Tài liệu PTDHR HK2 0506 Web ppt

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6
GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006)

NỘI DUNG

1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN
2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE
3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUYỀN

NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN

BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN

Phương trình elliptic (tónh – static):
( )
yxf
y
u
x
u
,
2
2
2
2

=
∂
∂
+
∂
∂
Phương trình parabolic (truyền nhiệt):
0
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
a
t
u
Xấp xỉ đạo hàm riêng:
( )
( ) ( )
t
txuttxu
tx
t
u

∆
−∆+
≈
∂
∂ ,,
,
( )
tx,
( )
ttx ∆+,
t∆
Phương trình hyperbolic (truyền sóng):
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
a
t
u
( )

( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
,,2,
,
x
yxxuyxuyxxu
yx
x
u
∆
∆−+−∆+
≈
∂
∂
xx ∆+
xx ∆−
x
x∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
4321
2
2
2
2
4

x
PuPuPuPuPu
y
u
x
u
∆
−+++
≈
∂
∂
+
∂
∂
P
1
P
2
P
3
P
4
P

BÀI TOÁN ELLIPTIC

Toán tử Laplace:
Ptrình Poisson (f ≡ 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet
( )






Ω∂=Γ∈=
⊂Ω∈=
∂
∂
+
∂
∂
=∆
),(),,(),(
,),,(),(),(
2
2
2
2
2
yxyxgyxu
Ryxyxfyx
y
u
yx
x
u
u
( )
2
2

2
2
,
y
u
x
u
uyxuu
∂
∂
+
∂
∂
=∆⇒=
Giải bằng sai phân hữu
hạn: Chia nhỏ Ω. Tính
xấp xỉ giá trò nghiệm u
tại các điểm chia
( )
yxfu ,: =∆Ω
( )
yxgu ,: =Γ

MINH HỌA Ý TƯỞNG

Tính giá trò nghiệm u(x, y) của bài toán sau:
( )
( )
( )
( )

( )
*
31,2,1
41,1833,
31,168,4
41,21,
:
31,41,42
2
2
2
2
2
2
2
2











≤≤+=
≤≤+=
≤≤+=

≤≤+=
<<<<+=
∂
∂
+
∂
∂
=∆
yyyyu
xxxxu
yyyyu
xxxxu
yxxy
y
u
x
u
u
BiênKiệnĐiều
tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước
chia cách đều ∆x = ∆y = 1

GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC

Phân hoạch Ω: Chia nhỏ Ω bởi các đường thẳng // Ox, Oy
( )
*
)(4)()()()(
)(
2

4321
h
PuPuPuPuPu
Pu
−+++
≈∆
∆x = ∆y = h: Tạo lưới bước chia
cách đều h. Ký hiệu: P
1
, P
2
, P
3
, P
4

− 4 điểm kề P
Công thức xấp xỉ Laplacian ∆u
(công thức đạo hàm hướng tâm!)
Lần lượt thay P
k
(x, y) vào phương trình elliptic, dùng (*) & điều
kiện biên (giá trò u trên biên) ⇒ Hệ phương trình ẩn u
k
= u(P
k
)
x∆
y∆
P

1
P
2
P
3
P
4
P

VÍ DỤ

Giải bài toán





≤≤==
≤≤==
<<<<=∂∂+∂∂
10,),1(,0),0(
10)1,(,0)0,(
10,10,0
2222
yyyuyu
xxxuxu
yxyuxu
bởi lưới bước chia cách đều h = 1/3 trên 2 trục Ox và Oy
Lưới 4 nút ẩn ⇒ 4 giá trò cần tìm. Đánh số, tính giá trò biên:
Nút 1:

0431
123
=−++ uuu
Nút 2:
043232
214
=−+++ uuu
Nút 3:
04
341
=−+ uuu
Nút 4:
0431
432
=−++ uuu
1
P
2
P
3
P
4
P
0=u
0=u
31
32
31
32
0

