Tài liệu Chương 2: Vùng biến dạng docx

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

16
Chơng 2
Vùng biến dạng
2.1- Các thông số hình học
Quan sát mô hình cán với hai trục cán có tâm O
1
và O
2
quay ngợc chiều
nhau với các tốc độ V
1
và V
2
. Bán kính trục cán là R
1
và R
2
, các điểm tiếp xúc giữa
phôi cán với trục là A
1
B
1
B
2
A
2
, góc ở tâm chắn các cung A

1
B
1
và B
2
A
2
là

1
và

2
.
Với các ký hiệu nh trên, ta có các
khái niệm về thông số hình học của
vùng biến dạng khi cán nh sau:
- A
1
B
1
B
2
A
2
: vùng biến dạng hình học
- A
1
B
1

nB
2
A
2
m: vùng biến dạng
thực tế.
- m, n: biến dạng ngoài vùng biến
dạng hình học.
-

1
,

2
: các góc ăn.
- A
1
B
1
, A
2
B
2
: các cung tiếp xúc.
- l
x
: hình chiếu cung tiếp xúc lên
phơng nằm ngang.
- H, h: chiều cao vật cán trớc và
sau khi cán.

- B, b: chiều rộng vật cán trớc và
sau khi cán.
- L, l: chiều dài vật cán trớc và
sau khi cán.
2.2- Mối quan hệ giữa các đại lợng hình học
H - h = h: lợng ép tuyệt đối.

H
h
H
h
1
H
hH

==

: lợng ép tỷ đối.
b - B = b: dãn rộng tuyệt đối.

B
b
1
B
b
B
Bb

==

: dãn rộng tỷ đối.
Từ hình 2.1, ta xét hai tam giác A
1
B
1
E và KB
1
A
1
:

11
1
1
11
AB
EB
KB
BA
= suy ra: A
1
B
1
2
= B
1
E.KB
1
= 2R
1

h
1

Do đó,
1111
hR2BA = (2.1)
Theo hình 2.1 ta có A
1
B
1
là dây cung của cung tiếp xúc A
1
B
1
, vì góc

1
rất
bé nên ta có thể coi độ dài của dây cung bằng độ dài cung. Song cũng với lý do

1

O
1
V
1

h
1
A

1

1
O
2
V
2
R
1
R
2

2
B
2
A
2
m

n

K


h
2
h

H

H
ình 2.1- Sơ đồ cán giữa hai trục.
l
x
B

b

b/2
b/2
E

B
1
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

17
nhỏ (5
0
- 8
0
) cho nên khi chiếu dây cung A
1
B
1
lên phơng nằm ngang ta coi nh
không đổi. Vì vậy, A
1

B
1
.cos

1
= A
1
K
Với cos

1


1, nên ta có:
A
1
B
1


A
1
K

l
x

Vì vậy,
111x
hR2l = : chiều dài cung tiếp xúc (2.2)

Với giả thiết

1
bé, ta cũng có biểu thức:
l
x1


R
1
.

1
(2.3)
Nếu nh ta cũng xét tơng tự với O
2
ta có thể suy đợc:

222x
hR2l = (2.4)
Nếu nh độ dài cung tiếp xúc ở trên trục O
1
và O
2
bằng nhau, l
x1
= l
x2
:

2211
hR2hR2 =
2R
1
h
1
= 2R
2
h
2


1
2
1
22
1
2
1
h
R
R
hvàh
R
R
h ==
trong đó,

h
1

+

h
2
=

h = H - h
do đó,
h
R
RR
h
R
R
1hh
R
R
h
2
21
1
2
1
11
2
1
1
=

+
=








+=+

hoặc,
h
RR
R
hvàh
RR
R
h
21
1
2
21

2
1

+
=
+
= (2.5)
Đa (2.5) vào các biểu thức (2.2) và (2.4), ta có:

21
21
111x
RR
hRR2
h.R2l
+

==
(2.6)

21
21
222x
RR
hRR2
h.R2l
+

==
(2.7)

Nếu nh hai đờng kính trục cán bằng nhau R
1
= R
2
= R, ta có:

h.Rlll
x2x1x
=== (2.8)
Trở lại hình 2.1, ta xét các đoạn thẳng:
B
1
K = B
1
O
1
- KO
1
, với KO
1
= R
1
cos
1


B
1
K = R
1

- Rcos

1

Mà B
1
K =

h
1
nên:

h
1
= R
1
(1 - cos

1
)
Tơng tự đối với trục O
2
, ta có:


h
2
= R
2
(1 - cos

2
)


h =

h
1
+

h
2
= R
1
(1 - cos

1
) + R
2
(1 - cos

2
)
Giả thiết rằng, R
1
= R
2
= R và
1

=
2
= , do đó: cos
1
= cos
2
= cos
thì h
1
= h
2

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

18
cho nên:

h

= 2

h
1
= 2

h
2
= R (1 - cos

)


h = D(1 - cos

) (2.9)
với D: đờng kính làm việc của trục cán.
Khi góc

bé (



10 - 15
0
) thì: 1 - cos

= 2sin
2
(

/2) = 2(

/2)
2
=

2
/2

Do đó,
()
2
.D
2
sin.2.Dcos1Dh
2
2

=







==

Suy ra,
R
h
=
(2.10)
2.3- Hệ số biến dạng khi cán
Từ giả thiết là thể tích của kim loại là không đổi trong quá trình biến dạng, ta
có: H.B.L = h.b.l = const
Vậy,
1
l.b.h

L.B.H
= (2.11)
Ký hiệu:
=
h
H
: hệ số biến dạng theo chiều cao.

=
b
B
: hệ số biến dạng theo chiều rộng (hệ số dãn rộng).

=
l
L
: hệ số biến dạng theo chiều dài (hệ số dãn dài).
Vậy, .. = 1
Từ biểu thức (2.11) chúng ta có thể biến đổi:


===
1
f
F
L
l
hb
B.H
(

< 1) (2.12)
Quá trình cán làm dãn tiết diện và tăng chiều dài.
2.4- Hiện tợng tăng chiều dài vùng tiếp xúc l
x
Trong công nghệ cán nguội, đặc biệt là khi cán nguội tấm rộng và mỏng, lực
cán rất lớn. Vì vậy, trục cán có lợng biến dạng đàn hồi lớn, mặt khác khi vật cán
thì cùng với biến dạng d (dẻo) có cả biến dạng đàn hồi. Lợng biến dạng đàn hồi
này khi phôi ra ngoài vùng tiếp xúc thì lập tức bị mất đi. Do có biến dạng đàn hồi
của trục cán và vật cán mà chiều dài cung tiếp xúc của vùng biến dạng tăng lên. Giả
thiết rằng, đại lợng tăng lên đó là x
2
.
Ký hiệu lợng biến dạng đàn hồi của trục cán là y
1
, lợng biến dạng đàn hồi
của vật cán là y
2
. Để có đợc một đại lợng biến dạng

h/2 phải thu hẹp khe hở giữa
hai trục cán lại, nghĩa là phải giảm khoảng cách hai tâm trục một khoảng là y
1
+ y
2
.
Từ hình (2.2), A
1
và A
2

là điểm tiếp xúc của phôi với trục cán khi có nén đàn
hồi và không có nén đàn hồi; B
2
và B
3
và C là các điểm thể hiện khi phôi không có
nén đàn hồi và có nén đàn hồi (B
2
C và B
3
C).
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

19
Đờng tiếp xúc bình thờng giữa
trục cán và phôi là A
2
B
2
C.
l
x
= x
1
+ x
2

Ta xét 2 tam giác: A

2
B
2
C và B
1
CO:
x
1
2
= R
2
- (R - B
3
D)
2

x
2
2
= R
2
- (R - B
1
B
3
)
2
Vậy,
() ()
2

31
2
2
3
2
x
BBRRDBRRl +=
hoặc là:
31
2
31
22
3
2
3
22
x
BBR2BBRRDBR2DBRRl +++=
Bỏ qua các đại lợng vô cùng bé so với bán kính trục cán R, ta có:

313x
BB.R2DB.R2l +=
(2.14)
Từ hình ta thấy,
B
3
D =

h/2 + y
1

+ y
2
B
3
D = y
1
+ y
2
(2.15)
Vậy,
()
R2yyR2yy
2
h
l
2121x
++






++

=
Hoặc,
(
)
(

)
R2yyyyR2hRl
2121x
++++= (2.16)
trong đó,
()
221
xyyR2 =+ (2.17)
Do đó,
2
2
2x
xxhRl ++=
(2.18)
Trị số y
1
và y
2
là các giá trị nén đàn hồi có biểu thức tính gần đúng nh sau:

2
2
P
2
1
2
P
1
E
1

q2y
E
1
q2y
2
1

à


à

(2.19)
trong đó, q: áp lực nén thuỷ tĩnh, trị số của q có thể biểu thị qua áp lực P trên bề
mặt tiếp xúc: q = 2X
2
P (2.20)

à
P1
,
à
P2
: hệ số Poisson của trục cán và kim loại.
E
1
, E
2
: môđun đàn hồi của trục cán và kim loại.
Đa giá trị của y

1
và y
2
vào biểu thức (2.17), ta có:












à
+

à
=
2
2
P
1
2
P
2
E
1

E
1
RP8x
21
(2.21)
Vì khi cán tấm mỏng thì chiều dày của thép tấm so với đờng kính trục cán
A
1
A
2
D

C

B
1
B
3
B
2
H


h/2

y
1
y
2
h

x
1
x
2
l
x
H
ình 2.2- Sơ đồ xác định chiều dài
cung tiếp xúc khi tính biến dạng đàn
hồi của trục và vật cán.

