Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TỐN

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MƠN TỐN CAO CẤP A1
GV biên soạn: TRẦN THIỆN KHẢI

Trà Vinh, tháng 02-2013

Lƣu hành nội bộ

Phụ lục 5


Nội dung

MỤC LỤC

Trang

Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ
3
Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ............................................................................... 3
Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ..................................................................... 8
Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ................................................................. 15
Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ................................................. 21
Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC .......................................................................... 23
Chƣơng 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
26
Bài 1: ĐẠO HÀM .......................................................................................... 26

Bài 2:VI PHÂN .............................................................................................. 31
Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ....................... 36
Chƣơng 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ
46
Bài 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ................................................................... 46
Bài 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................... 61
Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ............................ 67
Bài 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG .................................................................. 75
Chƣơng 4: LÝ THUYẾT CHUỖI
82
Bài 1: LÝ THUYẾT CHUỖI ......................................................................... 82
Bài 2: CHUỖI SỐ DƢƠNG .......................................................................... 84
Bài 3: CHUỖI ĐAN DẤU ............................................................................. 86
Bài 4: CHUỖI LŨY THỪA........................................................................... 87
Chƣơng 5: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG ................................. 91
Bài 1: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn ................................................................ 91
Bài 2: LÝ THUYẾT SƠ CẤP VỀ MA TRẬN .............................................. 93
Bài 3: ĐỊNH THỨC ..................................................................................... 101
Bài 4: HẠNG CỦA MA TRẬN .................................................................. 112
Bài 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT .. 116
Bài 6: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT .................. 131
TÀI LIỆU THAM KHẢO
136

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

2


Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ

Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ
 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể:
- Nắm vững các kiến thức cơ bản về tập các số và các phép tính về số phức.
- Hiểu kỹ các kiến thức đó, làm thành thạo với các phép tốn về số phức, biết sử dụng
dạng lƣợng giác của số phức.
1.1. Tập các số
Tập số tự nhiên: N = {1 ; 2; 3; ….}
Tập số nguyên: Z =
Tập số hữu tỷ:

0;  1;  2;...


p
q



Q =  x sao cho x  ;p,q  Z,q  0





Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết đƣợc dƣới dạng một số thập phân hữu hạn hay số
thập phân vơ hạn tuần hồn.
Ví dụ 1:

1
 0,25 ;

4

3
 0,75.
4

7
7
 1,1666... ta có thể viết
 1,1(6)
6
6
15
15
 1,363636... hay
 1, (36)
11
11

Ngƣợc lại, cho một số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn thì nó sẽ biểu
diễn một số hữu tỷ nào đó.
 Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an sẽ biểu thị số hữu tỷ:

p
a
a
a
 a 0  1  22    nn
q
10 10

10

 Số thập phân vơ hạn tuần hồn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ:

p
a1 a 2
an
10mn  b1 b 2
b 
 a 0   2    n  m   2    mm 
q
10 10
10 10  1  10 10
10 

Nhận xét:
Một số thập phân hữu hạn cũng có thể đƣợc xem là số thập phân vơ hạn tuần
hồn, chẳng hạn:
hồn.

1
 0,25000... hay
4

1
 0,25(0)
4

Nhƣ vậy có sự đồng nhất giữa tập số hữu tỷ và tập các số thập phân vô hạn tuần

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

3


Định nghĩa 1: Một số biểu diễn đƣợc dƣới dạng một số thập phân vơ hạn khơng tuần
hồn đƣợc gọi là số vơ tỷ. Tập các số vơ tỷ kí hiệu là: I

2  1,414213562...;

Ví dụ 2:

  3,141592653... ;

Tập số thực R = Q  I
Đường thẳng thực (trục số): Trên đƣờng thẳng  , lấy điểm O làm gốc và chọn
 
vectơ đơn vị OE  e . Số x là số thực khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một điểm M thuộc


đƣờng thẳng  sao cho OE  xe . Khi đó điểm M đƣợc gọi là điểm biểu diễn hình học
của số thực x trên đƣờng thẳng  và đƣờng thẳng  đƣợc gọi là đƣờng thẳng thực hay
trục số.
O

