Chuyên đề tính GTLN và GTNN của biểu thức bồi dưỡng toáng 8

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN
Bài 1: Tìm GTNN của: A = x ( x − 3)( x − 4)( x − 7 )

Bài 2: Tìm GTNN của: B = ( x − 1)( x − 3) ( x 2 − 4 x + 5)
Bài 3: Tìm min của: A = x ( x + 2)( x + 4)( x + 6) + 8

Bài 4: Tìm GTNN của: B = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)
Bài 5: Tìm GTNN của: A = ( x2 + x − 6)( x 2 + x + 2)

Bài 6: Tìm GTNN của : C = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6)
Bài 7: Tìm GTNN của: D = ( 2 x −1)( x + 2)( x + 3)( 2 x + 1)
Bài 8: Tìm min của: C = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + 2011
Bài 9: Tìm max của: E = 5 + (1 − x )( x + 2)( x + 3)( x + 6)
Bài 10: Tìm GTNN của: M = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6)
Bài 11: Tìm min của: D = ( x + 1) ( x 2 − 4 ) ( x + 5) + 2014

Bài 12: Tìm min của: B = ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) + m với a+d = b+c
Bài 13: Tìm GTNN của: C = x 4 − 6 x3 + 10 x 2 − 6 x + 9
HD:
C = ( x 4 − 2.3x 2 .x + 9 x 2 ) + ( x 2 − 6 x + 9 ) = ( x 2 − 3x ) + ( x − 3)  0
2

2

Bài 14: Tìm GTNN của: C = x 4 − 4 x3 + 9 x 2 − 20 x + 22
HD:
C = ( x 4 − 4 x3 + 4 x 2 ) + 5 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 2

Bài 15: Tìm GTNN của: B = x 4 − x 2 + 2 x + 7
HD:

B = ( x 4 − 2 x 2 + 1) + ( x 2 + 2 x + 1) + 5

Bài 16: Tìm GTNN của: D = ( x + 8) + ( x + 6)
HD:
4
4
Đặt: x + 7 = y = D = ( y + 1) + ( y − 1) = 2 y 4 + 12 y 2 + 2  2
4

4

Bài 17: Tìm GTNN của : A = 9x2 − 6x − 4 3x −1 + 6
HD:
Đặt: 3x −1 = t = t 2 = 9x2 − 6x + 1 = E = t 2 − 4t + 5
Bài 18: Tìm GTLN của: A = ( 2 x + 1) − ( 3x − 2) + x − 11
2

Bài 19: Tìm min của: A = ( x + 2 ) + ( x − 2 )
4

2

4

Bài 20: Tìm min của: A = x2 + 4 y2 − 4x + 32 y + 2018
Bài 21: Tìm min của: A = 3x2 + y2 + 4x − y
Bài 22: Tìm min của: B = 5x2 + y2 + 2xy −12x −18
Bài 24: Tìm max của: B = −3x2 −16 y2 − 8xy + 5x + 2
Bài 25: Tìm min của: A = 3x2 + 4 y2 + 4xy + 2x − 4 y + 26
Bài 26: Tìm min của: 5x2 + 9 y2 −12xy + 24x − 48 y + 82

1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức


Bài 27: Tìm max của: A = −x2 − y2 + xy + 2x + 2 y
Bài 28: Tìm min của: A = ( x − 3) + ( x − 1)
2

2

Bài 29: Tìm min của: B = 2 ( x + 1) + 3 ( x + 2 ) − 4 ( x + 3)
2

2

Bài 30: Tìm max của: F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5)
4

2

4

Bài 31: Tìm min của: G = ( x + 3) + ( x − 7 )
Bài 32: Tìm min của: H = x 4 − 7 x 2 + 4 x + 25
Bài 33: Tìm min của: I = x 4 − 6 x3 + 11x 2 + 12 x + 20
Bài 34: Tìm min của: K = x 4 − 6 x3 + 15x 2 − 20 x − 15
Bài 35: Tìm min của: M = x 4 − 4 x3 + 7 x 2 − 12 x − 18
Bài 36: Tìm max của : N = −x2 − 4 y2 + 6x − 8 y + 3
Bài 37: Tìm max của: P = −3x2 − 5 y2 + 2x + 7 y − 23
4

4

Bài 38: Tìm max cảu: Q = −x2 − 5 y2 + 4xy +12 y + 7
Bài 39: Tìm max cảu: Q = −x2 − 5 y2 + 4xy +12 y + 7
Bài 40: Tìm max của: R = −7x2 − 4 y2 − 8xy +18x + 9
Bài 41: Tìm max của: A = 5 − 2x2 − 4 y2 + 4xy − 8x −12 y
Bài 42: Tìm max của: B = 2 − 5x2 − y2 − 4xy + 2x
Bài 43: Tìm min của: C = a 2 + ab + b2 − 3x − 3b + 1989
2
Bài 44: Tìm số ngun m lớn nhất sao cho BĐT ln đúng với mọi x: ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 3)  m
Bài 45: Tìm GTNN của: A = x 2 − 2xy + 2y2 − 4y + 5
HD:

Ta có: A = x 2 − 2 xy + y 2 + y 2 − 4 y + 4 + 1 = ( x − y ) + ( y − 2 ) + 1
2

2

Do: ( x − y )  0, ( y − 2 )  0 , Nên A = ( x − y ) + ( y − 2 ) + 1  1
2

2

2

2

Bài 46: Tìm min của: B = 2x2 + y2 + 2xy − 8x + 2028
Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức: A = a 4 − 2a3 − 4a + 5

HD:
A = a 2 ( a 2 + 2 ) − 2a ( a 2 + 2 ) + ( a 2 + 2 ) + 3 = ( a 2 + 2 )( a 2 − 2a + 1) + 3  3 dấu bằng khi a=1
Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức : A = x2 − 2xy + 2 y2 + 2x −10 y +17
Bài 49: Tìm Min của: P = 5x2 − 6 x −1 −1

2
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


DẠNG 2: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm GTNN của: A = x2 − 2xy + 2 y2 + 2x −10 y +17
Bài 2: Tìm min của: B = x2 − xy + y2 − 2x − 2 y
Bài 3: Tìm min của: C = x2 + xy + y2 − 3x − 3y
Bài 4: Tìm min của: D = x2 − 2xy + 6 y2 −12x + 2 y + 45
Bài 5: Tìm min của: E = x2 − xy + 3y2 − 2x −10 y + 20
Bài 6: Tìm max của: F = −x2 + 2xy − 4 y2 + 2x +10 y − 3
Bài 7: Tìm min của: G = ( x − ay ) + 6 ( x − ay ) + x 2 + 16 y 2 − 8ay + 2 x − 8 y + 10
2

