so với lãi kép. First City Bank chi trả 8 phần lãi đơn cho số dư tiền tài khoản
tiết kiệm, trong khi Second City Bank trả 8 phần tram ghép lãi hàng năm. Nếu bạn gửi
tiết kiệm $5.000 vào mỗi ngân hàng,, bạn sẽ kiếm được bao nhiêu tiền từ tài khoản tiết
kiệm ở Second City Bank sau 10 năm nữa?
rFCB = 8% lãi đơn
rSCB = 8% lãi ghép
C0 = $5.000
T = 10 năm
Bài làm
Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
FVFCB = C0 + ( C0 × rFCB × T ) = $5.000 + ($5.000 × 8% × 10) = $9.000
FVSCB = C0 × ( 1+ rFCB )T = $5.000 × (1+8%)10 = 10.795
 Bạn sẽ kiếm thêm được 10.795 – 9.000 = $1.795
2. Tính giá trị tương lai. Hãy tính giá trị tương lai của $1.000 ghép lãi hàng năm cho:
a. 10 năm với lãi suất 5 phần trăm
b. 10 năm với lãi suất 10 phần trăm
c. 20 năm với lãi suất 5 phần trăm
d. Tại sao tiền lãi tiết kiệm được trong câu (c ) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu
(a)?
Bài làm
Giá trị tương lai của 1 khoản đầu tư :
FV = C0 × ( 1+ r )T
a. T = 10 năm , r = 5%
FV = $1.000 × (1+5%)10 = $1.628,89
b. T = 10 năm , r = 10%
FV = $1.000 × (1+10%)10 = $2.593,74
c. T = 20 năm , r = 5%

FV = $1.000 × (1+5%)20 = $2.653,30
d. Tiền lãi kiếm được trong câu (c) không gấp đôi số tiền kiếm được trong câu (a) vì phần
lãi trên lãi câu a và c khác nhau.
3. Tính giá trị hiện tại. Hãy tính giá trị hiện tại cho các giá trị bảng sau:
Giá trị hiện tại

Năm

Lãi suất

Giá trị tương lai

6

%7

$13.827

9

15

43.852

18

11

725.380

23

18

590.710

Bài làm
Giá trị hiện tại:
FV
( 1+ r )n
13.827
PV =
6 = $9.213,51
( 1+ 7% )

PV =


 PV =

43.852
= $12.465,48
( 1+ 15% )9

 PV =

725.380
18 = $110.854,15
( 1+ 11% )

 PV =

590.710
23 = $13.124,66
( 1+ 18% )

4. Tính lãi suất. Tìm lãi suất chưa biết trong các câu sau:
Giá trị hiện tại

Năm

Lãi suất

Giá trị tương lai

$ 242

4

$ 307

410

8

896

51.700

16

162.181


18.750

27

Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r )

n

r=(

FV 1n
) –1
PV



307 14
) – 1 =6,13%
242

r=(

 r=(

896 18
) – 1 = 10,27%
410

 r=(

162.181 16
) – 1 = 7,41%
51.700



483.500

1

483.500 127
) – 1 = 12,79%
r=(
18.750

5. Tính số kỳ hạn.
Giá trị hiện tại

Năm

Lãi suất

Giá trị tương lai

$ 625

9%

$ 1.284

810

11

4.341

18.400

17

402.662

21.500

8

173.439

Bài làm
Áp dụng cơng thức giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r ) n
 625 × (1 + 9%)n = 1.284
 n = 8,35

 810 × (1 + 11%)n = 4.341
 n = 16,09
 18.400 × (1 + 17%)n = 402.662
 n = 19,65
 21.500 × (1 + 8%)n = 173.439


 n = 27,13
6. Tính số kỳ hạn
Ở mức lãi suất 8%, bạn mất bao lâu để gấp đôi số tiền của mình? Để gấp 4 lần số tiền đó?
Bài làm
FV = PV (1 + r)n
 Thời gian để được gấp đôi số tiền
 FV = 2 = 1(1,08) n
 n = 9,01 năm
 Thời gian để được gấp 4 số tiền
 FV = 4 = 1(1,08) n
 n = 18,01 năm
7. Tính giá trị hiện tại
Imprudential Inc. có khoản nợ tiền hưu trí mà chưa trả (Unfunded pension liability) $630
triệu mà phải hoàn trả trong 20 năm nữa. Để đánh giá giá trị cổ phiếu của công ty ,
chuyên gia phân tích tài chính muốn chiết khấu khoản nợ này về hiện tại. Nếu lãi suất
chiết khấu là 7,1% giá trị hiện tại cuat khoản nợ này là bao nhiêu?
FV = $630
n = 20 năm
r = 7,1%
Giá trị hiện tại của khoản nợ này là bao nhiêu?
Bài làm
Giá trị hiện tại:
PV =

FV
n
( 1+ r )

=

630
20 = $159,79
(1 + 7,1%)

