Một số bất đẳng thức đại số và bài toán GTLN và GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi cao đẳng - đại học pot

TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


THAM LU N Ậ
M T S B T Đ NG TH C Đ I S và BÀI TOÁN GTLN & GTNN Ộ Ố Ấ Ẳ Ứ Ạ Ố
C A BI U TH C Đ I S TRONG CÁC Đ THI CĐ - ĐHỦ Ể Ứ Ạ Ố Ề
B t đ ng th c là m t m ng ki n th c khó c a toán h c ph thông, nó th ngấ ẳ ứ ộ ả ế ứ ủ ọ ổ ườ
xuyên xu t hi n trong các đ thi HSG cũng nh thi tuy n sinh CĐ - ĐH. Đã có r t nhi uấ ệ ề ư ể ấ ề
tác gi , nhi u tài li u đ c p v b t đ ng th c; hôm nay, trong khuôn kh c a m t bu iả ề ệ ề ậ ề ấ ẳ ứ ổ ủ ộ ổ
sinh ho t chuyên môn c m 6, chúng tôi xin đ c phép gi i thi u l i m t s b t đ ng th cạ ụ ượ ớ ệ ạ ộ ố ấ ẳ ứ
và bài toán GTLN & GTNN c a m t s bi u th c đ i s đã đ c ra thi ho c t ng t v iủ ộ ố ể ứ ạ ố ượ ặ ươ ự ớ
các d ng trong đ thi CĐ - ĐH trong nh ng năm v a qua .ạ ề ữ ừ
I. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 2 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố
∀ a, b ≥ 0 :
a + b
ab
2
≥
; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = bẳ ứ ả ỉ
Ví d 1 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : ố ươ ỏ
1 1 1
+ + = 4
a b c
.
Ch ng minh r ng : ứ ằ
1 1 1
+ + 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
≤
(TSĐH - Kh i A - Năm 2005)ố
 Nh n xét : V i x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)ậ ớ

2
⇔
1 x + y 1 1 1 1
+
x + y 4xy x + y 4 x y
 
≤ ⇔ ≤
 ÷
 
D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b
 Áp d ng k t qu trên, ta có : ụ ế ả

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + = + +
2a + b + c 4 2a b + c 4 2a 4 b c 8 a 2b 2c
 
     
≤ ≤
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

(1)
T ng t : ươ ự
1 1 1 1 1
+ +
a + 2b + c 8 2a b 2c
 
≤

 ÷
 
(2)

1 1 1 1 1
+ +
a + b + 2c 8 2a 2b c
 
≤
 ÷
 
(3)
 T (1), (2) và (3) suy ra : ừ
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + = 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
 
≤
 ÷
 
D u (=) x y ra ấ ả
a = b = c
3
a = b = c =
1 1 1
4
+ + = 1
a b c



⇔ ⇔



Ví d 2 :ụ Cho x, y, z là các s d ng th a : ố ươ ỏ
1 4 9
+ + = 1
x y z
. Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ
P = x + y + z .
 Ta có :P = x + y + z = (x + y + z).
1 4 9
+ +
x y z
 
 ÷
 

=
4x y 9x z 9y 4z
14 + + + + + +
y x z x z y
   
 
 ÷  ÷
 ÷
 
   

4x y 9x z 9y 4z
14 + 2 . + 2 . + 2 .
y x z x z y
≥
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 96
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


 D u (=) x y ra ấ ả ⇔
1 4 9
+ + = 1
x y z
4x y 9x z 9y 4z
= , = , =
y x z x z y







⇔
x = 6
y = 12
z = 18







 V y : Pậ
min
= 36 khi x = 6, y = 12, z = 18 .
 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng : ộ ạ ủ ộ ứ ằ
4a 9b 16c
+ + 26
b + c - a c + a - b a + b - c
≥
2. Cho x, y, z > 0 và th a : xyz = 1. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ
2 2 2 2 2 2
yz zx xy
P = + +
x y + x z y z + y x z x + z y
 H ng d n : ướ ẫ
1. Đ t : x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c (x, y, z > 0) ặ
y + z z + x x + y
a = , b = , c =
2 2 2
⇒
Khi đó :
2(VT) =
4(y + z) 9(z + x) 16(x + y) 4y 9x 4z 16x 9z 16y
+ + = + + + + +
x y x y x z y zz
   

 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Áp d ng bđt Cosi , . . . ụ ⇒ (đpcm)
2. Đ t : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1) ặ
2 2 2
a b c
P = + +
b + c c + a a + b
⇒
 Áp d ng bđt Cosi , ta có : ụ
2 2
a b + c a b + c
+ 2 = a
b + c 4 b + c 4
≥
,
t ng t : ươ ự
2 2
b c + a c a + b
+ b , + c
c + a 4 a + b 4
≥ ≥
 C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế
3
P . . .
2
≥ ≥

. K t lu n : MinP = ế ậ
3
2
⇔ x = y = z =
1
II. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 3 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố
∀ a, b, c ≥ 0 :
3
a + b + c
abc
3
≥
; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = b = cẳ ứ ả ỉ
Ví d 3 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1. ố ươ ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
3 3 3 3 3 3
1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a
+ + 3 3
ab bc ca
≥

(TSĐH - Kh i D - Năm 2005)ố
Tacó :
3 3
33 3 3 3 3 3
1 + a + b 3
1 + a + b 3 1.a .b = 3ab 1 + a + b 3. ab
ab
ab
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

T ng t : ươ ự
3 3
1 + b + c 3

bc
bc
≥
,
3 3
1 + c + a 3

ca
ca
≥

 C ng 3 b t đ ng th c trên v theo v , ta có : ộ ấ ẳ ứ ế ế

3 3 3 3 3 3
1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 1 1
+ + 3 + +
ab bc ca
ab bc ca
 
≥
 ÷
 
(1)

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 97

TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


 L i có : ạ
3
3
2
1 1 1 1 3
+ + 3 = = 3
ab bc ca abc
(abc)
≥
, vì abc = 1 (2)
 T (1) và (2) suy ra : (đpcm) .ừ D u (=) x y ra ấ ả ⇔
a = b = c = 1
Ví d 4 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i. Tìm GTNN c a bi u th c : ố ươ ổ ủ ể ứ
x 1 y 1 z 1
P = x + + y + + z +
2 yz 2 zx 2 xy
   
 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
 Ta có :
2 2 2 2 2 2
x y z x + y + z
P = + + +
2 2 2 xyz

≥
2 2 2
x y z xy + yz + zx
+ + +
2 2 2 xyz
=
2 2 2
x 1 y 1 z 1
+ + + + +
2 x 2 y 2 z
     
 ÷  ÷  ÷
     
 Ngoài ra :
2 2 2
3
x 1 x 1 1 x 1 1 3
+ = + + 3 . . =
2 x 2 2x 2x 2 2x 2x 2
≥
T ng t : ươ ự
2 2
y 1 3 z 1 3
+ ; +
2 y 2 2 z 2
≥ ≥
Suy ra : P ≥
9
2

. D u (=) x y ra ấ ả ⇔ x = y = z = 1
 V y : Pậ
min
=
9
2
khi x = y = z = 1
 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c > 0 và th a a + b + c = 1. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ

2 2 2
1 1 1 1
+ + + 30
a + b + c ab bc ca
≥
2. Cho x, y, z > 0 và th a : x + y + z ≥ 6. Tìm GTNN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ

3 3 3
x y z
P = + +
y + z z + x x + y
 H ng d n : ướ ẫ
1. Ta có : (VT) =
2 2 2 2 2 2
3
1 1 1 1 1 3
+ + + +
a + b + c ab bc ca a + b + c
ab.bc.ca
≥

2 2 2
1 9
+
a + b + c ab + bc + ca
≥
=
2 2 2
1 1 1 7
= + + +
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
 
 ÷
 
. . . .

2 2 2
9 21
+
(a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca)
≥

2 2 2
9 21 30
+ 30
(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)
≥ = ≥
2.  Áp d ng bđt Cosi , ta có :ụ
3
x y + z
+ + 2 3x

y + z 2
≥
,

3 3
y z + x z x + y
+ + 2 3y , + + 2 3z
z + x 2 x + y 2
≥ ≥


Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 98
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


 C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế
P 2(x + y + z) - 6 2.6 - 6 = 6 ≥ ≥
.
K t lu n : MinP = 6 ế ậ ⇔ x = y = z = 2
III. D ng s d ng b t đ ng th c Bunhiacopski (BCS) :ạ ử ụ ấ ẳ ứ
∀ a, b, c, d ∈ R :
2 2 2 2 2
(ac + bd) (a + b ).(c + d )≤
hay
2 2 2 2
ac + bd (a + b ).(c + d )≤
;
đ ng th c x y ra khi và ch khi : ẳ ứ ả ỉ
a b
=

c d
Ví d 5 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1.ố ươ ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2 2
1 1 1 3
P = + +
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
≥