Bài 8: Tìm max của: H = −x2 + xy − y2 − 2x + 4 y +11
Bài 9: Tìm min của: I = x2 + 4xy + 5 y2 − 6 y +11
Bài 10: Tìm min của: K = x2 + y2 − xy + 3x + 3y + 20
Bài 11: Tìm min của: M = x2 − 2xy + 2 y2 − 2 y +1
Bài 12: Tìm min của: N = x2 − 2xy + 2 y2 − x
Bài 13: Tìm min của: x2 − 2xy + 3y2 − 2x +1997
Bài 14: Tìm min của: Q = x2 + 2 y2 − 2xy + 2x −10 y
Bài 15: Tìm min của: R = x2 + 2 y2 + 2xy − 2 y
Bài 16: Tìm min của: A = 4x2 + 5 y2 − 4xy −16 y + 32
Bài 17: Tìm min của: B = x2 + 5 y2 + 5z 2 − 4xy − 4 yz − 4z +12
Bài 18: Tìm min của: C = 5x2 −12xy + 9 y2 − 4x + 4

Bài 19: Tìm max của: D = −x2 − y2 + xy + 2x + 2 y
Bài 20: Tìm min của: E = x2 + 5 y2 − 4xy + 2 y − 3
Bài 21: Tìm GTNN của A = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3
HD:

Ta có: 4 P = a2 − 2ab + b2 + 3 ( a2 + bh2 ) + 4 + 2ab − 4a − 4b = ( a − b ) + 3 ( a + b − 2 )  0
2

2

Bài 22: Tìm min của: G = x2 + xy + y 2 − 3( x + y ) + 3
Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x2 + 4 y2 + z 2 − 2x + 8 y − 6z +15 = 0
Bài 24: Tìm min của: A = 2x2 + y2 − 2xy − 2x + 3
Bài 24: Tìm min của: B = x2 − 2xy + 2 y2 + 2x −10 y +17
Bài 25: Tìm min của: C = x2 + xy + y2 − 3x − 3y
Bài 26: Tìm min của: D = 2x2 + 2xy + 5 y2 − 8x − 22 y
Bài 27: Tìm min của: E = 2x2 + 9 y2 − 6xy − 6x −12 y + 2004
Bài 28: Tìm min của: F = x2 − 2xy + 6 y2 −12x +12 y + 45
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : a 2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3
HD:

P = a 2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3 = 4P = ( a − b ) + 3 ( a + b − 2 )  0
2

2

Bài 30: Tìm min của: A = x2 + 6 y2 +14z 2 − 8 yz + 6zx − 4xy
Bài 31: Tìm min của: B = x2 + 2 y2 + 3z 2 − 2xy + 2xz − 2x − 2 y − 8z + 2000

3

GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức: T = −2x 2 − y2 − 4x + 12y + 4xy + 2002
Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức: P = 5x2 + 2y2 − 4xy − 2x − 4y + 2023
Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức: M = x2 + 2xy + 2y2 − 2y − 2

4
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


DẠNG 3: PHÂN THỨC
2
6x − 5 − 9 x2
1
Bài 2: Tìm min của: B = 2
x − 4x + 9
−3
Bài 3: Tìm max của: C = 2
x − 5x + 1

Bài 1: Tìm min của: A =

6
−x + 2x − 3
2
K= 2
x +8
4
M= 2

x + x +1
3x 2 − 8 x + 6
E= 2
x − 2x +1
x2 − 4 x + 1
G=
x2
4 x2 − 6 x + 1
F=
2
( 2 x + 1)

Bài 4: Tìm min hoặc max của: D =
Bài 5: Tìm min hoặc max của:
Bài 6: Tìm min hoặc max của:
Bài 7: Tìm min hoặc max của:
Bài 8: Tìm min hoặc max của:
Bài 9: Tìm min hoặc max của:

2

Bài 10: Tìm min hoặc max của: H =
Bài 11: Tìm min hoặc max của: I =

x

( x + 10 )

2

x

( x + 2016 )

2

x 2 − 2 x + 2000
x2
x 2 − 2 x + 2015
Bài 13: Tìm min hoặc max của: E =
2015 x 2
x
Bài 14: Tìm min hoặc max của: F =
2
( x + 2000 )

Bài 12: Tìm min hoặc max của: D =

Bài 15: Tìm min hoặc max của: B =

(

x2 − x + 1
x2 + 2 x + 1

)

2 x2 + 4 x + 4
x2
x 2 − 2 x + 2012

Bài 17: Tìm min hoặc max của: B =
x2
3 − 4x
Bài 18: Tìm cả min và max của: K = 2
x +1
27 − 12 x
Bài 19: Tìm min hoặc max của: M = 2
x +9
3x 2 + 4 x + 8
Bài 20: Tìm min hoặc max của: N =
x2 + 3
8x + 3
Bài 21: Tìm min hoặc max của: P = 2
4x +1
2 ( x 2 + x + 1)
Bài 22: Tìm min hoặc max của: C =
x2 + 1

Bài 16: Tìm min hoặc max của: A =

5
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


x2 + x + 1
x2 + 1
2x +1
D= 2
x +2
2x +1

E= 2
x
2x −1
F= 2
x +2
6x − 8
G= 2
x +1
3x2 − 6 x + 17
Q= 2
x − 2x + 5
2 x2 − 16 x + 41
R= 2
x − 8x + 22
x6 + 27
A= 4
x − 3x 3 + 6 x 2 − 9 x + 9
x6 + 512
B= 2
x +8
4 x4 + 16 x3 + 56 x2 + 80 x + 356
G=
x2 + 2 x + 5

Bài 23: Tìm min hoặc max của: N =
Bài 24: Tìm min hoặc max của:
Bài 25: Tìm min hoặc max của:
Bài 26: Tìm min hoặc max của:
Bài 27: Tìm min hoặc max của:
Bài 28: Tìm min hoặc max của:

Bài 29: Tìm min hoặc max của:
Bài 30: Tìm min hoặc max của:
Bài 31: Tìm min hoặc max của:
Bài 32: Tìm min hoặc max của:
Bài 33: Tìm min của: H =

x2 −1
x2 + 1

−8
3x 2 + 2
x2
Bài 35: Tìm min hoặc max của: P = 2
x − 2 x + 2010
2 x2 − 6 x + 5
Bài 36: Tìm min hoặc max của: Q = 2
x − 2x +1
2 x2 + 4 x + 4
Bài 37: Tìm min hoặc max của: A =
x2
2x +1
Bài 38: Tìm min hoặc max của: B = 2
x +2
x2 + 2
Bài 39: Tìm min hoặc max của: C = 2
x + x+2
x2 + 2 x + 3
Bài 40: Tìm min hoặc max của: D = 2
x − 2x + 3
x2 y + x2 x2 − y + 1

Bài 41: Tìm min hoặc max của: G = 4 4 2 2
2x + x y + y + 2

Bài 34: Tìm min hoặc max của: I =

(

Bài 42: Tìm min hoặc max của: H =

)

x4 + 1

(x

2

)