8. Tính tỷ suất sinh lợi.
Mặc dù hấp dẫn đối với những người có thị hiếu tinh tế, các tác phẩm nghệ thuật nổi
tiếng mà các nhà sưu tập truy tìm không phải lúc nào cũng mang lại lợi nhuận. Trong
năm 2010, Deutscher- Menzies đã bán Arkies under the Shower, một bức tranh của một
họa sỹ trứ danh người úc, Brett Whiteley tại một phiên đấu giá với giá $1.100.000. Thật


không may cho người chủ cũ, ông ta đã mua bức tranh này 3 năm trước đây với giá
$1.680.000. Tỷ suất sinh lợi hằng năm bức tranh này mang lại cho ông là bao nhiêu?
Bài làm
PV = $1.680.000
FV = $1.100.000
n = 3 năm
FV = PV (1 + r)n
 $1.100.000 = $1.680.000 (1 + r)3
 r = -13,17%
9. Dòng tiền đều vô hạn
Một nhà đầu tư mua một trái phiếu consol của Anh được quyền nhận thanh tốn hằng
năm từ chính phủ Anh cho đến mãi mãi. Giá của trái phiếu consol mà chi trả $150 mỗi

năm là bao nhiêu nếu kỳ thanh toán kế tiếp sẽ là 1 năm sau kể từ ngày hôm nay? Lãi suất
thị trường là 4,6%.
Bài làm
Hiện giá của dịng tiền đều vơ hạn
PV =

C 150
=
= $3.260,87
r
4,6%

10. Ghép lãi liên tục Hãy tính giá trị tương lai của $1.900 ghép lãi liên tục cho:
a. 7 năm với lãi suất công bố theo năm 12%
b. 5 năm với lãi suất công bố theo năm 10%
c. 12 năm với lãi suất công bố theo năm 5%
d. 10 năm với lãi suất công bố theo năm 7%
Bài làm
Giá trị tương lai ghép lãi liên tục:
FV = PV × e r×T
a. FV = 1.900 × e 12%×7 = 4.401
b. FV = 1.900 × e 10%×5 = 3.133
c. FV = 1.900 × e 5%×12 = 3.462
d. FV = 1.900 × e 7%×10 = 3.826


11. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Conoly Co. đã xác định 1 dự án đầu tư có dòng tiền sau đây. Nếu lãi suất chiết khấu là
10%, giá trị hiện tại của dòng tiền này là bao nhiêu? Giá trị hiện tại là bao nhiêu với mức
lãi suất 18%? 24%?

Năm

Dòng tiền

1

$960

2

840

3

935

4

1350

Bài làm

C1

PV = (1 + r) +

0

1

2

3

4

PV

$960

840

935

1350

C2
Cn
+…+
2
(1 + r)
(1 + r)n

 Lãi suất chiết khấu 10%
960

PV = (1+0.1) +

840
935

1.350
+
+
2
3
4 = $3.191,49
( 1+0.1 )
(1+0.1)
(1+0.1)

 Lãi suất chiết khấu 18%
960

PV = (1+0.18) +

840
935
1.350
+
+
2
3
4 = $2.682,22
( 1+0.18 )
(1+0.18)
(1+0.18)

 Lãi suất chiết khấu 24%
960

PV = (1+0.24) +

840
935
1.350
+
+
2
3
4 = $2.381,91
( 1+0.24 )
(1+0.24)
(1+0.24)

12. Giá trị hiện tại và dòng tiền nhiều kỳ
Dự án đầu tư X đề nghị trả cho bạn $4.500 một năm trong 9 năm, trong khi dự án đầu tư
Y đề nghị trả cho bạn $7.000 một năm trong 5 năm. Trong hai dịng tiền này, dịng tiền
nào có giá trị hiện tại cao hơn nếu lãi suất chiết khấu 5%? Nếu lãi suất chiết khấu 12%?
Bài làm
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

PV

$4.500 $4.500 $4.500 $4.500

$4.50

$4.500 $4.500 $4.500 $4.500


0
Y
0

1

2

3

4

5

PV
$7.000 $7.000 $7.000 $7.000 $7.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (

1 −( 1 + r )
r

−n

)

 Lãi suất chiết khấu 5%
−9

1 −( 1 + 5% )
X: PV = 4.500 × (
5%

) = $31.985,2

−5

1 −( 1 + 5% )
Y: PV = 7.000 × (
5%

) = $30.306,34

 Lãi suất chiết khấu 12%
−9

X: PV = 4.500 × (

1 −( 1 + 12% )
12%

Y: PV = 7.000 × (

1 −( 1 + 12% )−5
) = $16.221,49
12%

) = $23.977,12

13. Tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều.
Một dự án đầu tư đề nghị trả $5,900 một năm trong vòng 15 năm với kỳ thanh toán đầu
tiên bắt đầu từ năm sau. Nếu tỷ suất sinh sinh lợi đòi hỏi là 8%, giá trị của dự án đầu tư
này là bao nhiêu? Giá trị sẽ là bao nhiêu nếu các kỳ thanh toán sẽ kéo dài trong 40 năm?
75 năm? Mãi mãi.
Bài làm
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
PV = C × (

1 −( 1 + r )
r

−n

)

 PV15 năm = 4.900 ×

1 −(1+8%)−15
= $41.941,45
8%

 PV40 năm = 4.900 ×

1 −(1+8%)−40
= $58.430,6
8%




−75

1 − (1+8%)
PV75 năm = 4.900 ×
= $61.059,3
8%
C
4.900
PVmãi mãi = r = 8%
= $61.250


14. Tính giá trị dịng tiền của dịng tiền đều vô hạn.
The Perpetual Life Insurance Co. đang cố gắng bán cho bạn một chính sách đầu tư mà sẽ
trả cho bạn và hậu duệ của bạn $15.000 một năm cho đến vĩnh viễn. Nếu tỷ suất sinh lợi
đòi hỏi của chương trình đầu tư này là 5,2% bạn sẽ trả cho chính sách đầu tư này là bao
nhiêu? Gỉa sử Perpetual Life Insurance Co. cho bạn biết giá của chính sách này là
$320.000 . Ở mức lãi suất bao nhiêu thì chính sách đầu tư này mới là một thương vụ hợp
lý?
Bài làm
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:

