Tài liệu Định lý Vectơ và các ứng dụng pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (597.05 KB, 51 trang )
1
Những người thực hiện:
Phạm Hy Hiếu
Nguyễn Anh Tuấn
Phan Thiện Tôn
Nguyễn Thị Xuân Ngọc
Nguyễn Dương Bạch Mai
Tôn Nữ Quỳnh Trân
Nguyễn Mai Phương
Quách Thuỷ Tiên
Trần Ngọc Ngân
Phan Huỳnh Anh
Mai Nguyên Minh Uyên
2
ĐNN H LÝ VIÈTE VÀ CÁC N G DN G
1. N HC LI VÀ M RN G MT S VN V A THC:
1.1. N hc li v a thc:
Hàm s
ưc gi là mt a thc nu
hoc
có dng:
Khi ó,
gi là các h s ca a thc.
ưc gi là h s cao nht,
ưc gi là h s t do.
N u
thì a thc
gi là a thc chuNn tc hay a thc mônic. N u
thì a thc
gi là a
thc bc và ta kí hiu:
. Hin nhiên, nu
thì
.
cho gn, ôi khi ngưi ta còn vit:
Cách vit ng sau gi là cách vit ngưc, vi
.
1.2. a thc trên các tp s:
Cho
. Khi ó, :
N u
thì ta nói
Các trưng hp riêng:
N u
thì ta nói
N u
thì ta nói
N u
thì ta nói
Rt rõ ràng, .
1.3. Các phép tính trên a thc:
Cho 2 a thc sau:
Trong ó,
. Ta nh nghĩa mt s phép toán cơ bn trên a thc như sau:
a. Các phép tính cơ bn:
Có 3 phép tính cơ bn thưng dùng i vi 2 a thc là phép cng, kí hiu là
; phép tr kí hiu là
và phép hp, kí hiu là
VD1.3a.1: Chng minh rng:
a.
b.
c.
Lời giải:
Rõ ràng ta ch cn xét các h s cao nht
và
ca 2 a thc.
a. N u thì a thức
có dng:
Vì
nên theo nh nghĩa,
Tương t vi , ta cũng có
N u , ta có:
Do
có h s cao nht là
nên
, ng thc xy ra khi
.
T các trưng hp va xét, ta có
(pcm).
Vi trưng hp
, ta t
thì
và theo iu va nói
trên, ta cũng có
(pcm).
b. S hng cao nht ca
là
, mà
nên
(pcm).
c. Ta có:
, mà theo câu b thì:
(pcm).
3
b. Phép chia a thc:
Cho 2 a thc
và
sao cho
.
Khi dó, tn ti duy nht hai a thc
và
sao cho
và:
i là thương và
gi là dư trong phép chia a thc
cho a thc
Chú ý rng nu
thì
và
.
N u
thì ta nói rng
chia ht cho
hay
chia ht
và kí hiu:
hay
.
VD1.3b.1: Tìm dư trong phép chia
cho
.
Lời giải:
t:
. Vì
nên
, do ó
là a thc bc nht.
Li t:
vi . Ln lưt cho và , vi chú ý
, ta có:
Vy a thc dư trong phép chia cn tìm là
1.4. N ghim ca a thc và mt s vn liên quan:
a. nh nghĩa:
Cho a thc
Giá tr
ca mà ti ó
ưc gi là nghim ca a thc
.
b. nh lý Bézout:
Cho a thc
. Khi ó
là mt nghim ca
khi và ch khi
Chứng minh:
Xét a thc
và
. Theo nh nghĩa phép chia a thc, tn ti duy nht 2 a thc
và
sao cho:
Vì
nên
. t
, ta có:
Theo nh nghĩa v nghim ca a thc,
là nghim ca
khi và ch khi
, tc là:
ó cũng chính là pcm.
H qu 1: a thc bc không là a thc hng thì có không quá nghim.
Chứng minh:
Gi s a thc
có
và có t nghim tr lên, là:
. Theo nh lý
Bézout, ta có:
, suy ra
, mâu thun.
T ây ta có pcm.
H qu 2: a thc bc có nhiu hơn hoc bng nghim là a thc .
VD1.4b.1: (Công thc ni suy Largrange)
Cho
có
và s thc
. Chng minh rng:
Lời giải:
4
Xét a thc:
Ta thy
. Cho ln lưt nhn các giá tr
, ta thy thì:
Suy ra
là nghim ca
. Theo h qu 2 ca nh lý Bézout suy ra
. T ó:
ó là pcm.
Chú ý rng t công thc ni suy Largrange ưc chng minh trong ví d nêu trên, ta có 2 h qu quan trng:
N u a thc bc xác nh ti giá tr ca bin thì nó xác nh hoàn toàn.
N u 2 a thc có bc không ln hơn và nhn giá tr bng nhau ti im giá tr ca bin thì chúng ng
nht vi nhau.
phn sau, khi chng minh nh lý Viète và mt s nh lý quan trng khác, ta s s dng các h qu này.
1.5. a thc vi h s nguyên, s bt kh qui và tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
1.5.1. a thc vi các h s nguyên:
phn u, ta ã nh nghĩa a thc
là a thc có các h s nguyên (hay a thc nguyên) nu và
ch nu:
ng thi
1.5.2. S bt kh qui ca a thc và tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
a. nh nghĩa:
a thc
gi là bt kh qui trên
nu và ch nu
không phân tích ưc thành tích ca 2 a
thc cũng thuc
.
b. nh lý v s bt kh qui ca a thc:
Cho a thc
và
. Khi ó, nu tn ti s nguyên t
tho mãn iu kin
:
ng thi
phân tích ưc thành tích ca 2 a thc cũng thuc
thì ít nht mt trong 2 a thc trên có
bc không nh hơn .
Chứng minh:
Gi s
vi:
là các a thc thuc
.
Ta có
là s chia ht cho nhưng không chia ht cho
nên trong 2 s
và
, có úng mt
s chia ht cho . Gi s
còn
thì không.
Gi
là s nh nht mà
không chia ht cho vi
5
Vì
mà
không chia ht cho nên
.
Mà
nên . ó chính là pcm.
c. Tiêu chuNn bt kh qui Einstein:
Trong nh lý trên, cho thì ta có nh lý sau:
Cho a thc
và
. Khi ó, nu tn ti s nguyên t
tho mãn:
ô
ô
thì a thc
bt kh qui trên
nh lý này ưc gi là tiêu chuNn bt kh qui Einstein. N ó rt hu dng trong vic gii các bài toán S Hc
trên a thc.
1.6. Phương trình i s và các nh nghĩa liên quan:
Cho a thc
nh cha bin: “
” ưc gi là mt phương trình i s bc (hay phương trình bc ).
gi là Nn, các h s
ưc gi là các h s ca phương trình. Các giá tr
ca làm cho
mnh úng ưc gi là nghim ca phương trình. Tp hp các giá tr y gi là tp nghim ca phương trình.
Công vic i tìm tp nghim ca mt phương trình ưc gi là gii phương trình y.
2. NN H LÝ VIÈTE:
2.1. Các a thc i xng sơ cp và vai trò ca chúng:
a thc bin
ưc gi là a thc i xng gia bin y nu vi mi hoán v
ca b s
, ta u có:
.
Các a thc i xng là mt b phn rt quan trng ca tp hp các a thc nhiu bin. Khi xét n các a thc
i xng này, ta thưng nói n nhng a thc i xng sơ cp. ó là các a thc có dng:
………………
………………
gi là hàm a thc i xng bc tương ng ca bin và là mt tng gm
các s hng bc . Mi
s hng là tích ca bin t bin
và ưc gi là tích chp ca bin phn t. Trong mt s
tài liu, biu thc
còn ưc gi là các a thc Viète.
Mt s a thc i xng sơ cp thưng gp là:
,
,
,
6
Vai trò ca các a thc i xng sơ cp nói trên trong i S là ht sc quan trng. Chúng ta s thy rõ iu y
qua nh lý sau ây:
Định lý cơ bản của Đại Số: Mi a thc i xng u có th biu din ưc qua các a thc i xng sơ cp.
nh lý này i vi trưng hp a thc bin
bn thân tôi chưa tìm ra cách chng minh. Tôi
ch có th ưa ra cách chng minh i vi trưng hp và t ó, h qu là trong trưng hp nh lý
cũng vn úng.
Chứng minh (đối với trường hợp )
:
Trong trưng hp , nh lý ưc phát biu như sau:
Mi a thc i ng
u vit ưc dưi dng a thc i xng 3 bin Viète, tc là dng:
Vi , và
Tht vy, nhn xét rng vi mi b s mũ
c nh thì các h s tương ng vi
vi mi hoán v
ca
u phi bng nhau. (Vì gi s ngưc li, tc là các h s tương ng vi
khác
nhau thì a thc không còn i xng gia ) Do ó, ta ch cn chng minh nh lý cho trưng hp:
Vi và , ta xét biu thc:
Khi ó,
ta có:
Vy bng nguyên lý quy np toán hc, ta suy ra vi mi a thc có dng
u có th ưc
biu din qua các a thc i xng 3 bin Viète. T ó, ta suy ra a thc có dng:
Tc là ng vi b s mũ , các a thc y cũng có th ươc biu din dng:
Vi
,
và
.
Xét trưng hp , ta có a thc:
N hưng a thc trên có th ưc vit dưi dng:
Vy
có th ưc biu din thông qua .
Cui cùng, xét trưng hp khác nhau ôi mt. Không mt tính tng quát, ta có th gi s .
Trong trưng hp y, ta có:
Vy nh lý ưc chng minh.
N hư vy, có th coi các a thc i xng sơ cp nêu trên là “chic cu ni” dn chúng ta t ch các a thc i
xng nói chung khó nghiên cu v trưng hp các a thc i xng sơ cp cơ bn, thun nht và d nghiên cu
hơn nhiu. Chúng ta s hiu rõ hơn v vai trò ca các a thc i xng này qua nh lý Viète ưc trình bày
phn sau, cũng là tài chính ca bài báo cáo này.
7
i vi trưng hp 3 bin s , ngưi ta thưng t , và . T ó
mà hình thành mt phương pháp chng minh các bt ng thc i S mang tên “”. Chúng ta s tìm hiu
kĩ hơn v phương pháp “” phn sau.
Trong phương pháp này, khi , ta chú ý n mt s cơ s sau:
•
(tương ương vi
)
•
(tương ương vi
)
•
,
(ln lưt tương ương vi
và
)
• (tương ương vi
)
VD2.1a.1: (Bulgari MO 1998)
Cho tho . Chng minh rng:
Lời giải:
t , và . Ta có:
Bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Mt khác do và theo bt ng thc Cauchy ta có:
Hay , do ó:
Vy ta có pcm, và ng thc ch xy ra khi .
Bây gi chúng ta hãy n vi nh lý Viète.
8
2.2. nh lý Viète:
a. ơi nét v François Viète:
Francois Viète, còn được nhiều người biết đến với tên tiếng La tinh là Vieta, ông sinh năm 1540 tại
Fontenay-le-Comte, Pháp. Thû nhỏ ông học ở một trường dòng và sau đó tiếp tục học luật ở trường Đại học
Poitiers ngay tại quê nhà. Ông sớm nổi bật lên bởi sự khôn ngoan, sắc sảo trong những lần tham vấn về luật
pháp cho những người lỗi lạc,sau đó không lâu ông trở thành cố vấn hoàng gia cho Vua Henry III và Henry
IV của Pháp.Vào những lúc rảnh rỗi,ông nghiên cứu toán học và tự xuất bản những kết quả mà ông gặt hái
được.ng được mệnh danh là cha đẻ của ngành số học hiện đại và là nhà toán học lỗi lạc nhất của thế kỉ 16.
Những câu chuyện sau sẽ phần nào mô tả một chút tính cách của ông.Trong thời gian làm việc cho vua
Henry III,ông đã tìm ra chìa khóa mật mã của người Tây Ban Nha dài 500 kí tự và đọc được thư từ bí mật
của quân đội kẻ thù.Vua Philipp II của Tây Ban Nha vẫn tin chắc rằng mật mã của mình là bất khả xâm
phạm,không ai có thể giải mã được nên khi nghe tin đó ,ông ta đã phàn nàn với Đức giáo hoàng rằng người
Pháp đã sử dụng ma thuật để chống lại ông ta và điều đó trái với những bài học tốt đẹp của Chúa.
Khả năng cư xử khéo léo của Viete được minh họa trong câu chuyện về Francoise de Rohan, người em
họ của Henry III.Bà đã hứa hôn với công tước J.de Nermours và có một con trai với ông nhưng sau đó,ông
này lại cưới một người phụ nữ khác là Anne d’Este. Francoise muốn ông ta công bố là chồng hợp pháp của
mình còn đứa con cùng Anne chỉ là con hoang.Viete đã tìm ra giải pháp:Nghò viện tuyên bố Francoise là vợ
hợp pháp của Nemours và trao cho bà ta những quyền lợi của một công tước và đồng thời cuộc hôn nhân của
Anne và Nemours bò huỷ bỏ để đảm bào Anne và con cô ta sẽ không bò tổn hại nào về danh dự hay quyền
lợi.
Khả năng toán học của Viete bắt đầu lộ diện trong sự việc sau vào mùa hè năm 1594.Nhà toán học
người Bỉ A. van Roomen đưa ra thách thức cho tất cả những nhà toán học đương thời về lời giải cho một
phương trình bậc 45.Đại sứ Hà Lan dâng cho vua Henry IV cuốn sách của van Roomen với lời bình luận
rằng dường như nước Pháp không có một nhà toán học nào quan trọng.Nhà vua cho gọi Viete và ngay sau
đó ông đã lập tức tìm ra lời giải cho bài toán ,vào ngày hôm sau,ông tìm ra hơn 22 cách giải nữa.
Đáp lại Van Roomen,Viete thách thức ông giải bài toán Apollonius tìm ra cách xây dựng 1 đường tròn
tiếp xúc với 3 tam giác cho trước.Khi Adrianus Romanus tìm ra lời giải sử dụng 2 hyperbolas,Vieté không
hài lòng lắm với lời giải đó vì nó xa lạ với hình học mà theo ông chỉ cần dùng hình học phẳng ,chỉ với những
đường tròn và đường thẳng. Sau đó, ông đã đưa ra lời giải tổng quát cho bài toán tiếp tuyến với một phương
pháp thuần chất hình học và xuất bản một cuốn sách nhỏ với tựa đề Apollonius Gallus năm 1600 ở Paris.
Adrianus cảm thấy rất hài lòng và hứng thú nên ngay sau đó ông lên đường đến Pháp để gặp Viete và có
một tình bạn mật thiết với Viete.
Lấy làm ngạc nhiên vì sao một luật sư bận rộn như Viete lại có thể dành nhiều thời gian đến thế cho
toán học.Theo một nhà sử học đương thời,vào năm 1620,sự suy tư dành cho toán học của Viete sâu sắc đến
nỗi suốt 3 ngày liền ông ngồi trên bàn làm vic, không ăn, không ngủ, ngoại trừ ngả đầu vào khuỷ tay và
thiếp đi, cũng không nghỉ ngơi một chút nào. Viete mất năm 1603, ch 2 tháng sau khi vua cho ông nghỉ hưu.
b. nh lý Viète:
Cho a thc
xác nh như sau:
và
b s thc
(khơng nht thit phi hồn tồn phân bit ln nhau, trong trưng hp a thc có
nhiu nghim bng nhau). Khi ó,
là nghim ca
khi và ch khi chúng tho mãn h iu
kin sau:
9
Chứng minh:
a. nh lý thun:
Gi s
là các nghim ca
. Theo nh lý Bézout thì:
T ng nht thc trên ta có:
ó chính là pcm.
b. nh lý o:
Gi s b s
là tho h iu kin
. Ta chng minh rng chúng là nghim ca
.
Tht vy, gi
là nghim ca
. Theo nh lý thun va chng minh, ta có:
Xét 2 a thc:
N hưng do
nên
và vì th tp nghim ca chúng là ging nhau.
T ây ta cũng có pcm.
VD2.2b.1: Cho a thc
và
có nghim không
âm. Chng minh rng:
Lời giải:
Theo nh lý Viète ta có:
Áp dng bt ng thc Cauchy ta có:
10
ó chính là pcm.
VD2.2b.2: Cho phương trình:
. Bit rng phương trình
có nghim
trong khong
và . Chng minh rng:
Lời giải:
Gi
là nghim ca phương trình
. Theo nh lý Viète ta có:
Vì nên bt ng thc cn chng minh tương ương vi:
Do gi thit
nên
.
Áp dng bt ng thc Cauchy ta có:
Lý lun tương t ta có:
N hân theo v các bt ng thc
và
ri rút gn, ta có:
Và ó chính là pcm.
ng thc xy ra khi và ch khi:
VD2.2b.3: Tn ti hay không mt tp hp gm hu hn các s thc dương sao cho ng vi mi
u
tn ti a thc
sao cho
và
có úng nghim u thuc .
Lời giải:
11
Gi s tn ti tp hp
trong ó
tho mãn yêu cu bài toán.
Khi ó, theo gi thit thì tn ti a thc:
sao cho
có nghim
. Theo nh lý Viète ta có:
N hưng do
nên:
u này không th xy ra khi ta tăng giá tr ca n vô cùng.
Vì vy mà không tn ti mt tp hp nào tho iu kin ca bài toán ưa ra c.
VD2.2b.4: Tìm tt c các a thc
có dng như sau:
àá
àâ
à
Lời giải:
Xét a thc
tho iu kin như vy. Theo nh lý Viète thì:
(tng này gm
s hng).
Xét s
tho iu kin
Khi ó:
Suy ra
. Mt khác, cũng theo nh lý Viète:
Vì th
cùng du. Vy
và ta có a thc
cn tìm là:
Các ví d trên cho ta thy ng dng ca nh lý Viète i vi trưng hp tng quát ca a thc bc và trưng
hp riêng i vi . Song, 2 trưng hp riêng rt thưng gp ca nh lý Viète là:
i vi phương trình bc 2:
.
là 2 nghim ca phương trình khi và ch khi:
i vi phương trình bc 3:
.
là 3 nghim ca phương trình khi và ch khi:
Ta s xét mt s bài toán ví d cho vic ng dng nh lý Viète i vi phương trình bc 2 và bc 3 phn sau.
12
3. CÁC N G DN G CA NN H LÝ VIÈTE:
3.1. nh lý Viète vi phương trình bc 2:
a. Liên h gia các nghim ca mt phương trình bc 2:
Cho phương trình bc 2:
. Khi ó, da vào nh lý cơ bn ca i S, ta thy mi biu thc
i xng gia
và
u có th ưc biu din theo 2 i lưng:
Do ó, ta có th tính theo tham s (hoc các h s c th) cho trưc các nghim ca phương trình bc 2 mà
không cn phi tính c th các nghim y ra. iu này không ch hu ích khi bài toán cho phương trình cha
tham s mà còn rt có ý nghĩa khi các nghim ca phương trình tìm ra ưc quá phc tp.
Ta hãy xét mt s bài toán:
VD3.1a.1: Cho phương trình bc 2:
có các nghim
. Tính theo và các biu thc sau:
a.
b.
c.
Lời giải:
Theo nh lý Viète, ta có:
và
. Vì th:
a.
b.
c.
VD3.1a.2: Cho phương trình
có
. Chng minh rng trong 2 nghim ca phương
trình, có mt nghim bng 3 ln nghim còn li.
Lời giải:
Gi
là 2 nghim ca phương trình ã cho. Theo nh lý Viète và gi thit, ta có:
Suy ra:
Tc là
hoc
.
ó chính là pcm.
VD3.1a.3: Cho phương trình bc 2:
. Chng minh rng iu kin cn và phương trình
ã cho có 1 nghim bng ln nghim kia là:
.
Lời giải:
Phương trình ã cho có nghim khi và ch khi
.
Gi
là 2 nghêm ca phương trình ã cho. Khi ó, nghim này bng ln nghim kia khi và ch khi:
13
ýè
Bây gi, gi s ta ã có h thc
, do các bin i k trên là bin i tương ương 2 chiu nên ta ch cn
chng minh rng phương trình ã cho cũng có nghim. Tht vy:
N u thì phương trình ã cho t có nghim.
N u , t h thc
và bt ng thc Cauchy, ta có:
Vy t h thc
ta suy ra ưc phương trình ã cho có nghim.
n ây, ta kt thúc chng minh.
VD3.1a.4: Cho bit rng phương trình
có các nghim là
. Lp mt h
thc gia
và
c lp vi .
Lời giải:
Ta có:
nên phương trình ã cho
luôn có nghim .
Theo nh lý Viète ta có:
Suy ra:
, tc là:
.
Vy h thc gia
c lp vi là
.
VD3.1a.5: Cho phương trình
có 2 nghim là
và phương trình
có 2
nghim là
. Chng minh rng:
.
Lời giải:
Theo nh lý Viète, ta có:
ýè
ì
àá
ìýèì
y
(pcm).
VD3.1a.6: Cho phương trình
. Tìm phương trình có các nghim
phân bit
tha iu kin:
Lời giải:
Phương trình có 2 nghim phân bit khi và ch khi:
Trong iu kin y, theo nh lý Viète, ta có:
14
Vì tt c các giá tr trên ca u tho
nên
VD3.1a.7: Cho phương trình:
Vi . Chng minh rng
có 2 nghim phân bit
và
.
Lời giải:
KX ca phương trình là: . Trong iu kin y,
tương ương vi:
Vì
có trái du nên nó t có 2 nghim phân bit cũng trái du, mt khác: u
không là nghim ca
nên tt c các nghim ca
u là nghim ca
.
Gi
là 2 nghim phân bit ca
Ta có:
ì
Mt khác: nên:
Vy ta có:
Lý lun tương t ta cũng có:
Và ó chính là pcm.
VD3.1a.8: Cho phương trình bc 2:
. Tìm phương trình có 2 nghim
tho iu kin:
Lời giải:
Phương trình ã cho có nghim khi và ch khi:
(úng )
Theo nh lý Viète, ta có:
15
∆
′
y và là các giá tr ca tho mãn yêu cu bài.
VD3.1a.9:
a. Cho phương trình
. Tính giá trị ca biu thc:
à
Lời giải:
a. Kí hiu
. Theo nh lý Viète, ta có:
T ó:
Vy:
à
ýèó
à
ê
àươì
Theo câu a, ta có:
Suy ra:
Hay:
Vy a thc cn tìm là:
b. Liên h gia nghim ca các phương trình bc 2:
VD3.1b.1: Cho ôi mt khác nhau và . Bit rng 2 phương trình sau có ít nht mt nghim chung:
Chng minh rng các nghim còn li ca chúng là nghim ca phương trình
.
Lời giải:
Gi
là nghim chung ca 2 phương trình ã cho. Ta có:
(vì )
16
Gi
là nghim còn li ca phương trình
và
là nghim còn li ca phương trình
. Theo nh lý Viète, ta có:
Mt khác, cũng theo nh lý Viète, vì và là 2 nghim ca phương trình
nên .
Vy:
và
nên theo nh lý Viète o thì chúng là 2 nghim ca phương trình:
ó chính là pcm.
VD3.1b.2: Bit rng phương trình
có 2 nghim dương. Chng minh rng phương trình
vi cũng có 2 nghim u dương.
Lời giải:
Vì phương trình
có 2 nghim dương nên:
Xét phương trình
, ta có:
Suy ra phương trình
cũng có nghim. Ta s chng minh các nghim y u dương.
Tht vy, theo nh lý Viète thì:
ì
Vì th, 2 nghim ca phương trình
u dương. ó chính là pcm.
VD3.1b.3: Cho phương trình
có 2 nghim là và , ng thi phương trình
có 2 nghim là và . Chng minh rng:
.
Lời giải:
iu kin có nghim ca 2 phương trình ln lưt là
và
.
Dưi iu kin y, theo nh lý Viète ta có:
ýè
N hưng ng thc sau cùng úng nên ta có pcm.
VD3.1b.4: Cho các phương trình:
Bit rng tích ca 1 nghim ca
vi 1 nghim ca
là 1 nghim ca
. Tính:
.
Lời giải:
Theo nh lý Viète, các cp nghim ca c 3 phương trình nói trên u gm 2 nghim là nghch o ca nhau.
17
à
ưàá
Li theo nh lý Viète, ta có:
à
Suy ra:
Mt khác, cũng theo nh lý Viète:
Thay
vào
, ta có:
Vy
.
VD3.1b.5: Gi s 2 phương trình
có 2 nghim là
và phương trình
có
2 nghim
. Chng minh rng:
Lời giải:
iu kin có nghim ca 2 phương trình trên ln lưt là:
và
.
Trong iu kin y, áp dng nh lý Viète, ta có:
ó chính là pcm.
c. Các bt ng thc và bài toán cc tr:
VD3.1c.1: Cho phương trình
có 2 nghim
. Chng minh rng:
ng thc xy ra khi nào?
Lời giải:
Phương trình ã cho có 2 nghim khi và ch khi
.
Trong iu kin y, theo nh lý Viète ta có:
(vì theo iu kin có nghim ca phương trình)
Vy
(pcm). ng thc xy ra khi và ch khi .
18
VD4.1c.2: Cho phương trình
. Tìm phương trình có 2 nghim
ng thi
t giá tr nh nht.
Lời giải:
Ta có:
nên phương trình ã cho luôn có 2 nghim phân bit là:
ư
Xét trưng hp 1:
và
, theo nh lý Viète ta có:
ng thc xy ra khi và ch khi (tho )
Xét trưng hp 2:
và
, cũng theo nh lý Viète ta có:
ng thc xy ra khi và ch khi (tho )
T kt lun ca 2 trưng hp trên ta có , t ưc khi và ch khi .
VD3.1c.3: Cho phương trình
. Tìm phương trình có 2 nghim phân bit
ng
thi biu thc sau t giá tr nh nht:
Lời giải:
Phương trình ã cho có 2 nghim phân bit khi và ch khi:
Vì
là 2 nghim ca phương trình ã cho nên:
T ó, theo nh lý Viète, ta có:
Suy ra:
Áp dng bt ng thc Cauchy, ta có:
Suy ra .
ng thc xy ra khi và ch khi:
19
ô
àáêà
VD3.1c.4: Cho phương trình
. Tìm phương trình có 2 nghim
và
biu thc sau t giá tr ln nht:
.
Lời giải
:
Phương trình ã cho có 2 nghim
khi và ch khi:
ú
nh lý Viète ta có:
à
′
ưà
VD3.1c.5: Cho phương trình
. Tìm phương trình có 2
nghim
sao cho
t giá tr ln nht, nh nht.
Lời giải:
Phương trình ã cho có:
nên nó luôn có nghim.
Theo nh lý Viète, ta có:
Tp giá tr ca là tp hp các giá tr ca biu thc ó làm cho phương trình
có nghim, tc là:
õàìà
ì
ááê
à
ưưà
d. Các bài toán s hc:
ươì
óá
íư
Lời giải:
Theo nh lý Viète, ta có:
Suy ra:
20
Vy pcm úng ti .
Gi s ti pcm úng ti úng ti , tc là:
Theo nh lý Vi ète, ta cũng có:
Suy ra:
Tc là pcm cũng úng vi . Vy theo nguyên lý qui np toán hc thì
:
VD3.1d.2: Cho phương trình
có các nghim
. Kí hiu:
. Chng
minh rng
là mt s nguyên . Tính
theo
và
. Tìm s dư phép chia
cho
Lời giải:
Theo nh lý Viète, ta có:
nên
và
là các s nguyên.
Mt khác, cũng theo nh lý Viète, ta có:
, suy ra:
Gi s
là s nguyên , ta có:
Suy ra:
. Mà
và
là các s nguyên (theo gi thit qui np) nên
cũng
là s nguyên.
Vy theo nguyên lý quy np, ta có
là s nguyên
. Mt khác, trong quá trình qui np, ta cũng ã
chng minh ưc:
, tc là:
.
Công thc trên chính là cách tính
theo
và
.
Bây gi ta tìm s dư ca
khi chia cho . Ta có:
Suy ra:
Trong ng dư thc trên, thay bi thì ta có:
T ó:
Li thay bi thì
. Mà nên
.
Do ó, s dư trong phép chia cn tìm là .
VD3.1d.3: Tìm s hng tng quát ca dãy s Fibonacci ưc xác nh như sau:
Lời giải:
Gi là các s tho iu kin: .
Theo nh lý Viète, là 2 nghim ca phương trình bc 2:
Ta có:
21
t
thì ta thy
, hay
là mt cp s nhân có công bi .
Mt khác:
nên ta có
.
Tc là
, t ó:
Bây gi ta thay các giá tr ca và vào, vì là nghim ca phương trình
nên không mt tính tng quát,
ta có th coi:
Vy
Công thc nói trên chính là s hng tng cn tìm ca dãy s Fibonacci.
N ói thêm v Fibonacci: Fibonacci tên tht là Leonardo da Pisa (1170 – 1250), cũng ưc bit n vi các
tên gi khác như Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, là nhà Toán hc ngưi Italia, ưc
coi là nhà toán hc thông minh nht thi trung i ca th gii.
Dãy s Fibonacci xut hin ln u trong cun sách “Liber Abaci” ca Fibonacci t bài toán sau ây:
Một cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con gồm một đực và một cái. Cặp thỏ mới sinh ra sau 2
tháng lại bắt đầu sinh cặp mới. Giả thiết thỏ không chết và luôn sinh sản được (^_^), hỏi sau một năm sẽ có bao
nhiêu thỏ nếu như lúc đầu ta có 1 cặp thỏ.
T gi thit suy ra rng sau mt tháng s có 2 cp th, sau 2 tháng, cp th nht tip tc sinh và ta có 3 cp
th. Tháng tip theo, cpt hú 2 cũng sinh, và cp u vn sinh nên ta li có 5 cp th. N hư vy, nu kí hiu
là
s th tháng k t u năm thì ta thy
lp thành dãy s Fibonacci nói trên:
Dãy Fibonacci có vai trò rt quan trng trong không ch trong Toán hc mà trong tt c các ngành khoa hc
khác. Trong rt nhiu bài toán khó, dãy Fibonacci xut hin làm cho ngưi gii không khi kinh ngc bt ng.
Trong t nhiên, ngưi ta cũng quan sát và thng kê thy ưc a s các gân, cành, lá cây mc theo quy lut ca
dãy Fibonacci diu kì này.
Chú ý rng t cách gii bài toán tìm s hng tng quát ca dãy Fibonaci, ta có th tìm ưc s hng tng quát
ca dãy s cho bi công thc truy hi sau:
Dãy s xác nh như th ưc gi là dãy hi quy tuyn tính bc 2. N ó gn lin vi tên tui nhà toán hc ngưi
Pháp François Édouard Anatole Lucas (1842-1891) nên còn ưc gi là dãy Lucas.
Trong trưng hp phương trình bc hai
không có nghim thc, ta vn có th gii bài toán
trong trưng s phc.
Bây gi, ta s ng dng tư tưng trên vào mt bài toán tng quát hơn:
22
VD3.1d.4: Cho là các s thc tho iu kin và
a. Bài toán thun: Cho phương trình bc 2:
có 2 nghim thc
. t
. Khi ó:
.
b. Bài toán o: Cho 2 s thc phân bit
. Kí hiu
. Khi ó, nu:
thì
là 2 nghim phân bit ca phương trình
.
Lời giải:
a. Bài toán thun:
là 2 nghim ca phương trình
.
Tht vy, vì
là 2 nghim ca phương trình
nên theo nh lý Viète ta có:
Suy ra
(pcm).
b. Bài toán o:
là 2 nghim ca phương trình
H thc truy hi ã cho tương ương vi:
Hay:
Do
và
là 2 s thc phân bit nên chúng không th ng thi bng .
Vì th,
ch xy ra khi
.
Tc là
là 2 nghim ca phương trình
. ó chính là pcm.
ng dng bài toán trên, ta có th gii mt s bài toán S Hc sau:
VD3.1d.5: Tìm
vi
là phn nguyên ca s thc , ch s nguyên ln nht không vưt quá .
Lời giải:
t
và
thì ta có
và
. Theo nh lý Viète o thì
là 2
nghim ca phương trình bc hai:
.
t
. Theo VD3.1d.4 thì:
, t ó ta tính ưc:
Mà:
nên
hay:
Vy:
VD3.1d.6: Chng minh rng trong biu din thp phân ca s
có ít nht ch s sau du phy.
Lời giải:
t
và
, ta có
và
nên theo nh lý Viète
o thì
là 2 nghim ca phương trình
.
t
thì vi cách chng minh tương t như VD3.1d.2, ta có
luôn là s nguyên dương
.
Mt khác:
N ên:
23
Vy:
Mà
là s nguyên dương
nên sau dy phy ca s
luôn có ít nht là ch s .
ó chính là pcm.
VD3.1d.7: Cho phương trình
có các nghim
. Chng minh rng
có th ưc
phân tích thành tng bình phương ca 3 s nguyên liên tip
.
Lời giải:
Gii phương trình ã cho, ta thy nó có 2 nghim phân bit là
và
.
Theo nh lý v khai trin nh thc N ewton thì
sao cho:
Mt khác, theo nh lý Viète, ta có:
Vy:
Và ó chính là pcm.
VD3.1d.8: (VMO 2002)
Tìm các giá tr nguyên dương ca phương trình sau có nghim nguyên dương:
Lời giải:
Phương trình ã cho có th ưa v dng tương ương sau:
Gi s là s nguyên dương sao cho phương trình
có nghim nguyên dương .
Gi
là nghim nguyên dương ca phương trình
sao cho
có giá tr nh
nht. Và, không mt tính tng quát, gi s
. Khi ó, t h thc
, ta d thy:
Mt khác,
là nghim nguyên dương ca phương trình bc hai:
Theo nh lý Viète, và t nhn xét rng
, ta thy phương trình trên còn có mt nghim
nguyên dương na là:
à
ũà
Mt khác, do
và
có giá tr nh nht trong các nghim ca PT
nên:
24
Theo nh lý v du ca tam thc bc hai, ta có:
Suy ra:
Mà
nên
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Ti , phương trình
có nghim nguyên dương
Vy các giá tr cn tìm ca là
.
e. Gii và bin lun mt s h phương trình:
Mt a thc
ưc gi là i xng gia các bin
nu như vi mi hoán v
ca b s
, ta u có:
H phương trình gm các phương trình i xng gia các Nn ưc gi là h phương trình i xng loi I.
Sau ây, ta s tìm hiu ng dng ca nh lý Viète trong vic gii các h phương trình loi này.
VD3.1e.1: Gii h phương trình:
Lời giải:
t và , h phương trình tr thành:
hoc
Do iu kin
nên ta ch chn kt qu .
Khi ó, theo nh lý Viète o, là 2 nghim ca phương trình bc hai:
Suy ra
hoc
Vy h phương trình ã cho có 2 nghêm là
và
.
i vi các h phương trình gm các phương trình không i xng, hoc ch mt phương trình là i xng,
bng phép i bin s hoc mt s bin i i S khéo léo, ta vn có th ưa chúng v dng h i xng.
VD3.1e.2: Gii h phương trình:
Lời giải:
t
và
. Khi ó:
. Suy ra:
25
H ã cho có dng:
t và thì iu kin h có nghim là
, tc là .
Bin i phương trình
ca h, ta có:
Theo iu kin xác nh suy ra .
T nh lý Viète o thì là 2 nghim ca phương trình bc hai:
Suy ra
Th li ta thy các nghim nói trên u tho h phương trình.
Vy h có 2 nghim
là
và
.
VD3.1e.3: (Olympic 30/4 năm 2007)
Gii h phương trình:
Lời giải:
t và . Theo nh lý Viète o, là 2 nghim ca phương trình bc hai:
iu kin h có nghĩa là và iu kin h có nghim là phương trình y có nghim, tc là
Mt khác, vì
nên t phương trình u ca h ta có:
Thay ngưc tr li
thì:
N hưng vì
và do theo iu kin có nghĩa ca h nên
Vy ta có , suy ra
Suy ra
và . Thay vào phương trình sau ca h ta ưc:
Suy ra
Th li ta thy các nghim trên u tho h.
Vy h phương trình ã cho có các nghim
là
và
Phép th Viète cũng ưc dùng bin lun hoc nh tham s h phương trình tho mt iu kin nào ó.
