Tài liệu Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học lớp 11 - Phần Thiết diện pptx

K
Q
J
I
P
N
A
B
C
D
S
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng
2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song
với một đường thẳng cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai
đường thẳng cho trước.
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một
mặt phẳng cho trước.
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc
một đường thẳng cho trước.
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một
mặt phẳng.
Dạng 1: Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng
hàng
Phương pháp:
Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng
(P) với một mặt của hình chóp.
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ

được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được giao
tuyến với các mặt này.
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác
phẳng khép kín ta được thiết diện.
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là điểm bất kì nằm trên cạnh SC (không trùng
với S, C), N và P lần luợt là trung điểm của AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với
(MNP).
Giải:
Ta có:
( ) ( )
MNP ABCD NP∩ =
Kéo dài BC và NP cắt nhau tại I,
khi đó
( ) ( )
MNP SBC KM∩ =
Kéo dài DC cắt NP tại J,

( ) ( )
( ) ( )
MNP SCD MQ
MNP SAD PQ
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện là ngũ giác KMQPN.
1
K
N
I
M

O
C
A
D
B
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng
a

song song với một đường thẳng b cho trước (
a
và
b
chéo nhau)) .
@Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng song song
a
và
b
.
Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ).
Bước 3: Khi đó:
( ) ( )
P Q Mt a b∩ =
P P

Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt còn lại của hình chóp.
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC, (P)
là mặt phẳng qua AM và song song BD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt (P).
Giải:
Ta có:
( ) ( )
,BD P BD SBD⊂
P
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi
I SO AM= ∩
Khi đó
( ) ( )
P SBD Ix BD∩ =
P
Ix cắt SB tại K, cắt SD tại N.
Do đó:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P SBC MK
P SCD MN
P SAB AK
P SAD AN
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện là tứ giác KMNA.

Dạng 3:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với
hai đường thẳng cho trước:
@Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm M
∈
(P) ∩ (Q)
Bước 2: Chỉ ra mp (P)
P

a
( hoặc
b
)
⊂
(Q). Suy ra giao tuyến (P) và (Q) là đường thẳng
qua M và song song
a
( hoặc
b
).
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã
biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là điểm
bất kì thuộc AB và
( )
α
là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )

α
.
Giải:
2
P
K
N
A
D
B
S
C
M
K
P
N
S
B
D
A
C
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ta có:
( ) ( )
M ABCD
α
∈ ∩
( )
α

song song với AD nên:
( )
( ) ABCD Mx AD
α
∩ =
P
Gọi
N Mx CD= ∩
( )
α
song song với SB nên:
( )
( ) SAB MP SB
α
∩ =
P
Tương tự ta có:
( )
( ) SAD Px AD
α
∩ =
P
Gọi
K Px SD
= ∩
( )
( ) SCD KN
α
∩ =
Vậy thiết diện là hình thang MNKP.

Dạng 4:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song
với một mặt phẳng cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điểm chung M của hai mặt phẳng (P) và một mặt phẳng nào đó của hình
chóp.
Bước 2: Chỉ ra
( ) ( )
P Q
P
.
Tìm
( ) ( ) ( ) ( )
( )a P R b Q R= ∩ = ∩
. Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua M
song song với
a
( hoặc
b
).
Bước 3: Dựng thiết diện và kết luận.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, cạnh đáy AB,
CD AB
<
.
( )
α
là mặt phẳng qua M trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (SAD).
Tìm thiết diện của hình chóp với
( )
α

.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
M ABCD
α
∈ ∩
,
( ) ( )
M SAB
α
∈ ∩
Do
( )
α
song song với (SAD) nên:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABCD MN AD
SAB MK SA
SCD NP SD
SBC KP
α
α
α
α
∩ =
∩ =

∩ =
∩ =
P
P
P
Vậy thiết diện là hình thang KMNP.
3
I
H
D
B
C
A
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 5:Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước
Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua một điểm
M và vuông góc với d cho trước.
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm hai đường thẳng
a
và
b
cắt nhau cùng vuông góc với d ( trong đó ít nhất một đường thẳng đi qua điểm M).
Bước 2: Khi đó (P)
P
(
a
,b).
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết.

Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d
thì ta chọn (P) song song với
a
(hay chứa
a
) và b song song với (P) (hay chứa b). Rồi
thực hiện các bước còn lại.
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Xác định thiết diện khi
( )
α
cắt hình
chóp (S.ABCD).
Giải:
Ta có:

( )
AD AB
AD SAB
AD SA
AD SB
⊥

⇒ ⊥


⊥

⇒ ⊥
Từ A kẽ đường thẳng vuông góc với SB tại H.
Do đó
( ) ( )
HAD
α
≡
Khi đó:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SAB AH
SAD AD
ABCD AD
α
α
α
∩ =
∩ =
∩ =
Do
( )
AD BC
α
⊃
P
Nên

( ) ( )
SBC Hx BC
α
∩ =
P
Gọi
I Hx SC
= ∩
Khi đó
( ) ( )
SBC HI
α
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang AHID.
Dạng 6: Thết diện chứa một đường thẳng a và vuông góc với một mặt phẳng .
Bước 1: Chọn 1 điểm A nằm trên đường thẳng
a
sao cho qua A có thể dựng được
đường thẳng b vuông góc với mp
( )
α
một cách dễ nhất.
Bước 2: Khi đó, mp (
a
,b) chính là mp
( )
α
cần dựng
Bước 3: Tìm giao tuyến của
( )

α
với hình chóp bằng các cách đã biết.
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận.
4
N
J
I
C
A
D
B
S
K
P
I
N
M
B
C
A1
C1
B1
A
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua Ị và
vuông góc với mặt (SBC). Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).
Giải:
Ta có
( )

IJ AB
IJ SAB IJ SB
IJ SA
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với SB tại K.
Do đó
( ) ( )
P KIJ≡

Ta có

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P SAB KI
P ABCD IJ
P IJ BC P SBC KN BC
P SCD NI
∩ =
∩ =
⊃ ⇒ ∩ =
∩ =
P P
Vậy giao tuyến là hình thang KNIJ.

Chú ý: Việc tìm thiết diên của mặt phẳng
( )
α
với hình lăng trụ được tiến hành tương tự
như đối với hình chóp. Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu
( )
α
cắt 1 mặt đáy nào thì cuãng cắt mặt đáy còn lại theo giao tuyến song song vơi giao
tuyến vừa tìm được.
Việc tìm thiết diện của hình lập phương được tiến hành giống như đói với hình lăng trụ.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, các điểm M, N lần lượt là trung điểm
của BC và CC
1
.
Xác định thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (A
1
MN).
Giải:
( ) ( )
1 1 1
A MN BCB C MN∩ =
Kéo dài AC và A
1
N cắt nhau tại I.

Khi đó:

( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1 1
A MN ABC MP
A MN ABB A PA
∩ =
∩ =

Vậy thiết diện là tứ giác PMNA
1
.
5
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Những khó khăn cơ bản khi giải toán thiết diện và biện pháp khắc phục.
 Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng nào đó chẳng hạn tìm thiết diện
của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các
mặt của hình chóp. Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp
bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo
bởi mặt phẳng (P) với hình chóp.
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt
phẳng (P) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt của hình chóp.
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt
nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm”(của mặt phẳng và các cạnh của hình
chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng
và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thể

bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì
hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn
đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy
của chúng ta.
1. Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào
trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quả dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thể hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc
tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai.
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phẳng do vậy khi vẽ hình trong
HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc…điều này sẽ làm cho các
em bị bế tắt khi giải toán HHKG.
Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông thì các em mặc
nhiên vẽ hình chóp có đáy ABCD là hình vuông và có đỉnh là
S.
Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như
vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán.
- Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể
hạn chế được. Điều này gây nhiều khó khăn khi giải
những bài toán phức tạp.
- Thứ hai: cạnh AD là nét khuất nhưng chưa được thể
hiện trên hình vẽ.
- Thứ ba: giao diện mặt bên
( )
SAD
quá nhỏ, điều này
gây nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà
ta cần kẻ thêm những đường thẳng nằm trong mặt
phẳng đó.
- Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thể
hiện hoàn là một hình vuông như bên hình học phẳng.

Nếu đề bài yêu cầu thêm là mặt phẳng
( )
SAD
vuông
góc với mặt phẳng đáy thì học sinh khó mà vẽ được
hình đúng như ý mình.
6
A
D
C
B
S
N
M
A'
B'
C'
B
D
A
C
D'
P
N
M
B'
A'
D'
A
C

B
D
C'
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mất nhiều thời gian
cho việc vẽ hình.
Ví dụ 1:
Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
. Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt
phẳng di qua trung điểm
M
của cạnh
'DD
, trung điểm
N
của cạnh
' 'D C
và đỉnh
A
.
Học sinh giải bài toán như sau:
Do hai mặt bên
( )
BB A A
′ ′
và
( )
CC D D

′ ′
song song với
nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng
( )
AMN
cũng phải song song với nhau. Do đó
( ) ( )
' ' ',AMN AA B B AB AB MN
′
∩ =
P

( ) ( )
' 'AMN AA D D AM∩ =
( ) ( )
' ' ' ' 'AMN A B C D B N∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB
′
Phân tích sai lầm:
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng
( )
AMN
và mặt phẳng
( )
BB A A
′ ′
là đường thẳng đi
qua A và song song với MN. Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thẳng
AB

′
. Điều
này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh
AB MN
′
P
.
Giải
Ta có:
( ) ( )
' 'AMN AA D D AM∩ =
Trong mặt phẳng
( )
' 'AA D D
dựng
AM
cắt
' 'A D
tại P.
( ) ( )
' ' ' 'AMN A B C D PN∩ =
Trong mặt phẳng
( )
' ' ' 'A B C D
ta nhận thấy
, , 'P M B
thẳng hàng.
thật vậy,
Ta có:
1 1

2 2
MD PD
AA PA
′ ′
= ⇒ =
′
Ta lại có
1
2
D N
A B
′
=
′ ′
từ đó suy ra
PN
đi qua
B
′
và
1
2
NB
PB
′
=
′
.
( ) ( )
AMN CC D D MN

′ ′
∩ =
( ) ( )
AMN AA B B AB
′ ′ ′
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình
AMNB
′
.
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng.
@
Nguyên nhân:
7
B
S
A
C
D
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai. Do bước đầu tiếp xúc với
hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ
hình.
Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn
đến không đủ dữ kiện để giải quyết bài toán. Các khái niệm HS không nắm vững hoặc
hiểu nhầm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”,
“hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ
nhật…)
@
Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không

gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hinh
chóp tứ giác đều, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng trụ, hình hộp. Giúp học
sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian để có cách vẽ hình chính xác….
Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:
- Dùng nét ( ___ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thấy.
- Dùng nét ( ) để biểu diễn những đường khuất.
- Hai đường thẳng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thẳng song
song ( cắt nhau ).
- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang.
- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình
bình hành.
- Một tam giác ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì….
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có lợi cho
việc quan sát trực giác, điều này giúp ta dễ tìm ra lời giải cho bài toán.
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác. Khi giải một số bài
tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra.
2. Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết.
Học sinh thường rơi vào bế tắc không biết bắt đầu từ đâu cho một bài toán tìm thiết
diện.
Ví dụ 2: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi
( )
α
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB.

Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
α
.
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc,
không biết bắt đầu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phẳng
( )
α

Nguyên nhân:
Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để
giải các dạng bài tập tìm thiết diện.
giải
Trong mặt phẳng
( )
SAB
dựng
AM SB⊥
8
N
B
D
C
A
S
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ta có:
AD SA

AD AB
⊥
⊥
do đó
( )
AD SAB⊥
suy ra
AD SB
⊥
(1)
mặt khác
AM SB⊥
(2)
từ (1) và (2) suy ra
( )
ADM SB⊥
vậy
( ) ( )
ADM
α
≡
ta có:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
AD
BC SBC
Mt SBC
AD BC

M SBC
α
α
α
⊂

⊂

⇒ = ∩



∈ ∩

P
,Mt BC Mt AD
P P
Mt cắt SC tại N.
( ) ( )
( ) ( )
SAB AM
SDC DN
α
α
∩ =
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác DAMN.
@
Biện pháp khắc phục:
- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất để giải bài toán tìm thiết diện:

Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ…Từ đó suy
ra các đoạn giao tuyến. Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết
diện cần tìm.
Phân loại các dạng bài tập tìm thiết diện, giúp học sinh biết được cách giải với từng dạng
bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1).
- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết diện được xuất
phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao
tuyến”. Mà việc xác định “đoạn giao tuyến” hoặc là ta đã có hoặc nếu không có sẳn thì
xác định đoạn giao tuyến bằng cách tìm các giao điểm là phổ biến (tuy nhiên còn có
phương pháp khác sẽ nêu ra sau)
- Như vậy quy cho cùng vấn đề tìm “giao điểm” là cốt lõi trong bài toán thiết diện.
Vậy làm sao để tìm được “giao điểm” chẳng hạn là giao điểm của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng nào đó.
Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững
phương pháp dẫn đến sai lầm.
Có thể nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thẳng và một đường thẳng:
Cách 1:
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta đi tìm giao điểm của đường
thẳng a và một đường thẳng b nằm trong mặt phăng (P).
( )
( )
b P
a P I
a b I
⊂

