Toán tử n hypercyclic yếu và n supercyclic yếu trong không gian véc tơtô pô lồi địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUN SOUKHALUCK

TOÁN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ
n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHÔNG
GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN THÌN

Thái Nguyên - Năm 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BOUN SOUKHALUCK

TOÁN TỬ n-HYPERCYCLIC YẾU VÀ
n-SUPERCYCLIC YẾU TRONG KHÔNG
GIAN VÉC TƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN VĂN THÌN

Thái Ngun - Năm 2021


Lời cam doan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Văn Thìn. Tơi khơng sao chép từ bất kì cơng trình nào
khác.
Các tài liệu trong luận văn là trung thực, tôi kế thừa và phát huy các
thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn và chân thành.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 2021
Người viết luận văn

BOUN SOUKHALUCK

i


Lời cảm ơn
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Văn Thìn đã tận tình trực tiếp
giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học, giải đáp những
thắc mắc, hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này. Đó là những góp ý hết
sức q báu khơng chỉ trong quá trình thực hiện luận văn này mà cịn là
hành trang tiếp bước cho tơi trong q trình học tập và lập nghiệp sau này.
Một lần nữa tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy! Đồng thời, tôi
xin gửi lời cảm ơn đến Ban Chủ Nhiệm khoa Tốn và các thầy cơ trong tổ
Bộ mơn Giải tích đã tạo điều kiện cho tơi được làm luận văn, đã quan tâm
và đôn đốc tôi trong quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 7 năm 202 1

BOUN SOUKHALUCK

ii


Mục lục
Lời cam doan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Toán tử n-hypercyclic yếu trong không gian véc tơ tôpô lồi
địa phương

3

1.1

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Định lý kiểu Ansari n-yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Xây dựng các toán tử n-hypercyclic yếu . . . . . . . . . . .

18

2 Toán tử n-supercyclic yếu trong khơng gian véc tơ tơpơ lồi
địa phương

28

2.1

Tốn tử n-supercyclic yếu: các tính chất cơ bản. . . . . . .

28

2.2

Một số họ phổ quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Tiêu chuẩn các toán tử n-supercyclic yếu . . . . . . . . . .

39

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

iii


Mở đầu
1. Lý do chọn luận văn
Cho X là một không gian véc-tơ tôpô và f : X −→ X là ánh xạ liên tục.
Với mỗi phần tử x ∈ X , kí hiệu

Orb(x, f ) = {x, f (x), f 2 (x), ..., f n (x), ...}.
Trong đó, f n là hợp thành n lần của f . Việc nghiên cứu quỹ đạo của f và
dáng điệu của f n là vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực. Trong lý
thuyết hệ động lực thì hệ động lực tuyến tính đóng vai trị quan trọng, có
nhiều ứng dụng trong phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

... Năm 1969, S. Rolewicz [19] đã nghiên cứu quỹ đạo của tốn tử tuyến
tính liên tục, ơng chỉ ra sự tồn tại tốn tử tuyến tính trong lp hoặc c0 có
quỹ đạo trù mật. Có lẽ lấy cảm hứng từ kết quả này, năm 1982, C.Kitai đã
nghiên cứu toán tử tuyến tính trong khơng gian Banach có quỹ đạo trù mật
mà ơng gọi là tốn tử hypercyclic, năm 2012, N.S. Feldman [15] đã nghiên
cứu về toan tử n− hypercyclic yếu và n−supercyclic yếu. Khi xét quỹ đạo
trù mật với các lớp tôpô khác nhau chúng ta thu được các lớp tốn tử khác
nhau. Kể từ đó, nhiều tác giả trên thế giới đã tiếp tục hướng nghiên cứu
này như J.H. Shapiro, K.G. Grosse-Erdmann [16], A.Peris [18],...
Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi lựa chọn chủ
đề “Tốn tử n-hypercyclic yếu và n-supercyclic yếu trong khơng gian véc tơ
tôpô lồi địa phương” làm đề tài luận văn thạc sĩ.
2. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng nghiên cứu cơ bản, sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp
chí tốn học trong nước và quốc tế liên quan đến tốn tử n-hypercyclic và

n-supercyclic trong khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa phương. Qua đó, tìm hiểu
và nghiên cứu các vấn đề trong luận văn.
1


3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn là nghiên cứu một số lớp toán tử n-hypercyclic
yếu và n-supercyclic yếu trong không gian véc tơ tôpô lồi địa phương.
4. Nội dung của luận văn
Luận văn gồm 2 chương:
- Chương 1. Tốn tử n-hypercyclic yếu trong khơng gian véc tơ tơpơ lồi
địa phương.
- Chương 2. Tốn tử n-suppercyclic yếu trong không gian véc tơ tôpô lồi
địa phương.

2


Chương 1

Tốn tử n-hypercyclic yếu trong
khơng gian véc tơ tơpơ lồi địa
phương
Trong luận văn này, ta kí hiệu X và Y đều là không gian véc tơ tôpô lồi
địa phương trên trường số thực R hoặc trường số phức C, F là tập số thực
hoặc tập số phức. Không gian đối ngẫu X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên X , B(X) là tập tất cả các tốn tử tuyến tính liên
tục trên X , B(X, Y ) là tập tấc cả các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào

Y.
1.1

Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một toán tử tuyến tính liên tục trong khơng
gian X trên trường F. Với một phần tử x ∈ X , quỹ đạo của x đối với T là
2
Orb(x, T ) = {T n x}∞
n=0 = {x, T x, T x, ...}. T được gọi là hypercyclic nếu
có một quỹ đạo trù mật, tức là có một véc tơ x ∈ X sao cho Orb(x, T ) trù
mật trong X .

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian lồi địa phương và x0 ∈ X .
Cơ sở lân cận của tôpô yếu tại x0 được định nghĩa như sau:

Với F = {f1 , ..., fn } ⊆ X ∗ và ε > 0, đặt

N (x0 , F, ε) = N (x0 , f1 , ..., fn , ε) = {x ∈ X : |f (x) − f (x0 )| < ε, ∀f ∈ F}.
3


Cho F : X → Fn xác định bởi F (x) = (f1 (x), ..., fn (x)) và ·

∞

là chuẩn

∞

< ε}.

max trên Fn , khi đó

N (x0 , f1 , ..., fn , ε) = N (x0 , F, ε) := {x ∈ X : F (x) − F (x0 )

Một tập E ⊆ X được cho là mở yếu nếu với mọi x0 ∈ E , tồn tại một tập
hữu hạn F ⊆ X ∗ và ε > 0 sao cho N (x0 , F, ε) ⊆ E .
Ta sẽ giới thiệu khái niệm về n-tập mở yếu, trong đó ta giới hạn kích
thước của F . Nếu A là một tập hợp, ta kí hiệu |A| là lực lượng của A.
Định nghĩa 1.1.3. Cho n là số nguyên dương, X là không gian lồi địa
phương và E ⊆ X , khi đó:

(a) Tập E là n-mở yếu nếu với mọi x0 ∈ E , tồn tại ε > 0 và tập F ⊆ X ∗
với |F| ≤ n sao cho N (x0 , F, ε) ⊆ E .
(b) Tập E là n-đóng yếu nếu phần bù của E là n-tập mở yếu.