+1

2

3x 2 + 4
x2 + 4
3x 2 − 2 x + 3
Bài 44: Tìm min hoặc max của: C =
x2 + 1

Bài 43: Tìm min hoặc max của: A =

6
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


3x 2 − 6 x + 17
x 2 − 3x + 5
2 x 2 − 16 x + 71
Bài 46: Tìm min hoặc max của: I = 2
x − 8x + 22
x2 − 4 x + 1
Bài 47: Tìm min hoặc max của: K =
x2
2 x2 + 4 x + 9
Bài 48: Tìm min hoặc max của: N = 2
x + 2x + 4
x2
Bài 49: Tìm min hoặc max của: P = 4
x +1
x2 − 2 x + 1999
x3
Bài 50: Tìm min hoặc max của: Q = 2
:
x − 3x + 2 x 2 − 3x 2 + 2 x
3x 2 − 2 x + 3
Bài 51: Tìm min hoặc max của: A =
x2 + 1
6x − 8
Bài 52: Tìm min hoặc max của: B = 2
x +1

2x +1
Bài 53: Tìm min và max của: C = 2
x +2
2 x2 + 4 x + 9
Bài 54: Tìm min hoặc max của: D = 2
x + 2x + 4
8x + 3
Bài 55: Tìm min hoặc max của: E = 2
4x +1
x2 − 2 x + 2
Bài 56: Tìm min hoặc max của: F = 2
x + 2x + 2
x4 + 1
Bài 57: Tìm min hoặc max của: G =
2
( x2 + 1)

Bài 45: Tìm min hoặc max của: H =

2 x 2 − 2 xy + 9 y 2
x 2 + 2 xy + 5 y 2
4x + 3
Bài 59: Tìm min và max của: I = 2
x +1
2 ( 2 x + 1)
Bài 39: Tìm min P = 2
x +2
x2 + 1
Bài 60: Tìm min hoặc max của: J = 2
x − x +1

x2 + 2
Bài 61: Tìm min hoặc max của: K = 2
x + x+2
4x +1
Bài 62: Tìm min hoặc max của: M = 2
x +3
3x 2 − 6 x + 14
Bài 63: Tìm min hoặc max của: N =
2 x2 + 5
12 x + 13
Bài 64: Tìm min hoặc max của: P = 2
x + 2x + 3
5 y 2 − 3xy
Bài 65: Tìm min hoặc max của: Q = 2
x − 3xy + 4 y 2

Bài 58: Tìm min hoặc max của: H =

7
GV: Ngơ Thế Hoàng_THCS Hợp Đức


x2 − 4 y 2
3x 2 − 4 xy + 5 y 2
x2 − 6 x + 23
A= 2
x − 6 x + 10
y2
B= 2
9 x − 12 xy + 5 y 2

3x2 − 12 x + 10
C= 2
x − 4x + 5
3 y2
D=
−25 x 2 + 20 xy − 5 y 2
4x2 − 6x + 1
E=
2
( x − 2)

Bài 66: Tìm min hoặc max của: R =
Bài 67: Tìm min hoặc max của:
Bài 68: Tìm min hoặc max của:
Bài 69: Tìm min hoặc max của:
Bài 70: Tìm min hoặc max của:
Bài 71: Tìm min hoặc max của:

x2 + 4 x − 14
x2 − 2 x + 1
4 x2 − 6 x + 3
Bài 73: Tìm min hoặc max của: G = 2
2 x − 3x + 2
3x 2 − 2 xy + y 2
Bài 74: Tìm min hoặc max của: H = 2
9 x − 6 xy + 2 y 2
4 x2 + 22 x + 19
Bài 75: Tìm min hoặc max của: I = 2
x + 4x + 4
9 x 2 + 30 x − 7

Bài 76: Tìm min hoặc max của: K =
9 x2 + 6 x + 1
x 2 − 5xy + 2 y 2
Bài 77: Tìm min hoặc max của: M = 2
2 x − 10 xy + 7 y 2
22 x 2 − 58 xy + 73 y 2
Bài 78: Tìm min hoặc max của: N =
x 2 − 4 xy + 4 y 2
8 x 2 + 6 xy
Bài 79: Tìm min hoặc max của: P = 2 2
x +y
x 2 − 3x + 3
Bài 80: Tìm min hoặc max của: Q = 2
x − 2x +1
x 2 + xy + y 2
Bài 81: Tìm min hoặc max của: R = 2
x − xy + y 2
x2
Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức: 4 2 , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x
x + x +1

Bài 72: Tìm min hoặc max của: F =

HD:
x2
1
1
Ta có : P( x) = 4 2 =>
= x2 + 2 + 1  3
x + x +1

P( x )
x
2
x + x +1
Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức: M = 2
( x  −1)
x + 2x + 1

HD:
Ta có : M =

x2 + 2 x + 1 − ( x + 1) + 1
1
1
= 1−
+
2
x + 2x + 1
x + 1 ( x + 1)2

8
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


2

 1 3 3
1
= t , ta có: M = t 2 − t + 1 =  t −  + 
Đặt

x +1
 2 4 4

Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B =
HD:
Ta có: B =

3 ( x + 1)
x + x + x +1
3

2

=

3 ( x + 1)

3 ( x + 1)
x3 + x2 + x + 1

x ( x + 1) + x + 1
2

=

(x

3 ( x + 1)
2

)

+ 1 ( x + 1)

=

3
x +1
2

3
 3 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0
x +1
x 2 − 2 x + 2012
Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức : P =
, với x#0
x2
4x + 3
Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của P = 2
x +1
4x + 3
Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của P = 2
x +1
x 2 − 3x + 3
Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = 2
x − 2x +1
2
x − 2 x + 2011
Bài 89: Cho biểu thức M =
, với x>0, Tìm x để M có GTNN

x2
6x + 1
Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của: A =
12 x 2 + 1

Do x 2 + 1  0 = B =

2

Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

3x 2 + 2 xy
x 2 + 2 xy + y 2

x 2 + 2 x + 17
Bài 92: Cho x  0 , Tìm GTNN của : Q =
2 ( x + 1)

Bài 93: Tìm GTNN của : B =

2x2 + 6x + 6
x2 + 4x + 5

Bài 94: Tìm GTNN của : C =

x2 + 1
x2 − x + 1

Bài 95: Tìm GTLN của: B =

5x 2 + 21
x2 + 3

Bài 96: Tìm GTLN của: C =

2x2 − 4x + 5
x2 − 2x + 2

Bài 97: Tìm GTLN của: D =

3x 2 + 6 x + 10
x2 + 2x + 3

9
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CĨ ĐIỀU KIỆN
Bài 1: Tìm min của: A = 3x2 + y2 biết : 3x + y = 1
HD:
2
y = 1 − 3x = A = 3x 2 + (1 − 3x ) = 12 x 2 − 6 x 2 + 1
Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: 2 x + 3y = 13 , tìm GTNN của Q = x2 + y2
Bài 2: Tìm min của: A = xy biết 3x + y = 1
HD:
y = 1 − 3x = A = x (1 − 3x ) = −3x2 + x
Bài 3: Tìm min của: A = a3 − b3 − ab biết: a – b =1
HD:
3
a = b + 1 = A = ( b + 1) − b3 − ( b + 1) b = 2b 2 + 2b + 1

