Max min hàm số (phát triển từ câu 39 của đề thi minh họa năm 2021)

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
CHỦ ĐỀ CÂU 39: MAX – MIN HÀM SỐ
ĐỀ GỐC
Câu 39: Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f ' x  là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của
 3 
hàm số g  x   f 2x   4x trên đoạn   ;2 bằng
 2 
A. f  0 .
B. f  3  6.

C. f 2  4. D. f  4  8.

Lời giải

Chọn C Xét hàm số g  x   y  f 2x   4x .

Chú ý: Trong bài toán tìm min,max, ta có thể đặt ẩn phụ nhưng phải tìm miền giá trị của ẩn mới.
 3 
Đặt 2x  u  y  f u   2u
x   ;2  u  3;4
 2 
 y  f   u   2  0  f   u   2 * 

Ta thấy, dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình  *  có 2 nghiệm phân biệt u  0 và u  2 nằm trong  3;4

Ta có BBT:
u
y'
y

3



0
0



2
0

4


f 2  4

 max  f u   2u  f 2  4
3;4

ĐỀ PHÁT TRIỂN
PT 39.1. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số y  f '( x) được cho
 x
như hình vẽ. Trên  4; 2 hàm số y  f 1    x đạt giá trị lớn nhất bằng?
 2

A. f (2)  2.

1
B. f    2.
2

C. f (2)  2 .

3
D. f    1 .
2

Lời giải
Chọn A
1  x
 x
Đặt g ( x)  f 1    x  g '( x)   f ' 1    1.
2  2
 2

 x
g '( x)  0  f ' 1    2.
 2


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
x
Đặt t  1   t   0;3.
2
Vẽ đường thẳng y  2 lên cùng một bảng biến thiên ta được

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t  2  x  2  max g ( x)  g (2)  f (2)  2.
4;2

và hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Trên  2; 4

PT 39.2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên

x 
, gọi x0 là điểm mà tại đó hàm số g ( x)  f   1  ln x 2  8 x  16 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x0 thuộc
2 
khoảng nào?



1 
A.  ; 2  .
2 

 5
B.  2;  .
 2



1

C.  1;   .
2


1

D.  1;  .
2



Lời giải
Chọn D

1 x 
2x  8
1 x 
2
f '   1  2
 f '   1 
.
2  2  x  8 x  16 2  2  x  4
4
x
x 
. Đặt t   1  t   0;3
Cho g '( x)  0  f '   1 
2
2  x4
4
2
Phương trình trở thành f '(t ) 

.
2t  2 t  1
2
Vẽ đồ thị y 
lên cùng một hệ tọa độ ta được:
x 1

Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t  1  x  0.
Ta có g '( x) 

19
3
. Biết rằng f  0   0 , f  3  f    
và
4
2
đồ thị hàm số y  f   x  có dạng như hình vẽ. Hàm số g  x   4 f  x   2 x 2 giá trị lớn nhất của g  x  trên

PT 39.3. Cho hàm số đa thức y  f  x  có đạo hàm trên

 3
 2; 2  là A. 2 .
Chọn D

B.

39
.
2

C. 1 . D.

Xét hàm số h  x   4 f  x   2 x xác định trên
2

29
.

2
Lời giải
.

Hàm số f  x  là hàm đa thức nên h  x  cũng là hàm đa thức và h  0   4 f  0   2.0  0
Khi đó h  x   4 f   x   4 x  h  x   0  f '  x    x .
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x , ta có


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
3

h  x   0  x  3;0; 
2


Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g  x   h  x  như sau

29
 3
Vậy giá trị lớn nhất của g  x  trên  2;  là
.
2
 2
PT 39.4. Cho f  x  là hàm số liên tục trên
, có đạo hàm f   x  như hình vẽ bên dưới. Hàm số
x2
y  f  x    x có giá trị nhỏ nhất trên  0;1 là

2
1
1
A. f  0  . B. f 1  .
C. f 1  .
2
2

1 3
D. f    .
2 8
Lời giải

Chọn C
x2
 x . Ta có h  x   f   x   x  1
2
 x  x1 ( x1  0)

x0
h  x   0  f   x    x  1  
(hình vẽ)
 x  x2 (0  x2  1)

x 1

Ta có bảng biến thiên trên  0;1 của h  x  :

