Đề ôn tập chương 3 hình học toán lớp 12 (có đáp án chi tiết)

NHĨM TỐN THPT THANH HĨA
ĐỀ ƠN TẬP CHƯƠNG III, HÌNH HỌC 12
(Dành cho học sinh Khá, Giỏi)
Đề A
Câu 1. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a  1; 1; 2 , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ m  a  b  c
có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .
C.  6; 6;0  .
D.  0;6; 6  .
Câu 2. Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b   2; 6; 8 . .

B. b   2; 6;8 . .

C. b   2;6;8 . .

D. b   2; 6; 8 .

Câu 3. Mặt cầu tâm I  1; 2; 3 và đi qua điểm A  2;0;0  có phương trình:
A.  x  1   y  2    z  3  22. .

B.  x  1   y  2    z  3  11. .

C.  x  1   y  2    z  3  22. .

D.  x  1   y  2    z  3  22.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2 z  3  0 và điểm I 1;1;0  .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với  P  là:
5
25
2
2
.
B.  x  1   y  1  z 2 
.

6
6
5
25
2
2
2
2
C.  x  1   y  1  z 2 
.
D.  x  1   y  1  z 2 
.
6
6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A  2; 1;3 , B  4;0;1 , C  10;5;3 . Vectơ

A.  x  1   y  1  z 2 
2

Câu 5.

2

nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  ABC  ?
A. n2 1; 2; 2  .
Câu 6.

B. n1 1; 2;0  .

C. n4 1; 2; 2  .

D. n3 1;8; 2  .

Mặt phẳng  P  đi qua ba điểm A 8;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 4  . Phương trình mặt phẳng

 P  là:
x y z
x y z
D.    1 .

  0.
8 2 4
4 1 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc 
của đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5 và B  3;1;1 ?
x 1 y  2 z  5
x  3 y 1 z 1
A.
B.


.


.
2
3
4
1
2

5
x 1 y  2 z  5
x 1 y  2 z  5
C.
D.


.


.
2
3
4
3
1
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho OM  2i  k và mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  6  0 .

A. x  2 y  2 z  8  0 .
Câu 7.

Câu 8.

B. x  4 y  2 z  8  0 . C.

Tính khoảng cách từ điểm M đến  P  .
11
8
.

C. 4 .
D.
3
3
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng
x  3 y 1 z  2
d:


và mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 .
2
2
1
A. M 1; 1;1 .
B. M  3;1; 2  .
C. M  2; 2;1 .
D. M  17; 15; 9 

A. 3 .

B.

Câu 10. Trong không gian cho hai điểm A  1;2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A. 6.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
Câu 11. Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w  1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng
phẳng
3

3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3
Câu 12. Mặt cầu đường kính AB với A  2;0;0  , B(4;4; 6) có phương trình:


A.  x  1   y  2    z  3  22.

B.  x  1   y  2    z  3  11.

C.  x  1   y  2    z  3  22.

D.  x  1   y  2    z  3  22.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3) , B(5; 2;7) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình của mặt cầu đường kính AB ?
2
2
2
2
A.  x  2   y 2   z  2   38 .
B.  x  2   y 2   z  2   38 .
C.  x  2   y 2   z  2   38 .
2

2

D.  x  2   y 2   z  2   38 .

2

2

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A  0;3;0  , B  2;1;1 , C  1; 2; 2  . Gọi I là
tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC . Mặt phẳng

 BCI 

có một vectơ pháp tuyến là

n   a; b;1 . Tính 6a  b .
A. 2 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 8 .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;3;5 và B  3; 1;1 . Mặt phẳng trung
trực của đoạn AB có phương trình
A. x  2 y  2 z  6  0 . B. x  2 y  2 z  6  0 . C. x  2 y  2 z  6  0 . D. x  2 y  2 z  6  0 .
x  3 y 1 z  2
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  :
và điểm


4
3
1
M  0;0; 2  . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng
.
A. 4 x  3 y  z  7  0 . B. 4 x  3 y  z  2  0 . C. 3x  y  2 z  13  0 . D. 3x  y  2 z  4  0 .

Câu 17. Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A  0; 1;2  , B  2;0;3 và

C 1; 2;0  là
A. 7 x  5 y  3z  1  0 .
B. 7 x  5 y  3z  11  0 .
C. 5x  3 y  7 z  17  0 .
D. 5x  3 y  7 z  11  0 .
Câu 18. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm M(1; 2; 5) và vng
góc với hai mặt phẳng (Q) : x  2 y  3z  1  0 và ( R) : 2 x  3 y  z  1  0 .
A. x  y  z  2  0 .
B. x  2 y  3z  2  0 C. 2 x  3 y  z  9  0 . D. x  2 y  z  20  0
Câu 19. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm
A(1;2; 2), B(2; 1;4) và vng góc với    : x  2 y  z  1  0.
A. 15x  7 y  z  27  0 .
C. 15x  7 y  z  27  0 .
Câu 20.

B. 15x  7 y  z  27  0 .
D. 15x  7 y  z  27  0

x 1

Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 :  y  1  2t
 z 1  t

và song song với đường thẳng d 2 :
A. 6 x  y  2 z  3  0 .
C. 6 x  y  2 z  3  0 .

Câu 21.

x 1 y z 1
.
 
1
2
2
B. 6 x  y  2 z  3  0 .
D. 6 x  y  2 z  3  0

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   là mặt phẳng song song với mặt phẳng

   : 2x  4 y  4z  3  0
phẳng   là:
A.
B.
C.
D.

và cách điểm A  2; 3; 4  một khoảng k  3 . Phương trình của mặt

2 x  4 y  4 z  5  0 hoặc 2 x  4 y  4 z 13  0 .
x  2 y  2 z  25  0 .
x  2 y  2z  7  0 .
x  2 y  2 z  25  0 hoặc x  2 y  2 z  7  0 .


ABC
Oxyz, cho tam giác
với

A 1;4; 1 , B  2;4;3 , C  2;2; 1 . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và
song song với BC là
x  1
x  1
x  1
x  1




A.  y  4  t .
B.  y  4  t .
C.  y  4  t .
D.  y  4  t .
 z  1  2t
 z  1  2t
 z  1  2t
 z  1  2t




x 2 y  2 z 3
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :
,


2
1
1

x 1 t
qua A , vng góc với d1 và cắt d2 có
d2 : y 1 2t và điểm A 1; 2;3 . Đường thẳng
z
1 t
phương trình là:
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
A.
.
B.
.
1
3
5
1
3
5
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
C.
.
D.
.
1
3
5
1
3
5

x  t

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :  y  t ,
z  2

x  3 y 1 z
2 :

 . Đường vng góc chung của 1 và  2 đi qua điểm nào dưới đây?
1
2
1
 32 7 
32 7 
 32 7 

 32 7 
; .
A. P  2; ;  .
B. Q  2; ;  . C. N  2; ;  .
D. M  2;
11 11 
 11 11 
 11 11 

 11 11 
Câu 22.

Câu 25.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

  : x  y  nz  3  0
   : 2 x  my  2z  6  0 . Với giá trị nào sau đây của m, n thì   song song với    .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

và

1
1
và n  1 . D. m  1 và n   .
2
2
x 10 y 2 z 2
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng :
và mặt
5
1

1
phẳng  P  :10 x  2 y  mz  11  0 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt
A. m  2 và n  1 .

B. m  1 và n  2 .

C. m  

phẳng  P  vng góc với đường thẳng  .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  52 .
D. m  52 .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0  , N  0;1;0  , P  0;0;1 . Cosin của
góc giữa hai mặt phẳng  MNP  và mặt phẳng Oxy bằng:

1
.
3

B.

2
.
5

1
.
3

1
.
5
x  2 y 1 z

 song song với
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :
1
1
1
mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  4  0 . Tính khoảng cách từ đường thẳng  đến  P  .
A.

C.

D.

3
5
4
3
.
B.
.
C.
.
D.
3
6
6

6
Câu 29. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d đi qua hai
điểm A  3;0; 1 , B  1; 2;1 và mặt phẳng  P  : x  y  2 z  2  0 .
A.

A. M 1; 1;0  .

B. M  3;1; 2  .

C. M  2; 2;1 .

D. M  17; 15; 9 


Cho 3 vecto a  1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2. .
B. 1. .
C. 2. .
D. 1.
Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(1;2;0) , C (1;1; 2) . H
là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
A.
B.
C.
D.

..
..
..
.
12
14
16
15
Câu 32. Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) . Gọi H (a; b;c) là
trực tâm của tam giác ABC . Khi đó: a  b c bằng
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 33. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt cầu đi qua hai điểm A  2;1;0  và B  2;3; 2 
Câu 30.

x 1 y
z
có phương trình là:
 
2
1 2
2
2
2
2
2
2
A.  x  1   y  1   z  2   17 .

B.  x  1   y  1   z  2   16 .

có tâm thuộc đường thẳng d :

C.  x  1   y  1   z  2   17 .
2

Câu 34.

2

D.  x  1   y  1   z  2   16 .

2

2

2

2

Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  1  100 và
2

2

2

mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  9  0 . Tìm I trên mặt cầu  S  sao cho khoảng cách từ I đến

 P

lớn nhất.

 29 26 7 
 29 26 7 
 29 26 7 
 11 14 13 
A. I  ;  ;   . B. I  ; ;   .
C. I   ; ;  . D. I   ; ;  .
3
3
3
 3
 3 3
 3 3 3
 3 3 3
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  0;1;1 , B  3;0; 1 , C  0;21; 19  và

mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  1 . Gọi M  a ; b ; c  là điểm thuộc mặt cầu  S  sao
2

2

2

cho biểu thức T  3MA2  2MB2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S  a  b  c .
14
12
A. S  0 .

B. S  .
C. S  12 .
D. S  .
5
5
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm M  1; 1;3 , N 1;0; 4  và mặt phẳng

 Q  : x  2 y  z  5  0 . Gọi  P 

là mặt phẳng đi qua M , N và tạo với  Q  một góc nhỏ nhất.
Khi đó mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây.
A. C  0; 2; 2  .
B. D 1; 2;6  .
C. B 1;0;5 .
D. A  5;0;1 .
Câu 37.

Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 0;1 và mặt phẳng

 Q  : 2 x  y  z 1  0 . Tìm
phương trình mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng  Q  và cách điểm
M một khoảng lớn nhất.
A.  P  : y  z  1  0 .
B.  P  : y  z  0 .

Câu 38.

C.  P  : x  y  z  0 . D.  P  : x  2 z  0 .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   đi qua điểm M 1; 1; 1 và cắt chiều

dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho tứ diện OABC
có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng   có phương trình là:

A. x  y  z  3  0 .
B. x  y  z  3  0 . C. x  y  z  3  0 . D. x  y  z  3  0
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , biết A  0;0;0  , A 1;0;0  ,

D  0;1;0  và A  0;0;1 . Phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng CD và tạo với mặt
phẳng  BBDD một góc lớn nhất là:
A. x  y  z  0 .

B. x  y  z  2  0 .`C. x  2 y  z  3  0 .

D. x  3 y  z  4  0


Câu 40.

Trong không gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A  0;1; 1 ; B 1;1;2  ; C 1; 1;0  ; D  0;0;1 .
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  BCD  và chia tứ
diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng
A. 3x  3z  4  0 .

Câu 41.

B. y  z  1  0 .

C. y  z  4  0 .

1

.
27

D. 4 x  3z  4  0

x  3  t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y  1  t , điểm M 1; 2; 1 và
 z  2  t


mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  4 x  10 y  14 z  64  0 . Gọi  ' là đường thẳng đi qua M và cắt 

AM 1
 và điểm B có hồnh độ là số ngun. Mặt phẳng trung
AB 3
trực của đoạn AB có phương trình là:
A. 2 x  4 y  4 z  19  0 .
B. 2 x  4 y  4 z  43  0 .
129
C. 3x  6 y  6 z 
D. 3x  6 y  6 z  31  0 .
 0.
2
Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(2;3;3) , phương trình đường
x3 y 3 z 2


, phương trình đường phân giác trong của góc C
trung tuyến kẻ từ B là

1
2
1
x2 y4 z2


. Đường thẳng BC có một vecto chỉ phương là
là
2
1
1
A. u   2;1; 1 .
B. u  1;1;0  .
C. u  1; 1;0  .
D. u  1;2;1 .

tại A , cắt  S  tại B sao cho

Câu 43.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :

x 2 y 5 z 2
,


1
2
1

x  2 y 1 z  2
và hai điểm A  a;0;0  , A  0;0; b  . Gọi  P  là mặt phẳng chứa d và


1
2
1
d  ; H là giao điểm của đường thẳng AA và mặt phẳng  P  . Một đường thẳng  thay đổi

d :

trên  P  nhưng luôn đi qua H đồng thời  cắt d và d  lần lượt tại B , B . Hai đường thẳng
AB , AB cắt nhau tại điểm M . Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có véc tơ
chỉ phương u  15; 10; 1 (tham khảo hình vẽ). Tính T  a  b

A. T  8 .
B. T  9 .
Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ

C. T  9 .
Oxyz , cho điểm

D. T  6 .
A 1; 2;3 , đường thẳng

x  2 y z 1
2
2
2
và mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  16 . Hỏi có bao nhiêu

 
1
3
2
đường thẳng    qua A , vng góc  d  và tiếp xúc với  S 

d  :

A. 0 .
B. 2 .
C. Vô số.
D. 1 .
Câu 45. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a  1 . Một đường
thẳng d đi qua đỉnh D và tâm I của mặt bên BCCB . Hai điểm M ,
N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng  BCC B  và  ABCD  sao
cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ).
Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là


2 5
5
4
2
.
B. .
C. .
D.
.
5
5

5
5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

A.
Câu 46.

 P : x  y  z  3  0 ,

 Q  : x  2 y  2 z  5  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z 11  0 . Gọi M là điểm di
động trên  S  và N là điểm di động trên  P  sao cho MN ln vng góc với  Q  . Giá trị
lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng
A. 9  5 3 .
B. 28 .
C. 14 .
D. 3  5 3 .
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0  , B  3;3;2  , C  1;2;2  , D 3;3;1 . Mặt cầu
tâm D tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là
81
81
2
2
2
B.  x  3   y  3   z  1  .
.
98
49
81
81
2

2
2
2
2
2
C.  x  3   y  3   z  1  .
D.  x  3   y  3   z  1 
.
2
196
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  2;1; 3 , điểm B  3; 2;1 . Gọi Δ là

A.  x  3   y  3   z  1 
2

2

2

đường thẳng đi qua M 1; 2;3 sao cho tổng các khoảng cách từ A và B đến Δ là lớn nhất.
Phương trình đường thẳng Δ là
x 1
z
x 1 y  2 z  3
 y2 .


A.
B.
.

5
4
3
2
1
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




C.
.
D.
.
1
13
2
3
2
2
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi  P  là mặt phẳng đi qua hai điểm A 1; 7; 8 ,

B  2; 5; 9  sao cho khoảng cách từ điểm M  7; 1; 2  đến  P  đạt giá trị lớn nhất. Biết  P 
có một véctơ pháp tuyến là n   a; b; 4  , khi đó giá trị của tổng a  b là
Câu 50.

A. 3 .
B. 1 .
C. 6 .

D. 2 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 3x  3 y  2 z 15  0 và ba điểm
A 1; 2;0  ,
B 1; 1;3 , C 1; 1; 1 . Điểm
M ( x0 ; y0 ; z0 )
thuộc
sao cho
( P)
2MA2  MB2  MC 2 nhỏ nhất. Giá trị 2 x0  3 y0  z0 bằng
A. 5 .
B. 11 .
C. 15 .

--- HẾT ---

D. 10 .


BẢNG ĐÁP ÁN
1.C
11.D
21.D
31.D
41.C
Câu 1.

2.A
12.A
22.A
32.C

42.C

3.A
13.D
23.A
33.A
43.D

4.B
14.C
24.A
34.A
44.D

5.A
15.A
25.A
35.B
45.A

6.B
16.B
26.A
36.A
46.A

7.A
17.D
27.A
37.B

47.A

8.A
18.A
28.A
38.C
48.C

9.A
19.A
29.A
39.A
49.A

10.A
20.A
30.A
40.B
50.A

[2H3-1] Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a  1; 1; 2 , b   3;0; 1 , c   2;5;1 , vectơ

m  a  b  c có tọa độ là
A.  6;0; 6  .
B.  6;6;0  .

C.  6; 6;0  .

D.  0;6; 6  .

Lời giải
Chọn C.
Câu 2.
[2H3-1] Cho vectơ a  1;3; 4  , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b   2; 6; 8 . .

B. b   2; 6;8 . .
C. b   2;6;8 . .
Lời giải

D. b   2; 6; 8 .

Chọn A
b   2; 6; 8 thỏa mãn b  2a .
Câu 3.

[2H3-1] Mặt cầu tâm I  1; 2; 3 và đi qua điểm A  2;0;0  có phương trình:
A.  x  1   y  2    z  3  22. .

B.  x  1   y  2    z  3  11. .

C.  x  1   y  2    z  3  22. .

D.  x  1   y  2    z  3  22.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
2
2
2
Ta có: R  IA  22 nên phương trình mặt cầu là  x  1   y  2    z  3  22. .
Câu 4.

[2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2 z  3  0 và điểm

I 1;1;0  Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với  P  là:

5
.
6
5
2
2
C.  x  1   y  1  z 2 
.
6

25
.
6
25
2
2
D.  x  1   y  1  z 2 
.
6
Lời giải

A.  x  1   y  1  z 2 
2

B.  x  1   y  1  z 2 

2

2

2

Chọn B
Tâm I 1;1;0 
Bán kính R  d  I ,  P   

11 3
11 4



5
6

25
.
6
[2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A  2; 1;3 , B  4;0;1 ,

Vậy phương trình mặt cầu là:  x  1   y  1  z 2 
2

Câu 5.

2

C  10;5;3 . Vectơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  ABC  ?
A. n2 1; 2; 2  .

B. n1 1; 2;0  .

C. n4 1; 2; 2  .

D. n3 1;8; 2  .

Lời giải
Chọn A
Ta có AB   2;1; 2  , AC   12;6;0    AB, AC   12; 24; 24   12. 1; 2; 2  .
Do đó n2 1; 2; 2  là vectơ pháp tuyến của (ABC).
Câu 6.

[2H3-1] Mặt phẳng  P  đi qua ba điểm A 8;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 4  . Phương trình mặt


phẳng  P  là:
A. x  2 y  2 z  8  0 .

B. x  4 y  2 z  8  0 . C.

x y z

  0.
8 2 4

D.

x y z
   1.
4 1 4

Lời giải
Chọn B

x y z

  1  x  4 y  2z  8  0 .
8 2 4
[2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình

Phương trình mặt phẳng  P  là:
Câu 7.

chính tắc  của đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;5 và B  3;1;1 ?
x 1 y  2 z  5
x  3 y 1 z 1
A.


. . B.


..
2
3
4
1
2
5
x 1 y  2 z  5
x 1 y  2 z  5

C.


. . D.


.
2
3
4
3
1
1
Lời giải
Chọn A
 đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương AB   2;3; 4 
x 1 y  2 z  5
Vậy phương trình chính tắc của  là


2
3
4 .
Câu 8.

[2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho OM  2i  k và mặt phẳng
 P  : 2x  2 y  z  6  0 . Tính khoảng cách từ điểm M đến  P  .
A. 3 .

B.

11
.
3

C. 4 .

D.

8
3

Lời giải
Chọn A
OM  2i  k  M  2;0; 1  d  M ,  P    3
Câu 9.

[2H3-1] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng
x  3 y 1 z  2
và mặt phẳng  P  : x  2 y  z  4  0 .
d:


2
2
1
A. M 1; 1;1 .
B. M  3;1; 2  .
C. M  2; 2;1 .
D. M  17; 15; 9 

Lời giải
Chọn A
Tọa độ điểm M là nghiệm vủa hệ

x  2 y  z  4  0
x  1

 x  3 y 1


  y  1  M 1; 1;1

2
 2

z  1
x 3 z 2
 2  1
Câu 10. [2H3-2] Trong không gian cho hai điểm A  1;2;3 , B  0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.

6. .

B.

8. .

C. 10. .
Lời giải

D. 12.

Chọn A.
Câu 11. [2H3-2] Cho u   2; 1;1 , v   m;3; 1 , w  1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên
đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B.  .
C. .
D.  .
8
8
3
3
Lời giải
Chọn D


Ta có: u, v    2; m  2; m  6  ,

u, v  .w  3m  8
 
8
u, v, w đồng phẳng  u, v  .w  0  m   .
3
Câu 12. [2H3-2] Mặt cầu đường kính AB với A  2;0;0  , B(4;4; 6) có phương trình:

A.  x  1   y  2    z  3  22. .

B.  x  1   y  2    z  3  11. .

C.  x  1   y  2    z  3  22. .

D.  x  1   y  2    z  3  22.
Lời giải

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Chọn A
Ta có: Mặt cầu tâm I  1; 2; 3 và R  IA  22
nên phương trình mặt cầu là  x  1   y  2    z  3  22. .
2

Câu 13.

2

2

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3) , B(5; 2;7) . Phương
trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu đường kính AB ?
2
2
2
2
A.  x  2   y 2   z  2   38 .
B.  x  2   y 2   z  2   38 .
C.  x  2   y 2   z  2   38 .
2

2

D.  x  2   y 2   z  2   38 .
Lời giải
2

2

Chọn D
Tâm của mặt cầu là trung điểm I  2;0; 2  của AB
Bán kính R  IA  38 .
2
2
Phương trình mặt cầu  x  2   y 2   z  2   38 .
Câu 14.

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A  0;3;0  , B  2;1;1 , C  1; 2; 2  .
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC . Mặt phẳng  BCI  có một vectơ pháp tuyến là

n   a; b;1 . Tính 6a  b .
A. 2 .

B. 2 .

C. 8 .
Lời giải

D. 8 .

Chọn C
Ta có:  OBC  :  y  z  0 và  ABC  : 3x  5 y  4 z  15  0
Phương trình các mặt phẳng phân giác của  OBC  và  ABC  là:
3x  10 y  z  15  0
y  z
3x  5 y  4 z  15



2
5 2
 x  3z  5  0
Do mặt phẳng  IBC  là mặt phẳng phân giác của  OBC  và  ABC  có A , O nằm ở hai phía

so với  IBC    IBC  : 3x  10 y  z  15  0
Do đó một vectơ pháp tuyến của  IBC  là n   3; 10;1  a  3; b  10 .
Vậy 6a  b  8 .
Câu 15. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;3;5 và B  3; 1;1 . Mặt
phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình
A. x  2 y  2 z  6  0 . B. x  2 y  2 z  6  0 . C. x  2 y  2 z  6  0 . D. x  2 y  2 z  6  0 .
Lời giải
Chọn A
Gọi I là trung điểm AB  I  2;1;3
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua điểm I  2;1;3 và nhận AB   2; 4; 4  là VTPT

 Phương trình phẳng trung trực của đoạn AB là
2  x  2   4  y  1  4  z  3  0  x  2 y  2 z  6  0 .
Câu 16.

[2H3-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  :

x  3 y 1 z  2


và
4
3

1


điểm M  0;0; 2  . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M và vng góc với đường
thẳng  .
A. 4 x  3 y  z  7  0 . B. 4 x  3 y  z  2  0 . C. 3x  y  2 z  13  0 . D. 3x  y  2 z  4  0 .
Lời giải
Chọn B
x  3 y 1 z  2
Mặt phẳng  P  đi qua điểm M và vng góc với đường thẳng  :


4
3
1
Nên  P  đi qua điểm M và có 1 VTPT là n   4;3;1
Vậy phương trình  P  : 4 x  3 y  z  2  0 .
Câu 17.

[2H3-2] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm A  0; 1;2  , B  2;0;3
và C 1; 2;0  là
A. 7 x  5 y  3z  1  0 . B. 7 x  5 y  3z  11  0 .
C. 5x  3 y  7 z  17  0 . D. 5x  3 y  7 z  11  0 .
Lời giải
Chọn D
AB   2;1;1 ; AC  1;3; 2  .

 AB, AC    5; 3; 7     5;3;7 



 ABC  qua điểm A  0; 1; 2 , có vectơ pháp tuyến n   5;3;7  nên có phương trình:

5  x  0  3  y  1  7  z  2   0  5x  3 y  7 z  11  0 .
Câu 18.

[2H3-2] Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua điểm M(1; 2; 5)
và vng góc với hai mặt phẳng (Q) : x  2 y  3z  1  0 và ( R) : 2 x  3 y  z  1  0 .
A. x  y  z  2  0 .
B. x  2 y  3z  2  0 C. 2 x  3 y  z  9  0 . D. x  2 y  z  20  0
Lời giả
Chọn A
VTPT của (Q) là nQ (1; 2; 3) , VTPT của ( R) là nR (2; 3;1).

Ta có nQ , nR   (7; 7; 7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) là một VTPT và ( P) đi qua
điểm M(1; 2; 5) nên có phương trình là: x  y  z  2  0 .
Câu 19. [2H3-2] Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm
A(1;2; 2), B(2; 1;4) và vng góc với    : x  2 y  z  1  0.
A. 15x  7 y  z  27  0 .
C. 15x  7 y  z  27  0 .
Lời giải
Chọn A
Có AB  1; 3;6 

B. 15x  7 y  z  27  0 .
D. 15x  7 y  z  27  0

Mặt phẳng    có VTPT là n  1; 2; 1 .
Mặt phẳng ( ) chứa A , B và vng góc với    nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:
n   AB, n   15;7;1 .
Phương trình mặt phẳng    là: 15x  7 y  z  27  0 .

Câu 20.

[2H3-2] Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng
x 1

x 1 y z 1
d1 :  y  1  2t và song song với đường thẳng d 2 :
.
 
1
2
2
 z 1  t

A. 6 x  y  2 z  3  0 . B. 6 x  y  2 z  3  0 .
C. 6 x  y  2 z  3  0 . D. 6 x  y  2 z  3  0


Lời giải
Chọn A
Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 (1;1;1) vectơ chỉ phương u1 (0; 2;1) .
Đường thẳng d 2 đi qua điểm M 2 (1;0;1) vectơ chỉ phương u2 (1; 2; 2) .
Ta có u1 , u2   (6;1; 2) .
Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) , ta có:

 n  u1
nên n cùng phương với u1 , u2  .

n  u2

Chọn n  (6;1; 2) .
Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M1 (1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến n  (6;1; 2) có phương trình:
 6( x 1)  1( y  1)  2( z  1)  0
 6 x  y  2 z  3  0 .
Thay tọa độ điểm M 2 vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: 6 x  y  2 z  3  0 .
Câu 21.

[2H3-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   là mặt phẳng song song với mặt phẳng

   : 2x  4 y  4z  3  0
phẳng   là:
A.
B.
C.
D.

và cách điểm A  2; 3; 4  một khoảng k  3 . Phương trình của mặt

2 x  4 y  4 z  5  0 hoặc 2 x  4 y  4 z 13  0 .
x  2 y  2 z  25  0 .
x  2 y  2z  7  0 .
x  2 y  2 z  25  0 hoặc x  2 y  2 z  7  0 .
Lời giải

Chọn D
Vì   / /       : 2 x  4 y  4 z  m  0  m  3
Giả thiết có d  A,     3 

32  m

 m  14
3 
6
 m  50

Vậy   : x  2 y  2 z  7  0 ,   : x  2 y  2 z  25  0 .
Câu 22.

Oxyz, cho tam giác ABC với
A 1;4; 1 , B  2;4;3 , C  2;2; 1 . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và
song song với BC là
x  1
x  1


A.  y  4  t . .
B.  y  4  t . .
 z  1  2t
 z  1  2t


[2H3-2]

Trong

không

x  1

C.  y  4  t . .

 z  1  2t


gian

với

hệ

tọa

độ

x  1

D.  y  4  t .
 z  1  2t


Lời giải
Chọn A
Gọi d là đường thẳng cẩn tìm.

BC   0; 2; 4  2  0;1;2 

Vì d song song với BC nên d có vectơ chỉ phương ad   0;1;2 

d qua A 1;4; 1 và có vectơ chỉ phương ad

x  1

Vậy phương trình tham số của d là  y  4  t
.
 z  1  2t


Câu 23.

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x 1 t
qua A , vuông
d2 : y 1 2t và điểm A 1; 2;3 . Đường thẳng
z
1 t
phương trình là:
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z
A.
.
B.
1
3
5
1
3
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z
C.

.
D.
1
3
5
1
3
Lời giải
Chọn A
Gọi B
d2 suy ra B d2 nên B 1 t ;1 2t ; 1 t .

Đường thẳng

có vectơ chỉ phương AB

t ;2t 1; t

x 2 y  2 z 3
,


2
1
1

góc với d1 và cắt d2 có

3
.

5
3
.
5

4 .

d1 nên AB.u1  0  t  1  B  2; 1; 2 
x 1 y 2
đi qua hai điểm A 1;2;3 và B 2; 1; 2 nên :
1
3

Theo giả thiết, ta có
Khi đó

Câu 24.

z 3
.
5

x  t

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :  y  t ,
z  2


x  3 y 1 z


 . Đường vng góc chung của 1 và  2 đi qua điểm nào dưới đây?
1
2
1
 32 7 
32 7 
 32 7 

 32 7 
; .
A. P  2; ;  .
B. Q  2; ;  . C. N  2; ;  .
D. M  2;
11 11 
 11 11 
 11 11 

 11 11 
Lời giải
Chọn A
Gọi A  a; a; 2   1 , B  3  b;1  2b; b   2  AB   3  b  a;1  2b  a; b  2 
2 :

 AB  u
1
AB là đoạn vng góc chung của 1 và  2  
 AB  u2
27

a


3

b

a

1

2
b

a

0

2
a

b


4



11




.
 3  b  a  2  4b  2a  b  2  0
 a  6b  3
b  10

11
4
 23 31 10 
 4 4 12 
Suy ra B  ; ;  và AB    ; ;     1; 1;3 .
11
 11 11 11 
 11 11 11 
23

 x  11  t

31

Phương trình đường vng góc chung là  y 
t .
11

10

 z  11  3t
1
 32 7 
Với t 
thì điểm P  2; ;  thuộc đường vng góc chung nên chọn.

11
 11 11 

C.


Câu 25.

[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng   : x  y  nz  3  0 và

   : 2 x  my  2z  6  0 . Với giá trị nào sau đây của m, n thì  
A. m  2 và n  1 .

C. m  

B. m  1 và n  2 .

song song với    .

1
1
và n  1 . D. m  1 và n   .
2
2

Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng   có VTPT n

1; 1; n , mặt phẳng    có VTPT n

2; m;2 .

1  k .2
m  2

Để
khi và chỉ khi n  kn  k  0   1  k .m  
.
n  1
n  k .2

Câu 26. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
x 10 y 2 z 2
và mặt phẳng  P  :10 x  2 y  mz  11  0 với m là tham số thực.
:
5
1
1
Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng  P  vng góc với đường thẳng  .
A. m  2 .
B. m  2 .
C. m  52 .
D. m  52 .
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng
có VTCP u  5;1;1
Mặt phẳng P có VTPT nP  10;2; m  .

10 2 m
   m  2.
5 1 1
[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0  , N  0;1;0  , P  0;0;1 .

Để    P   u / / nP 
Câu 27.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng  MNP  và mặt phẳng Oxy bằng:
A.

1
.
3

B.

2
.
5

C.

1
.
3

D.

1

.
5

Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng M N P có một VTPT là n

MN ; MP

Mặt phẳng Oxy có một VTPT là k
Gọi

0;0;1 .

là góc giữa hai mặt phẳng  MNP  và Oxy .

Ta có cos
Câu 28.

1;1;1 .

cos n, k

1.0 1.0 1.1
12

12

12

1
.
3

x  2 y 1 z

 song
1
1
1
song với mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  4  0 . Tính khoảng cách từ đường thẳng  đến  P  .
[2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

A.

3
.
6

B.

5
.
6

C.

4
.
6

D.

3
3

Lời giải
Chọn A

M  2;1;0     d  ,  P    d  M ,  P   

3
.
6
Câu 29. [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d đi
qua hai điểm A  3;0; 1 , B  1; 2;1 và mặt phẳng  P  : x  y  2 z  2  0 .
A. M 1; 1;0  .

B. M  3;1; 2  .

C. M  2; 2;1 .
Lời giải

D. M  17; 15; 9 


Chọn A

x 1 y  2 z



2
1
1
Tọa độ điểm M là nghiệm vủa hệ

x  y  2z  2  0
x  1

 x 1 y  2


  y  1  M 1; 1;0  .

1
 2

z  0
 x 1 z
 2  1
Câu 30. [2H3-3] Cho 3 vecto a  1; 2;1 ; b   1;1; 2  và c   x;3x; x  2  . Tìm x để 3 vectơ a, b, c
đồng phẳng
A. 2. .
B. 1. .
C. 2. .
D. 1.
Lời giải
Chọn A
a, b, c đồng phẳng thì  a, b  .c  0  x  2. .
 

Câu 31. [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) ,
B(1;2;0) , C (1;1; 2) . H là trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
Đường thẳng d :

A.

870
..
12

870
..
14

B.

C.

870
..
16

D.

870
.
15

Lời giải
Chọn D

H ( x; y; z ) là trực tâm của ABC  BH  AC, CH  AB, H  ( ABC )

 BH . AC  0

870
2
29
1

 2 29 1 

.
 CH . AB  0
  x  ; y  ; z    H  ; ;    OH 
15
15
15
3
 15 15 3 





  AB, AC  . AH  0
Câu 32. [2H3-3] Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) . Gọi
H (a; b;c) là trực tâm của tam giác ABC . Khi đó: a  b c bằng
A. 0 .
B. 1 .
C. 1 .

D. 2 .
Lời giải
Chọn C
AB   1;0;1 , AC  1;1;1 , BC   2;1;0  .  AB. AC    1; 2; 1

Câu 33.

 H  (ABC)
a  1


Điều kiện:  AH .BC  0  b  0 .

c  0

CH . AB  0
[2H3-3] Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt cầu đi qua hai điểm A  2;1;0  và

A.  x  1   y  1   z  2   17 .

x 1 y
z
 
có phương trình là:
2
1 2
2
2
2
B.  x  1   y  1   z  2   16 .

C.  x  1   y  1   z  2   17 .

D.  x  1   y  1   z  2   16 .

B  2;3; 2  có tâm thuộc đường thẳng d :
2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
Giả sử mặt cầu  S  có tâm I và qua hai điểm A , B .
Ta có: I  d :

x 1 y
z
 I 1  2t , t ,  2t 
 
2

1 2

2

2


IA  IB   2t  1   t  1   2t    2t  3   t  3   2t  2 
2

2

2

2

2

2

 t  1  I  1;  1; 2  , R  IA  17 .

Vậy  S  : x  1   y  1   z  2   17 .
2

Câu 34.

[2H3-3]

2

Trong

2

không

gian

với

hệ

trục

Oxyz ,

cho

mặt

 S  :  x  3   y  2   z 1  100 và mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  9  0 . Tìm
cầu  S  sao cho khoảng cách từ I đến  P  lớn nhất.
2

2

 29 26 7 
A. I  ;  ;   .
3

3
 3

2

 29 26 7 
 29 26 7 
B. I  ; ;   .
C. I   ; ;  .
3
 3 3
 3 3 3
Lời giải

cầu

I trên mặt

 11 14 13 
D. I   ; ;  .
 3 3 3

Chọn A
Điểm I nằm trên mặt cầu  S  để khoảng cách từ I đến  P  lớn nhất thì I phải nằm trên
đường thẳng  đi qua tâm J  3;  2;1 và vng góc với mặt phẳng  P  .

 x  3  2t

Phương trình đường thẳng  :  y  2  2t .
z  1 t


I   I  3  2t; 2  2t;1  t  .
10
.
3
 29 26 7 
Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt cầu  S  là I1  ;  ;   và
3
3
 3
 11 14 13 
I2   ; ;  .
 3 3 3
Khi đó d  I1;  P    16 ; d  I 2 ;  P    4 vậy điểm I cần tìm là I1 .
I  ( S )  (3  2t  3)2  (2  2t  2)2  (1  t  1)2  100  9t 2  100  t  

Câu 35.

[2H3-3]

Trong

không

gian

với

hệ

A  0;1;1 , B  3;0; 1 , C  0;21; 19  và mặt cầu

tọa

độ

Oxyz ,

cho

ba

 S  :  x 1   y 1   z 1
2

2

2

điểm

 1 . Gọi

M  a ; b ; c  là điểm thuộc mặt cầu  S  sao cho biểu thức T  3MA2  2MB2  MC 2 đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính tổng S  a  b  c .
14
A. S  0 .
B. S  .
5

C. S  12 .

D. S 

12
.
5

Lời giải
Chọn B
Xét điểm I  x1 , y1 , z1  thỏa mãn 3 AI  2BI  CI  0 . Khi đó:

3x1  2  x1  3  x1  0
 x1  1


  y1  4 . Do đó I 1; 4;  3 .
3  y1  1  2 y1   y1  21  0


 z1  3
3  z1  1  2  z1  1   z1  19   0
Ta có: T  3MA2  2MB2  MC 2  3AI 2  2BI 2  CI 2  6IM 2 .
Do đó T  3MA2  2MB2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất.
Mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1  1 có tâm E 1;1;1 và bán kính r  1 .
2

2

2

Dễ thấy EI  5 nên I nằm ngồi  S  . Khi đó IM nhỏ nhất khi M là giao điểm của EI và

 S  sao cho

M nằm trên đoạn thẳng EI .

14
 8 1
Vậy EI  5EM  M 1; ;  hay S  a  b  c  .
5
 5 5
Câu 36. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm M  1; 1;3 , N 1;0; 4  và mặt


phẳng  Q  : x  2 y  z  5  0 . Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M , N và tạo với  Q  một góc
nhỏ nhất. Khi đó mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây.
A. C  0; 2; 2  .
B. D 1; 2;6  .
C. B 1;0;5 .
D. A  5;0;1 .
Lời giải
Chọn A
Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  và  Q  . Khi đó u   MN , nQ    3;3;3 .
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q  nhỏ nhất khi   MN .
Từ đó suy ra véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là u   MN , u    9;0;9   9 1;0;1 .

Vậy nên phương trình mặt phẳng  P  là 1.  x  1  0.  y  1  .  z  3  0 hay x  z  2  0 .
Dễ thấy C  0; 2; 2    P  .
Câu 37.

[2H3-3] Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 0;1 và mặt phẳng  Q  : 2 x  y  z  1  0 .
Tìm phương trình mặt phẳng  P  đi qua gốc tọa độ O, vng góc với mặt phẳng  Q  và cách
điểm M một khoảng lớn nhất.
A.  P  : y  z  1  0 .
B.  P  : y  z  0 .
C.  P  : x  y  z  0 .

D.  P  : x  2 z  0 .

Lời giải
Chọn B
Gọi d là đường thẳng qua đi qua gốc tọa độ O và vng góc với mặt phẳng  Q   d   P 
Mặt phẳng  P  là mặt phẳng chứa d và cách M một khoảng lớn nhất nên giải tương tự ví dụ 2 ta có

 P

chứa d và vng góc với MK (K là hình chiếu của M lên d)

 P

có VTPT n   ud , OM  , ud    nQ , OM  , nQ    0; 3; 3

 

Phương trình mặt phẳng  P  : y  z  0 .
Câu 38.

[2H3-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   đi qua điểm M 1; 1; 1 và
cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C (khác gốc toạ độ O ) sao cho tứ diện

OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng   có phương trình là:
A. x  y  z  3  0 .

B. x  y  z  3  0 .

C. x  y  z  3  0 .

D. x  y  z  3  0

Lời giải
Chọn C
Gọi ba điểm A  a;0;0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với a, b, c  0 , khi đó phương trình có dạng:
( P) :

x y z
   1.
a b c

1 1 1
  1
a b c
.
1
1
Thể tích khối tứ diện OABC : VOABC  OA.OB.OC  a.b.c
6
6
1 1 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương , , :
a b c

1 1 1
1 1 1
   3 3  
a b c
a b c
1 1 1
1
9
Do    1 nên suy ra abc  27  abc  .
a b c
6
2
9
1 1 1 1
VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi     a  b  c  3
2
a b c 3

Điểm M thuộc ( P) nên ta có:


x y z
( P) :    1  x  y  z  3  0
3 3 3
Khi đó
.
Câu 39. [2H3-3] Trong khơng gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , biết A  0;0;0  ,

A 1;0;0  , D  0;1;0  và A '  0;0;1 . Phương trình mặt phẳng  P  chứa đường thẳng CD ' và

tạo với mặt phẳng  BB ' DD ' một góc lớn nhất là:
A. x  y  z  0 .
C. x  2 y  z  3  0 .
Lời giải

B. x  y  z  2  0 .
D. x  3 y  z  4  0

Chọn A
+ B 1;0;0  , B ' 1;0;1 , C 1;1;0  , D '  0;1;1 . Do đó  BB ' D ' D  có phương trình: x  y  1  0
+  P  tạo với  BB ' D ' D  một góc lớn nhất   P  vng góc với  BB ' D ' D  .
Vậy  P  chứa CD ' và vng góc với  BB ' D ' D  nên phương trình  P  : x  y  z  0 .
Câu 40.

[2H3-3]

Trong

khơng

gian

Oxyz ,

cho

tứ

giác

ABCD

có

A  0;1; 1 ; B 1;1;2  ; C 1; 1;0  ; D  0;0;1 . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  Q 
song song với mặt phẳng  BCD  và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số
1
.
27
A. 3x  3z  4  0 .
C. y  z  4  0 .
Lời giải

thể tích bằng

B. y  z  1  0 .
D. 4 x  3z  4  0

Chọn B
3

1
 AM 
+ Tỷ số thể tích hai khối AMNF và MNFBCD : 
 
 AB  27
AM 1

  M chia cạnh AB theo tỉ số 2
AB 3

1  2.0 1

x  3  3

1  2.1

 E y 
 1 ; BC  2  0;1;1 ; BD   1;1;1
3


2  2  1
0
x 
3

+ Vectơ pháp tuyến của  Q  : n   0;1; 1

1

 M   Q    Q  :  x   0   y  11   z  0  1  0   P  : y  z  1  0 .
3


Câu 41.

x  3  t

[2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y  1  t , điểm
 z  2  t



M 1; 2; 1 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  4 x  10 y  14 z  64  0 . Gọi  ' là đường thẳng đi
AM 1
 và điểm B có hồnh độ là số ngun.
AB 3
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình là:
A. 2 x  4 y  4 z  19  0 . B. 2 x  4 y  4 z  43  0 .
129
C. 3x  6 y  6 z 
D. 3x  6 y  6 z  31  0 .
 0.
2
Lời giải
Chọn C

qua M và cắt  tại A , cắt  S  tại B sao cho


Từ giả thiết:  S  có tâm I  2; 5; 7  và bán kính R  14 .
A  A  3  t; 1  t; 2  t   AM   2  t; t  3;1  t  .
AM 1
  AB  3 AM .
AB 3
+) Nếu AB  3 AM   3t  6;3t  9;3  3t   B  2t  3;2t  8; 2t  1 .

Vì

Do B   S   BI  R

  2t  5   2t  13   2t  8  14  12t 2  40t  244  0 ( Vô nghiệm).
2

2

2

+) Nếu AB  3 AM   3t  6; 3t  9; 3  3t   B  4t  9; 4t  10;4t  5 .
Do B   S   BI  R
2
2
2
4
  4t  7    4t  5   4t  2   14  48t 2  112t  64  0  t   ; t  1 .
3
Do B có hồnh độ là số nguyên nên t  1  AB  3; 6; 6  .

129
7

Trung điểm AB là E  ; 3; 6  nên PT mặt phẳng trung trực AB : 3x  6 y  6 z 
0
2
2

.
Câu 42. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(2;3;3) , phương trình
x3 y 3 z 2



, phương trình đường phân giác trong của
đường trung tuyến kẻ từ B là
1
2
1
x2 y4 z2


. Đường thẳng BC có một vecto chỉ phương là
góc C là
2
1
1
A. u   2;1;  1 . .
B. u  1;1;0 . .

C. u  1;  1;0 . .

D. u  1;2;1 .

Lời giải
Chọn C
Gọi d1 là đường phân giác trong của góc C , d 2 là đường trung tuyến kẻ từ B , M là trung
điểm của AC và A1 là điểm đối xứng của A qua d1 .
 M  d2
Cd1 t 0
 M (3  t;3  2t;2  t ); C  4  2t;3  4t;1  2t  
 C  4;3;1 .

 M là trung điểm của AC

Gọi I là trung điểm của AA1 , I  d1 suy ra I  2  2t;4  t;2  t  .

AI .ud1  0  I  2;4;2   AC
  2;  2;0 .Vậy một VTCP của đường thẳng
1

BC

là

u  1;  1;0 . .

Câu 43.

[2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :

x 2 y 5 z 2
,


1
2
1

x  2 y 1 z  2
và hai điểm A  a;0;0  , A  0;0; b  . Gọi  P  là mặt phẳng chứa d và


1
2

1
d  ; H là giao điểm của đường thẳng AA và mặt phẳng  P  . Một đường thẳng  thay đổi

d :

trên  P  nhưng luôn đi qua H đồng thời  cắt d và d  lần lượt tại B , B . Hai đường thẳng
AB , AB cắt nhau tại điểm M . Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có véc tơ
chỉ phương u  15; 10; 1 (tham khảo hình vẽ). Tính T  a  b


A. T  8 .

B. T  9 .

C. T  9 .
Lời giải

D. T  6 .

Chọn.
D.
Cách 1.
Ta có M    A; d    B; d  và  cố định.
Lại có điểm M ln thuộc một đường thẳng cố định d1 , suy ra d1   (vì nếu d1   thì M
cố định, điều này sai do điểm M thay đổi phụ thuộc vào  ). Do đó ta được:
+) n( A;d )  [u1; u]  n1  1; 2; 5   A; d  : x  2 y  5z  2  0
điểm A  a;0;0    A; d   a  2 .
+) n( B;d ')  [u2 ; u]  n2   3; 4;5   B; d  : 3x  4 y  5z  20  0 suy ra b  4 .
Vậy T  a  b  6.
Cách 2.

Gọi I  d  d  . Suy ra IM đi qua I và nhận vtcp là u  15; 10; 1 .
Khi đó mp  A, d   mp  IM , d  : x  2 y  5z  10  0 ( ).

mp  A, d   mp  IM , d  :3x  4 y  5z  20  0 ( ).
a  2
Ta có    Ox  A  2;0;0  và     Oz  B  0;0;4  . Suy ra 
. Vậy T  a  b  6 .
b  4
Câu 44. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 , đường thẳng
x  2 y z 1
2
2
2
và mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  16 . Hỏi có bao nhiêu
 
1
3
2
đường thẳng    qua A , vng góc  d  và tiếp xúc với  S 

d  :

A. 0 .

B. 2 .

C. Vô số.
Lời giải

D. 1 .

Chọn.
D.
Gọi VTCP    là u   a; b; c  , a 2  b2  c 2  0
Mặt cầu  S  : Tâm I 1; 2;3 , R  4
IA   0; 4;0  ,  IA, u    4c;0; 4a  . Ta có

d  I ;    

 IA, u 


 4  4 a 2  c 2  4 a 2  b2  c 2  b  0
u

Mà VTCP  d  vng góc VTCP    nên a  3b  2c  0  a  2c .
Chọn c  1  a  2 . Nên có 1 VTCP của phương trình đường thẳng    . Vậy có 1 PT thỏa.
Câu 45.

[2H3-3] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a  1 . Một đường thẳng d đi qua
đỉnh D và tâm I của mặt bên BCCB . Hai điểm M , N thay đổi lần lượt thuộc các mặt
phẳng  BCC B  và  ABCD  sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham
khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là


A
D

B
C

K M

A
N
D
A.

2 5
.
5

B.

d

B
C

4
.
5

C.

2
.
5

D.

5
.
5

Lời giải
Chọn A
Cho a  1 .
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

A  0;0;0  , D 1;0;1 , B  0;1;0  , C  1;1;1
1
1
1 1
 1
I là trung điểm BC  I  ;1;   DI    ;1;     1; 2;1 .
2
2
2 2
 2
Đường thẳng DI đi qua D 1;0;1 , có một VTCP là u  1; 2;1 có phương trình là:

x  1 t

 y  2t  t  
z  1 t

Mặt phẳng  ABCD  : z  0
Mặt phẳng  BCCB : y  1

M   BCCB  M  m;1; n  , K  DI  K 1  t; 2t;1  t 

K là trung điểm MN  N  2t  m  2; 4t  1;2t  n  2  .

n2
 N  n  m;3  2n;0  .
2
2
2
2
MN   n  2m; 2  2n; n   MN 2   n  2m    2  2n   n2   n  2m   5n2  8n  4

N   ABCD   zN  0  2t  n  2  0  t 

2

2 5
4 4 4

.
  n  2m   5  n      MN 
5
5 5 5

4
2
Dấu bằng xảy ra khi b  và a  .
5
5
Câu 46. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng
2

 P : x  y  z  3  0 ,

 Q  : x  2 y  2 z  5  0 và mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z 11  0 . Gọi M là điểm di
động trên  S  và N là điểm di động trên  P  sao cho MN ln vng góc với  Q  . Giá trị
lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng
A. 9  5 3 .
B. 28 .

C. 14 .
Lời giải

D. 3  5 3 .


Chọn A
Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  5 ; d  I ,  P    3 3 .
MN có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2  , mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến n 1; 1;1 .

Gọi  là góc giữa MN và mặt phẳng  P   sin  

u.n
u . n



1
.
3

d  M ,  P 

 3.d  M ,  P    3. d  I ,  P    R   9  5 3 .
sin 
Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng 9  5 3 .
Câu 47. [2H3-4] Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0  , B  3;3;2  , C  1;2;2  , D 3;3;1 .

Ta có MN 

Mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là
81
..
98
81
2
2
2
C.  x  3   y  3   z  1  . .
2

A.  x  3   y  3   z  1 
2

2

2

81
..
49
81

2
2
2
D.  x  3   y  3   z  1 
.
196
Lời giải

B.  x  3   y  3   z  1 
2

2

2

Chọn A
Tính AB  2;5; 2  , AC  2; 4; 2  , AD  2;5;1
1
 AB, AC  . AD  3

6
1
1
V  B.h , với B  SABC   AB, AC   7 2 , h  d  D,  ABC  
3
2
3V
3.3
9
9

h


R
B 7 2 7 2
7 2
81
2
2
2
Do đó phương trình mặt cầu là:  x  3   y  3   z  1  . .
98
Câu 48. [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  2;1; 3 , điểm B  3; 2;1 . Gọi Δ
V

là đường thẳng đi qua M 1; 2;3 sao cho tổng các khoảng cách từ A và B đến Δ là lớn nhất.
Phương trình đường thẳng Δ là
x 1
z
x 1 y  2 z  3
 y  2  . B.


A.
.
5
4
3
2
1

x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3




C.
.
D.
.
1
13
2
3
2
2
Lời giải
Chọn.
C.
Dễ thấy rằng d  A;Δ   AM ; d  B, Δ   BM do đó d  d  A;Δ   d  B;Δ   MA  MB .
  AM
 Δ   ABM 
Vậy giá trị lớn nhất của d là MA  MB đạt được khi 
   BM

Ta có:
 MA  1; 1; 6 
  MA; MB    2; 26; 4  . Chọn uΔ  1;13; 2  .

MB



4;0;

2



x 1 y  2 z  3


Phương trình đường thẳng đi qua M thoả yêu cầu bài toán là
.
1
13
2
Câu 49. [2H3-4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi  P  là mặt phẳng đi qua hai điểm

A 1; 7; 8 , B  2; 5; 9  sao cho khoảng cách từ điểm M  7; 1; 2  đến  P  đạt giá trị lớn


nhất. Biết  P  có một véctơ pháp tuyến là n   a; b; 4  , khi đó giá trị của tổng a  b là
A. 3 .

B. 1 .

C. 6 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn A
Do  P  có một véctơ pháp tuyến n   a; b; 4  và qua A 1; 7; 8 nên

 P  : a  x 1  b  y  7   4  z  8  0 .
Do  P  đi qua B  2; 5; 9  nên a  2b  4  0  a  4  2b .
Với M  7; 1; 2  , ta có d  d  M ,  P   

6 ab4

6 8b



a 2  b 2  16
5b2  16b  32
d 2 b2  16b  64


 f b
36 5b2  16b  32
64b 2  576b  512

Ta có f  b  
. Cho f   b   0  b  1  b  8 .
2
2
5b  16b  32

Bảng biến thiên

Như vậy d đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi f  b  đạt giá trị lớn nhất
 b 1  a  2  a  b  3.
Cách khác: Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M trên  P  và đường thẳng AB .

Ta có: K  3; 3; 10  và d  M ,  P    MH  MK .

Dấu bằng xảy ra khi H  K , khi đó MH   4; 2; 8  2  2;1; 4  , mặt phẳng

 P

nhận

n   2;1; 4  làm vectơ pháp tuyến.
Vậy a  b  3 .
Câu 50. [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 3x  3 y  2 z 15  0 và ba
điểm A 1; 2;0  , B 1; 1;3 , C 1; 1; 1 . Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc ( P) sao cho
2MA2  MB2  MC 2 nhỏ nhất. Giá trị 2 x0  3 y0  z0 bằng
A. 5 .
B. 11 .
C. 15 .
Lời giải
Chọn A
Xét điểm I thỏa 2IA  IB  IC  0 suy ra I 1; 2; 2  .



 
2

 
2

2MA2  MB2  MC 2  2 MI  IA  MI  IB  MI  IC

D. 10 .



2

 2MI 2  2IA2  IB2  IC 2 .

2MA2  MB2  MC 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên ( P) .
 x0  1  3t
 x  1  3t


Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình  y  2  3t suy ra  y0  2  3t .
 z  2  2t
 z  2  2t

 0

Mà 3x0  3 y0  2 z0  15  0  3 1  3t   3  2  3t   2  2  2t   15  0  t  1 .


2 x0  3 y0  z0  2 1  3t   3  2  3t    2  2t   6  t  5 .