Cách 1: Đ t x = ặ
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
thì x, y, z > 0 và xyz = 1
BĐT c n ch ng minh t ng đ ng: ầ ứ ươ ươ
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
( BĐT Nesbit)
⇔
1 1 1 9
( )

2
x y z
y z z x x y
 
+ + + + ≥
 ÷
+ + +
 
⇔
( )
1 1 1
( ) ( ) ( ) 9y z z x x y
y z z x x z
 
+ + + + + + + ≥
 ÷
+ + +
 
BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1)
2
=
2
1 1 1
y z z x x y
y z z x x y
 
+ + + + +
 ÷
 ÷
+ + +

 

( )
1 1 1
( ) ( ) ( )y z z x x y
y z z x x y
 
≤ + + + + + + +
 ÷
+ + +
 
D u (=) x y ra ấ ả
⇔
x = y = z = 1
⇔
a = b = c = 1
Cách 2: Ta có
2
2
1 1 1 1 1 1
+ + = b + c + c + a + a + b
a b c
a b + c b c + a c a + b
 
 
 ÷
 ÷
 
 

( )
2 2 2
1 1 1
+ + b + c + c + a + a + b
a (b + c) b (c + a) c (a + b)
 
≤
 ÷
 
= 2(a + b + c).P
Suy ra P ≥
1
2
1
a + b + c
.
2
1 1 1
+ +
a b c
 
 ÷
 

3 1 1 1 1 3 1 a + b + c 3
+ + = =
2 a + b + c ab bc ca 2 a + b + c abc 2
 
≥
 ÷

 

 D u (=) x y ra ấ ả ⇔
a = b = c = 1
Ví d 6 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i th a đi u ki n xyz = 1. Tìm GTNN c a bi uố ươ ổ ỏ ề ệ ủ ể
th c : ứ

2 2 2
x (y + z) y (z + x) z (x + y)
P = + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y

(TSĐH - Kh i A - Năm 2007)ố
 Nh n xét ậ ∀ y, z > 0 :
2
y + z 2 yz =
x
≥
(vì xyz = 1)

2
x (y + z) 2x x ⇒ ≥ ⇒

2
x (y + z) 2x x

y y + 2z z y y + 2z z
≥

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 99

TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


Xét hai b t đ ng th c t ng t n a, ta thu đ cấ ẳ ứ ươ ự ữ ượ
y y
x x z z
P 2 + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
 
≥
 ÷
 ÷
 
 Đ t ặ
a = x x , b = y y , c = z z
⇒ a, b, c > 0 và abc = 1.
Khi đó :
a b c
P 2 + + = 2S
b + 2c c + 2a a + 2b
 
≥
 ÷
 
 Ta có :
( )
2
2
a b c
a + b + c = a(b + 2c). + b(c + 2a). + c(a + 2b).

b + 2c c + 2a a + 2b
 
 
 

[ ]
a b c
a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) + +
b + 2c c + 2a a + 2b
 
≤
 ÷
 
⇔ (a + b + c)
2
≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra
( )
2
a + b + c
S 1
3(ab + bc + ca)
≥ ≥
. Do đó : P ≥ 2
D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1
 V y : Pậ
min
= 2 khi x = y = z = 1

 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c > 0 và th a : a + b + c + ỏ

2abc
≥ 10 . Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
8 9b c a 8 9c a b 8 9a b c
+ + + + + + + + 6 6
a 2 4 b 2 4 c 2 4
≥
2. Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN c a bi u th c : ủ ể ứ
3x 4y 5z
P = + +
y + z z + x x + y
 H ng d n : ướ ẫ
1. Áp d ng bđt BCS, ta có :ụ
2 2 2
2
8 9b c a 2 2 3b ca 4
2 + 18 + 4. + + 2. + 3 2. + 2. = + 9b + ca
a 2 4 a 2 a
2
≥

2 2 2 2 2 2
2 2
8 9c a b 4 8 9a c b 4
24. + + + 9c + ab , 24. + + + 9a + bc
b 2 4 b c 2 4 c
≥ ≥
 C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra :ộ ế ế
1 1 1

24.(VT) 4 + + + 9(a + b + c) + ab + bc + ca
a b c
 
≥
 ÷
 


4 4 4
+ a + + b + + c + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
a b c
     
≥
 ÷  ÷  ÷
     

4 4 4
2 .a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
a b c
≥

72
= 12 + 6(a + b + c + 2abc) 12 + 6.10 = 72 (VT) = 6 6
24
≥ ⇒ ≥
2. Ta có :
3x 4y 5z
P = + 3 + + 4 + + 5 - 12
y + z z + x x + y
   

 
 ÷  ÷
 ÷
 
   


Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 100
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM



( )
3 4 5
= x + y + z + + - 12
y + z z + x x + y
 
 ÷
 

( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
1 3 4 5
= x + y + y + x + z + x + + - 12
2 y + z z + x x + y
 
     
 

 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

2
1
( 3 + 4 + 5) - 12
2
≥
 K t lu n : MinP = ế ậ
2
1
( 3 + 2 + 5) - 12
2
⇔
y + z z + x x + y
= =
2
3 5
IV. D ng s d ng tính ch t c a hàm s - ph ng pháp hàm s :ạ ử ụ ấ ủ ố ươ ố

•
Cho hàm s f(x) xác đ nh trên K (K là m t kho ng, m t đo n ho c n a kho ng)ố ị ộ ả ộ ạ ặ ử ả
Hàm s f(x) g i là đ ng bi n trên K n u : ố ọ ồ ế ế
∀
x
1
, x

2

∈
K , x
1
< x
2

⇒
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm s f(x) g i là ngh ch bi n trên K n u : ố ọ ị ế ế
∀
x
1
, x
2

∈
K , x
1
< x
2

⇒
f(x
1

) > f(x
2
)

•
Cho hàm s f(x) có đ o hàm trên kho ng K . N u fố ạ ả ế
’
(x) ≥ 0 ,
∀
x
∈
K (ho c fặ
’
(x) ≤ 0 ,
∀
x
∈
K ) và f
’
(x) = 0 ch t i m t s h u h n đi m c a K thì hàm s f(x) đ ng bi n (ho cỉ ạ ộ ố ữ ạ ể ủ ố ồ ế ặ
ngh ch bi n) trên K.ị ế
L u ý :ư Kho ng K trong k t qu này đ c thay b i m t đo n ho c m t n aả ế ả ượ ở ộ ạ ặ ộ ử
kho ng thì ph i b sung gi thi t “Hàm s f(x) này liên t c trên đo n ho c n a kho ngả ả ổ ả ế ố ụ ạ ặ ử ả
đó”
Ví d 7ụ : Cho a, b là các s th c th a mãn : 0 < a < b < 1. ố ự ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2
a .lnb - b .lna > lna - lnb

(TSCĐ - Kh i A, B, D - Năm 2009)ố

 Ta có : (đpcm) ⇔
2 2
2 2
lna lnb
(1 + b ).lna < (1 + a ).lnb <
a + 1 b + 1
⇔
 Xét hàm s : ố
2
lnx
f(x) =
x + 1
v i 0 < x < 1 ớ ⇒
2 2
'
2 2
x + 1 - 2x .lnx
f (x) = > 0 , x (0; 1)
x(x + 1)
∀ ∈
⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (0; 1)ố ồ ế ả
 Khi đó : 0 < a < b < 1 ⇒ f(a) < f(b)
2 2
lna lnb
<
a + 1 b + 1
⇔
Ví d 8 :ụ Cho a ≥ b > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ
b a
a b

a b
1 1
2 + 2 +
2 2
   
≤
 ÷  ÷
   

(TSĐH - Kh i D- Năm 2007)ố
 Ta có : (đpcm) ⇔
( ) ( )
a b
b a
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)
4 + 1 4 + 1
a b
≤ ⇔ ≤
 Xét hàm s : ố
x
ln(1 + 4 )
f(x) =
x
v i x > 0 ớ
⇒
x x x x
'
2 x
4 .ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )

f (x) = < 0 , x (0; + )
x (1 + 4 )
∀ ∈ ∞
⇒ f(x) là hàm s luôn ngh ch bi n trên kho ng (0; + ố ị ế ả ∞)
 Khi đó : a ≥ b > 0 ⇒ f(a) ≤ f(b)
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)

a b
⇔ ≤

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 101
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


Ví d 9 :ụ Cho a > b > 0. Ch ng minh r ng : ứ ằ
a + b a - b
>
2 lna - lnb

 Vì : a > b > 0 ⇒ lna > lnb ⇒ lna - lnb > 0
Ta có : (đpcm) ⇔
a
- 1
a - b a
b
lna - lnb > 2 ln - 2 > 0
a
a + b b
+ 1

b
⇔
 Xét hàm s : ố
2(x - 1)
f(x) = lnx -
x + 1
v i x > 1 ớ
⇒
2
'
2 2
1 4 (x - 1)
f (x) = - = > 0 , x (1; + )
x (x + 1) x(x + 1)
∀ ∈ ∞
⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (1; + ố ồ ế ả ∞)
 Khi đó : a > b > 0 ⇒
a
b
> 1 ⇒ f(
a
b
) > f(1) = 0
a
- 1
a
b
ln - 2 > 0
a
b

+ 1
b
⇔
Ví d 10 :ụ Cho hai s th c x, y thay đ i sao cho : 2(xố ự ổ
2
+ y
2
) - xy = 1.
Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c : ủ ể ứ
4 4
x + y
P =
2xy + 1
 Nh n xét : 1 = 2(xậ
2
+ y
2
) - xy ≥ 2.2xy - xy = 3xy ⇒ xy ≤
1
3

1 = 2(x
2
+ y
2
) - xy = 2.(x + y)
2
- 5xy ≥ -5xy ⇒ xy ≥
1
5

−

Và :
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
xy + 1
- 2x y
x + y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + 1
2
P = = = =
2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4
 
 ÷
 
 Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ
1 1
t ;
5 3
 
∈ −
 
 
Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố
2
-7t + 2t + 1
f(t) =
8t + 4
v i ớ
1 1

t ;
5 3
 
∈ −
 
 

2
' ' 2
2
t = -1 (loai)
56t - 56t
f (t) = ; f (t) = 0 56t - 56t = 0
t = 0
(8t + 4)

−
⇒ − ⇔



1 2 1 2 1
f(- ) = , f( ) = , f(0) =
5 15 3 15 4
 V y : ậ
2 2
1 1
- ;
5 3
1

x + y =
1
Max P = Max f(t) = . . .
2
4
xy = 0
 
 
 


⇔ ⇔





2 2 2 2
1 1
- ;
5 3
2 2
x + y = x + y =
2
3 5
Min P = Min f(t) = . . .
1 1
15
xy = xy = -
3 5

 
 
 
 
 
 
⇔ ∨ ⇔
 
 
 
 



Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 102
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b th a mãn : 0 < a < b < 4. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ
a(b - 4)
ln < a - b
b(4 - a)

2. Cho a, b th a mãn : a > b ≥ e. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ
b a
a < b

3. Cho a, b th a mãn : a > b > 0. Ch ng minh r ng : ỏ ứ ằ
5.lna - 4.lnb > ln(5a - 4b)

4. Cho x, y ≥ 0 th a : x + y = 1. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ
P = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy
(TSĐH - Kh i D- Năm 2009)ố
 H ng d n : ướ ẫ
1.  V i : 0 < a < b < 4 . ớ Ta có : (đpcm) ⇔
a b
ln - a < ln - b
4- a 4- b
 Xét hàm s : ố
x
f(x) = ln - x
4 - x
v i 0 < x < 4 ớ ⇒
2
'
(x - 2)
f (x) = 0 , x (0; 4)
x(4 - x)
≥ ∀ ∈
và f
’
(x) =
0 khi x = 2
⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (0; 4)ố ồ ế ả
 Khi đó : 0 < a < b < 4 ⇒ f(a) < f(b) ⇔ (đpcm)

2.  V i : a > b ≥ e . ớ Ta có : (đpcm) ⇔
lna lnb
b.lna < a.lnb <
a b
⇔
 Xét hàm s : ố
lnx
f(x) =
x
v i x ≥ e ớ ⇒
'
2
1 - lnx
f (x) = < 0 , x (e; + )
x
∀ ∈ ∞
mà f(x) liên t cụ
trên [e; +∞) ⇒ f(x) là hàm s luôn ngh ch bi n trên kho ng [e; +ố ị ế ả ∞)
 Khi đó : a > b ≥ e ⇒ f(a) < f(b) ⇔ (đpcm)
3.  V i : a > b > 0 . ớ Ta có : (đpcm) ⇔
5
5 5
4 4
a a a a
ln > ln(5a - 4b) > 5a - 4b - 5 + 4 > 0
b b b b
 
⇔ ⇔
 ÷
 

 Đ t : ặ
a
x =
b
, x > 1 . Xét hàm s : ố
5
f(x) = x - 5x + 4
v i x > 1 ớ
L p BBT, d dàng k t lu n : f(x) > 0 v i m i x > 1 , suy ra : (đpcm)ậ ễ ế ậ ớ ọ
4.  Bi n đ i : P = 16(xy)ế ổ
2
- 2xy + 12
 Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ
1
t 0;
4
 
∈
 
 
Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố
2
f(t) = 16t - 2t + 12
v i ớ
1
t 0;
4
 
∈
 

 

' '
1
f (t) = 32t - 2 ; f (t) = 0 t =
16
⇔

1 25 1 191
f(0) = 12 , f( ) = , f( ) =
4 2 16 16
 V y : ậ
1
0;
4
x + y = 1
25
Max P = Max f(t) = . . .
1
xy =
2
4
 
 
 


⇔ ⇔




;
1
0;
4
x + y = 1
191
Min P = Min f(t) = . . .
1
16
xy =
16
 
 
 


⇔ ⇔




V. D ng s d ng mi n giá tr đ tìm GTLN & GTNN :ạ ử ụ ề ị ể

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 103
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


Ví d 11 :ụ Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s : y = ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2sin cos

sin 2cos 3
x x
x x
−
+ +

HD: TXĐ: D = R
y =
2sin cos
sin 2cos 3
x x
x x
−
+ +
⇔
(y – 2)sinx + (2y + 1)cosx = – 3y (1)
Ph ng trình (1) có nghi m khi và ch khi: 9yươ ệ ỉ
2

≤
(y – 2)
2
+ (2y + 1)
2

⇔
–
5
2
≤

y
≤
5
2
Suy ra : maxy =
5
2
và miny = –
5
2
Ví d 12 :ụ Cho hai s th c x, y th a mãn xố ự ỏ
2
+ y
2
= 2(x + y) + 7 . Tìm giá tr l n nh t , giá trị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th cỏ ấ ủ ể ứ
P =
3 3
( 2) ( 2)x x y y− + −

HD: G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ
∈
T
⇔
H sau có nghi m ệ ệ
2 2
3 3
2( ) 7
( 2) ( 2)
x y x y

x x y y m

+ = + +


− + − =



(I)
+ Đ t u = ặ
3
( 2)x x −
, v =
3
( 2)y y −
, ta có u =
2
3
( 1) 1 1x − − ≥ −
, t ng t vươ ự
≥
– 1 .
+H (I) tr thành ệ ở
3 3 3
7 ( ) 3 ( ) 7u v u v uv u v
u v m u v m
 
+ = + − + =
⇔

 
+ = + =
 
⇔
3
7
3
m
uv
m
u v m

−
=



+ =

(II)
u, v là hai nghi m ph ng trình ệ ươ
3
2
7
0
3
m
t mt
m
−

− + =
(1)
+H (I) có nghi m ệ ệ
⇔
H (II) có nghi m (u, v) th a uệ ệ ỏ
≥
– 1và v
≥
– 1

⇔
Ph ng trình (1) có 2 nghi m tươ ệ
1
, t
2
th a – 1ỏ
1 2
t t≤ ≤
⇔
1 2
1 2
0
( 1) ( 1) 0
( 1)( 1) 0
t t
t t
∆ ≥


+ + + ≥



+ + ≥

⇔
3
2
3
4( 7)
0
3
2 0
7
1 0
3
m
m
m
m
m
m
m

−
− ≥



+ ≥



−

+ + ≥


⇔
3
0 28
2
0 1
m
m
m m

< ≤

≥ −


< ∨ ≥

⇔
3
1 28m≤ ≤
Do đó T = [1,
3
28
] . V y minP = 1 và maxP = ậ
3

28

Ví d 13 :ụ Cho x,y là các s th c th a mãn 3xố ự ỏ
2
+ 2xy + y
2
= 11. Tìm GTLN, GTNN c a bi uủ ể
th c ứ
P = x
2
+ 2xy + 3y
2

HD:G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ
∈
T
⇔
H sau có nghi m ệ ệ
2 2
2 2
3 2 11
2 3
x xy y
x xy y m

+ + =


+ + =



(I)
+N u x = 0 thì h tr thành ế ệ ở
2
2
11
11
33
3
y
y
m
y m


=
= ±
 
⇔
 
=
=




+Xét tr ng h p x ườ ợ
≠
0 . Đ t y = tx ta có h ặ ệ
2 2

2 2
(3 2 ) 11
(1 2 3 )
x t t
x t t m

+ + =


+ + =



Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 104
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


⇔
2 2
2 2
(3 2 ) 11(1 2 3 )
(3 2 ) 11
m t t t t
x t t

+ + = + +


+ + =



⇔
2
2
( 33) 2( 11) 3 11 0
11
2 3
m t m t m
x
t t

− + − + − =


= ±

+ +

(II)
H (I) có nghi m ệ ệ
⇔
H (II) có nghi m x ệ ệ
≠
0
⇔
(m – 33)t
2
+ 2(m – 11)t + 3m – 11 = 0 (1) có
ngh
+N u m = 33 thì (1) có nghi m t = ế ệ

1
2
−
+Xét m
≠
33, khi đó (1) có nghi m ệ
⇔
'
t
∆ ≥
0
⇔
(m – 11)
2
– (m – 33)(3m – 11)
≥
0
⇔
– 2m
2
+ 88m – 242
≥
0
⇔
m
{ }
[22 11 3, 22 11 3] \ 33∈ − +
+ K t h p các tr ng h p trên ta đ c các giá tr đ h có nghi m là mế ợ ườ ợ ượ ị ể ệ ệ
[22 11 3, 22 11 3]∈ − +
Do đó T =

[22 11 3, 22 11 3]− +
. V y minT = 22 – 11ậ
3
, maxT = 22 + 11
3
 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1: Cho hai s th c thay đ i xố ự ổ
≠
0, y
≠
0 th a mãn xy(x + y) = xỏ
2
– xy + y
2
. Tìm giá tr l n nh tị ớ ấ
c a bi u th c: ủ ể ứ
A =
3 3
1 1
x y
+
( ĐH kh i A – 2006)ố
2: Cho x, y là hai s thay đ i th a mãn x + y + xố ổ ỏ
2
+ y
2
= 8. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nhị ớ ấ ị ỏ
nh t c a bi u th c: P = xy(x + 1)(y + 1)ấ ủ ể ứ
 H ng d n : ướ ẫ
1.  T là t p giá tr c a A. Ta có mậ ị ủ

∈
A
⇔
H sau có nghi m xệ ệ
≠
0, y
≠
0
⇔
2 2
3 3
( )
1 1
xy x y x xy y
m
x y

+ = − +


+ =


⇔
2 2
2 2
3 3
( )
( )( )
xy x y x xy y

x y x xy y
m
x y

+ = − +


+ − +
=


⇔
2 2
2
2 2
( )
( )
xy x y x xy y
x y
m
x y

+ = − +


+
=


(I)

Đ t S = x + y, P = xy, Sặ
2

≥
4P ta có h ệ
2
2
2
3SP S P
S
m
P

= −


=


(II)
H (I) có nghi m xệ ệ
≠
0, y
≠
0
⇔
H (II) có nghi m (S,P) th a mãn Sệ ệ ỏ
2

≥

4P
⇔
m
{ }
(0;16]\ 1∈
V y maxA = 16ậ
2.  T là t p giá tr c a P. Ta có mậ ị ủ
∈
T
⇔
H sau có nghi mệ ệ
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =

+ + =

+ Đ t u = x + xặ
2
, v = y + y
2
, đi u ki n u, v ề ệ
1
4
≥ −
. H tr thành ệ ở

8u v
uv m
+ =


=

.
Khi đó u, v là hai nghi m ph ng trình tệ ươ
2
– 8t + m = 0 (1)
+ H có nghi m ệ ệ
⇔
(1) có nghi m tệ
1
, t
2
th a mãn ỏ
1 2
1
4
t t− ≤ ≤
1 2
1 2
' 0
33
( 1/ 4)( 1/ 4) 0 16
16
( 1/ 4) ( 1/ 4) 0
t t m

t t
∆ ≥


⇔ + + ≥ ⇔ − ≤ ≤


+ + + ≥


Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 105
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM


V y minP = ậ
33
16
−
, maxP = 16
Tam Kỳ, ngày 10 tháng 03 năm 2011
T TOÁN - TIN Ổ
THPT CHUYÊN NGUY N B NH KHIÊMỄ Ỉ

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 106
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM



Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 107