Bài 4: Tìm max của: B = a.b biết: 3a + 5b = 12
HD:
Từ gt ta có: a =

12 − 5b
12 − 5b  −5 2 12
, thay vào B = b 
b + b
=
3
3
 3  3

Bài 5: Tìm min của: C = x3 + y3 + xy biết: x + y = 1
HD:
3
Từ gt=> y = 1 − x thay vào C ta được: C = x3 + (1 − x ) + xy = 2 x 2 − 2 x + 1
Bài 6: Tìm min của: D = x2 + 2 y2 biết: x + 2 y = 1
HD:
2
Từ gt=> x = 1 − 2 y thay vào D = (1 − 2 y ) + 2 y 2
Bài 7: Tìm min của: E = 2x2 + 5 y2 biết: 4 x − 3 y = 7
HD:
Từ gt=> y =

4x − 7
thay vào E
3

Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của: A = x2 + y2

Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: B = 3 − xy
 1  1 
Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P =  1 −   1 − 
 a  b 



1

2




1

2

Bài 10: Tìm min của: F = 1 +  + 1 +  , biết: a+b=1 và a,b >0
a
b




HD:



Ta có: 1 +

2
2
2
2
2
2
a+b   a+b  
b 
a
a b a b 
8
+
4
+
+
+
+
1
+
=
2
+
+
2
+
=

  2
 

 
 

2 
a  
b  
a 
b
b a b a 

 8 + 4.2 + 2 = 18
Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: 2 x 2 +

1 y2
+
= 4 , Tìm max của: A= x.y
x2 4

HD:
2
2
2

1 
y
 2 1
  2 y

Từ gt ta có : 4 =  x + 2 − 2  +  x + − xy  + xy + 2 => 4 =  x −  +  x −  + xy + 2
x

4
x 
2

 



=> xy + 2  4 = xy  2
10
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 12: Cho hai số thực a,b  0, thỏa mãn: 2a2 +

b2 1
+ = 4 , Tìm min, max của: S = ab + 2017
4 a2

HD:

1
b2
1 
b

 

Từ gt ta có : 4 =  a 2 + 2 − 2  +  a 2 + − ab  + ab + 2 =  a −  +  a −  + ab + 2
a

4
a 
2

 


2

2

=> ab + 2  4 = ab + 2017  2019 = S  2019
2

1 
b
 2 1
  2 b

Mặt khác : 4 =  a + 2 − 2  +  a + + ab  − ab + 2 =  a −  +  a −  − ab + 2
a
4
a 
2

 


2

2

=> −ab + 2  4 = ab  −2 = ab + 2017  2015 => S  2015
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: x 2 +

8 y2
+
= 8 , Tìm min, max của: A = xy + 2024
x2 8

HD:
Từ gt ta có : 8 = x 2 +
2


8 y2
16 y 2  2 16   2 y 2
2
+
=
16
=
2
x
+
+
=  x + 2 − 8  +  x + + xy  − xy + 8
2
2
x

8
x
4 
x
4
 

2

4 
y

=> 8 =  x −  +  x +  − xy + 8 = − xy + 8  16 = xy  −8 = A = xy + 2024  2016
x 
2





Mặt khác : 16 =  x 2 +


16   2 y 2
4 
y

− 8  +  x + − xy  + xy + 8 =  x −  +  x −  + xy − 8
2
x

4
x 
2
 


2

2

=> xy − 8  16 = xy  8 = S = xy + 2024  2032
1 y2
+
= 4 , Tìm max, min của A = xy
x2 4
1
Bài 15: Cho x,y  R khác 0 biết: 8 x 2 + y 2 + 2 = 4 , Tìm x,y để B = x. y đạt min và đạt max
4x

Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn: 2 x 2 +

HD:
Ta có : 4 = 8x2 + y 2 +

1
1


=  4 x 2 + 2 − 2  + ( 4 x 2 + y 2 − 4 xy ) + 4 xy + 2
2

4x
4x



2

1 
1
2

4 =  2 x −  + ( 2 x − y ) + 4 xy + 2 = 4 xy + 2  4 = B = xy 
2x 
2

1 
−1
2

Mặt khác : 4 =  2 x −  + ( 2 x + y ) − 4 xy + 2 = −4 xy + 2  4 = B = xy 
2x 
2

2
1 y
Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: 2 x 2 + 2 + = 4 . Tìm min của: P = xy
x
4
Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: A = ( 4 x 2 + 3 y )( 4 y 2 + 3x ) + 25 xy
2

HD:

Ta có : A = 16( xy)2 + 12 x3 + 12 y 3 + 9 xy + 25xy = 6 x 2 y 2 + 12 ( x3 + y 3 ) + 34 xy

Vì x+y =1 nên x3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) = ( x + y ) − 3xy = 1 − 3xy , thay vào A
2

A = 6 x2 y 2 + 12 (1 − 3xy ) + 34 xy , Đặt xy=t khi đó : A = 6t 2 − 2t + 12

Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1 Tìm min của biểu thức:

(

)(

)

C = x 2 + 4 y y 2 + 4 x + 8xy

Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: A = x2 + 2 y2
HD:
11
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Từ gt ta có : x = 3 − 2 y thay vào A = ( 3 − 2 y ) + 2 y 2 = 6 y 2 − 12 y + 9
2

Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x2 + y2 − xy = 4 , Tìm min và max của: A = x2 + y2

HD:
2
Ta có : x2 + y 2 − xy = 4 = 2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy = 8 = ( x − y ) + x 2 + y 2 = 8
=> x2 + y2  8 hay A  8
2
mặt khác : 8 = 2 x2 + 2 y 2 − 2 xy = 2 x 2 + 2 y 2 = 8 + 2 xy = 3x 2 + 3 y 2 = 8 + ( x + y )  8
=> x 2 + y 2 

8
8
hay A 
3
3

Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: A = x3 + y3 + 2xy
HD:
3
Từ gt ta có : y = 2 − x thay vào A ta được : A = x3 + ( 2 − x ) + 2 x ( 2 − x )
Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: x + y + 4 = 0 , Tìm max của:

(

) (

)

A = 2 x3 + y 3 + 3 x 2 + y 2 + 10 xy

HD:

Ta có : x+y= - 4, nên x3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −64 + 12 xy ,
3

x 2 + y 2 = ( x + y ) − 2 xy = 16 − 2 xy thay vào A = 2 ( −64 + 12 xy ) + 3 (16 − 2 xy ) + 10 xy
2

Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x + y = 1 , Tìm GTNN của C = ( x 2 + 4 y )( y 2 + 4 x ) + 8xy
Bài 22: Cho x, y, z  R, thỏa mãn: 2 x + 2 y + z = 4 , Tìm max của: A = 2 xy + yz + zx
HD:
Từ giả thiết=> z = 4 − 2 x − 2 y thay vào A ta được :
A = 2xy + y ( 4 − 2x − 2 y ) + x ( 4 − 2x − 2 y ) = −2x2 − 2 y 2 − 2xy + 4x + 4 y
Bài 23: Cho x,y,z  R thỏa mãn: x + y + z = 6 . Tìm max của: A = xy + 2 yz + 3zx
HD:
Từ gt => z = 6 − x − y thay vào A = xy + 2 y ( 6 − x − y ) + 3x ( 6 − x − y )
Bài 24: Cho x,y  R thỏa mãn: x2 + 2xy + 7 ( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0 , Tìm min và max của:
S = x+ y +3