PV =

C 15.000
=
= $288.461,5385
r
5,2%

 Nếu PV = $320.000
 320.000 =

15.000
r

 r = 4,69%
15. Tính EAR
Tìm EAR cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (ARP)

Số lần ghép lãi

7%

Hàng quý

16

Hàng tháng

11

Hàng ngày

12

Liên tục

Bài làm
m

Lãi suất công bố
) −1
EAR = ( 1 +
m

 Hàng quý
EAR = ( 1 +

4

7%
) −1 = 7,19%
4

 Hàng tháng

Lãi suất hiệu dụng (EAR)


EAR = ( 1 +

12

16%
) −1 = 17,23%
12

 Hàng ngày
EAR = ( 1 +

11% 365
) −1 = 11,63%
365

 Liên tục
EAR = e r – 1 = 12,75%
16. Tính APR Tìm APR hay lãi suất công bố cho các trường hợp sau:
Lãi suất công bố (APR)

Số lần ghép lãi

Lãi suất hiệu dụng (EAR)

Bán niên

9,8%

Hàng tháng

19,6

Hàng tuần

8,3

Liên tục

14,2

Bài làm
m

APR
) −1
m

EAR = ( 1 +

1

[

 APR = m ( 1 + EAR ) m −1

]

 Bán niên
1

[

]

APR = 2 ( 1 + 9,8% )2 −1 = 9,57%
 Hàng tháng

[

1

]

1

]

APR = 12 ( 1 + 9,8% )1 2 −1 = 18,03%
 Hàng tuần

[

APR = 52 ( 1 + 9,8% )5 2 −1 = 7,98%
 Liên tục
EAR = e APR – 1 = 14,2%
 APR= 13,28%


17. Tính EAR. First National Bank tính 11.2 phần trăm ghép lãi hàng tháng cho các
khoản vay của khách hàng doanh nghiệp. First United Bank tính 11.4 phần trăm ghép lãi
bán niên. Là một người có khả năng phải đi vay., bạn sẽ đến ngân hàng nào để vay tiền?

Bài làm
m

APR
) −1
EAR = ( 1 +
m

 First National Bank tính 11,2% ghép lãi hàng tháng:
 EAR = ( 1 +

11,2% 12
) −1 = 11,79%
12

 First United Bank tính 11,4% ghép lãi bán niên:
2

11,4%
) −1 = 11,72%
 EAR = ( 1 +
2

 Chọn ngân hàng First United Bank để vay tiền.
18. Lãi suất Một nhà báo tài chính nổi tiếng Andrew Tobias cho rằng ơng có thể kiếm
được 177 phần trăm một năm bằng cách mua rượu vang theo thùng. Cụ thể, ơng giả định
rằng ơng có thể uống mỗi tuần một chai Bordeaux hảo hạng giá $10 trong vòng 12 tuần
tới. Ơng có thể hoặc mỗi tuần trả $10 cho mỗi chai rượu hoặc ngay hôm sau mua một
thùng 12 chai. Nếu ông mua rượu theo thùng, ông sẽ được chiết khấu 10 phần trăm và
bằng cách như vậy, ông có thể kiếm được 177 phần trăm. Giả sử ơng mua rượu và tiêu

thụ chai đầu tiên vào hôm nay. Bạn có đồng ý với phân tích của ơng ấy khơng? Bạn có
thấy vấn đề gì với các con số của ơng ấy khơng?
Bài làm
Chi phí cho 1 thùng rượu được chiết khấu 10%
= 12 × $10 × (1 – 10%) = $108
0
1
2
…
12
$10
-$108

$10

$10

$10

$10

Hiện giá của dòng tiền đều đầu kỳ:
PVĐK = PV × ( 1 + r )
1 −( 1 + r )
=C×(
r

−n

)×(1+r)

$10

$10

$10

$10

$10


1 −( 1 + r )
 108 = 10 × (
r

−12

) ×(1+r)

 r = 1,98%/tuần
APR m
) −1 = ( 1 + 1,98% )52−1 = 177,2%
 EAR = ( 1 +
m

Vậy phân tích của ơng ấy dường như là chính xác.
19. Tính số kỳ. Một trong những khách hàng của bạn khơng trả khoản phải trả người bán
của mình. Các bạn đã đồng ý với nhau một biểu trả nợ $700 một tháng. Bạn sẽ tính lãi
1,3 phần trăm một tháng trên số dư nợ quá hạn. Nếu số dư hiện giờ là $21.500, phải mất

bao lâu để trả dứt khoản nợ này?
Bài làm
0
1
2
…
?
–$21.500

$700

$700

$700

$700

$700

$700

$700

$700

$700

Giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
−n

PV = C × (

1 −( 1 + r )
r

)

1 − ( 1 + 1,3% )
 $21.500 = 700 × (
1,3%

−n

)

 n = 39,46 tháng
20. Tính EAR. Friendly’s Quick Loans, Inc. đề nghi bạn “đổi ba lấy bốn, hoặc tôi sẽ gõ
cửa nhà bạn”. Nghĩa là bạn sẽ nhận được $3 ngay trong hơm nay và hồn trả $4 khi bạn
lĩnh lương trong vòng 1 tuần(hay khác). Tỷ suất sinh lợi hiệu dụng Friendly kiếm được
trong hoạt động cho vay này là bao nhiêu? Nếu bạn đủ dũng cảm đặt câu hỏi, APR mà
Friendly nói bạn phải trả là bao nhiêu?
Bài làm
0