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

20
là rất bé nên phần nén đàn hồi của vật cán có thể bỏ qua (E
2




), cho nên:

à
=
1
2
P
2
E
1
RP8x
1
(2.22)
2.5- Các đặc điểm động học trong vùng biến dạng
Quá trình cán so với các quá trình gia công kim loại bằng áp lực khác có
những đặc điểm sau đây:
- Cần thiết phải có lực ma sát tiếp xúc dù cho phải tiêu tốn năng lợng
nhiều hơn.
- Luôn luôn tồn tại một vùng không biến dạng tiếp giáp với vùng biến
dạng (tồn tại một vùng cứng bên ngoài vùng biến dạng). Vì vậy mà sự phân bố biến
dạng, tốc độ biến dạng và ứng suất trong vùng biến dạng là không đồng đều.
Ngời ta nghiên cứu ảnh hởng của lực ma sát tiếp xúc của vùng không biến
dạng kề sát vùng biến dạng đến sự phân bố ứng suất, phân bố biến dạng và tốc độ di
chuyển của các chất điểm kim loại trong vật thể biến dạng, thông qua hình dáng
hình học của vùng biến dạng đợc thể hiện qua tỷ số giữa chiều dài cung tiếp xúc
và chiều cao trung bình của vật cán trong vùng tiếp xúc (l

x
/h
TB
).
Nh ta đã biết, trên dộ dài cung tiếp xúc
bao giờ cũng tồn tại lực ma sát gọi là lực ma
sát tiếp xúc. Vì rằng giữa bề mặt trục cán và
kim loại có sự trợt đồng thời, trị số lực ma
sát này làm ảnh hởng đến sự phân bố ứng
suất và biến dạng trong vật thể phôi cán.
Lực ma sát bao giờ cũng kìm hãm (cản trở)
sự di chuyển của các chất điểm kim loại
trong vật cán, ảnh hởng của sự kìm hãm
này càng xa bề mặt tiếp xúc càng giảm đi
(tính theo chiều cao vật cán). Vì vậy mà các
chất điểm của kim loại ở vùng tâm phôi cán
có khả năng di chuyển nhanh hơn (tốc độ lớn
hơn) so với các chất điểm trên bề mặt tiếp xúc. Nếu nh chiều cao h
TB
càng lớn (khi
biến dạng trợt đợc xảy ra trên toàn bộ chiều cao) thì tốc độ di chuyển của các
chất điểm ở chính giữa phôi càng lớn (xem hình 2.4).
1. Tốc độ vùng bên ngoài tiết diện.
2. Tốc độ vùng tâm tiết diện.
3. Tốc độ trung bình trong tiết diện.
4. Đồ thị tốc độ của vùng không biến dạng.
5. Đồ thị tốc độ ở vùng ngoài vùng biến dạng phía phôi đi vào trục.
6. Đồ thị tốc độ ở vùng trễ.
O

h/2


O

R

R



h

H

H
ình 2.3- Sơ đồ vùng biến dạn
g
và các vùng lân cận.
h
TB
l
x
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

21
7. Đồ thị tốc độ ở tiết

diện trung bình.
8. Đồ thị tốc độ ở
vùng vợt trớc.
9. Đồ thị tốc độ của
vùng ngoài vùng biến dạng
lúc phôi ra khỏi trục cán.
10. Đồ thị tốc độ của
vùng không biến dạng (cán
xong).
Lực ma sát ảnh hởng
đến sự phân bố ứng suất trong
vùng biến dạng khi l
x
/h
TB
> 0,5 ữ 1 đợc thể hiện trên hình 2.4.
Nh ở hình 2.5 chúng ta hiểu rằng ở vùng kề sát bề mặt tiếp xúc, do tồn tại
ma sát và có sự biến đổi tốc độ nên các chất điểm kim loại chịu sự lôi kéo đồng thời
với lực nén của trục cán.
ở
vùng giữa tâm phôi và ảnh hởng vùng ngoài vùng tiếp
xúc đến biến dạng và ứng suất là rất lớn, sự phân bố tốc độ không đồng đều tăng
lên, biến dạng của các lớp gần bề mặt tiếp xúc mãnh liệt hơn, cho nên xảy ra hiện
tợng kéo mãnh liệt các lớp bên trong tâm phôi. Do đó, vùng trong tâm của phôi
chịu ứng suất kéo rất lớn. Hậu quả có thể gây ra các vết nứt trong phôi rất lớn, thậm
chí có thể tạo ra những lỗ hổng.
1-1, 5-5: giả thiết ứng suất
bằng 0.
2-2: tiết diện đi vào vùng
biến dạng.

