các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tôpô lồi địa phương và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN DUY THÀNH
CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC
KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN DUY THÀNH
CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG CÁC
KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔPÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.HOÀNG VĂN HÙNG
Thái Nguyên - Năm 2014
Mục lục
Lời nói đầu 2
1 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG
GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG 5
1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương 5
1.2 Định lý điểm bất động Brouwer . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff . . . . . . . 13
1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani . . . . . . . . 19
1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan . . . . . . . . . 21
2 MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI

ĐỊA PHƯƠNG 27
2.1 Điểm bất động của các ánh xạ compact . . . . . . . . . . 27
2.2 Vấn đề không gian con bất biến . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel . . . . . . 37
2.4 Lý thuyết trò chơi và điểm cân bằng Nash . . . . . . . . 41
Kết luận 45
Tài liệu tham khảo 47
1
LỜI NÓI ĐẦU
Nhiều vấn đề của toán học trong các lĩnh vực lý thuyết tối ưu, lý
thuyết trò chơi, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,
cần sử dụng các định lý về điếm bất động trong các không gian véc tơ
tô pô lồi địa phương như định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff,
Markov – Kakutani, Kakutani – Ky Fan Điều này cho thấy khi nghiên
cứu các vấn đề của toán học nói chung và toán học ứng dụng nói riêng
không thể bỏ qua các định lý điểm bất động trong lớp không gian quan
trọng này. Đây là cơ sở khoa học để tác giả lựa chọn đề tài cho bản luận
văn “Các định lý điểm bất động trong các không gian véc tơ tô
pô lồi địa phương và ứng dụng”.
Dưới tiêu đề trên tác giả đã trình bày lại những kết quả cơ bản của lý
thuyết các điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi địa phương
và một số áp dụng của lý thuyết này vào các phần khác nhau của toán
học. Bản luận văn gồm Lời nói đầu, hai chương, Kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
CHƯƠNG I. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG.
Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quan
đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng
minh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi
địa phương : định lý Schauder – Tychonoff, định lý Markov – Kakutani,

định lý Kakutani – Ky Fan. Định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan
2
được chứng minh bởi Kakutani cho trường hợp hữu hạn chiều ( 1941) và
được chứng minh bởi Ky Fan cho trường hợp vô hạn chiều (1952) dựa
trên một bất đẳng thức được chứng minh bởi chính Ky Fan liên quan
đến các song hàm nửa liên tục dưới theo một biến, nửa liên tục trên và
lõm theo một biến khác. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng
của lý thuyết điểm bất động ở chương II.
CHƯƠNG II. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN VÉC TƠ TÔ PÔ
LỒI ĐỊA PHƯƠNG.
Chương này xét các áp dụng của các định lý điểm bất động ở chương
I. Định lý điểm bất động Schauder – Tychonoff được áp dụng để chứng
minh định lý Schaefer về sự tồn tại điểm bất động của một lớp các toán
tử compact, định lý điểm bất động Krasnoselskii, một số hệ quả của các
định lý này và định lý Lomonosov về sự tồn tại các không gian con bất
biến không tầm thường của một lớp các toán tử tuyến tính trên không
gian Banach X. Định lý Krasnoselskii có nhiều ứng dụng trong lý thuyết
phương trình tích phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong luận văn
có nêu một cải tiến của định lý Krasnoselskii, được chứng minh bởi
T.A. Burton vào năm 1998, kèm theo một ví dụ áp dụng vào lý thuyết
phương trình tích phân. Định lý Markov – Kakutani được áp dụng để
chứng minh sự tồn tại các trung bình bất biến trên một nửa nhóm abel.
Cuối cùng, bất đẳng thức Ky Fan ( định lý 1.5.4 ) được áp dụng để
chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng Nash trong các trò chơi bất hợp
tác của lý thuyết trò chơi.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn là các ký hiệu thông dụng
trong các tài liệu toán học hiện đại. Tuy nhiên, ở một vài chỗ tác giả
vẫn giới thiệu các ký hiệu để tránh hiểu nhầm.
Tài liệu tham khảo gồm 06 danh mục, trong đó tài liệu [V.Pata] là tài

3
liệu tham khảo chính.
Tác giả đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thày hướng dẫn, T.S
Hoàng Văn Hùng – Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng Hải Việt Nam,
trong việc tìm hiểu các vấn đề của bản luận văn và trình bày lại theo
một trình tự logic. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tập
thể các thày, cô của Khoa Toán- Tin, Đại học Khoa học-Đại học Thái
Nguyên; các thày, cô của Viện Toán học- Viện Khoa học Việt Nam và
thày hướng dẫn; những người đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả
trong suốt khóa học cao học tại Đại học Thái Nguyên và hoàn thành
bản luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 5 năm 2014
Người viết
Trần Duy Thành
4
Chương 1
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
VÉC TƠ TÔ PÔ LỒI ĐỊA
PHƯƠNG
Chương này tóm tắt một số các định nghĩa và sự kiện cơ bản liên quan
đến không gian tô pô, không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, chứng
minh một số định lý điểm bất động trong không gian véc tơ tô pô lồi
địa phương. Những định lý này là cơ sở cho các áp dụng của lý thuyết
điểm bất động ở chương sau.
1.1 Không gian tô pô và không gian véc tơ tô pô lồi địa phương
1.1.1 Không gian tô pô
* Cho X là một tập khác rỗng. Một tô pô trên X là một lớp τ các tập
con của X có các tính chất sau:
1) X thuộc τ và ∅ (tập rỗng) thuộc τ .

2) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là thuộc τ và giao của một
họ hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ .
Một tập X cùng với một tô pô τ trên X ( tức là một cặp (X, τ)) gọi
là một không gian tô pô. Mỗi tập thuộc τ gọi là một tập mở ( khi cần
chính xác ta sẽ gọi một tập thuộc τ là τ -mở).
5
Nếu (X, τ) là một không gian tô pô và Y là một tập con của X thì
họ τ
Y
gồm tất cả các tập dạng G ∩ Y , trong đó G là một tập mở tuỳ ý
thuộc họ τ, là một tô pô trên Y . Không gian tô pô (Y, τ
Y
) gọi là không
gian con của không gian tô pô (X, τ).
Nếu τ và σ là hai tô pô trên cùng một tập nền X và σ ⊂ τ thì ta nói
τ mịn hơn σ hay σ thô hơn τ .
Ta sẽ chỉ xét các không gian tô pô tách, tức là các không gian thỏa
mãn tiên đề Hausdorff dưới đây:
* Với hai điểm phân biệt bất kỳ x, y của X tồn tại một lân cận U
x
của x và một lân cận U
y
của y sao cho U
x
∩ U
y
= ∅.
1.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và F là một
tập con của X. Tập F gọi là đóng trong X nếu X\F là tập mở. Vậy tập
đóng là các tập con của X mà phần bù của nó là mở.

Các tập đóng có tính chất :
1’) X và ∅ là đóng.
2’) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng. Hợp hữu hạn của các
tập đóng là đóng.
1.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, τ) là một không gian tô pô và x là một
phần tử của X ( ta sẽ gọi các phần tử của X là các điểm của nó). Một
tập mở của X chứa x gọi là một lân cận của x . Một điểm z của X gọi
là một điểm dính của tập con A ⊂ X nếu mọi lân cận của z chứa ít nhất
một điểm của A. Điểm y của X gọi là một điểm giới hạn của A nếu
trong mọi lân cận của y tìm được ít nhất một điểm x của A sao cho x
khác y. Tập tất cả các điểm dính của tập con A của X gọi là bao đóng
của A, ký hiệu A .
Ta có :
i) A đóng ⇔ A = A .
ii) A là tập đóng bé nhất của X chứa A.
6
iii) B mở ↔ B là lân cận của mọi x ∈ B ↔ ∀x ∈ B, ∃ tập mở V
x
⊂ B
sao cho x ∈ V
x
.
1.1.4 Định nghĩa Cho (X, τ) là một không gian tô pô. Tập con B
của τ được gọi là một cơ sở của tô pô τ nếu mọi tập mở trong tô pô τ
biểu diễn được dưới dạng hợp ( hữu hạn hoặc vô hạn) của các tập thuộc
B.
Ví dụ : Tập các hình cầu mở ( với tâm tại một điểm tuỳ ý và bán kính
tuỳ ý) trong một không gian metric X là một cơ sở của tô pô gồm tất
cả các tập mở trong X.
Một cơ sở B của tô pô τ trên tập X có các tính chất sau

1) ∀x ∈ X, ∃G ∈ B : x ∈ G
2) Nếu x được chứa trong giao của hai tập G
1
, G
2
thuộc B thì tồn tại
tập G thuộc B sao cho x ∈ G ⊂ G
1
∩ G
2
.
Ngược lại mọi họ B các tập con của một tập X có hai tính chất nêu
trên đều là một cơ sở của tô pô τ gồm tất cả các tập con của X biểu
diễn được dưới dạng hợp của một họ con nào đó của B. Tô pô này gọi là
tô pô sinh bởi B. Nếu A là họ các tập con của X có tính chất “hợp của
các tập thuộc A bằng X” ( nói cách khác : A là một phủ của X ) thì
tập B các tập con của X nhận được từ các tập của A bởi một số hữu
hạn các phép giao thoả mãn cả hai tính chất 1), 2) . Do đó A được gọi
là một tiền cơ sở của tô pô sinh bởi B.
1.1.5 Định nghĩa Cho X, Y là hai không gian tô pô. Ánh xạ f của
không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được gọi là liên tục tại điểm
x
0
nếu với mọi lân cận U
y
0
của điểm y
0
= f(x
0

) tìm được lân cận V
x
0
của điểm x
0
sao cho f(V
x
0
) ⊂ U
y
0
.
Ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X
1.1.6 Mệnh đềi) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô
pô Y liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập mở trong Y
7
là một tập mở trong X.
ii) Ánh xạ f từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục
khi và chỉ khi nghịch ảnh bởi f của mọi tập đóng trong Y là một tập
đóng trong X.
iii) Giả sử X, Y, Z là các không gian tô pô và f : X → Y, ϕ : Y → Z
là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ hợp ϕ ◦ f từ X vào Z cũng liên
tục.
1.1.7 Định nghĩa Giả sử f là một song ánh từ không gian tô pô X
lên không gian tô pô Y . Nếu các ánh xạ f và f
−1
đều liên tục thì f được
gọi là một phép đồng phôi từ X lên Y .
Hai không gian tô pô X và Y gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép
đồng phôi từ X lên Y .