1

$3

$4

FV = PV (1 + r)
 4 = 3 (1 + r)


 r = 33,33%/tuần
 APR = 33,33% × 52 = 17,3316%
EAR = ( 1 +

m

APR
) −1 = ( 1 + 33,33% )52−1 = 3.135.086,841%
m

21. Giá Trị Tương Lai Giá trị tương lai trong 6 năm nữa của $1.000 đầu tư vào một
tài khoản với lãi suất công bố theo năm 9 phần trăm
a. Ghép lãi hàng năm
b. Ghép lãi bán niên
c. Ghép lãi hàng tháng
d. Ghép lãi liên tục
e. Tại sao giá trị tương lai lại tăng khi mà kỳ ghép lãi ngắn hơn?
Bài làm
Giá trị tương lai:
FV = PV × (1 + r ) n
a. Ghép lãi hàng năm
FV = 1.000 × (1 + 9% ) 6 = $1.677,1
b. Ghép lãi bán niên
FV=$1,000× (1 +

9% 6×2

) = $1.695,88
2

c. Ghép lãi hàng tháng
FV=$1,000× (1 +

9% 6×12
) = $1.712,55
12

d. Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T = 1.000 × e 9%×6 = $1.716,01
22. Lãi Đơn So Với Lãi Kép First Simple Bank trả lãi đơn 5 phần trăm trên tài khoản
đầu tư vào ngân hàng này. Nếu First Complex Bank trả lãi cho tài khoản ở ngân hàng của
mình ghép lãi hàng năm, lãi suất ngân hàng này tính sẽ là bao nhiêu nếu họ muốn bằng
với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm?
Bài làm
Tổng tiền lãi mà First Simple Bank phải trả là lãi suất mỗi kỳ nhân với số chu kỳ. Nói
cách khác, tiền lãi của First Simple Bank đã trả trong 10 năm sẽ là 5%×10 = 0,5
FV = PV × (1 + r ) n


First Complex Bank trả lãi ghép lãi hàng năm nên tiền lãi mà ngân này trả sẽ là (1 + r ) n
Họ muốn bằng tiền lãi với First Simple Bank cho khoảng thời gian đầu tư là 10 năm
 0,5 = (1 + r ) n – 1
 r = 4,14%
23. Tính Dịng Tiền Đều Bạn đang lập kế hoạch tiết kiệm để nghỉ hưu trong 30 năm
nữa. Để thực hiện điều này, bạn sẽ phải đầu tư $800 một tháng vào tài khoản cổ phiếu
( stock account ) và $350 một tháng vào một tài khoản trái phiếu (bond account). Tỷ suất
sinh lợi của tài khoản cổ phiếu được kỳ vọng sẽ là 11 phần trăm và tài khoản trái phiếu sẽ

trả 6 phần trăm. Khi bạn nghỉ hưu, bạn sẽ gộp tiền của mình vào một tài khoản có lãi suất
8 phần trăm. Bạn có thế rút mỗi tháng bao nhiêu tiền từ tài khoản của mình giả sử cho
một kỳ rút tiền dài 25 năm?
Bài làm
0
1
2
…
360
Cổ phiếu

$800

$800

$800

$800

$800

Trái phiếu

$350

$350

$350

$350

$350

361

362

…

C
C
C
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
FV = C × (

C

660
C

( 1 + r ) n−1
)
r

 Giá trị tương lai của dòng tiền đầu tư vào cổ phiếu:
FVB

(
= 800 × (

360

11%
1+
12
11%
12

)

−1
) = $2.243.615,79

 Giá trị tương lai của dịng tiền đầu tư vào trái phiếu

(
FV = 350 × (
S

1+

6%
12
6%
12

360

)

−1
) = $351.580,26

 Tổng số tiền đưa vào tài khoản sau 30 năm = $2.243.615,79 + $351.580,26
= $2.595.196,05
 Số tiền hàng tháng có thể rút được với kỳ 25 năm :

C


(
2.595.196,05 = C × (

1+

8%
12
8%
12

300

)

−1
)

 C = $20.030,14
24. Tính Tỷ Suất Sinh Lời Giả sử một dự án đầu tư đề nghị trả gấp 4 lần số tiền bạn
đầu tư trong vịng 12 tháng ( đừng có tin). Lãi suất một quý bạn được đề nghị là bao

nhiêu?
Bài làm
FV = PV × (1 + r ) n
 4 = 1 × (1 + r ) 12/3
 r = 41, 42%
25. Tính Tỷ Suất Sinh Lời Bạn đang cố gắng chọn giữa hai dự án đầu tư, cả hai cùng
có chi phí ban đầu là $65.000. Dự án đầu tư G trả lại cho bạn là $125.000 sau 6 năm. Dự
án đầu tư H trả lại cho bạn $185.000 sau 10 năm. Dự án nào có tỷ suất sinh lời cao hơn?
Bài làm
C0 = $ 65.000
FVG = $125.000 TG = 6 năm
FVH = $185.000 TH = 10 năm
FVG = C0 × (1+ rG )T
 125.000 = $65.000 × (1+ rG) 6
 rG = 11,52%
FVH = C0 × (1+ rH )T
 185.000 = $65.000 × (1+ rH) 10
 rH = 11,03%
26. Dịng tiền đều tăng trưởng ổn định vô hạn.
Mark Weinstein đã và đang nghiên cứu một công nghệ cao trong phẫu thuật laser mắt.
Công nghệ của anh ấy sẽ xuất hiện trong thời gian ngắn nữa. Anh dự đốn rằng dịng tiền
đầu tiên từ công nghệ này sẽ là $175.000, sẽ nhận được hai năm nữa kể từ hơm nay.
Dịng tiền các năm sau đó sẽ tăng trưởng 3,5 phần trăm một năm cho đến vô hạn. Giá trị
hiện tại của công nghệ này là bao nhiêu nếu lãi suất chiết khấu là 10 phần trăm?
Bài làm