0

1

x

E

M

Hình 1.1
1.2. Số phức
 Số phức là số có dạng: z = a + ib, trong đó a, b  R, i là đơn vị ảo với i2 = –1
 Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo. C là tập hợp tất cả
các số phức.
 Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a;b) trên mặt phẳng
Oxy.
 Số phức z  a  ib đựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số
phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox.
y
Phép toán:

b

Cho 2 số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2,

M(a; b)
z = a + ib

khi đó ta có:


z1  z 2   a1  a 2   i  b1  b 2 

O

z1.z 2   a1a 2  b1b 2   i  a1b 2  a 2 b1 
z1 a1a 2  b1b 2
b1a 2  a1b 2


i
;
z2
a 22  b 22
a 22  b 22

z

Re z1  Re z 2
z1  z 2  
Im z1  Im z 2

2

 0

r
a

x
z  a  ib

-b

Hình 1.2

Chú ý: Ta thực hiện các phép toán theo quy tắc chung thuận tiện hơn.
Ví dụ 3: (1 – 3i) + (– 2 + 7i) = – 1 + 4i
(1 – i)(2 + i) = 2 + i – 2i – i2 = 3 – i

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

4


1
4i
4i


4  i  4  i  4  i  17
Dạng lượng giác của số phức:



Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi r  OM  a 2  b2 là mođun
của số phức z, ký hiệu: z .


Góc   Ox, OM đƣợc xác định sai khác nhau 2k; k  Z gọi là argument,





Ký hiệu: Argz. Ta có tg 

b
.
a

Từ ý nghĩa hình học, ta có a  r cos  ; b  rsin   z  r  cos   isin  .
Ví dụ 4: Biểu diễn số phức z = 1 + i dƣới dạng lƣơng giác.
Ta có: r  12  12  2 , tg  1   





 z  2  cos  isin  .
4
4
4


Cho các số phức:

z  r  cos   isin  ; z1  r1  cos 1  isin 1 ; z 2  r2  cos 2  isin 2  .
z1.z 2  r1.z 2 cos  1  2   isin  1  2  

 z1.z 2  z1 z 2 ; Arg  z1.z 2   Argz1  Argz 2  2k

z1 r1
 cos  1  2   isin  1  2  

z 2 r2 
z
z 
z1
 1 ; Arg  1   Argz1  Argz 2  2k
z2
z2
 z2 
z n  r n  cos n  isin n


 z n  z ; Arg  z n   nArgz  2k
n

n

z  u  un  z

Biểu diễn u dƣới dạng u    cos   isin   .
Ta có: u n  z  n  cosn  isin n   r  cos   isin 

  n r
n  r



  k2
; k  0; n  1
n    k2  


n

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

5


  k2
  k2 

 u  n r  cos
 isin
 ; k  0; n  1
n
n


Ví dụ 5:

Tính a/. A  1  i  .
20




Giải : a/ Ta có: A  2  cos

b/. u  4 1  i




 isin   A  210  cos5  isin5   210 .
4
4

b/

z2 

4



 k2
 k2  8 
  k8
  k8 

2  cos 4
 isin 4
 isin
  2  cos
 ; k  0; 3
4
4 
16
16 


 u  4 1  i có 4 giá trị:

9
9 

u1  8 2  cos  isin 
16
16 





u 0  8 2  cos  isin 
16
16 


17
17 

 isin
u 2  8 2  cos

16
16 


25
25 


 isin
u 3  8 2  cos

16
16 


1.3. Khoảng – Lân cận
Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực (hay các điểm) nằm giữa hai số thực (hay
hai điểm) nào đó.
Phân loại khoảng:
Khoảng hữu hạn:
Khoảng đóng: a,b  x  R

a  x  b

Khoảng mở:  a,b   x  R

a  x  b

Khoảng nửa đóng, nửa mở:  a,b  x  R

a  x  b

a,b   x  R

a  x  b

Khoảng vô hạn:

 ,a   x  R

 b,     x  R

x  a ;  ,a   x  R

x  b ;  b,     x  R

x  a

x  b

Định nghĩa 3: Giả sử a là một số thực, khoảng mở (a -  , a +  ) (với  > 0) đƣợc gọi là
lân cận bán kính  của a.
(
Hình 1.3

a –

)
a

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

a +

6


 Bài tập cũng cố:

1). Thực hiện các phép toán sau:
a) (2  i)(3  i)  (3  2i)(4  i); b) (3  5i)(2  i)  (1  2i)(5  3i); c)
(5  i)(3  5i)
d)
;
2i

e) (2  i)  (2  i) ;
3

3

(5  i)(7  6i)
;
3i

(1  i ) 5
;
f)
(1  i ) 3

2). Tính các biểu thức:

(a) (1  i)1000 ; (b) (1  i 3)150 ;
(d ) (1 

(c) ( 3  i)30 ;

3 i 24
1  i 3 12

)
 ) ; (e) (2  2  i)12 ; ( f ) (
2 2
1 i

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

7


Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể nắm vững một cách
có hệ thống về hàm một biến số, giới hạn của dãy số.
2.1. Hàm số
2.1.1. Định nghĩa 1
Cho X  R, một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá
trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y.
Kí hiệu y = f(x)
 x đƣợc gọi là biến độc lập, y đƣợc gọi là biến phụ thuộc.
 X đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df .
 Tập Y = y  R \ y  f (x), x  Df  đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số, kí
hiệu Rf
Ví dụ 1: Khi ni một con bị, quan sát q trình tăng trọng của bị ta có mối liên hệ
giữa thời gian ni t (ngày) và trọng lƣợng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t).
Một hàm số thƣờng đƣợc cho dƣới dạng cơng thức nhƣ các ví dụ sau:
y=x
y = 2x + 3
y = sinx – 2x
2.1.2. Định nghĩa 2
Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M(x, f(x)) trong hệ tọa độ

Descartes, G = M(x,f (x), x  Df 
Ví dụ 1’: 1) Đồ thị hàm số y = x2

2) Đồ thị hàm số y = x

3/2

Hình 1.4

Hình 1.5

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

8


2.1.3. Các tính chất
a. Hàm số đơn điệu
Định nghĩa 3:
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là tăng (hay tăng nghiêm ngặt) trên tập E  Df , nếu
với mọi x1, x2  E , x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2) (hay f(x1) < f(x2)).
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là giảm (hay giảm nghiêm ngặt) trên tập E  Df , nếu
với mọi x1, x2  E , x1 < x2 thì f(x1)  f(x2) (hay f(x1) > f(x2)).
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là hàm số đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên
E  Df nếu nó tăng hoặc giảm (hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt) trên E.
Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi nhƣ E = Df
Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-  , 0] và tăng nghiêm ngặt trên
[0, +  ).
Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +  ) và x1 < x2. Khi đó ta có:
f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0  f(x1) < f(x2)

Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +  ).
Chứng minh tƣơng tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-  , 0] .
b. Hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Định nghĩa 4: Tập X đƣợc gọi là tập đối xứng qua gốc tọa độ O nếu với bất kỳ x  X
thì –x  X. Ngƣời ta thƣờng gọi tắt là tập đối xứng.
Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có:
 Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = f(x).
 Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = – f(x).
Ví dụ 3:
a. Hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn trên R.
b. Hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ trên R.
Thật vậy, với mọi x  R , ta có:
f(– x) = (– x)2 = x2 = f(x)
g(– x) = (– x)3 = – x3 = – f(x)
Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng
qua gốc tọa độ O.
c. Hàm số bị chặn.
Định nghĩa 6:
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn dƣới trên tập X  Df nếu tồn tại số a  R sao cho

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

9


f(x)  a, x X.
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn trên trên tập X  Df nếu tồn tại số b  R sao cho
f(x)  b, x X.
 Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn trên tập X  Df nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dƣới, tức là tồn tại hai số a, b  R sao cho a  f(x)  b, x  X.

Chú ý: Đồ thị của hàm số bị chặn sẽ nằm giữa hai đƣờng thẳng y = a và y = b.
Ví dụ 4: Hàm số f(x) =

4
bị chặn trên tập X= [1, +  ).
x

Thật vậy, với mọi x  X ta ln có: f(x) =
Vậy hàm số f(x) =

4
4
> 0 và f(x) =
<4
x
x

4
bị chặn trên tập X= [1, +  ).
x

d. Hàm số tuần hoàn.
Định nghĩa 7: Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số t  0 sao
cho với mọi x  Df ta ln có x  t  Df và f(x + t) = f(x).
Số dƣơng T nhỏ nhất (nếu có) trong các số t nói trên đƣợc gọi là chu kỳ của hàm
số tuần hồn.
Ví dụ 5:
a. Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2  .
b. Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hoàn với chu kỳ T =

.

c. Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T =

2
a

Thật vậy, xét hàm số f(x) = sin(ax + b).
Giả tồn tại số t  0 sao cho f( x + t) = f(x) x  R
 sin[a(x + t) + b] = sin(ax + b) x  R
 sin[a(x + t) + b] – sin(ax + b) = 0 x  R
 2cos(ax +
 sin

at
at
+ b)sin = 0 x  R
2
2

at
at
2k
=0 
= k  , k  Z\{0}  t =
, k  Z\{0}
a
2
2

Số T dƣơng nhỏ nhất ứng với k = 1 (hoặc k = –1), do đó ta có T =

2
là chu kỳ
a

của hàm số f(x) = sin(ax + b).

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

10


Các hàm số còn lại chứng minh tƣơng tự (coi nhƣ bài tập)
e. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc.
Định nghĩa 8: Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả Rf  Dg, khi đó hàm số hợp của f(x) và
g(x) là hàm số h(x) đƣợc xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x  Df .
Kí hiệu h = g  f.
Ví dụ 6: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 2x. Hãy xác định hàm số g  f và f  g.
g  f = g[f(x)] = g(x2) =

2x

2

f  g = f[g(x)] = f(2x) = (2x)2 = 22x
Định nghĩa 9: Cho hàm số y = f(x) thõa: với mọi x1, x2  Df và x1  x2, ta ln có
f(x1)  f(x2). Khi đó hàm số ngƣợc của hàm số f, kí hiệu f –1 đƣợc xác đinh bởi: x= f -1(y),
với y = f(x).
Ví dụ 7: Hàm số y = x3 có hàm ngƣợc là

y3 x.

Chú ý:
Nếu g là hàm ngƣợc của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df .
Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng qua đƣờng thẳng y = x.
Điều kiện để hàm số y = f(x) có hàm ngƣợc là hàm f phải tồn tại trong miền xác
định của nó.
f. Hàm số sơ cấp.
Định nghĩa 10: Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số:
 Hàm số luỹ thừa: y = x  (   R).
 Hàm số mũ: y = ax (0 < a  1)
 Hàm số logarithm: y = logax (0 < a  1)
 Các hàm số lƣợng giác: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx
 Các hàm lƣợng giác ngƣợc: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

i. y = arcsinx:
Hàm số y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên [
x=arcsiny.
Hàm ngƣợc của y = sinx (
của hàm y = sinx (

 
; ] nên nó có hàm ngƣợc:
2 2



 x  ) là y = arcsinx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị
2

2



 x  ) qua đƣờng thẳng y = x.
2
2

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

11


ii. y = arccosx:
Hàm số y = cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên [0; ] nên nó có hàm ngƣợc x = arccosy.
Hàm ngƣợc của hàm y = cosx (0  x  ) là y = arccosx, đồ thị của nó đối xứng với đồ
thị của hàm số y = cosx (0  x  ) qua đƣờng thẳng y = x.

iii. y = arctgx:
Hàm số y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên (
Hàm ngƣợc của hàm y = tgx (
thị của hàm y = tgx (

 
; ) nên nó có hàm ngƣợc: x = arctgy.
2 2



 x  ) là y = arctgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ

2
2



 x  ) qua đƣờng thẳng y = x.
2
2

iv. y = arccotgx:
Hàm số y = cotgx giảm nghiêm ngặt trên (0,) nên nó có hàm ngƣợc x = arccotgy.
Hàm ngƣợc của hàm y = cotgx (0 < x < ) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với
đồ thị của y = cotgx (0 < x < ) qua đƣờng thẳng y = x.
Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số đƣợc tạo thành bởi một số hữu hạn các
phép tốn đại số thơng thƣờng (cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy
hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.



Ví dụ 8: Các hàm số sơ cấp:

y  cos 4 x  sin( x  )  3
4
x
4
y 2 x 2
y  5 x 2  lg 3x  1

2.2. Giới hạn của dãy số
2.2.1. Các định nghĩa

Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên tập N = {1, 2, 3…., n}, khi đó các giá trị của
hàm f ứng với n = 1, 2, 3, … lập thành một dãy số: f(1), f(2), f(3),…, f(n).
Nếu ta đặt xn = f(n), n = 1, 2, 3,... thì dãy số nói trên đƣợc viết thành:
x1,x2,x3,…,xn hay viết gọn {xn}. Mỗi x1, x2, x3, … đƣợc gọi là số hạng của dãy số {xn},
xn gọi là số hạng tổng quát.
Ví dụ 1:
a. {xn}, với xn = a n: a, a, a….
b. {xn}, với xn = (–1)n : –1, 1, –1, 1, … , (– 1)n
Định nghĩa 2: Số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu  > 0 cho trƣớc (bé tùy
ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho:  n > N thì xn  a   .

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

12


Ký hiệu: lim x n  a hay xn  a khi n   .
n
Định nghĩa 3:
- Nếu dãy {xn} có giới hạn là một số hữu hạn a thì ta nói dãy số {xn} hội tụ hay
hội tụ về a.
- Nếu dãy {xn} khơng hội tụ thì ta nói dãy số{xn} phân kì.

n
1
n

1
n

Ví dụ 2: Chứng minh rằng lim x n  lim
n
Với mọi

n
1
1
  0, ta xét x n  1 
1 
 ε  n  1
n 1
n 1
ε

1
ε

Vậy   0 (bé tùy ý), N  [ -1]sao cho n  N 

n
1  ε
n 1

n
1
n

1
n

Vậy lim xn  lim
n

Định nghĩa 4: Dãy số {xn} đƣợc gọi là dãy số dần tới  khi n  nếu M > 0, lớn
tùy ý, Nsao cho n  N thì x n  M .
Ký hiệu: lim xn   hay xn  khi n  .
n
Ví dụ 3: Chứng minh rằng lim x n  lim 5n  
n
n

Xét x

 5n  5n  M  n  log M
5
n

M  0 , lớn tùy ý: N  [log M ] : n  N  5n > M .
5
Vậy: lim 5n  
n

2.2.2. Các tính chất
1. Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
2. Nếu dãy số {xn} có lim x n  a và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dƣơng N sao
n
cho  n  N  x n  p (hay xn < q).
3. Nếu dãy {xn} có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

13


x n  M, n .
4. Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thõa xn  yn  zn n.
Khi đó, nếu lim xn  lim zn  a thì lim yn  a .
n
n
n
5. Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có:
Dãy số {xn  yn} cũng hội tụ và lim (x n  y n )  lim x n  lim y n .
n
n
n
Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và lim x .y  lim xn . lim yn .
n n n
n
n

Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và lim x .y  lim xn . lim yn .
n n n
n
n

Dãy số {k.xn} cũng hội tụ và lim kx  k lim x n .
n
n
n

x 
lim x n
x


Dãy số  n  cũng hội tụ và lim n  n
( lim y n  0 )
n y
lim
y
y
n n n n
 n 

 Bài tập cũng cố:
1) Chứng minh rằng khi n → ∞ dãy:
3, 2 +

1
1
1
1
, 2 + , 2 + , … 2 + , có giới hạn bằng 2.
2
3
4
n

2) Chứng minh rằng lim x n = 0 với:
n 

a) xn =

(1) n 1
.
n

b) xn =

2n
.
n 1
3

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

c) xn = (-1)n.0,999n.

14


Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể:
Nắm đƣợc một cách có hệ thống về giới hạn hàm số để ứng dụng về sau.
Làm đƣợc các bài tập về giới hạn bằng cách tính trực tiếp hoặc sử dụng giới hạn
cơ bản.
3.1. Các định nghĩa
Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số đƣợc xác định trong lân cận điểm
x0, không nhất thiết phải xác định tại x0.
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {x n} trong lân

cận của x0 thõa: xn  x0 n và lim xn  x thì lim f(xn )  L .
0

n

n

Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x0.
xx

0

Định nghĩa 2: Số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với mọi ε  0
cho trƣớc (bé tùy ý) tồn tại số δ dƣơng sao cho với mọi x thỏa:

0  x  x  δ ta có f(x)  L  ε .
0
Định nghĩa 3: Số L đƣợc gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với
mọi ε  0 cho trƣớc (bé tùy ý) tồn tại số δ dƣơng sao cho với mọi x thỏa
x  x  x  δ ( x    x  x ) ta có f(x)  L  ε .

0

0

0

0

Kí hiệu: lim f(x)  L

( lim f(x)  L ).


xx
0

xx


0

Định nghĩa 4: Số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x   nếu với mọi ε  0
(bé tùy ý) tồn tại số M  0 (lớn tùy ý) sao cho với mọi x thõa x  M ta có

f(x)  L  ε .
Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   .
x

Mệnh đề:

limf
(x)  L  limf (x)  limf (x)  L
x a
x a 

x a 

Tƣơng tự, ta có các định nghĩa giới hạn vơ tận
Ví dụ 1:

a) Chứng minh: lim sin x  0 .
x0

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

15


Vì x  0 ta có thể chỉ rút: x 

π
 sinx  x  ε  ε  0, bé tùy ý:
2

δ  ε  0 : 0  x  0  x  δ  sinx  0  sinx  x  ε
Vậy lim sin x  0
x0

x2  9
 6.
x
3

x3

b) Chứng minh: lim

Khi x  3  x – 3  0 ta có:

x2  9

x 3

 6  (x  3)  6  x  3  ε

ε  0, δ  ε : 0  x  3  δ 

x2  9
x 3

6  ε.

x2  9
Vậy: lim
6
x  3 x 3
c) Chứng minh: lim

1

x x

Xét:

 0.

1
1 1
1
 0    ε  x  , với mọi  > 0 (bé tùy ý),
x x

x

1
1
M   0 : x  M   0  ε .
x
ε
Vậy lim

1

x x

0

Qua các ví dụ trên. Ta thấy việc tìm giới hạn theo định nghĩa khá phức tạp.
Thông thƣờng ta sẽ sử dụng các quy tắc tìm giới hạn và dựa trên các giới hạn đã biết để
tính giới hạn.
3.2. Các tính chất
Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các tính
chất sau:
1. Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
2. Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x  x0 và L > a (hay L < a) thì trong một
lân cận nào đó của x0 (khơng kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x) < a).
3. Nếu f(x)  g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

16

lim f(x)  a , lim g(x)  b thì b  a.

xx

xx

0

0

4. Nếu f(x) = C (với C là hằng số) thì lim f(x)  lim f(x)  C .
xx

x

0

5. Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0 thì
lim f(x)  f(x ) .
xx

0

0

6. Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số đƣợc xác định trong một lân cận nào
đó của điểm x0, khơng nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và
h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x)  f(x)  h(x) và

lim g(x)  lim h(x)  L thì lim f(x)  L .
xx

0

xx

xx

0

0

7. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dƣơng lớn tùy ý, khi đó nếu hàm f(x) là
hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x  + 
8. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối, khi đó
nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dƣới thì f(x) có giới hạn khi x  -  .

f ( x)  L  lim f(x)  L = lim f(x)  L .
9. xlim
x
0

xx


0

xx


0

10. Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi xx0 thì các hàm [f(x)  g(x)],
f(x).g(x),

f(x)
cũng có giới hạn và ta có:
g(x)

lim [f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x).
lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).

lim

f(x) limf(x)

; lim g ( x)  0
g(x) limg(x) x  x
0

11. Xét hàm hợp f(u) và u = u(x), khi đó ta có:

u ( x)  u 0 , f(u) xác định trong một lân cận của u0 và lim f (u )  L thì
Nếu xlim
x
u u
0

0

lim f [u ( x)]  L .

x x0

Ví dụ 2: Tính: lim

2 x (x2  3x  5)

x2

Đặt f (u )  u ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta có

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

17


lim u( x)  lim 2 x ( x 2  3x  5)  20

x2

x2

lim f (u)  lim

u  20

Vậy lim

x2

u  20

u  20  2 5

2 x (x2  3x  5)  2 5

3.3. Các giới hạn cơ bản

lim

x0

sin x
 1.
x

ln(1  x)
 1.
x0
x
lim

ax  1
ex 1 .
 ln a . Đặt biệt lim
lim
1
x0

x0
x
x
(1  x)  1
 1.
x0
x
lim

1
1
lim (1  x) x  e hay lim (1  ) x  e .
x
x0
x
Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thƣờng gặp các dạng vô định nhƣ :

0 

, ,    , 1 . sau đây là một vài ví dụ minh họa.
0 
Ví du 3:
a). Tính: lim

x0

Có: lim

x0

1  x  x2  1 .
x

( 1  x  x2  1)( 1  x  x2  1)
1  x  x2  1
 lim
x0
x
x( 1  x  x2  1)
1 x
1
x2  x

 lim
x0
x0
1  x  x2  1 2
x( 1  x  x2  1)

 lim

x 2  7x  6
.
x1 2
x  3x  2

b). Tính: lim

Tài liệu giảng dạy mơn Toán cao cấp A1

18


x2  7x  6
x6
(x  1)(x  6)
5
 lim
 lim
x1 2
x1 (x  1)(x  2) x1 x  2
x  3x  2

Có: lim

tgx
.
x

c). Tính: lim
x0

tgx
sin x
sin x
1
 lim
 lim
. lim
 1.1  1

x0 x. cos x
x 0
x
x x0 cos x

Có: lim
x 0

d). Tính: lim
x 0

Có: lim
x 0

1  cos x
.
x2

1  cos x
 lim
x 0
x2
e). Tính: lim

x

Có: lim

x

x
x
sin
2 ) 2 . 1  1.
2  lim (
/2
x 0
x
2
x2
2

2 sin 2

x x
= lim
x  1 x

x x .
x 1

1
x
 1.
1
1
x

1

f). Tính: lim ( x  x  x ) .
x

Có: lim ( x  x  x ) = lim
x

x

x
x x  x

1
1
 .
1
2
1
1
x

= lim

x

1

g). Tính: lim (1  sin x) 2 x .

x0
1

1

Có: lim (1  sin x) 2 x  lim [(1  sin x) sin x ]
x0
x0

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

sin x
2x

1

 e2  e .

19


 Bài tập cũng cố:
1). Tìm các giới hạn:
x2

x2  2
a) lim
.
x 2 x 2  1

x
 x 1 

(n  1)(n  2)(n  3)
lim 
lim

b) lim
c)
d)
x  2 x  1
x 2 2  x
n 
3n3



 n  1  2n  .
e) lim
2

n 

3

2

2
3
n 1 
 1
 2  2  ...  2  .


g) lim
2
n  n
n
n
n 


(n  1)!
n  ( n  1)! n!

f) lim

n6  2

1
1 1
  ...  n
2
2 4
h) lim
n 
1 .
1 1
1    ...  n
3
3 9
1

4 x2  x  1

i) lim 3
.
x  x  7 x  5

j) lim( x 2  2 x  x 2  2 x )
x

2). Tìm các giới hạn:

x 3  3x 2  2 x
.
a) xlim
2
x2  x  6


b) lim
x 1

9  2x  5
.
d) lim
3
x 8
x 2

1  x 1
e) lim
.
x 0 3 1  x  1

3 
 1

3 .
1 x 1 x 

3). Tìm các giới hạn:
a). lim

 x  2x  2
2

x 

x  a  xa

c) lim
x a

x2  a2

1  x 1
f) lim
x 0
x
n

g) lim
x 1

m

x 1

n

x 1







.

3
x 3  3x 2  x 2  2 x .
b) xlim


x2  x  x .

4). Tìm các giới hạn:
cos(a  x)  cos(a  x)
.
x 0
x

b) lim
x 0

sin 5 x  sin 3x
x 0
sin x

e) lim
x 0

a) lim

c) lim

g) lim
x 0

2 arcsin x
.
3x

2  1  cos x
.
x2

ln(cos x )
x2

h) lim (
x 0

f)

cot gx  cot ga
.
x a
xa

lim

1
 cot gx )
sin x

5). Tìm các giới hạn:
1

x

 x2  2x 1 
 .

a) lim
x   x 2  4 x  2 



(cos x)
b) lim
x 0

1

 1  tgx  sin x
lim
 .
d) x0 
 1  sin x 

x2

 x  2


e) xlim
 x  3



Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

.

c)

2

lim (1  x 2 ) cot g x .
x 0

3x  4

20


Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN
 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể:
Áp dụng đƣợc khái niệm vơ cùng bé, vơ cùng lớn để tính giới hạn của hàm số.
4.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm f(x) đƣợc gọi là vô cùng bé (hay vô cùng lớn) khi x  x0 nếu

limf
(x)  0 ( hay lim f (x)   ) , ở đây x0 có thể hữu hạn hoặc vơ hạn.
x x
x x
0

0

Ví dụ 1:

a) Khi x  0 thì sinx là VCB vì lim sin x  0 .
x 0

b) Khi x   thì

c) Khi x  0 thì

1
1
là VCB vì lim  0 .

x 
x
x

1
1
  .
là VCL vì lim
x 0
x
x

Nhận xét:
 Nếu hàm f(x) là một VCB khi

x  x0

x  x 0 . Nếu f(x) là một VCL khi x  x 0

thì

và khác 0 thì

1
là một VCL khi
f (x)

1
là một VCB khi x  x 0 .
f (x )

 Một hằng số có giá trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng khơng đƣợc coi là hàm VCB,
một hằng số dù có giá trị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không
phải là VCL.
Định nghĩa 2: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi
(VCL) so sánh đƣợc nếu tồn tại giới hạn

lim
x x0

x  x 0 . Ta nói chúng là các VCB

f (x)
 c , khi đó:
g(x)

i. Nếu c  0, c   thì ta nói rằng f(x) và g(x) là những VCB(VCL) cùng cấp.
g(x).

ii. Nếu c = 0 thì ta nói rằng f(x) một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so với

iii. Nếu tồn tại r > 0 sao cho f(x) cùng cấp với [g(x)]r thì ta nói rằng f(x) là VCB
(VCL) cấp r đối với g(x).
Ví dụ 2: Khi x  0 thì 1 – cos x và x2 là hai VCB cùng cấp với nhau.

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

21

Vì lim
x 0

1  cos x
 lim
x 0
x2

x
x
sin
2  lim( 2 ) 2 . 1  1 .
2
x 0
x
x
2 2
2

2.sin 2

 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi
thời f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số

x  x 0 , đồng

f (x)
bằng giới hạn của
g(x)

tỉ số giữa hai VCB có cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số.
Ví du 3: lim
x 0

x  sin2 x  tg3x
x 1
 lim 
3
7
x 0
3x  4x  5x
3x 3

Định nghĩa 3: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi
tƣơng đƣơng khi

x  x 0 nếu lim
x x
0

x  x 0 . Ta bảo chúng là các VCB

f (x)
 1 . Kí hiệu: f(x)  g(x).
g(x)

Ví dụ 4: Khi x  0 thì sinx  x ; ex – 1  x; ln(1 + x)  x.
Chú ý: Nếu trong q trình nào đó: 1(x)  2(x) cịn 1(x)  2(x) thì trong quá trình
ấy: lim