⇒ ∩ =

∩ =



Cách 2:
9
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa a,
sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó giao điểm cần tìm là
giao điềm của hai đường thẳng a và b.
( )
( ) ( ) ( )
a Q
P Q b a P I
a b I
⊂

∩ = ⇒ ∩ =


∩ =

Chú ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm I ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(Q). Việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng thường là ta tìm hai điểm chung của hai
mặt phẳng đó. Nhưng đôi khi việc xác định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn
đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện.
Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ta tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa
hai đường thẳng song song nhau. Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song
song với hai đường thẳng đó.
Một ví dụ minh họa:
Ví dụ 2.1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong tam giác SCD. Xác định
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM).

:
K
J
I
O
P
B
C
A
D
S
M
Giải:
Đầu tiên ta tìm giao điểm I của AM và (SBD)
Gọi
P SM DC= ∩
Khi đó trên mp(ABCD), gọi
O AP BD
= ∩
Ta có
( ) ( )
SO SAP SBD= ∩
10
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Gọi
I AM SO= ∩
Mà
( )AM SAP⊂
Vậy ta suy ra
( )

I AM SBD= ∩
.
Trên mp(SBD), gọi
J BI SD
= ∩
Khi đó trên mp(SCD), gọi
K JM SC= ∩
Vậy tứ giác ABKJ là thiết diện cần tìm.
Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC và
CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND. Gọi P là trung điểm AD. Xác định thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi mp(MNP).
Giải:
Q
E
P
B
D
C
A
M
N
Vì BM = 2MC và CN = 2ND nên MN không song song với BD, do đó BD và MN cắt
nhau tại E.
Trên mp(ABD), PE cắt AB tại Q, khi đó: MN,NP,PQ,QM lần lượt là các đoạn giao tuyến
khi cắt các mặt của tứ diện bằng mp(MNP).
Vậy tứ giác MNPQ là thiết diện cần tìm.
3. Những khó khăn do không hiểu kỹ các định lý, hệ quả dẫn đến những kết luận
sai.
- Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở
hình học phẳng, chẳng hạn HS thường cho rằng trong không gian có định lý sau: “hai

đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau”, “ hai mặt
phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”,… hoặc các định lý,
hệ quả mà HS thường hiểu nhầm:
+ Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thẳng
nằm trong mặt phẳng đó.
+ Hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nào nằm trong một mặt
phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
11
P
N
Q
I
A
C
B
S
M
P
N
Q
I
S
B
C
A
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
+ Luôn có thể dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt.
Ví dụ 3:
Cho tứ diện

SABC
có tam giác
ABC
đ ều,
( )
SA ABC⊥
. Lấy một điểm
M
bất kỳ
trên cạnh
SC
.G ọi
( )
α
là mặt phẳng qua M và vuông góc với
AB
.
học sinh giải như sau:
( )
⊥ ⇒ ⊥SA ABC SA AB
( )
⊥ AB
α
Suy ra
( )
SA
α P
Trong mặt phẳng (SAC)
kẽ đường thẳng qua M và song song với SA cắt AC tại Q
Gọi I là trung điểm AB, khi đó:

AB CI⊥
Mặt khác
MQ SA
P
, nên
( )
MQ ABC MQ AB⊥ ⇒ ⊥

Do đó
MQ CI
P
Suy ra
( )
CIα
P
Mà
( ) ( ) ( )
CI ABC ABC⊂ ⇒ α
P

Suy ra
( )
BCα
P
Do đó:
( ) ( )
SBC MN BCα ∩ =
P
( ) ( )
ABC QP BCα ∩ =

P
( ) ( )
SAB NP SAα ∩ =
P
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
MNPQ
.
Giải
Ta c ó
( )
SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥

( )
AB
α
⊥
Suy ra
( )
SA
αP
Ta có
( )
SA SAC⊂

( ) ( )
M SAC
α
∈ ∩

Do đ ó

( ) ( )
SAC MQ
α
∩ =
,
MQ SA
P
cắt AC
t ại Q.
gọi I là trung điểm của AB ta có
CI AB
⊥
.
Suy ra
( )
CI
αP
( )CI ABC⊂
.
Do đ ó
( ) ( )
ABC QP
α
∩ =
,
QP CI
P
và cắt AB tại P.
Ta có
( )

SA
αP
,
( )
SA SAB⊂
12
N
M
D
B
A
C
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
( ) ( )
P SAB
α
∈ ∩
suy ra
( ) ( )
PN SAB
α
= ∩
với
PN SA
P
,
PN
cắt
SB

tại N.
( ) ( )
MN SBC
α
= ∩
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
MNPQ
.
@
Nguyên nhân:
- Hình học không gian khá trừu tượng nên việc nắm kỹ các định lý rất khó khăn, và trực
giác không mang lại kết quả như hình học phẳng mà đôi khi còn đánh lừa người giải toán
khi họ thể hiện sai trên hình vẽ.
- HS còn dựa nhiều vào những kiến thưc ở hình học phẳng, thản nhiên áp dụng một
cách tùy ý bằng cách suy diễn từ hình học phẳng sang hình học không gian.
@


Khắc phục:

- Giúp HS nắm vững các định lý trong SGK bằng cách vận dụng vào giải các bài tập.
Việc vận dụng các định lý, hệ quả vào các bài giải phải hiểu đó là định lý, hệ quả nào
thuộc quan hệ song song hay quan hệ vuông góc, phát biểu chính xác hệ quả định lý đó.
- Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều này rất có lợi để áp dụng các định
lý.
- Phân dạng các bài tập về thiết diện. Mỗi dạng thường vận dụng những định lý, hệ quả
nào,…
4. Khó khăn do hiểu nhầm các khái niệm, dẫn tới bế tắc hoặc có một lời giải sai.
Các khái niệm mà học sinh không nắm vững có thể dẫn tới việc thể hiện thiếu dữ kiện
của bài toán, hoặc đưa ra những khái niệm sai.

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và các mặt bên hợp với đáy 1 góc
α
. Hãy
xác định thiết diện tạo nên bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các
mặt bên của hình chóp.
Phân tích: trực giác cho HS thấy rằng mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC
phải chứa hai đường phân giác của góc
¼
SBA
và
¼
SCD
HS tiến hành giải như sau:
Trong mp (SAB) ta dựng đường phân giác BM
của góc
¼
SBA
cắt SA tại M
Ta có:
( ) ( )
SAB BM
α
∩ =
Trong mặt phẳng (SAD) dựng đường
phân giác góc
¼
SCD
cắt SD tại N.
( ) ( )
SCD CN

α
∩ =
( ) ( )
SAD MN
α
∩ =
( ) ( )
ABCD BC
α
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
BCNM
.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: do học sinh không hiểu
mặt phẳng phân giác của góc nhị diện là gì, định nghĩa
góc giữa hai mặt phẳng.
13
M
N
K
J
I
D
B
A
C
S
A
B
D

C
S
B
C
A
D
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Giải:
Gọi
( )
P
là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC ,
( )
P
đi qua BC.
( ) ( )
ABCD BC
α
∩ =
.
Dựng trung điểm I, J của cạnh BC và BD.
Ta có:
SI BC⊥
( do tam giác SBC cân tại S ).

IJ BC
⊥
Do đó
»

SIJ
chính là góc phẳng nhị diện cạnh BC.
Dựng phân giác IK của góc
»
SIJ
cắt SJ tại K.
Vậy
( ) ( )
,P BC IK≡
Ta có:
( ) ( )
, ,BC AD BC P AD SAD⊂ ⊂
P
( ) ( )
K P SAD∈ ∩
Do đó
( ) ( )
MN P SAD= ∩
,MN AD MN BC
P P
với MN đi qua K và cắt
SA, SD lần lượt tại M và N.
( ) ( )
( ) ( )
MB P SAB
NC P SCD
= ∩
= ∩
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
BCNM

.
@


Nguyên nhân

: không nắm các khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác
để hình thành khái niệm trên cơ sở của hình học phẳng…
@
Khắc phục:

- Giúp học sinh nắm vững các khái niệm, các định nghĩa chẳng hạn: góc giữa hai mặt
phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song
song với mặt phẳng….
- Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng, cách chứng minh hai mặt phẳng song song,…
4. CÁC KỸ NĂNG CẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH
GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIẾT DIỆN.
a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình đúng và chính xác, giúp cho các em năng cao
khả năng tư duy tưởng tượng trong hình học không gian chẳng hạn như các ví dụ sau:
- Nếu đáy là tứ giác lồi tùy ý, ta vẽ hình thường dùng là:
14
D
B
C
A
S
B
C
A

S
D
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
- Nếu đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông:


- Nếu đáy là hình thang:
Hay cho các em biết là thiết diện của một tứ diện không thể là ngũ giác, vì tứ diện chỉ có
bốn mặt, thiết diện của tứ diện cũng không nhất thiết là tứ giác …
Ví dụ 1: Chẳng hạn ở ví dụ 2, 4 mà ta xét sau đây.
b) Nâng cao kỹ năng giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Thực chất của bài
toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, khi đó
giao tuyến chính là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó. Chú ý giúp học sinh hiểu
được định lý : “Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó”.
15
P
I
D
B
C
A
M
N
K
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
+ Trường hợp: đề đã cho sẵn hai điểm chung của hai mặt phẳng khi đó ta chỉ cần dựng
giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm đó.
+ Trường hợp đề chỉ cho một điểm chung của hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao
tuyến như sau:

cách 1: dựng thêm một điểm chung khác nữa bằng cách kéo dài các đường thẳng cắt
nhau thuộc hai mặt phẳng đó.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, K lần lượt là 3 điểm bất kì trên AB, AD và BC sao
cho MN không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK).
Giải:
Ta có:
( ) ( )
MNK ABC MK∩ =
( ) ( )
MNK ABD MN∩ =
Trong mặt phẳng
( )
ABD
dựng
MN
cắt
BD
tại
I
ta được
( ) ( )
MNK ABC IK∩ =
,
IK
cắt
DC
tại
P
( ) ( )
MNK ADC NP∩ =

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
MNPK
.
Cách 2: từ một điểm chung đã có ta sử dụng các định lý về quan hệ song song để tìm
quan hệ giữa giao tuyến với đường thẳng đã có mà ta có thể dựng được đường giao
tuyến đó. Chẳng hạn sử dụng hệ quả: “nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song
song cắt nhau theo một giao tuyến thì giao tuyến đó song song với hai đường thẳng đó”.
Ví dụ 3: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
,I J
lầm lượt là
trọng tâm của tam giác
SAB∆
và tam giác
SAD∆
.
M
là trung điểm
CD
. Xác định thiết
diện của hình chóp với mặt phẳng
( )
IJM
.
Trong mặt phẳng
( )
SLN

ta có
2
3
SJ SI
JL IN
= =
do đó
IJ LN
P
.
16
X
U
V
J
T
W
L
I
N
A
M
C
B
D
S
P
K
H
B

D
C
A
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
( ) ( )
,IJ JIM NL ABCD⊂ ⊂
( ) ( )
M JIM ABCD∈ ∩
Suy ra
( ) ( )
Mt JIM ABCD∈ ∩
Mt
cắt
,AD BC
lần lượt
tại
T
và
W
ta được:
( ) ( )
MW JIM ABCD∈ ∩
( ) ( )
TJ JIM SAD= ∩
Trong mặt phẳng
( )
SAD
dựng
JT

cắt
,SA SD
lần lượt tại
U
và
V
.
( ) ( )
UI JIM SAB= ∩
,
Trong mặt phẳng
( )
SAB
dựng
UI
cắt
SB
tại
X
.
Ta có
( ) ( )
XW JIM SBC= ∩
( ) ( )
MV JIM SCD= ∩
, vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác
UVMWX
.
c) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng có phương pháp giải từng dạng toán trong bài toán
thiết diện (trình bày ở mục 1)

d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích và dự đoán được các trường hợp có thể xảy
ra của yêu cầu bài toán trong giải bài toán thiết diện.
Ví dụ 4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong tam
giác BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ
diện với mặt phẳng (HKM).
Giải
Gọi
P KM CD= ∩
.Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Điểm P thuộc đoạn CD
Khi đó ta được:
( ) ( )
HKM BCD KP∩ =
.
( ) ( )
HKM ACD HP∩ =
17
I
N
P
K
H
B
D
C
A
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
( ) ( )
HKM ABC KH∩ =

Do đó, thiết diện cần tìm là
HKP∆
.
Trường hợp 2: điểm P ở ngoài đoạn CD. Khi đó:
Gọi
I KM BD= ∩
.
( ) ( )
HKM ABC KH∩ =
Trong mặt phẳng (ACD) dựng HP cắt AD tại N.
Khi đó :
( ) ( )
HKM ACD HN∩ =
( ) ( )
HKM ABD NI∩ =
Vậy thiết diện là tứ giác KHNI.
Ví dụ 5 : Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a.
SA a
=
và vuông góc
với mặt phẳng (ABC). Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh AC,
( )
α
là mặt phẳng đi qua
M và vuông góc với AC. Tùy theo vị trí điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết
diện tạo bởi
( )
α
với tứ diện S.ABC.
Giải

Gọi E là trung điểm của AC, ta có
BE AC⊥
Do đó, ta cần xét hai trường hợp khác nhau về vị rí của M trên cạnh AC và trong đó ta giả
sử dựng
( )
SA ABC SA AC⊥ ⇒ ⊥
.
Trường hợp 1: M thuộc CE
Ta có:
( )
( )
SA ABC SA AC
AC
α
⊥ ⇒ ⊥
⊥
18
( ) ( )
∩ =
HKM BCD KI
Q
P
N
E
S
B
C
A
M
N

P
E
A
C
B
S
M
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Do đó:
( )
SA
αP
,
( )
SA SAC⊂
( ) ( )
M SAC
α
∈ ∩
Vậy
( ) ( )
SAC Mt SA
α
∩ =
P
,
Mt
cắt
SC
tại N.

Do đó
( ) ( )
SAC MN
α
∩ =
Ta có
BE AC⊥
nên tương tự ta cũng có:
( ) ( )
ABC Mx BE
α
∩ =
P
Mx
cắt
BC
tại P. Do đó
( ) ( )
ABC MP
α
∩ =
( ) ( )
SBC NP
α
∩ =
Vậy thiết diện cần tìm là tam giác vuông MNP vuông tại M.
Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm E).
Gọi E là trung điểm của AC, ta có
BE AC
⊥

Ta có:
( )
( )
SA ABC SA AC
AC
α
⊥ ⇒ ⊥
⊥
Do đó:
( )
SA
αP
,
( )
SA SAC⊂
( ) ( )
M SAC
α
∈ ∩
Vậy
( ) ( )
SAC Mt SA
α
∩ =
P
,
Mt
cắt
SC
tại P.

Do đó
( ) ( )
SAC MP
α
∩ =
Ta có
BE AC⊥
nên tương tự ta cũng có:
( ) ( )
ABC Mx BE
α
∩ =
P
Mx
cắt AB tại N. Do đó
( ) ( )
ABC MN
α
∩ =
Do đó:
( )
SA
αP
,
( )
SA SAB⊂
( ) ( )
N SAB
α
∈ ∩

Vậy
( ) ( )
SAB Ny SA
α
∩ =
P
,
My
cắt
SB
tại Q.
Do đó
( ) ( )
SAB NQ
α
∩ =
( ) ( )
SBC QP
α
∩ =
19
K
T
L
Q
N
P
M
O
D

B
C
A
S
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Như vậy, trong trường hợp này ta được thiết diện là hình thang vuông
MNQP ( vuông tại M và N).
d) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các đoạn giao tuyến thông qua việc dựng thêm các
chi tiết ( điểm, đoạn thẳng, mặt phẳng ) trong hình vẽ.
Ví dụ 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của SB, SD và OC.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
Giải
Ta lần lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng
( )
MNP
Với các mặt của hình chóp.
Ta có
MN BD
P
mà
( ) ( )
( ) ( )
,MN MNP BD ABCD
P MNP ABCD
⊂ ⊂
∈ ∩
Nên
( ) ( )
MNP ABCD Pt∩ =

với
,Pt MN Pt BD
P P
.
Trong mặt phẳng
( )
ABCD
dựng
Pt BD
P
cắt
, ,AB BC CD
lần lượt tại
, ,T L Q
Vậy
( ) ( )
MNP ABCD LQ∩ =
Trong mặt phẳng
( )
SAB
nối
KM
cắt
SA
tại
M
ta được:
( ) ( )
MNP SAB MK∩ =
( ) ( )

MNP SAD KN∩ =
( ) ( )
MNP SCD NQ∩ =
( ) ( )
MNP SBC LM∩ =
.
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác
MKNQL
.
CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN
20
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 1 : Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng.
Bài 1 : Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M,N
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD
cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N,P, lần lượt là trung
điểm SA, BC, CD. Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, E là điểm
trên cạnh CD với ED = 3 EC. F là điểm trên cạnh BD sao cho EF // BC. Tìm thiết diện
tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD.
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.Gọi M, N,
P là trung điểm AB, AD và SC.
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP).
b) Tìm diện tích thết diện.
c) Chứng minh rằng thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương ( tức là hai
phần có thể tích bằng nhau).
Dạng 2 : Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua đường thẳng a và song
song với đường thẳng b ( a và b chéo nhau).
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, CD cho lần lượt các điểm M, N. Gọi (P)

qua MN và song song với AD. XÁc định thiết diện của (P) và tứ diện (ABCD).
Bài 2 : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N là hai điểm lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (P)
là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Tìm thiết diện của (P) và hình chóp
S.ABCD.
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là các điểm lấy trên BD và AC, (P) là mặt
phẳng qua MN và song song với AD.Tìm thiết diện của tứ diện và mặt phẳng.
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung đểm
của AB và N là một điểm thuộc BC. Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SD.
Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P).
Dạng 3: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song
với hai đường thảng cho trước.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua O, song song
với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình
chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB song song với BD và SA.
21
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD O là giao điểm của AC
và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) vói hình chóp
S.ABCD nếu (P) qua M và đồng thời song song với SC và AD.
Dạng 4: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) song song với một mặt phẳng
cho trước:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD song song với BC,
AD =2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di
động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng (P) song song với (SBE).
Tìm thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường
chéo,
, ,AC a BD b= =

tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với
(0 )AI x x a= < <
. Lấy (P) là mặt phắng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).
a) Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD.
b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo
, ,a b x
. Tìm
x
để S lớn nhất.
Bài 3: Cho tứ diện đều SABC cạnh A. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di
động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (P) song song với (SIC). Tìm thiết diện tạo bởi
((P) và SABC.
Dạng 5: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) qua điểm M cho trước và vuông
góc với đường thẳng d cho trước.
Bài 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến
∆
. Lấy A, B thuộc
∆
và
lấy
( ) ( )
,C P D Q∈ ∈
sao cho
,AC AB BD AB⊥ ⊥
và
AB AC BD
= =
. Xác định thiết
diện của tứ diện ABCD khi cắt bới mặt phẳng
( )

α
đi qua điểm A và vuông góc với CD.
Tính diện tích thiết diện khi
AC AB BD a= = =
Bài 2: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều và cạnh SA vuong góc với mặt phẳng
ABC. Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC
cắt bởi mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A. Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là một điểm trên cạnh AB và (P) là mặt phẳng
qua M vuông góc với AB. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. SA vuông góc với mặt
(ABCD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua O và
vuông gốc với AD. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với
·
0
, 60AB a ABC= =
. Cạnh
SC a=
và vuông góc với (ABC).
a) Tìm thiết diện qua
M SA
∈
và vuông góc SA.
b) Đặt
AM x=
. Tính diện tích thiết diện.
22
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
c) Vẽ đường biểu diễn diện tích. Tìm vị trí của M để thiết diện đạt diện tích lớn nhất.

Dạng 6: Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng a vuông
góc với mặt phẳng (Q)
Bai 1: Cho hình vuông ABCD cạnh A. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) tại A lấy điểm S. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng
(SCD). Hãy xác định mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết
diện gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). ABCD là hình
chữ nhật tâm O. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Hãy
tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên là SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng
(SCD). Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi (P) là mặt phẳng qua
I,J và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên tạo với đáy góc
ϕ
.
a) Tìm thiết diện qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD).
b) Tìm tỉ số thể tích
1
2
V
V
hai phần của hình chóp bị chia bởi thiết diện nói trên.
Một số bài toán khác.
Bài 1: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạch AD
và

'CC
sao cho
'
AM CN
MD NC
=
. Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua
MN và song song với mặt phẳng
( )
'ACB
.
Bài 2: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
và các trung điểm E,F của các cạnh
, 'AB DD
. Hãy xác định các thiết diện của hình lập phương cắt bởi các mặt phẳng (EFB),
( )
EF 'C
và (AFK) với K là trung điểm của cạnh
' 'B C
.
Bài 3: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gọi O là tâm của hình lập phương.
a) Tìm thiết diện qua O và vuông góc với đường chéo
'A C
.
b) Chứng minh rằng thiết diện chia hình lập phương thành hai phần tương đương.
Bài 4: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D

. Gọi M và N là tâm của đáy ABCD và
mặt bên
' 'DCC D
.
a) Tìm thiết diện tạo bởi
( )
'A MN
.
23
Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
b) Tìm tỉ số thể tích
1
2
V
V
hai phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện nói trên.
Bài 5: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh a. M là điểm di động trên AB.
a) Tìm thiết diện tạo bởi
( )
'A MC
. Thiết diện là hình gì.
b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình chữ nhật. Có vị trí nào của M để thiết
diện là hình vuông không?
c) Xác định vị trí của M để thiết diện có diện tích bé nhất và hãy tính giá trị ấy.
24