HD:
Từ gt ta có : x2 + 2xy + 7x + 7 y + 2 y2 +10 = 0
(2 y + 7) 2
7
9
 2 y + 7  ( 2 y + 7)
2
+ 2 y + 7 y + 10 −
= 0 =>  x + y +  + y 2 − = 0
=> x + 2 x 
+
4
4

2
4
 2 

3
7 3
=> −  x + y +  = −5  x + y  −2 => −2  x + y + 3  1
2
2 2
3m2
2
2
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: n + np + p = 1 −
, Tìm min, max của: A = m + n + p
2
2

2

2

HD:
Từ gt ta có : 2n2 + 2np + 2 p2 = 2 − 3m2 = 3m2 + 2n2 + 2 p2 + 2np = 2
=> (m2 + n2 + p 2 + 2mn + 2np + 2mp) + ( 2m2 + n2 + p 2 − 2mn − 2mp ) = 2
=> ( m + n + p ) + ( m − p ) + ( m − n )  2 => − 2  m + n + p  2
2

2

2

Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: x2 + y2 + z 2 = 3 , Tìm min, max của: P = x + y + 2 z
HD:
12
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Ta có : P2 = ( x + y + 2 z ) = x 2 + y 2 + 4 z 2 + 2 xy + 4 yz + 4 xz , nên ta nhân 6 vào gt :
2

18 = 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 = ( x 2 + y 2 + 4 z 2 + 2 xy + 4 yz + 4 zx ) + (5 x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 − 2 xy − 4 yz − 4 zx )
18 = ( x + y + 2 z ) + ( x − y ) + ( 2 x − z ) + ( 2 y − z ) => ( x + y + 2 z )  18
2

2

2

2

2

− 18  x + y + 2z  18
3
2

Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: 2m2 + 2n 2 + 4 p 2 + 3mn + mp + 2np = , Tìm min max
của: B = m + n + p
HD:
Từ gt ta có : 4m2 + 4n2 + 8 p2 + 6mn + 2mp + 4np = 3

=> 3 ( m2 + n2 + p 2 + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m2 + n2 + 5 p 2 − 4mp − 2np ) = 3
=> 3 ( m + n + p ) + ( 2 p − m ) + ( n − p ) = 3 => 3 ( m + n + p )  3 = −1  m + n + p  1
2

2

2

2

Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 3 , Tìm min max của: A = xy + yz + zx
HD:
Từ gt=> z = 3 − x − y thay vào A = xy + y ( 3 − x − y ) + x (3 − x − y ) = x2 − y2 − xy + 3x + 3y
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của: B = − xy + 3 yz + 4 zx
HD:
Từ gt ta có : z = 3 − x − y => B = − xy + 3 y ( 3 − x − y ) + 4x ( 3 − x − y )
=>B= −4x2 − 3y2 −16xy + 9 y +12x
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2 x + 3 y − z = 4 , Tìm min max của A = − xy + yz + zx
HD:
Từ gt=> z = 2 x + 3 y − 4 thay vào A = − xy + y ( 2x + 3 y − 4) + x ( 2x + 3 y − 4)
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 2 x + 3 y − z = 4 , Tìm min max của: B = 12 xy − 3 yz − 4 zx
HD:
Từ gt ta có : z = 2 x + 3 y − 4 thay vào B = 12 xy − 3 y ( 2 x + 3 y − 4) − 4 x ( 2 x + 3 y − 4 )
Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = −2 , tìm min của: A = 2 ( x3 + y3 ) − 15xy + 7
HD:

Từ x + y= -2, ta có : x3 + y3 = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + 6 xy thay vào
3

A = 2 ( −8 + 6 xy ) −15xy + 7 = −3xy − 9 và y= - 2 - x thay vào A = −3x ( −2 − x ) − 9

Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = −2 , Tìm min của

(

)

B = x 4 + y 4 − x3 − y 3 + 2 x 2 y 2 + 2 xy x 2 + y 2 + 13xy

HD:

(

)

B = x 4 + y 4 − x3 − y 3 + 2 x 2 y 2 + 2 xy x 2 + y 2 + 13xy
2

Từ x+y= - 2, ta có: x4 + y 4 = ( x + y ) − 2 xy  − 2 x 2 y 2 = ( 4 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2


2

2

x3 + y3 = 6xy − 8 , x2 + y2 = 4 − 2xy , Thay vào b ta được :
B = ( 4 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2 − ( 6 xy − 8) + 2 x 2 y 2 + 2 xy ( 4 − 2 xy ) + 13xy
2

B = − xy + 24 , thay y = −2 − x = B = x2 + 2x

Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = 5 , Tìm max của: A = x3 + y 3 − 8 ( x 2 + y 2 ) + xy + 2
HD:

13
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Vì x + y = 5 nên x3 + y3 = 125 −15xy và x2 + y2 = 25 − 2xy thay vào
A = 125 −15xy − 8 ( 25 − 2 xy ) + xy + 2
Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của:

(

)

(

)

B = x 4 + y 4 − 4 x3 + y 3 − 20 x 2 + y 2 − 2 x 2 y 2 + xy

HD:

(

)

(

)

B = x 4 + y 4 − 4 x3 + y 3 − 20 x 2 + y 2 − 2 x 2 y 2 + xy

Vì x+y=5 nên x + y = ( 25 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2 , x3 + y3 = 125 −15xy , x2 + y2 = 25 − 2xy
4

2

4

B = ( 25 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2 − 4 (125 − 15xy ) − 20 ( 25 − 2 xy ) − 2 x 2 y 2 + xy
2

Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: x4 + y 4 − 7 = xy (3 − 2xy ) , Tìm min max của: P = xy
HD:
Từ gt=> x4 + y4 − 3xy + 2x2 y2 = 7 =>

(x

4

− 2 x y + y ) + 4 x y − 3xy = 7 = ( x − y
2

2

4

2

2

2

)

2 2

2

3  121

=>
+  2 xy −  =
4
16


2

3  121

 2 xy −  
4
16


Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn: 7x2 + 9 y2 +12xy − 4x − 6 y −15 = 0 , Tìm min max của:
A = 2x + 3y + 5

HD:

Từ gt=> ( 2 x ) + ( 3 y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + 1 + 3x 2 = 16 => ( 2 x + 3 y + 1) + 3x 2 = 16
2

2

2

Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 3x2 + 2 y2 + 5z 2 + 4xy − 2xz + 2 yz = 5 , Tìm min max của:
P = x+ y

HD:

Từ gt ta có: ( x2 + y 2 + 2 xy ) + ( 2 x 2 + y 2 + 5z 2 + 2 xy − 2 xz + 2 yz ) = 5
=> ( x + y ) + ( x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ) + ( 4 z 2 − 4 xz + x 2 ) = 5
2

