Tài liệu giảng dạy môn Vi tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TỐN

Phụ lục 5

TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
MƠN VI TÍCH PHÂN
GV biên soạn: Nguyễn Văn Tiên

Trà vinh, tháng 2 năm 2013
Lƣu hành nội bộ


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Chƣơng 1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến ............................................................... 1
1.1. Hàm số ............................................................................................................................ 1
1.2. Giới hạn của dãy số ........................................................................................................ 3
1.3. Giới hạn của hàm số ....................................................................................................... 5
1.4. Hàm số liên tục ............................................................................................................. 11
1.5. Đạo hàm ........................................................................................................................ 13
1.6. Vi phân ......................................................................................................................... 16
1.7. Đạo hàm và vi phân cấp cao ......................................................................................... 17
1.8. Một số định lý cơ bản về hàm khả vi............................................................................ 18
1.9. Quy tắc De L/ hopital .................................................................................................... 20
1.10. Công thức Taylor ........................................................................................................ 21
Bài tập củng cố chương 1 .................................................................................................... 23

Chƣơng 2. Tích phân của hàm một biến.............................................................................. 27
2.1. Tích phân bất định ........................................................................................................ 27
2.2. Tích phân xác định ....................................................................................................... 35
2.3. Tích phân suy rộng ....................................................................................................... 40
Bài tập củng cố chương 2 .................................................................................................... 44
Chƣơng 3. Lý thuyết chuỗi .................................................................................................... 47
3.1. Chuỗi số ........................................................................................................................ 47
3.2. Chuỗi lũy thừa .............................................................................................................. 54
Bài tập củng cố chương 3 .................................................................................................... 58
Chƣơng 4. Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến ......................................................... 60
4.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................................... 60
4.2. Đạo hàm và vi phân ...................................................................................................... 67
4.3. Cực trị và GTLN, GTNN của hàm số........................................................................... 75
Bài tập củng cố chương 4 .................................................................................................... 84
Chƣơng 5. Phương trình vi phân ............................................................................................. 88
5.1. Tổng quan về phương trình vi phân ............................................................................. 88
5.2. Phương trình vi phân cấp 1 ........................................................................................... 90
5.3. Phương trình vi phân cấp 2 ........................................................................................... 97
Bài tập củng cố chương 5 .................................................................................................. 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 114

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân


Chƣơng 1
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
------ Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể:
- Tìm giới hạn, xét tính liên tục của hàm số.
- Tính đạo hàm, vi phân của hàm.
1.1. Hàm số

1.1.1. Khái niệm hàm số
Cho D   . Ánh xạ f : D   được gọi là một hàm số xác định trên D
Tập D gọi là miền xác định của f.
T   f ( x) x  D gọi là miền giá trị của f.
G   x, f ( x)  x  D gọi là đồ thị của hàm số.

Ví dụ: Hàm số
f : 
x  y  f  x   x2  1

Tập xác định D   , tập giá trị T  1;   .
1.1.2. Tính chất
Cho các hàm số y=f(x) , y=g(x) và y=F(x).
a/ f  g khi và chỉ khi f, g có cùng miền xác định D và x  D : f(x)=g(x) .
b/ f>g khi và chỉ khi f, g có cùng miền xác định D và x  D : f(x)  g(x) .
c/ F=f+g  x  D là miền xác định của F thì F(x)=f(x)+g(x) .
d/ Hiệu, tích, thương của f, g được định nghĩa tương tự.
e/ Hàm số y=f(x) gọi là tăng hay đồng biến  x1,x 2  D:x1 f/ Hàm số y=f(x) gọi là giảm hay nghịch biến  x1,x 2  D:x1 <x 2  f(x1 )>f(x 2 )
g/ Hàm số y=f(x) gọi là bị chặn (hay giới nội) trong D nếu k>0: f(x) h/ Hàm số y=f(x) gọi là hàm số chẳn trên miền đối xứng (a; a) nếu x  (a; a) :
f(-x)=f(x) .

i/ Hàm số y=f(x) gọi là hàm số lẻ trên miền đối xứng (a; a) nếu x  (a; a) :
f(-x)=-f(x) .

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

1

j/ Hàm số y=f(x) có tập xác định D   , hàm số f gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số
l  0 sao cho nếu x  D thì x  l  D và f(x+l)=f(x) , số dương bé nhất trong các số l trên

gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn y=f(x) .
Ví dụ: Hàm số y=sinx, y=cosx tuần hồn với chu kỳ 2 . Hàm số y=tanx, y=cotx tuần
hoàn với chu kỳ  .
1.1.3. Hàm số hợp.
1.1.3.1. Khái niệm
Cho hàm số: f : X  Y và g : Y  Z . Hàm số h : X  Z gọi là hàm số hợp của f , g ký
hiệu: h  f  g xác định bởi  f  g  x   f  g  x  
1.1.3.1. Ví dụ 1
Cho f ( x)  x2  1, g ( x)  sin 2 x thì

 f  g  ( x)  f ( g ( x))  ( g ( x))2  1  sin 2 2x 1 .
 g  f  ( x)  g ( f ( x))  sin 2( f ( x))  sin 2( x2  1)  sin  2x 2  1 .
1.1.4. Hàm số ngƣợc
Cho hàm số f : X  Y , nếu f là một song ánh thì f 1 : Y  X là hàm số ngược của f .
Ví dụ: Hàm số y  2 x  2 , hàm số ngược của nó là x 

y2
x2
( hoặc y 
).
2
2

1.1.5. Một số hàm số sơ cấp cơ bản
 Hàm số y  x ,  R , miền xác định của nó phụ thuộc vào  .
- Nếu   N thì D  R .

- Nếu   Z  thì D  R \ 0 .
- Nếu   Q  thì D  R .
- Nếu   Q  thì D  R  \ 0 .
 Hàm số y  a x , a  0, a  1 , xác định x  R  \ 0, hàm số tăng khi a  1 , giảm khi
0  a  1.

 Hàm số y  log a x, a  0, a  1 , là hàm số ngược của y  a x xác định khi x  0 , hàm số
tăng khi a  1 , giảm khi 0  a  1 .
 Hàm số lượng giác:
- y  sin x, y  cos x miền xác định là R .

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

2


- y  tan x, xác định khi x  (2k  1)


2

,k Z .

- y  cot x, xác định khi x  k , k  Z .
 Hàm số lượng giác:
- y  arcsin x là hàm số ngược của y  sin x .
- y  arccos x là hàm số ngược của y  cos x .
- y  arctan x là hàm số ngược của y  tan x .
- y  arc cot x là hàm số ngược của y  cot x .
 Hàm số hyperbol

e x  e x
- shx 
(sin hyperbol)
2

- chx 

e x  e x
(cosin hyperbol)
2

- thx 

shx
(tan hyperbol)
chx

- cothx 

chx
(cotan hyperbol)
shx

Ta có các cơng thức:

ch2 x  sh2 x  1

sh2x  2shx.chx

ch2x  ch2 x  sh2 x

sh  x  y   shx.chy  chx.shy

ch  x  y   chx.chy  shx.shy

sh  x  y   shx.chy  chx.shy

ch  x  y   chx.chy  shx.shy ;…
1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số
1.2.1. Khái niệm
 Định nghĩa 1. Hàm số u : N *  R ( N * là tập các số nguyên dương). Những giá trị của
hàm số ứng với n  1,2,3,..., n,... gọi là một dãy số.
Đặt u1  u(1), u2  u(2),..., un  u(n),... , dãy số được viết dưới dạng

un 

hoặc

u1 , u2 , u3 ,..., un ,... ,

Các số ui gọi là các số hạng của dãy, un gọi là số hạng tổng quát của dãy.

1 2
n
 n 
 Ví dụ: Dãy un   
,...
 là dãy số : , ,...,
2 3
n 1

 n  1

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

3


 Định nghĩa 2. Số a được gọi là giới hạn của dãy số un  khi n   , ký hiệu

lim un  a hay un  a khi n   , nếu   0, N    0 : n  N thì un  a   .

n 

Dãy số có giới hạn thì gọi là dãy số hội tụ, ngược lại gọi là dãy phân kỳ.
n
 1 . Thật vậy,
n  n  1

Ví dụ: Chứng minh rằng lim

  0 bé tùy ý, ta có thể chọn một số rất bé cụ thể nào đó, chẳng hạn  

Muốn cho un  a   

1
.
104

1
1

1
n
1  4 
 4  n  104  1 . Thì ta phải chọn
10
n 1
n  1 10

N  104  1 , lúc này ta sẽ có un 1   .

 Định nghĩa 3. Dãy un  dần dến vô cùng khi n tiến đến vô cùng nếu với M  0 lớn
tùy ý, có số nguyên dương N sao cho với mọi n  N , ta ln có un  M . Ký hiệu:
lim un   .

n 

 Ví dụ: Chứng minh rằng

lim n   . Thật vậy: nếu chọn M  105 , muốn cho

n 

n  105  n  1010 thì ta chọn N  1010 . Lúc này n  1010 

n M.

 Định nghĩa 4. Dãy un  gọi là vô cùng lớn nếu lim un   ; dãy un  gọi là vô cùng bé
n 

1

nếu lim un  0 . Lưu ý rằng nếu un  là vô cùng lớn thì   là vơ cùng bé và ngược lại.
n 
 un 
1.2.2. Các định lý về giới hạn của dãy
1.2.2.1. Các tính chất
- Nếu dãy un  có giới hạn là a và a  p  a  p  thì tồn tại N sao cho với mọi
n  N  un  p (un  p) .

- Nếu dãy un  có giới hạn là a và un  p (un  p), n thì a  p (a  p).
- Nếu dãy un  có giới hạn là a thì a là duy nhất.
- Nếu dãy un  có giới hạn thì nó bị chặn, tức là k  0 : un  k , n .
1.2.2.2. Các định lý
 Định lý 1. Cho lim un  a, lim vn  b
n

n

- Nếu un  vn , n thì a  b
- Nếu un  vn , n thì a  b
Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

4


 Định lý 2. Nếu un  vn  wn và lim un  lim wn  a thì lim vn  a .
n 

1

Ví dụ: Tính I  lim (

n 1

n 

Đặt vn 
Và

1
n 1
2

n
n 1
2



 vn 

Mặt khác lim

n 

2

1
n 2
2

n 

1



1

n 2
2

1



n 3
2

n 

 ... 

n 3
2

 ... 