1.1.8 Định nghĩa Không gian tô pô X được gọi là compact nếu từ
mọi phủ mở của X đều có thể trích ra một phủ con hữu hạn.
Tập con Y của X gọi là một tập compact trong X nếu Y xem như
không gian con của không gian tô pô X là một không gian compact.
1.1.9 Định nghĩa Họ (A
i
) các tập con của một tập T gọi là có tính
tương giao hữu hạn nếu giao của một họ con hữu hạn tuỳ ý của họ (A
i
)
là khác rỗng.
1.1.10 Định lý i) Điều kiện cần và đủ để không gian tô pô X compact
là mọi họ các tập con đóng có tính chất tương giao hữu hạn của X đều
có giao khác rỗng.
ii) Mọi không gian con đóng của một không gian tô pô compact là
compact.
iii) Nếu Y là tập con compact của không gian tô pô Hausdorff X thì
Y đóng trong X. Với mọi x /∈ Y tồn tại một tập mở U chứa x, một tập
mở V chứa Y sao cho U ∩ V = ∅.
iv) Nếu X là không gian tô pô compact và f là một song ánh liên tục
8
từ X lên không gian tô pô Hausdorff Y thì f là một phép đồng phôi.
1.1.11 Định nghĩa Cho E là một không gian véc tơ thực. Ta nói tô
pô τ trên E phù hợp với cấu trúc tuyến tính trên E nếu các ánh xạ:
(x, y) → x + y (x, y ∈ E)
(α, x) → αx (x ∈ E, α ∈ R)
là các ánh xạ liên tục. Nói cách khác, các điều kiện sau được thực hiện:
i) Với mọi lân cận V
x+y
của điểm x + y tìm được các lân cận U

x
của
x và U
y
của y sao cho U
x
+ U
y
⊂ V
x+y
.
ii) Với mọi lân cận V
αx
của điểm αx tìm được số ε > 0 và lân cận U
x
của x sao cho (α − ε, α + ε).U
x
⊂ V
αx
.
Không gian véc tơ E cùng với một tô pô τ trên E phù hợp với cấu
trúc tuyến tính của E gọi là một không gian véc tơ tô pô. Bản luận văn
này sẽ chỉ xét các không gian véc tơ tô pô lồi địa phương, tức là các
không gian véc tơ tô pô mà tô pô trên nó được sinh bởi một họ các nửa
chuẩn thỏa mãn điều kiện tách.
1.1.12 Định nghĩa Một nửa chuẩn trên một không gian véc tơ E là
một hàm thực p(x) xác định trên E và có các tính chất sau:
i) Với mọi x, y thuộc E có bất đẳng thức: p(x + y) ≤ p(x) +p(y) (tính
chất dưới cộng tính).
ii) Với mọi số thực α và mọi x thuộc E, có đẳng thức: p(αx) = |α| p(x).

Nếu trên E nửa chuẩn p(x) có tính chất p(x) = 0 ↔ x = θ thì p(x)
gọi là một chuẩn trên E.
Một nửa chuẩn p(x) trên E có tính chất sau:
i) p(θ) = 0.
ii) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) (∀x, y ∈ E).
1.1.13 Định nghĩa Tập con M của không gian véc tơ thực E gọi là
i) lồi, nếu : λx + (1 − λ)y ∈ M (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1]).
ii) đối xứng, nếu : −M = M.
9
iii) cân, nếu : λx ∈ M (∀x ∈ M, ∀λ ∈ [ − 1; 1]).
iv) nuốt, nếu: ∀x ∈ E, ∃α = α(x) > 0 : x ∈ λM khi |λ| ≥ α.
Tập lồi bé nhất trong các tập lồi chứa một tập con A của E gọi là bao
lồi của A, ký hiệu bới conv(A).
Ta coi tập rỗng là lồi, đối xứng và cân. Khi đó ta có:
1.1.14 Mệnh đề i) Mọi tập cân khác rỗng trong không gian véctơ E
đều đối xứng và chứa véc tơ không của E. Nếu W là một tập cân trong
E thì với hai số thực α, β tùy ý ta có:
αW + βW = (|α| + |β|)W
Nói riêng W + W = 2W
ii) Giao của một họ tùy ý các tập thuộc vào một trong các lớp i), ii),
iii) của định nghĩa 1.1.13 là một tập thuộc vào cùng lớp đó.Giao của
một họ hữu hạn các tập nuốt là một tập nuốt. Bao lồi của một tập A
trong không gian véc tơ E là giao của họ tất cả các tập lồi của E chứa
A.
iii) Với mọi nửa chuẩn p(x) trên không gian véc tơ E và mọi số dương
c các tập:
M = {x ∈ E : p(x) ≤ c} , N = {x ∈ E : p(x) < c}
là các tập lồi, cân và nuốt.
1.1.15 Định nghĩa Cho họ (p
γ

(x))
γ∈Γ
( Γ là tập các chỉ số) các
nửa chuẩn trên E. Họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
được gọi là tách nếu với x tùy ý thuộc
E\ {θ} tồn tại ít nhất một γ ∈ Γ sao cho p
γ
(x) = 0.
1.1.16 Định nghĩa Cho họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
các nửa chuẩn tách trên E.
Ta gọi cơ sở của lân cận của gốc sinh bởi họ các nửa chuẩn (p
γ
(x))
γ∈Γ
là họ U gồm tất cả các tập U dạng:
U = {x ∈ E : p
γ
i
(x) < ε
i
, i = 1, , n}
10
trong đó n là số nguyên dương tùy ý, γ
i

∈ Γ (i = 1, , n) là n chỉ số tùy
ý thuộc Γ và ε
i
> 0, (i = 1, , n) là họ n số dương tùy ý. Ký hiệu B là
tập tất cả các tập con V của E có dạng :
V = x + U, x ∈ E, U ∈ U
Tập B có hai tính chất của cơ sở tô pô nêu trong 1.1.4, tô pô trên E
sinh bởi cơ sở B gọi là tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn (p
γ
(x))
γ∈Γ
.
1.1.17 Định nghĩa Không gian véc tơ tô pô E gọi là lồi địa phương
nếu mọi lân cận V của không chứa một lân cận lồi U của không.
1.1.18 Mệnh đề i) Không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi một
họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
các nửa chuẩn tách trên E là không gian lồi địa phương
Hausdorff. Với tô pô sinh bởi họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
tất cả các nửa chuẩn thuộc
họ này đều liên tục.
ii) Phiếm hàm tuyến tính f trên không gian véc tơ tô pô E với tô pô
sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (p
γ
(x))

γ∈Γ
liên tục khi và chỉ khi tồn tại
một số M > 0 và một bộ hữu hạn các nửa chuẩn (p
γ
i
(x))
n
i=1
thuộc họ
(p
γ
(x))
γ∈Γ
sao cho
|f(x)| ≤ Mp
γ
i
(x) (∀x ∈ E, ∀i ∈ {1, , n}).
iii) Phần tử u của không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi họ các
nửa chuẩn tách (p
γ
(x))
γ∈Γ
là phần tử không khi và chỉ khi p
γ
(u) = 0 với
mọi γ ∈ Γ.
iv) Cho không gian véc tơ tô pô E với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn
tách (p
γ

(x))
γ∈Γ
. Khi đó:
- Bao lồi của một tập hữu hạn trong E là compact. Bao đóng của bao
lồi của một tập compact trong E là compact.
- Mọi tập compact K là bị chặn, nghĩa là với mọi nửa chuẩn p thuộc
họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
tập p(K) là tập số thực bị chặn.
v) Nếu A, B, K là các tập compact trong không gian véc tơ tô pô E
11
với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách (p
γ
(x))
γ∈Γ
thì A + B, αK là
các tập compact với mọi số thực α . Nói riêng K − K, K + K là các tập
compact.
1.2 Định lý điểm bất động Brouwer
Trong đoạn này ta ký hiệu hình cầu đóng tâm x, bán kính r và hình
cầu đơn vị đóng trong không gian Euclid R
n
tương ứng là B(x; r) và B,
mặt cầu đơn vị trong không gian R
n
là S:
B = {x ∈ R
n

: x ≤ 1} , S = {x ∈ R
n
: x = 1}
trong đó : x =

n

i=1
x
2
i
, (x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
.
1.2.1 Định nghĩa Cho X, Y là các tập có tính chất X ∩ Y = ∅ và
f : X → Y là một ánh xạ. Điểm x
∗
∈ X gọi là một điểm bất động của
f nếu f(x
∗
) = x
∗
.
Tập các điểm bất động của ánh xạ f ký hiệu là Fix(f).
Tập con A của một không gian tô pô (X, τ) gọi là có tính chất điểm
bất động đối với một lớp các ánh xạ Λ nào đó từ A vào X nếu với mọi

ánh xạ f thuộc Λ tập Fix(f) khác rỗng.
1.2.2 Định lý ( L.E.J. Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục f từ
hình cầu đơn vị B của R
n
vào chính nó đều có ít nhất một điểm bất
động.
( Phát biểu tương đương: hình cầu đơn vị B của R
n
có tính chất điểm
bất động đối với lớp các ánh xạ liên tục từ B vào chính nó )
Có nhiều cách chứng minh định lý Brouwer dựa trên các cách tiếp cận
khác nhau: chứng minh dựa trên lý thuyết bậc ánh xạ, chứng minh dựa
trên bổ đề Sperner, chứng minh nhờ các công cụ của tô pô đại số. Bạn
đọc quan tâm đến chứng minh của định lý Brouwer có thể xem trong
các tài liệu [Goebel – Kirk], [Hochstadt].
12
1.3 Định lý điểm bất động Schauder - Tychonoff
1.3.1 Định nghĩa Tập con khác rỗng P của không gian tô pô (X, τ)
gọi là một rút của X nếu tồn tại ánh xạ liên tục r : X → P sao cho
r(x) = x với mọi x ∈ P . Ánh xạ liên tục r khi đó gọi là một phép co rút
biến X thành P .
1.3.2 Mệnh đề Mọi tập con lồi, đóng và khác rỗng C của R
n
là một
rút của R
n
( ta xem R
n
như không gian tô pô với tô pô cảm sinh bởi
chuẩn Euclid).

Chứng minh: Với mỗi x ∈ R
n
đặt:
d(x, C) = inf {x − y : y ∈ C}
Do C khác rỗng nên d(x, C) = d < +∞ với mọi x ∈ R
n
. Với mỗi số
nguyên dương m, tìm được phần tử y
m
∈ C sao cho x − y
m
 < d +
1
m
.
Rõ ràng dãy {y
m
} ⊂ hình cầu đóng B(x; d

) ( với d

= d + 1) trong R
n
.
Vì B(x; d

) là compact nên tồn tại một dãy con {y
m
k
} của dãy {y

m
} hội
tụ tới một điểm y
∗
của B(x; d

). Vì C là tập đóng nên y
∗
∈ C. Rõ ràng
ta có :
x − y
∗
 = lim
k→∞
x − y
m
k
 = d (1.1)
Ta khẳng định rằng y
∗
là điểm duy nhất thuộc C thỏa mãn (1.1). Nếu
y
∗∗
là một điểm khác của C cũng thỏa mãn (1.1) thì với mọi
z = αy
∗
+ (1 − α)y
∗∗
(0 < α < 1) ta có :
i) z ∈ C

ii) d ≤ x − z = x − αy
∗
− (1 − α)y
∗∗

= α(x − y
∗
) + (1 − α)(x − y
∗∗
)
≤ α x − y
∗
 + (1 − α) x − y
∗∗
 = d
Vậy phải có :
α(x − y
∗
) + (1 − α)(x − y
∗∗
) = α x − y
∗
 + (1 − α) x − y
∗∗
 (1.2)
13
Do chuẩn Euclid là hàm lồi chặt trên R
n
nên với 0 < α < 1 , bất đẳng
thức (1.2) đúng khi và chỉ khi x − y

∗
= x − y
∗∗
↔ y
∗
= y
∗∗
. Mâu thuẫn.
Vậy y
∗
là điểm duy nhất của C thỏa mãn (1.1). Đặt y
∗
= r(x) ta có một
ánh xạ từ R
n
lên C cho bởi công thức:
x → r(x)
Rõ ràng nếu x ∈ C thì r(x) = x. Ngoài ra với hai điểm x, x

của R
n
và t ∈ [0; 1] ta có:
ϕ(t) = x − tr(x

) − (1 − t)r(x)
2
= x − r(x)
2
+ 2t < r(x) − r(x


), x − r(x) > +t
2
r(x) − r(x

)
2
Bởi vì tr(x

) + (1 − t)r(x) ∈ C khi t ∈ [0; 1] và ϕ(0) = x − r(x)
2
nên theo định nghĩa của r(x) ta phải có ϕ(0) ≤ ϕ(t) (∀t ∈ [0; 1]). Suy
ra ϕ

(0) ≥ 0. Nhưng :
ϕ

(0) = 2 < x − r(x), r(x) − r(x

) >
Vậy ta có:
< x − r(x), r(x) − r(x

) > ≥ 0 (∀x, x

∈ R
n
) (1.3)
Thay đổi vai trò của x và x’ trong (1.3) ta được :
< x


− r(x

), r(x

) − r(x) > ≥ 0 (∀x, x

∈ R
n
) (1.4)
Từ (1.3), (1.4) suy ra :
< x − x

− (r(x) − r(x

), r(x) − r(x

) > ≥ 0 (1.5)
Từ (1.5) suy ra :
r(x) − r(x

)
2
≤ < x − x

, r(x) − r(x

) > ≤ x − x

 r(x) − r(x


)
(1.6)
Từ (1.6) suy ra : r(x) − r(x

) ≤ x − x

 (∀x, x

∈ R
n
). Vậy r(x)
là ánh xạ liên tục từ R
n
vào C thoả mãn r(x) = x với mọi x ∈ C nên r
14
là một phép co rút biến R
n
thành C. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.3 Mệnh đề Nếu không gian tô pô (X, τ) có tính chất điểm bất
động đối với các ánh xạ liên tục từ X vào chính nó và P là một rút của
X thì P cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ
P vào chính nó.
Chứng minh:. Giả sử f là ánh xạ liên tục từ P vào chính nó và
r : X → P là một phép co rút biến X thành P. Khi đó ánh xạ hợp f ◦ r
là một ánh xạ liên tục từ X vào chính nó. Vì X có tính chất điểm bất
động đối với các ánh xạ liên tục từ X vào X nên tồn tại điểm x
∗
∈ X
sao cho (f ◦ r)(x
∗

) = x
∗
(+). Nhưng (f ◦ r)(x
∗
) = f(r(x
∗
)) nên x
∗
∈ P ,
do đó r(x
∗
) = x
∗
và từ (+) suy ra f(x
∗
) = x
∗
. Vậy x
∗
là điểm bất động
của f. Mệnh đề được chứng minh.
1.3.4 Mệnh đề Nếu các không gian tô pô (X, τ) và (X

, τ

) đồng phôi
và X có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ X vào
chính nó thì X

cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên

tục từ X

vào chính nó.
Chứng minh. Giả sử f là một ánh xạ liên tục tuỳ ý từ (X

, τ

) vào
chính nó. Gọi β là song ánh liên tục hai chiều từ X lên X

. Khi đó ánh
xạ β
−1
◦ f ◦ β là một ánh xạ liên tục từ (X, τ) vào chính nó và do đó
nó có điểm bất động z ∈ X : z = (β
−1
◦ f ◦ β)(z). Nhưng khi đó β(z) là
điểm bất động của f. Vậy (X

, τ

) cũng có tính chất điểm bất động đối
với các ánh xạ liên tục từ (X

, τ

) vào chính nó.
1.3.5 Mệnh đề Hình cầu đóng tuỳ ý trong R
n
có tính chất điểm bất

động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó.
Chứng minh. Nếu bán kính của hình cầu đóng được xét bằng 0 thì
kết luận là hiển nhiên. Nếu hình cầu đóng B(x; r) có bán kính r > 0 thì
nó đồng phôi với hình cầu đơn vị đóng. Song ánh liên tục hai chiều từ
15
B(x; r) lên hình cầu đơn vị đóng B cho bởi :
β(y) =
y − x
r
(∀y ∈ B(x; r))
Vì hình cầu đơn vị đóng B có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.4 hình cầu B(x; r)
cũng có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào
chính nó.
1.3.6 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn C trong không
gian R
n
có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào
chính nó.
Chứng minh. Bởi vì C bị chặn thì tồn tại hình cầu đóng B(z; a)
(tâm z, bán kính a > 0) trong R
n
sao cho C ⊂ B(z; a). Gọi r là phép co
rút biến R
n
thành C được định nghĩa trong chứng minh mệnh đề 1.3.2 :
r(x) = inf {x − y : y ∈ C}
Khi đó thu hẹp của r lên B(z; a) là phép co rút biến B(z; a) thành C.
Bởi vì B(z; a) có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ
nó vào chính nó, theo mệnh đề 1.3.3 ta suy ra C có tính chất điểm bất

động đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó.
Tiếp theo ta cần một số mệnh đề và định nghĩa bổ trợ:
1.3.7 Mệnh đề Mọi không gian véctơ tô pô lồi địa phương Hausdorff
H có số chiều hữu hạn n đều đẳng cấu với không gian Euclid R
n
( nghĩa
là tồn tại một song ánh tuyến tính liên tục hai chiều β từ H lên R
n
).
Nói riêng, mọi không gian véc tơ con có số chiều hữu hạn n của một
không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff E với tô pô cảm sinh
bởi tô pô của E đẳng cấu với không gian Euclid R
n
.
1.3.8 Mệnh đề Mọi tập lồi đóng, khác rỗng và bị chặn K trong không
gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff H hữu hạn chiều có tính chất
điểm bất động đối với các ánh xạ liên tục từ K vào chính nó.
16
Chứng minh. Giả sử không gian véc tơ tô pô lồi địa phương Hausdorff
H có số chiều hữu hạn n và K là tập lồi đóng, khác rỗng , bị chặn trong
H, β là song ánh tuyến tính liên tục hai chiều từ H lên R
n
. Khi đó β(K)
là tập lồi đóng, bị chặn, khác rỗng trong R
n
và β(K) đồng phôi với K.
Theo mệnh đề 1.3.6 β(K) có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ
liên tục từ nó vào chính nó. Do đó K cũng có tính chất điểm bất động
đối với các ánh xạ liên tục từ nó vào chính nó theo mệnh đề 1.3.4.
1.3.9 Định nghĩa Cho X là một không gian tô pô và (V

j
)
m
j=1
là một
phủ mở hữu hạn của X. Họ (φ
j
)
m
j=1
các hàm thực liên tục trên X gọi
là một phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (V
j
)
m
j=1
nếu nó thỏa mãn các
điều kiện sau:.
i) Giá ( support) của φ
j
nằm trong V
j
với mọi j ∈ {1, , m}. ( Giá
của một hàm số liên tục f trên một không gian tô pô X là bao đóng của
tập các x thuộc X sao cho f(x) = 0).
ii) 0 ≤ φ
j
(x) ≤ 1 (∀x ∈ X, ∀j ∈ {1, , m})
iii)
m


j=1
φ
j
(x) = 1 (∀x ∈ X)
1.3.10 Mệnh đề Giả sử K là một tập con compact trong không gian
tô pô Hausdorff X và (V
j
)
m
j=1
là một họ các tập mở trong X phủ K. Đặt
U
j
= K ∩V
j
(j = 1, , m). Khi đó họ (U
j
)
m
j=1
là một phủ mở ( trong tô pô
cảm sinh bởi X lên K) của K và tồn tại một phân hoạch đơn vị (φ
j
)
m
j=1
của K phù hợp với phủ mở (U
j
)

m
j=1
(xem [J.Kelley] và [V.Pata])
* Dưới đây ta sẽ gọi phân hoạch đơn vị (φ
j
)
m
j=1
thỏa mãn mệnh đề
1.3.10 là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (V
j
)
m
j=1
với giá nằm trong
K.
1.3.11 Định lý (Schauder-Tychonoff) Cho E là không gian véc tơ
tô pô lồi địa phương Hausdorff với tô pô sinh bởi họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
các nửa
chuẩn tách trên E, K ⊂ E là một tập lồi khác rỗng và K
0
⊂ K, K
0
compact. Khi đó mọi ánh xạ liên tục f : K → K
0
có điểm bất động. (Nói
17

cách khác, tồn tại x
∗
∈ K
0
sao cho f(x
∗
) = x
∗
).
Chứng minh. Ký hiệu U là cơ sở các lân cận của không sinh bởi họ
(p
γ
(x))
γ∈Γ
. Với mọi lân cận U ∈ U, do tính compact củaK
0
tồn tại các
phần tử x
1
, , x
n
∈ K
0
sao cho:
K
0
⊂
n

j=1

(x
j
+ U)
Gọi (φ
j
)
n
j=1
là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ {x
j
+ U}
n
j=1
với giá
nằm trong K
0
. Đặt :
f
U
(x) =
n

j=1
φ
j
(f(x)).x
j
, ∀x ∈ K
Khi đó f
U

liên tục và
f
U
(K) ⊂ conv {x
1
, , x
n
} = K
U
⊂ K
Suy ra f
U
(K
U
) ⊂ K
U
. Theo mệnh đề 1.1.18 K
U
là tập con lồi compact
nằm trong không gian con hữu hạn chiều sinh bởi họ {x
1
, , x
n
} . Từ
mệnh đề 1.3.8 ta suy ra tồn tại phần tử x
U
∈ K
U
sao cho f
U

(x
U
) = x
U
.
Do đó :
x
U
− f (x
U
) = f
U
(x
U
) − f (x
U
) =
n

j=1
φ
j
(f (x
U
)) (x
j
− f (x
U
)) ∈ U
bởi vì U lồi và nếu x

j
− f (x
U
) /∈ U thì φ
j
(f (x
U
)) = 0 . Xét họ các tập
con đóng của K
0
:

{f (x
U
) : U ∈ U , U ⊂ W}

W∈U
(1.7)
Họ các tập (1.7) có tính tương giao hữu hạn. Thật vậy, giả sử
W
1
, W
2
, , W
k
là k lân cận tùy ý thuộc U. Khi đó W =
k

j=1
W

j
∈ U , do
đó:
k

j=1
{f (x
U
) : U ∈ U, U ⊂ W
j
} ⊃ {f (x
U
) : U ∈ U, U ⊂ W} = ∅
18
Bởi vì K
0
là tập compact nên ta suy ra tồn tại phần tử
x
∗
∈

W∈U
{f (x
U
) : U ∈ U , U ⊂ W} (1.8)
Chọn tùy ý một nửa chuẩn p thuộc họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
và một số ε > 0.

Đặt:
V = {x ∈ E : p(x) < ε} ∈ U
Vì f liên tục trên K, tồn tại W ∈ U , W ⊂ V sao cho f(x)−f(x
∗
) ∈ V
khi x − x
∗
∈ 2W, x ∈ K . Từ (1.8) suy ra tồn tại U ∈ U, U ⊂ W sao cho
x
∗
− f(x
U
) ∈ W ⊂ V (1.9)
Kết hợp (1.8) và (1.9) và chú ý rằng mọi lân cận W ∈ U đều cân ta
có:
x
U
− x
∗
= x
U
− f (x
U
) + f (x
U
) − x
∗
∈ U + W ⊂ W + W = 2W (1.10)
Từ (1.10) và cách chọn W ta suy ra:
f(x

U
) − f(x∗) ∈ V (1.11)
Kết hợp (1.9) và (1.11) ta nhận được:
p(x
∗
− f(x
∗
)) ≤ p(x
∗
− f (x
U
)) + p(f (x
U
) − f (x
∗
)) < ε + ε = 2ε (1.12)
Do tính tùy ý của ε và nửa chuẩn p từ (1.12) ta suy ra p(x
∗
−f(x
∗
)) = 0
với mọi nửa chuẩn p thuộc họ (p
γ
(x))
γ∈Γ
. Vậy f(x
∗
) = x
∗
.

1.4 Định lý điểm bất động Markov - Kakutani
Định lý dưới đây được chứng minh bởi Markov – Kakutani liên quan
tới các điểm bất động chung của một họ các ánh xạ tuyến tính (xem
[V.Pata] )
1.4.1 Định lý ( Markov – Kakutani): Cho E là không gian véc tơ
tô pô lồi địa phương Hausdorff với tô pô sinh bởi họ các nửa chuẩn tách
19
(p
γ
(x))
γ∈Γ
, K là một tập con lồi, compact và khác rỗng của E . Giả sử
G là một họ các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E thỏa mãn:
a) T S = ST với mọi cặp toán tử T, S thuộc G ;
b) T (K) ⊂ K với mọi T thuộc G .
Khi đó tồn tại x
∗
∈ K sao cho Tx
∗
= x
∗
với mọi T thuộc G.
Chứng minh. Ký hiệu I là toán tử đồng nhất trên E, T
n
là hợp lặp
của T với chính nó n lần. Với mọi T thuộc G và số nguyên không âm n
đặt:
T
n
=

I + T + + T
n
n + 1
Do b) và tính lồi của K ta suy ra T
n
(K) ⊂ K . Mặt khác K là
tập compact và T là toán tử liên tục nên T
n
(K) compact với mọi số
nguyên không âm n. Nếu S, T là hai toán tử tùy ý thuộc G thì ta có
S
n
T
m
= T
m
S
n
với mọi số nguyên không âm m, n. Do đó họ các tập con
của K là (T
n
(K))
∞
n=0,T ∈G
có tính tương giao hữu hạn. Thật vậy, nếu
n
1
, , n
k
là k số nguyên không âm phân biệt và T

(1)
, , T
(k)
là k toán
tử thuộc G, thì do tính giao hoán (đối với phép hợp) của các ánh xạ
T
(j)
n
j
với nhau ta suy ra mỗi tập trong họ

T
(j)
n
j
(K)

k
j=1
đều chứa tập
T
(1)
n
1
T
(2)
n
2
T
(k)

n
k
(K) = ∅. Bởi vì K là tập compact nên từ tính tương giao
hữu hạn của họ (T
n
(K))
∞
n=0,T ∈G
suy ra:
F =

T ∈G,n∈N
T
n
(K) = ∅ (1.13)
Ta khẳng định rằng mỗi x ∈ F là một điểm bất động đối với mọi toán
tử T ∈ G. Thật vậy, giả sử x
∗
∈ F và toán tử T ∈ G được chọn tùy ý.
Với mọi số nguyên không âm n, do (1.13) tồn tại phần tử y = y(n) ∈ K
sao cho x
∗
= T
n
(y). Do đó:
T x ∗ −x∗ =
T y + T
2
y + + T
n+1

y
n + 1
−
y + Ty + + T
n
y
n + 1
=
T
n+1
y−y
n+1
∈
1
n+1
(K − K)
20
Như vậy:
T x
∗
− x
∗
∈

n∈N
1
n + 1
(K − K) (1.14)
Tập K − K là compact, do đó là tập bị chặn trong E ( mệnh đề
1.1.18). Giả sử p là một nửa chuẩn thuộc họ (p

γ
(x))
γ∈Γ
và ε > 0 là số
dương tùy ý. Khi đó tìm được số nguyên dương n sao cho
1
n + 1
(K − K) ⊂ {x ∈ E : p(x) < ε} (1.15)
Từ (1.14) và (1.15) suy ra với mọi ε > 0 ta có p(T x
∗
− x
∗
) < ε . Do
tính tùy ý của ε suy ra T x
∗
− x
∗
= θ hay T x
∗
= x
∗
.
1.5 Định lý điểm bất động Kakutani – Kyfan
Trong đoạn này E là một không gian véc tơ tô pô lồi địa phương
Hausdorff.
1.5.1 Định nghĩa: Cho C là một tập con lồi khác rỗng của E. Hàm
f : C → (−∞; +∞] gọi là lồi nếu:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
với mọi x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0; 1] . Hàm g : C → [ − ∞; +∞) gọi là lõm
nếu −g là lồi ( nếu quy ước −(+∞) = −∞ ).

1.5.2 Định nghĩa Giả sử Y là một không gian tô pô. Hàm f : Y →
(−∞; +∞] gọi là nửa liên tục dưới nếu f
−1
(α; +∞] là tập mở với mọi
số thực α . Tương tự, hàm g : Y → [ − ∞; +∞) gọi là nửa liên tục trên
nếu −g là nửa liên tục dưới hay cụ thể hơn g
−1
[ − ∞; β) là tập mở với
mọi số thực β .
1.5.3 Mệnh đề i) Supremum của một họ tùy ý các hàm nửa liên tục
dưới là nửa liên tục dưới. Infimum của một họ tùy ý các hàm nửa liên
tục trên là nửa liên tục trên.
ii) Nếu f là một hàm nửa liên tục dưới trên không gian tô pô compact
21
Y thì f có giá trị bé nhất hữu hạn trên Y , tức là tồn tại y
0
∈ Y sao cho
f(y
0
) = min {f(y) : y ∈ Y }. Nếu f là hàm nửa liên tục trên trên không
gian tô pô compact Y thì f có giá trị lớn nhất hữu hạn trên Y , tức là
tồn tại y
0
∈ Y sao cho f(y
0
) =
m
ax {f(y) : y ∈ Y }.
1.5.4 Định lý (Ky Fan): Cho K ⊂ E là tập lồi, compact và khác
rỗng. Giả sử Φ : K × K → R là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện:

a) Với mọi y ∈ K hàm Φ(., y) là hàm nửa liên tục dưới.
b) Với mọi x ∈ K hàm Φ(x, .) nửa liên tục trên và là hàm lõm trên
K.
Khi đó tồn tại x
0
∈ K sao cho:
sup {Φ(x
0
, y) : y ∈ K} ≤ sup {Φ(y, y) : y ∈ K} (1.16)
Chứng minh. Với mỗi x ∈ K hàm Φ(x, .) là hàm nửa liên tục trên
trên tập compact K nên theo mệnh đề 1.5.3 sup {Φ(x, y) : y ∈ K} < +∞
với mỗi x ∈ K . Cố định số ε > 0. Với mỗi x ∈ K, tìm được y
x
∈ K sao
cho:
Φ(x, y
x
) > sup {Φ(x, y) : y ∈ K} − ε
Do hàm Φ(., y
x
) nửa liên tục dưới, tồn tại lân cận U
x
của x sao cho:
Φ(z, y
x
) > sup {Φ(x, y) : y ∈ K} − ε ∀z ∈ U
x
∩ K
Vì K compact, tồn tại các phần tử x
1

, , x
n
∈ K sao cho :
K ⊂ U
x
1
∪ ∪ U
x
n
Giả sử (φ
j
)
n
j=1
là phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ (U
x
i
)
n
i=1
và có
giá nằm trong K. Đặt:
f(x) =
n

j=1
φ
j
(x).y
x

j
, ∀x ∈ K
Hàm f rõ ràng liên tục và do định nghĩa của phân hoạch đơn vị ta có:
f (conv {y
x
1
, , y
x
n
}) ⊂ conv {y
x
1
, , y
x
n
}
22
Theo mệnh đề 1.3.8 f có điểm bất động x
∗
∈ K , tức là :
x
∗
= f(x
∗
) =
n

j=1
φ
j

(x
∗
).y
x
j
(1.17)
Vì Φ(x, .) là hàm lõm trên K với mọi x ∈ K, từ (1.17) ta có đánh giá:
sup {Φ(y, y)} ≥ Φ(x
∗
, x
∗
) ≥
n

j=1
φ
j
(x
∗
)Φ(x
∗
, y
x
j
)
≥
n

j=1
φ

j
(x
∗
)(sup {Φ(x
j
, y) : y ∈ K} − ε)
≥ inf {sup {Φ(x, y) : y ∈ K} : x ∈ K} − ε = sup {Φ(x
0
, y) : y ∈ K} − ε
đối với một x
0
∈ K nào đó. Sự tồn tại x
0
suy ra từ tính compact của K
và tính nửa liên tục dưới của hàm số sup {Φ(x, y) : y ∈ K} ( mệnh đề
1.5.3).
Cho ε → 0
+
trong bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức
(1.16).
Tiếp theo ta cần một số định nghĩa và mệnh đề bổ trợ:
1.5.5 Định nghĩa: Cho 2 không gian tô pô (X, τ) và (Y, σ) với các
cơ sở tô pô tương ứng là B, B

. Tô pô π trên tích Décarter X × Y sinh
bởi cơ sở tô pô gồm các tập dạng U × V với U ∈ B, V ∈ B

gọi là tích
của các tô pô τ và σ . Không gian tô pô (X × Y, π) gọi là tích của các
không gian tô pô (X, τ) và (Y, σ).

* Có thể chứng minh được rằng nếu (X, τ) và (Y, σ) là các không gian
tô pô compact thì không gian tô pô (X ×Y, π) cũng compact. Nếu (X, τ)
và (Y, σ) là các không gian tô pô Hausdorff thì (X × Y, π) cũng là không
gian tô pô Hausdorff.
1.5.6 Định nghĩa i) Cho X, Y là các tập khác rỗng, ký hiệu 2
Y
chỉ
tập tất cả các tập con của Y . Ánh xạ f : X → 2
Y
gọi là một ánh xạ đa
trị với tập xác định X và tập giá trị trong Y .
Dưới đây ta sẽ chỉ xét các ánh xạ đa trị f : X → 2
Y
mà
f(x) = ∅ (∀x ∈ X).
23