(c) Tập E là n-trù mật yếu trong X nếu E ∩ N = ∅ với mọi tập N là n-mở
yếu khác rỗng trong X .
(d) Một điểm x0 ∈ X nằm trong n-bao đóng yếu của tập E nếu với mọi
tập n-mở yếu N chứa x0 , thì ta có N ∩ E = ∅.
Định nghĩa 1.1.4. Nếu n là số ngun dương thì ta nói toán tử T là nhypercyclic yếu nếu tồn tại một véc tơ x ∈ X sao cho Orb(x, T ) là n-trù
mật yếu trong X .
Chú ý rằng các tập dưới dạng N (x0 , F, ε) là các n-tập mở yếu nếu lực
lượng của F nhiều nhất bằng n. Trong thực tế, ta gọi các tập đó là các

n-tập mở yếu cơ bản, vì mọi n-tập mở yếu là hợp các n-tập mở yếu cơ bản.
Các n-tập mở yếu khơng tạo thành dạng tơpơ vì chúng khơng đóng đối với
điểm giao hữu hạn và các n-tập đóng yếu khơng đóng đối với các hợp hữu
hạn.
Mệnh đề 1.1.5. (Các tính chất n-tôpô yếu). Nếu X là một không gian lồi
địa phương thì ta có những tính chất sau:

(a) Nếu U là m-tập mở yếu trong X , V là n-tập mở yếu trong X và
k = max{m, n} thì U ∪ V là k -tập mở yếu trong X.
4


(b) Nếu U là m-tập mở yếu trong X và V là n-tập mở yếu trong X thì
U ∩ V là (m + n)-tập mở yếu trong X .
(c) Nếu F1 là m-tập đóng yếu trong X và F2 là n-tập đóng yếu trong X thì
F1 ∪ F2 là (m + n)-tập đóng yếu trong X .
(d) Nếu F1 là m-tập đóng yếu trong X , F2 là n-tập đóng yếu trong X và
k = max{m, n} thì F1 ∩ F2 là k -tập đóng yếu trong X.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu C là một tập lồi trong không gian lồi địa phương X
thì 1-bao đóng yếu của C trong X bằng bao đóng của C trong X .
Mệnh đề sau đây cho thấy nhiều cách khác nhau để xét các n-tập trù

mật.
Mệnh đề 1.1.7. Nếu X là một không gian lồi địa phương trên F = R hoặc
C, E ⊆ X và n là số nguyên dương thì các khẳng định sau là tương đương.
(a) E là n-trù mật yếu trong X .
(b) F (E) trù mật trong Fn với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục F : X → Fn .
(c) {f1 (x), ..., fn (x) : x ∈ E} trù mật trong Fn với mọi tập độc lập tuyến
tính của các phiếm hàm {f1 , ..., fn } ⊆ X ∗ .
(d) F (E) trù mật trong F (X) với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục

F : X → Y với dim(F (X)) ≤ n.
(e) π(E) trù mật trong X/M với mọi không gian con tuyến tính đóng M
của X với dim(X/M) ≤ n, trong đó π : X → X/M là ánh xạ thương.
(f) Với mọi khơng gian con N ⊆ X có đối chiều n, đối với N có một khơng
gian con bù M để hình chiếu của E vào M theo N trù mật trong M.
(g) Nếu X là khơng gian Hilbert thì các điều kiện trên cũng tương đương,
với mọi không gian con M của X với dim(M ) = n thì chiếu trực giao
của E vào M trù mật trong M.
Mệnh đề 1.1.8. Giả sử X là một không gian lồi địa phương trên trường
vô hướng F.
5


(a) Nếu {f1 , ..., fn } ⊆ X ∗ và ta xác định tốn tử tuyến tính F : X → Fn
bởi F (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x)) thì F là tồn ánh khi và chỉ khi tập
các phiếm hàm {f1 , ..., fn } là độc lập tuyến tính.
(b) Nếu dim(X) ≤ n thì tập E ⊆ X là n- trù mật yếu trong X khi và chỉ
khi E là trù mật trong X .
Mệnh đề 1.1.9. Giả sử X là không gian lồi địa phương trên trường vô
hướng F, E ⊆ X, x0 ∈ X thì x0 thuộc vào n-bao đóng yếu của E khi và chỉ
khi F (x0 ) chứa trong bao đóng của F (E) với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục

F : X → Fn .
Chúng ta nên coi mặt hình học của một n-tập mở yếu cơ bản N như một
lân cận ε của không gian con afin L có đối chiều n. Tất cả các n-tập mở
yếu là hợp của các n-tập mở yếu cơ bản . Do đó, 1-tập mở yếu cơ bản trong
R2 là một lân cận ε của một đường thẳng, như vậy là mảnh bé, tức là miền
giữa hai đường thẳng song song . Một 2-tập mở yếu cơ bản trong R2 là một
lân cận ε của một điểm. Một 1-tập mở yếu cơ bản trong R3 là một lân cận

ε của mặt phẳng như bảng, tấm ván chẳng hạn. Một 2-tập mở yếu cơ bản
trong R3 là một lân cận ε của một đường thẳng như một cái thanh bé dài.
Ví dụ 1.1.10. (Một số n-tập trù mật yếu cơ bản trong Rn ).
(a) Hợp của hai trục x và y tạo thành 1-tập trù mật yếu trong R2 .
(b) Hợp của trục x, y và z trong R3 tạo thành 1-tập trù mật yếu trong R3 ,
nhưng đó khơng phải 2-trù mật yếu trong R3 .
(c) Hợp của 3 tọa độ phẳng trong R3 tạo thành 2-tập trù mật yếu trong R3
nhưng không phải 3-trù mật yếu trong R3 .
(d) Một hợp của n không gian con một chiều độc lập trong Rn (hoặc Cn )
là 1-trù mật yếu nhưng không phải 2-trù mật yếu trong Rn (tương ứng
Cn ).
Mệnh đề 1.1.11. Nếu E ⊆ X là một tập con của khơng gian lồi địa phương

X và nó đóng đối với phép nhân vơ hướng thì E là 1-tập trù mật yếu trong
X khi và chỉ khi E có bao tuyến tính trù mật trong X .
6


Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.7, E là 1-tập trù mật yếu trong X khi và
chỉ khi f (E) trù mật trong F với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục f : X → F
khác 0.

Mặt khác, theo Định lý Hahn-Banach, E có bao tuyến tính trù mật trong

X khi và chỉ khi f (E) = {0} với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khác
0 trên X . Tuy nhiên, vì E đóng đối với phép nhân vơ hướng nên ta có
f (E) = {0} khi và chỉ khi f (E) trù mật. Do đó, E là 1-tập trù mật yếu
trong X khi và chỉ khi E có bao tuyến tính trù mật trong X .
Mệnh đề sau là một tổng quát trực tiếp của (a), (b) và (c) trong Ví dụ
1.1.10.
Mệnh đề 1.1.12. Nếu F = R hoặc C, 1 ≤ n < d và

Xn = {x ∈ Fd : x có nhiều nhất n tọa độ khác 0}
thì Xn là n-trù mật yếu trong Fd nhưng không phải (n + 1)-trù mật yếu
trong Fd .
Chứng minh. Giả sử F : Fd → Fn là một toán tử tuyến tính liên tục, khi
đó ta phải chứng minh F (Xn ) trù mật trong Fn , tức là ta sẽ chứng minh

F (Xn ) = Fn . Vì F là ánh xạ tuyến tính liên tục nên ta có ma trận M với
kích thước n × d sao cho F (x) = M x với mọi x ∈ Fd . Vì F chiếu trên Fd
nên M phải có hạng bằng n. Do đó, M phải có n cột độc lập tuyến tính.
Giả sử các cột của M tại các vị trí k1 , ..., kn là độc lập tuyến tính. Vì Xn
chứa tất cả các véc tơ x có giá trị tùy ý trong các tọa độ k1 , ..., kn và bằng 0
tại các vị trí khác nên dễ thấy F (Xn ) = M (Xn ) = Fn . Do đó, Xn là n-trù
mật yếu trong Fd .
Để thấy Xn không phải là (n+1)-trù mật yếu trong Fn , ta xét không gian
con M sinh bởi {e1 , ..., en , en+1 } mà bao gồm tất cả các véc tơ có (n + 1)
tọa độ đầu tiên tùy ý và các tọa độ khác đều bằng 0. Ta chứng minh ảnh
của hình chiếu trực giao của Xn vào M không trù mật trong M. Điều này
đơn giản vì (n + 1) tọa độ liên tiếp bất kì nào của một véc tơ trong X đều
chứa 0. Do đó, chiếu trực giao của Xn vào M sẽ bao gồm các véc tơ mà
mỗi véc tơ sẽ có ít nhất một tọa độ bằng 0. Do đó, chiếu của Xn chứa trong

7


hợp của các (n + 1) siêu phẳng trong M nên nó khơng trù mật trong M.
Do đó, Xn khơng phải là (n + 1)-trù mật yếu trong Fn .
Không gian Hilbert của các dãy bình phương khả tổng trong F được kí
hiệu là

2
F

và các véc tơ {ek } là véc tơ cơ sở, tức là dãy {ek } bằng 1 tại vị

trí thứ k và bằng 0 tại vị trí khác.
Hệ quả 1.1.13. Nếu n ≥ 1, Xn = {x ∈
thì Xn là n-trù mật yếu trong

2
F

2
F

: xk = 0 với nhiều nhất n tọa độ}
nhưng không phải (n+1)-trù mật yếu trong

2
F.

→ Fn là một ánh xạ tuyết tính liên tục. Ta

sẽ chứng minh rằng F (Xn ) trù mật trong Fn . Cho p ∈ Fn và ε > 0. Vì F
là tồn ánh và các véc tơ có giá hữu hạn trù mật trong 2F , chọn một véc
ε
tơ v ∈ 2F với giá hữu hạn sao cho F (v) nằm trong lân cận của p. Tiếp
2
theo, ta chọn d > n đủ lớn sao cho v ∈ M := span{e1 , ..., ed }. Theo Mệnh
đề 1.1.12, tập Xn ∩ M là n-trù mật yếu trong M. Đặc biệt, theo Mệnh
đề 1.1.7 (d), F (Xn ∩ M) trù mật trong F (M). Do đó, ta có thể chọn một
ε
véc tơ w ∈ Xn ∩ M sao cho F (w) nằm trong lân cận của F (v). Do đó,
2
w ∈ Xn và F (w) nằm trong ε lân cận của p. Do đó, F (Xn ) trù mật trong
Fn . Do đó, Xn là n-trù mật yếu trong 2F .
Để thấy Xn không phải là (n + 1)-trù mật yếu trong 2F , theo Mệnh đề
1.1.12, ảnh của hình chiếu trực giao của Xn vào M = span{e1 , ..., en , en+1 }
không trù mật trong M. Do đó, Xn khơng phải là (n + 1)-trù mật yếu trong
2
F.
Chứng minh. Giả sử F :

2
F

Định lý 1.1.14. (Định lý Ball). Cho S = {xn }∞
n=1 là một dãy véc tơ khác

0 trong không gian Banach X .
∞

(a) Nếu

n=0

1
< ∞ thì S là 1-đóng yếu trong X .
xn
∞

(b) Nếu X là một khơng gian Hilbert và
n=0

1
xn

2

< ∞ thì ta có những

khẳng định sau:
(i) Nếu X là khơng gian Hilbert phức thì S là 1-đóng yếu trong X .
8


(ii) Nếu X là khơng gian Hilbert thực thì S là 2-đóng yếu trong X .
Mệnh đề 1.1.15.
(a) Nếu P : X → Y là tốn tử tuyến tính liên tục có ảnh trù mật và E là

n-trù mật yếu trong X thì P (E) là n-trù mật yếu trong Y .
(b) Nếu T là n- hypercyclic yếu trên không gian Hilbert thì hạn chế của T
mọi khơng gian con bất biến cũng là n-hypercyclic yếu.
(c) Cho T1 ∈ B(X), T2 ∈ B(Y ), T1 là n-hypercyclic yếu. Nếu P : X → Y

có ảnh trù mật và P T1 = T2 P thì T2 cũng là n-hypercyclic yếu.
Định nghĩa 1.1.16. Nếu T là một tốn tử trên khơng gian Banach X và

{x1 , x2 , ..., xp } ⊆ X , khi đó ta nói tập {xk }pk=1 có một quỹ đạo liên hợp bị
chặn đối với T nếu bất đẳng thức sau đúng
sup [min{ T n x1 , T n x2 , ..., T n xp }] < ∞.
n≥0

Nếu một trong các véc tơ xk có quỹ đạo bị chặn đối với T (đặc biệt, nếu
có một véc tơ 0 trong các véc tơ đó) thì rõ ràng tập {xk }pk=1 có một quỹ đạo
liên hợp bị chặn. Tuy nhiên, có thể xảy ra trường hợp tập {xk }pk=1 có quỹ
đạo liên hợp bị chặn kể cả khi mỗi véc tơ có một quỹ đạo khơng bị chặn.
Điều này có thể xảy ra nếu quỹ đạo của mỗi véc tơ xk không bị chặn và
kể cả khi tồn tại M ≥ 0 sao cho n ≥ 0, tồn tại k sao cho T n xk ≤ M .
Ta còn dễ xây dựng được một cặp véc tơ x1 , x2 ∈

2

(N) mà mỗi véc tơ đều
khơng có quỹ đạo không bị chặn đối với hai lần dịch chuyển lùi nhưng cặp
{x1 , x2 } lại có quỹ đạo liên hợp bị chặn. Ta không chỉ xét các tập hữu hạn
mà cịn có thể xét các tập tùy ý có quỹ đạo liên hợp bị chặn. Trong trường
hợp này, ta thay minimum trong định nghĩa trên bằng infimun.
Mệnh đề 1.1.17. Nếu n ≥ 1 và T là một toán tử n-hypercyclic yếu trên
khơng gian Banach X thì khơng tồn tại tập các véc tơ khác 0 có quỹ đạo
liên hợp bị chặn đối với T ∗ mà có lực lượng nhỏ hơn hoặc bằng n.

Chứng minh. Bằng phương pháp phản chứng, giả sử T là n-hypercyclic
yếu trên X và S = {f1 , ..., fm } ⊆ X ∗ là một tập các véc tơ khác 0 có một

9


quỹ đạo liên hợp bị chặn đối với T ∗ , trong đó m ≤ n. Cho v là véc tơ

n-hypercylic yếu đối với T và xác định
F : X → Fm bởi F (x) = (f1 (x), f (x2 ), ..., f (xn )).
Vì Orb(v, T ) là n-trù mật yếu trong X nên ta có F (Orb(v, T )) trù mật
trong F (X) (xem Mệnh đề 1.1.7, (d)). Tuy nhiên, vì S có quỹ đạo liên hợp
bị chặn đối với T ∗ , giả sử M chẳng hạn, nên mọi véc tơ trong F (Orb(v, T ))
có ít nhất một tọa độ bị chặn bởi M v . Ta dễ thấy không gian con F (X)
chứa tấc cả các véc tơ mà các tọa độ có giá trị tuyệt đối lớn hơn M v vì fk
khác 0. Để thấy được điều này, chỉ cần chọn một véc tơ x ∈ X \

m
k=1 ker(fk ),

mỗi tọa độ của F (x) khác 0, do đó nếu c > 0 đủ lớn thì mỗi tọa độ của

F (cx) sẽ có giá trị tuyệt đối lớn hơn M v . Do đó, F (Orb(v, T )) không trù
mật trong F (X) nên ta gặp mâu thuẫn vì Orb(v, T ) là n-trù mật yếu trong
X.
1.2

Định lý kiểu Ansari n-yếu

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra một số cách đơn giản để xây dựng véc
tơ có quỹ đạo đối với hai lần dịch chuyển lùi là n-trù mật yếu nhưng không
phải (n + 1)-trù mật yếu. Sau đó áp dụng điều này để chứng minh rằng hợp
của hai quỹ đạo đối với hai lần dịch chuyển lùi có thể là 1-trù mật yếu mặc

dù quỹ đạo không phải là 1-trù mật yếu. Ta sẽ chứng minh rằng nếu T là
hai lần dịch chuyển lùi thì T và T 2 khơng có các véc tơ 1-hypercyclic yếu
trùng nhau. Ta còn chứng minh dạng tự nhiên của Định lý Ansari không
đúng trong việc thiết lập n-yếu. Định lý Ansari cho thấy nếu x là véc tơ
hypercyclic đối với T , khi đó x cũng là một véc tơ hypercyclic đối với T p .
Ta sẽ đưa ra kết quả đáng ngạc nghiên là tồn tại một véc tơ x và một toán
tử T sao cho x là một véc tơ n-hypercyclic yếu đối với T , nhưng x là véc
tơ n-hypercyclic yếu đối với T p chỉ khi p và (n + 1) nguyên tố cùng nhau.
Tổng quát hơn nữa, trong Định lý 1.2.11 ta sẽ chứng minh rằng đối với x
và T , thì quỹ đạo của x đối với T là n-trù mật yếu. Tuy nhiên, quỹ đạo của

x đối với T p chỉ là ( n+1
d − 1)-trù mật yếu, d = gcd(p, n + 1).
Ta kí hiệu B là địch chuyển lùi đơn phương (khơng có trọng số) trên
10


2

(N). Toán tử T, HC(T ) là tập tất cả các véc tơ hypercyclic đối với T và
W HCn (T ) là tập tất cả các véc tơ n-hypercyclic yếu đối với T .
Mệnh đề 1.2.1. Cho D :

2

(N) →

2

(N) là song ánh xác định bởi

Dx = (x0 , x0 , x1 , x1 , ...), trong đó x = (xn )∞
n=0 ∈

2

(N).

D là bội của một phép đẳng cự và khi B là dịch chuyển lùi trên 2 (N), thì
Im(D) ∪ Im(BD) là 1-trù mật yếu trong 2 (N) nhưng không phải 2-trù mật
yếu trong 2 (N).
(N) → 2 (N) là ánh xạ tuyến tính liên tục
thỏa mãn Dx 2 = 2 x 2 , ∀x ∈ 2 (N). Do đó, √12 D là một phép đẳng cự.
Cho X = Im(D) = D( 2 (N)) và Y = Im(BD) = BD( 2 (N)). Ta sẽ
chứng minh rằng tập X ∪ Y là 1-trù mật yếu trong 2 (N) nhưng không phải
2-trù mật yếu trong 2 (N). Lưu ý rằng X và Y là hai không gian con của
2
(N).

Chứng minh. Chú ý rằng D :

2

Yêu cầu 1.2.2. X + Y là trù mật trong

2

(N) theo tôpô sinh bởi chuẩn.
Để xác nhận yêu cầu này, ta cho {en }∞
n=0 là các véc tơ cơ sở tiêu chuẩn

đối với 2 (N). Chú ý rằng với mọi n ≥ 0, ta có
xn = (e2n + e2n+1 ) ∈ X và yn = (e2n+1 + e2n+2 ) ∈ Y. Do đó,
xn − yn = (e2n − e2n+2 ) ∈ X + Y và xn+1 − yn = (e2n+3 − e2n+1 ) ∈ X + Y.
Nếu g = {g(n)}∞
n=0 ∈

2

là một phiếm hàm tuyến tính khác 0 triệt tiêu trên

không gian con X + Y thì ta phải có

g (e2n ) − g (e2n+2 ) = 0 và g (e2n+3 ) − g (e2n+1 ) = 0, với mọi n ≥ 0.
Do đó, g(2n) = g(2n + 2), ∀n ≥ 0 và g(2n + 1) = g(2n + 3), ∀n ≥ 0. Vì

g ∈ 2 (N) nên kéo theo g = 0. Vậy thế, X + Y trù mật trong 2 (N).
Vì X và Y là các không gian con của 2 (N) và X + Y trù mật trong
2
(N), do đó ta có X ∪ Y đóng đối với phép nhân vơ hướng và có bao tuyến
tính trù mật, nên theo Mệnh đề 1.1.11, X ∪ Y là 1-trù mật yếu trong 2 (N).
Yêu cầu 1.2.3. X ∪ Y không phải là 2-trù mật yếu trong

11

2

(N).


Cho f = e0 − e1 = (1, −1, 0, 0, ...) và g = e1 − e2 = (0, −1, 0, 0, ...). Vì

f (z)
f và g là độc lập nên F : 2 (N) → C2 xác định bởi F (z) =
. Tuy
g(z)
nhiên, vì f (X) = {0} và g(Y ) = {0} nên F (X ∪ Y ) nằm trên hợp của hai
không gian con thực sự của C2 , vì vậy nó khơng trù mật trong C2 . Do đó,

X ∪ Y khơng pải là 2-trù mật yếu trong
Mệnh đề 1.2.4. Nếu D là song ánh trên

2

(N).

2

(N) và v là một véc tơ hypercyclic
đối với 4B thì Dv là véc tơ 1-hypercyclic yếu đối với 2B nhưng không phải
véc tơ 2-hypercyclic yếu đối với 2B .
Chứng minh . Chú ý rằng DBx = (x1 , x1 , x2 , x2 , ...) = B 2 Dx, với mọi

2
(N), nên DB = B 2 D. Do đó, D(4B) = (2B)2 D. Vậy thế,
x = (xn )∞
n=0 ∈
nếu T = 2B thì D(4B) = T 2 D. Cho v là một véc tơ hypercyclic đối với
4B , thì ta có

cl Orb Dv, T 2

= D (cl [Orb(v, 4B)]) = D

2

(N) .

(1.1)

(N) ∪ T D( 2 (N)) = X ∪ Y,

(1.2)

2n
∞
2n
∞
Vì {T n Dv}∞
n=0 = {T Dv}n=0 ∪ {T T Dv }n=0 , ta có

clOrb(Dv, T ) = D

2

trong đó X = Im(D) và Y = Im(BD). Theo Mệnh đề 1.2.1 thì X ∪ Y là

1-trù mật yếu trong 2 (N) nhưng không phải 2-trù mật yếu trong 2 (N).
Do đó, nếu v ∈ HC(4B) thì Dv là một véc tơ 1-hypercyclic yếu đối với
T = 2B nhưng không phải véc tơ 2-hypercyclic yếu.
Định lý 1.2.5. Nếu T = 2B là hai lần dịch chuyển lùi, v ∈ HC(4B) và

x = Dv , trong đó D là song ánh thì x là một véc tơ 1-hypercyclic yếu đối
với T n khi và chỉ khi n là số nguyên dương lẻ.
Chứng minh. Cho v ∈ HC(4B) và x = Dv , trong đó D là song ánh.
Theo Mệnh đề 1.2.4, ta có clOrb x, T 2 = D

2

(N) .Giả sử n là số chẵn.
Do đó, clOrb (x, T n ) ⊆ clOrb x, T 2 = D 2 (N) . Vì D 2 (N) là một
khơng gian con đóng thực sự của 2 (N) nên nó khơng phải là 1-trù mật yếu
trong 2 (N), do đó khi n là số chẵn thì x khơng phải là véc tơ 1-hypercyclic
yếu đối với T n .
12


Mặt khác, giả sử n là số lẻ. Vì v ∈ HC(4B) nên theo Định lý Ansari, ta
có v ∈ HC ((4B)n ). Vì D(4B) = (2B)2 D nên D(4B)n = (2B)2n D. Do đó,
vì T = 2B và D là bội của một phép đẳng cự, ta có

clOrb Dv, T 2n = clOrb Dv, (2B)2n = clD (Orb (v, (4B)n ))
= D (clOrb (v, (4B)n )) = D
Vì Orb (x, T n ) = Orb x, T 2n ∪ T n Orb x, T 2n

2

(N) .

bằng cách lấy các bao

đóng của đồng nhất thức trên, D là bội của phép đẳng cự,

Tp D
khi p là số chẵn và T p D

clOrb (x, T n ) = D

2

2

2

(N)

(N)

=D

=D

(N) ∪ T n D

2

2

(N)

2

(N)

(N) khi p là số lẻ, ta có
=D

2

(N) ∪ T D

2

(N)

= Im(D) ∪ Im(T D) = Im(D) ∪ Im(BD).
Theo Mệnh đề 1.2.1, Orb (x, T n ) là 1-trù mật yếu trong

2

(N). Do đó, x là

một véc tơ 1-hypercyclic yếu đối với T n khi n là số lẻ.
Ta biết rằng tốn tử T trên khơng gian X là đa-hypercyclic khi và chỉ
khi các véc tơ hữu hạn x1 , ..., xn trong X sao cho

n
k=1 Orb (xk , T )

trù mật

trong X . Nó được chứng minh trong Costakis [12], Peris [18], Bourdon và

Feldman [9], các toán tử đa-hypercyclic phải nằm trong hypercyclic. Trong
thực tế, nếu

n
k=1 Orb (xk , T )

trù mật trong X thì Orb (xk , T ) trù mật trong

X đối với một số k nào đó. Trong [9], cũng đã chứng minh một số kết quả
xảy ra với tôpô yếu. Tuy nhiên, dưới đây ta sẽ thấy kết quả sau không xảy
ra với n-yếu “giả-tơpơ”.
Hệ quả 1.2.6. Nếu T = 2B thì tồn tại các véc tơ x1 , x2 ∈

2

(N) sao cho

Orb x1 , T 2 ∪ Orb x2 , T 2
2

(N) nhưng cả Orb x1 , T 2 và Orb x2 , T 2 đều
không phải là 1-trù mật trong 2 (N).
là 1-trù mật yếu trong

Chứng minh. Theo chứng minh Mệnh đề 1.2.4, cho

v ∈ HC(4B) và x1 = Dv, x2 = BDv.
13

Từ (1.1) và (1.2) trong Mệnh đề 1.2.4 và áp dụng Mệnh đề 1.2.1, ta có

Im(D) ∪ Im(BD) là 1-trù mật yếu trong

2

, ta thấy rằng

Orb x1 , T 2 ∪ Orb x2 , T 2 là 1-trù mật yếu trong

2

nhưng

clOrb x1 , T 2 = Im(D) và clOrb x2 , T 2 = Im(BD) đều là khơng gian
con đóng thực sự, do đó nó khơng phải 1-trù mật yếu trong 2 (N).
Ta đưa ra một cách khác để xây dựng các véc tơ n-hypercyclic yếu đối
với hai lần dịch chuyển lùi mà không phải (n + 1)-hypercyclic yếu và cũng
coi là một phiên bản của Định lý Ansari đối với các véc tơ đặc biệt này.
Trước hết, ta phát biểu một bổ đề hữu ích cơ bản.
Bổ đề 1.2.7. Nếu T là một tốn tử trên khơng gian X, x ∈ X và n là số
nguyên dương thì Orb(x, T ) =

n−1 r
r=0 T

(Orb (x, T n )) .

Chứng minh. Chú ý rằng Orb(x, T ) = {T k x}∞
k=0 . Vì n đã cho cố định nên

với số ngun khơng âm k bất kì có thể viết dưới dạng k = nq + r, trong
đó q ≥ 0 và 0 ≤ r ≤ (n − 1), q và r cũng là số nguyên. Do đó, ta có
nq+r
Orb(x, T ) = {T k x}∞
x}∞,n−1
k=0 = {T
q=0,r=0
nq
∞
n−1
= {T nq x}∞
(T nq x)}∞
q=0 ∪ {T (T x)}q=0 ∪ ... ∪ {T
q=0

= Orb (x, T n ) ∪ T (Orb (x, T n )) ∪ ... ∪ T n−1 (Orb (x, T n ))
n−1

T r (Orb (x, T n )) .

=
r=0

Mệnh đề 1.2.8. Nếu n ≥ 1, v = (vk )∞
k=0 là một véc tơ hypercyclic đối với

2n+1 B n và
Zn v = (0, v0 , v1 , ..., vn−1 , 0, vn , vn+1 , ..., v2n−1 , 0, v2n , ..., v3n−1 , 0, v3n , ...)
thì Orb (Zn v, 2B) là n-trù mật yếu nhưng không phải (n + 1)-trù mật yếu
trong

2

(N). Đặc biệt, nếu v ∈ HC 2n+1 B n thì Zn v ∈ W HCn (2B).

Chứng minh. Với mọi x ∈

2

(N), cho Zn x thu được bằng cách chèn số 0
vào véc tơ x mà có n số hạng giữa các số 0 liên tiếp như trên và số hạng

14


ban đầu là số 0. Do đó, (Zn x)k(n+1) = 0 với mọi k ≥ 0 và

(Zn x)k(n+1)+j+1 = xkn+j với k ≥ 0, 0 ≤ j ≤ n − 1.
Dễ thấy T n+1 Zn x cũng chứa số 0 tại các vị trí k(n + 1), k ≥ 0 trong các
tọa độ. Chú ý rằng Zn là một phép đẳng cự từ

2

(N) →

2

(N) và thỏa mãn

Zn (B n x) = (0, xn , xn+1 , ..., x2n−1 , 0, x2n , ...) = B n+1 (Zn x) , ∀x ∈

Ta có, Zn 2n+1 B n x = (2B)n+1 (Zn x) với mọi x ∈

2

(N).

2

(N).
Do đó, nếu T = 2B thì Zn 2n+1 B n x = T n+1 (Zn x) , ∀x ∈ 2 (N). Vì vậy,
khi v là véc tơ hypercyclic đối với 2n+1 B n , Zn là một phép đẳng cự và ta sẽ
có cl Orb Zn v, T n+1 = Zn 2 (N) .
Tức là, bao đóng của Zn v đối với tốn tử T n+1 là tập tất cả các véc tơ
chứa 0 tại các vị trí k(n + 1), k ≥ 0 sao cho
clOrb Zn v, T n+1 = Zn

2

(N)

= {x = (xk )∞
k=0 ∈

2

(N) : xk(n+1) = 0, ∀k ≥ 0}.

n
k
k=0 T Zn

2
(xk )∞
(N)
k=0 ∈

2

(N) . Đặc biệt,
cl [Orb (Zn v, T )] chứa tập Xn = {x =
: xk = 0} với mọi
trường hợp nhiều nhất n tọa độ khác không. Theo Hệ quả 1.1.13, Xn và
Orb (Zn v, T ) là n-trù mật yếu trong 2 (N).

Theo Bổ đề 1.2.7, ta có clOrb (Zn v, T ) =

Yêu cầu 1.2.9. Orb (Zn v, T ) không phải là (n+1)-trù mật yếu trong

2

(N).

Xét không gian con M sinh bởi {e0 , e1 , ..., en }. Ta chứng minh phép chiếu
trực giao của Orb (Zn v, T ) vào M không trù mật trong M. Điều này là hiển
nhiên vì bất kì tọa độ (n + 1) liên tiếp của véc tơ Zn v đều chứa số 0. Do đó,
phép chiếu trực giao quỹ đạo của Zn v vào M sẽ bao gồm các véc tơ mà mỗi
véc tơ có ít nhất một tọa độ bằng 0. Vì hình chiếu của Orb (Zn v, T ) chứa
trong hợp các (n + 1)-siêu phẳng trong M nên nó khơng trù mật trong M.
Do đó, Orb (Zn v, T ) khơng phải (n + 1)-trù mật yếu trong

2

(N).

Bổ đề 1.2.10. Nếu a, b là các số nguyên dương, d là ước chung lớn nhất
của a và b, d = gcd(a, b) thì tồn tại các số nguyên dương x, y sao cho

ax − by = d. Hơn nữa, d = min{k ∈ N : k = ax − by với một số x, y ∈ N}.
15


Chứng minh. Ta biết rằng nếu d = gcd(a, b) thì tồn tại n, k (là số dương
hoặc âm) sao cho an + bk = d, trong đó

d = min{k ∈ N : k = ax + by với x, y ∈ Z}.
Tuy nhiên, chú ý rằng ta có a(n + bj) + b(k − aj) = d, trong đó j là số
ngun bất kì. Do đó, ta chọn j đủ lớn và đặt x = n + bj, y = aj − k thì cả

x và y đều là số nguyên dương và ta sẽ có d = ax − by .
Dễ kiểm tra nếu c > 1, B là hai lần dịch chuyển lùi và n là số ngun
dương thì cB n là một tốn tử hypercyclic (nó thỏa mãn tiêu chuẩn hypercyclic).
Định lý 1.2.11. Cho T = 2B là hai lần dịch chuyển lùi. Cho n và p đều
là số nguyên dương, d = gcd(n + 1, p), v = (vk )∞
k=0 là một véc tơ hypercyclic
đối với 2n+1 B n và cho

x = Zn v = (0, v0 , v1 , ..., vn−1 , 0, vn , vn+1 , ..., v2n−1 , 0, v2n , ..., v3n−1 , 0, v3n , ...)
thì ta có các khẳng định sau:
2

(a) Orb(x, T ) là n-trù mật yếu trong

(b) Orb (x, T p ) là
n+1
d

(N).

n+1
d

− 1 -trù mật yếu trong
-trù mật yếu trong 2 (N).

(c) Orb (x, T p ) là n-trù mật yếu trong

2

2

(N) nhưng không phải

(N) khi và chỉ khi gcd(p, n+1) = 1.

Chứng minh.
(a) Theo Mệnh đề 1.2.8.
(b) Từ chứng minh Mệnh đề 1.2.8, ta biết rằng

Zn 2n+1 B n = (2B)n+1 Zn

(1.3)

và vì x là một véc tơ hypercyclic đối với 2n+1 B n nên ta có

clOrb x, T n+1 = Zn

2

(N) .

(1.4)

Nếu p cũng là số ngun dương, theo (1.3) thì ta có

Zn 22n+1 B n

p

= (2B)(n+1)p Zn .
16

(1.5)


Vì x ∈ HC 2n+1 B n nên theo Định lý Ansari thì x ∈ HC
Do đó theo (1.5), ta có clOrb(x, T (n+1)p ) = Zn
p(n+1)k ∞
Vì Orb (x, T p ) = {T pk x}∞
}k=0
k=0 ⊇ {T

clOrb (x, T p ) ⊇ Zn

2n+1 B n

p

.

2

(N) .
= Orb x, T p(n+1) , ta có
2

(N)

(1.6)

Áp dụng Mệnh đề 1.2.8, cho T p và (n + 1) thay cho n, ta có
n

n
pk

p

T clOrb(x, T

clOrb (x, T ) =

p(n+1)

2

(N)

k=0

k=0
n

(1.7)

∞

B pk Zn

=

T pk Zn

)=

2

B pk Zn

(N) =

k=0

2

(N) .

k=0

(N) là không gian con của 2 (N) với mọi véc tơ chứa
0 tại các vị trí (n + 1)j, j ≥ 0. Chú ý rằng B k Zn 2 (N) là không gian con
thu được từ Zn 2 (N) bằng cách chuyển tất cả các véc tơ trong Zn 2 (N)
với k vị trí sang bên trái. Do đó, khơng gian con B k Zn 2 (N) bao gồm tất
cả các véc tơ trong 2 (N) chứa 0 tại các vị trí (n + 1)j − k, j ≥ 0. Do đó,
từ (1.7), ta có clOrb (x, T p ) bao gồm mọi véc tơ x ∈ 2 (N) sao cho tồn tại
số nguyên k ≥ 0 nên véc tơ x chứa 0 tại các vị trí {(n + 1)j − pk : j ≥ 0}.
Do đó,
Ta biết rằng Zn

2

clOrb (x, T p ) = {x ∈

2

(N) : ∃k ≥ 0 sao cho x(n+1)j−pk = 0, ∀j ≥ 0},

trong đó xm = 0, với mọi m < 0 vì x ∈

2

(N). Kí hiệu

d = min{(n + 1) − pk : j, k ≥ 0 và (n + 1)j − pk > 0},
theo Bổ đề 1.2.10, ta biết rằng d = gcd(a, b). Ta còn biết rằng tất cả các
bội số nguyên của d sinh bởi nhóm con {(n + 1)j − pk : j, k ∈ Z}, do đó tất
cả các bội của d đều bằng các số dương trong {(n + 1)j − pk : j, k ≥ 0}.
Do đó, ta có

clOrb (x, T p ) = {x ∈

2

(N) : ∃k ≥ 0 : xkd+(n+1)j = 0, ∀j ∈ Z}.

(1.8)

n+1
d

− 1 -trù mật yếu trong 2 (N), ta sẽ
chứng minh clOrb (x, T p ) chứa tập X n+1
bao gồm tất cả các véc tơ
(
−1)
Để chứng minh Orb (x, T p ) là

trong

2

(N) với nhiều nhất

n+1
d

d

− 1 tọa độ khác 0. Hệ quả 1.1.13 cho ta
17


là n+1
n+1
d −1
( d −1)
n+1
d − 1 -trù mật yếu
= (yj )∞
j=0 ∈ X( n+1 −1)
d

biết rằng X

-trù mật yếu trong

cũng là

trong

Cho y

2

(N), nên clOrb (x, T p )

2

(N).
nên y có nhiều nhất

n+1
d

− 1 tọa độ khác

0. Ta gọi yj1 , ..., yjm là các tọa độ khác 0 của y , trong đó m ≤ n+1
d − 1.
Xét các lớp môđun thặng dư (n + 1) tại các vị trí của các tọa độ sau:
[j1 ]n+1 , [j2 ]n+1 , ..., [jm ]n+1 . Nó có nhiều nhất m lớp thặng dư phân biệt tại
n+1
các tọa độ này với m ≤ n+1
d −1. Hơn nữa, có d lớp thặng dư (mod(n + 1))
của các số {kd : k ≥ 0} (vì n+1
d là bậc của nhóm thương Zn+1 / d ). Tức
là, {[kd](n+1) : k ≥ 0} có lực lượng n+1
d . Do đó, tồn tại k0 ∈ N sao cho
[k0 d](n+1) = [jk ](n+1) , với mọi k ∈ {1, ..., m}. Theo định nghĩa của các vị
trí {j1 , ..., jm }, ta có yj = 0 với mọi j ∈ [k0 d](n+1) . Như vậy, yk0 d+(n+1)j = 0
với mọi j ∈ Z. Do đó, từ (1.8) ta có y ∈ clOrb (x, T p ). Vì
X( n+1 −1) ⊆ clOrb (x, T p )
d

n+1
d

− 1 -trù mật yếu trong 2 (N).
2
Để thấy rằng clOrb (x, T p ) không phải là n+1
(N),
d -trù mật yếu trong
ta sẽ tìm một khơng gian con của 2 (N) với só chiều n+1
d sao cho hình chiếu
trực giao của clOrb (x, T p ) vào khơng gian con đó không trù mật.
Cho q = n+1
d . Theo đề cập trên, có q lớp thặng dư mod (n+1) của các bội
của d. Trong thực tế, ta có {[d]n+1 , [2d]n+1 , [3d]n+1 , ..., [qd]n+1 }. Do đó, nếu
M là không gian con của 2 (N) sinh bởi các véc tơ cơ sở {ekd : 1 ≤ k ≤ q} thì
p
M có số chiều bằng q = n+1
d . Từ (1.8) suy ra mọi véc tơ trong clOrb (x, T )
phải có ít nhất một số 0 trong một các vị trí {kd : 1 ≤ k ≤ q}. Vì
clOrb (x, T p ) khơng có hình chiếu trù mật vào M nên clOrb (x, T p ) không
phải là n+1
d -trù mật yếu.
nên clOrb (x, T p ) là

1.3

Xây dựng các toán tử n-hypercyclic yếu

Trong phần này ta sẽ chứng minh rằng nếu T1 , ..., Tp là các toán tử thỏa
mãn dạng mạnh của tiêu chuẩn hypercyclic, nếu 1 ≤ n ≤ p và nếu tổng

trực tiếp của n tốn tử bất kì đã cho là hypercyclic thì tổng trực tiếp tất
các tốn tử đó là n-hypercyclic yếu.
18


Bổ đề 1.3.1. Nếu {fn }∞
n=1 là dãy các hàm liên tục trên không gian metric
khả li X , fn : X → X và K ⊆ X là một tập và nếu hai tập mở U và V
khác rỗng trong X với V ∩ K = ∅, tồn tại n ≥ 1 sao cho fn (U ) ∩ V = ∅,
khi đó tồn tại một tập trù mật Gδ , kí hiệu là Ω ⊆ X sao cho với mọi

x ∈ Ω, K ⊆ cl{fn (x)}∞
n=1 .
Chứng minh. Giả sử V là một cơ sở đếm được của các tập mở đối với X ,

{V}∞
j=1 là các phần tử của V mà giao với K khác rỗng. Giả thiết của chúng
−1
ta đảm bảo mỗi j ≥ 1, ∞
(Vj ) là một tập mở trù mật trong X .
n=1 (fn )
−1
∞
Do đó, Ω := ∞
(Vj ) trù mật trong X với tính chất như yêu
j=1 n=1 (fn )
cầu.
Định nghĩa 1.3.2. Một tốn tử T trên khơng gian Banach khả li X , thỏa
mãn tiêu chuẩn hypercyclic nếu tồn tại một dãy số nguyên dương tăng ngặt

{nk }∞
k=1 , hai tập trù mật D1 , D2 ⊆ X và các hàm Snk : D2 → X thỏa mãn
các điều kiện sau:
(a) T nk x → 0 khi k → ∞ với mọi x ∈ D1 .
(b) Snk y → 0 khi k → ∞ với mọi y ∈ D2 .
(c) T nk Snk y → y khi k → ∞ với mọi y ∈ D2 .
Tổng quát hơn, ta nói rằng T thỏa mãn tiêu chuẩn hypercyclic với dãy

{nk } nếu các điều kiện trên đúng.
Dễ chứng minh được nếu T thỏa mãn tiêu chuẩn hypercyclic, khi đó tồn
tại một tập trù mật Gδ , kí hiệu là Ω ⊆ X sao cho với mỗi x ∈ Ω,
cl [Orb(x, T )] = X.
Định lý 1.3.3. Nếu T là một toán tử trên không gian Banach khả li X
và tồn tại một dãy số nguyên dương tăng ngặt {nk }∞
k=1 , một tập trù mật

D1 ⊆ X và một tập khác nữa (không cần trù mật) D2 ⊆ X và các hàm
Snk : D2 → X thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) T nk x → 0 khi k → ∞ với mọi x ∈ D1 ;
∞
(b) Với mỗi y ∈ D2 , tồn tại một dãy con {nkj }∞
j=1 của {nk }k=1 sao cho

Snkj y → 0 và T nkj Snkj y → y khi j → ∞
19


thì tồn tại một tập trù mật Gδ , kí hiệu là Ω ⊆ X sao cho mỗi x ∈ Ω,

D2 ⊆ cl [Orb(x, T )].

Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 1.3.1. Nếu U và V là các tập mở bất kì với

V ∩ D2 = ∅, giả sử y ∈ V ∩ D2 . Vì D1 trù mật nên ta có U ∩ D1 = ∅. Do
đó, ta chọn x ∈ U ∩ D1 . Theo (b), thì tồn tại một dãy con {nkj } với các
tính chất đã đưa ra. Với j đủ lớn, thì (x + Snkj y) thuộc vào U và
T nkj x + Snkj y = T nkj x + T nkj Snkj y
sẽ thuộc vào V . Khi đó kết quả định lý được suy ra từ Bổ đề 1.3.1
Nếu tập D2 là n-trù mật yếu trong X , thì từ định lý trên suy ra T là

n-hypercyclic yếu với một tập trù mật Gδ của các véc tơ n-hypercyclic yếu.
Ta minh họa định lý này với một ví dụ.
Nếu T1 là một dịch chuyển lùi đơn phương có trọng số trên
2

(N) : T1 en = wn en−1 với n ≥ 1 và T1 e0 = 0

thì T1 là hypercyclic khi và chỉ khi supn pn = ∞, trong đó pn = w1 w2 ...wn .

T2 là dịch chuyển lùi đơn phương có trọng số khác với các trọng số {wn }
thì T1 ⊕ T2 là hypercyclic khi và chỉ khi supn min{pn , qn } = ∞, trong đó
pn = w1 w2 ...wn và qn = ω1 ω2 ...ωn . Do đó, dễ ràng xây dựng hai dịch chuyển
có trọng số mà cả hai chúng đều là hypercyclic nhưng tổng trực tiếp của
chúng khơng phải là hypercyclic.
Ví dụ 1.3.4. Nếu T1 và T2 đều là hypercyclic dịch chuyển lùi đơn phương có
trọng số trên

2

(N) thì T = T1 ⊕ T2 là 1-hypercyclic yếu trên

Chứng minh. Cho F là tập tất cả các véc tơ trong

2

(N) ⊕ 2 (N).

2

(N) với giá hữu hạn,
tức là các véc tơ có hữu hạn tọa độ khác 0. Cho H = 2 (N) ⊕ 2 (N),
D1 = F ⊕ F = {(x, y) ∈ H : x, y ∈ F} và D2 = (F ⊕ {0}) ∪ ({0} ⊕ F) .
Rõ ràng, D1 trù mật trong H và T n v → 0 khi n → ∞ với mọi v ∈ D1
(trong thực tế nếu v ∈ D1 thì T n v = 0 với mọi n đủ lớn). Vì T1 là một
hypercyclic dịch chuyển lùi đơn phương có trọng số thỏa mãn tiêu chuẩn
hypercyclic, nên có một dãy con {nk,1 }∞
k=1 và các hàm Sk,1 : F →
20

2

(N) sao