1
n n
2

)

1
n n
2

n
n n
2

n
n2  1

 lim

n 

n
n2  n

1

Theo định lý trên thì lim vn  1 .
n 

1.2.2.3. Các phép tính của giới hạn dãy số
Nếu các dãy un  , vn  hội tụ thì
- Dãy un  vn  cũng hội tụ và lim un  vn   lim un  lim vn .
n 

n 

n 

- Dãy un .vn  cũng hội tụ và lim un .vn   lim un . lim vn . Hơn nữa lim k.vn   k. lim vn
n 

n 

n 

n 

n 

u 
 u  lim un
- Dãy  n  cũng hội tụ và lim  n   n  , lim vn  0 .
n  v
vn n 
 n  nlim
 vn 

* Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp:

0 0  a  1
,
a. lim a n  
n 

   a 1
b. lim n a  1, a  0 ,
n 

c. lim n n  1 ,
n 

1
d. lim (1  ) n  e .
n 
n

1.3. Giới hạn của hàm số
1.3.1. Khái niệm
 Định nghĩa 1. Cho hàm số f xác định trên tập D. Số L được gọi là giới hạn của hàm số
y=f(x) khi x dần về x0 nếu:   0,   0 : x  x0    f ( x)  L   . Ký hiệu

lim  L .

x x0

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

5


x2  4
 4.
x2 x  2

 Ví dụ: Chứng minh rằng lim

Ta chọn một  bé tùy ý cụ thể, chẳng hạn  
Muốn cho

1
.
106

1
1
x2  4
1
 4  6  x  2  6 thì ta chọn     6 . Lúc này ta sẽ có
10
10
x2
10

1
x2  4
x2  4
 4  6 và lim
 4.
x2 x  2
10
x2
 Định nghĩa 2. Ta gọi L là giới hạn của y=f(x) khi x   nếu   0, A  0 : x  A

 f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L .

x

Đặc biệt:
+ lim f ( x)  a    0, A  0 : x  A  f ( x)  a   .
x

+ lim f ( x)  a    0, A  0 : x   A  f ( x)  a   .
x

x
 1.
x   x  1

Ví dụ: Chứng minh rằng: lim
Vì x  0,

f ( x)  1 

1
1
1
thì x  A 
  . Ta chọn A là số dương lớn hơn


x

x
 1.
x   x  1

 f ( x)  1   . Vậy lim

 Định nghĩa 3. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bằng vô cùng khi x  x0 nếu:
M  0,  : x    f ( x)  M . Ký hiệu lim f ( x)   .
x  x0

Đặc biệt;
+ lim f ( x)    M  0,   0 : x  x0    f ( x)  M .
x  x0

+ lim f ( x)    M  0,   0 : x  x0    f ( x)  M .
x  x0

1
.
x 1 1  x

Ví dụ: lim

 Định nghĩa 4. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bằng vơ cùng khi x   nếu:

M  0, A : x  A  f ( x)  M . Ký hiệu lim f ( x)   .
x 

Đặc biệt:

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

6

+ lim f ( x)    M  0, A  0 : x  A  f ( x)  M .
x

+ lim f ( x)    M  0, A  0 : x   A  f ( x)  M .
x  

+ lim f ( x)    M  0, A  0 : x   A  f ( x)  M .
x  

+ lim f ( x)    M  0, A  0 : x  A  f ( x)  M .
x  

Ví dụ: lim ln x   .
x  

1.3.2. Một số công thức giới hạn:
sin x
1
x 0
x

b. lim

tan x
1
x 0
x

arcsin x
1
x 0
x

d. lim

ax 1
 ln a, a  0
x 0
x

f. lim

(1  x)  1

x 0
x

h. lim

a. lim

arctan x
1
x 0
x

c. lim
e. lim

ex  1
1
x 0
x
ln(1  x)
1
x 0
x

g. lim

1

1
j. lim (1  ) x  e
x 
x

i. lim (1  x) x  e
x 0

1.3.3. Giới hạn một phía
 Định nghĩa: Số a được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f (x) tại x0 khi x tiến về
bên phải (trái) x0 . Ký hiệu: lim f ( x)  a ( lim f ( x)  a )
x  x0

x  x0

 Ví dụ:

1
1
  và lim   .
x0 x
x0 x

a. Dễ thấy lim

b. Xét hàm số f ( x) 

lim

x 0

sin x
tại x  0 , ta có:
x

sin x
sin x
sin x
sin x
 lim
 1 và lim
 lim
 1
x 0
x 0
x 0  x
x

x
x

 Định lý: Điều kiện cần và đủ để  lim f ( x) là:
x x 0

+  lim f ( x),  lim f ( x)
x x0

x x0

+ lim f ( x)  lim f ( x) .
x  x0

x  x0

Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân

7


1.3.4. Các định lý và tính chất về giới hạn của hàm số
1.3.4.1. Tính chất
a/ Nếu f ( x)  C thì lim f ( x)  C .
x  x0

b/ Giới hạn a nếu có của hàm số là duy nhất.
1.3.4.2. Các định lý về phép tính giới hạn
Giả sử lim f ( x)  C , lim g ( x)  B thì:
x  x0

x  x0

a/ lim ( f ( x)  g ( x))  C  B
x  x0

b/ lim ( f ( x).g ( x))  C.B
x  x0

c/ lim (
x  x0

f ( x)
C
)  ,B  0
g ( x)
B

* Hệ quả:
a/ lim k. f ( x)  k.C
x  x0

n

n

i 1

i 1

b/ lim ( fi ( x))   lim fi ( x)
x  x0

x  x0

c/ lim ( f1 ( x). f 2 ( x). f3 ( x)..... f n ( x))  lim f1 ( x). lim f 2 ( x). lim f3 ( x)..... lim f n ( x)
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

Đặc biệt: lim ( f ( x))n  ( lim f ( x))n .
x  x0

x  x0

1.3.4.3. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
 Tiêu chuẩn Cauchy ( Tiêu chuẩn 1). Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn của f (x)
khi x  x0 là:   0,   0 sao cho x1 , x2 thỏa 0  x1  x0   , 0  x2  x0   thì

f ( x1 )  f ( x2 )   .
 Tiêu chuẩn 2. Cho f (x) xác định x  0 . Nếu f (x) đơn điệu tăng và f (x) bị chặn
trên thì  lim f ( x) .
x x 0

f ( x )  h( x )  g ( x )


Tiêu chuẩn 3. Nếu  lim f ( x)  lim g ( x)  a thì lim h( x)  a
x  x0

x  x0
 x  x0

sin 2 (n! x)
.
x 
x2

Ví dụ: Tính lim
Ta có 0 

1
sin 2 (n! x)
sin 2 (n! x) 1
 0.
lim

và
,
suy
ra

lim
0

x 
x2
x2
x2
x x 2

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

8


1.3.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn
1.3.5.1. Vô cùng bé
 Khái niệm. Hàm số f (x) gọi là vô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu lim f ( x)  0 .
x  x0

 Ví dụ:
a. lim sin x  0  f ( x)  sin x là VCB.
x 0

b. lim tan x  0  f ( x)  tan x là VCB.
x 0

c. lim

x 

1
1
 0  f ( x)  là VCB.

x
x

 Định lý.  lim f ( x)  a  f ( x)  a là VCB khi x  x0 , hay là f ( x)  a   ( x) ,  (x)
x  x0

là VCB khi x  x0 .
* Tính chất:
a. VCB.C=VCB
b. VCB  VCB=VCB
c. VCB.BC=VCB
d. VCB.HT=VCB
Trong đó C- hằng số, BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ.

sin x
1
 lim .sin x  0 với sin x là đại lượng bị chặn.
x x
x x

Ví dụ: lim

 So sánh các vơ cùng bé. Cho f ( x), g ( x) là hai VCB khi x  x0 . Giả sử tồn tại

lim

x  x0

f ( x)
 A, 0  A   . Khi đó

g ( x)

a. Nếu A  0 thì ta nói f (x) là VCB bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCB bậc thấp hơn

f (x) , khi đó ta ký hiệu f ( x)  O( g ( x)) .
b. Nếu 0  A   thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCB cùng hay cùng cấp, đặc biệt khi

A  1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCB tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x) .
c. Nếu A   thì ta nói g (x) là VCB bậc cao hơn f (x) hay f (x) là VCB bậc thấp
hơn g (x) , khi đó ta ký hiệu g ( x)  O( f ( x)) .
Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh được.
 Định lý.
a. Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCB khi x  x0 thì

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

9


lim

x  x0

f ( x)
g ( x)
.
 lim
h( x) x x0 t ( x)

b. Giả sử fi ( x), g j ( x), i  1, n; j  1, m là các VCB khi x  x0 . Khi đó

lim

x x0

fi ( x)
f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)
. Trong đó fi0 ( x) là VCB bậc thấp nhất trong
 lim 0
g1 ( x)  g 2 ( x)  ...  g m ( x) x x0 g j0 ( x)

các fi (x) và g j0 ( x) là VCB bậc thấp nhất trong các g j (x) .
 Ví dụ:
a. Khi x  0 thì các VCB sau là tương đương: sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x,

arctan x ~ x, ln( x  1) ~ x, e x 1 ~ x,(1  x)a 1 ~ ax, a x 1 ~ x ln a .
sin 5 x
.
x 0 e2 x  1

b. Tính lim

Ta có khi x  0 thì sin 5x ~ 5x, e2 x  1 ~ 2 x .
sin 5 x
5x 5
 lim
 .
2
x
x 0 e

 1 x 0 2 x 2

Vậy lim
c. lim

l n 1  2 x 

x0

e3x  1

2x 2

3
x0 3x

 lim

1.3.5.2. Vô cùng lớn
 Khái niệm. Hàm số f (x) gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim f ( x)  
x  x0

 Ví dụ:
a. lim tan x    f ( x)  tan x là VCL.
x



2

b. lim cot x    f ( x)  cot x là VCL.
x0

1
1
   f ( x)  là VCL.
x 0 x
x

c. lim

*Tính chất
a. VCL.VCL=VCL.
b. VCL+BC=VCL.
c. VCL+HT=VCL.
d. Tổng hai VCL có thể khơng là VCL, nhưng tổng hai VCL cùng dấu là VCL.
e.

1
1
 VCB,
 VCL .
VCL
VCB

Trong đó BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ.
Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

10

 So sánh các vô cùng lớn. Cho f ( x), g ( x) là hai VCL khi x  x0 . Giả sử tồn tại

lim

x  x0

f ( x)
 A, 0  A   . Khi đó
g ( x)

a. Nếu A  0 thì ta nói f (x) là VCL bậc thấp hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc cao hơn
f (x) .

b. Nếu 0  A   thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCL cùng hay cùng cấp, đặc biệt khi
A  1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCL tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x) .

c. Nếu A   thì ta nói f (x) là VCL bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc thấp hơn
f (x) .

Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh được.
* Định lý.
a. Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCL khi x  x0 thì

lim

x  x0

f ( x)
g ( x)

.
 lim
h( x) x x0 t ( x)

b. Giả sử fi ( x), g j ( x), i  1, n; j  1, m là các VCL khi x  x0 . Khi đó

lim

x x0

fi ( x)
f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)
. Trong đó fi0 ( x) là VCL bậc cao nhất
 lim 0
g1 ( x)  g 2 ( x)  ...  g m ( x) x x0 g j0 ( x)

trong các fi (x) và g j0 ( x) là VCL bậc cao nhất trong các g j (x) .
Lưu ý: Trong quá trình giải các bài tập ta sẽ gặp các dạng vô định:

0 
, , 0.,   ,
0 

00 , 0 ,0 ,1 . Khi đó ta phải khử các dạng vơ định.

1.4. Hàm số liên tục
1.4.1. Khái niệm
 Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Hàm số y  f (x)
được gọi là liên tục tại x  x0 nếu lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0

Nếu y  f (x) không liên tục tại x  x0 ta nói hàm số y  f (x) gián đoạn tại x  x0 .

 s inx
,x  0

 Ví dụ: Xét hàm số f  x    x
 1, x  0
Ta có lim
x 0

s inx
 1  f (0) . Vậy f ( x) liên tục tại x  0 .
x

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

11


 Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Khi đó hàm số
y  f (x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x  x0 nếu: lim f ( x)  f ( x0 _ ) ( lim f ( x)  f ( x0 )) .
x  xx0

x  xx0

Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trong (a; b) nếu y  f (x) liên tục tại mọi điểm
của (a; b) .
1.4.2. Các tính chất và định lý
 Định lý. Hàm số y  f (x) liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi y  f (x) liên tục trái và

liên tục phải tại x  x0 .

 s inx
,x  0

Ví dụ: Xét hàm số y   x
 1, x  0

Ta có

f (0 )  lim

s inx
s inx
 lim
 1  f (0)
x 0
x
x

f (0 )  lim

s inx
s inx
  lim
 1  f (0)
x 0
x
x

x 0

x 0

Vậy f ( x) liên tục phải tại x  0 , nhưng không liên tục trái tại x  0 .
 Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên D . Khi đó tập hợp các điểm
M ( x,( f ( x)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khi x thay đổi trong D được gọi là đồ thị của

hàm số y  f (x) trên D .
 Định lý. Đồ thị của hàm số liên tục là một đường liền nét.
 Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) bị chặn trên  a; b , tức là

M  0 : f ( x)  M , x  D .
 Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) đạt giá trị lớn nhất và giá

 f ( x1 )  f ( x), x  D
trị nhỏ nhất trên  a; b , tức là x1 , x2 : 
 f ( x2 )  f ( x), x  D
 Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) nhận mọi giá trị trung
gian giữa f (a) và f (b) .
 Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b và f (a). f (b)  0 thì có c  (a; b) để

f (c)  0 , nói cách khác phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trong  a; b  .

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

12


Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x9  3x4  1  0 có ít nhất một nghiệm trong (0;1) .

1.4.3. Phân loại điểm gián đoạn:
Cho hàm số y  f (x) . Điểm x0 là điểm gián đoạn của y  f (x) khi:
a. y  f (x) không xác định tại x0
b. Không tồn tại giới hạn của y  f (x) khi x  x0
c. Tồn tại giới hạn của y  f (x) khi x  x0 , nhưng giới hạn này khác f ( x0 ) .
Như vậy ta có thể phân loại các điểm gián đoạn như sau:
+ Điểm x0 là điểm gián đoạn loại 1 khi f ( x0 ), f ( x0 ) . Đặc biệt khi f ( x0 )  f ( x0 ) thì ta
nói x0 là điểm gián đoạn có thể bỏ được.
+ Các trường hợp khác gọi là điểm gián đoạn loại 2.
1.5. Đạo hàm
1.5.1. Khái niệm
1.5.1.1. Bài toán mở đầu
Xét đường cong (C ) : y  f ( x) , một điểm M 0 ( x0 , y0 ) cố định trên (C ) và một cát tuyến
MM 0 . Nếu M ( x, y) chạy trên đường cong (C ) đến điểm M 0 ( x0 , y0 ) mà cát tuyến MM 0 dần

tới một vị trí tới hạn TM 0 , thì đường thẳng TM 0 gọi là tiếp tuyến của đường cong (C ) tại
điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Vậy khi nào thì (C ) : y  f ( x) có tiếp tuyến tại M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc
của tiếp tuyến đó được tính như thế nào?

y

 M(x,y)


M0(x0,y0)

T


O

x

Đặt

x  x  x0


y  y  y0  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 )
thì hệ số góc của cát tuyến MM 0 là tan  

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

y f ( x0  x)  f ( x0 )

.
x
x

13


Cho điểm M 0 ( x0 , y0 ) tiến dần đến M dọc theo đường cong (C ) , khi đó x  0 , nếu tỉ
số

y
dần tới một giới hạn xác định thì  cũng dần đến một góc xác định là  , nghĩa là
x

cát tuyến MM 0 dần tới vị trí tới hạn TM 0 và tạo với Ox một góc  .

Từ đó, nếu tỉ số

y
dần tới một giới hạn xác định khi x  0 thì đường cong
x

(C ) : y  f ( x) có tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc của tiếp tuyến là:
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
 lim
x  0 x
x  0
x

tan  lim tan   lim
x  0

1.5.1.2. Định nghĩa
Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Cho biến x số gia x thỏa
f
 I (nếu
x  0 x

x0  x  D . Xét số gia hàm số: f  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Ta gọi giới hạn lim

tồn tại hữu hạn) là đạo hàm của y  f (x) tại x0 và ta cũng nói y  f (x) có đạo hàm tại x0 .
Ký hiệu: f / ( x0 )  lim

x  0

f ( x0  x)  f ( x0 )
y
I
 lim
x


0
x
x

Nhận xét: nếu đặt x  x0  x thì f / ( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
I.
x  x0

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 bằng định nghĩa y  x 2 :
Giải

f ( x0  x)  f ( x0 )
y
 lim
x
x0 x x0

f / ( x0 )  lim

x.  2x 0  x 
( x0  x)2  x02
 lim
 lim
 lim  2x 0  x   2x 0
x
x
x0
x0
x0
1.5.1.3. Đạo hàm một phía
Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D .
Ta gọi giới hạn lim
x  0

f
f
 I ( lim 
 I ) ( nếu tồn tại hữu hạn) là đạo hàm phải (trái)
x  0 x
x

của y  f (x) tại x0 .
Ký hiệu: + Đạo hàm phải I  f / ( x0 )
+ Đạo hàm trái I  f / ( x0 )

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

14

f / ( x ), f  / ( x0 )
*Định lý. f / ( x0 )   / 0
/
 f  ( x0 )  f  ( x0 )
1.5.2. Các quy tắc tính đạo hàm

(c ) /  0

(u  v) /  u /  v /

(cu ) /  c(u ) /

(u.v) /  u / .v  u.v /

u
u / .v  u.v /
( )/ 
(v  0)
v
v2
1.5.3. Đạo hàm hàm hợp, hàm ngƣợc:
1.5.3.1. Đạo hàm hàm hợp
Giả sử hàm số u  u(x) có đạo hàm u / ( x0 ) tại x0 và u0  u( x0 ) . Tại u0  u( x0 ) hàm
y  y(u) có đạo hàm y / (u0 ) đối với biến u . Khi đó tại x0 hàm số y  y(u( x)) có đạo hàm

yx ( x0 ) theo biến x và yx ( x0 )  yu/ (u0 ).ux/ ( x0 ) hay yx  yu/ .ux/ .
/

/

/

1.5.3.2. Đạo hàm hàm ngƣợc
Giả sử các điều kiện sau được thỏa:
a/ Hàm số y  f (x) có đạo hàm y / ( x0 )  0 tại x0
b/ Hàm số y  f (x) là đơn ánh .
c/ Hàm ngược x  g ( y) liên tục tại y0  f ( x0 )
Khi đó hàm số ngược của hàm số y  f (x) sẽ có đạo hàm x y/ ( y0 ) tại y0 và
x y/ ( y0 ) 

1
.
y ( x0 )
/
x

Ta thường ký hiệu hàm ngược là g ( y) là f 1 ( x) và khi đó ( f 1 ) / 

1
.
f/

1.5.3. Các công thức đạo hàm cơ bản

(c ) /  0

( x n ) /  nx n 1

(e x ) /  e x

(a x ) /  a x ln a

(log ax ) / 

1
x ln a

(cos x) /   sin x

(cot x) /  

1
 (1  cot 2 x)
sin 2 x

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

(sin x) /  cos x
(tan x) / 

1
 1  tan 2 x
2
cos x

(arcsin x) / 

1
1  x2

15


(arccos x) /  
(arctan x) / 

1
1 x

(arc cot anx) /  

2

1
1  x2

1
1  x2

Ví dụ:
a. (( x3  4)5 )/  5.( x3  4)4 .3x2
b. (sin 4 (ln x))  4sin 3 (ln x).

1
x

1.5.3. Định lý (Tính có đạo hàm của hàm của hàm số sơ cấp)
Hàm số sơ cấp có đạo hàm trên miền xác định của nó.
1.5.4. Định lý

Nếu hàm số y  f (x) có đạo hàm tại x  x0 thì f (x) liên tục tại x  x0 .
1.6. Vi phân
1.6.1. Khái niệm
Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Cho biến x số gia x thỏa

x0  x  D . Xét số gia hàm số:
f  f ( x0  x)  f ( x0 ) .

Nếu f biểu diễn được dưới dạng:
f  f / ( x).x   ( x)
trong đó  ( x) là vơ cùng bé bậc cao hơn x khi x  0 thì y  f (x) được gọi là khả vi tại

x  x0 và biểu thức f / ( x).x gọi là vi phân của y  f (x) tại x  x0 . Ký hiệu: df  f / ( x)dx
với dx  x hay

df
 f / ( x) .
dx

1.6.2. Định lý
Hàm số sơ cấp khả vi trên miền xác định của nó. Nghĩa là nó có đạo hàm trên miền xác
định của nó.
1.6.3. Các quy tắc tính vi phân.

d (u  v)  du  dv
d (Cv)  Cdv
u
vdu  udv
d( ) 
v

v2

dC  0
d (uv)  vdu  udv

Ví dụ: Tính vi phân của các hàm số:
a. y=sinx

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

16


Ta có: dy=d(sinx)=(sinx)’dx=cosxdx.
b. y  x
dy  d

 x    x  dx  2 1 x dx .

1.6.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng:
Nếu y  f (x) khả vi tại x  x0 thì f  f / ( x).x   ( x) . Vì vậy khi x khá bé ta có
cơng thức xấp xỉ như sau: f ( x0  x)  f / ( x0 ).x  f ( x0 ) .
Ví dụ: Tính gần đúng biểu thức A  4 15,8
Xét hàm số y  4 x .
1
Ta có y  x
4

3
4

1 1
 .
4 4 x3

Chọn x 0  16  x  x  x0  15,8 16  0, 2 .
Áp dụng công thức f ( x0  x)  f / ( x0 ).x  f ( x0 )

A  4 16  0, 2 

1 1
1 1
319
0, 2   4 16  . .  0, 2   2 
.

3
4 4 16
4 8
160

1.7. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1.7.1. Đạo hàm cấp cao
 Định nghĩa. Gọi đạo hàm của y  f ( x) là f / ( x) thì f / ( x) là một hàm số theo biến

x . Nếu f / ( x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp hai của y  f ( x) . Ký
hiệu f // ( x)  ( f / ( x)) / .
Tương tự ta cũng định nghĩa được đạo hàm cấp ba của y  f ( x) và f /// ( x)  ( f // ( x)) / .
Đạo hàm của đạo hàm cấp  n  1 của y  f ( x) được gọi là đạo hàm cấp n của f  x  .
Ký hiệu: f ( n) ( x)  ( f ( n1) ( x)) / .

 Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số:
a. y  sinx

b. y 

1
.
x

Giải



a. y  s inx  y=cosx  sin  x  
2


Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

17






y  cos  x    sin  x  2. 
2
2








y  cos  x  2.   sin  x  3 
2
2


…



n
y   sin  x  n  .
2

b.

1
 y   1 x 2
x
y   1 2  x 3  1.2.x 3
y

y   1 2  3 .x 4
...
y

 n

  1 1.2.3...n.x
n

 n 1

 1

x

n

n!

n 1

 Công thức Lepnit:
n
Nếu u, v là các hàm khả vi n lần thì:  u.v   

n

C u .v
k
n

k

nk 

.

k 0

20
Ví dụ: Cho hàm số y  x 2 .e x . Tính y   0  .

Giải
Đặt u  x2  u  2x  u  2  u  0 .
20
v  ex  v  ex ...  v   e x .
20
y   0  

20

C

k k 
20u

 0  .v nk   0   C18
20 .2.1  380 .

k 0

1.7.2. Vi phân cấp cao
 Định nghĩa. Ta cũng lý luận tương tự như trên và nếu df  f / ( x)dx là vi phân cấp một

của y  f ( x) thì d 2 f  f // ( x)d 2 x là vi phân cấp hai của y  f ( x) . Hơn nữa, ký hiệu
d n f  f ( n) ( x)d n x là vi phân cấp n của f ( x) .



Ví dụ: a. d n s inx=sin(x+n )d n x
2

b. d n

1
n!
 (1)n n 1 d n x .
x
x

1.8. Các định lý cơ bản về hàm khả vi

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

18


1.8.1. Định nghĩa
Cho y  f ( x) xác định trên D . Ta nói y  f ( x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0  D nếu có
một lân cận V của x0 sao cho: f ( x0 )  f ( x), x V ( f ( x0 )  f ( x), x V )
Các điểm cực đại, cực tiểu nói chung gọi là cực trị địa phương.
1.8.2. Định lý Fermat
Nếu hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x0 và tồn tại đạo hàm tại x0 thì f / ( x0 )  0
1.8.3. Định lý Roll

Cho hàm số y  f ( x) . Nếu các điều kiện sau thỏa:
a/ f ( x) liên tục trên  a; b
b/ f ( x) khả vi trong  a; b 
b/ f (a)  f (b)
Thì tồn tại c   a; b  để f / (c)  0 .
1.8.4. Định lý Lagrange
Cho hàm số y  f ( x) . Nếu các điều kiện sau thỏa:
a/ f ( x) liên tục trên  a; b
b/ f ( x) khả vi trong  a; b 
Thì tồn tại c   a; b  để f / (c) 

f (a)  f (b)
.
a b

1.8.5. Định lý Cauchy
Giả sử f ( x), g ( x) là hai hàm số thỏa:
a/ f ( x), g ( x) liên tục trên  a; b , khả vi trong  a; b 
b/ g / ( x)  0, x   a; b 
Thì tồn tại c   a; b  để

f / (c) f (a)  f (b)

.
g / (c) g (a)  g (b)

1.8.6. Ví dụ
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a/ sinx-siny  x-y , x, y  R
b/ ln(1  x)  x, x  0

c/

a b
a a b
 ln 
,0  b  a
a
b
b

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

19


Chứng minh:
a/ Xét hàm số f ( x)  sinx
Ta có f liên tục trên R , f khả vi trên R và có đạo hàm f / ( x)  cosx,x  R .
Áp dụng định lý Lagrange trên  a; b  R . Ta có c  R, a  c  b thì

f / (c ) 

f (a)  f (b)
sinx  sin y
 cosx=
 (x-y).cosx= sinx  sin y
a b
x y

Từ đó sinx  sin y = (x-y).  (x-y) . cosx  x-y vì cosx  1

b/ Ta có ln(1  x)  x, x  0  ln(1  x)  x , x  0 .
Xét hàm số f ( x)  ln(1  x)  x, x  0
Hàm số f liên tục và có đạo hàm (hay khả vi) f / ( x) 

1
 1, x  0; x 
x 1

Áp dụng định lý Lagrange ta có:
1
1
f (0)  f ( x)
 ln(1  x)  x

1 
 x(
 1)  ln(1  x)  x
0 x
c 1
c 1
x
c
)  ln(1  x)  x
  x(
c 1
c
Vì c  0, x  0 nên  x(
)  0 . Ta suy ra điều cần phải chứng minh.
c 1
f / (c ) 

1.9. Quy tắc De L/ hopital
1.9.1. Quy tắc
Giả sử f ( x), g ( x) thỏa các tính chất sau:
a/ lim f ( x)  lim g ( x)  0 hoặc lim f ( x)  lim g ( x)   .
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

b/ g / ( x)  0 với mọi x thuộc lân cận của x0 .

f / ( x)
f ( x)
f / ( x)
Lúc này, nếu tồn tại lim /
(hữu hạn hoặc vơ hạn) thì lim
 lim /
x  x0 g ( x )
x  x0 g ( x)
x  x0 g ( x )
*Lưu ý rằng quy tắc trên có thể áp dụng nhiều lần liên tiếp cho đến khi giới hạn xác định.
Quy tắc vẫn đúng khi x dần đến vơ tận.
1.9.2. Ví dụ
a/ Tính lim
x 0

x  s inx
x3

x  s inx 

x  s inx
1  cosx
s inx 1
lim
 lim
 lim
 lim

3
2
x 0
x
0
x
0
x
0



x
3x
6x
6
3 

x

 

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

20


b/ Tính lim
x 0

tanx-x
x  s inx

1
1
2
tanx-x 

tanx-x
1  cosx
lim
 lim
 lim cos x
 lim
2
x 0 x  s inx
x 0
x 0 1  cosx

x 0 cos 2 x

 x  s inx 

1.10. Công thức Taylor
1.10.1. Định lý
Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm hữu hạn đến cấp (n  1) trong một khoảng chứa x và x0 ,
thì ta có cơng thức:

f / ( x0 )
f // ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( n 1) (c)
( x  x0 ) 
( x  x0 )2  ... 
( x  x0 ) n 
( x  x0 ) n1 (1)
1!
2!
(n  1)!
n!
trong đó c nằm giữa x và x0 , ta cịn viết c  x0   x,0    1 .
f ( x)  f ( x0 ) 

Công thức (1) gọi là công thức Taylor, hàm f ( x) khai triển theo công thức (1) gọi là
khai triển Taylor hàm f ( x) xung quanh điểm x0 .
Ta gọi

f ( n 1) ( x0 )
( x  x0 )n 1  rn là phần dư thứ n trong khai triển Taylor.

(n  1)!

Khi x0  0 (1) trở thành:

f / (0)
f // (0) 2
f ( n ) (0) n f ( n1) (c) n1
.x 
.x 
.x (2)
x  ... 
1!
2!
(n  1)!
n!
Trong đó c nằm giữa x và 0 , ta còn viết c   x,0    1 .
f ( x)  f (0) 

Công thức (2) gọi là công thức Maclarrin, hàm f ( x) khai triển theo công thức (2) gọi là
khai triển Maclarrin hàm f ( x) xung quanh điểm 0 .
1.10.2. Ví dụ
Khai triển Taylor các hàm số y  e x tại x0=1.
n
Ta có: y  e x , y  e x ,..., y   e x

ex  e 

e
e
e

( x  1)  ( x  1)2  ...  ( x  1)n  rn .
1!
2!
n!

Với c nằm giữa x và 1.
Công thức khai triển Maclaurin một số hàm cơ bản:
+ sinx  x 

x3
x 2 n1
n 1
 ...   1
r .
3!
 2n 1! n

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

21


+ ln 1  x   x 


+ 1  x   1 

n
x2
n1 x

 ...   1
 rn
n
2


1!

x

   1
2!

x 2  ... 

   1 ...   n  1
n!

x n  rn (x>-1)

1.10.3. Áp dụng cơng thức Taylor tính gần đúng của hàm số
Áp dụng cơng thức Taylor, có thể tính gần đúng giá trị của hàm số với độ chính xác cao
tùy ý nếu phần dư rn dần đến 0 khi n   .
Ví dụ:
Tính gần đúng số e.
Ta có khai triển Taylor của e x :
ex  1 

x x2
xn

x n1 cx
e
  ...  
1! 2!
n !  n  1!

Thay x=1 vào khai triển trên ta được: e  1 
Với n=6, ta có: e  1 

1 1
1
ec
.
  ...  
1! 2!
n !  n  1!

1 1 1 1 1 1 ec
517 ec
       2

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
720 7!

Vì e<3 nên 1  ec  3 và

ec
1 ec 3
   0, 000198   0, 000596
7! 7! 7!

7!

 2,718253  e  2,718652

Vậy e  2,718 .

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

22


BÀI TẬP CỦNG CỐ CHƢƠNG 1
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:

-------

a/ y  3x  x3 ,

b/ y  ( x  2)

c/ y  log( x 2  4) ,

d/ y 

x
sin x

1 x
,
1 x

.


f ( x)  ax 2  bx  c
2. Xác định f (x) biết 
 f (2)  0, f (0)  1, f (1)  5

f ( x)  a  b.c x
3. Xác định f (x) biết 
 f (2)  30, f (0)  15, f (4)  90
4. Cho hàm số f ( x)  x 2  x  1, g ( x)  2 x . Tìm f ( f ( x)), g ( g ( x)), f ( g ( x)), g ( f ( x)) .
5. Cho hàm số f ( x) 

1
. Tìm f ( f ( x)), f ( f ( f ( x))) .
1 x

6. Tìm f (x) nếu:
a/ f ( x  1)  x 2  3x  2 ,

1
1
b/ f ( x  )  x 2  2 .
x
x

7. Tìm các giới hạn:

2n 2  n  3

,
n  n 4  5n  2

2 n 3  2n 2  n  3
,
n 
n 3  4n  6

b/ lim

2n6  3n 4  5
,
n  n 4  5n  2

d/ lim 3 1  n3 .

a/ lim

c/ lim

n 

8. Tìm các giới hạn:
a/ lim

n 

2n 4  n  7
,
n 2  5n  2

b/ lim

n 

n  n 2  2n  3
3  2n 2  1

,

c/ lim ( n2  n  3  n) ,

d/ lim ( 3n2  n  3  n 3 ) ,

e/ lim ( n2  n  n2  1) ,

f/ lim

n 

n 

n 

n 

1
( n  2  n2  4 )
2

.

9. Cho q  1 , đặt Sn  1  q  q 2  q3  ...  q n . Tìm lim Sn .
n 

2n  4.3n
3.2n  5.7 n
, b. lim n
Áp dụng: Tìm các giới hạn: a. lim
n   5  7.3n
n   4  3.5n
10. Tìm các giới hạn:

Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân

23