3-3: tiết diện trung hoà.
4-4: tiết diện phôi ra khỏi
vùng biến dạng.
(-): ứng suất kéo.
(+): ứng suất nén.
Khi vật cán vừa tiếp xúc với trục thì ứng suất kéo tạo điều kiện cho các chất
điểm chuyển động với một tốc độ nhanh lên. Tại tiết diện kim loại ra khỏi trục cán
thì các chất điểm có phần bị kìm hãm lại làm chậm trễ sự chuyển động của các chất
điểm ở vùng giữa phôi cán (hình 2.6).
Hình 2.6a: 1. Vùng không biến dạng.
2. Vùng đàn hồi.
3. Vùng trễ.
4. Vùng vợt.
5. Vùng đàn hồi.
6. Vùng sau cán
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v
1
v
F
.cos

v
B
a)
b)
H
ình 2.4- Đồ thị tốc độ vật cán tại các tiế
t
diện khác nhau (a) và biểu đồ phân bố tốc độ
theo chiều cao tiết diện (b) khi B/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
H
ình 2.5- Biểu đồ phân bố ứng suất pháp theo
chiều cao tiết diện vật cán khi l/h > 0,5
ữ
1
1 2 3 4 5
-
+
-
+
+
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

22

Hình 2.6b: Điều kiện: D.cos

> h
H

(-): ứng suất kéo
(+): ứng suất nén
2.6- Trễ và vợt trớc trong vùng biến dạng khi cán

2.6.1- Khái niệm

Giả thiết ta có một sơ đồ của quá trình cán nh hình 2.7. Hai trục cán có
cùng một tốc độ quay là V
B
, ký hiệu tốc độ của vật cán lúc vào cùng biến dạng là
V
H
và lúc ra khỏi vùng biến dạng là V
h
.
Khi quan sát sơ đồ của quá trình

cán ở hình 2.7, ta nhận thấy rằng:
V
H
< V
B
cos < V
h

* Ta chứng minh: V
H
< V
h

Trên cơ sở của giả thiết không thay
đổi thể tích trong qúa trình biến dạng
H.B.L = h.b.l hay F.L = f.l (2.23)
với: F, f: diện tích tiết diện vật cán trớc
và sau khi cán.
Trên cơ sở biểu thức 2.23, ta chia 2
vế cho một thời gian t nào đó, ta có:
F.L/t = f.l/t suy ra: F.V
H
= f.V
h
(2.24)
Quá trình cán làm giảm diện tích tiết diện nghĩa là F > f. Vậy thì muốn cho
biểu thức 2.24 đợc thoả mãn thì phải có điều kiện V
H
> V
h

.
Vì ta khảo sát sự chuyển động của phôi theo phơng nằm ngang (phơng
cán) cho nên để so sánh tốc độ V
H
và V
h
với tốc độ của trục cán V
B
thì tốc độ này
cũng phải đợc chiếu lên phơng nằm ngang (hình 2.7) nghĩa là ta so sánh giữa V
H

và V
B
cos ( là góc ăn).
Tại tiết diện mà ở đó phôi ra khỏi trục cán thì = 0 và cos = 1, nên V
B
=
V
B
cos khi cos = 1 ta nhận đợc chính giá trị tốc độ dài của trục cán. Vậy tốc độ
quay của trục cán khi chiếu lên phơng nằm ngang có giá trị biến đổi theo góc

.
H
ình 2.6- Biểu đồ tại các tiết diện khác nhau khi l
x
/h
TB
< 0,5

ữ
1
a) Biểu đồ tốc độ.
b) Biểu đồ phân bố ứng suất theo phơng cán
1 2 3 4 5 6
-
+
+
-
a) b)
V
B
h

P
x
P



V
B
H
ình 2.7- Sơ đồ tốc độ cán.
H

V
H
V
h

V
B
V
B
cos
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

23
Chúng ta biểu thị hàm số tốc độ của trục cán theo góc

trên độ dài cung tiếp xúc
nh hình 2.8.
Khi quan sát tốc độ di chuyển
của các chất điểm của vật cán ta
thấy: vật ván di chuyển đợc là nhờ
tốc độ của trục cán truyền cho nó. Về
mặt vật lý thì trên thực tế bao giờ
cũng có hiện tợng trợt trên bề mặt
tiếp xúc có nghĩa là hiệu suất truyền
tải tốc độ bao giờ cũng < 1, có nghĩa
là luôn có sự cản trở quá trình ăn vào
của vật cán cho nên ta luôn có điều
kiện V
B
cos

> V
H

. Càng đi vào vùng biến dạng, hiện tợng trợt giảm đi vì sức nén
của trục cán lên kim loại mãnh liệt hơn và đến một tiết diện nào đó thì hiệu suất
truyền tải của tốc độ sẽ bằng 1, có nghĩa là V
B
cos