C = 175.000
r = 0,1
g = 0,035

C
r−g
175.000
=
= $2.692.307,69
10% − 3,5%

PV =

Phương trình tính giá trị hiện tại của dịng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi
thanh toán đầu tiên. Trong trường hợp này, kể từ lần đầu tiên thanh tốn trong hai năm,
tính giá trị hiện tại một năm kể từ bây giờ.
PV =

2.692.307,69
= $2.447.552,45
1
(1 + 10% )

27. Dịng tiền đều vơ hạn
Một ngân hàng đầu tư nổi tiếng đã thiết kế một chứng khoán mới trả cổ tức hàng quý
$4,50 cho đến vô hạn. Cổ tức đầu tiên sẽ được nhận sau 1 quý kể từ hơm nay. Giá chứng
khốn là bao nhiêu nếu lãi suất công bố hàng năm là 6,5 phần trăm, ghép lãi hàng quý?
Bài làm
Ta có: Lãi suất theo quý: = 6,5%/4 = 1,625%/quý
Giá chứng khoán là:
PV =

C 4,5
=

= $276.92
r
1,1625%

28. Giá trị hiện tại của dòng tiền đều
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều $6.500 một năm là bao nhiêu với dòng tiền đầu tiên
được nhận 3 năm nữa kể từ hơm nay và dịng tiền cuối cùng được nhận 25 năm nữa kể từ
hôm nay? Sử dụng lãi suất chiết khấu 7 phần trăm.
Bài làm
0
1
2
3
4
5
6
…
25
PV

$6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500 $6.500

Phương trình tính giá trị hiện tại của dịng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi
thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 23 kỳ thanh tốn.
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 2:


−n

1 −( 1 + r )

PV = C × (
r

)

=

−23

1 − ( 1 + 7% )
6.500 × (
7%

) = $73.269,22

Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh toán đầu tiên, hoặc năm 2. Vì vậy, giá trị của
dịng tiền ngày hôm nay là:
PV =

FV
73.269,22
n =
2 = $63.996,17
(1 + r )
(1 + 7% )

29. Giá trị hiện tại của dịng tiền đều Giá trị ngày hơm nay của một dòng tiền đều kỳ
hạn 15 năm chi trả $650 một năm là bao nhiêu? Nếu kỳ thanh toán đầu tiên diễn ra sau 6
năm kể từ hôm nay. Lãi suất hàng năm là 11 phần trăm cho giai đoạn từ năm 1 đến năm 5
và 13 phần trăm cho giai đoạn sau đó.

Bài làm
0
1
2
3
4
5
6
7
…
25
$650
$650
$650
$650
PV
Phương trình tính giá trị hiện tại của dòng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi
thanh tốn đầu tiên nên có tổng cộng 15kỳ thanh tốn.
Giá trị hiện tại của dịng tiền đều tại năm 5:
−n

1 −( 1 + r )
PV = C × (
r

)

=

−15

1 − ( 1 + 13% )
650 × (
13%

) = $4.200,55

Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh tốn đầu tiên, hoặc năm 5. Vì vậy, giá trị của
dịng tiền ngày hơm nay là:
PV =

FV
4.200,55
= $2.492,82
n =
(1 + r )
(1 + 13% )2

30. Thanh toán dồn một lần ( Balloon Payment)
Audrey Sanborn vừa sắp xếp vay nợ để mua một ngôi nhà nghỉ ở Bahamas với giá
$550.000 với điều kiện thanh toán trước ngay lập tức (down payment) 20 phần trăm.
Khoản vay cầm cố này có lãi suất công bố theo năm 6,1 phần trăm, ghép lãi hàng tháng,
và yêu cầu chi trả các khoản thanh toán hàng tháng bằng nhau trong vịng 30 năm tới.
Khoản thanh tốn đầu tiên cô phải trả sẽ đến hạn 1 tháng nữa kể từ hôm nay. Tuy nhiên,
khoản vay cầm cố này có một khoản thanh tốn dồn (balloon payment) trong 8 năm,
nghĩa là dư nợ của khoản vay phải được trả hết vào năm thứ 8. Khơng có chi phí giao
dịch hay chi phí tài trợ nào khác phát sinh. Khoản thanh toán dồn (balloon payment) của
Audrey vào năm thứ 8 là bao nhiêu?