=> ( x + y )  5 = − 5  x + y  5
2

Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn: 3x + y + 2 z = 1 . Tìm min max của: p = x2 + y2 + z 2
HD:
Từ gt ta có: y = 1 − 3x − 2 z => y2 = 1+ 9x2 + 4z 2 − 6x +12xz − 4z khi đó :
P = 10 x 2 + 5 z 2 + 12 xz − 6 x − 4 z + 1

Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: A = 2 xy + 3 yz + 4 zx
HD:
Từ gt => z = 1 − x − y thay vào A = 2xy + 3 y (1 − x − y ) + 4x (1 − x − y )

Bài 41: Cho x, y  R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y
HD:
Từ gt=> x = 1 − 2 y thay vào P = y (1 − 2 y )
1
x

Bài 42: Cho x,y  R + thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của: A = +

1
y

HD:
Ta có :

1 1
4
4 2
+ 
= =
x y x + y 10 5

Bài 43: Cho x,y  0, x+y=1, Tìm min, max của: A = x2 + y2
HD:
2
Từ gt=> y = 1 − x thay vào A = x 2 + (1 − x )
14
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


3

2

Bài 44: Tìm min max của: P = x + y + z , biết: y 2 + z 2 + yz = 1 − x 2
HD:
Từ gt => 2 y2 + 2z2 + 2 yz = 2 − 3x2 = 3x2 + 2 y2 + 2z 2 + 2 yz = 2
=> ( x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx ) + ( 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 zx ) = 2
=> ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) = 2 = ( x + y + z )  2
2

2

2

2

Bài 45: Cho x2 + 3y2 + 2xy −10x −14 y +18 = 0 , Tìm min, max của: S = x + y
HD:
2
Từ gt=> x 2 + 2 x ( y − 5) + ( y − 5) + 3 y 2 − 14 y + 18 − y 2 + 10 y − 25 = 0

=> ( x + y − 5) + 2 ( y 2 − 2 y + 1) = 9 = ( x + y − 5)  9 => −3  x + y − 5  3
2

2

Bài 46: Cho a,b,c khơng âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c
HD:
Cộng theo vế giả thiết ta được : 3a + 3c + 5b = 72 = 3 ( a + b + c ) = 72 − 2b  72
Do b  0 = a + b + c 

72
= 24
3

Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho ( a − b )( b − c )( c − a ) = a + b + c
a, CMR: a + b + c 2
b, Tìm GTNN của P = a + b + c
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min
E = 2a + 3b − 4c HD:

c

a = 4 − 3c

Cộng theo vế ta được : a + b = 2 = 
= 
b = 3c − 2
c 


Khi đó: E = 2 ( 4 − 3c ) + 3 (3c − 2) − 4c = 2 − c

4
3 do a  0

2
b  0
3

Bài 48: Cho x, y, z  0, 2 x + 7 y = 2014,3x + 5 z = 3031 , Tìm GTLN của biểu thức : A = x + y + z

HD:
Cộng theo vế của gt ta có: 5x + 5 y + 5z = 5045 − 2 y  5045 do y  0 nên
5 ( x + y + z )  5045 = x + y + z  1009
Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: a 2 + b 2 + c 2 +

ab + bc + ca
4
a b + b 2c + c 2 a
2

Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = 6 , tìm min của:
A = x2 + y 2 + z 2
HD:
Ta có: 12 = 2 x + 2 y + 2 z + 2 xy + 2 yz + 2 zx
MÀ 2 x  x 2 + 1 , 2 y  y2 +1 , 2 z  z 2 + 1 , 2xy  x2 + y2 , 2yz  y2 + z 2 , 2zx  z 2 + x 2
nên 12  3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 = x 2 + y 2 + z 2  3
Bài 51: Cho x2 + y2 + z 2  27, Tìm max A = x + y + z + xy + yz + zx
15
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


HD:

Ta có : ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + yz + zx )  27 + ( x 2 + y 2 + z 2 + z 2 + y 2 + x 2 )  81
2

=> ( x + y + z )  9 , mặt khác xy + yz + zx 

x2 + y 2 y 2 + z 2 z 2 + x2
+

+
= 27
2
2
2

Khi A  9 + 29 = 36 , dấu ‘=’ khi x = y = z = 3
Bài 52: Cho xy + yz + zx = 8 , Tìm min của: A = x4 + y4 + z 4
HD:
2
2
Ta có: 64 = ( xy + yz + zx )  ( x 2 + y 2 + z 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = ( x 2 + y 2 + z 2 )
64  ( x 2 + y 2 + z 2 )  ( x 4 + y 4 + z 4 )(12 + 12 + 12 ) => A 

64
64
, min A =
3
3
1
1
Bài 53: Cho x  2 , x + y  3 , tìm min của: P = x2 + y 2 + +
x x+ y
19a + 3 19b + 3 19c + 3
+ 2
+ 2
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: ab + bc + ca = 3 , Tìm min của: A = 2
b +1
c +1
a +1

2

HD:
A

19 3
1
57 9
19a + 3 19b + 3 19c + 3 19  a b c  3  1 1 1 
 +
+
+
=  + +  +  + +   3. + .3
2 2
abc 2 2
2b
2c
2a
2 b c a 2a b c

Vì 3 = ab + bc + ca  3 3 ( abc ) = abc  1
2

Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a + b + c = 3 , CMR:

a +1 b +1 c +1
+
+
3
b2 + 1 c 2 + 1 a 2 + 1

Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của: A = a 2 + b2 + c 2 + d 2
HD:
2

9
9
9
81

, nên xét  a −   0 = a 2 − a +  0
4
4
2
16

9
81
9
9
81
9
81
81
b 2 − b +  0, c 2 − c +  0, d 2 − d +  0 => a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ( a + b + c + d ) +  0
2
16
2 16
2
2

4
16
81
9
=> A 
dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d =
4
4
2
2
Bài 57: Cho a + b = 2 ,Tìm max của: A = ab ( a + b )

Dự đoán dấu “=” a = b = c = d =

HD:

Ta có: a + b = 2 = a2 + b2 = 4 − 2ab = A = ab ( 4 − 2ab ) = −2a2b2 + 4ab
A = − ( a 2b 2 − 2ab + 1) + 2  2 , Max A = 2

Bài 58: Cho x + y + z = 1 , Tìm min của: A = x + y + z
HD:
Đặt x = a ( t  0) = x = t 2 , y = b, z = c => A = a 2 + b2 + c 2 và a + b + c = 1
1
a

Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b  1 , Tìm min của: P = a + b + +

1
b

HD:
1
1
1
1
= = 2 = 4a ,=> P =  4a +  +  4b +  − 3 ( a + b )  4 + 4 − 3 ( a + b )
2
a
a 
b

mà a + b  1 = 3 ( a + b )  3 = −3 ( a + b )  −3 => P  8 − 3 = 5

Điểm rơi: a = b =

Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: a + b  1 , Tìm min của: A =

1
1
1
+ 2 + 2
3
a + b a b ab
3

16
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


HD:

1
1
1
1
1
= 3 3 = 4, 2 = 8 = 3 3 = 2
2
a +b
ab
a +b
2a b
1
1
1
1
1
1
Khi đó: A = 3 3 + 2 + 2 +
+
 55 3 3 4 6 6
2
2
a + b 2a b 2a b 2ab 2ab
(a + b ) 2 a b