= V
H
. Tại tiết diện này ngời ta
gọi là tiết diện trung hoà, trên hình 2.8 là tiết diện I-I.
Khi các chất điểm của vật cán vợt qua tiết diện này thì nó sẽ nhận đợc một
tốc độ của trục cán truyền cho cùng với tốc độ của bản thân nó để đảm bảo đợc sự
cân bằng thể tích dịch chuyển qua từng tiết diện trong một đơn vị thời gian. Vì vậy,
ta luôn có V
B
cos

< V
h
trên cơ sở phân tích về tơng quan giữa tốc độ di chuyển
của phôi và của trục cán đợc thể hiện trên hình 2.8. Nh vậy là trên một độ dài
cung tiếp xúc trong vùng biến dạng, sự chênh lệch tốc độ tạo nên 2 vùng phân cách
bởi một tiết diện mà tại đó V
B
cos

= V
H
= V
h

, ta gọi là tiết diện trung hoà. Vùng
(1) tốc độ của phôi nhỏ hơn tốc độ của trục cán (V
B
cos), ta gọi là vùng trễ. Vùng
(2) tốc độ của phôi lớn hơn tốc độ của trục cán (V
B
cos), ta gọi là vùng vợt trớc.
Ký hiệu là góc ở tâm chắn bởi phần cung tiếp xúc thuộc vùng vợt trớc và
đợc gọi là góc trung hoà. Góc ở tâm chắn bởi cung thuộc vùng trễ sẽ là (

-

).
Nhiều công trình nghiên cứu
ngời ta nhận thấy rằng, nếu nh độ
dài cung tiếp xúc l
x
khá lớn thì không
phải chỉ có tiết diện trung hoà mà có
cả một vùng trung hoà. Vùng này
ngời ta gọi là vùng dính. Có nghĩa
rằng, trên vùng này không tồn tại sự
trợt trên bề mặt tiếp xúc, lực ma sát
có giá trị rất bé



0 và đổi dấu.
Đồ thị tốc độ trong trờng hợp
này nh hình 2.9.

Từ những khái niệm đã tình bày trên đây ta nhận thấy rằng, hiện tợng trễ và
l
x
I

V
H
V
B
V
h
V
B
cos
1

2

H
ình 2.8- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán

l
x
Vùn
g

trễ

V
H

V
B
V
h
V
B
cos


1

2

H
ình 2.9- Sơ đồ tốc độ trục và vật cán
khi tồn tại vùng dính
Vùn
g

dính

Vùn
g

trợt


1

2

Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

24
vợt trớc là một quá trình động xảy ra một cách tự nhiên trong vùng biến dạng. Độ
lớn của từng vùng có thể thay đổi tùy theo các thông số công nghệ xảy ra trong
vùng biến dạng, kể cả các thông số hình học của vùng biến dạng. Vì vậy, việc xác
định độ lớn của từng vùng, nhất là trị số vợt trớc có ý nghĩa thực tế trong công
nghệ cán.
2.6.2- Các phơng pháp xác định hệ số vợt trớc
a) Phơng pháp thực nghiệm

Trên cùng một vòng tròn của trục cán (tại một tiết diện của trục cán), ngời
ta đánh dấu 2 vị trí m
1
và m
2
, khoảng cách m
1
m
2
= l
B
. Sau khi cán với một lợng ép

h = H - h, hai vết m
1
và m
2

để lại dấu trên bề mặt vật cán là m
1
và m
2
có khoảng
cách m
1
m
2
= l
1
. So sánh hai độ dài l
B
và l
1
ta nhận thấy: l
1
> l
B
.
Vậy, lợng vợt trớc tuyệt đối
mà ta nhận đợc là:
S
h
= l
1
- l
B
(2.25)
Lợng vợt trớc tỷ đối:

1
l
l
%
l
ll
%S
B
1
B
B1
h
=

= (2.26).
Giả thiết trong một thời gian t
nào đó ta đạt đợc các độ dài trên,
nghĩa là:
1
cosV
V
1
t
l
t
l
%S
B
h

B
1
h


== (2.27)
Với giá trị của lợng vợt trớc đo đợc, khi biết vận tốc cán V
h
và vận tóc
trục V
B
ta có thể tính đợc cos

và do đó suy ra đợc góc

(góc trung hoà).
b) Phơng pháp tốc độ
Chúng ta biết rằng, tốc độ của vật cán lúc ra khỏi vùng biến dạng có điều
kiện: V
h
> V
B
cos (: góc cha xác định) (2.28)
Trong trờng hợp này, lợng vợt trớc sẽ đợc tính:

1
cosV
V
cosV
cosVV

%S
B
h
B
Bh
h


=



= (2.29)


=+
cosV
V
1%S
B
h
h
(2.30)
Từ điều kiện thể tích không đổi và giả thiết rằng lợng dãn rộng

b = 0 (

b
không đáng kể). Từ biểu thức (2.30) ta biến đổi nh sau:
V

B
h

m
1
P

V
B
H
ình 2.10- Sơ đồ xác định lợn
g
vợt trớc bằng thực nghiệm.
H

l
B
V
1
m
2
m
2

m
1

l
1
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

25

h
cosh
cosV
V
1%S
B
h
h

=

=+

(2.31)
Vì H.B.L = h.b.l (b = B) nên: H.L = h.l hoặc H.L/t = h.l/t
Do đó, H.V
H
= h.V
h
= h

.V
B
cos (2.32)
trong đó, h

: chiều cao vật cán tại tiết diện trung hoà.
Từ (2.32) ta rút ra:

h
cosVh
V
B
h

=

(2.33)
Thay (2.33) vào (2.30) ta rút ra đợc (2.31). Vì ta đang xét tại tiết diện phôi
ra khỏi trục cán nên góc = 0. Từ (2.30) ta suy ra:

h
cosh
%S
h

=

(2.34)
Khi xét mối liên hệ giữa các thông số hình học ta có: h
max
= D(1 - cos).
Với biểu thức này, nếu nh ta tính lợng ép tại tiết diện trung hoà thì ta có thể viết:
h

= h

- h = D(1 - cos) (2.35)
Suy ra, h

= D(1 - cos) + h (2.36)
Đa biểu thức (2.36) vào (2.34), ta có:

(
)
[
]
1
h
coshcos1D
%S
h


+


= (2.37)
Trong (2.37) để tìm đợc S
h
% cần phải xác định đợc cos là chủ yếu. Từ
(2.35) ta tìm đợc:

D
h

1cos


=
(2.38)
Mặt khác,
2
1cos
22
sin2cos1
22
2

=

=

= (2.39) (vì rất nhỏ)
Từ (2.38) và (2.39) ta có:

2
1
D
hh
1
2

=

(2.40)
Từ điều kiện thể tích không đổi, ta có:
h

. b

= (1 + S
h
%)h.b
Khi ta coi tốc độ của vật cán tại tiết diện trung hoà V

bằng tốc độ của trục
cán V
B
(V

V
B
, góc rất bé). Từ điều kiện trên ta tìm đợc giá trị chiều cao vật
cán tại tiết diện trung hoà.

()


+=
b
b
.h%S1h
h

(2.41)
Thay (2.41) vào (2.40) ta có:
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

26

()
D
1%S1
b
b
h
2
h
2








+
=


(2.42)

Suy ra,
11R
hb
b
%S
2
h









+

=

(2.43)
Khi lợng dãn rộng không đáng kể (b 0) thì:

2
h
h
R
%S = (2.44)
Trong trờng hợp đo đợc S
h

% bằng thực nghiệm thì ta xác định đợc góc
theo biểu thức (2.44)

R
h%.S
h
=
(2.45)
c) Phơng pháp cân bằng lực
Giả thiết ta có sơ đồ cán nh hình 2.11.

Tại tiết diện N-N phân chia vùng
biến dạng thành vùng trễ và vùng vợt
trớc. Phơng của lực pháp tuyến đơn vị
trong vùng trễ làm với trục thẳng đứng
xuyên qua tâm hai trục cán một góc .
Vậy thì lực của trục cán tác dụng lên kim
loại trên toàn bộ cung tiếp xúc l
x
sẽ bằng:



0
d.sin.R.P

Vậy thì lực ma sát trong các vùng
trễ và vùng vợt trớc khi chiếu lên
phơng nằm ngang là:

d.R.cos.T và



0
d.R.cos.T
Với T = P.f, trong điều kiện cân bằng tĩnh:

X = 0, ta có:

0d.sin.R.Pd.R.cos.R.fd.R.cos.P.f
00
=++




(2.46)
Suy ra,
0cossinsin
00
=+




f.

P

P

N

x

H
ình 2.11- Sơ đồ tác dụng lực
P

f.
P

N



Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

27

()
f2
2
sin2
2

sin
f2
cos1
2
sin
sin
2



=



= (2.47)

Do cả hai góc và đều là những góc bé nên có thể viết:










=
f2
1

2
(f: hệ số ma sát) (2.48)
Từ (2.48) ta thấy góc vợt trớc là một hàm số thay đổi theo góc ăn và
hệ số ma sát f: = ( , f)
Mối quan hệ giữa góc ăn

và góc vợt trớc

có thể tìm đợc trên cơ sở tìm
cực trị của hàm

=

(

).
Từ (2.48), ta coi hệ số ma sát đã xác định, lấy đạo hàm của

theo

, ta có:

f0
f2
1
2
1
d
d
0

d
d
==

=


=



Điều này có nghĩa là góc

có giá trị cực đại khi



f. Đơng nhiên giá trị
nhỏ nhất của góc

= 0. Thay vào (2.48) ta tìm đợc:
= 0 khi = 0 và khi 1 - /2f = 0 suy ra = 2f.
Cũng từ (2.48) ta rút ra những nhận xét
sau đây:
- Khi f, ta có vùng vợt trớc lớn
nhất.
- Từ điều kiện ăn kim loại của trục cán
, cho nên khi 0 < và < 2f nên:
f 2f.
Trong vùng biến dạng chỉ tồn tại có một vùng trợt, đó là vùng trễ. Có nghĩa

là quá trình cán không tồn tại mặc dầu hai trục vẫn quay và trợt trên bề mặt vật
cán, đồng thời gây ra hiện tợng va đập.
2.6.3- Trễ và mối quan hệ giữa trễ và vợt trớc

Cũng nh vợt trớc, đại lợng trễ có thể tính từ điều kiện thể tích không đổi
khi phôi di chuyển trong vùng biến dạng trong một đơn vị thời gian: V
H
F = V
h
f.

ở
đây ta ký hiệu: F/f =

, do đó: V
H
= V
h
/

(2.49)
Ký hiệu S
H
là đại lợng trễ, ta có:


=

=
cosV
V
1
cosV
VcosV
S
B
H
B
HB
H
(2.50)
Với

là một góc biến đổi theo tiết diện quan sát. Đa (2.49) vào (2.50) ta có


=
cosV
V
1S
B
H
H
(2.51)



0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,05 0,05
0,1
H
ình 2.12- Sự phụ thuộc của góc

vào góc

và hệ số ma sát
f
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

28
Vì ta đã có biểu thức (2.30) cho nên:


+
=
cos
S1
1S
h
H
(2.52)
Biểu thức (2.52) cho thấy S
H
(trễ) là một hàm số phụ thuộc vào lợng vợt
trớc S
h

, góc ăn và hệ số kéo dài : S
H
= (S
h
, , ).
2.6.4- Các thông số công nghệ ảnh hởng đến lợng vợt trớc

Ngoài các thông số đã thể hiện trong các biểu thức tính

còn một số thông
số công nghệ khác ảnh hởng đến trị số vợt trớc thông qua số liệu thực nghiệm.

a) Đờng kính trục cán

Khi đờng kính trục cán D tăng thì trị số vợt trớc cũng tăng vì D tăng làm
cho thể tích dịch chuyển trong vùng vợt trớc tăng, làm cho độ dài của vật cán
phải tăng lên. Hình 2.13 là ảnh hởng khi cán nhôm trên trục khô, không mài bóng,
H = 2,5; h = 1,5.

b) Chiều cao của phôi sau khi cán (h)

Nếu tăng h thì lợng vợt trớc giảm đi. Nh đã đợc thể hiện ở biểu thức
(2.44) chúng ta có thể giải thích thêm: khi chiều cao h tăng lên có nghĩa là làm
giảm sự di chuyển của kim loại theo chiều dài so với lợng kim loại cần di chuyển
trong vùng vợt trớc. Hình 2.14 là ảnh hởng khi cán thép 0,1%C, D = 150mm.

c) Lợng ép tỷ đối (

h/H %)

Thực nghiệm cho thấy khi tăng

h/H % thì lợng vợt trớc có một giá trị
cực đại. Điều này có thể giải thích rằng: nếu nh tăng lợng ép tỷ đối = h/H %,
có nghĩa là tăng h cho nên thể tích di chuyển trong vùng vợt trớc tăng và trong
một phạm vi của góc cho phép (0 f), nếu càng tăng thì cũng tăng theo
(hình 2.15 là ảnh hởng khi cán nguội thép, D = 127mm, H = 4mm, có bôi trơn).
Nhng nếu nh

đã vợt quá giới hạn ổn định (f





2f), nếu ta càng tăng

thì sự va đập của phôi lên trục cán càng tăng do đó mà vợt trớc giảm đi đáng
kể.
ở
thời điểm này việc tăng h không bù đắp đợc sự giảm .

0
2
4
6
8
S%
120 240 360
D,mm
Hình 2.13- ảnh hởng
của H đến độ vợt trớc.
0
2
4
6
8
S%
0,5 1 1,5
h,mm
Hình 2.14- ảnh hởn
g

của h đến độ vợt trớc.
0
0,8
1,6
2,4
8
S%
4
12 16

,%
Hình 2.15- ảnh hởn
g
của

đến độ vợt trớc.
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

29

d) Nhiệt độ cán
Thực chất nhiệt độ cán làm thay đổi thành phần lớp vảy rèn trên vật cán, sau
đó làm thay đổi hệ số ma sát (xem hình 1.10) trong vùng biến dạng. Từ sự thay đổi
hệ số ma sát f dẫn đến sự thay đổi của lợng vợt trớc S
h
. Đồ thị quan hệ giữa
lợng vợt trớc và nhiệt độ có dạng tơng tự nh ở hình 1.10. Đơng nhiên khi có
cùng một lợng ép thì nếu nhiệt độ càng thấp lợng vợt trớc càng cao (hình 2.16).

e) Tốc độ cán
Khi thí nghiệm tốc độ cán với lợng vợt trớc S
h
%, ngời ta ghi lại đợc đồ
thị phản ánh mối quan hệ giữa hai thông số trên nh hình 2.17. Trên hình ta nhận
thấy rằng nếu có cùng một lợng ép tỷ đối

% bé thì ảnh hởng của tốc độ cán đến

lợng vợt trớc là không đáng kể.














f) Lực kéo trớc và sau vật cán
Lực kéo trớc và sau vật cán đợc thể hiện theo sơ đồ cán hình 2.18. Nh ở
hình ta nhận thấy khi có lực kéo sau T
o
thì sẽ làm cho lợng trễ S
H
tăng lên và do đó
vợt trớc giảm đi, nhng nếu với một lực kéo trớc T
1
thì lại làm cho S
h
% tăng lên
và do đó S
H
giảm.

Ta có thể chứng minh hiện tợng trên bằng biểu thức đợc rút ra từ phơng
pháp tính vợt theo cân bằng lực khi có cả hai lực kéo trớc và sau vật cán.

()
01
TT
b.P.D.f2
1
f2
1
2
+









=
hay
()
Hh
b.P.D.f2
1
f2
1
2

01
+









=
(2.53)
Từ (2.53) ta nhận thấy nếu càng tăng
0
thì giảm đi. Trên đồ thị hình 2.19
cho ta thấy ảnh hởng của T
0
và T
1
đến lợng vợt trớc S
h
%.

0
2
4
6
S%
10 20 30

%
2
1
3
4
H
ình 2.16- Quan hệ giữa
lợng vợt trớc, lợng ép tỷ
đối và nhiệt độ cán.
(1) t = 685
0
C; (2) t = 875
0
C
(3) t = 1020
0
C; (4) t = 1185
0
C
0
1
2
3
S%
10 20 30
%
H
ình 2.17- Quan hệ giữa lợng vợt
trớc, lợng ép tỷ đối và tốc độ cán.
40 50

n = 0,26v
/p

n = 10v/
p

n = 30v/
p
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

30














g) Chiều rộng của vật cán

Kết quả thí nghiệm nhận đợc nh ở đồ thị hình 2.20.

Khi chiều rộng B tăng thì

b giảm đi.
Đồng thời lợng vợt trớc S
h
tăng lên.
Đến một chiều rộng B nào đó thì cả S
h
%
lẫn

b đều đạt đến một giá trị nhất định và
không đổi. Để giải thích kết quả trên ta đi
từ điều kiện thể tích không đổi khi cán:
H.B.V
H
= h.b.V
h
= h

. b

.V
B
cos


Suy ra,
%S1
V

V
H.B
cosbh
h
B
H
==



Hay:
%S1
V
V
b.h
cosbh
h
B
H
+==



Chia hai biểu thức trên ta có:

=

+
=
%S1

%S1
b.h
B.H
h
h
(2.54)
Nếu ta để ý rằng: .. = 1 (2.55)
Với ký hiệu rằng: = h/H < 1; = b/B > 1; = l/L > 1
Đa giá trị của 2.54 vào 2.55, ta có:

1
S1
S1

h
h
=

+
hay

.

+ S
h
(

.

+ 1) = 1

Suy ra,
+



=
.1
.1
S
h
(2.56)
V
B
P

O

H
ình 2.18- Sơ đồ cán có
lực kéo trớc và sau.
O
T
0
P

T
1
4,9 2,95 0,98 0,98 2,95 4,9
1
2

3
4
5
6
S%
(500) (300)(100) (100) (300) (500)
H
ình 2.19- Quan hệ giữa lợng vợt trớc với
lực kéo trớc T
0
và sau T
1
trong điều kiện:
H = 0,4mm;

h/H = 0,27%; B = 15
ữ
20mm
0
0,2
0,4
0,6
0,8

b, mm
20 40 60
B,mm
H
ình 2.20- Quan hệ giữa
lợng vợt trớc S với dãn

rộng

b và chiều rộng vật cán
khi D = 158mm; H = 4,5mm;

h = 1,2mm
b
S
2
4
S
h
%
Giáo trình: Lý thuyết cán

Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

31
Với giá trị

là hệ số biến dạng cao không đổi thì biểu thức (2.56) là một
hàm số giữa lợng vợt trớc và hệ số biến dạng rộng

b có dạng:

()
()
2
2
1aX

1aX
y
+

=
(2.57)
Hàm số này luôn có cực trị cho nên chúng ta dễ dàng nhận thấy với một giá
trị

nào đó thì sẽ làm cho S
h
% tăng đến một giá trị nhất định nếu nh có cùng một
lợng ép

h (

= const).