Bài làm
Khoản nợ vay sau khi đã thanh toán trước 20%
= $550.000 × ( 1 – 20% )
= $440.000
0
1
2
…
$440.000

V

V

V

V

V

360
V

V

V

V

Số tiền cần thanh tốn hàng tháng:

PV = V × (

1 −( 1 + r )−n
)
r
6,1%
12
6,1%
12

(

1− 1+

440.000 = V × (

−(30 × 12)

)

)

 V = $2666,38
Sau năm thứ 8 ( 96 tháng ) vẫn còn một khoản nợ vay 264 tháng ( 360 – 96 = 264 tháng ).
Dư nợ của khoản vay phải được trả hết vào năm thứ 8 sẽ là giá trị hiện tại của các kỳ
thanh tốn cịn lại ( 264 tháng ).
96
…
360
PV

PV = V × (

$2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38 $2666,38
1 −( 1 + r )
r

−n

)

6,1%
1− 1+
12
= 2666,38 × (
6,1%
12

(

−(360−96)

)

)

= $386.944,5367
31. Tính Chi Phí Lãi Vay: Bạn nhận được một thư mời chào khách hàng mở tài khoản
thẻ tín dụng ( credit card application ) từ Shady Banks Savings and Loan với đề nghị lãi
suất ban đầu 2,4 phần tram một năm, ghép lãi hằng tháng cho 6 tháng đầu tiên, sau đó

tăng lên đến 18 phần tram ghép lãi tháng. Giả sử bạn chuyển số dư $7.500 từ thẻ tín dụng
hiện có của bạn và khơng thực hiện bất kỳ chi trả nào sau đó, tiền lãi mà bạn sẽ nợ vào
cuối năm thứ nhất là bao nhiêu?


Bài làm
6 tháng đầu:
FV = PV × (1 + r )
= 7500 × ( 1 + (
6 tháng sau:
FV = PV × (1 + r )

n
6

2,4%
) ) = $7590,45
12
n

= 7590,45 × ( 1 + (

6

18 %
) ) = $8299,73
12

Tiền lãi nợ cuối năm 1: 8299,73 – 7500 = $799,73
32. Dòng Tiền Đều Vô Hạn : Barrett Pharmaceuticals đang xem xét một dự án dược

phẩm mà hiện nay có chi phí $2,5 triệu và kỳ vọng sẽ tạo ra dòng tiền hằng năm vào cuối
mỗi năm là $227.000 cho đến mãi mãi. Ở mức lãi suất chiếu khấu nào Barrett sẽ bang
quang với việc chấp nhận hoặc từ chối dự án.
Bài làm
PV = $2.500.000
C = $227.000
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều vô hạn:
PV =

C
r

 $2.500.000 =

227.000
r

 r = 9,08%
33. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định : Souther California Publishing Company
đang cố gắng quyết định xem có chỉnh lại quyển sách giáo khoa phổ biến, Financial
Psychoanalysis Made Simple không. Cơng ty này đã ước tính rằng việc chỉnh sửa sẽ tốn
chi phí $75.000. Dịng tiền do doanh thu gia tăng sẽ là $21.000 trong năm đầu tiên. Dòng
tiền này sẽ tăng khoản 4 phần tram một năm. Giả sử chi phí ban đầu hiện đã được chi và
doanh thi được nhận vào cuối mỗi năm. Nếu cơng ty địi hỏi tỷ suất sinh lợi 10 phần tram
trên một dự án đầu tư như vậy, cơng ty có nên thực hiện chỉnh sửa quyển sách này
không?
Bài làm


Công ty sẽ chấp nhận dự án nếu giá trị hiện tại của dịng tiền tăng lớn hơn chi phí. Vì vậy

giá trị hiện tại là:
1 + g
1−
1 + r
PV = C
r −g

[

(

T

)

]
5

1 + 4%
1−
1 + 10%
= 21.000
10% −4%

[

(

)

]

= $85.593,99 > Chi phí ước tính là $75,000  Chấp nhận dự án
34. Dòng Tiền Đều Tăng Trường Ổn Định : Bạn chỉ được trả lương mỗi năm một lần
cho toàn bộ cơng việc bạn thực hiện trong vịng 12 tháng trước. Hôm nay ngày 31 tháng
12 , bạn đã nhận tiền lương $65.000, và bạn dự định chi tiêu toàn bộ số tiền này. Tuy
nhiên, kể từ năm tới bạn muốn bắt đầu tiết kiệm cho việc nghỉ hưu. Bạn đã quyết định
rằng một năm nữa kể từ hôm nay, bạn sẽ bắt đầu gửi tiết kiệm 5 phần trăm tiền lương
hằng năm của bạn vào một tài khoản trả lãi 10 phần trăm một năm. Tiền lương của bạn sẽ
tăng 4%/ năm trong suốt cuộc đời làm việc của mình. Bạn sẽ có bao nhiêu tiền vào ngày
nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ?
Bài làm
Tiền lương vào năm sau = $65.000 (1 + 0,04) = $67.600
 Khoản tiết kiệm gửi vào năm sau = 5%×$67.600 = $3.380
Hiện giá của khoản tiết kiệm tăng trưởng đều ổn định:

[

PV = C

(

1−

1 + g
1 + r

r −g

T

)

]

1 + 4%
1 + 10%
= 3.380
10% −4%

[

1−

(

40

)

]

= $50.357,59
Khoản tiền vào ngày nghỉ hưu 40 năm nữa kể từ bây giờ:
FV = PV × (1 + r ) n
= 50.357,59 × (1 + 10% ) 40
= $2.279.147,23


35. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất : Mối quan hệ giữa giá trị của một dòng tiền đều và

lãi suất là gì? Giả sử bạn vừa mua một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm, $6.800 mỗi năm với
mức lãi suất hiện hành 10 phần trăm 1 năm. Chuyện gì sẽ xảy ra cho giá trị của khoản
đầu tư của bạn nếu lãi suất bất ngờ giảm xuống còn 5 phần trăm. Nếu lãi suất bất ngờ
tăng lên đến 15 phần trăm thì sao?
Bài làm
1 −( 1 + r )−n
)
PV = C × (
r