Điểm rơi a = b =

Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: x + y = 4 , tìm min của: P = x2 + y 2 +

33

xy

HD :
k
33
, nên 2 xy = 8 = = k = 32 khi đó:
4
xy
32 1
1
1
4
1
1

= = P  2.8 +
P = 2 xy + +  2 64 + , Mà:
2
xy ( x + y )
4
4
xy xy
xy

Điểm rơi: x = y = 2 khi đó: P  2 xy +

Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: a + b + c + d = 4 , Tìm min của:
M=

(

1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
a +1
b +1 c +1 d +1
2

) (

)

Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: (11x + 6 y + 2015)( x − y + 3) = 0 , Tìm min của: P = xy − 5x + 2016
HD:
Từ gt ta có : 11x + 6 y + 2015 = 0 hoặc x − y + 3 = 0
TH1: Ta có : 11x + 6 y + 2015 = 0 = y =

11x + 2015
thay vào P
6

TH2: ta có: x − y + 3 = 0 = y = x + 3 thay vào P
1
1
1
+ 2

+ 2
a +b+c b +c+a c +a+b
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: 4c + 2b  a ( b2 + c 2 ) , Tìm min của:

Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của: A =

S=

2

3
4
5
+
+
b+c −a a +c −b a +b −c

Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a 2 + b2 + c 2 = 3 , Tìm min P = 2 ( a + b + c ) +  + + 
a b c
1



1

1



Bài 67: Cho x + y + z = 1, tìm min của: F = xy + 2 yz + zx

Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a + b + c = 1, tìm min của:
2

S=

2

2

ab
bc
ca
11 1 1
+ 2 2+ 2
+  + + 
2
2
a +b b +c
c +a
4a b c
2

HD:
Ta có:
ab
bc
ca
1 1 1 1
1
1

1
1a b b c a c

+ 2 2+ 2
+  + + =
+
+
+  + + + + + + 3
2
2
a +b b +c c +a 4 a b c  a + b b + c c + a 4 b a c b c a 
b a c b a c
3 15
1 x 1 y 1 z 3
S =  +  +  +  +  +  +  1 + 1 + 1 + = , dấu “=” khi x2 = 4, y2 = 4, z 2 = 4 Vì đặt
4 4
 x 4  y 4  z 4 4
a b
+ =x
b a
S=

2

17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức


Bài 69: Cho P = xy ( x − 2)( y + 6) + 12x2 − 24x + 3 y 2 + 18 y + 36 , CMR P luôn dương với mọi x,y  R
Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: x + y  ... , Tìm min của: P =

1  x10 y10  1 16
16
2 2
+
 + x + y − 1+ x y
2  y 2 x2  4

(

Bài 71: Tìm min A = 

) (

)

1
2
+ y2 +1+
2
x
5xy
2

Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 3 , Tìm GTLN của : B = xy + yz + zx
HD:
Ta có : B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y ) ( x + y )
y − 3  −3
2
2
= xy + 3 ( x + y ) − ( x + y ) = − x 2 − y 2 − xy + 3x + 3 y = −  x +

 + ( y − 1) + 3  3
2 
4

2

Bài 73: Cho x, y, z >0 Tìm GTNN của: A =

x2
y2
z2
+
+
x 2 + 2 yz y 2 + 2 zx z 2 + 2 xy

HD :
x2
y2
z2
Ta có: A  2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 = 1 dấu bằng khi
x +y +z
y +z +x
x +y +z

2 yz = y2 + z 2 ,2zx = x2 + z 2 ,2xy = x2 + y2 hay x=y=z
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: x2 − 2xy + 2 y2 − 2x + 6 y + 5 = 0 ,
Tính giá trị của biểu thức: P =

3x 2 y − 1
4 xy

Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : x + y + z = 3 , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P=

( x + y )( y + z ) + ( y + z )( z + x ) + ( z + x )( x + y )
( z + x)
( x + y)
( y + z)

Bài 76 : Cho x2 + xy + 3y2 = 5 , Tìm Min hoặc max của biểu thức : P = x2 − 2xy + 2 y2
HD :
P x 2 − 2 xy + 2 y 2
Ta có : = 2
5
x + xy + 3 y 2
1
x

Bài 77 : Cho x  2, x + y  3 , y > 0 , Tìm Min của P = x 2 + y 2 + +

1
x+ y

HD :
1 1
4
1
1
1
1 1

1
+ 
=

+
= P  x 2 + y 2 + +
+
x y x+ y
x + y 4x 4 y
x 4x 4 y
x = 2
5  
1 

P   x2 +  +  y2 +
,
Điểm
rơi
cosi
:

4x  
4 y 

x + y = 3

Ta có :

x2 + 3
Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của: S =

x +1

Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:

a+b
c+b
2 1 1
=
= + , Tìm GTNN của: P =
2 a − b 2c − b
b a c

18
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ là:
2
+ ( a − b )  0 dấu “=” khi a=b
+ a + b  2 ab
+

a b
+ 2
b a

Bài 1: Tìm min của biểu thức: A =

2

1
+ ( 0  x  1)
1− x x

HD:
2 − 2x + 2x 1 − x + x
2x 1 − x
2x 1 − x
+
= 3+
+
 3+ 2
.
= 3+ 2 2
1− x
x
1− x
x
1− x x
2x 1− x
=
= x = 2 − 1
Dấu ‘’ = ’’ khi
1− x
x
x2 + 1
Bài 2: Tìm min của biểu thức: B =
với x  0
x+2

Tách A =

HD:
x2 − 4 + 5
5
5
= x−2+
= x+2+
−4 2 5 −4
x+2
x+2
x+2
5
= x + 2 =  5
Dấu ‘’=’’ khi x + 2 =
x+2
x2 − x + 1
Bài 3: Tìm min của: A = 2
với x > 0
x + x +1

Tách A =

HD:
x2 + x + 1 − 2 x
2x
2
1
2
2

, mà x +  2 =
= 1− 2
= 1−

2
1
1
x
x + x +1
x + x +1
x + +1 3
x +1+
x
x
2
x + x +1
Bài 4: Tìm min của: A = 2
x + 2x +1
x2 + 4 x + 4
Bài 5: Tìm min của: B =
với x  0
x

Tách A =

HD:
4
x

Ta có: B = x + 4 +  4 + 4 = 8 , dấu bằng xảy ra khi x =

4
= x = 2
x

x2
Bài 6: Tìm min của: C =
với x >1
x −1

HD:
1
x2 −1 + 1
1
1
= x = 2
Ta có: C =
= x +1+
= x −1+
+ 2  2 + 2 , Dấu bằng khi x − 1 =
x −1
x −1
x −1
x −1
1
Bài 7: Tìm min của: B = ( x + 1) 1 +  với x > 0
 x

