ĐỀ số 02 ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2022

ĐỀ SỐ 2

ĐỀ ƠN THI TỐT NGHIỆP 2022
Bài thi: TỐN
Thời gian: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Họ, tên học sinh:……………………………….., Số báo danh:……………………………..
Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh từ một nhóm có 8 học sinh?
5
5
A. 8!.
B. C8 .
C. A8 .

D. 5!.

Câu 2. Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  2 và công sai d  1 . Số hạng thứ 4 của cấp số cộng  un 
bằng bao nhiêu ?
A. u4  2.
B. u4  1.
C. u4  2.
D. u4  1.
Câu 3. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �; 1 .
B.  0; � .
C.  1;1 .

D.  �;0  .

Câu 4. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x  2.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  5.
Câu 5. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

B. Hàm số đạt cực đại tại x  1.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x  1.

A. Hàm số khơng có cực trị.
C. Hàm số đạt cực đại tại x  3.
Câu 6. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x3
là
x2

A. x  2.
B. x  3.
C. y  1.
D. y  3.
Câu 7. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


A. y   x 3  3x 2  1.

B. y  x 3  3x 2 .

C. y  x 4  2 x 2 .

D. y   x 4  2 x 2 .

Câu 8. Đồ thị hàm số y  x 4  x 2  2 cắt trục Oy tại điểm
A. A  0; 2  .

B. A  2;0  .

C. A  0;  2  .

D. A  0; 0  .

A. 2  5log 2 a.

B. 2  5log 2 a.

C. 5log 2 a.

D. 10 log 2 a.

5
Câu 9. Với a là số thực dương tùy ý, log 2  4a  bằng

Câu 10. Tính đạo hàm của hàm số y  7 x .
 7 x ln 7.
A. y �

 7 x.

B. y �

C. y �


7x
.
ln 7

 x.7 x 1.
D. y �

Câu 11. Viết biểu thức a a  a  0  về dạng lũy thừa của a là
1

A. a 3 .

B. a 3 .
1
3 x
Câu 12. Phương trình 3  có nghiệm là
9
x


5.
A.
B. x  2.
Câu 13. Phương trình log 5 (2 x  3)  2 có nghiệm là

2

3

C. a 2 .

D. a 3 .

C. x  1.

D. x  5.

13
1
.
.
C.
D. 11.
2
14
3
Câu 14. Cho hàm số f  x   2 x  1. Trong các khẳng đinh sau, khằng định nào đúng?
A. 14.

B.

1

A.

f ( x )dx  x
�

3

 x  C.

B.

f ( x)dx  x
�
2

C.

f ( x)dx  x
�

4

 x  C.

D.

f ( x)dx  x
�

4

4

 x  C.

 C.

Câu 15. Cho hàm số f ( x)  sin 3x. Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?
1
1
f ( x)dx   cos 3x  C.
f ( x)dx   sin 3 x  C.
A. �
B. �
3
3
C.

f ( x)dx  3sin 3 x  C.
�

D.

2

5

5

1

2

1

f ( x)dx  3cos 3 x  C.
�

f  x  dx  3 và �
f  x  dx  5 thì �
f  x  dx bằng
Câu 16. Nếu �
A. 6.

B. 2.

C. 2.

D. 8.

2

x 4 dx bằng
Câu 17. Tính tích phân �
1

31
31
.
C.  .
5
5

z

5

4
i
Câu 18. Số phức liên hợp của số phức
là số phức
A. 5.

B.

D.

32
.
5


A. z  5  4i.
B. z  5  4i.
C. z  5  4i.
Câu 19. Cho hai số phức z  6  7i và w  2  5i . Số phức z  w bằng
A. 4  2i.
B. 4  2i.
C. 8  12i.
Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, số phức z  2  3i có điểm biểu diễn là
A. (2;3).
B. (2; 3).
C. (2; 3).

