Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 ( có đáp án chi tiết)

TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có ỏp ỏn chi tit)
Đề S 1
Câu 1: (5điểm)
a,

Tìm số tự nhiên n để:
A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố.

4
3
2
b, B = n + 3n +2 2n + 6n − 2 Cã gi¸ trị là một số nguyên.

n +2

c,
Câu 2: (5điểm)

D= n5-n+2 là sè chÝnh ph¬ng.
Chøng minh r»ng :

(n ≥ 2)

a,

a
b
c
+
+
= 1 biÕt abc=1

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

b,

Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
a2 b2 c2 c b a
+
+
≥ + +
b2 c2 a2 b a c

c,
C©u 3: (5điểm)
a,

Giải các phơng trình sau:

x 214 x 132 x 54
+
+
=6
86
84
82

b,
2x(8x-1)2(4x-1)=9
2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.
c, x
Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.

a, Chứng minh :Diện tích tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
b.

Chøng minh:

1
1
2
+
=
AB CD EF

c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích
tam giác DEF.

Câu

Nội dung bài giải
a,

(1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A là số nguyên tố thì n-1=1 n=2 khi đó A=5

2
2
n +2
B có giá trị nguyên 2 n2+2
Câu 1
n2+2 là ớc tự nhiên của 2
(5điểm)

n2+2=1 không có giá trị thoả mÃn
Hoặc n2+2=2
n=0 Với n=0 thì B có giá trị nguyên.
c, (2điểm)
D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) [ ( n 2 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)
(n+1)+2
Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiÕp)
Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính
phơng
Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng
b, (2điểm)

B=n2+3n-

1

Điể
m
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
a
b
c
+
+
=
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
ac
abc
c
+
+
2
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
ac
abc
c
abc + ac + 1
=
+
+
=
=1
1 + ac + c c + 1 + ac ac + c + 1 abc + ac + 1

a, (1®iĨm)

0,5
0,5
0.5

b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒ a +b +c +2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a +b +c =
-2(ab+ac+bc)
C©u 2
⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì
(5điểm) a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) .
Vì
a+b+c=0
2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)
4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
Từ (1)và(2) a
2

c, (2điểm)
x=y

2

2

2

2

2

áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy DÊu b»ng khi

a2 b2
a b
a
+ 2 ≥ 2. . = 2. ;
2
b c
c
b
c
2
2
c
b
c b
b
+ 2 ≥ 2. . = 2.
2
a c
a
a
c

a2 c2
a c
c
+ 2 ≥ 2. . = 2. ;
2

b a
b
b
a

0.5
0.5
0.5

0,5
0,5
0,5
0,5

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta cã:
a 2 b2 c2
a c b
2( 2 + 2 + 2 ) ≥ 2( + + ) ⇒
b
c
a
c b a
2
2
2
a
b
c
a c b
+ 2 + 2≥ + +

2
b
c
a
c b a
x − 214 x − 132 x − 54
+
+
=6
86
84
82
x − 214
x − 132
x − 54
⇔
(
− 1) + (
− 2) + (
− 3) = 0
86
84
82
x − 300 x − 300 x − 300
⇔
+
+
=0
86
84

82
1
1 
 1
⇔ (x-300)  +
+  = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S = { 300}
 86 84 82

a, (2điểm)

Câu 3 b, (2điểm)
2x(8x-1)2(4x-1)=9
2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
(5điểm) (64x
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25
k= 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0;
1
1
x= ; x =
2
4

Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 v«
nghiƯm.
2

1,0
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
1 − 1

2 4 

VËy S =  ,


0,5

c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 và x-y-1=1 x=3 ; y=1
Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)
a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBA
A
(cùng đáy và cïng ®êng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB
Hay SAOD = SBOC
E

B

K
I

O

N

0,5
0,5

F

M

D
EO

AO

Câu 4 b, (2điểm) Vì EO//DC DC = AC Mặt khác AB//DC
(5điểm)

C

0,5
1,0
0,5

AB AO
AB

AO
AB
AO
EO
AB
1,0
=

=

=

=
DC OC
AB + BC AO + OC
AB + BC AC
DC AB + DC
EF
AB
AB + DC
2
1
1
2
1,0
⇒
=
⇒
=
⇒

+
=
2 DC AB + DC
AB.DC
EF
DC AB EF
c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đ

ờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì
SIKE=SIMN
(cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN.

Đề S 2
THI CHN HC SINH GII CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn - lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
§Ị thi gåm: 01 trang
Câu I: (2 điểm)
1
x +1
1
a) Rút gọn biểu thøc: A =  2
+
÷: x 2 − 2x + 1
 x − x x −1
3


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có ỏp ỏn chi tit)

b) Xác định các hệ số a, b ®Ĩ ®a thøc f(x) = x 3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x 2 + x 6
Câu II: (2 điểm)
Giải các phơng trình sau:
15x
12
4
a) 2
=
+
+1
x + 3x − 4 x + 4 x − 1
b) x ( x − 2 ) ( x − 1) ( x + 1) = 24
Câu III: (2 điểm)
1 1 1
a) Cho x, y, z là các số khác 0 và đôi một khác nhau thỏa mÃn: + + = 0 .
x y z
yz
xz
xy
+ 2
+ 2
Tính giá trị của biÓu thøc: A = 2
.
x + 2yz y + 2xz z + 2xy
2
b) Cho biÓu thøc M = x − 2x 2+ 2011 với x > 0
x
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu IV: (3 điểm )
Ã

Cho hình thoi ABCD có BAD = 1200 . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng thẳng
DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng:

a) AMD ∽ ∆CDN vµ AC 2 = AM.CN
b) ∆AME ∽ ∆CMB .
Câu V: (1 điểm)
Cho a , b là các số d¬ng tháa m·n: a 3 + b3 = a 5 + b5 . Chøng minh r»ng: a 2 + b2 1 + ab
=============Hết============
Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:..................................
Chữ ký của giám thị số 1:................................ Chữ ký của giám thị số 2:..................................

Câu
I
2đ

Phần
a)
1đ

Đáp án và biểu điểm:
Nội Dung

ĐKXĐ
Rút gọn A:
1 
x +1
 1
A= 2
+
÷: x 2 − 2x + 1

 x − x x −1


1
1  x +1
A=
+
:
 x ( x − 1) x − 1 ÷ ( x − 1) 2
÷


A=

1 + x ( x − 1)
.
x ( x 1) x + 1

Điểm
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

2

0,25 đ

x 1
x

f(x) chia hÕt cho x 2 + x − 6 ⇒ f(x) chia hÕt cho (x + 3)(x -2)
A=

b)
1®

4

0,25 ®


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)

a)
1®

⇒ f(- 3) = 0 ⇔ −3a + b = 27 (1)
T¬ng tù ta cã f(2) = 0 ⇔ 2a + b = −8 (2)
Trõ hai vÕ của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35 ⇔ a = −7
Thay a = - 7 vµo (1) tìm đợc b = 6
ĐKXĐ: x 4 ; x ≠ 1
15x
12
4
=
+
+1
2
x + 3x − 4 x + 4 x − 1
15x

12
4
⇔
=
+
+1
( x + 4 ) (x − 1) x + 4 x − 1
⇔ 15x = 12 ( x − 1) + 4 ( x + 4 ) + x 2 + 3x − 4
⇔ x 2 + 4x = 0

II
2®

b)
1®

x = 0
⇔ x ( x + 4) = 0 ⇔ 
x = −4
x = 0 (tháa m·n ®/k) ; x = - 4(không thỏa mÃn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0
x ( x 2 ) ( x − 1) ( x + 1) = 24
⇔ x ( x − 1) ( x − 2 ) ( x + 1) = 24

(

)(

2

0,25 ®

0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®

0,25 ®

)

⇔ x − x x − x − 2 = 24
2

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

Đặt x 2 x = t . Phơng trình trở thành:
t ( t 2 ) = 24

⇔ t − 2t − 24 = 0
Gi¶i phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6
* Víi t = - 4 => x 2 − x = −4

0,25 ®

2

0,25 ®

2

1  15

⇔ x − x + 4 = 0 ⇔  x − ÷ + = 0 (phơng trình vô nghiệm)
4
4

* Với t = 6 => x 2 − x = 6 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 3 ) = 0
2

III
2đ

a)
1đ

Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3
1 1 1
yz + xz + xy
Tõ gi¶ thiÕt: + + = 0 ⇒
= 0 ⇒ yz + xz + xy = 0
x y z
xyz
(v× x,y,z >0)
⇒ yz = −xy − xz ⇒ x 2 + 2yz = x 2 + yz − xy − xz = ( x − z ) ( x − y )
T¬ng tù ta cã: z 2 + 2xy = ( z − x ) ( z − y )

0,25 ®

0,25 ®

y 2 + 2xz = ( y − z ) ( y − x )

Khi ®ã: A =

yz
xz
xy
+
+
( x − z ) ( x − y) ( y − z ) ( y − x ) ( z − x) ( z − y)

0,25 ®

0,25 ®

5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
=
=

b)
1®

yz ( y − z ) + xz ( z − x ) + xy ( x − y )
( x − z) ( x − y) ( y − z)

0,25 ®

yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy ( x − z ) − ( y − z ) 



( x − z) ( x − y) ( y − z )
yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy ( x − z ) − xy ( y − z )
=
( x − z) ( x − y) ( y − z)
x( x − z) ( y − z) − y( y − z) ( x − z)
=
( x − z) ( x − y) ( y − z)
( x − z) ( x − y) ( y − z) = 1
=
( x − z) ( x − y) ( y − z)

0,25 ®

2
2
2
Ta cã: M = x − 2x 2+ 2011 = 2011x − 2.2011x + 2011
2

x
2011x
x 2 − 2.2011x + 1 + 20112 + 2010x 2
=
2011x 2

( x − 2011)
=

2

+ 2010x 2

2011x

2

( x − 2011)
=
2011x

2

0,25 ®
2

+

2010 2010
≥
2011 2011

0,25 ®

DÊu “=” xÊy ra ⇔ ( x − 2011) 2 = 0 x = 2011 (thỏa mÃn)

0,25 đ

2010
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
đạt đợc khi x = 2011
2011

A
E
M

N
B

IV
1đ

D

a)
1,5 đ

b)
1,25 đ

0,25 đ

C
Vẽ hình chính xác

* Xét AMD và CDN cã
·
·
AMD = CDN ( so le trong)
·
·
ADM = CND ( so le trong)
⇒ ∆ AMD ∽ ∆ CDN ( g. g )
* V× ∆ AMD ∽ ∆ CDN
⇒ AM . CN = AD . CD
·
·
V× BAD = 1200 ⇒ CAD = 600 ⇒ ∆ACD ®Ịu
⇒ AD = CD = AC
⇒ AM . CN = AC2
V× AM . CN = AC2 theo (a)
AM AC
⇒
=
AC CN
6

0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®

0,25 ®

TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
·
·
Chøng minh MAC = ACN = 600
⇒ ∆ MAC ∽ ∆ CAN ( c . g . c)
·
·
⇒ ACM = CNA
·
·
Mµ ACM + ECN = 600
·
·
⇒ CNA + ECN = 600
·
⇒ AEC = 600
XÐt ∆AME vµ ∆CMB cã
·
·
·
·
AME = BMC ( ®èi ®Ønh); AEM = MBC = 600
⇒ ∆AME ∽ ∆CMB ( g . g)
a 2 + b 2 ≤ 1 + ab
⇔ a 2 + b 2 − ab ≤ 1

(

)

⇔ ( a + b ) a 2 + b 2 − ab ≤ ( a + b )
V
1®

1®

⇔ a 3 + b3 ≤ a + b

(

)(

)

(

⇔ a 3 + b3 a 3 + b3 ≤ ( a + b ) a 5 + b 5
⇔ 2a 3b3 ≤ ab 5 + a 5b

(
⇔ ab ( a

)

− b2

)

2

0,25 ®

0,25 ®

0,25 ®
0,25 ®
0,25 ®

0,25 ®

)

⇔ ab a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 ≥ 0
2

0,25 ®
0,25 ®

≥ 0 ®óng ∀ a, b > 0

Ghi chú: Nếu HS có cách làm khác mà kết quả ®óng vÉn cho ®iĨm tèi ®a

§Ị SỐ 3
PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)

ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN. NĂM HỌC: 2012 - 2013

Mơn thi: TỐN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.
a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - 5
b. Chứng minh ∀n ∈ N * thì n3 + n + 2 là hợp số.
c. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là
một số chính phương lẻ.
Câu 2.
x −1 x − 2 x − 3
x − 2012
+
+
+ ... +
= 2012
a. Giải phương trình:
2012 2011 2010
1
b. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính S = a2 + b 2012 + c 2013.
Câu 3.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18
b. Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác.
ab
bc
ac
+
+
≥ a+b+c
Chứng minh:
a + b − c −a + b + c a − b + c

7


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
Câu 4. Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F;G;H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC;
CD; DA. M là giao điểm của CE và DF.
a. Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vng.
b. Chứng minh DF ⊥ CE và ∆ MAD cân.
c .Tính diện tích ∆ MDC theo a.

Hết./

ĐÁP ÁN THI KĐCL MŨI NHỌN. NĂM HỌC: 2012 - 2013
Môn thi: TỐN 8
Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Câu

Ý

Nội dung

Điể
m

a. 1
điểm
b. 1

2

2

2

= (x - y) +4(x - y) - 5 = (x - y) + 4(x - y) + 4 -9
= (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1)
3

3

2

Ta có: n + n + 2 = n + 1+ n+1= (n + 1)( n - n + 1) + (n + 1)
2

điểm =(n+1)( n - n + 2)
Câu 1
Do ∀n ∈ N * nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 Vậy n3 + n + 2 là hợp số
3
2
2
c. 1 Gọi hai số lần lượt là a và (a+1)
điểm
2
2
2
2
4
3
2

điểm Theo bài ra ta có: a + (a + 1) + a ( a + 1) = a +2a + 3a + 2a + 1
= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + 1

0.5
0,5
0.25
0,25
0.5
0.25
0.25
0.25

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn ⇒ a2 + a
+ 1 là số lẻ
Phương trình đã cho tương đương với:
a.
x −1
x−2
x−3
x − 2012
−1+
−1+
− 1 + ... +
− 1 + 2012 = 2012 ⇔
1.5
2012
2011
2010
1
điểm x − 2013 x − 2013 x − 2013

x − 2013
+
+
+ ... +
=0 ⇔
2012
2011
2010
1
1
1
1
1
Câu 2
( x − 2013)(
+
+
+ ... + ) = 0 ⇔ x = 2013
2012 2011 2010
1
2
2
2
2
3
3
3
a + b + c = a + b + c = 1 ⇒ a; b; c ∈ [ −1;1]
b.
điểm

⇒ a3 + b3 + c3 - (a2 + b2 + c2) = a2(a - 1) + b2(b - 1) + c2(c - 1) ≤ 0
0.5
⇒ a3 + b3 + c3 ≤ 1 ⇒ a;b;c nhận hai giá trị là 0 hoặc 1
điểm ⇒ 2012
b = b2; c2013 = c2; ⇒ S = a2 + b 2012 + c 2013 = 1

8

0.25
0.5
0. 5
0. 5

0.25
0.25


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18
A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1
điểm
A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 ≥ 1
Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3
a. 1

0.25
0.25
0.25
0.25

b.

vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0;
a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0
0.5
y+z
x+ z
x+ y
;b =
;c =
ta có: x + y + z = a + b + c; a =
Câu 3 điểm
2
2
2
ab
bc
ac
( y + z )( x + z ) ( x + z )( x + y ) ( x + y )( y + z )
1.5
+
+
=
+
+
a + b − c −a + b + c a − b + c
4z
4x
4y
điểm

1 xy yz xz
1
1 xy
yz
xz 
( + + + 3 x + 3 y + 3 z ) = 3( x + y + z ) + (2 + 2 + 2 ) 
4 z
x
y
4
2
z
x
y 
1
y x z
x y z
z x y 
3( x + y + z ) + 2 ( z + x ) + 2 ( z + y ) + 2 ( y + x ) 
4

1
≥ [ 3( x + y + z ) + x + y + z ] = x + y + z
4
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh

0.25

=

Câu 4

Hìn

3.5

h vẽ

điểm

0.25

0. 5

A

E

B

đ

0.5
H

M

F

N

D

a.
1.25

Chứng minh: EFGH là hình thoi

0. 5

Chứng minh có 1 góc vng.

0. 5

điểm Kết luận Tứ giác EFGH là Hình vng
·
·
b. 1 VBEC =VCFD (c.g .c) ⇒ ECB = FDC
điểm

C

G

0.25
mà

VCDF

vuông

tại

C 0.25

·
·
·
·
0.25
⇒ CDF + DFC = 900 ⇒ DFC + ECB = 900 ⇒VCMF vuông tại M
Hay CE ⊥ DF.
Gọi N là giao điểm của AG và DF. Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF ⇒ 0.25
GN//CM mà G là trung điểm DC nên ⇒ N là trung điểm DM. Trong ∆ MAD có
AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ ∆ MAD cân tại A.
0.25

c.
0.75

0.25
9


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
điểm

VCMD : VFCD ( g.g ) ⇒

CD CM

=
FD FC
2

Do đó :

2

SVCMD  CD 
 CD 
=
÷ ⇒ SVCMD = 
÷ .SVFCD
SVFCD  FD 
 FD 

0.25

1
1
2
Mà : SVFCD = CF .CD = CD .
2
4
CD 2 1
Vậy : SVCMD =
. CD 2 .
2
FD 4
Trong VDCF theo Pitago ta có :

1
5
1

DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 +  BC 2 ÷ = CD 2 + CD 2 = .CD 2 .
4
4
2


0.25

CD 2 1
1
1
. CD 2 = CD 2 = a 2
Do đó :
5
5
5
CD 2 4
4
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng chấm bài hình.
SVMCD =

§Ị SỐ 4
UBND HUYỆN N DŨNG
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x 2 + 2014 x + 2013
2) x( x + 2)( x 2 + 2 x + 2) + 1
Câu 2 (4 điểm)
1) Tìm a, b biết

1 + 2a
3b
7 − 3a
=
=
15
23 + 7 a
20

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x − 4 y + 2013
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho a1 , a2 ,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014 .
3
3
3

Chứng minh rằng: B = a1 + a2 + ... + a2013 chia hết cho 3.

10


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
2) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a 2 + a = 3b 2 + b .
Chứng minh rằng: a − b và 3a + 3b + 1 là các số chính phương.
Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC. Qua I, kẻ đường thẳng song
song với cạnh AC cắt cạnh AB tại M. Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC
tại N.
1) Gọi O là trung điểm của AI. Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng.
2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC lần lượt tại H, K, D. Chứng minh rằng MH + NK = AD.
3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC.
Câu 5 (2 điểm)
Cho a < b < c < d và x = (a + b)(c + d ), y = (a + c )(b + d ), z = (a + d )(b + c ) . Sắp xếp theo thứ tự
giảm dần của x, y, z .
.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................, Số báo danh: .....................
UBND HUYỆN YÊN DŨNG

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC

MƠN: TỐN LỚP 8

Chú ý: Dưới đây là hướng dẫn cơ bản, bài làm của học sinh phải trình bày chi tiết. HS giải bằng
nhiều cách khác nhau đúng vẫn cho điểm từng phần tương ứng.
Câu Ý
Nội Dung
Điểm
2
2
0.5
x + 2014 x + 2013 = x + 2013 x + x + 2013
1
1 = x( x + 2013) + ( x + 2013)
= ( x + 1)( x + 2013)
0.5
x( x + 2)( x 2 + 2 x + 2) + 1 = ( x 2 + 2 x )( x 2 + 2 x + 2) + 1

1
2

2

1

= ( x 2 + 2 x ) 2 + 2( x 2 + 2 x) + 1

= ( x + 2 x + 1)
2

2

= ( x + 1) 4
1 + 2a 7 − 3a
=
Từ
có 20(1 + 2a) = 15(7 − 3a)
15
20
=> a = 1
1 + 2a
3b
1 + 2.1
3b
=
=
Thay a = 1 vào tỉ lệ thức
ta được
. Suy ra b = 2
15
23 + 7 a
15
23 + 7.1
Vậy a = 1 , b = 2 .
11

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
0.5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
Ta có A = x 2 + 2 y 2 + 2 xy + 2 x − 4 y + 2013

0.5

= x 2 + 2 x( y + 1) + y 2 + 2 y + 1 + y 2 − 6 y + 9 + 2003

2

= ( x + y + 1) 2 + ( y − 3) 2 + 2003

Nhận thấy với mọi x,y ta có ( x + y + 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0 .Suy ra A ≥ 2003
2

2

Dấu “=” xảy ra khi x = −4, y = 3
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x = −4, y = 3
Dễ thấy a 3 − a = a (a + 1)(a − 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
3
3
Xét hiệu B − (a1 + a2 + ... + a2013 ) = (a13 + a2 + ... + a2013 ) − (a1 + a2 + ... + a2013 )
1
3

3
3
= (a13 − a1 ) + (a2 − a2 ) + ... + (a2013 − a2013 ) chia hết cho 3
Mà a1 , a2 ,...a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014 M .
3

Do vậy B chia hết cho 3.
Từ 2a 2 + a = 3b 2 + b có (a − b)(3a + 3b + 1) = a 2
Cũng có (a − b)(2a + 2b + 1) = b 2 . Suy ra (a − b) 2 (2a + 2b + 1)(3a + 3b + 1) = (ab) 2
2
Gọi (2a + 2b + 1,3a + 3b + 1) = d . Chứng minh được d=1
=> 3a + 3b + 1 là số chính phương => a − b là số chính phương (đpcm)

4

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

A

M

O
N

B

H

D

E

I

K

C

Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN là hình bình hành
1 => MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường . Mà O là trung điểm AI
=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)
2 Kẻ OE vuông góc với BC. Chứng minh MHKN là hình thang vng.
Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK. Suy ra OE là đường trung bình của
hình thang vng MNKH nên MH + NK = 2OE (1)
Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD. Suy ra OE là đường trung bình
của ΔADI nên AD = 2OE

(2)
12

1

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm).
Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình của ∆ABC (Do O là trung

5

3 điểm AI)
⇔ I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB)
Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC
Xét hiệu x − y = (a + b)(c + d ) − (a + c)(b + d ) = (d − a )(b − c)
Vì d > a, b < c nên (d − a )(b − c) < 0 . Suy ra x < y (1)
Xét hiệu y − z = (a + c)(b + d ) − (a + d )(b + c ) = (a − b)(d − c)
Vì b > a, c < d nên (a − a )(d − c) < 0 . Suy ra y < z (2)
Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z > y > x

0.5
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5

§Ị SỐ 5
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

2 +x
4 x2
2 −x
x 2 −3 x
A =(
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
C xuống đường thẳng AB và AD.
13


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án

Điểm

Bài 1

a
2

2,0
1,0
0,5
0,5
2,0
1,0
0,5
0,5
5,0
3,0

2

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
b
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
Bài 2:
a
ĐKXĐ :
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0



⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2
3
2 x − x ≠ 0


1,0

2 + x 4 x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
A=(
−
−
):(
)=
.
=
2 − x x 2 − 4 2 + x 2 x 2 − x3
(2 − x)(2 + x)
x ( x − 3)

1,0

4 x2 + 8x
x (2 − x )
.
=
(2 − x )(2 + x) x − 3
=

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
.

0,25

x −3

b

1,0
Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )

4x
>0
x −3

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
14

2

0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
 x = 11(TMDKXD )
⇔
 x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A =

0,25

121
2

0,25

Bài 3
a

5,0
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1) 2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).

b
Từ :
Ta có :

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
=0
x y z
xyz

⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c

abc
x2 y2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

1,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

Bài 4

6,0
H

C

B

0,25

F
O

A

E
D

a
Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
15

K

2,0
0,5
0,5
0,25
0,25


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
b
·
·
Ta có: ·

ABC = ·
ADC ⇒ HBC = KDC
Chứng minh : ∆CBH : ∆CDK ( g − g )
CH CK
⇒
=
⇒ CH .CD = CK .CB
CB CD

b,

AF AK
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD : ∆AHC ( g − g )
CF AH
⇒
=
CD AC
CF AH
=
⇒ AB. AH = CF . AC
Mà : CD = AB ⇒
AB AC
⇒

0,25
0,25
0,25

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm).

§Ị SỐ 6
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

x4 + 4
( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 5 ) − 24
b. Giải phương trình: x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0

a
b
c
a2
b2
c2
c. Cho
+
+
= 1 . Chứng minh rằng:
+
+
=0
b+c c+a a+b
b+c c+a a+b
Câu2.

Cho biểu thức:

0,5
1,75
0,25

Chứng minh : ∆AFD : ∆AKC ( g − g )

Câu1.

2,0
0,5
1,0

2
1  
10 − x 2 
 x
A= 2
+
+
÷:  x − 2 + x + 2 ÷
x −4 2−x x+2 


a. Rút gọn biểu thức A.

1
b. Tính giá trị của A , Biết |x| = 2 .

c. Tìm giá trị của x để A < 0.

d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị ngun.
Câu 3. Cho hình vng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rng:
b. Cho a, b dơng và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
16

1 1 1
+ + ≥9
a b c

0,25


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Câu

Đáp án
4

4

2

Điểm

2

a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

Câu 1
(6 điểm)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
b. x 4 − 30x 2 + 31x − 30 = 0 <=>

(x

2

)

− x + 1 ( x − 5) ( x + 6) = 0

Vì x2 - x + 1 = (x -

1 2 3

) +
>0
2
4

(2 điểm)

(*)

∀x

 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0

x − 5 = 0
x = 5
⇔
x + 6 = 0
x = − 6
a
b
c
c. Nhân cả 2 vế của:
+
+
=1
b+c c+a a+b
với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm
2
1  
10 − x 2 

 x
+
+
Biểu thức: A =  2
÷:  x − 2 + x + 2 ÷
x −4 2−x x+2 

−1
a. Rút gọn được kq: A =
x−2
1
1
−1
b. x =
⇒ x = hoặc x =
2
2
2
 

Câu 2
(6 điểm)

4
4
hoặc A =
3
5
c. A < 0 ⇔ x > 2
−1

d. A ∈ Z ⇔
∈ Z ... ⇒ x ∈ { 1;3}
x−2
⇒A=

HV + GT + KL

Câu 3
(6 điểm)

17

(2 điểm)

(2 điểm)

(1.5 điểm)

(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
(1 điểm)


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

AE = FM = DF
⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm

a. Chứng minh:

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
⇒ ME + MF = a không đổi
⇒ S AEMF = ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình vng)
⇒ M là trung điểm của BD.

Câu 4:
(2 điểm)

b c
1
= 1+ +
a
a a

a c
1
a. Từ: a + b + c = 1 ⇒  = 1 + +
b b
b
a b
1
 c = 1+ c + c

1 1 1
a b a c b c
⇒ + + = 3 + + ÷+  + ÷+  + ÷
a b c
b a c a c b

≥3+2+2+2=9
1
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c =
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hc b = 1
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hc a = 0 (lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(2 điểm)
(2 điểm)

(1 điểm)

(1 điểm)

(1 điểm)

§Ị thi S 7
Câu 1 : (2 điểm)

Cho

P= a 4a a + 4
a 3 − 7a 2 + 14a − 8
3

2

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng của chúng
chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3 : (2 điểm)
1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
a) Giải phơng trình :

2

18


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có ỏp ỏn chi tit)
A=

a

b
c
+
+
3
b+ca a+cb a+bc

Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M
sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E . Chứng minh :
2

a) BD.CE= BC
4
b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo
chu vi .
đáp án đề thi học sinh giỏi
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4)
0,5
3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
a
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)
0,5
Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a ≠ 4
Rót gän P=

b) (0,5®) P=

0,25

a +1
a−2

0,25

a−2+3
3
; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,
= 1+
a2
a2

mà Ư(3)= { 1;1;3;3}

0,25

Từ đó tìm đợc a { 1;3;5}

0,25

Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .

[

]

0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) − 3ab =

[

=(a+b) (a + b) 2 3ab

]

0,5

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;

[

]

Do vËy (a+b) (a + b) 2 − 3ab chia hÕt cho 9

0,25

b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36
Ta thÊy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36
Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Từ đó ta tìm đợc x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

0,5
0,25
0,25

0,25
0,25

19


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có ỏp ỏn chi tit)
Phơng trình trở thành :
1
1
1
1
+
+
=
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1
1
1
1
1
1
1

−
+
−
+
−
=
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1
1
1
−
=
x + 4 x + 7 18
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm đợc x=-13; x=2;
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

0,25

0,25

y+z
x+z
x+ y
;
0,5
;b =
;c =
2

2
2
y+z x+z x+ y 1 y x
x z
y z 
Thay vµo ta ®ỵc A=
+
+
= ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 
1
Tõ ®ã suy ra A ≥ (2 + 2 + 2) hay A 3
0,25
2
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)
Từ đó suy ra a=

ˆ
ˆ
Trong tam gi¸c BDM ta cã : D1 = 120 0 M 1

Vì M 2 =600 nên ta cã

ˆ

ˆ
: M 3 = 120 0 − M 1

ˆ
ˆ
Suy ra D1 = M 3

y

A
x
E

Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆CEM (1)
Suy ra

D

BD CM
, từ đó BD.CE=BM.CM
=
BM
CE

BC
Vì BM=CM=
, nên ta có BD.CE= BC
2
4
b) (1đ) Từ (1) suy ra

1

0,5

2

B
2

1

2

M

3

C

0,5

BD MD
mà BM=CM nên ta cã
=
CM EM

BD MD
=
BM EM

Chøng minh ∆BMD ∾ ∆MED

0,5

ˆ
ˆ
Tõ ®ã suy ra D1 = D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED
c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK
TÝnh chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận.
Câu 5 : (1đ)
20

0,5
0,5
0,5


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có ỏp ỏn chi tit)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dơng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)
Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta đợc :
xy=2(x+y+x+y-4)

xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4
0,25
Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

0,25

0,25

0,25

ĐỀ THI SỐ 8
Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:

( x − a ) ( x − 10 ) + 1
phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x 4 − 3x 3 + ax + b chia hết cho đa
2
thức B ( x ) = x − 3 x + 4

Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc
AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy.
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
P=

Câu

1 1 1
1
+ 2 + 4 + ... +
<1
2
2 3 4
1002
Đáp án và biểu điểm
Đáp án

21

Biểu điểm


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
1
2ñ

A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15

(
=(a
=(a
=(a

)(

2

)

(

2

)

+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120

)
+ 8a + 12 ) ( a
= ( a + 2) ( a + 6) ( a

2
2ñ

2

2

+ 8a + 11 − 1

2

)
+ 8a + 10 )

+ 8a + 10

2
2

Giả sử: ( x − a ) ( x − 10 ) + 1 = ( x − m ) ( x − n ) ;(m, n ∈ Z )

⇔ x 2 − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 − ( m + n ) x + mn
⇔

{

m + n = a +10
m .n =10 a +1

Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 1
⇔ mn − 10m − 10n + 100 = 1
⇔ m(n − 10) − 10n + 10) = 1
vì m,n nguyên ta có:
3
1đ

0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ

)

= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15

{

m −10 =1
n −10 =1

v

{

0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ

m −10 =−1
n −10 =−1

suy ra a = 12 hoặc a =8
Ta có:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
a − 3= 0
a =3
B
Để A( x)M ( x) thì b + 4= 0 ⇔ b =−4

{

0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ

0,5 ñ
0,5 ñ

{

4
3ñ
0,25 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông
·
·
·
Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà AHB
·
và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc
·
·
·
Hay DHE = 900 mặt khác ADH = AEH = 900
Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)
·
AHB 900
·
AHD =
=

= 450
2
2
·
Do ·
AHC 900
AHE =
=
= 450
2
2
⇒·
AHD = ·
AHE
22

0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)

5

2đ

·
Hay HA là phân giác DHE (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuoâng
1 1 1
1
P = 2 + 2 + 4 + ... +
2 3 4
1002
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
99.100

1 1 1
1
1
= 1 − + − + ... + −
2 2 3
99 100
1
99
= 1−
=
<1
100 100

0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ

ĐỀ THI SỐ 9

Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+

= 10 .
17
19
21
23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2
2
( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

( 2009 − x )

2

− ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2

=

19
.
49

2010x + 2680
.

x2 + 1

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vng góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vng.
23


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
·
·
·
·
·
·
cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .
·
·
a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1:
a)

3
3

3
3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z 




2
2
2
= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )


2

2
= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 



= 3 ( x + y) ( y + z) ( z + x ) .
b)

4
2
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )
2
2
2
2

= x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) .

Bài 2:
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23
⇔

x − 241
x − 220
x − 195
x − 166
−1+
−2+
−3+
−4=0
17
19
21
23

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
+
+

+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
⇔ ( x − 258 )  + + + ÷ = 0
 17 19 21 23 
⇔ x = 258
Bài 3:
2
2
( 2009 − x ) + ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )
⇔

( 2009 − x )

2

− ( 2009 − x ) ( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 .
Đặt a = x – 2010
(a ≠ 0), ta có hệ thức:

24

2

=

19
.
49


TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HSG TỐN LỚP 8 (có đáp án chi tiết)

( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19
2
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49
2

⇔

a 2 + a + 1 19
=
3a 2 + 3a + 1 49

⇔ 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 ⇔ 8a 2 + 8a − 30 = 0
3

a=

2
2
⇔ ( 2a + 1) − 42 = 0 ⇔ ( 2a − 3) ( 2a + 5 ) = 0 ⇔ 
(thoả ĐK)

a = − 5


2
4023
4015
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)
2
2
4023
4015
Vậy x =
và x =
là giá trị cần tìm.
2
2
Bài 4:
2010x + 2680
A=
x2 + 1
−335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015
335(x + 3) 2
=
= −335 +
≥ −335
x2 +1
x2 +1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

s

s

s

Bài 5:
µ µ $
C
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = A = F = 90o )
Để tứ giác AEDF là hình vng thì AD là tia phân
·
giác của BAC .
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất
D
F
⇔ D là hình chiếu vng góc của A lên BC.
Bài 6:
·
·
·
·
·
·
a) Đặt AFE = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β .
A
E

B
·
Ta có BAC + β + ω = 1800 (*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O.
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
A
·
·
·
⇒ OFD + OED + ODF = 90o (1)
E
F ωβ
o
·
·
·
Ta có OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2)
ω β
O
(1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180o (**)
·
·
(*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
µ
µ
B = β, C = ω
α α
⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC
B

25

D

C