Bài giảng Giải tích III TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III
TS. Bùi Xn Diệu
Viện Tốn Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

1 / 53


Chương 1: Chuỗi
1
2

3

4

5

6

Đại cương về chuỗi số
Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ

Chuỗi đan dấu
Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

2 / 53


Đại cương về chuỗi số

Chương 1: Chuỗi
1
2

3

4

5

6

Đại cương về chuỗi số
Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

3 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định nghĩa
Cho {an }∞
n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn

a1 + a2 + · · · + an + · · ·
được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là

∞

an . Khi đó, an được gọi là

n=1

số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

4 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định nghĩa
Cho {an }∞
n=1 là một dãy số. Tổng vô hạn
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
được gọi là một chuỗi số và được kí hiệu là

∞

an . Khi đó, an được gọi là

n=1

số hạng tổng quát và Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n.
Nếu như dãy số {Sn } là hội tụ và lim Sn = S tồn tại, thì ta nói
n→∞

chuỗi số

∞

an là hội tụ và có tổng bằng S và viết

an = S.

n=1

n=1

Nếu dãy số {Sn } là phân kỳ thì ta nói chuỗi số
TS. Bùi Xn Diệu

∞

Giải tích III

∞

an là phân kỳ.

n=1

4 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số

Ví dụ
Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1]. Sau đó chúng ta chia đơi khoảng này
ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dài
bằng 1/2. Sau đó ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ được
hai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4. Tiếp tục kéo dài quá trình
này ta sẽ được chuỗi số sau:
1=

TS. Bùi Xuân Diệu

1
1 1
+ + ··· + n + ···
2 4
2

Giải tích III

5 / 53

Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
n=0

qn = 1 + q + q2 + · · · .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

6 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
n=0

qn = 1 + q + q2 + · · · .

Ví dụ
Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính

∞
n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

1
n(n+1) .

6 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Ví dụ
Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của chuỗi cấp số nhân
∞
n=0

qn = 1 + q + q2 + · · · .

Ví dụ
Chứng minh rằng chuỗi số sau hội tụ và tính

∞
n=1

1

n(n+1) .

Ví dụ
Chứng minh rằng chuỗi điều hịa

∞
n=1

TS. Bùi Xn Diệu

1
n

là phân kì.

Giải tích III

6 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Nếu chuỗi số

∞
n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

an là hội tụ, thì lim an = 0.
n→+∞

Giải tích III

7 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Nếu chuỗi số

∞

an là hội tụ, thì lim an = 0.
n→+∞

n=1

Chú ý:
Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
thì chưa chắc chuỗi

∞

an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều

n=1

TS. Bùi Xn Diệu

Giải tích III

n→+∞
∞
1
hịa
n.
n=1

7 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞

Nếu chuỗi số

an là hội tụ, thì lim an = 0.
n→+∞

n=1

Chú ý:

Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
thì chưa chắc chuỗi

∞

an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều

n=1

n→+∞
∞
1
hòa
n.
n=1

Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim an không
n→+∞

tồn tại hoặc lim an = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét
n→+∞

chuỗi

∞
n=1

n
2n+1 .

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

7 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
∞

Nếu chuỗi số

an là hội tụ, thì lim an = 0.
n→+∞

n=1

Chú ý:
Mệnh đề đảo của Định lý trên là không đúng, i.e., nếu lim an = 0
thì chưa chắc chuỗi

∞

an hội tụ. Ví dụ, chuỗi điều

n=1

n→+∞
∞
1
hòa
n.
n=1

Điều kiện đủ để kiểm tra một chuỗi là phân kỳ: nếu lim an không
n→+∞

tồn tại hoặc lim an = 0 thì chuỗi đã cho là phân kỳ. Ví dụ, xét
n→+∞

chuỗi

∞
n=1

n
2n+1 .

Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì khơng làm ảnh
hưởng đến tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó.
TS. Bùi Xn Diệu

Giải tích III

7 / 53

Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
Nếu

∞
n=1

an và

∞

bn là các chuỗi số hội tụ, thì
∞

(αan + βbn ) = α

∞
n=1

n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

(αan + βbn ) cũng là

n=1

n=1

một chuỗi số hội tụ và

∞

Giải tích III

an + β

∞

bn .

n=1

8 / 53


Đại cương về chuỗi số

Đại cương về chuỗi số
Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
∞

Nếu

∞

an và

bn là các chuỗi số hội tụ, thì

(αan + βbn ) cũng là

n=1

n=1

n=1

∞

một chuỗi số hội tụ và

∞

∞

(αan + βbn ) = α

an + β

n=1

n=1

∞

bn .

n=1

Ví dụ
Xét xem chuỗi sau đây là hội tụ hay phân kỳ. Nếu nó hội tụ, tính tổng.
a)
d)

∞
n=1
∞

2
2
n −1
ln

n=1
TS. Bùi Xuân Diệu

n2

2n2

b)
+1
+3

e)

∞

n=1
∞
n=1

n
ln
n+1
1
1+

Giải tích III

2 n
3

c)
f)

∞
n=1
∞
n=1

en
n3
n3

1
−n
8 / 53

Chuỗi số dương

Chương 1: Chuỗi
1
2

3

4

5

6

Đại cương về chuỗi số
Chuỗi số dương
Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

9 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương
Định nghĩa
Chuỗi số

∞

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

n=1
∞

Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn

n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.

10 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương
Định nghĩa
Chuỗi số

∞

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

n=1
∞

Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn

n=1

an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.

Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)

Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và

an = f (n). Khi đó chuỗi số

∞

an và tích phân suy rộng

n=1

∞
1 f (x)dx

có

cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

10 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Chuỗi số dương
Định nghĩa

Chuỗi số

∞

an với an > 0 được gọi là một là chuỗi số dương.

n=1
∞

Nhận xét: Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn

n=1

an hội tụ ⇔ Sn bị chặn.

Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và

an = f (n). Khi đó chuỗi số

∞

an và tích phân suy rộng

n=1

∞
1 f (x)dx

có

cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ.Nói cách khác,
1

2

Nếu
Nếu

∞

∞
1 f (x)dx

là hội tụ thì

∞
1 f (x)dx

là phân kỳ thì

TS. Bùi Xuân Diệu

an cũng là hội tụ.

n=1
∞

an cũng là phân kỳ.

n=1
Giải tích III

10 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi a)

∞
n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

1
1+n2

Giải tích III

b)

∞
n=1

1

nα

(α > 0).

11 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi a)

∞
n=1

1
1+n2

∞

b)

n=1

1
nα

(α > 0).

Một số lưu ý
1

Hàm zeta ζ(x) =

∞
n=1

1
nx .

Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

tiên tính được chính xác ζ(2) =

∞
n=1

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

1
n2

=

π2

6

và ζ(4) =

∞
n=1

1
n4

=

π4
90 .

11 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi a)

∞
n=1

1

1+n2

∞

b)

n=1

1
nα

(α > 0).

Một số lưu ý
1

Hàm zeta ζ(x) =

∞
n=1

1
nx .

Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

tiên tính được chính xác ζ(2) =

∞
n=1

2

∞
n=1

an =

∞
1 f (x)dx.

TS. Bùi Xuân Diệu

1
n2

Chẳng hạn như

=
∞

n=1

Giải tích III

π2
6
1
n2

và ζ(4) =

∞
n=1

=

π2
6

=

1
n4

∞ 1
1 x 2 dx

=

π4
90 .

= 1.

11 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
Xét sự hội tụ của các chuỗi a)

∞
n=1

1
1+n2

∞

b)

n=1

1
nα

(α > 0).

Một số lưu ý
1

Hàm zeta ζ(x) =

∞
n=1

1
nx .

Nhà toán học Thụy Sĩ Euler là người đầu

tiên tính được chính xác ζ(2) =

∞
n=1

2

∞
n=1

3

an =

∞
1 f (x)dx.

1
n2

=
∞

Chẳng hạn như

n=1

π2
6
1
n2

và ζ(4) =

∞
n=1

=

π2
6

=

1
n4

∞ 1
1 x 2 dx

=

π4
90 .

= 1.

Khi dùng TCTP, không nhất thiết chuỗi số phải bắt đầu từ n = 1.
VD, có thể kiểm tra sự hội tụ của

∞
n=4

TS. Bùi Xuân Diệu

Giải tích III

1
(n−1)2

bằng

∞
4

1
dx.
(x−1)2
11 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ
Chứng minh rằng chuỗi

TS. Bùi Xuân Diệu

∞
1
n=2 n(ln n)p

là hội tụ khi và chỉ khi p > 1.

Giải tích III

12 / 53


Chuỗi số dương

Tiêu chuẩn tích phân

Ví dụ
Chứng minh rằng chuỗi

∞
1
n=2 n(ln n)p

là hội tụ khi và chỉ khi p > 1.

Ví dụ
Dùng TCTP xét sự hội tụ hay phân kì của các chuỗi số sau.
a)
e)

∞
n=1
∞
n=1

ln n1
(n + 2)2
e 1/n
n2

TS. Bùi Xuân Diệu

b)
f)

∞
n=1
∞
n=1

2 −n3

n e
n2
en

c)
g)

∞
n=1
∞
n=1

Giải tích III

ln n
n3

d)

ln n
np

h)

∞
n=1
∞
n=1

ln(1 + n)
(n + 3)2
ln n
3n2

12 / 53