D. z  4  5i.
D. 11  9i.

D. (2;3).
Câu 21. Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 9 và chiều cao bằng 4. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 18.
B. 36.
C. 12.
D. 108.
Câu 22. Thể tích của khối lập phương cạnh 4 bằng
A. 16.
B. 12.
C. 64.
D. 256.
Câu 23. Cơng thức tính thể tích của khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
4 2
1 2
A.  r h.
B. 2 r 2 h.
C.  r h.
D.  r 2 h.
3
3
r

2,
Câu 24. Cho khối nón có bán kính đáy
đường sinh l  3. Diện tích xung quanh của khối nón là
4 5

B. 6 .
C. 12 .
D. 10 .
.
3
uuur
Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5; 1; 2) và B (2;1;0) . Véc tơ AB có tọa độ là
A. (3; 2; 2).
B. (3; 2; 2).
C. (3; 2; 2).
D. (3; 2; 2).
A.

Câu 26. Trong không gian Oxyz, tâm của mặt cầu ( S ) :  x  1  ( y  2) 2  z 2  4 có toạ độ là
2

A. (1; 2;0).

B. (1; 2;0).

C. (1; 2;0).

D. (1; 2;1).

�x  1  t
�
Câu 27. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây không thuộc đường thẳng  : �y  1  2t ?
�z  t
�
A. (1;1;0).

B. (2;3; 1).

C. (0; 1;1).

D. (1; 2; 1).

Câu 28. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( ) : x  2 y  z  2  0?
r
r
r
r
A. u1  (1; 2; 2).
B. u2  (1; 2; 1).
C. u3  ( 1; 2;0).
D. u4  (1; 2; 1).
Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong 19 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bằng
9
9
10
11
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.

10
19
19
19
Câu 30. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên �?
x 1
.
A. y 
B. y  x 2  2 x.
C. y   x3  x 2  x.
D. y  x 4  3x 2  2.
x2
4
2
Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x  2 x  3 trên  1; 2 .
Tổng M  m bằng
A. 11.
B. 24.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log 2  x  8   3 là

A.  �; 4 � 4; � .

B.  4; 4 .

C. (4; 4).

2

2

0

0

f  x  dx  2 . Tính tích phân J  �
�
3 f  x   2�
Câu 33. Cho tích phân I  �
�
�dx .

D. (�; 4) �(4; �).


A. J  6.
B. J  2.
C. J  8.
Câu 34. Cho số phức z  1  2i .Mô đun số phức w  z (2  i) .
A.

7.

B.

C. 4.

5.

D. J  4.
D. 5.

B C D có AB  AD  a và AA�
Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
 a 2 . Góc giữa đường thẳng
CA�và mặt phẳng  ABCD  bằng

.
.
A. 45�.
B. 30�
C. 60�
D. 90�.
Câu 36. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật cạnh lần lượt là 2 và 3,
SA  SB  SC  SD  4 . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng

38
38
D.
.
.
2
4
Câu 37. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm M (0;0; 1); N  2;0;0  ; P  0;3;0  có phương
trình là
A.  x  2 y  3z  1.
B. 3 x  2 y  6 z  6  0.
C. 3 x  2 y  6 z  6  0.

D. 3 x  2 y  6 z  6  0.
A.

51
.
2

B.

51
.
4

C.

Câu 38. Trong không gian Oxyz , đường thằng đi qua điểm A(1;0;3) và vng góc với mặt phẳng  Oxy  có
phương trình tham số là
�x  1
�x  0
�x  0
�x  1
�
�
�
�
.
A. �y  0
B. �y  0 .
C. �y  0 .
D. �y  1 .

�z  3  2t
�z  1  3t
�z  3  t
�z  3  t
�
�
�
�

 x  là đường cong trong hình dưới đây.
Câu 39. Cho hàm số y  f  x  , đồ thị của hàm số y  f �

Giá trị lớn nhất của hàm số g  x   2 f  x    x  1 trên đoạn  3;3 bằng
2


A. f  1 .

B. 2 f  1  4.

C. 2 f  0   1.

D. f  3  4.

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có khơng q 20 số nguyên y thỏa mãn
log 5  x 2  y  1 �log 3  x  y  1 ?
A. 15.

B. 18.

C. 16.

2x  4
khi x �4
�
�
Câu 41. Cho hàm số f  x   �1 3
. Tích phân
x  x 2  x khi x  4
�
�4
A. 28 .
B. 8.
C. 341 .
3
48

D. 17.

2

f  2sin
�
0

2

x  3 sin 2 xdx bằng
D. 341 .
96

Câu 42. Có hai số phức z thỏa mãn z  29 và ( z  2i )( z  3) là số thực. Tổng phần ảo của hai số phức đó
bằng
A.
B. 36
C. 12
D.
.
.
3.
4.
5
5
Câu 43. Cho hình chóp S .BCD có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SB vng góc với mặt phẳng
đáy, góc giữa SB và mặt phẳng  SCD  bằng 600 ( tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp S .BCD bằng

3
3
3
B. a 3
C. a .
D. a 3
a 3.
.
.
8
6
3
Câu 44. Chiều cao của một cái phếu hình nón là 30cm . Người ta đổ một lượng nước vào phếu sao cho chiều
cao của cột nước trong phếu là 15cm sau đó bịt kím miệng phếu rồi lật ngược lên. Tính chiều cao của cột

nước trong phếu (làm tròn đến hàng phần trăm).

A.

3

A. 5,30 cm.

D. 1,31 cm.
x 3 y 3 z

 , mặt phẳng
Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
1
3
2
   : x  y  z  3  0 và điểm A  1; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt d và song song
với mặt phẳng    .

B. 2,31 cm.

C. 6,15 cm.


A. x  1  y  2 
1
2
C. x  1 y  2



1
2
Câu 46. Cho hàm số

z 1
.
1
z 1
.
1

B. x  1 
1
D. x  1

1
y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

y  2 z 1

.
2
1
y  2 z 1

.
2
1

Số điểm cực trị của hàm số g ( x)  f 2 ( x )  4 f ( x)  2021 là

A. 3.
B. 2.
C. 1.

D. 0.

� sin 2 x  m s inx  1 �
� sin 2 x  m s inx  1  2s inx . Có bao nhiêu giá trị
Câu 47. Cho phương trình log 3 �
� 3(2sin x  1)
�
�
�
��
0; �?
nguyên của tham số m để phương trình trên có nghiệm x ��
� 2�
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong  C  trong hình bên. Hàm số f  x  đạt cực
trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa f  x1   f  x2   0 . Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị  C  ; M , N , K là

giao điểm của  C  với trục hồnh; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, S2 là diện tích tam
S1
giác NBK . Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số
bằng
S2

A. 2 6 .
3

B.

6
.
2

C. 5 3 .
6

D. 3 3 .
4

Câu 49. Xét hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2; z2  3 và z1  z2  5 . Giá trị lớn nhất của 2 z1  z2  3i
bằng
A. 10.
B. 29  3.
C. 29  3.
D. 4.
x4 y 5 z 3


Câu 50. Trong không gian Oxyz Cho d :
và hai điểm A  3;1; 2  ; B   1;3; 2  Mặt cầu
2
1
2
tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d . Khi R đạt giá trị nhỏ nhất

thì mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I là  P  : 2 x  by  cz  d  0. Tính d  b  c.
A. 0.

B. 1.

C. 1.
------------------HẾT------------------

D. 2.


1

2

3

4

5

6

7

8

BẢNG ĐÁP ÁN
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

B B A C B A C C B A C D A B A B B B A C B C D B B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D D C C D D B D A A B A B C D B D D A A C D B A
PHẦN LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪ CÂU 39 ĐẾN CÂU 50

 x  là đường cong trong hình dưới đây.
Câu 39. Cho hàm số y  f  x  , đồ thị của hàm số y  f �

Giá trị lớn nhất của hàm số g  x   2 f  x    x  1 trên đoạn  3;3 bằng
2

A. f  1 .

B. 2 f  1  4.

C. 2 f  0   1.

D. f  3  4.

Lời giải
 x  2 f �
 x    2x  2  0 � f �
 x   x  1.
Ta có g  x   2 f  x    x  1 � g �
2

 x  và y  x  1 trên khoảng  3;3 là x  1 .
Quan sát trên đồ thị ta có hồnh độ giao điểm của f �

Bảng biến thiên

�

x
g  x
/



3
0



1
0



3
0



�

g  x
g  x   g  1  2 f  1  4 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra max
 3;3

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có khơng q 20 số ngun y thỏa mãn
log 5  x 2  y  1 �log 3  x  y  1 ?


A. 15.

B. 18.

C. 16.
Lời giải

D. 17.

�x 2  y  1  0
.
Điều kiện: �
x

y

1

0
�
log  x  y 1
2
2
Ta có: log 5  x  y  1 �log3  x  y  1 � x  y  1 �5 3
� x 2  y  1 � x  y  1
� x 2  x � x  y  1

log 3 5

log3 5

log 5
2
Đặt t  x  y  1,  t  0  thì  1 trở thành x  x �t 3  t

  x  y  1

 2 .

 1 .

Với mỗi x nguyên cho trước có không quá 20 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình  1 tương đương với
bất phương trình  2  có khơng q 20 nghiệm t ngun dương.

log 5
Ta có hàm số f  t   t 3  t đồng biến trên  1; � nên nếu x 2  x  21log3 5  21 thì sẽ có ít nhất 20 nghiệm
ngun t �1.
�7 �x �8
log 5
2
Do đó u cầu bài tốn tương đương với x  x �21 3  21 � �
�x �Z
Vậy có 16 số nguyên x .

2x  4
khi x �4

�
2
�
Câu 41. Cho hàm số f  x   �1 3
. Tích phân f  2sin 2 x  3 sin 2 xdx bằng
2
�
x  x  x khi x  4
�
0
�4
A. 28 .
B. 8.
C. 341 .
D. 341 .
3
48
96
Lời giải
Ta có
�1
�
lim f  x   lim  2 x  4   4; lim f  x   lim � x 3  x 2  x � 4; f  4   4
x �4
x �4
x �4
x �4 �
4
�
� lim f  x   lim f  x   f  4 

x �4

x �4

Nên hàm số đã cho liên tục tại x  4

2

Xét I  f  2sin 2 x  3 sin 2 xdx
�
0

1
Đặt 2sin 2 x  3  t � sin 2 xdx  dt
2
�
t 3
Với x  0

x �t 5
2
5
5
4
5
1
1
1 �1 3 2 � 1
341 .
f  t  dt  �

f  t  dt  �
t

t

t
d
t

�I �
 2t  4  dt 
�
�
�
2
23
2 3 �4
96
� 24
3
Câu 42. Có hai số phức z thỏa mãn z  29 và ( z  2i )( z  3) là số thực. Tổng phần ảo của hai số phức đó
bằng
A.
B. 36
C. 12
D.
.
.
3.
4.

5
5
Lời giải


Đặt z  a  bi , với a, b ��thì
(a  bi  2i )(a  2b  3)  a 2  b 2  (b  2a  6)i
2
2
và z  29 � a  b  29
Vì (z  2i)(z  3) là số thực, ta có hệ:

a  1; b  4
�
b  2a  6  0
b  2a  6  0
�
�
�
� �2
�
7
16
�2
2
�
a
;b 
a  b 2  29
�a  b  29

�
5
� 5
Câu 43. Cho hình chóp S .BCD có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SB vng góc với mặt phẳng
đáy, góc giữa SB và mặt phẳng  SCD  bằng 600 ( tham khảo hình bên). Thể tích khối chóp S .BCD bằng

A.

3
B. a 3
.
6

a 3 3.

3
C. a
.
8
Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD .

�BH  CD
� BH   SCD  .
Kẻ BH vng góc với SM tại H . Ta có �
�BH  SM
H là hình chiếu vng góc của B lên mặt phẳng  SCD  .
�  BSM
�  600 .

Góc giữa đường thẳng SB và  SCD  bằng góc BSH
0
Ta có BM  a 3, SB  BM .cot 60  a 3.

S BCD

 2a 


2

4

3

1
a
3

 a2 3 .

1
1
a3 3
Vậy thể tích khối chóp S .BCD là: V  .S BCD .SB  .a 2 3.a 
.
3
3
3

D. a

3

3

3

.


Câu 44. Chiều cao của một cái phếu hình nón là 30cm . Người ta đổ một lượng nước vào phếu sao cho chiều
cao của cột nước trong phếu là 15cm sau đó bịt kím miệng phếu rồi lật ngược lên. Tính chiều cao của cột
nước trong phếu (làm trịn đến hàng phần trăm).

A. 5,30 cm.

B. 2,31 cm.

C. 6,15 cm.
Lời giải

D. 1,31 cm.

R
là bán kính của đáy chứa cột nước
2
2
1
1 �R �

35
2
Ta có thể tích phần nón khơng chứa nước là V    R  .30   � �.15   R 2 .
3
3 �2 �
4
Khi lật ngược phểu Gọi h chiều cao của cột nước trong phểu.phần thể tích phần nón khơng chứa nước là
Gọi R là bán kính đáy của cái phểu ta có

�R  30  h  �
1
1
3
V    30  h  �
  30  h  R 2 .
�
3
� 30
� 2700
1
35
3
3
2
  30 
h  �R
 R 2  30 h  23625 h 1,306
2700
4
2

x 3 y 3 z

 , mặt phẳng
1
3
2
   : x  y  z  3  0 và điểm A  1; 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua A cắt d và song song

Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
với mặt phẳng    .

A. x  1  y  2  z  1
1
2
1
C. x  1 y  2 z  1


1
2
1

B. x  1  y  2  z  1
1
2
1
D. x  1 y  2 z  1



1
2
1
Lời giải
uuur
Gọi giao điểm của  và d là B nên ta có: B  3  t ;3  3t ; 2t  � AB   2  t ;1  3t ; 2t  1 .
Vì đường thẳng  song song với mặt phẳng    nên:
uuur uur
AB.n  0 � 2  t  1  3t  2t  1  0 � t  1 .
uuu
r
Suy ra: AB   1; 2; 1 .
uuur
x 1 y  2 z 1


Phương trình đường thẳng  đi qua A và nhận AB làm vtcp:
.
1
2
1
Câu 46. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g ( x)  f 2 ( x )  4 f ( x)  2021 là


A. 3.

B. 2.

g '( x)  2 f '( x ) f ( x)  4 f '( x)  2 f '( x)  f ( x )  2

C. 1.
Lời giải

D. 0.

�f '( x)  0 .
g '( x)  0 � �
�f ( x)  2
Từ bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) ta có:
x  1
�
�
x 1 .
+ f '( x )  0 � �
�
x0
�
+ Phương trình f ( x )  2 có 2 nghiệm kép là 1 ; 1.
Nên phương trình g '( x )  0 có 2 nghiệm bội ba x  1 ; x  1 và một nghiệm đơn x  0 .
Suy ra hàm số y  g ( x) có ba điểm cực trị.
� sin 2 x  m s inx  1 �
� sin 2 x  m s inx  1  2s inx . Có bao nhiêu giá trị
Câu 47. Cho phương trình log 3 �
� 3(2sin x  1)
�
�
�
��

0; �?
ngun của tham số m để phương trình trên có nghiệm x ��
� 2�
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Lời giải
s
inx

t
t
�
(0;1)
Đặt
� t 2  mt  1 � 2
log
� t  mt  1  2t
Ta có phương trình
3�
� 3(2t  1) �
�
�
2t  1  0
�
Điều kiện: �2
.
t  mt  1  0
�

� log 3 t 2  mt  1  t 2  mt  1  log 3  2t  1  2t  1 (1)
Xét hàm số f  t   log 3 t  t với t � 0; � có f �
 t 
� f  t  đồng biến trên  0; �
Mà  1 có dạng: f





t 2  mt  1  f  2t  1 nên: (1) � t 2  mt  1  2t  1 . Có nghiệm t � 0;1

0  t 1
�
0  t 1
�
�
Từ đó �2
2 � � 2
3t   4  m  t  0
t  mt  1   2t  1
�
�
YCBT  0 

1
 1  0 , t � 0; �
t ln 3

0  t 1

�
�
�t  0
 ��
� m4
��
t
�
3
��

.

m4
 1  4  m  7
3

m5
�
KL: �
m6
�
Câu 48. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong  C  trong hình bên. Hàm số f  x  đạt cực
trị tại hai điểm x1 , x2 thỏa f  x1   f  x2   0 . Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị  C  ; M , N , K là


giao điểm của  C  với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, S2 là diện tích tam
S1
giác NBK . Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số
bằng

S2

A. 2 6 .
3

C. 5 3 .
D. 3 3 .
6
4
Lời giải
Kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị  C  sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc
tọa độ O . (như hình dưới)
B.

6
.
2

Do f  x  là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng  O �N  .
2
2
Đặt x1   a, x2  a , với a  0 � f '  x   k  x  a  với k  0

�1
�
� f  x   k � x 3  a 2 x �� xM   a 3, xK  a 3
�3
�
Có MAKB nội tiếp đường trịn tâm O � OA  OM  a 3
3 2

3 2 �1 3
�1 3
�
�
 a  a 3 � a 2 � k 
� f  x 
x  a2 x �
Có f  x1   OA2  x12 � f  a   a 2 � k �
2
2 �
2a
2a �3
�3
�
�
0

0

3 2 �1 4 a 2 2 �
S1  �f  x  dx 
� x  x �
2a 2 �
12
2 � a
a 3


3

9 2 2
a
8

1
1
6 2
f  a  .MO  a 2.a 3 
a
2
2
2
S 3 3
Vậy 1 
.
S2
4
S 2  S AMO 

Câu 49. Xét hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2; z2  3 và z1  z2  5 . Giá trị lớn nhất của 2 z1  z2  3i
bằng
A. 10.
B. 29  3.
C. 29  3.
D. 4.
Lời giải
Đặt z1  a  bi; z 2  c  di , với a, b, c, d �� thì


�a 2  b 2  2

�2
c  d2  9
�
�
( a  c ) 2  (b  d ) 2  5
�
� ab  cd  3
2
Ta có: 2 z1  z2  4(a 2  b 2 )  (c 2  d 2 )  4ab  4cd  4.2  9  4.3  29
Áp dụng bất đẳng thức: z  z ' �z  z ' , ta có
2 z1  z2  3i �2 z1  z2  3i  29  3
x4 y 5 z 3


và hai điểm A  3;1; 2  ; B   1;3; 2  Mặt cầu
2
1
2
tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d . Khi R đạt giá trị nhỏ nhất
thì mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I là  P  : 2 x  by  cz  d  0. Tính d  b  c.
A. 0.
B. 1.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Gọi E là trung điểm của AB � E  1; 2;0  và IE  R 2  9
Câu 50. Trong không gian Oxyz Cho d :

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là    :2 x  y  2 z  0
Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên d .

Gọi M là hình chiếu vng góc của E lên d � EM  d E ;d   9
�x  2t  4
�y  t  5
�
� t  1 � M  2;6;1 � ME  3 2
Toạ độ M là nghiệm hệ �
z

2
t

3
�
�
�2 x  y  2z  0
Vì     d và IH  IE �HE �EM � R nhỏ nhất � I , H , E thẳng hàng.

9 2
4
uur 1 uuur
r �7
uuu
r uu
r
7� r
�5 1 � uu
�  18;0;18   18  1;0; 1
AB
;
IA

Vậy � EI  EH � I � ;3; �� IA  � ; 2; �� n  �
�
�
4
4�
�4 4 �
�4
 P  : 2 x  2z-2  0 � b  0; c  2; d  2 � d  b  c  0
� R  R2  9  3 2 � R 