1 (x)
 (x)
 lim 2
.
1 (x)
2 (x)

Ví dụ 5:

1) lim

sin 5x
5x 5
 lim

x 0
sin 3x
3x 3

2) lim

2x 2
ln(1  2x)
 lim 
3x
x 0
3x 3
e 1

x 0

x 0

4.2. Các tính chất
1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x  x0 ).
2) Tích của một VCB với một đại lƣơng bị chặn là một VCB (khi x x0).
3) limf (x)  L (hữu hạn)  f(x) – L = (x) là VCB khi x x0
x x 0

 Bài tập cũng cố:

3x  sin 2 x
.
Tìm các giới hạn sau: a). lim
x 0 sin 2 x  x 2

1  cos 2 x  tg 2 x
b) lim
.
x 0
x sin x

ln(1  3x sin x)
1  2x 1
lim
.
d)
.
c) lim
2

x 0
x 0
tgx
tg 3x

esin 2 x  esin x
e) lim
.
x 0
x

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

22


Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC
 Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể:
Khảo sát đƣợc tính liên tục và tính gián đoạn của hàm số.
5.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x)
đƣợc gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x)  f (x 0 ) .
x x 0

Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x)
đƣợc gọi là liên tục tại x0 nếu lim f = 0.
x  0

Với  x = x – x0 gọi là số gia của đối số x.
 f = f(x) – f(x0) = f(x0+  x) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x) ứng với  x tại x0.

Định nghĩa 3: Hàm f(x) đƣợc gọi là liên tục trái (phải) tại điểm x0 nếu:
 Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải) điểm x0.


lim f (x)  f (x 0 ) ( lim f (x)  f (x 0 ) ).
x x

x x 0

0



Định nghĩa 4
- Hàm f(x) đƣợc gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x
thuộc khoảng (a; b).
- Hàm f(x) đƣợc gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b) và
liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b.
Định nghĩa 5: Hàm số f(x) đƣợc gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó khơng liên tục tại x0 và
x0 đƣợc gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x).
Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:
+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi
x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn 
= lim f (x)  lim f (x) đƣợc gọi là bƣớc nhảy của f(x) tại x0.
x x 0

x x 0

Đặc biệt: Nếu lim f (x)  lim f (x) đƣợc gọi là điểm gián đoạn bỏ đƣợc.

x x 0

x x 0

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián
đoạn loại hai.

 x 2 khi x  1
tại x = 1.
Ví dụ 1: Xét sự liên tục trái, phải của hàm số f (x)  
3x
1
khi
x
1




Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

23


*

limf (x)  lim x 2  1  f (1)  f (x) liên tục phải tại x = 1 .

*

limf (x)  lim3x  1  4  f (1)  f (x) không liên tục trái tại x = 1.

x 1

x 1

x 1

x 1

Chú ý: Điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái
và liên tục phải tại x0.
5.2. Tính liên tục của hàm số sơ cấp
x0 .

- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và ở trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại
- Mọi hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

Ví dụ 2:

a) f(x) = xn ( x N ) liên tục tại x.
b) f (x) 

1
liên tục tại x  1.
x 1

c) f (x)  x2  1 liên tục tại mọi x  1  x  1  x  1 .
5.3. Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm.
1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu

(f1(x)  f2(x)); tích f1(x).f2(x); thƣơng
tại điểm x0.

f1 (x)
(f2(x)  0) cũng là những hàm số liên tục
f 2 (x)

2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x 0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì
hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0.
Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đƣờng cong liền
khơng bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b)).
Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a; b]:
i. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó bị chặn trên [a; b].
ii. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
iii. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phƣơng trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm thuộc [a ; b].

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

24


 Bài tập cũng cố:

 sin x
,x 1

1). Cho hàm số: f(x) =  x  1
. Chứng tỏ hàm f liên tục trên R.

  , x  1
2). Tìm các tham số để các hàm số sau liên tục  x  R.

e x , x  0
a) f(x) = 
a  x , x  0

2

x , x  2
b) f(x) = 
2

a  x , x  2

x  a , x  3
1  ax , x  3

c) f(x) = 

3). Ứng dụng sự liên tục để chứng minh phƣơng trình f(x) = 0 Có một nghiệm trong
khoảng (a, b)
a. Phƣơng trình x3 – 15x +1 = 0 có nghiệm thuộc [– 4;4]
b. Phƣơng trình

a3
a1
a2



 0 với a1, a2, a3>0, k1 < k2 < k3 có 2
x  k1 x  k 2 x  k 3

nghiệm thuộc (k1 ; k2), (k2 ; k3)

Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1

25