Bài tập lớn Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận Chủ đề Câu hỏi phụ khảo sát hàm số

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

BÀI TẬP LỚN
XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
TỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN
CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Họ tên sinh viên

: NGUYỄN THỊ KIM THOA

Giảng viên hướng dẫn: THẦY NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Lớp

: Toán 4T

Mã sinh viên

: 13S1011145

Huế, 04/2017


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TOÁN 4T

CHỦ ĐỀ: CẦU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài toán 1: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒎𝒙𝟐 + 𝒎𝟐 + 𝒎 có đồ thị là(𝑪𝒎). Với những giá

trị nào của 𝒎 thì đồ thị (𝑪𝒎) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập
thành một tam giác có một góc bằng 𝟏𝟐𝟎𝟎 ?
Ta có 𝑦′ = 4𝑥 $ + 4𝑚𝑥;

Bài giải:

𝑦 % = 0 ⇔ 4𝑥 (𝑥 & + 𝑚) = 0 ⇔ 5

𝑥=0
𝑥 & = −𝑚

Hàm số đã cho có ba cực trị ⇔ 𝑦 % = 0 có ba nghiệm phân biệt

⇔ 𝑥 & = −𝑚 có hai nghiệm phân biệt khác 0
⇔ 𝑚 < 0.

Khi đó các điểm cực trị của (𝐶𝑚) là:

𝐴(0; 𝑚& + 𝑚), 𝐵<√−𝑚; 𝑚>, 𝐶(−√−𝑚; 𝑚).

?????⃗ = <√−𝑚; −𝑚& >, ?????⃗
𝐴𝐵
𝐴𝐶 = (−√−𝑚; −𝑚& ).

Tam giác ABC cân tại A nên góc 120' chính là góc A.

"""# """#
1
1
1

AB. AC
- -m . -m + m 4
0
!
A = 120 Û cosA = - Û """# """# = - Û
=4
2
2
2
m -m
AB . AC

⇔

𝑚 = 0(𝑙𝑜ạ𝑖)
𝑚 + 𝑚(
1
(
(
(
E
=
−
⇒
2𝑚
+
2𝑚
=
𝑚
−

𝑚
⇔
3𝑚
+
𝑚
=
0
⇔
1
𝑚( − 𝑚
2
𝑚=−!
√3

Vậy giá trị 𝑚 thoả yêu cầu bài toán là m = -

1
.
3
3

2


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TỐN 4T

Phân tích:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải hiểu được cực trị của hàm số trùng phương, từ

đó tìm được 𝑦 % , bước này liên quan đến kiến thức về cực trị của hàm số trùng phương.

Sau đó học sinh nhận ra rằng các em có đủ thơng tin để tìm được giá trị của 𝑚 sao cho
đồ thị (𝐶𝑚) có ba điểm cực trị, nghĩa là phương trình 𝑦 % = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Tiếp theo, học sinh cần phải tìm được toạ độ của các điểm cực trị.

Tiếp theo, học sinh nhận ra rằng tam giác ABC cân tại A nên góc 120' chính là góc A,
nhiệm vụ bây giờ của học sinh là phải tìm 𝑚 để 𝐴J = 120' , học sinh phải nhận ra rằng em
có đủ thơng tin để tìm 𝑚 và thơng tin có được là cơng thức tính cosin góc giữa hai vectơ
?????⃗, ?????⃗
𝐴𝐵
𝐴𝐶 là công cụ phù hợp để sử dụng. Cuối cùng là tiến hành q trình tính tốn…

Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng rằng câu hỏi đang cố gắng để làm nhiều
thứ cùng một lúc.

Nếu các em thất bại ở bước đầu, là học sinh không biết được muốn tìm m để hàm số có
ba cực trị thì đầu tiên ta phải tính 𝑦 % , thì câu hỏi tự luận khơng thể cho ta biết điều gì về
khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi như: tính 𝑦 % để tìm m sao cho
hàm số có ba cực trị, tìm toạ độ các điểm cực trị, cơng thức tính cosin góc giữa hai vectơ,....
Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của câu hỏi thì học
sinh có thể trả lời được.
Sau đây là các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra một số khía cạnh xuất hiện trong bài
tốn trên:
Với khái niệm cực trị, một câu hỏi phù hợp có thể được sử dụng để kiểm tra kiến thức
như sau:

Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = −𝑥 ( + 2𝑥 & + 3. Hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã
cho là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. −4𝑥 $ + 𝑥 = 0

C. 𝑥 $ − 𝑥 = 0

B. 4𝑥 $ + 𝑥 = 0

D. 𝑥 $ + 𝑥 = 0

Muốn làm được câu này, học sinh phải biết được rằng hoành độ các điểm cực trị của
hàm số trùng phương là nghiệm của phương trình 𝑦 % = 0 ⇔ −4𝑥 $ + 4𝑥 = 0
⇔ 𝑥 $ − 𝑥 = 0.

Đáp án là C.

3


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TOÁN 4T

Các đáp án nhiễu là A, B rất dễ gây nhầm lẫn cho học sinh vì học sinh thường đạo hàm
ra biểu thức có chứa −4𝑥 $ .

Bước thứ hai của bài tốn là tìm 𝑚 để đồ thị (𝐶𝑚) có ba điểm cực trị, một câu hỏi để
kiểm tra kiến thức đó là:

Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 ( + 2𝑚𝑥 & + 2. Giá trị của 𝑚 để hàm số đã cho có ba cực trị là:
A. 𝑚 < 0

B. 𝑚 = 0

C. 𝑚 > 0

D. 𝑚 ≠ 0

Đầu tiên ta tính: 𝑦′ = 4𝑥 $ + 4𝑚𝑥; y¢ = 0 Û 4 x x 2 + m = 0 Û ê

(

)

é x=0
2
ë x = -m

Ở câu hỏi 1, ta đã biết rằng hoành độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương là
nghiệm của phương trình 𝑦 % = 0, nên ở câu hỏi 2, học sinh phải hiểu được rằng: Hàm số
đã cho có ba cực trị ⇔ 𝑦 % = 0 có ba nghiệm phân biệt
⇔ 𝑥 & = −𝑚 có hai nghiệm phân biệt khác 0

Đáp án là A.

⇔ 𝑚 < 0.

Bước tiếp theo của bài toán là tìm toạ độ các điểm cực trị, câu hỏi để kiểm tra khả năng
đó là:

Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 ( − 2𝑥 & + 5. Toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
là:
A. (0; 5), (1; −4), (−1; 4)

C. (0; −5), (1; −4), (−1; 4)

B. (0; −5), (1; 4), (−1; −4)

D. (0; 5), (1; 4), (−1; 4)

Ta cần tìm nghiệm của phương trình 𝑦 % = 0, rồi thay các giá trị x tìm được vào 𝑦 =
𝑥 ( − 2𝑥 & + 5 ta tìm được y.

Đáp án là D.

Việc nhận ra dạng của tam giác tạo bởi ba điểm cực trị trong trường hợp này rất quan
trọng, giúp ta biết được góc 120' là góc nào. Lúc này bài toán trở nên dễ dàng hơn. Một
cầu hỏi để kiểm tra khía cạnh này là:

Câu 4: Cho hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 ( + 𝑏𝑥 & + 𝑐(𝑚 ≠ 0) có ba cực trị. Tam giác tạo bởi ba điểm
cực trị M, N, P của đồ thị hàm số đã cho có đặc điểm gì?
A. MNP là tam giác vng.

B. MNP là tam giác đều.

C. MNP là tam giác cân.

D. MNP là tam giác có một góc tù.
4


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TỐN 4T

Đối với học sinh có lực học trung bình, đây là một câu hỏi khó. Học sinh có thể nhận ra
đặc điểm của tam giác dựa vào toạ độ các đỉnh, cụ thể ở đây là có một đỉnh thuộc trục tung,
hai đỉnh cịn lại đối xứng nhau qua trục tung. Hoặc có thể nhận ra rằng tam giác đó là tam
giác cân dựa vào các bài toán khảo sát hàm số của hàm số trùng phương (nếu học sinh đã
được học).
Đáp án là C.

Bước cuối cùng của bài tốn là xác định góc nào bằng 120' , từ đó áp dụng cơng thức
tính cosin góc giữa hai vectơ để tìm 𝑚.

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại 𝐴 với 𝐴(0; 𝑚& + 𝑚), 𝐵(𝑚; 𝑚), 𝐶 (−𝑚; 𝑚) với 𝑚 ≠ 0.
Giá trị 𝑚 để tam giác ABC có một góc bằng 120' là:
A. 𝑚 = ±√3; 𝑚 = ±

B. 𝑚 = ±

√$
$

√$
$

C. 𝑚 = √3

D. 𝑚 = ±√3

Tam giác ABC cân tại 𝐴 nên góc 120' chính là góc 𝐴.

?????⃗
𝐴𝐵 = (𝑚; −𝑚& ), ?????⃗
𝐴𝐶 = (−𝑚; −𝑚& ).

!!!" !!!"
AB. AC
1
1
-m 2 + m 4
1
Aˆ = 1200 Û cosA = - Û !!!" !!!" = - Û 2
=
m + m4
2
2
2
AB . AC

⇒ −2𝑚 + 2𝑚 = −𝑚 − 𝑚 ⇔ 3𝑚 − 𝑚 = 0 ⇔ E
&

(

&

(

(

&

𝑚 = 0(𝑙𝑜ạ𝑖)
√3
𝑚=± 3

Đáp án là B.

Bài toán 2: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒có đồ thị (𝑪). Gọi 𝒅𝒌 là đường thẳng đi qua
điểm 𝑨(−𝟏; 𝟎) với hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng 𝒅𝒌 cắt đồ thị (𝑪) tại ba điểm
phân biệt A, B, C và hai giao điểm B, C cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác
có diện tích bằng 1.
Bài giải:

Ta có: 𝑑, : 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ 𝑘𝑥 − 𝑦 + 𝑘 = 0.

5


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TỐN 4T

Phương trình hồnh độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑, là:

-./0
𝑥 $ − 3𝑥 & + 4 = 𝑘𝑥 + 𝑘 ⇔ (𝑥 + 1)[(𝑥 − 2)& − 𝑘] = 0 ⇔ \(-/&)
" .,.

𝑑, cắt (𝐶) tại ba điểm phân biệt ⇔ (𝑥 − 2)& = 𝑘 có hai nghiệm phân biệt

khác −1 ⇔ ]

𝑘>0
𝑘>0
⇔^
(∗)
(−1 − 2)& ≠ 𝑘
𝑘≠9

Khi đó các giao điểm (𝐶) và 𝑑, là:

𝐴(−1; 0), 𝐵(2 − √𝑘; 3𝑘 − 𝑘√𝑘), 𝐶(2 + √𝑘; 3𝑘 + 𝑘√𝑘).

?????⃗
𝐵𝐶 = <2√𝑘; 2𝑘√𝑘>, 𝐵𝐶 = 2√𝑘 + 𝑘 $ = 2√𝑘√1 + 𝑘 & (vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)

d ( O, BC ) = d ( O, d k ) =

k
2

=

k +1

k
2

k +1
1

2

(vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)

Diện tích tam giác OBC là: S = . 2 k 1 + k 2 .

k
2

k +1

=k k

Theo giả thiết: 𝑆 = 1 ⇔ 𝑘√𝑘 = 1 ⇔ (√𝑘)$ = 1 ⇔ 𝑘 = 1 (thoả (∗))
Vậy giá trị 𝑘 cần tìm là 𝑘 = 1.

Phân tích:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh phải xác định được vấn đề mà bải toán đặt ra, cụ thể ở
đây là sự tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và một đường thẳng. Để có thể làm được
bài tốn tương giao thì trước hết học sinh phải lập được phương trình hồnh độ giao điểm
của hai đồ thị, mà ta chưa có phương trình đường thẳng nên đầu tiên các em phải lập
phương trình đường thẳng 𝑑, đi qua điểm 𝐴(−1; 0) với hệ số góc k.
Sau đó, học sinh lập phương trình hồnh độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑, . Từ đó các em tìm
được giá trị k để (𝐶) và 𝑑, cắt nhau tại ba điểm phân biệt, nghĩa là phương trình hồnh độ
giao điểm của (𝐶) và 𝑑, có ba nghiệm phân biệt.

Tiếp theo, học sinh suy ra được toạ độ các giao điểm của (𝐶) và 𝑑, gồm 𝐴(−1; 0), 𝐵, 𝐶.

Sau đó, học sinh tính được diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 (đường thẳng 𝐵𝐶 chính là 𝑑, nên
việc chọn cạnh đáy của tam giác 𝑂𝐵𝐶 là 𝐵𝐶 giúp cho việc tính tốn dễ dàng hơn) .

6


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TOÁN 4T

Cuối cùng là tiến hành quá trình tính tốn để tìm 𝑚 khi diện tích tam giác 𝑂𝐵𝐶 bằng 1
và đối chiếu điều kiện của k ở trên rồi kết luận.
Để kiểm kra kiến thức về phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k,
có thể sử dụng câu hỏi sau đây:
Câu 1: Phương trình đường thẳng đi qua điểm 𝐴(1; −2) và có hệ số góc a là:

A. 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 − 2 = 0.

B. 𝑎𝑥 − 𝑦 − 𝑎 + 2 = 0.

C. −𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝑎 − 2 = 0.

D. −𝑎𝑥 + 𝑦 + 𝑎 − 2 = 0.

Phương trình đường thẳng có hệ số góc a có dạng: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.

Đường thẳng trên đi qua điểm 𝐴(1; −2) nên: −2 = 𝑎. 1 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = −𝑎 − 2

Đáp án là A.

Câu 2: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 $ − 3𝑥 & + 1 có đồ thị (𝐶) và đường thẳng 𝑑 có phương trình
𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥 − 4𝑚 − 1. Giá trị 𝑚 để (𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt là:

A. c
C. c

𝑚>−
𝑚≠

𝑚<

3

0

4
B. c
0
𝑚≠−

4

&

𝑚 > −&
𝑚≠

3

𝑚<&

0

&

0

D. c
3
𝑚≠−

3
4

4

Phương trình hồnh độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑 là:

𝑥 $ − 3𝑥 & − (2𝑚 − 1)𝑥 + 4𝑚 + 2 = 0(1)

Û ( x - 2 ) ( x2 - x - 2m - 1) = 0

x=2
é
Ûê
2
ë f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 ( 2 )
(𝐶) cắt 𝑑 tại ba điểm phân biệt ⇔Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

⇔Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt khác 2

ì D = 8m + 5 > 0
Ûí

ỵ f ( 2 ) = 1 - 2m ¹ 0

7


NGUYN TH KIM THOA

TON 4T

5
ỡ
>
m
ùù
8
ớ
ù mạ 1
ùợ
2
ỏp ỏn l A.
Bc tiếp theo của bài tốn là tính diện tích tam giác
OBC theo 𝑚, để tính được diện tích tam giác OBC học
sinh cần tính độ dài đoạn BC và khoảng cách từ O đến
đường thẳng 𝐵𝐶, các câu hỏi để kiểm tra các khả năng
đó là Câu 3 và Câu 4:

Câu 3: Cho 𝑀 (1; 2), 𝑁(−3; 0). Độ dài đoạn 𝑀𝑁 bằng:

A. 2√3

B. 2√5

C. 4√3

D. 4√5

???????⃗ = (−4; −2) ⇒ 𝑀𝑁 = f(−4)& + (−2)& = 2√5.
𝑀𝑁

Đáp án là B.

Câu 4: Cho 𝑀(1; 2), 𝑁 (−3; 0). Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng 𝑀𝑁 bằng:
A.

3
5

B.

6
5

C.

2
5

D.

4

5

???????⃗ = (−4; −2).Phương trình đường thẳng 𝑀𝑁 là: (𝑥 + 3) − 2(𝑦 − 0) = 0
𝑀𝑁

⇔ 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
𝑑 (𝑂, 𝑀𝑁 ) =

Đáp án là A.

|0 − 2.0 + 3|

f1& + (−2)&

=

3

√5

Việc tính độ dài đường cao của tam giác 𝑂𝐵𝐶 bằng cơng thức tính khoảng cách rất ngắn
gọn, bằng việc nhận thấy đường thẳng 𝐵𝐶 chính là 𝑑, . Một câu hỏi để kiểm tra kỹ năng đó
là:

8


NGUYỄN THỊ KIM THOA

TOÁN 4T

Câu 5: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥 $ − 3𝑥 & + 4có đồ thị (𝐶) và đường thẳng 𝑑, : 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘. Giá
trị k để (𝐶) và 𝑑, cắt nhau tại ba điểm phân biệt M, N sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ
0
O đến đường thẳng MN bằng & là:
√

A. 𝑘 = −1

B. 𝑘 = 1

C. 𝑘 = ±1

Phương trình hồnh độ giao điểm của (𝐶) và 𝑑, là:

D. 𝑘 ≠ ±1

é x = -1
2
.
x3 - 3x 2 + 4 = kx + k Û ( x + 1) é( x - 2 ) - k ù = 0 Û ê
2
ë
û
êë( x - 2 ) = k

𝑑, cắt (𝐶) tại ba điểm phân biệt ⇔ (𝑥 − 2)& = 𝑘 có hai nghiệm phân biệt khác −1
⇔]

𝑘>0

𝑘>0
⇔^
(∗)
&
(−1 − 2) ≠ 𝑘
𝑘≠9

d ( O, MN ) = d (O, d k ) =
𝑑 (𝑂, 𝑀𝑁 ) =

1

√2

⇔

(vì𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)

𝑘

√𝑘 &

k

k2 +1

+1

=

1

=

√2

k
k2 +1

(vì 𝑘 > 0, 𝑘 ≠ 9)

⇔ f𝑘 & + 1 = 𝑘√2 ⇔ 𝑘 & = 1 ⇒ 𝑘 = 1

Đáp án là B.

Bài toán 3: Cho hàm số y =

2x - 1
( C ).
x -1

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (𝑪). Tìm điểm M thuộc (𝑪) sao cho tiếp tuyến của
(𝑪) tại M vng góc với đường thẳng MI.
Bài giải:

Giao điểm của hai đường tiệm cận của (𝐶 ) là 𝐼 (1; 2). Gọi 𝑀(𝑎; 𝑏) ∈ (𝐶 )

Þb=

2a - 1

( a ¹ 1)
a -1

Phương trình tiếp tuyến d của ( ) ti M ỗ a;

ổ
ố

y=-

2a - 1 ử
ữ l:
a -1 ø

1
2a - 1
.
+
(a - 1) ( x - a) a - 1
2

9


NGUYỄN THỊ KIM THOA

Phương trình đường thẳng MI là: y =

d vng góc với MI nên: -

1

( a - 1)

.
2

1

( a - 1)

2

( x - 1) + 2 .

éa = 0
1
=
Û
2
ê
( a - 1)
ëa = 2
1

Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là: 𝑀0 (0; 1), 𝑀& (2; 3).

Phân tích:

Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là phải tìm được giao điểm I của hai tiệm cận của (𝐶).

Sau đó học sinh viết phương trình tiếp tuyến d của (𝐶) tại 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) ∈ (𝐶) (lưu ý biểu
diễn 𝑦5 theo 𝑥5 ).
Tiếp theo học sinh vết phương trình đường thẳng MI.

Từ giả thiết d vng góc với MI học sinh tìm được m để tích hai hệ số góc của hai đường
thẳng đó bằng −1, hoặc tích vơ hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng đó
bằng 0…
Từ bài tốn tự luận như trên, để kiếm tra được các khía cạnh của bài tốn như giao điểm
hai đường tiệm cận, phương trình tiếp tuyến, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm,
hai đường thẳng vng góc,… ta có thể sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan như
sau:
Đầu tiên để kiểm tra về kiến thức toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận, một câu hỏi
phù hợp có thể được sử dụng là:
Câu 1: Cho hàm số y =

2x + 3
có đồ thị (𝐶). Khẳng định nào sau đây là đúng?
x -1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = 1 và tiệm cận ngang y = -

3
2

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = −1 và tiệm cận ngang y = C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -

3
2

3
và tiệm cận ngang 𝑦 = 2
2
10

TOÁN 4T


NGUYỄN THỊ KIM THOA

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 𝑥 = 1 và tiệm cận ngang 𝑦 = 2
Đáp án là D.

Từ hai đường tiệm cận vừa tìm được học sinh dễ dàng suy ra toạ độ giao điểm hai đường
tiệm cận ở bài toán tự luận.

Một kỹ thuật tuy đơn giản nhưng rất quan trọng trong bài toán 2 là gọi toạ độ điểm 𝑀
một cách tổng quát, câu hỏi được sử dụng để kỹ thuật này là:
Câu 2: Cho hàm số y =

2x + 1
( C ). Gọi 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) là điểm thuộc đồ thị (𝐶 )
x +1

(𝑥5 ≠ 1). 𝑥5 , 𝑦5 thoả mãn đẳng thức nào sau đây?
A. yo + 1 =

3
xo - 1

B. yo + 1 =

2
xo - 1

C. yo - 1 =

3
xo - 1

D. yo - 1 =

3
xo - 1

𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) ∈ (𝐶 ) nên toạ độ điểm 𝑀 thoả mãn y =

𝑦5 =

2𝑥5 + 3
3
⇔ 𝑦5 − 1 =
𝑥5 − 1
𝑥5 − 1

2x + 3
. Suy ra
x -1

Đáp án là C.

Bước tiếp theo của bài tốn là viết phương trình tiếp tuyến của (𝐶) tại 𝑀. Câu hỏi để
kiểm tra khả năng đó là:
Câu 3: Cho hàm số y =
hoành độ 𝑥5 = 0 là:

2x + 1
( C ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (𝐶) tại điểm có
x +1

A. 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

C. 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

B. 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

D. 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

Phương trình tiếp tuyến tại 𝑀(𝑥5 ; 𝑦5 ) của (𝐶) có dạng:

y - yo = y¢ ( xo )( x - xo ) Û y -

2.0 + 1
1
=
( x - 0) Û x - y + 1 = 0
0 + 1 ( 0 + 1)2
11

TOÁN 4T

NGUYỄN THỊ KIM THOA

Đáp án là C.
Câu hỏi để kiểm tra về hai đường thẳng vng góc là:

m2
1
Câu 4: Cho hai đường thẳng 𝑑0 , 𝑑& lần lượt có phương trình: y = x+ ,
3
3
𝑥 − 𝑚𝑦 − 3 = 0. Giá trị m để 𝑑0 , 𝑑& vng góc với nhau là:

A. 𝑚 ∈ {−3; 0}

B. 𝑚 ∈ {−3; 1}

1
m2
d1 : y = x + Û -m 2 x - 3 y + 1 = 0
3
3

C. 𝑚 ∈ {−1; 3}

D. 𝑚 ∈ {0; 3}

𝑑0 , 𝑑& vng góc với nhau nên: −𝑚& . 1 + (−3). (−𝑚) = 0

ém = 0
Û -m2 + 3m = 0 Û ê
ëm = 3
.
Đáp án là D.

12

TOÁN 4T