HD:
1

x

Tách B = x + 1 + 1 +  2 + 2 , dấu bằng xảy ra khi x =

1
= x = 1
x

19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức


2

 x2

Bài 8: Tìm min của: A = ( x + 1) + 
+ 2  với x  −1
 x +1 
2

HD:
2


1 
1
2
Tách A = ( x + 1) + ( x + 1) +
2 2+2

 = 2 ( x + 1) + 2 +
2
( x + 1) 
( x + 1)

2

Dấu bằng khi 2 ( x + 1) =

1

2

Bài 9: Tìm min của: A =

( x + 1)

= ( x + 1) =
4

2

1
1
= x + 1 =  4
2
2

x − x +1
x2 − 2 x + 1

Bài 10: Tìm min của: B =

2

x
5
+ với 0 < x < 1
1− x x

HD:

5 (1 − x )
5 (1 − x )
x
x
5 − 5x + 5x
x
+
=
=
+
+ 5  2 5 + 5 , dấu bằng khi
1− x
1− x
x
1− x
x
x
x

2
Bài 11: Tìm min của: C = +
(x > 1)
2 x −1

Ta có: B =

HD:
C=

x −1
x −1 +1
2
x −1
2
2
1
1
+
=
=
+
+  2 + , Dấu bằng khi
2
2
x −1
2
x −1
x −1 2
2

2

 x y  x y
Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của: P =  +  −  +  − 2
 y x  y x

HD:
2

2

x y
1 9

 1 9
Đặt + = t = P = t 2 − t − 2 =  t −  − , mà t  2 = P   2 −  − = 0
y x
2 4

 2 4
( x + a )( x + b ) với x > 0
Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của: A =
x

HD:
Ta có: B =

x 2 + ax + bx + ab
ab 


= a + b +  x +   a + b + 2 ab =
x
x 


(

a+ b

Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho

)

2

a b
+ = 1 , Tìm x,y để
x y

S = x + y đạt min, Tìm min S theo a,b

HD:
a

b

bx

ay

Ta có S = ( x + y )  +  = a + b + +  a + b + 2 ab , min S =
y x
x y

(

a+ b

)

2

a b
ay bx
mà + = 1 = x = a + ab , y = b + ab
=
x y
x
y
2
1
+ với 0  x  1
Bài 15: Tìm min của: A =
1− x x

Dấu bằng khi

HD:
Ta có: A =

2 − 2x + 2x 1− x + x
2x 1− x
2x 1− x
+
= 3+
+
 3 + 2 2 , dấu bằng khi
=
1− x
x
1− x
x
1− x
x

20
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR:

a
b
c
3
+
+

b+c c+a a+b 2

HD:

y+z−x
x+z− y
x+ y−z
,b =
,c =
, thay vào VT
2
2
2
 x y  z x  z y
y z  x z  x y 
Ta được:  + − 1 +  + − 1 +  + − 1  3 =  +  +  +  +  +   6
x x  y y  z z 
 y x x z  y z
x
4
+
Bài 17: Cho 01− x x

Đặt x = b + c, y = c + a, z = a + c => a =

HD:
Ta có: B =

4 (1 − x )
4 (1 − x )
x

4 − 4x + 4x
x
x
+
= 4+
+
 4 + 4 , dấu bằng khi
=
1− x
x
1− x
x
1− x
x

Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min A = xy
HD:
Từ gt ta có: y = 11 − x , thay vào A = x (11 − x ) = − x2 + 11x
Bài 19: Cho x, y  Z+* , Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của: B = xy
HD:
Ta có : ( x + y ) − ( x − y )
2

( x + y) − ( x − y)
= 4 xy = xy =
2

2

để xy lớn nhất thì ( x − y )

2

2

,

4
2
nhỏ nhất, do x,y  Z mà x+y=2016 và x # y=> ( x − y )  1 =>

20162 1
− = 1005006 => Max B
4
4
2
Để xy nhỏ nhất thì ( x + y ) lớn nhất, mà x, y  z , Giả sử : x < y=> 1  x, y  2016
xy 

= 1  ( x − y )
2

2

20162 − 20142
 2014 => xy 
= 2015 = Min B
4
2

2

1 
1

Bài 20: Tìm min của: A =  x +  +  y +  biết: x,y>0 và x+ y =1
x 
y

2

HD:
 x2 + y 2 
1 1
1 
2
2
2
2 
+
+
4
=
x
+
y
+
(
)
 2 2  + 4 = ( x + y ) 1 + 2 2  + 4

2
2
x
y
 x y 
 x y 
1
2
1
Ta có : 2 ( x 2 + y 2 )  ( x + y ) = 1 = x 2 + y 2  , và x + y  2 xy = 1  2 xy = 2 2  16
2
x y
1
25
Khi đó : A  . (1 + 16 ) + 4 =
2
2
2
2
2
1 
1 
1

Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của : B =  a +  +  b +  +  c + 
a 
b 
c

A = x2 + y 2 +

HD:
Ta có : B = ( a 2 + b2 + c2 ) + 

1 1 1
+ 2 + 2  + 6 , Từ 1 = a + b + c
2
a b c 
2

1
 1 1 1
 1 1 1
và  + +   3  2 + 2 + 2 
3
a b c
a b c 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
mà ( a + b + c )  + +   9 = + +  9 => 3  2 + 2 + 2   81 = 2 + 2 + 2  27
a b c
a b c
a b c
a b c 
1 = ( a + b + c )  3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = a 2 + b 2 + c 2 
2

21

GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức


1
3

Vậy B  + 27 + 6
b+c

c+a

a+b


Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của: A = 
+
+
+
+
+

b
c
b+c c +a a +b 
 a
a

b

c

1 1 1 1
1
1
1
+ + = , CMR: P =
+
+
1
x y z 4
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
a 3 b3 c 3
Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: a + b + c + ab + bc + ca = 6 , Tìm min của: A = + +
b c a

Bài 22: Cho x,y,z  0 , Thỏa mãn:

1 
1

Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của: A =  x +  +  y + 
x 
y

2 x 2 + y 2 + 12 xy
Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: A =
x+ y
2

(

2

)

HD:
2 ( x + y ) − 2 xy  + 12 xy 2 ( x + y )2 + 8 xy

1 
1

Ta có : A = 
, Co si x + y +
=
= 2 x + y +
2

x+ y
x+ y
x+ y
x+ y

 x, y  0
1

=> A  4 dấu bằng khi  x + y = 1 = x = y =
2
4 xy = 1

1 1

Bài 26: Cho x,y>0 và x3 + y3 + 3 ( x 2 + y 2 ) + 4 ( x + y ) + 4 = 0 , Tìm min của: A = +
x y
2

HD:
3
3
2
2
Gt= ( x + 1) + ( y + 1) + ( x + y + 2) = 0 = ( x + y + 2) ( x + 1) − ( x + 1)( y + 1) + ( y + 1) + 1 = 0


Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0

1 1 x + y −2
1
−2
2
, mà ( x + y )  4 xy = 4  4 xy =  1 =  −2
+ =
=
x y
xy
xy
xy
xy
2
2
 x y
x

y
Bài 27: Tìm min của: 2 + 2 − 3  +  + 5
y
x
 y x
a b
1
Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện a +  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +
b a
b

Mặt khác :

22
GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức