Bài giảng Phương pháp tính ThS. Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.64 MB, 73 trang )
HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM
BỘ MƠN TỐN TIN ỨNG DỤNG
________________________________________________________________
THS NGUYỄN THỊ THÚY HẠNH
BÀI GIẢNG
PHƢƠNG PHÁP TÍNH
Hà Nội, tháng 2 – 2018
Mục lục
Chƣơng 1. Số xấp xỉ và sai số ............................................................................................................ 5
§1 Số xấp xỉ và sai số ...................................................................................................................... 5
1.1
Định nghĩa ............................................................................................................................ 5
1.2
Cách viết số xấp xỉ ................................................................................................................ 6
1.3
Sự quy tròn và sai số quy tròn .............................................................................................. 7
1.4
Các loại sai số ....................................................................................................................... 8
§2 Các qui tắc tính sai số ................................................................................................................ 9
2.1.
Cơng thức tổng quát của sai số ............................................................................................. 9
2.2.
Sai số của một tổng, hiệu...................................................................................................... 9
2.3.
Sai số của tích, thương ....................................................................................................... 10
2.4.
Bài toán ngược của sai số ................................................................................................... 11
Bài tập tự luyện chương 1............................................................................................................ 12
Chƣơng 2. Tính gần đúng nghiệm thực của phƣơng trình một ẩn...................................................... 15
§1. Đặt vấn đề ............................................................................................................................. 15
§2. Khoảng cách ly nghiệm........................................................................................................... 15
2.1.
Phương pháp giải tích......................................................................................................... 15
2.2.
Phương pháp hình học ....................................................................................................... 16
§3. Phương pháp chia đơi ............................................................................................................ 16
3.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng
bằng Phương pháp chia đơi: ...................................... 16
3.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
của PP chia đơi: ................................................... 17
§4. Phương pháp lặp ................................................................................................................... 19
4.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng bằng Phương pháp lặp: ................................................... 19
4.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng xk của PP lặp: ........................................................... 19
§5. Phương pháp dây cung .......................................................................................................... 22
5.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng bằng Phương pháp dây cung........................................... 22
5.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
của PP dây cung. ................................................. 23
§6. Phương pháp tiếp tuyến (PP Newton) .................................................................................... 25
6.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng
bằng Phương pháp tiếp tuyến. .................................. 25
6.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
của PP tiếp tuyến. ............................................... 26
Bài tập tự luyện chương 2............................................................................................................ 27
Chƣơng 3. Giải gần đúng Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính. ........................................................... 28
§1. Đặt vấn đề ............................................................................................................................. 28
Điều kiện có nghiệm ...................................................................................................................... 28
Cơng thức Crammer....................................................................................................................... 28
Các phương pháp giải .................................................................................................................... 28
§2. Phương pháp trực tiếp: PP khử Gauss .................................................................................... 28
§3. Các phương pháp lặp ............................................................................................................. 31
3.1
Phương pháp lặp đơn......................................................................................................... 31
Nội dung phương pháp:...................................................................................................... 32
Sự hội tụ của phương pháp : .............................................................................................. 32
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
Đưa HPT ĐSTT về dạng thỏa ĐK hội tụ của PP lặp đơn. ....................................................... 33
3.2.
Phương pháp lặp Dâyden (Seidel)
của PP lặp đơn .................................................... 32
(ĐỌC THÊM) ............................................................... 35
Bài tập tự luyện chương 3............................................................................................................ 37
Chƣơng 4. Đa thức nội suy và phƣơng pháp bình phƣơng bé nhất .................................................... 38
§1. Đa thức nội suy ...................................................................................................................... 38
§2. Đa thức nội suy Lagrange. ..................................................................................................... 39
2.1.
Cơng thức tìm đa thức nội suy Lagrange ............................................................................. 39
2.2.
Đánh giá sai số ................................................................................................................... 41
§3. Đa thức nội suy Newton ......................................................................................................... 41
A.
Trường hợp các nút nội suy không cách đều. ...................................................................... 41
1.
Khái niệm: Tỷ hiệu. ............................................................................................................. 41
2.
Đa thức nội suy Newton trong TH các nút nội suy không cách đều...................................... 42
B.
Trường hợp các nút nội suy cách đều. ................................................................................ 46
1.
Khái niệm: Hiệu hữu hạn .................................................................................................... 46
2.
Cơng thức tìm đa thức nội suy Newton trong TH các nút nội suy cách đều ......................... 47
§4. Phương pháp bình phương bé nhất ....................................................................................... 50
Nội dung PP bình phương bé nhất: ................................................................................................ 50
4.1.
Cơng thức thực nghiệm có dạng
. .................................................................... 50
4.2.
Dạng
................................................................................................... 50
4.3.
Dạng
..................................................................................................... 50
4.4.
Dạng
...................................................................................................... 50
Bài tập tự luyện chương 4............................................................................................................ 53
Chƣơng 5. Tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định................................................................. 56
§1. Tính gần đúng đạo hàm ......................................................................................................... 56
1.1
Đặt vấn đề .......................................................................................................................... 56
1.2
Cơng thức tính gần đúng của đạo hàm cấp một trong hai TH đặc biệt. ................................ 56
§2. Tính gần đúng tích phân xác định ........................................................................................... 57
2.1.
Đặt vấn đề .......................................................................................................................... 57
2.2.
Cơng thức hình thang và sai số ........................................................................................... 57
2.3.
Công thức Simson (Công thức Parabol) và sai số. ................................................................ 58
Bài tập tự luyện chương 5............................................................................................................ 62
Chƣơng 6. Giải gần đúng phƣơng trình vi phân thƣờng. ................................................................... 64
§1. Đặt vấn đề. ............................................................................................................................ 64
1.1
Bài tốn 1 (Bài tốn Cơsi đối với PTVP cấp 1) ...................................................................... 64
1.2
Bài toán 2 (Bài toán Cơsi đối với hệ PTVP cấp 1). ................................................................ 64
1.3
Bài tốn 3 (Bài tốn Cơsi đối với PTVP cấp n): ..................................................................... 64
§2. Các phương pháp giải Bài tốn 1. ........................................................................................... 64
2.1.
Phương pháp Ơle : ............................................................................................................. 65
Công thức Ơle................................................................................................................................ 65
Công thức Ơle cải tiến.................................................................................................................... 65
2.2.
Phương pháp Runge-Kutta (ĐỌC THÊM). ........................................................................... 65
Công thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 2 : .............................................................................. 65
Cơng thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 3 ................................................................................ 66
Cơng thức Runge-Kutta có độ chính xác cấp 4 ................................................................................ 66
2.3.
Phương pháp chuỗi Taylor : ................................................................................................ 69
§3. Phương pháp giải Bài toán 2 (Trường hợp n = 2, hệ gồm 2 PTVP cấp 1). ................................. 69
3.1.
Công thức Ơle .................................................................................................................... 69
3.2.
Công thức Ơle cải tiến ........................................................................................................ 70
§4. Phương pháp giải Bài tốn 3 (Trường hợp n = 2, PTVP cấp 2). ................................................ 71
Bài tập tự luyện chương 6............................................................................................................ 72
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Chương 1. Số xấp xỉ và sai số
§1 Số xấp xỉ và sai số
1.1 Định nghĩa
(1) Số a gọi là số xấp xỉ của số đúng A, kí hiệu
, nếu a khác A không đáng kể và đƣợc
dùng thay cho A trong tính tốn.
|
(2) Trị tuyệt đối của hiệu số |
gọi là sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a.
(3) Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a, kí hiệu , là số khơng nhỏ hơn sai số tuyệt
đối của số xấp xỉ a. (Tức là
hay
là một cận trên của Δ)
(4) Sai số tương đối của số xấp xỉ a, kí hiệu δ, đƣợc xác định là
|
| |
|
| |
(
).
(5) Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a, kí hiệu , là số không nhỏ hơn sai số tƣơng
đối của số xấp xỉ a. (Tức là
hay
là một cận trên của δ)
Các lưu ý :
|
(1) Ta có
|
. Khi đó ta viết:
(*) hay :
.
Ví dụ 1.1.1. Trọng lƣợng của một gói mì tơm đóng gói đúng tiêu chuẩn là
( ).
Cân trọng lƣợng của một gói mì đƣợc kết quả 78g. Hỏi gói mì đó có đóng gói đúng tiêu
chuẩn khơng?
(2) Sai số tuyệt đối giới hạn
khơng đơn trị, tức là
có thể nhận giá trị là số bất kì trong
tập vơ hạn các số khơng âm thỏa mãn (*). Vì vậy trong thực hành, ta thƣờng chọn
là
số dƣơng nhỏ nhất có thể chấp nhận được thỏa mãn (*).
Ví dụ 1.1.2. Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a = 3,14 thay cho số .
Giải.
|
|
. Chọn
|
Cách khác: Đánh giá
(3) Do
Ngƣợc lại,
| |
.
| |
mà
| |
mà
|
thì lấy
suy ra
| |
. Vậy biết
suy ra
Trong thực hành ta thƣờng dùng cơng thức
đó, ta viết
(
).
| |
| |
ta có thể chọn
hay
| |
| |
.
.
ta cũng có thể lấy
. Vậy biết
| |
Ví dụ 1.1.3a. Đo trọng lƣợng của
nƣớc ở
nhận đƣợc :
Hãy xác định sai số tƣơng đối giới hạn của phép đo trên.
Đáp số :
.
(Do
chƣa biết). Khi
.
.
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Page 5
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
thay cho số e. Hãy xác định sai số tƣơng đối giới hạn δa.
Ví dụ 1.1.3b. Lấy
ĐS: Có
Lấy
|
=>
. Vậy :
(4) Sai số tuyệt đối giới hạn
| |
|
.
.
và số xấp xỉ a có cùng thứ nguyên (cùng đơn vị đo).
Nhƣng sai số tƣơng đối giới hạn
khơng có thứ ngun (đơn vị đo). Sai số tƣơng đối
thƣờng đƣợc viết dƣới dạng tỉ số phần trăm.
Ví dụ 1.1.4. Trọng lƣợng của giống lợn A khi cho ăn thức ăn X dự đoán là tăng 23kg/tháng.
Thực tế tăng 20kg/tháng. Xác định sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tƣơng đối giới hạn của
trọng lƣợng lợn tăng dự đoán so với thực tế trong một tháng.
-
Sai số tuyệt đối
Nếu tính theo gam thì
Vậy sai số tuyệt đối
-
|
|
–
|
(
|
)
phụ thuộc vào đơn vị đo.
Nhưng sai số tương đối
( )
(
).
( ).
. Sai số tương đối giới hạn
| |
không phụ thuộc vào đơn vị đo.
(5) Sai số tƣơng đối giới hạn của một phép đo hoặc một kết quả tính tốn càng nhỏ thì phép
đo hay kết quả tính tốn đó càng chính xác.
Ví dụ 1.1.5. Cho hai phép đo: Đo chiều dài một cái bàn
và chiều dài một cây cầu
với sai số
có sai số
. Phép đo nào chính xác hơn?
Ý nghĩa các sai số: Biết sai số tuyệt đối giới hạn
ta xác định đƣợc khoảng giá trị của kết
quả hoặc phép đo, còn biết sai số tƣơng đối giới hạn δa thì ta biết độ chính xác của kết quả
hay phép đo.
1.2 Cách viết số xấp xỉ
Định nghĩa: Cho số thập phân a là số xấp xỉ của số đúng A, với sai số tuyệt đối giới hạn
.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Giả sử :
Hay nói cách khác, số thập phân a đƣợc biểu diễn dƣới dạng lũy thừa của cơ số 10 là :
(
trong đó:
là chữ số ở hàng
,
*
)
+. Ta có định nghĩa:
(1) Những chữ số có nghĩa của số thập phân a là những chữ số của số đó, tính từ chữ số
khác khơng đầu tiên xét từ trái sang phải.
(2) Chữ số có nghĩa αk của số thập phân a gọi là một chữ số đáng tin nếu
.
Một chữ số không đáng tin đƣợc gọi là chữ số nghi ngờ.
Nói cách khác, chữ số
là chữ số nghi ngờ của số thập phân a thì
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
.
Page 6
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Nhận xét:
(1) Bên phải của một chữ số nghi ngờ là những chữ số nghi ngờ, bên trái của một chữ số
đáng tin là những chữ số đáng tin.
(2) Khi viết số xấp xỉ nên giữ lại một hoặc hai chữ số nghi ngờ để khi tính tốn, sai số chỉ
tác động lên các chữ số nghi ngờ thơi.
Ví dụ 1.2.1. Xác định số các chữ số có nghĩa, số các chữ số đáng tin trong các số xấp xỉ sau:
(1)
.
HD: Các chữ số có nghĩa của
-
Có:
=>
Số các chữ số có nghĩa của
là
là 5 (chữ số).
=>
Chữ số 2 ở hàng phần nghìn là chữ số đáng tin.
Vậy các chữ số đáng tin của
là :
(2)
.
Đáp số: Số các chữ số đáng tin là 2 (chữ số).
.
HD: Các chữ số có nghĩa của a2 là :
ĐS: 7 (chữ số).
.
Có:
=>
=>
Vậy các chữ số đáng tin của
là:
Chữ số 8 ở hàng
là đáng tin.
Đáp số : 2 (chữ số).
Cách viết số xấp xỉ:
Cho số xấp xỉ a của số đúng A với sai số tuyệt đối giới hạn
. Có hai cách viết số xấp xỉ:
(1) Viết số xấp xỉ a kèm theo sai số tuyệt đối giới hạn :
. Cách này thƣờng
đƣợc dùng để biểu diễn kết quả tính tốn hoặc phép đo.
(2) Viết số xấp xỉ a theo quy ƣớc: mọi chữ số có nghĩa đồng thời là chữ số đáng tin.
Có nghĩa là
đơn vị của chữ số hàng cuối cùng bên phải. Cách này thƣờng đƣợc viết
trong các bảng số logarit, bảng các hàm số lượng giác…
1.3 Sự quy tròn và sai số quy trịn
Khái niệm: Khi tính tốn, nếu số a có quá nhiều chữ số, ta bỏ bớt đi một vài chữ số ở cuối và
nhận đƣợc số quy tròn . Sai số quy tròn tuyệt đối của số quy trịn , kí hiệu là
| – |. (Số quy tròn cũng là một số xấp xỉ của số đúng a).
Quy tắc làm tròn số: Sai số quy tròn tuyệt đối của số quy tròn
đơn vị của chữ số hàng
giữ lại cuối cùng bên phải.
Thực hiện như sau: Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên
bên phải một đơn vị, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên
phải.
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
thì thêm vào chữ số giữ lại ở cuối cùng
thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng bên
Page 7
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Ví dụ 1.3.1.
(1) Cho số
. Hãy quy trịn số e đến chữ số có nghĩa thứ 5, thứ
6 và thứ 12 và xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số quy tròn.
(2) Cần quy tròn √
với bao nhiêu chữ số thập phân (chữ số có nghĩa)
để sai số quy trịn tuyệt đối khơng vƣợt q
. Suy ra θa
Hướng dẫn (2): Sai số
. Vậy cần
làm tròn √ đến chữ số thập phân thứ 4 sau dấu phẩy, tức là lấy số xấp xỉ của √ là
.
Nhận xét:
(1) Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A, có sai số tuyệt đối giới hạn . Ta quy trịn số a
thành số . Khi đó, ta có | – | | – | | – |
. Do vậy, có thể
chọn sai số tuyệt đối giới hạn của số quy trịn của số đúng A là
.
(2) Ta ln có
nên một chữ số ở hàng nào đó vốn đáng tin, sau khi quy trịn có
thể lại là chữ số nghi ngờ.
Ví dụ 1.3.2. Cho
và
. Quy trịn a đến hàng thập phân thứ hai. Xác
định các chữ số đáng tin của a và số quy trịn.
Giải. Các chữ số có nghĩa của a là 4, 6, 5.
nên số thập phân a có các chữ số đáng tin là
Ta có
-
Sau khi quy tròn đến hàng thập phân thứ hai, thu đƣợc số
Sai số quy tròn tuyệt đối của
.
so với số xấp xỉ a là
Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ
sau khi quy tròn là :
|
. Do vậy chữ số 7 ở hàng
.
.
|
|
|
là chữ số nghi ngờ.
(Trong trƣờng hợp này ta khơng nên quy trịn nữa hoặc phải viết số đã quy tròn đầy đủ là
).
1.4 Nguồn gốc các loại sai số
Trong thực tế ta thƣờng gặp các sai số
(1) Sai số trong dữ liệu đầu vào : Các dữ liệu đầu vào có thể là kết quả của các phép đo
hoặc kết quả của các phép toán thực hiện trƣớc đó.
(2) Sai số rút gọn : Xuất hiện khi ta phải ngắt các q trình vơ hạn, hẳng hạn khi tính
tổng chuỗi vơ hạn cần ngắt tại số hạng nào đó.
(3) Sai số mơ hình : Xuất hiện khi phải lý tƣởng hóa trong việc xây dựng mơ hình tốn
học.
(4) Sai số làm trịn : Sai số làm tròn xuất hiện khi phải làm việc với các số vơ tỷ (Chẳng
hạn với số , số e).
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Page 8
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
§2 Các qui tắc tính sai số
2.1.
Cơng thức:
Cơng thức tổng quát của sai số
(
Cho hàm số :
) khả vi với hai biến
trong đó các biến x và y có các sai số tuyệt đối giới hạn là
Khi đó ta có sai số tuyệt đối giới hạn
|
Tổng quát: Cho hàm số khả vi
đối giới hạn là
.
|
|
|
(
∑
và
| |
và sai số tƣơng đối giới hạn
|
|
;
Cần đánh giá sai số
và d.
Vậy :
+)
2.2.
Công thức:
| |
|
có các sai số tuyệt
của hàm u là:
| |
.
.
sau đó áp dụng (**).
(
+)
+)
.
≈ 3,14.
. Lấy
Hướng dẫn: Có hai biến
của hàm u là:
), trong đó các biến
Ví dụ 2.1.1. Tính V và các sai số ΔV, δV của thể tích hình cầu
Biết
.
và sai số tƣơng đối giới hạn
Khi đó ta có sai số tuyệt đối giới hạn
(**)
và
trên một lân cận nào đó,
|
).
(
.
)
.
| |
Sai số của một tổng, hiệu
Nếu
thì
Tổng qt : Nếu
TH đặc biệt:
thì ta có
(
Nhận xét: Khi tính sai số của hiệu
nhau (có thể dẫn tới
và
)
thì
và
và
trong trƣờng hợp các biến
) thì sai số tƣơng đối
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
∑
|
|
| |
| |
∑
| |
| |
.
.
có giá gần bằng
có thể rất lớn.
Page 9
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Nếu bắt buộc phải tính thì cần lấy số bị trừ và số trừ có nhiều chữ số đáng tin để dự trữ
(Chẳng hạn khi trừ bị triệt tiêu m chữ số đầu tiên bên trái và ở kết quả cần lấy n chữ số đáng
tin thì ở số bị trừ và số trừ phải có m+n chữ số đáng tin).
Ví dụ 2.2.1. Tính hiệu sau với 2 chữ số đáng tin
Đáp số :
√
√
√ .
√
.
Cần ở kết quả 2 chữ số đáng tin nên cần lấy ở mỗi số trừ và bị trừ là 4 chữ số đáng tin. Kết
quả là :
Sai số của tích, thương
2.3.
Cơng thức:
(1)
Nếu
thì
(2)
Nếu
thì
Đặc biệt
∑
thì
(
)
;
| |
;
| |
;
.
.
| |
.
δu = δx ; Δu = |u|.δu .
thì
Ví dụ 2.3.1. Cho biết đại lƣợng E đƣợc tính theo công thức :
. Biết các đại lƣợng
đo đƣợc với các sai số tƣơng đối giới hạn là:
. Hãy tính sai số tƣơng đối giới hạn của E.
thì E và sai số tuyệt đối giới hạn của E là
Nếu biết :
bao nhiêu?
Giải. Có
.
Có :
.
(
). Hãy xác định giá trị của u tại
Ví dụ 2.3.2. Cho hàm số
và sai số tuyệt đối giới hạn , sai số tƣơng đối giới hạn . Biết mọi chữ số có nghĩa
của
đều là các chữ số đáng tin.
Giải.
- Tính
|
:
Có
Lại có:
|
|
|
|
|
|
.
|
.
Có
Vậy
|
|
|
|
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
-
Tính u:
-
(
Tính δu :
)
| |
Page 10
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
2.4.
2018
Bài toán ngược của sai số
Bài toán: Giả sử
(
). Cần lấy
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
bằng bao nhiêu để Δy
cho trƣớc.
Page 11
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Bài tập tự luyện chương 1.
Bài 1.1. Cho
. Biết :
a) Tính gần đúng
.
b) Tìm sai số tuyệt đối giới hạn
và sai số tƣơng đối giới hạn
của các đại
lƣợng trên.
c) Xác định số các chữ số có nghĩa và đáng tin của các giá trị gần đúng tính đƣợc ở ý a).
Bài 1.2. Biết
tƣơng đối giới hạn là bao nhiêu ?
. Nếu lấy
xấp xỉ thay cho
thì sai số
Bài 1.3.
a) Phải lấy bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy thập phân của số để có sai số tƣơng đối giới
hạn là 0.0001. Biết
.
b) Cần làm tròn √
đến chữ số thập phân thứ mấy để có sai số
khơng vƣợt q 0.01%.
Bài 1.4. Cho hình trụ với bán kính đáy
, chiều cao
. Biết các chữ số
của
đều là các chữ số đáng tin. Hãy tìm sai số tuyệt đối giới hạn
và sai số tƣơng đối
(
).
giới hạn của diện tích tồn phần của hình trụ đó. Lấy
. Biết
Bài 1.5. Hãy xác định sai số tƣơng đối giới hạn
và sai số tuyệt đối giới hạn
số đáng tin của cạnh a của hình vng, biết diện tích hình vng
.
, số các chữ
Bài 1.6. Hình cầu có bán kính
. Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn của bán kính
để đảm bảo có sai số tuyệt đối giới hạn của thể tích V là
trong trƣờng hợp lấy
và
. Biết
.
Bài 1.7. Một hình hộp chữ nhật có các cạnh
tuyệt đối giới hạn của các cạnh để có sai số thể tích khơng vƣợt q
Bài 1.8. Cho hình chóp nón có bán kính đáy là
. Hãy tính sai số
. Biết
.
, chiều cao là
.
a) Biết mọi chữ số của
đều có nghĩa, hãy tính sai số tƣơng đối giới hạn
và sai số
tuyệt đối giới hạn
của thể tích V của hình chóp nón.
b) Nếu lấy sai số tƣơng đối giới hạn của thể tích là
thì sai số tƣơng đối giới hạn của
bán kính đáy và chiều cao có thể lấy là bao nhiêu?
Biết
. Lấy giá trị gần đúng của
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
là 3.1416.
Page 12
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
2018
Page 13
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
2018
Page 14
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
Chương 2. Tính gần đúng nghiệm thực của phương trình một ẩn
§1. Đặt vấn đề
Bài tốn: Tìm một hoặc tất cả các nghiệm thực của phƣơng trình (PT): ( )
( )
đó ( ) là một hàm số nào đó. Chẳng hạn ( )
( ), trong
) gọi là một khoảng cách ly nghiệm của PT(1) nếu trong khoảng
Định nghĩa: Khoảng (
đó chỉ chứa một và chỉ một nghiệm thực của phƣơng trình.
Phương pháp giải: Việc tìm một nghiệm thực gần đúng của PT(1) đƣợc thực hiện nhƣ sau:
-
).
Bước 1: Tìm một khoảng cách ly nghiệm (
) chứa một nghiệm đúng của PT, ta tìm một dãy
Bước 2: Từ khoảng cách ly (
̅̅̅̅̅̅̅̅ +, với
*
(
), hội tụ đến nghiệm đúng , bằng một phƣơng pháp giải
gần đúng. Khi đó, có thể coi
là các nghiệm gần đúng của PT đã cho. Để đạt độ chính
xác theo u cầu, ta có thể dừng với
nào đó và lấy
là nghiệm gần đúng cần tìm.
§2. Khoảng cách ly nghiệm
Dấu hiệu nhận biết: Xét PT: ( )
{ ( )
( )
(Điều kiện đủ)
thì trong khoảng (
Suy ra: {
( )
Vậy khoảng (
2.1.
( )
( ) ( )
,
) có chứa duy nhất một nghiệm thực
Ví dụ. Chứng tỏ rằng : (
Giải. Đặt ( )
( ). Nếu hàm số ( ) thỏa mãn các điều kiện sau:
-
của PT(1).
) là một khoảng cách ly nghiệm của PT:
( ) ( )
(
. Có ( )
,
)
( )
-
(
( )
) là một khoảng cách ly nghiệm của PT đã cho.
)
.
( )
.
(
)
Phương pháp giải tích.
Nội dung PP: Xác định dấu của hàm số ( ) tại các điểm mút của miền xác định của hàm số
( ) và tại các điểm trung gian
trong đó,
khơng điểm của
có thể là khơng điểm - điểm mà tại đó ( )
, hoặc các điểm gần các
( ), hoặc các điểm chia của q trình chia đơi miền xác định.
Sau đó, kiểm tra 3 điều kiện của dấu hiệu nhận biết khoảng cách ly ở trên.
Ví dụ 2.1.1. Tìm một khoảng cách ly nghiệm của PT :
(1)
(2)
( )
( )
.
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Đáp số : (
Đáp số : (
).
)
Page 15
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
2.2.
Phương pháp hình học
( ) trên giấy kẻ ơ vng. Khi đó hồnh độ của các
Nội dung PP: Vẽ đồ thị của hàm số
giao điểm của đồ thị với trục Ox chính là các nghiệm của PT(1). Từ đồ thị, dễ dàng tìm đƣợc
các khoảng cách ly nghiệm.
( )
( ) sao cho đồ thị của hai hàm
( )
Lưu ý: Ta có thể biến đổi
PT(1)
( ) dễ vẽ. Khi đó hồnh độ các giao điểm của hai đồ thị chính là các nghiệm thực của
PT(1). Từ đồ thị, dễ dàng tìm đƣợc các khoảng cách ly nghiệm.
Ví dụ 2.2.1. Dùng đồ thị tìm một khoảng cách ly nghiệm của các PT trong Ví dụ 2.1.1.
. Vẽ đồ thị hai hàm
HD: PT
trên cùng hệ trục tọa độ để suy ra kết quả.
Chú ý: Để tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm của PT ( )
ta cần chỉ rõ số nghiệm
của PT, sau đó tìm lần lƣợt tất cả các khoảng cách ly nghiệm theo các phƣơng pháp trên.
Ví dụ 2.2.2. Tìm các khoảng cách ly nghiệm của các PT sau :
(1)
(2)
(3)
Đáp số : (
Đáp số :
Đáp số :
.
.
.
(
(
§3. Phương pháp chia đôi
) (
)
)(
) (
) (
)
)
Nội dung Phương pháp: Giả sử ( ) là một khoảng cách ly nghiệm của phƣơng trình
( )
) đƣợc lấy
. Nghiệm đúng của PT ( )
trong khoảng cách ly nghiệm (
xấp xỉ bằng điểm giữa của khoảng cách ly.
Khơng làm mất tính tổng qt, bằng cách đổi dấu hàm ( ), luôn giả sử ( )
3.1.
-
Bước 1: Đặt
Nếu ( )
Nếu ( )
Nếu ( )
-
Đặt
Thuật toán tìm nghiệm gần đúng
thì
( ).
bằng Phương pháp chia đơi:
. Tính ( ).
là nghiệm đúng của PT (1).
, tức là ( ) ( )
, tức là ( ) ( )
, thì khoảng cách ly mới là (
, thì khoảng cách ly mới là (
) tức thay
), tức thay
cho .
cho .
) là một khoảng cách ly của PT(1) ở bƣớc thứ k (
)
Bước 2 (Lặp): Giả sử (
) đƣợc xác định nhƣ sau:
(với
), thì khoảng cách ly mới (
( ) . Tính (
- Thuật tốn dừng tại bƣớc
). Ta có : (
nếu
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
)
{
(
(
)
)
đạt độ chính xác cho phép.
( ) (
( ) (
)
)
.
Page 16
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
3.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
là nghiệm gần đúng thay cho
Nếu lấy giá trị
đánh giá nhƣ sau :
|
|
|
của PP chia đơi:
thì sai số của nghiệm gần đúng
|
đƣợc
Lấy :
.
.
(Nhận xét : PP chia đơi tính tốn đơn giản nhưng tốc độ hội tụ chậm
Ví dụ 3.2.1: Dùng PP chia đơi, tìm một nghiệm gần đúng của PT:
).
chính xác
biết khoảng cách ly nghiệm là (
Giải. Đặt
( )
Công thức nghiệm gần đúng
Sai số của nghiệm
(
)
(
của PP chia đôi là :
trong đó : {
)
(
theo PP chia đơi là :
{
(Dừng E
k
( )
( )
. Vậy cần tính đến
{
)[
như sau:
(
)
) ( )
(
(
( )
)
)
(
) )
(
( )
là
) ( )
.
thì
tức x10 để đạt độ chính xác
(Trong bảng kết quả, khơng cần tính sai số Δxk . Dừng khi
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
( ) ( )
( ) ( )
, E lưu
Đáp số : Nghiệm gần đúng của PT với độ chính xác
Cách khác : Để đạt độ chính xác
.
)
B2 (Lặp ) :
) . Ta có KQ sau :
)
.
SDMT FX-500MS : Biến nhớ A lưu ak, B lưu bk, X lưu
B1 (Khởi tạo) : {
với độ
)
)
(
(
)
.
).
Page 17
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
(
)
Ví dụ 3.2.2. Biết PT :
có một khoảng cách ly nghiệm là (
Sử dụng PP chia đơi tìm nghiệm gần đúng trong khoảng trên với độ chính xác
tính đến mấy bƣớc lặp? Tìm nghiệm đó?
Giải : ĐS: -0,73.
Đặt :
-
(
PT đã cho
( )
Công thức nghiệm
(
)
(
Sai số của nghiệm
-
Để đạt độ chính xác
{
(
)
theo PP chia đơi là :
(
{
(
thì
(
)
( ) ( )
( ) ( )
)
)
.
.
(
Vậy cần tính đến nghiệm gần đúng
).
, E lưu
SDMT FX-500MS : Biến nhớ A lưu ak, B lưu bk, X lưu
B1 (Khởi tạo): {
.
của PP chia đôi là :
trong đó
-
)
)
).
thì cần
B2 (Lặp ):
)
) ( )
{ )[
(Dừng sau 5 bƣớc lặp)
(
k
Vậy nghiệm gần đúng đạt độ chính xác
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
như sau:
là
)
.
Page 18
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
§4. Phương pháp lặp
Điều kiện hội tụ: Giả sử (
Nếu
PT(1)
( )
(1)
thì
( )
+) Dãy số *
+) Và :
)
( ).
).
) với mọi
(
).
(
).
với mọi
(
( )
φ(x) thỏa mãn 3 điều kiện:
mà
( ) cùng liên tục trong khoảng (
(2) ( ) (
(3) | ( )|
4.1.
) là khoảng cách ly nghiệm của PT:
+ sẽ hội tụ, với
(
) tùy ý
là nghiệm đúng của PT(1).
với
Thuật toán tìm nghiệm gần đúng bằng Phương pháp lặp:
) là một khoảng cách ly nghiệm của PT(1). Biến đổi PT(1) về dạng
Bước 1: Giả sử (
( ) sao cho ( ) thỏa mãn 3 điều kiện của dấu hiệu hội tụ.
Bước 2 (Lặp):
4.2.
Cơng thức nghiệm gần đúng
Lại có
|
|
( ) nên
|
Thay vào (*) ta có:
Cách 2:
)
)
.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng xk của PP lặp:
Cách 1: Có
Suy ra
(
(
{
là :
|
|
|
|
| (
)
|
|
|
( )|
| ( ).
|
|
Đánh giá tƣơng tự nhƣ (*) có
|
Suy ra
Thay vào (**) ta có
|
|
|
|
( )| |
|
|
|
|
(Nhận xét: PP lặp hội tụ càng nhanh khi q càng bé )
Chú ý : Trong thực tế, ta dừng phép lặp khi |
( )
|
|
|
|
| với
(
|
|
(với k đủ lớn).
|
|
|
(
|.
)
, biết khoảng cách ly nghiệm là (
Giải. Biến đổi PT về dạng :
với ( )
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
(với k đủ lớn).
sai số cho phép.
Ví dụ 4.2.1. Dùng PP lặp tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác
(1)
).
,
của các PT sau :
). Lấy
( )
.
.
Page 19
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
{
Kiểm tra thấy
|
( )
( )
( )
( )|
(
(
)
(
)
)
Vậy ( ) thỏa mãn 3 ĐK hội tụ của PP lặp. Cơng thức nghiệm tính xk theo PP lặp là:
Để đạt độ chính xác
.
| –
thì
SD máy tính FX – 500MS:
B1 (Khởi tạo):
( )
B2 (Lặp) :
.
|
|.
)
) (
|
Đáp số : Nghiệm gần đúng của PT đã cho với độ chính xác
biết khoảng cách ly nghiệm là (
Giải. Biến đổi PT thành :
-
,
Kiểm tra điều kiện hội tụ (thỏa mãn). Có : |
|
|
=>
Cơng thức nghiệm :
(Thực tế dừng khi |
SDMT FX-500MS.
k
(
)
{
( )
với
( )|
/
(
).
|
)
(2)
/—
Vậy cần tính đến nghiệm
(
(
Ta có KQ sau :
(
{
)
là
|
), với
|
.
.
.
=>
.
. Dừng khi
|
.
, tức k = 22).
Chọn đơn vị đo góc Radian, FIX-5. Bảng kết quả :
k
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
(
)
k
(
)
Page 20
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
ĐS :
Nghiệm gần đúng đạt độ chính xác
(3)
√
Giải. Biến đổi
là :
biết khoảng cách ly nghiệm là (
( )
với
√
), lấy
( )
√
(
.
.
)√
Kiểm tra điều kiện hội tụ (thỏa mãn). FIX-5. Bảng kết quả :
-
(
)
Ví dụ 4.2.2. Cho PT:
. Chọn
( )
. Chứng tỏ
( ) thỏa mãn điều kiện hội tụ của phƣơng pháp lặp đơn trong khoảng cách ly (
rằng
Để đạt độ chính xác
Giải. +) ( )
cần tính ít nhất bao nhiêu bƣớc lặp. Tìm nghiệm gần đúng đó.
#)
(
#)
Với
#)
Với
( ),
+) Cơng thức nghiệm
Sai số của nghiệm
)
là :
(
( )
( ) liên tục trên .
.
.
/ thì
của PP lặp đơn : {
|
+) Để đạt độ chính xác 10-5 thì :
Vậy cần tính ít nhất
bƣớc lặp.
+) Bảng kết quả tính tốn: FIX-6
|
|
). Ta có ( ) thỏa mãn điều kiện hội tụ:
/.
( )
( )
/ thì
|
).
(
|
)
hay |
( )|
(
)
|
k
k
Vậy nghiệm của PT đạt độ chính xác 10-5 là 1,29846
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Page 21
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
§5. Phương pháp dây cung
( ) trong khoảng (
) bằng dây cung AB
Phương pháp : Thay cung cong AB có PT
) đƣợc lấy xấp xỉ bằng
và nghiệm đúng của PT ( )
trong khoảng cách ly nghiệm (
hoành độ x1 của giao điểm của đƣờng thẳng AB với trục hoành Ox.
Nhắc lại :
(1) PT đƣờng thẳng AB là :
( )
( )
hoặc là :
( )
(1),
chọn đi qua
(2) ,
chọn đi qua
( )
( )
( )
( )/
.
( )/.
.
(2) Khơng làm mất tính tổng quát, bằng cách đổi dấu hàm ( ), ta luôn giả sử ( )
( ) , hay trong khoảng cách ly nghiệm (
) thì ( )
.
5.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng bằng Phương pháp dây cung.
TH1:
( )
( )
( )
Tức là
( )
.
Bước 1 : Gọi x1 là hoành độ giao điểm của dây cung AB với Ox.
( )(
Từ PT(1), cho
Trong TH này, nghiệm đúng
( )
(
).
Chọn khoảng cách ly nghiệm mới là (
Bước 2 (Lặp): Thay
(
cho , ta có
Cơng thức nghiệm gần đúng, với
( )
( )(
Lưu ý: Nếu dùng PT(2) thì
( )
( )
)
( )
)
( )
.
).
)(
( )
)
(
là: {
.
)
(
là: {
, nghiệm
(
( )(
Trong TH này, nghiệm đúng
(
).
)
Chọn khoảng cách ly nghiệm mới là (
Bước 2 (Lặp): Thay
(
cho , ta có :
Cơng thức nghiệm gần đúng với
( )
( )(
Lưu ý: Nếu dùng PT(1) thì
Chú ý: Cơng thức nghiệm gần đúng
với
(
(
nếu
)(
)
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
)
( )
)(
)
( )
)
( )
(
( )
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
)
.
)
.
)
.
( )
.
)
.
(
là: {
)(
)
(
( )
( )(
)
(
hoặc
;
)
)
(
trong hai trƣờng hợp có thể viết lại là :
)
( )
.
là: {
, nghiệm
( )(
)
( )
( )
( )
( )
TH2: ( )
Tức là
.
Bước 1: Từ PT dạng (2) của đƣờng thẳng AB, hoành độ giao
điểm của dây cung AB với trục hoành là :
)(
nếu
( )(
(
)
( )
( )
)
( )
Page 22
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
5.2.
Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng
Cách 1: Giả sử nghiệm đúng
). Khi đó, ta có sai số: |
(
Cách 2: Giả sử trên khoảng cách ly nghiệm (
| ( )|
thỏa mãn
|
Khi đó ta có sai số:
của PT(1) cùng thuộc khoảng (
và nghiệm gần đúng
| ( )| với
và
của PP dây cung.
), đạo hàm
.
|
|
|
| (
– |
)|
)
.
( ) liên tục, không đổi dấu và
khi k đủ lớn.
(Nhận xét : tốc độ hội tụ của PP dây cung chậm – là hội tụ tuyến tính)
Chú ý : Trong thực tế, ta dừng phép lặp khi |
|
sai số cho phép.
Ví dụ 5.2.1. Dùng PP dây cung, tìm nghiệm gần đúng của các PT sau với độ chính xác
biết khoảng cách ly nghiệm là (
(1)
Đặt:
Giải.
Có:
( )
( )
(
Áp dụng TH2,
SD FX-500MS :
)
( )
và
Có
(
(
)
( )
)
( )
).
(
( )
Biến nhớ A lưu a, B lưu b, C lưu ( ), X lưu
{
Bước 1 (Khởi tạo) :
( )
Bước 2 (Lặp) :
Ta có KQ sau :
k
{
( )
| |
(
)(
)
( )
)
.
trên (
). Sai số
, D lưu (
)
| (
), E lưu
)|
.
(Dừng khi E< ε)
(
(
(
:
)
)
(
)|
| (
)
Đáp số :
Chú ý: Trong TH không cần tính sai số, có thể sử dụng tính Ví dụ 5.2.1 ý (1) với một lệnh
lặp nhƣ sau :
Bước 1 (Khởi tạo) : {
( )
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
Bước 2 (Lặp) :
( )
( )
(
)
Page 23
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
, biết hai khoảng cách ly nghiệm (
(2)
TH1 : Khoảng cách ly nghiệm là (
( )
Đặt
( )
Ta có
| ( )|
( )
Có
(
( )
( )
)
trên (
).
(
)(
(
TH2 : Khoảng cách ly nghiệm là (
( )
Ta có
Có
( )
( )
| ( )|
( )
( )
( )
)
( )
( )
trên (
).
)
)
)
(
{
(
).
.
(
ÁD TH2,
).
( )
(
(
với
k
Đặt
).
) và (
(
| (
)(
)
)|
( )
| (
)
)
)
)|
k
(
(
(
với
)
(
Áp dụng TH1,
{
)(
Bước 2 (Lặp : {
)
( )
)
(
Đáp số : PT có hai nghiệm gần đúng với độ chính xác
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
)|
| (
.
(
)(
| (
SD máy tính FX-500MS : Biến A lưu a, B lưu b, C lưu f(b), D lưu f(xk), X lưu xk
Bước 1 (Khởi tạo): { ( )
.
)
là
( )
(
(
| (
)
)|
)
)|
( )
)
.
| |)
| (
)|
và
Page 24
2018
Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Bộ mơn Tốn tin ứng dụng
§6. Phương pháp tiếp tuyến (PP Newton)
( ) trong khoảng (
) bằng tiếp tuyến của đƣờng
Phương pháp: Thay cung cong
cong ấy tại điểm A hoặc tại điểm B, và nghiệm đúng của PT ( )
trong khoảng cách ly
) đƣợc lấy xấp xỉ bằng hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến ấy với trục
nghiệm (
hoành Ox.
Lưu ý:
(1) PT tiếp tuyến tại
PT tiếp tuyến tại
(
(
( )) là :
( )
( )) là :
( )(
( )
( )(
).
).
(2) Không làm mất tính tổng quát, bằng cách đổi dấu hàm ( ), ta ln giả sử trong
) thì ( )
( ).
khoảng cách ly nghiệm (
6.1.
Thuật tốn tìm nghiệm gần đúng
TH1:
Bước 1: Gọi
( )
( )
bằng Phương pháp tiếp tuyến.
( )
Tức là
( )
là giao điểm của tiếp tuyến tại B với Ox, ta có :
( )
Từ PT tiếp tuyến tại B, cho
Trong TH này, N0 đúng
(
Chọn khoảng cách ly nghiệm mới là
Bước 2 (Lặp): Thay
bởi mút
TH2:
( )
( )
( )
( )
).
).
(
, ta có
Cơng thức nghiệm gần đúng với
.
(
(
( )
.
)
{
là :
( )
Tức là
)
.
( )
(
.
.
)
(
)
Bước 1: Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại A với trục hoành là
( )
Từ PT tiếp tuyến tại A, cho
Trong TH này, N0 đúng
).
nghiệm mới là (
Bước 2 (Lặp): Thay
(
bởi mút
Chú ý: Công thức nghiệm gần đúng
nếu
( )
( )
.
). Chọn khoảng cách ly
(
, ta có :
Cơng thức nghiệm gần đúng với
với
( )
( )
(
( )
là :
)
)
.
{
(
(
.
)
)
của PP tiếp tuyến trong hai TH có thể viết lại là :
Phương pháp tính – Nguyễn Thị Thúy Hạnh
(
;
(
)
)
nếu
( )
( )
Page 25
