Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V

Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.
1. Áp dụng đa thức nội suy.
-
Hàm f(x) được cho dưới
dạng bảng;
-
Biểu thức giải tích của hàm
quá phức tạp;
-
Thay f(x) bằng đa thức nội
suy P
n
(x).
-
Coi P’
n
(x)là giá trị gần đúng
của f’(x).
);()( xP
dx
d
xf
dx
d
n
≅
( 1 )
a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp:

f(x) = P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ . . . ( 2 )
f’(x) = P’
n
(x) = a
1
+ 2a
2
x + 3a
3
x
2
+ . . .
( 3 )
f”(x) = P”
n
(x) = 2a

2
+ 6a
3
x + . . .
( 4 )

b. Đa thức nội suy Niutơn.
P
n
(x) = P
n
(t) với
;
0
h
xx
t
−
=
;
1
hdx
dt
=
);(
1
)()()()('
'
tP
dt

d
hdx
dt
tP
dt
d
tP
dx
d
xPxf
nnnn
⋅====
;
!
)1)...(1(
!2
)1(
)()(
2
o
n
ooonn
y
n
nttt
y
tt
ytytPxP ∆
+−−
+⋅⋅⋅+∆

−
+∆+==
⋅⋅⋅+∆
−+−
+
+∆
+−
+∆
−
+∆+=
0
4
234
3
23
2
!4
6116
!3
23
!2
)1(
)(
y
tttt
y
ttt
y
tt
ytytP

oooon




⋅⋅⋅+∆
−+−
+
+∆
+−
+∆
−
+∆=⋅=
0
4
23
0
3
2
0
2
0
12
31192
6
263
2
121
)(
1

)('
y
ttt
y
tt
y
t
y
h
tP
dt
d
h
xf
n
Với công thức nội suy tiến:








⋅⋅⋅+∆
+−
+∆−+∆=⋅=
0
4
2

0
3
0
2
2
12
11186
)1(
1)('1
)(" y
tt
yty
h
dt
tdP
h
xf

Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:








⋅⋅⋅+∆
++
+∆

+
+∆=
−−−
3
3
2
2
2
1
6
263
2
121
)('
nnn
y
tt
y
t
y
h
xf
Chú ý: Tính đạo hàm theo đa
thức nội suy thường chứa sai
số lớn.
(xem hình vẽ).
Nếu sai số của hàm là
r(x) = f(x) – P
n
(x)

sai số của đạo hàm
ε(x) = f’(x) – P’
n
(x) = r’(x).
dx
xdf )(
dx
xdP
n
)(
f(x)
P
n
(x)

2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm.
;
)(
lim)('
0
h
xf
xf
h
∆
=
→
( 7a )
;
)()()(

h
xfhxf
h
xf −+
=
∆
( 7b )
h
xf )(∆
-
Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá
trị giảm dần của h.
- Coi
khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số
sau dấu phẩy;
)('
)(
xf
h
xf
≈
∆
-
Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận
có giá trị đủ nhỏ.
h
xf
xfhE
)(
)(')(

∆
−=
-
Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai
lần ước lượng liên tiếp
ΔD(h) = D(h) – D(h
trước
); ( 8 )
;
)(
)(
h
xf
hD
∆
=
trong đó:

- Việc tính sẽ dừng lại khi
d
D
−
<∆ 10
Các bước tính:
+ Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần
có (số con số đáng tin sau dấu phẩy).
+ Tính
;
)(
)(

h
xf
hD
∆
=
+ Tính ΔD(h).
+ Lặp lại cho đến khi .
d
D
−
<∆ 10
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0.
- Đã biết:
;1)0cos()(sin)('
0
===
=x
x
dx
d
xf
- Tính theo ph/pháp gần đúng:
+ Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4.
+ Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy.
;
)0sin()0sin()()()(
)(
h
h
h

xfhxf
h
xf
hD
−+
=
−+
=
∆
=
+ Tính
+ Tính ΔD(h) và E(h).