Đặt h  x   f  x  

Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng
Vậy giá trị nhỏ nhất của h  x  trên  0;1 là h 1 hoặc h  2 
Mặt khác, dựa vào hình ta có:
x2

1

  f   x   x  1 dx     f   x   x  1dx
0

x2
x2

1

0

x2

Vậy giá tị nhỏ nhất của h  x  trên  0;1 là h 1  f 1 

  h  x  dx   h  x dx

1
.
2

 h  x2   h  0   h  x2   h 1
 h 1  h  0 

PT 39.5. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f '  x  là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của
hàm số g  x   2 f  x    x  1 trên đoạn  3;3 bằng
2

A. f  0   1. B. f  3  4.

C. 2 f 1  4.

D. f  3  16.
Lời giải

Chọn C
Ta có g  x   2 f   x   2  x  1

x  1
g  x   0  f   x   x  1  
.
x


3

Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số g  x   2 f  x    x  1 trên đoạn  3;3 là g 1  2 f 1  4 .
2

PT 39.6. Cho hàm số f x xác định trên

và có đồ thị f   x  như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất

 1 
của hàm số g  x   f  2 x   2 x  1 trên đoạn   ;1 bằng
 2 
A. f  0   1. B. f 1 .
C. f  2   1.
D. f  1  2
Lời giải
 1 
Chọn C Xét hàm số g  x   f  2 x   2 x  1 trên đoạn   ;1
 2 
1
Ta có g '  x   2 f '  2 x   2, g '  x   0  f '  2 x   1  2 x  1  x  . Số nghiệm của phương trình
2
g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f '  2 x  và đường thẳng y 1.
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng

 1 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x   f  2 x   2 x  1 trên đoạn   ;1 bằng g 1  f  2   1 .
 2 
PT 39.7. Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của
y

 x
hàm số g  x   f   trên đoạn  5;3 bằng
2

A. f  2  . B. f 1 .
C. f  4  .

D. f  2  .

2

Lời giải
x
 2  2
 x  4
1  x
Chọn A g   x   0  f     0  
.

2 2
x  2
 x 1
 2
x
 x
g   x   0  f     0   2  x  4 .
2
2
Bảng biến thiên

1

-2

x

O

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  trên  5;3 bằng g  4   f  2  .
PT 39.8. Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của
hàm số g  x    f  2 x  1  2 x trên đoạn  0; 2 bằng
A.  f 1  2 .

B.  f  1 .

C.  f  2   3 .

D.  f  3  4 .
Lời giải

Chọn C

x  0
2
x

1


1


g   x   0  2 f   2 x  1  2  0  f   2 x  1  1   2 x  1  1   x  1 .



 2 x  1  2
3
x 

2
x

0

 2 x  1  1 
g   x   0  f   2 x  1  1  

.
x  3
2 x  1  2

2
Bảng biến thiên

3
Giá trị lớn nhất của hàm số g  x  trên  0; 2 bằng g     f  2   3 .
2
PT 39.9. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f /  x  là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất


Hồ Thị Bình –gv Tốn THPT Hàm Rồng

1 
của hàm số g  x   f  2 x  1  6 x trên đoạn  ; 2  bằng

2 

1
A. f   .
2

C. f 1  6 .

B. f  0   3 .

D. f  3  12 .

Lời giải
Đặt t  2 x  1  t  0;3 , xét hàm số h  t   f  t   3t  3 trên  0;3 .

Chọn C

t  0
Ta có h  x   f  x   3 , h  t   0  t  1 .

t  2
h/  x   0  f /  x   3  x   0;1
Ta có bẳng biến thiên sau
/

/

/

h/  x   0  f /  x   3  x  1;3

Ta có min h  t   h 1  f 1  6 .
0;3

PT 39.10. Cho hàm số f  x  , đồ thị của hàm số y  f /  x  là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ
 3 
nhất của hàm số g  x   f  2 x  1  4 x  3 trên đoạn   ;1 bằng
 2 
A. f  0  . B. f  1  1 .
C. f  2   5 .
D. f 1  3 .

Lời giải
Chọn D
Đặt t  2 x  1  t   2;3 , xét hàm số h  t   f  t   2t  1 trên  2;3 .
t  1
Ta có h  x   f  x   2 , h  t   0  t  1 .

t  2
h/  x   0  f /  x   2  x  1;3
h/  x   0  f /  x   2  x   2;1
/

/

/

Ta có min h  t   h 1  f 1  3 .
;3