Tài liệu SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN SINH VIÊN TỰ HỌC PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN pptx

41


SỬ DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO HƯỚNG DẪN
SINH VIÊN TỰ HỌC HỌC PHẦN PHÉP TÍNH VI PHÂN
VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

USING MAPLE SOFTWARE GUIDING STUDENTS TO SELF-
STUDYING DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS OF
MULTI-VARIABLE FUNCTIONS
Th.S NGUYỄN VĂN KIẾM
Trường CĐSP Quảng Trị

TÓM TẮT
Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm mền Mathematieca, Maple, Cabri
Geometry, Geometer's Sketchpad,Mathcad vào hỗ trợ tự học, tự nghiên cứu của
sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng được cách dạy của người dạy
cho người học và cách học của người học trên sự hỗ trợ của các phần mềm toán
học.
Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử
dụng phần mền Maple
vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân của hàm
nhiều biến số".

ABSTRACT
In Mathematics teaching, the use of such softwares as Mathematieca, Cabri
Geometry, Geometer’s Sketchpad, Mathcad ect, in assisting students’ self-study is
of great essentiality. As a result, it can help to set up orientation for teachers’
teaching methods and students’ learning methods with the support of those
mathematical softwares.

This paper only deals with “the use of Maple software in guiding students to self-
studying differential and integral calculus of multi-variable functions”.

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chiến lược phát triển giáo dục Đại học - Cao đẳng từ năm 2005 đến 2015 là
từng bước đổi mới nội dung, chương trình, giáo trình và phương pháp dạy học. Một
trong những khâu then chốt của quá trình đổi mới phương pháp dạy học là rèn luyện
kỷ năng tự học, tự thích ứng cho sinh viên. Trong dạy toán, việc sử dụng các phầm
mềm Mathematica, Maple, Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad, Mathcad vào
hỗ trợ tự h
ọc, tự nghiên cứu của sinh viên là vấn đề rất cần thiết. Từ đó, định hướng
được cách dạy của người dạy cho người học và cách học của người học trên sự hỗ
trợ của các phần mềm toán học.
Trong bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập một vấn đề "Sử dụng phần mền Maple
vào hướng dẫn sinh viên tự học học phần phép tính vi phân và tích phân củ
a hàm
nhiều biến số".

42
B. NỘI DUNG
1. Maple là phần mềm do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc trường
đại học Waterloo xây dựng và cho ra đời vào năm 1980 với mục đích giải quyết mọi
công việc liên quan đến tính toán. Từ đó, đã làm thay đổi hẵn cách học toán: Song
song với cách giải "truyền thống", sinh viên được hướng dẫn giải bằng sự trợ giúp
của Maple. Phương pháp này tạo ra cho sinh viên cách tiếp cận mới với toán học-
sinh động, sáng tạo và rèn được khả năng tự học, tự kiểm tra, tự nghiên cứu.
2. Tự học, tự nghiên cứu là việc làm thường xuyên của sinh viên trong quá trình
học tập và sau này lập nghiệp. Đặc biệt, đối với sinh viên ngành sư phạm toán việc
sử dụng các phầm mền toán học vào tự học, tự nghiên cứu là cơ sở vững chắc cho
việc ứng dụng tin học vào đổi mới phương pháp dạy học ở bậc phổ thông. Thực tế

cho thấy những sinh viên nào biết ứng dụng các phần mền toán học vào hỗ trợ tự
học, tự nghiên cứu thì rất thành công trong công tác giảng dạy sau này.
3.Sử dụng phần mền Maple vào hướng dẩn sinh viên tự học học phần phép
tính vi phân và tích phân của hàm nhiều biến số.
3.1.Đồ thị của hàm hai biến:
3.1.1 Định nghĩa: Đồ thị
của hàm số z = f( x , y ) xác định trên tập D ⊂ R
2

là một tập hợp gồm các điểm trong không gian R
3
xác định bởi toạ độ ( x , y , z) với
( x , y) ∈D.

{
}
3
(,,) / (,),(,)GxyzRzfxyxyD=∈= ∈

3.1.2 Vẽ đồ thị của hàm hai biến z = f( x , y ) khi x ∈[ a ; b ] , y ∈[ c ; d ]
Cú pháp: [ > plot3d ( f(x,y) , x = a b , y = c d );
Minh hoạ 1.>
#Ve do thi ham hai bien#
>
z:=sin(sqrt(2*x^2+y^2));
:= z ()sin + 2 x
2
y
2

>
plot3d(z,x=-2 2,y=-2 2);


43
>f(x,y):=((2*x-y^2)*exp(-x^2-y^2));
:= ()f,xy () − 2 xy
2
e
()− − x
2
y
2

>plot3d(f(x,y),x=-2 2,y=-2 2);

3.2 Giới hạn của hàm hai biến số:
3.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f : D ⊂ R
2
→ R
( x , y )
a z = f(x , y)
và P
0
( x
0
, y
0
) ∈R
2

( P
0
là điểm tụ của tập D)
L ∈R được gọi là giới hạn của hàm số f khi x → x
0
, y → y
0
và kí hiệu là:

0
0
lim ( , )
xx
yy
Lfxy
→
→
=

3.2.2 Tính giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi đồng thời x→ x
0
và y → y
0
.
Cú pháp: [ > limit(f(x,y), {x=x
0
,y=y
0
});
Minh hoạ 2.

>
f(x,y):=(x^2*y)/(x^4+y^2);
:= ()f,xy
x
2
y
+ x
4
y
2

>
limit(f(x,y),{x=1,y=2});
2
5
Vậy ,
2
42
1
2
2
lim
5
x
y
xy
xy
→
→
=

+

Minh hoạ 3. Tính giới hạn của
22
0
lim
x
y
x
y
x
y
→
→+∞
+
+
và
22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+

>
g(x,y):=(x+y)/(x^2+y^2);
:= ()g,xy

+
x
y
+ x
2
y
2

>
limit(g(x,y),{x=0,y=infinity});
0
vậy ,
22
0
lim
x
y
x
y
x
y
→
→+∞
+
+
= 0

44
Khi tính giới hạn
22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+
, máy cho kết quả sau:
>limit(g(x,y),{x=infinity,y=infinity});

⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
limit ,

+

x
y
+ x
2
y
2
{}, = x ∞ = y ∞

Điều này cho thấy Maple không tính được giới hạn dạng
lim ( , )
x
y
f
xy
→∞
→∞

Tuy nhiên, ta tính được giới hạn trên như sau: Với x ≠0, y ≠0 , ta có:
22 22 22 22 22
x+y x y x x
xxxxx
11
yyyyy
xy
=+≤ +
+++++
≤+


Suy ra: 0 ≤

22
lim
x
y
x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+
≤
11
lim 0
x
y
xy
→+∞
→+∞
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎝⎠
. Vậy
22
lim
x
y

x
y
x
y
→+∞
→+∞
+
+
= 0
3.2. 3. Tính giới hạn lặp:
00 00
limlim (, ); limlim (, )
xxyy yyxx
f
xy f xy
→→ →→


Cú pháp: [ >limit(limit(f(x,y),x=x
0
),y= y
0
);

Hoặc: [ >limit(limit(f(x,y),y=y
0
),x= x
0
);

Minh hoạ 4: Cho hàm số f(x,y) =
22
x
yx y
xy
−+ +
+
,

tính
00 00
lim lim ( , ) ; lim lim ( , )
xy yx
f
xy f xy
→→ →→

> f(x,y):=(x-y+x^2+y^2)/(x+y);
:= ()f,xy

− + + xyx
2
y
2
+ xy

>
limit(limit(f(x,y),x=0),y=0);
-1

>
limit(limit(f(x,y),y=0),x=0);
1

Ta thấy hai giới hạn trên không bằng nhau nên không tồn tại giới hạn
22
0
0
lim
x
y
x
yx y
xy
→
→
−+ +
+
,trong trường hợp này máy trả lời “undefined”(không xác định)

45
> limit(f(x,y),{x=0,y=0});
undefined

Minh hoạ 5: Cho hàm số f(x,y) =
22
22 2
()
xy
x

yxy+−
, Chứng minh rằng

00 00
lim lim ( , ) lim lim ( , ) 0
xy yx
fxy fxy
→→ →→
==
và
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
không tồn tại
Ta đi tính hai giới hạn lặp trên:
>
f(x,y):=(x^2*y^2)/(x^2*y^2+(x-y)^2); := ()f,xy
x
2
y
2
+ x
2
y

2
() − xy
2

>
limit(limit(f(x,y),x=0),y=0);
0

>
limit(limit(f(x,y),y=0),x=0);
0

Khi tính giới hạn
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
thì máy cho thông tin sau:
>
limit(f(x,y),{x=0,y=0});
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
limit ,
x
2
y
2
+ x
2
y
2
() − xy
2
{}, = x 0 = y 0

Máy không trả lời được. Trong trường hợp này, ta phải dùng phương pháp
truyền thống để giải bài toán như sau:
* Lấy dãy ( x
n
, y
n
) =
11
,(0,0)khi n
nn
⎛⎞
→→+∞

⎜⎟
⎝⎠

và f (x
n
, y
n
) =
44
11
/11khi n
nn
=
→→+∞

•
Lấy dãy
()
''
11
,,(0,0)
nn
xy khin
nn
⎛⎞
=−→ →+∞
⎜⎟
⎝⎠

và f

''
442 2
114 1
(, ) / 0
4
nn
xy khin
nnn n
⎛⎞
=+=→ →+∞
⎜⎟
+
⎝⎠


Vậy , không tồn tại giới hạn
0
0
lim ( , )
x
y
f
xy
→
→
.
3.3. Đạo hàm riêng của hàm hai biến số:

3.3.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D và điểm
M

0
( x
0
, y
0
) ∈D ⊂ R
2
.
•
Nếu hàm số z = f(x,y
0
) có đạo hàm tại x
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x
0
, y
0
) và kí hiệu:
'
00
(, )
x
f
xy
hoặc
00
(, )
x
y

x
∂
∂

•
Nếu hàm số z = f(x
0
,y) có đạo hàm tại y
0
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng
của hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x
0
, y
0
) và kí hiệu:
'
00
(, )
y
f
xy
hoặc
00
(, )
x
y
y
∂
∂

46
• Tương tự , chúng ta cũng định nghĩa cho các đạo hàm riêng cấp 2, cấp 3, cho
hàm số z = f(x,y) tại điểm ( x , y ) ∈D là :

2
2
(, ) (, )
ff
x
yxy
xx
x
∂∂∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∂
∂
⎝⎠
;
2
2
(, ) (, )
ff
x
yxy
yy
y
⎛⎞

∂∂∂
=
⎜⎟
∂∂
∂
⎝⎠


2
(, ) (, )
ff
x
yxy
yx y x
∂∂∂
⎛⎞
=
⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠
;
2
(, ) (, )
ff
x
yxy
xy x y
⎛⎞
∂∂∂
=

⎜⎟
∂∂ ∂ ∂
⎝⎠

•
Khi hàm số z = f(x,y) ) xác định trên tập mở D ⊂ R
2
và có các đạo hàm riêng
cấp
""
,
x
yyx
f
f hai liên tục tại điểm M
0
( x
0
, y
0
) thì
""
00 00
(, ) (, )
xy yx
f
xy f xy=
3.3.2. Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số:
Cú pháp:[ > diff ( f(x,y),x); [ >diff ( f(x,y),x$2); [ >diff ( f(x,y),x,y);
Hoặc [ > diff ( f(x,y),y); [ >diff ( f(x,y),y$2); [ >diff ( f(x,y),y,x);

Minh hoạ 6: Cho hàm số (, )
y
f
xy x
=
, tính
222
22
,, , ,
f
ffff
x
yxy
yx
∂
∂∂ ∂ ∂
∂
∂∂∂
∂∂

>
f(x,y):=x^y;
:= ()f,xy x
y

> diff(f(x,y),x);
x
y
y
x

>
diff(f(x,y),y);
x
y
()ln x

>
diff(f(x,y),x$2);
−
x
y
y
2
x
2
x
y
y
x
2

>
diff(f(x,y),y$2);
x
y
()ln x
2

>

diff(f(x,y),x,y);
+
x
y
()ln xy
x
x
y
x

>
diff(f(x,y),y,x);
+
x
y
()ln xy
x
x
y
x

Để tính giá trị của các đạo hàm riêng tại điểm M ( x
0
, y
0
), ta dùng lệnh
[ > subs(x = x
0
, y = y
0

, % ); Rút gọn biểu thức [ >simplify(%);
Bây giờ tính các đạo hàm riêng ở trên tại điểm M ( e , 1)
>
diff(f(x,y),x);
x
y
y
x

>
simplify(%);
x
() − y 1
y

>
subs(x=e,y=1,%);
1

>
diff(f(x,y),y);
x
y
()ln x

>
subs(x=e,y=1,%);
e ()ln e

> diff(f(x,y),x$2);

−
x
y
y
2
x
2
x
y
y
x
2

>
simplify(%);
− x
() − y 2
y
2
x
()

− y 2
y

>
subs(x=e,y=1,%);
0

>

diff(h(x,y),y$2);
x
y
()ln x
2

>
subs(x=e,y=1,%);
e ()ln e
2

>
diff(f(x,y),x,y);
+
x
y
()ln xy
x
x
y
x
> simplify(%);
x
() − y 1
() + y ()ln x 1

>
subs(x=e,y=1,%);

+ ()ln e 1

47
4.1Tính tích phân bội trên một hình hộp:
Trên Maple người ta chỉ xây dựng thuật toán tính trực tiếp các tích phân bội 2
và bội 3. Khi tính tích phân bội có số chiều lớn hơn ta có thể hạ thấp số chiều nhờ
các công thức tích phân bội thông qua tích phân lặp.
Để tính tích phân bội trên hộp, ta sử dụng gói công cụ
student và gọi nó ra bằng
lệnh:
>
with(student);
D
D
iff
D
oubleint
I
nt
L
imit
L
ineint
P
roduct Sum Tripleint changevar,, ,, , , ,, , ,[
completesquare distance equate integrand intercept intparts leftbox leftsum,,, , ,,,,
makeproc middlebox middlesum midpoint powsubs rightbox rightsum,, ,,,,,
showtangent simpson slope summand trapezoid,,, , ]

4.1.1.Tính tích phân bội 2:

(, )dxdy
D
fxy
∫∫
với D = { ( x , y) / a ≤ x ≤ b , c ≤ x ≤ d }

Cú pháp: [ > Doubleint( f (x,y) , x =a b , y = c d);
Đây là lệnh "trơ", nên nó không cho ta kết quả tính toán mà cho ta công thức biểu
diễn :
d
⌠
⌡
⎮⎮
c
d
d
⌠
⌡
⎮⎮
a
b
()f,xy x y

Muốn biết giá trị của biểu thức trên ta sử dụng lệnh :
[ > value(%);
Nếu giá trị này không biểu được các kí hiệu toán học đã biết thì ta xem giá trị xấp xỉ
( dưới dạng thập phân ) của nó bằng lệnh:

[ > evalf (%);

Minh hoạ 6: Tính các tích phân sau
a) I =
22
(4-x - y )dxdy
D
∫∫
với D = { ( x , y) / 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ x ≤
3
2
}
> Doubleint((4-x^2-y^2),x=0 1,y=0 3/2);
d
⌠
⌡
⎮
⎮
0
/
32
d
⌠
⌡
⎮
⎮
0
1
− − 4 x
2

y
2
xy

> value(%);
35
8

b) J =
d
⌠
⌡
⎮
⎮
⎮
⎮
0
1
d
⌠
⌡
⎮
⎮
⎮
⎮
0
1
()sin + xy
+ + ()cos x ()sin y 2
xy

> Doubleint(sin(x+y)/(cos(x)+sin(y)+2),x=0 1,y=0 1);
>

48
d
⌠
⌡
⎮
⎮
⎮
⎮
0
1
d
⌠
⌡
⎮
⎮
⎮
⎮
0
1
()sin + xy
+ + ()cos x ()sin y 2
xy

> evalf(%);
0.2345690622

4.1.2Tích phân bội ba:

Cú pháp: [ > Tripleint(f(x,y,z),x =a b,y=c d,z=p q);