 PV tăng khi r giảm, ngược lại, PV giảm khi r tăng
FV = C × (

( 1 + r ) n−1
)
r

 FV tăng khi r tăng, ngược lại, FV giảm khi r giảm
 r = 10%
PV = 6.800 × (

1 −( 1 + 10% )−15
) = $51.721,34
10%

 r = 5%
−15

PV = 6.800 × (

1 −( 1 + 5% )
5%

) = $70.581,67

 r = 15%
−15

PV = 6.800 × (

1 −( 1 + 15% )
15%

) = $39.762,12

36. Tính số kỳ thanh tốn Bạn sẵn sang thực hiện gửi $350 hàng tháng, bắt đầu vào
cuối tháng này, vào một tài khoản chi trả lãi suất 10 % ghép lãi hàng tháng. Bạn sẽ phải
gửi bao nhiêu lần để số dư tài khoản đạt được mức $35.000?
Bài làm
0
1
2
…
?
$350

$350

$350

Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
( 1 + r ) n−1
FV = C × (
)
r

$350

$350

$350

$350

$350

–$35.000
$350


 $35.000 = 350 × (

(

n

1+

10%
−1

12
)
10%
12

)

 n = 73,04 lần
37. Tính giá trị hiện tại của dịng tiền đều Bạn muốn vay $65.000 từ ngân hàng địa
phương để mua một chiếc thuyền buồm mới. Bạn có khả năng trả hàng tháng $1.320,
nhưng không hơn. Giả sử ghép lãi tháng, APR cao nhất bạn có thể chi trả đối với một
khoản vay 60 tháng là bao nhiêu?
Bài làm
PV = C × (

1 −( 1 + r )
r

 65.000 = 1.320 × (

−n

)

1 −( 1 + r )
r

−60

)

 r = 0,672%
Ghép lãi hàng tháng  APR = 0,672% × 12 = 8,07%
38. Tính các kỳ trả nợ vay Bạn cần một khoản vay cầm cố lãi suất cố định, kỳ hạn 30
năm để mua một căn nhà mới có giá $250.000. Ngân hàng cầm cố của bạn sẽ cho bạn vay
tiền với APR 5,3% cho khoản vay 360 tháng này. Tuy nhiên, bạn chỉ có thể chi trả hàng
tháng $950, vì thế bạn đề nghị trả dứt số dư nợ vay còn lại vào ngày đáo hạn khoản nợ
dưới dạng thanh toán dồn cục (balloon payment). Các khoản thanh toán dồn này sẽ phải
là bao nhiêu để giữ cho các khoản chi trả hàng tháng của bạn ở mức $950 ?
Bài làm
t = 360 tháng
APR= 5,3%/năm=

5,3%
/tháng
12

Mỗi tháng chỉ có thể chi trả được 950$, vậy số tiền thanh toán được trong 30 năm là:
Áp dụng cơng thức dịng tiền đều ta có:
0
1
2
…
360
PV

$950

$950

1 −( 1 + r )−n
)
PV = C × (
r

$950

$950

$950

$950

$950

$950

$950


−360

5,3%
)
12
5,3%
12

1 −( 1 +

= 950 ×

= $171.077,26
Do khoản vay căn nhà là 250.000$ nhưng bởi chỉ trả được số tiền cố định hằng tháng là
950$ và trong 30 năm thì thanh tốn được 171.077,26$ cho nên số nợ vay cịn lại là
250.000 – 171.077,26 = $78.922,74
0
1
…
360
FV

$78.922,74

Khoản thanh toán dồn cục hay khoản thanh toán cuối kỳ tại năm 30 được thực hiện bằng
cách tính FV của số tiền cịn thiếu phải tiếp tục trả để cho đủ khoản vay 250,000$ là:
FV = PV × (1 + r ) n
= 78,922.74 × ( 1 +

5,3% 360
) = $385.664,73
12

39. Giá trị hiện tại và tương lai Giá trị hiện tại của dòng tiền sau là $7.300 khi chiết
khấu với lãi suất 8% hàng năm. Giá trị của dòng tiền bị bỏ trống là bao nhiêu?
Năm

Dòng tiền

1

$1.500

2

FV2

3

2.700

4

2.900

Bài làm
FV
(1 + r )n
1.500
 PV1 =
1 = $1.388,89
(1 + 8% )

PV =

PV3 =

2.700
= $2.143,35
(1 + 8% )3

PV4 =

2.900
4 = $2.131,59
(1 + 8% )

PV2 = 7.300 – ($1.388,89 + $2.143,35 + $2.131,59) = $1.636,18
 FV2 = PV × (1 + r ) n = 1.636,18 × (1 + 8% ) 2 = $1.908,44


40. Tính Giá Trị Hiện Tại Bạn vừa trúng xổ số TVM Lottery. Bạn sẽ nhận được $1
triệu hôm nay cộng với 10 kỳ thanh toán khác mà tăng thêm $275.000 mỗi năm. Do vậy,
năm sau bạn sẽ nhận được $1,275 triệu. Sau 2 năm bạn sẽ nhận. được $1,55 triệu, và cứ
thế. Nếu lãi suất phù hợp là 9 phần trăm, giá trị hiện tại của giải thưởng này là bao nhiêu?
Bài làm
PV = 1.000.000 + 1.27.000 / 1.09 + 1.550.000 / 1.092 + 1.825.000 / 1.093 + 2.100.000 /
1.094 + 2.375.000 / 1.095 + 2.650.000 + 1.096 + 2.925.000 / 1.097 + 3.200.000 / 1.098 +
3.475.000 / 1.09 9 + 3.750.000 / 1.0910
= 15.885.026,33
41. EAR So Với APR Bạn vừa mua một nhà kho mới. Để tài trợ cho việc mua nhà kho
này, bạn thu xếp một khoản vay cầm cố kỳ hạn 30 năm với giá trị bằng 80 phần trăm giá
mua kho $4.500.000. Mỗi tháng bạn phải trả nợ cho khoản vay này $27.500. APR của
khoản vay này là bao nhiêu? EAR?
Bài làm
Giá trị khoản vay = 4.500.000 × 80% = $3.600.000
Sử dụng cơng thức giá trị hiện tại của dòng tiền đều:
−n

1 −( 1 + r )

PV = C × (
r

 PV = 27.500 × (

)

1 −( 1 + r )
r

−360

) = 3.600.000

 r = 0,702%
Vậy APR = 0,702% × 12= 8,43%
EAR = (1 – 0,702%)12 – 1 = 8,76%
42. Giá Trị Hiện Tại Và Lãi Suất Hồ Vốn Xét một doanh nghiệp có một hợp đồng
bán một tài sản với giá $115.000 trong 3 năm nữa kể từ bây giờ. Chi phí sản xuất ra tài
sản này hôm nay là $76.000. Giả sử lãi suất chiết khấu phù hợp của tài sản này là 13 phần
trăm, với tài sản này, cơng ty có lãi khơng? Ở mức lãi suất bao nhiêu thì cơng ty hoà vốn?
Bài làm
PV =

FV
115.000
= $79.700,77
n =
(1 + r ) (1 + 13% )3

 Lãi = 79.700,77 – 76.000 = $3.700,77
Cơng ty hồ vốn:
PV =

FV
115.000
n =
3 = $76.000
(1 + r ) (1 + 13% )

 r = 14,81%

43. Giá Trị Hiện Tại Và Dòng Tiền Nhiều Kỳ Giá trị hiện tại của $5.000 một năm ở
mức lãi suất chiết khấu 6 phần trăm, nếu kỳ thanh toán đầu tiên được nhận 6 năm kể từ
bây giờ và kỳ thanh toán cuối cùng được nhận 25 năm kể từ bây giờ?
Bài làm
0

1

2

3

4

5

PV

6

…

25

$5.000 $5.000 $5.000 $5.000

Phương trình tính giá trị hiện tại của dịng tiền đều là tại một khoảng thời gian trước khi
thanh toán đầu tiên nên có tổng cộng 20 kỳ thanh tốn.
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều tại năm 5:
1 −( 1 + r )−n
1 −( 1 + 6% )−23
) = 5.000 × (
) = $ 57.349,61
PV = C × (
r
6%

Đây là giá trị của một kỳ trước lần thanh tốn đầu tiên, hoặc năm 5. Vì vậy, giá trị của
dịng tiền ngày hơm nay là:
PV =

FV
73.269,22
n =
5 = $ 42.854,96
(1 + r )
(1 + 7% )

44. Lãi Suất Biến Đổi Một dòng tiền đều kỳ hạn 15 năm trả $1.500 một tháng, và các kỳ
thanh toán được thực hiện vào cuối mỗi tháng. Nếu lãi suất là 12 phần trăm ghép lãi hàng
tháng cho 7 năm đầu tiên, và 6 phần trăm ghép lại hàng tháng cho giai đoạn sau đó, giá trị
hiện tại của dịng tiền đều này là bao nhiêu?
Bài làm
0

1

…

180

$1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500
Giá trị hiện tại của dòng tiền đều của 7 năm kể từ bây giờ ( 8 năm sau )


−n

1 −( 1 + r )
PV = C × (
r

(

)

6%
12

6%
12

1− 1 +

= 1.500 × (

−96

)

) = $114.142,83

Giá trị hiện tại của dịng tiền đều
12%
$114.142,83
1− 1 +
12
84
PV =
+ 1.500 × (
12%
(1 +
)
12%
12
12

(

−84

)

) = $134.455,36

45. So Sánh Các Dòng Tiền Bạn phải lựa chọn hai cơ hội đầu tư. Cơ hội đầu tư A là
dịng tiền đều kỳ hạn 15 năm có đặc điểm chi trả $1.500 cuối mỗi tháng và có lãi suất 8,7
phần trăm ghép lãi hàng tháng. Cơ hội đầu tư B là một dự án đầu tư nhận lại một lần
(lump-sum) lãi suất 8 phần trăm ghép lãi liên tục, cũng có kỳ hạn 15 năm. Bạn cần đầu tư
vào cơ hội B bao nhiêu tiền ngày hôm nay để 15 năm sau dự án này có giá trị bằng cơ hội
đầu tư A?
Bài làm
0

1

…

180

$1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500 $1.500
FV
Giá trị tương lai của dòng tiền đều:
( 1 + r ) n−1
)
FV = C × (
r

(

= 1.500 × (

1+

8,7%
12
8,7%
12

180

)

−1

= $552.490,07
Ghép lãi liên tục
FV = PV × e r×T
 $552.490,07 = PV × e 8%×15
 PV = $166.406,81

)