Tài liệu Bai1 Chso (Phan2) HK2 0506 pdf

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

TOÁN 4
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
•
BÀI 1: CHUỖI SỐ (PHẦN 2)
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006)

NỘI DUNG

5- TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ), CÔSI
7- CHUỖI ĐAN DẤU. TIÊU CHUẨN LEBNITZ
6- CHUỖI DẤU BẤT KỲ. T/CHUẨN HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI

CHUỖI DƯƠNG

∑ dương hội tụ khi và chỉ khi bò chặn:
nMuM
n
k
k
∀≤∃
∑
=
1
:
Dấu hiệu so sánh 1: Σu
n
, Σv

n
với 0 < u
n
≤ v
n
, ∀ n ≥ N
0
Σv
n
(chuỗi lớn) htụ ⇒ Σu
n
(nhỏ) htụ:
Σu
n
(nhỏ) ph.kỳ ⇒ Σv
n
(lớn) ph.kỳ:
∞<⇒∞<
∑∑
nn
uv
∞=⇒∞=
∑∑
nn
vu
⇒ Dãy tổng riêng {S
n
}:↑
Chuỗi dương Σu
n

, u
n
> 0 ∀ n ≥ N
0
VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
∑
∞
=
+
1
12
1
/
n
n
a
∑
∞
=
−
1
12
1
/
n
n
b
∑
∞
=

−+
+−
1
24
2
1
43
/
n
nn
nn
c

CHUỖI ĐIỀU HOÀ (CHUỖI RIEMAN)

Tính tổng riêng. Lập bảng giá trò {n S
n
} → Tính chất hội tụ:
“Đoán” tính hội tụ của chuỗi:
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
111
2
1
/

1
/
1
/
nnn
n
c
n
b
n
a
Chuỗi điều hoà (Rieman)
∑
∞
=
=+++
1
1
3
1
2
1
1
n
n
ααα

∑
=
n

k
k
1
1



























2000000000 21.99362868
4000000000 22.68677586
6000000000 23.09224097
8000000000 23.37992304
10000000000 23.60306659
n
∑
=
n
k
k
1
1



























2000 87.99354447
4000 125.0386585
6000 153.4654350
8000 177.4306720
10000 198.5446431
n
Chuỗi Rieman hội tụ ⇔ α > 1 So sánh với chuỗi Rieman
∑
=
n
k
k
1
2
1



























10000000 1.644933968
20000000 1.644934018
30000000 1.644934035
40000000 1.644934043
50000000 1.644934048
n

DẤU HIỆU SO SÁNH 2

( )

n
n
n
n
n
n
kvuk
v
u
∞→
∞→
⇔∞∈=
~,0lim
:2 chuỗi cùng bản chất hội tụ
Chuỗi dương Σu
n
, Σv
n
(từ chỉ số N
0
). Nếu tồn tại giới hạn
k=0 ⇒ u
n
< v
n
∀n ≥ N
1
& k=∞ ⇒ u
n
> v

n
: p dụng so sánh 1
Nguyên tắc: Dùng tương đương, so sánh Σu
n
với chuỗi Σ1/n
α

(tương tự tích phân suy rộng!). Một số trường hợp có thể áp
dụng khai triển Mac – Laurint theo x = 1/n với u
n

VD: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi:
( )( )
∑
∞
=
++
1
21
1
/
n
nnn
a
∑
∞
=
−
+
1

2
45
3
/
n
n
n
n
n
b
[ ]
∑
∞
=
−
1
1
1/
2
n
n
enc
∑
∞
=
∞→
2
ln
1ln
/*

n
nn
n
d sát Khảo . lim Tìm
n

TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (TỶ SỐ)

VD: Khảo sát Σu
n
:
n
n
n
n
ua
!
/
=
( )
( )
!2
!5
/
2
n
n
ub
n
n

=
n
n
n
n
ne
uc
!
/
=

d = 1 & u
n+1
/u
n
≥ 1 ∀ n ≥ N
0
: chuỗi Σu
n
phân kỳ (đkiện cần!)
Dấu hiệu D’Alambert dùng cho những chuỗi có tỷ số
u
n+1
/u
n
“đơn giản”: chuỗi chứa giai thừa hoặc mũ

d = 1 hoặc Không ∃ lim u
n+1
/u

n
: chuỗi có thể hội tụ lẫn phân
kỳ. Ví dụ:
∑
∞
=
1
1
n
n
α
a/ d < 1: Hội tụ b/ d > 1: Phân kỳ
d
u
u
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
c/ d = 1: Chưa kết luận!
Chuỗi dương Σu
n
có giới hạn tỷ số:

TIÊU CHUẨN CÔSI (TIÊU CHUẨN CĂN)

q = 1 hoặc Không ∃ lim (u
n
)
1/n
: không thể kết luận
∑
∞
=






+
+
1
52
1
n
n
n
n
VD:
∑
∞
=







+
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
∑
∞
=
1
1
n
n
α
q = 1 và (u
n
)
1/n
≥ 1: Chuỗi phân kỳ (điều kiện cần)!
TC Côsi: Chuỗi chứa hàm mũ (hoặc luỹ thừa bậc n)
qu
n

n
n
=
∞→
lim
q < 1: Hội tụ q > 1: Phân kỳ q = 1: chưa kết luận
Chuỗi dương Σu
n
và ∃ giới hạn căn:

CHUỖI DẤU BẤT KỲ

VD:
( )
∑
∞
=
1
3ln
sin
n
n
n
α
∑
∞
=
1
sin
n

n
nx
α
( )
∑
∞
=
−
−
1
2
1
1
n
n
n
Kết luận:

Σ |u
n
| hội tụ ⇒ Σu
n
hội tụ: hội tụ tuyệt đối

Σ |u
n
| phân kỳ, Σu
n
hội tụ: bán hội tụ


Σu
n
phân kỳ ⇒ Σ |u
n
| phân kỳ
Chuỗi Σ|u
n
| hội tụ ⇒ Chuỗi Σu
n
hội tụ & gọi là hội tụ tuyệt đối
(⇐): Sai. Σ |u
n
| phân kỳ nhưng Σu
n
vẫn hội tụ: Bán hội tụ
Chuỗi số Σu
n
, u
n
– dấu bất kỳ ⇒ Không được phép áp dụng
tiêu chuẩn so sánh 1 – 2, D’Alambert lẫn Côsi hay bò chặn!

TIÊU CHUẨN D’ALAMBERT (COSI) VỚI CHUỖI DẤU

( )
( )
n
n
n
n

n
n
n
n
u
u
u
n
n
1
11
lim:
1231
!31
:
+
∞→
∞
=
∞
=
∑∑
⇒
−⋅
−
Xét dụVí

Σ |u
n
| phân kỳ (D’Alambert) ⇒ Σu

n
phân kỳ (đkiện cần!)
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
uu
n
∞→
∞
=
∑∑
⇒− lim:
3
ln
1:
2
Xét dụVí
Σ |u
n
| phân kỳ (với TC Côsi) ⇒ Σu
n
phân kỳ (đkiện cần!)
Khảo sát Σ |u

n
| , nếu áp dụng tiêu chuẩn D’Alambert (Côsi)

Σ |u
n
| hội tụ ⇒ Σ u
n
hội tụ tuyệt đối

Σ|u
n
| phân kỳ⇒ Σ u
n
phân kỳ (điều kiện cần)

CHUỖI ĐAN DẤU

Σ (–1)
n-1
b
n
= b
1
– b
2
+ b
3
– … (b
n
> 0): chuỗi đan dấu

( )
n
b
n
n
n
n
1
:
1
4
1
3
1
2
1
1:
1
1
=
−
=+−+−
∑
∞
=
−
vớidấanChuỗidụVí 
Tchuẩn Lebnitz: Nếu dãy {b
n
} giảm: b

1
> b
2
> … > b
n
> …
và tiến về 0: limb
n
= 0 ⇒ chuỗi đan dấu Σ(–1)
n-1
b
n
hội tụ.
Kỹ thuật hàm số chứng minh dãy giảm. VD:
( )
∑
∞
=
−
−
1
3
ln
1
n
n
nn
( )
+−+−=
−

∑
∞
=
−
4
1
3
1
2
1
1
1
:
1
1
n
n
n
dụVí

MINH HOAÏ HOÄI TUÏ LEBNITZ

s
1
b
1
-b
2
+b
3

-b
4
+b
5
-b
6
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
s
0
( )
0lim&1
21
1
321
=>>→−+−+−=
∞→
−
n
n
n
n

n
bbbSbbbbS  vôùi

ƯỚC LƯNG TỔNG CHUỖI ĐAN DẤU

Dãy {b
n
}↓: b
1
> b
2
> … > … ⇒ Trò tuyệt tổng riêng S
n
≤ | b
1
|:
| b
1
– b
2
+ b
3
– … + b
n
| ≤ | b
1
| & S
n
cùng dấu b
1

. Tương tự,
ước lượng phần dư: |R
n
| = |b
n+1
–b
n+2
+ …|≤ |b
n+1
|
VD: Chứng minh chuỗi sau hội tụ
( )

+
+
−
+−+−
−
1
1
10
3
5
2
2
1
2
1
n
n

n
về tổng S. Tính gần đúng S với sai số 10
-1

Chuỗi đan dấu. Xác đònh công thức b
n
và kiểm tra dãy ↓

Thiết lập lim b
n
= 0 ⇒ Hội tụ theo tiêu chuẩn Lebnitz

Xấp xỉ S ≈ S
n
, sai số R
n
có | R
n
| ≤ b
n+1
≤ ε = 10
-1
⇒ n ≥ ?

ÔN TẬP CHUỖI SỐ

CHUỖI Σa
n
: TỔNG VÔ HẠN = lim
n→∞

TỔNG RIÊNG S
n
( )
n
n
n
n
n
n
aaaSa
+++==
∞→∞→
∞
=
∑

21
1
limlim
⇒ ∃ giới hạn: HỘI
TỤ
DƯƠNG: Σa
n
, a
n
≥ 0
[Hội tụ ⇔ Bò chặn]
⇒ So sánh 1, 2.
D’Alambert, Côsi
DẤU BẤT KỲ:

Hội tụ tuyệt
đối: Σ|a
n
| hội tụ
⇒ Σa
n
hội tụ
ĐAN DẤU:
Σ(−1)
n
b
n
, b
n
> 0
{b
n
} giảm, lim b
n

= 0 ⇒ Hội tụ
ĐIỀU KIỆN PHÂN KỲ:
0lim
≠
∞→
n
n
a
⇒ Chuỗi Σa
n

PHÂN KỲ