Minh hoạ 7: Tính các tích phân bội ba sau :
d
⌠
⌡
⎮⎮
p
q
d
⌠
⌡
⎮⎮
c
d
d
⌠
⌡
⎮⎮
a
b
()f,,xyz x y z

a)
I = ysinyzdxdydz
B
x

∫∫∫
, trong đó B là hình hộp chử nhật giới hạn bởi các
mặt phẳng x = π , y =
2
π
, z =
3
π
và các mặt phẳng toạ độ.
>
Tripleint(x*y*sin(y*z),x=0 pi,y=0 pi/2,z=0 pi/3);

d
⌠
⌡
⎮⎮
0
π
3
d
⌠
⌡
⎮⎮
0
π
2
d
⌠
⌡
⎮⎮

0
π
xy ()sin yz xyz

> value(%);
− +
3
2
π
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
sin
π
2
6
π
3
4

b) J =
d
⌠
⌡
⎮⎮

0
1
d
⌠
⌡
⎮⎮
0
1
d
⌠
⌡
⎮⎮
0
1
()sin + + xy yz zx xyz

> Tripleint(sin(x*y+y*z+z*x),x=0 1,y=0 1,z=0 1);
d
⌠
⌡
⎮⎮
0
1
d
⌠
⌡
⎮⎮
0
1
d

⌠
⌡
⎮⎮
0
1
()sin + + xy yz zx xyz

> evalf(%);
0.5821196251

4.1.3.Tích phân lặp:
* Tích phân lặp 2 của hàm hai biến f ( x , y) khi x ∈[ a , b ] và y thay đổi từ
y
1
(x) đến y
2
(x).
Cú pháp: [ > int(int(f(x,y), y=y[1](x) y[2](x)), x=a b);
* Tích phân lặp 3 của hàm ba biến f ( x , y , z) khi x ∈[ a , b ] và y thay đổi
từ y
1
(x) đến y
2
(x) và z thay đổi từ z
1
(x ,y) đến z
2
(x , y).

Cú pháp:
[ >int( int(int(f(x,y,z), z=z[1](x,y) z[2](x,y)), y=y[1](x) y[2](x)),x =a b);

49
Minh hoạ 8: Tính các tích phân bội hai sau
a)
I =
22
dxdy
1+x
D
x
y+
∫∫
, D = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 2 , y
2
≤ 2x }
Ta có: D = { ( x , y ) /
2
2
y
≤ x ≤ 2 , - 2 ≤ y ≤ 2 }
int(int(x/sqrt(1+x^2+y^2),x=(y^2/2) 2),y=-2 2);

− +
2
3
5
2
()ln 5

b) J = dxdy
D
y
∫∫
, D = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 2 , 0≤ y ≤
33
1
sin os
x
cx+
}

> int(int(y,y=0 1/((sin(x))^3+(cos(x))^3)),x=0 2);
d
⌠
⌡
⎮
⎮
⎮
⎮
⎮
0
2
1
2
1
() + ()sin x
3
()cos x

3
2
x

> evalf(%);
1.417868442

Minh hoạ 9: Tính các tích phân bội ba sau
I =
dxdydz
B
∫∫∫
, trong đó B là một vật thể giới hạn bởi các mặt:
z = x
2
+ y
2
, z = 2 ( x
2
+ y
2
) , y = x , y
2
= x.
> int(int(int(1,z=x^2+y^2 2(x^2+y^2)),y=x sqrt(x)),x=0 1);
26
105

C. KẾT LUẬN
Maple là một phần mền tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực

của toán học. Do đó, ứng dụng Maple vào tự học , tự nghiên cứu có thể kiểm tra
được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tư duy mới về toán học .Ngoài ra,
phần mền Maple hổ trợ chúng ta biên soạn những bài giảng theo giáo trình điện tử
một cách sinh động góp phần vào đổi mới phương pháp dạy h
ọc hiện nay.



TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phạm Minh Hoàng: Maple và các bài toán ứng dụng. NXB khoa học và kỹ thuật.
[2] Đinh Thế Lục - Phạm Huy Điển- Tạ Duy Phượng:
Giải tích các hàm nhiều biến. NXB
Đại học Quốc Gia Hà nội
[3] Nguyễn Mạnh Quý - Nguyễn Xuân Liêm:
Phép tính vi phân và tích phân của hàm
nhiều biến số.