0

KẾT QUẢ

Hệ phương trình Au = b với












=⇒
2208.0
1104.0
4429.0
2208.0
u
Chú ý: Phương trình Poisson ∆u = f(x, y) (≠ Laplace: ∆u = 0)
[ ]







−
−






−−
−
−
−−
=
33.0
0
33.1
33.0
4
1
1
0
110
401
041
114
bA
1
P
2

P
3
P
4
P
0=u
0=u
31
32
31
32
0
0
yx
y
u
x
u
u +=
∂
∂
+
∂
∂
=∆
2
2
2
2
( ) ( )

11
PfPu =∆⇒
1
3
2
,
3
1
9
1
4
3
1
0
132
=






=
−+++
⇒ f
uuu

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Bài toán truyền nhiệt 1 chiều (đkiện biên + đk ban đầu)

Phân hoạch Ω : Lưới theo x độ
dài ∆x, theo t độ dài ∆t ⇒ Các
đường thẳng x = i ∆x, t = k ∆t
10),()0,(
0
≤≤= xxuxu
0,10),,(),(),(
2
2
2
><<=
∂
∂
−
∂
∂
txtxftx
x
u
atx
t
u
0,0),1(),0( >== ttutu
Miền Ω = { (x,t) | 0 ≤ x ≤ 1 , t ≥ 0
}
x
t
1
Ω
0=u0=u

( )
xu
0
t∆
x∆
Xấp xỉ ∂u/∂t, ∂u/ ∂x & ĐK biên, đầu ⇒ Giá trò u tại điểm chia

MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN TIẾN

Xây dựng công thức tính u
(1)
(mức thời gian 1) theo u
(0)
với ∆t
= 0.2, ∆x = 0.5 bởi: Sai phân tiến theo t từ mốc thời gian 0
( )







≤≤−=>==
><<=
∂
∂
−
∂
∂

===
    
05.1&0:
2
2
5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0(
0,5.10,),(),(
txx
xxxxuttutu
txxttx
x
u
tx
t
u
:ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều
Tiến:
( )
2.0
5.0
0,5.0
1
1
−
≈
∂
∂ u
t
u
( )

( )
2
2
2
5.0
05.025.0
0,5.0
+×−
≈
∂
∂
x
u
5.0=x
0.1=x
2.0
5.1=x
t
0
5.0
0
( )
0
u
0
1
1
u
1
2

u
0
0=x
5.0
05.0)0,5.0()0,5.0(
2
2
×=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
t
u
0
5.0
5.0
2.0
5.0
2
1
1
=
−
−
−
⇒

u
1.0
1
1
=⇒ u

MINH HOẠ Ý TƯỞNG: SAI PHÂN LÙI

Xây dựng công thức tính u
(1)
(mức thời gian 1) theo u
(0)
với ∆t
= 0.2, ∆x = 0.5 bởi: Sai phân lùi theo t từ mốc thời gian 1
( )







≤≤−=>==
><<=
∂
∂
−
∂
∂
===

    
05.1&0:
2
2
5.10,5.1)0,(;0,0),5.1(),0(
0,5.10,),(),(
txx
xxxxuttutu
txxttx
x
u
tx
t
u
:ĐầuKiệnĐiềuBiênKiệnĐiều
5.0=x
0.1=x
2.0
5.1=x
t
0
5.0
0
( )
0
u
0
1
1
u

1
2
u
0
0=x
5.0
2.05.0)2.0,5.0()2.0,5.0(
2
2
×=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
t
u
1.0
5.0
2
2.0
5.0
2
1
1
1
2
1

1
=
−
−
−
−
⇒
uuu
( )
2.0
5.0
2.0,5.0
1
1
−
−
≈
∂
∂ u
t
u
( )
( )
2
1
0
1
1
1
2

2
2
5.0
2
2.0,5.0
uuu
x
u
+−
≈
∂
∂
Lùi: